Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Graniastosłupy - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Prostopadłościan i sześcian

Prostopadłościan to figura przestrzenna, której kształt przypomina pudełko lub akwarium.

Prostopadłościan

  • Każda ściana prostopadłościanu jest prostokątem.

  • Każdy prostopadłościan ma 6 ścian, 8 wierzchołków i 12 krawędzi.

  • Dwie ściany mające wspólną krawędź nazywamy prostopadłymi.

  • Dwie ściany, które nie mają wspólnej krawędzi, nazywamy równoległymi.

  • Każda ściana jest prostopadła do czterech ścian oraz równoległa do jednej ściany.


Z każdego wierzchołka wychodzą trzy krawędzie – jedną nazywamy długością, drugą – szerokością, trzecią – wysokością prostopadłościanu i oznaczamy je odpowiednio literami a, b, c.

Długości tych krawędzi nazywamy wymiarami prostopadłościanu.

a – długość prostopadłościanu, b – szerokość prostopadłościanu, c - wysokość prostopadłościanu.


Prostopadłościan, którego wszystkie ściany są jednakowymi kwadratami nazywamy sześcianem.

Wszystkie krawędzie sześcianu mają jednakową długość.

kwadrat

a - długość krawędzi sześcianu

Graniastosłup prosty

Graniastosłup prosty to graniastosłup, którego ściany boczne są prostopadłe do dwóch identycznych podstaw.

Podstawy graniastosłupa prostego to przystające wielokąty. Są do siebie równoległe. 

Każda ściana boczna graniastosłupa prostego jest prostokątem.

Krawędzie boczne graniastosłupa prostego mają jednakową długość.

Z dowolnego wierzchołka graniastosłupa prostego wychodzą trzy krawędzie. Jedna z nich jest krawędzią boczną, a pozostałe krawędziami podstawy.

Krawędź boczna jest prostopadła do każdej krawędzi podstawy.


Przykłady:

  • Prostopadłościan

  • Sześcian

  • Graniastosłup trójkątny (podstawą jest trójkąt)

  • Graniastosłup pięciokątny (podstawą jest pięciokąt), itd.


Wysokość graniastosłupa – to odcinek łączący podstawy graniastosłupa i prostopadły do każdej z nich.

W przypadku graniastosłupa prostego wysokością jest krawędź boczna.

Wysokość graniastosłupa oznaczamy literą H.

Graniastosłup prawidłowy

Graniastosłup prawidłowy to graniastosłup prosty, którego podstawą jest wielokąt foremny.


Przypomnienie:

Wielokąt foremny to wielokąt, którego wszystkie kąty wewnętrzne mają równe miary i wszystkie boki mają taką samą długość, np. kwadrat, trójkąt równoboczny, pięciokąt foremny. 


W graniastosłupie prawidłowym: 

  • podstawy to przystające wielokąty 

  • ściany boczne to przystające prostokąty

Graniastosłup przyjmuje swoją nazwę od wielokąta, który jest jego podstawą.
 

Przykłady: 

Siatki graniastosłupów prostych

Po rozcięciu wzdłuż kilku krawędzi powierzchni dowolnego graniastosłupa i rozłożeniu go na powierzchnię płaską powstanie jego siatka.

Jest to wielokąt złożony z mniejszych wielokątów – ścian graniastosłupa.

Ten sam graniastosłup może mieć kilka siatek.
 

Przykłady:

 Siatka graniastosłupa

Pole powierzchni graniastosłupa

Pole powierzchni graniastosłupa to suma pól wszystkich jego ścian.

Pole powierzchni składa się z pola powierzchni bocznej czyli sumy pól wszystkich ścian bocznych oraz z dwóch pól powierzchni identycznych podstaw. 

`P_c=2P_p+P_b`  

`P_c \ \ \ ->`    pole powierzchni całkowitej graniastosłupa 

`P_p \ \ \ ->`    pole podstawy graniastosłupa 

`P_b \ \ \ ->`    pole powierzchni bocznej graniastosłupa


Z powyższego wzoru możemy wyprowadzić wzór na pole powierzchni prostopadłościanu oraz sześcianu. 

