
Dłuższa przekątna graniastosłupa tworzy z dłuższą przekątną podstawy oraz wysokością bryły trójkąt
prostokątny równoramienny, więc wysokość bryły i dłuższa przekątna podstawy mają taką samą długość.
Co więcej, taki trójkąt jest połówką kwadratu, więc wysokość bryły i dłuższa przekątna podstawy są równe
Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:
Przyda nam się też rysunek pomocniczy podstawy graniastosłupa: {premium}
Przekątne sześciokąta podzieliły go na sześć trójkątów równobocznych o boku
Stąd:
Pole sześciokąta jest równe polu sześciu trójkątów równobocznych o boku
Obliczamy pole podstawy graniastosłupa:
Podstawiamy
Obliczamy objętość graniastosłupa:
Odp. Objętość graniastosłupa jest równa
Dane:
Cena małej gałki lodów:
Cena dużej gałki lodów:
Liczba sprzedanych gałek lodów:
Kwota uzyskana ze sprzedaży lodów:
Liczba sprzedanych małych gałek:
Szukane:
Liczba sprzedanych dużych gałek lodów:
Rozwiązanie:
Znamy liczbę sprzedanych przez lodziarza gałek lodów, która jest sumą małych i dużych gałek lodów:
{premium}
Znamy kwotę uzyskaną przez lodziarze ze sprzedaży:
Otrzymujemy układ równań, z którego obliczamy ilość małych i dużych gałek lodów sprzedanych przez lodziarza:
Odp.: Lodziarz sprzedał 260 dużych gałek lodów.
a)
{premium}
,
b)
c)
Wprowadźmy oznaczenia zgodne z treścią zadania.
Objętość: V
Długość jednej z krawędzi: x
Długość drugiej z krawędzi: 2x
Długość trzeciej z krawędzi: c
{premium}
Trzecią krawędź o nieznanej długości przedstawmy za pomocą danych nam wielkości korzystając ze wzoru na objętość prostopadłościanu.
Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu wyraża się wzorem:
Wyznaczmy wzór na pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu zapisany za pomocą tych oznaczeń.
W trójkącie BCE opuszczamy wysokość z wierzchołka C.
Trójkąt EFC jest trójkątem prostokątnym równoramiennym o przeciwprostokątnej długości 6 cm. {premium}
Korzystając z zależności między bokami w trójkącie prostokątnym równoramiennym obliczamy długość wysokości CF.
Usuwamy niewymierność z mianownika.
Każda z przekątnych równoległoboku dzieli go na dwa trójkąty przystające.
Przekątna BD dzieli równoległobok na dwa trójkąty przystające.
Trójkąt ABD jest przystający do trójkąta CDB.
W trójkącie CDB podstawą jest przekątna BD równoległoboku, czyli a=16 cm.
Wysokość tego trójkąta jest równa długości odcinka CF, czyli h=3√2 cm.
Pole równoległoboku jest sumą pól trójkątów ABD i CDB, czyli jest dwa razy większe od pola trójkąta CDB (bo trójkąty te są przystające).
Obliczamy ile wynosi pole równoległoboku:
Odpowiedź:
Pole równoległoboku wynosi 48√2 cm2.
Określmy na początku zbiór zdarzeń elementarnych:
Z tego wynika, że liczba zdarzeń elementarnych wynosi:
Losujemy oczka będące potęgą liczby dwa:
Liczba zdarzeń sprzyjających wynosi:
Wówczas prawdopodobieństwo wylosowania liczby będącej potęgą liczby dwa to:
Losujemy oczka będące wielokrotnością liczby :{premium}
Liczba zdarzeń sprzyjających wynosi:
Prawdopodobieństwo to:
Losujemy liczbę nie większą niż . Zauważmy, że . Z tego wynika, że:
Liczba zdarzeń sprzyjających wynosi:
Prawdopodobieństwo to:
Losujemy liczbę, która nie dzieli się przez :
Liczba zdarzeń sprzyjających wynosi:
Prawdopodobieństwo to:
Losujemy liczbę, która przy dzieleniu przez daje resztę . Zauważmy, że:
Nie ma elementów spełniających to założenie. Zbiór jest pusty:
Liczba zdarzeń sprzyjających wynosi:
Prawdopodobieństwo to:
1. Tak, ponieważ wystarczy dorysować zielony odcinek:{premium}
2. Tak, ponieważ wystarczy dorysować zielony odcinek:
3. Tak, ponieważ wystarczy dorysować zielony odcinek:
4. Tak, ponieważ wystarczy dorysować zielony odcinek:
Oznaczmy prędkość (wyrażoną w znakach na minutę) z jaką pisała na konkursie Joasia, jako .
Z treści zadania wiemy, że w określonym przez jury czasie zapisała 4920 znaków, pisząc z prędkością znaków na minutę.
Skoro w ciągu jednej minuty zapisywała znaków, to na zapisanie 4920 znaków potrzebowała minut. {premium}
Wiemy także, że gdyby pisała o 5 znaków więcej w ciągu każdej minuty, to w tym samym czasie zapisałaby 5040 znaków.
Skoro w ciągu jednej minuty zapisałaby znaków, to na napisanie 5040 znaków potrzebowałaby minut.
Wiemy, że czasy pisania w obu przypadkach byłyby takie same, czyli:
Odpowiedź: Joasia pisała z prędkością 205 znaków na minutę.
Średnica najmniejszej poznanej bakterii wynosi około , czyli{premium}
Przypomnijmy, że , zatem
Na zdjęciu z mikroskopu powiększającego milion razy będzie milion razy dłuższa.