Liczby i działania - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Liczby naturalne to liczby 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ... .

Zbiór wszystkich liczb naturalnych oznaczamy symbolem N.

Możemy zapisać: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,...}.

Pojęcie liczby naturalnej pojawiło się w związku z liczeniem przedmiotów i ustalaniem kolejności.

W zbiorze liczb naturalnych wyróżniamy między innymi liczby parzyste i nieparzyste, a także liczby pierwsze i złożone.

• Liczba parzysta – liczba podzielna przez 2 (inaczej mówiąc jest to wielokrotność liczby 2).

  Liczbami parzystymi są więc liczby: 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20...

  Każdą liczbę parzystą możemy przedstawić w postaci iloczynu liczby 2 i pewnej liczby naturalnej.

  Zatem jeśli n jest liczbą parzystą, to istnieje liczba naturalna k taka, że: `n = 2*k` 

• Liczba nieparzysta – liczba naturalna, która nie jest parzysta.

  Liczbami nieparzystymi są więc liczby: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, …

  Każdą liczbę nieparzystą n możemy przedstawić w postaci `n = 2*k+1` , gdzie k jest liczbą naturalną.

• Liczba pierwsza – liczba naturalna większa od 1, mająca tylko dwa dzielniki: 1 i samą siebie.

  Liczbami pierwszymi są liczby: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,...

• Liczba złożona - liczba naturalna nie będąca liczbą pierwszą, czyli posiadająca więcej niż dwa dzielniki. 
  
  Liczbami złożonymi są: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18...

Liczby całkowite to liczby naturalne oraz liczby do nich przeciwne.

Liczby przeciwne to takie dwie liczby, których suma wynosi 0. Dla przykładu:

• liczbą przeciwną do 4 jest -4,
  
  
• liczbą przeciwną do -25 jest 25,
  
  
• liczbą przeciwną do 0 jest 0.

Zbiór wszystkich liczb całkowitych oznaczamy symbolem C.

Możemy zapisać: C = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}.

W zbiorze liczb całkowitych możemy wyróżnić liczby całkowite dodatnie C₊ oraz liczby całkowite ujemne C_-

Liczby całkowite dodatnie: C₊ = {1, 2, 3, 4, 5, 6,...}

Liczby całkowite ujemne: C_- = {..., -6, -5, -4, -3, -2, -1}

Liczby wymierne to takie liczby, które możemy przedstawić w postaci ułamka `p/q`  , gdzie p i q są liczbami całkowitymi (co zapisujemy `p in C`  i  `q in C`) oraz `q!=0` .

Zbiór wszystkich liczb wymiernych oznaczamy symbolem W lub Q. 

Przykłady liczb wymiernych:  `23/45, \ \ 1/2, \ \ 2 1/2=5/2, \ \ -2 1/2=-5/2, \ \ 14=14/1, \ \ 0=0/1` 

Każda liczba wymierna posiada rozwinięcie dziesiętne skończone lub nieskończone okresowe, o których przeczytasz poniżej

Rozwinięcia dziesiętne

Uwaga

Wszystkie liczby naturalne i całkowite są liczbami wymiernymi, ponieważ można przedstawić je w postaci ułamka zwykłego, np:

`14 = 14/1 \ \ , \ \ -2= (-2)/1 \ \ , \ \ 4 = 4/1 \ \ , \ \ -113 = (-113)/1 \ \ , \ \ 0 = 0/2 = 0/10 = 0/(-3)` 

Liczby niewymierne to liczby, których nie da się przedstawić w postaci ułamka `p/q` , gdzie p jest liczbą całkowitą a q jest liczbą całkowitą różną od 0.

Zbiór wszystkich liczb niewymiernych oznaczamy symbolem NW.
 

Przykłady liczb niewymiernych: `sqrt2 \ , \ -sqrt5 \ , \ pi \ , root(4)(17)`   

Każda liczba niewymierna posiada rozwinięcie dziesiętne nieskończone i nieokresowe.

Dodawanie i odejmowanie ułamków zwykłych

Dodawanie lub odejmowanie ułamków mających jednakowe mianowniki – dodajemy lub odejmujemy liczniki, a mianownik pozostawiamy bez zmian.