Prostopadłościan:

`P_c=2P_p+P_b` 

`P_p=a*b=ab` 

`P_b=2*a*c+2*b*c=2ac+2bc` 

Zatem: 

`P_c=2ab+2ac+2bc=2(ab+ac+bc)`  


Sześcian: 

Wszystkie krawędzie sześcianu mają jednakową długość.

Wszystkie ściany są przystającymi kwadratami. Jest ich 6. 

`P_c=2P_p+P_b`

`P_p=a*a=a^2`  

`P_b=4*a*a=4a^2` 

Zatem:

`P_c=2a^2+4^2=6a^2` 

Jednostki objętości

Objętość podaje się w jednostkach sześciennych.

Podstawowe jednostki objętości to:

  • milimetr sześcienny (`"mm"^3`),

  • centymetr sześcienny (`"cm"^3`),

  • decymetr sześcienny (`"dm"^3`),

  • metr sześcienny (`"m"^3`). 


Objętość różnego rodzaju płynów wyraża się w: 

  • mililitrach,  `1 \ "ml"=1 \ "cm"^3` 

  • litrach,   `1 \ "l"=1 \ "dm"^3`   

    `1 \ "l"=1000 \ "ml"`  

  • hektolitrach,  `1 \ "hl"=100 \ "l"`  

 

Przeliczanie jednostek:

`1 \ "cm"=10 \ "mm"` 

Czyli: 

`1 \ "cm"^3=1 \ "cm"*1 \ "cm"*1 \ "cm"=10 \ "mm"*10 \ "mm"*10 \ "mm"=1000 \ "mm"^3` 
  

`1 \ "dm"=10 \ "cm"` 

Czyli: 

`1 \ "dm"^3=1 \ "dm"*1 \ "dm"*1 \ "dm"=10 \ "cm"*10 \ "cm"*10 \ "cm"=1000 \ "cm"^3`    


`1 \ "m"=100 \ "cm"` 

Czyli: 

`1 \ "m"^3=1 \ "m"*1 \ "m"*1 \ "m"=100 \ "cm"*100 \ "cm"*100 \ "cm"=1 \ 000 \ 000 \ "cm"^3`   


`1 \ "l"=1 \ "dm"^3=1000 \ "cm"^3=1000 \ "ml"`  


Analogicznie jak powyżej możemy przeliczyć również inne jednostki. 

Objętość graniastosłupa

Objętość graniastosłupa to iloczyn pola podstawy i wysokości tego graniastosłupa. 

`V=P_p*H` 

`V \ \ \ ->`   objętość graniastosłupa 

`P_p \ \ \ ->`   pole podstawy 

`H \ \ \ ->`    długość wysokości graniastosłupa    


Z powyższego wzoru możemy wyprowadzić wzór na objętość prostopadłościanu oraz sześcianu.

Prostopadłościan: 

`V=P_p*H` 

`P_p=a*b=ab` 

`H=c` 

Zatem: 

`V=ab*c=abc`     


Sześcian: 

`V=P_p*H`  

`P_p=a*a=a^2` 

`H=a` 

Zatem: 

`V=a^2*a=a^3`   

 

Odcinki w graniastosłupach

W graniastosłupach rozróżniamy 3 różne odcinki:

  • przekątną podstawy

  • przekątną ściany bocznej

  • przekątną graniastosłupa - odcinek łączący dwa wierzchołki graniastosłupa i niezawierający się w żadnej ścianie


Uwaga!!!

Graniastosłup trójkątny nie ma przekątnej podstawy i przekątnej graniastosłupa. Posiada on tylko przekątną ściany bocznej. 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Oblicz:

`a) \ \ sqrt(1 9/16)*(-2)^2+1,2*5/12=sqrt(25/16)*4+strike12^1/strike10^2*strike5^1/strike12^1=5/strike4^1*strike4^1+1/2=5+1/2=5 1/2=5,5` 

{premium}
    

`b) \ \ 2 1/2-1/2*root(3)(3 3/8)+1/2=5/2-1/2*root(3)(27/8)+1/2=5/2-1/2*3/2+1/2=5/2-3/4+1/2=6/2-3/4=3-3/4=2 1/4` 

`c) \ \ 4/3-(-1 1/3)^2:0,9=4/3-(-4/3)^2:9/10=4/3-16/9*10/9=4/3-160/81=108/81-160/81=-52/81` 
    

`d) \ \ 0,8*3/(2^3)-((-2)^3)/4*0,1=strike8^1/10*3/strike8^1-(-8)/4*1/10=3/10-(-2)*1/10=3/10+2/10=5/10=0,5`  

`e) \ \ (1 1/3)^2*(-3)^2-1,9^0*1/3=(4/3)^2*9-1*1/3=16/strike9^1*strike9^1-1/3=16-1/3=15 2/3`    

Kilogram ziemniaków kosztuje 1,40 zł...

Uwaga w treści zadania jest błąd!!!

powinno być:" (...) ile razy więcej niż pani Lucyna zapłacił za ziemniaki pan Robert?"


Wiemy, że kilogram ziemniaków kosztuje 1,40 zł

pani Lucyna kupiła 3,5 kg ziemniaków 

pan Robert kupił 4,2 kg ziemniaków


zatem 

pani Lucyna zapłaciła za ziemniaki:

`3,5*1,40 \ "[zł]"` 

pan Robert zapłacił za ziemniaki:

`4,2*1,40 \ "[zł]"` 
{premium}

obliczmy, ile razy więcej za ziemniaki zapłacił pan Robert:

`(4,2*strike1,40^1)/(3,5*strike1,40_1)=4,2/3,5` 

zauważmy, że stosunek ilości kupionych ziemniaków przez pana Roberta i panią Lucynę
jest taki sam jak stosunek zapłaconych przez nich kwot 


Odp. Tak, ponieważ B.

a) Przedstaw liczbę 12 jako iloczyn dodatnich liczb całkowitych ...

a) Liczbę 12 możemy przedstawić następująco:

`1*12=12` 

`2*6=12` 

`3*4=12` 

{premium}

b) Liczbę 12 możemy rozłożyć na czynniki w następujący sposób:


a) Magda stwierdziła, że ma...

`a)`  

Kwota jaką posiadała Magda w skarbonce: `10\ zł` 

Kwota jaką posiadała Ania w skarbonce: `190\ zł` 

Kwota jaką Magda odkładała co tydzień do skarbonki: `2\ zł` 

Kwota jaką Ania wydawała co tydzień ze swojej skarbonki: `10\ zł` 

Liczba tygodni po jakiej siostry będą miały taką samą kwotę: `x` 

Czas po jakim Magda odłoży tyle oszczędności co będzie posiadała wtedy Ania: `10\ zł + x*2\ zł` 

Czas po jakim Ania będzie miała tyle oszczędności co Magda: `190\ zł - x*10\ zł` 

Porównajmy te wzory i obliczmy po ilu tygodniach dziewczynki będą miały tyle samo pieniędzy w skarbonkach:

`10\ zł + x*2\ zł = 190\ zł - x*10\ zł \ \ \ \ \ \ |+x*10\ zł` 
{premium}

`10\ zł + ul(x*2\ zł) + ul(x*10\ zł) = 190\ zł - strike(x*10\ zł) + strike(x*10\ zł)` 

`10\ zł + x*12\ zł = 190\ zł \ \ \ \ |-10\ zł` 

`x*12\ zł = 180\ zł \ \ \ \ \ |:12\ zł` 

`x = (180\ zł)/(12\ zł)` 

`x = 15` 

Odp.: Siostry będą miały tyle samo pieniędzy po 15 tygodniach.

 

`b)` 

Prędkość z jaką poruszał się pierwszy samochód: `v_1 = 60\ (km)/h` 

Prędkość z jaką poruszał się drugi samochód: `v_2 = 80\ (km)/h` 

Droga jaką pokonały oba pojazdy razem: `s = 280\ km` 

Wiemy, że samochody pokonały razem drogę s, czyli możemy ją zapisać jako sumę drogi pokonanej przez pierwszy samochód i drugi samochód:

`s = s_1 + s_2` 

gdzie s1 jest drogą pokonaną przez pierwszy samochód, s2 jest drogą pokonaną przez drugi samochód. Wiemy, że prędkość z jaką porusza się samochód w zależności od drogi jaką pokona i czasu przedstawiamy wzorem:

`v = s/t` 

gdzie v jest prędkością, s jest drogą, t jest czasem. Przekształćmy ten wzór, żeby wyznaczyć drogę:

`v = s/t \ \ \ \ \ |*t` 

`v*t=s` 

`s = v*t`  

Z tego wynika, że droga jaką pokonał pierwszy samochód będzie miała postać:

`s_1 = v_1*t` 

Droga jaką pokonał drugi samochód będzie miała postać:

`s_2 = v_2*t` 

Wiemy, że czas ruchu obydwu samochodów był taki sam, czyli możemy zapisać, że:

`s = s_1+s_2` 

`s = v_1*t + v_2*t` 

`s = (v_1 + v_2)*t \ \ \ \ \ \  |:(v_1 + v_2)` 

`s/(v_1 + v_2) = t` 

`t = s/(v_1 + v_2)` 

`t = (280\ km)/(60\ (km)/h + 80\ (km)/h)` 

`t = (280\ km)/(140\ (km)/h)` 

`t = (280\ strike(km)*h)/(140\ strike(km))` 

`t = 2\ h` 

Odp.: Samochody spotkały się po dwóch godzinach jazdy.

Zaznacz w tabeli znakiem + tylko te ...

Uzupełniona tabelka:

  Prostokąt Kwadrat Równoległobok Romb  Trapez
Przekątne są równej długości + +      
Przekątne przecinają się w połowie  + + + +  
Przekątne są prostopadłe   +   +  
Przekątna dzieli czworokąt na dwa trójkąty o równych polach + + + +  
Podstawa AB trapezu ABCD jest dwa razy...

Pole trójkąta obliczamy korzystając z wzoru:

`P=1/2*a*h` 

`a` - długość boku trójkąta

`h` - wysokość trójkąta opuszczona na bok `a` 


a) rysunek pomocniczy:




Wiemy, że:

`|AB|=2|DC|` 

Obliczmy pole trójkąta ABC:
{premium}
`P_(ABC)=1/2*|AB|*h= 1/2*2|DC|*h=|DC|*h`  


Obliczmy pole trójkąta ACD:

  
 `P_(ADC)=1/2*|DC|*h` 

Obliczmy ile razy większe jest pole trójkąta ABC od pola trójkąta ADC:

`(P_(ABC))/(P_(ADC))=(|DC|*h)/(1/2*|DC|*h)= 1*2/1=2` 


b) rysunek pomocniczy:




Wiemy, że:

`|AB|=2|DC|` 

Obliczmy pole trójkąta BEC:

`P_(BEC)=1/2*|CE|*h=1/2*|DC|*h` 

Obliczmy pole trapezu ABCD:

`P_(ABCD)=1/2*(|AB|+|DC|)*h= 1/2*(2|DC|+|DC|)*h=1/2*3|DC|*h` 


Obliczmy ile razy pole trójkąta BEC jest mniejsze od pola trapezu ABCD:

`(P_(BEC))/(P_(ABCD))=(1/2*|DC|*h)/(1/2*3|DC|*h)=1*3/1=3` 

Jedna z figur, F1, F2, F3 nie jest symetryczna do figury F względem jednego z zaznaczonych punktów.

a) F₁ jest symetryczna do F względem punktu znajdującego się po lewej stronie figury F. 
F₂ jest symetryczna do F względem punktu znajdującego się pod figurą F. {premium}

Należy skreślić figurę F₃. 


b) F₂ jest symetryczna do F względem punktu znajdującego się po prawej stronie i troszkę w dół od F. 
F₃ jest symetryczna do F względem punktu znajdującego się nad F.

Należy skreślić figurę F

Rzymianie liczyli lata od założenia Rzymu, co miało ...

a) Rzym założono w 753 r. p. n. e. Cesarstwo rzymskie upadło w 476 r. n.e.

Obliczamy, ile lat miał Rzym. 

{premium}

`753+476-1=1229-1=1228` 

Uwaga!!! Należy odjąć 1, gdyż nie ma roku 0. Z 1 r. p. n. e. od razu przechodzimy na 1 r. n. e. 