Przykłady: 

• `4/7+6/7=10/7=1 3/7` 
  
  
• `1 3/7+2/7=1 5/7`   
  
  
• `1 3/5+4 2/5=5 5/5=6` 
  
  
•  `5/6-2/3=3/6=1/2` 
  
  
• `1 -4/9=9/9-4/9=5/9`   
  
  
• `3 1/6-1 5/6=2 7/6-1 5/6=1 2/6=1 1/3`  

Dodawaniu i odejmowaniu ułamków o różnych mianownikach - ułamki sprowadzamy do wspólnego mianownika.

Przykłady:

• `3/7+1/3=9/21+7/21=16/21` 
  
  
• `2 1/5+3/6=2 6/30+15/30=2 21/30`   
  
  
• `1 1/4+3 2/5=1 5/20+3 8/20=4 13/20` 
  
  
• `4/5-2/3=12/15-10/15=2/15` 
  
  
• `2 1/3-1/9=2 3/9-1/9=2 2/9`   
  
  
• `2 5/8-1 3/5=2 25/40-1 24/40=1 1/40`  

Dodawanie i odejmowanie ułamków dziesiętnych 

Aby dodać lub odjąć dwa ułamki dziesiętne należy chwilowo pominąć przecinek i wykonać działania na liczbach naturalnych. 

Następnie w wyniku wstawiamy przecinek w takim miejscu, aby po przecinku było tyle samo cyfr, ile występuje w każdym z ułamków. 

Przykłady:

• `57,879+3,32=57,879+3,320=61,199`  
  [57 879+3320=61 199, więc 57,879+3,320=61,199, gdyż w każdym ułamku mamy po trzy cyfry po przecinku, więc w wyniku również muszą być trzy cyfry po przecinku]
   
• `3,45-2,34=1,11` 
  [345-234=111, więc 3,45-2,31=1,11 gdyż w każdym ułamku mamy po dwie cyfry po przecinku, więc w wyniku również muszą być dwie cyfry po przecinku]
  
  

Dodawanie i odejmowanie ułamków zwykłych oraz dziesiętnych

Gdy dodajemy lub odejmujemy ułamek dziesiętny i ułamek zwykły wystarczy doprowadzić je do wspólnej postaci. 

Przykłady:

• `3/4+2,2=0,75+2,20=2,95` 
  
  
• `2,5-3/4=2 1/2-3/4=2 2/4-3/4=1 6/4-3/4=1 3/4`   

Mnożenie i dzielenie to po dodawaniu i odejmowaniu najbardziej popularne działania stosowane we wszystkich dziedzinach nauki.

Mnożenie i dzielenie ułamków zwykłych

Aby pomnożyć dwa ułamki zwykłe należy obliczyć iloczyn ich liczników oraz mianowników. 

Aby podzielić dwa ułamki zwykłe należy dzielną pomnożyć razy odwrotność dzielnika.  

Przykłady:

• `4/5*3/7=(4*3)/(5*7)=12/35` 
  
  
• `1 2/5*4/9=7/5*4/9=28/45` 
  
  
•  `4/7:5/8=4/7*8/5=32/35` 
  
  
• `2 4/5: 3/7=14/5:3/7=14/5*7/3=98/15=6 8/15`     
  
  

Mnożenie i dzielenie ułamków dziesiętnych 

Aby pomnożyć dwa ułamki dziesiętne chwilowo pomijamy przecinki i wykonujemy działanie na liczbach naturalnych.

Następnie obliczamy ile łącznie cyfr znajduje się po przecinku w obu czynnikach. Tyle samo cyfr musi znaleźć się po przecinku w otrzymanym wyniku. 

Aby podzielić dwa ułamki dziesiętne należy w dzielnej i dzielniku przesunąć przecinek o tyle miejsc w prawo, aby dzielnik był liczbą naturalną. 

Przykłady:

• `3,4*1,21=4,114` 
  
  
• `5,7*1,42=8,094`  
  
  
• `3,2:0,8=32:8=4`  
  
  
• `3,55:0,5=35,5:5=7,1`  

Najważniejszą rzeczą przy obliczaniu wartości wyrażeń arytmetycznych jest właściwa kolejność wykonywania działań.