Rzym miał 1228 lat. Jego wiek zapisujemy w systemie rzymskim. 

`1228 \ - \ "MCCXXVIII"` 

 

b) Obecnie mamy 2018 rok. Obliczamy, którym rokiem od założenia Rzymu jest rok 2018. 

`2018+753-1=2771-1=2770` 

Uwaga!!! Należy odjąć 1, gdyż nie ma roku 0. Z 1 r. p. n. e. od razu przechodzimy na 1 r. n. e. 

Obecny rok byłby 2770 rokiem od założenia Rzymu. Zapisujemy to w systemie rzymskim. 

`2770 \ - \ "MMDCCLXX"` 

Sześć różnych obiektów...

Wykorzystamy wzór:

`v=s/t` 

`v` - prędkość

`s` - droga

`t` - czas

 

Powyższy wzór możemy przekształcić, aby otrzymać:

`v*t=s \ \ \ "oraz" \ \ \ t=s/v` 


  I II III IV V VI

Średnia prędkość

obiektu

`5 \ "m"/"s"`  `1,2 \ "km"/"h"`   `4 \ "km"/"h"`  `12,5 \ "km"/"h"` `3,5 \ "m"/"min"`  `45 \ "km"/"h"` {premium}

Droga przebyta

przez obiekt

`1,6 \ "km"`  `20 \ "cm"`  `240 \ "m"`  `50\ 000 \ "m"`  `315 \ "m"`  `18 \ "km"` 

Czas poruszania

się obiektu

`5 1/3 \ "min"`  `0,6 \ "s"`  `0,06 \"h"`  `4 \ "h"`  `1,5 \ "h"`  `24 \ "min"` 

 

Obliczenia:

I

`t=s/v` 

`1,6 \ "km"=1600 \ "m"` 

`t=(1600 \ "m")/(5 \"m"/s)=320 \ "s"=320* 1/60 \ "min"=32/6 \ "min"=5 2/6 \ "min"=5 1/3 \ "min"` 

 

II

`t=s/v` 

`20 \ "cm"=0,2 \"m"=0,0002 \ "km"` 

`t=(0,0002 \ "km")/(1,2 \ "km"/"h")=2/12000 \ "h"=1/6000 \ "h"=1/6000*60 \ "min"=1/100 \ "min"=1/100*60 \ "min"=6/10 \ "min"=0,6 \ "min"` 

 

III

`v=s/t` 

`240 \ "m"=0,24 \ "km"` 

`v=(0, 24 \ "km")/(0,06 h)=24/6 \ "km"/"h"=4 \ "km"/"h"` 

 

IV

`v=s/t` 

`50\ 000 \ "m"=50 \ "km"` 

`v=(50 \ "km")/(4 \ "h")=50/4 \ "km"/"h"=25/2 \ "km"/"h"=12,5 \ "km"/"h"` 

 

V

`s=v*t` 

`1,5 \ "h"=1,5*60 \ "min"=90 \ "min"` 

`s=3,5 \ "m"/"min"*90 \ "min"=315 \ "m"` 

 

VI

`s=v*t` 

`24 \ "min"=24*1/60 \ "h"=24/60 \ "h"=4/10 \ "h"=2/5 \ "h"` 

`s=45\ "km"/"h"*2/5 \ "h"=90/5 \ "km"=18 \ "km"` 

 

 

 

a) Korzystając z tego, że ...

a) Wiemy, że 1347 : 128 ≈ 10,523, czyli:

`1347:128=10 \ "r" \ square` 

Wykorzystując "sprawdzenie" obliczamy ile wynosi reszta z powyższego dzielenia. 

`10*128+square=1347` 

{premium}

`1280+square=1347 \ \ \ \ \ \ \ \ \ |-1280`

`square=67`   

Reszta wynosi 67

 

b) Wiemy, że 5992 : 48 ≈ 124,8, czyli:

`5992:48=124 \ "r" \ square` 

Wykorzystując "sprawdzenie" obliczamy ile wynosi reszta z powyższego dzielenia. 

`124*48+square=5992`

`5952+square=5992 \ \ \ \ \ \ \ \ \ |-5952`

`square=40`   

Reszta wynosi 40