Kolejność wykonywania działań:

1. Działania w nawiasach
   
   
2. Potęgowanie i pierwiastkowanie
   
   
3. Mnożenie i dzielenie od lewej do prawej
   
   
4. Dodawanie i odejmowanie od lewej do prawej

Przykłady:

• `(45-9*3)-4=(45-27)-4=18-4=14` 
  
  
• `4+7*6:2=4+42:2=4+21=25` 
  
  
• `2^3:2-3=8:2-3=4-3=1` 
  
  
• `sqrt{9}-2:2=3-2:2=3-1=2`    

Działania takie jak dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie wykonywane na liczbach ujemnych są bardzo podobne do tych, które były wykonywane na liczbach dodatnich.

Należy tylko pamiętać o kilku podstawowych zasadach!

Dodawanie i odejmowanie:

• dodawanie dowolnej liczby ujemnej można zamienić na odejmowanie liczby do niej przeciwnej
  
  
  • `36+(-12)=36-12=24`  
    
    
• odejmowanie dowolnej liczby ujemnej można zamienić na dodawanie liczby do niej przeciwnej
  
  
  • `78-(-48)=78+48=126`  

Mnożenie i dzielenie:

• iloczyn (wynik mnożenia) liczby ujemnej i liczby dodatniej będzie zawsze liczbą ujemną
  
  
  • `(-12)*3=(-36)`   
    
    
• iloczyn (wynik mnożenia) dwóch liczb ujemnych będzie zawsze liczbą dodatnią
  
  
• `(-16)*(-2)=32` 
   
• iloraz (wynik dzielenia) liczby ujemnej i liczby dodatniej będzie zawsze liczbą ujemną
   
  • `81:(-9)=-9` 
    
    
  • `(-45):9=(-5)`  
    
    
• iloraz (wynik dzielenia) dwóch liczb ujemnych jest zawsze liczbą dodatnią 
  
  
  • `(-48):(-4)=12` 

Tabela przedstawiająca znaki iloczynu i ilorazu dwóch liczb

System rzymski jest systemem zapisywania liczb, który w przeciwieństwie do zapisu pozycyjnego, pozwala zapisać liczby przy pomocy znaków o zawsze ustalonej wartości.

W systemie rzymskim do zapisania liczby używamy zdecydowanie mniej znaków niż w systemie dziesiątkowym.

Za pomocą 7 znaków (liter) : I, V, X, L, C, D i M jesteśmy w stanie ułożyć każdą liczbę naturalną od 1 do 3999.

Do każdego znaku przypisano inną wartość. 

Wyróżniamy cyfry podstawowe:

• I = 1
• X = 10
• C = 100
• M = 1000 

oraz cyfry pomocnicze:

• V = 5
• L = 50 
• D = 500

Zasady zapisywania liczb w systemie rzymskim:

1. Możemy zapisać maksymalnie 3 takie same cyfry podstawowe (czyli I, X, C, M) obok siebie.

   Cyfry pomocnicze (czyli V, L, D) nie mogą występować obok siebie.

   Przykłady:

   • VIII  `->`   `5+1+1+1=8` 
     
     
   • MMCCC  `->`   `1000+1000+100+100+100=2300` 
     
     

2. W celu uproszczenia wielu zapisów dopuszcza się umieszczenie cyfry podstawowej o mniejszej wartości przed cyfrą o większej wartości.
   
   W takim jednak przypadku od wartości większej liczby odejmujemy wartość mniejszej liczby.

   Przykłady:

   • IX  `->`   `10-1=9` 
     
     
   • CD  `->`   `500-100=400` 
     
     

3. Gdy liczby (znaki) są ustawione od największej do najmniejszej to wówczas dodajemy ich wartości.

   Przykłady:

   • MMDCLVII  `->`   `1000+1000+500+100+50+5+1+1=2657`   
     
     
   • CXXVII  `->`   `100+10+10+5+1+1=127`   

Ciekawostka

Cechy podzielności liczb ułatwiają znalezienie dzielników, zwłaszcza dużych liczb.

Dzielnik liczby to taka liczba, przez którą dana liczba jest podzielna. Dzielnikiem każdej liczby naturalnej n (n>1) jest 1 oraz ona sama.

Cechy podzielności:

1. Podzielność liczby przez 2

   Liczba jest podzielna przez 2, gdy jej ostatnią cyfrą jest 0, 2, 4, 6 lub 8.

   Przykład:

   • 1 896 319 128 → liczba jest podzielna przez 2, ponieważ jej ostatnią cyfrą jest 8.
      

2. Podzielność liczby przez 3

   Liczba jest podzielna przez 3, gdy suma jej cyfr jest liczbą podzielną przez 3.

   Przykład:

   • 7 981 272 → liczba jest podzielna przez 3, ponieważ suma jej cyfr (7+9+8+1+2+7+2=36) jest liczbą podzielną przez 3.
      

3. Podzielność liczby przez 4

   Liczba jest podzielna przez 4, gdy jej dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 4.

   Przykład:

   • 2 147 816 → liczba jest podzielna przez 4, ponieważ jej dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę 16, a liczba 16 jest podzielna przez 4.
      

4. Podzielność liczby przez 5

   Liczba jest podzielna przez 5, gdy jej ostatnią cyfrą jest 0 lub 5.

   Przykład:

   • 18 298 415 → liczba jest podzielna przez 5, ponieważ jej ostatnią cyfrą jest 5.
      

5. Podzielność liczby przez 6

   Liczba jest podzielna przez 6, gdy jednocześnie dzieli się przez 2 i 3.

   Przykład:

   • 1248 → liczba jest podzielna przez 6, ponieważ dzieli się przez 2 (jej ostatnią cyfrą jest 8), a także dzieli się przez 3 (suma jej cyfr 1+2+4+8=15 jest liczbą podzielną przez 3).
      

6. Podzielność liczby przez 9

   Liczba jest podzielna przez 9, gdy suma jej cyfr jest liczbą podzielną przez 9.

   Przykład:

   • 1 890 351 -> liczba jest podzielna przez 9, ponieważ suma jej cyfr (1+8+9+0+3+5+1=27) jest jest liczbą podzielną przez 9.
      

7. Podzielność liczby przez 10

   Liczba jest podzielna przez 10, gdy jej ostatnią cyfra jest 0.

   Przykład:

   • 192 290 → liczba jest podzielna przez 10, ponieważ jej ostatnią cyfrą jest 0.
      

8. Podzielność liczby przez 25

   Liczba jest podzielna przez 25, gdy dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 25.

   Przykład:

   • 4675 → liczba jest podzielna przez 25, ponieważ jej dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę 75, a 75 jest podzielne przez 25.
      

9. Podzielność liczby przez 100

   Liczba jest podzielna przez 100, gdy jej dwie ostatnie cyfry to zera.

   Przykład:

   • 12 848 100 → liczba jest podzielna przez 100, ponieważ jej dwie ostatnie cyfry to zera.

Wielokrotność liczby otrzymamy mnożąc tę liczbę przez kolejne liczby naturalne. 

Uwaga!!!

0 jest wielokrotnością każdej liczby naturalnej. 

Każda liczba naturalna jest wielokrotnością liczby 1. 

Przykłady:

• wielokrotności liczby 4 to: 
  • 0, bo  `0*4=0` 
  • 4, bo  `1*4=4`  
  • 8, bo  `2*4=8`  
  • 12, bo  `3*4=12`  
  • 16, bo  `4*4=16`  
  • 20, bo  `5*4=20` , itd.  
     
• wielokrotności liczby 8 to:
  • 0, bo  `0*8=0`  
  • 8, bo  `1*8=8`  
  • 16, bo  `2*8=16`  
  • 24, bo  `3*8=24`  
  • 32, bo  `4*8=32`  
  • 40, bo  `5*8=40`, itd.  

Najmniejsza wspólna wielokrotność (NWW) dwóch liczb naturalnych to najmniejsza liczba naturalna będąca wielokrotnością zarówno jednej liczby, jak i drugiej.

Przykłady:

• Najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb 3 i 5 jest 15.
  1. Wypiszmy wielokrotności liczby 3 (różne od 0): 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, ...
  2. Wypiszmy wielokrotności liczby 5 (różne od 0): 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, ...
  3. Wśród wielokrotności liczby 3 i liczby 5 szukamy najmniejszej liczby, która jest zarówno wielokrotnością 3 i 5. Jest to 15.
     
     
• Najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb 4 i 6 jest 12.
  1. Wypiszmy wielokrotności liczby 4 (różne od 0): 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, ...
  2. Wypiszmy wielokrotności liczby 6 (różne od 0): 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, ...
  3. Wśród wielokrotności wyżej wypisanych szukamy najmniejszej liczby, która jest zarówno wielokrotnością 4 i 6. Jest to 12.

Najmniejszą wspólną wielokrotność dwóch liczb można znaleźć także wykorzystując rozkład na czynniki pierwsze. 

Aby znaleźć NWW dwóch liczb należy: 

1. Rozłożyć liczby na czynniki pierwsze. 
   
   
2. Zaznaczyć wspólne dzielniki obu liczb. 
   
   
3. Obliczyć iloczyn czynników pierwszej liczby oraz niezaznaczonych czynników drugiej liczby. 

Przykład:

Dzielnik liczby to taka liczba, przez którą dana liczba jest podzielna. Dzielnikiem każdej liczby naturalnej n (n>1) jest 1 oraz ona sama.

Inaczej mówiąc, dzielnikiem liczby naturalnej  `n`  nazywamy taką liczbę naturalną  `m`, że  `n=k*m` `k`   jest liczbą naturalną. 

Przykład:

10 dzieli się przez 1, 2, 5 i 10. Wynika z tego, że dzielnikami liczby 10 są liczby 1, 2, 5 i 10.

Możemy też powiedzieć, że:

• 1 jest dzielnikiem 10 bo  `10=10*1`   
• 2 jest dzielnikiem 10 bo  `10=5*2`  
• 5 jest dzielnikiem 10 bo  `10=2*5`  
• 10 jest dzielnikiem 10 bo  `10=1*10`  

Uwaga!!! 

Jeżeli liczba naturalna `m`  jest dzielnikiem liczby `n` , to liczba `n`  jest wielokrotnością liczby `m` .

Przykład:

Liczba 2 jest dzielnikiem liczby 10, czyli liczba 10 jest wielokrotnością liczby 2.


Dowolną liczbę naturalną n większą od 1 (n>1), która ma tylko dwa dzielniki, 1 oraz samą siebie, nazywamy liczbą pierwszą.

Liczbami pierwszymi są liczby: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23...

Liczbę naturalną n (n>1) niebędącą liczbą pierwszą, czyli posiadającą więcej niż dwa dzielniki, nazywamy liczbą złożoną.

Liczbami złożonymi są: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18...

Największy wspólny dzielnik (NWD) dwóch liczb naturalnych jest to największa liczba naturalna, która jest dzielnikiem każdej z tych liczb.

Przykłady:

• Największy wspólny dzielnik liczb 6 i 9 to liczba 3.

  1. Wypiszmy dzielniki liczby 6: 1, 2, 3, 6.
  2. Wypiszmy dzielniki liczby 9: 1, 3, 9.
  3. Wśród dzielników wyżej wypisanych szukamy największej liczby, która jest zarówno dzielnikiem 6 i 9. Jest to 3.
     
     

• Największy wspólny dzielnik liczb 12 i 20 to liczba 4.

  1. Wypiszmy dzielniki liczby 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
  2. Wypiszmy dzielniki liczby 20: 1, 2, 4, 5, 10, 20.
  3. Wśród dzielników wyżej wypisanych szukamy największej liczby, która jest zarówno dzielnikiem 12 i 20. Jest to 4.

Największy wspólny dzielnik dwóch liczb można znaleźć także wykorzystując rozkład na czynniki pierwsze. 

Aby znaleźć NWD dwóch liczb należy: 

1. Rozłożyć liczby na czynniki pierwsze. 
   
   
2. Zaznaczyć wspólne dzielniki obu liczb. 
   
   
3. Obliczyć iloczyn wspólnych czynników (zaznaczonych czynników).  

Przykład: