Graniastosłupy - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Graniastosłupy - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Prostopadłościan i sześcian

Prostopadłościan to figura przestrzenna, której kształt przypomina pudełko lub akwarium.

Prostopadłościan

  • Każda ściana prostopadłościanu jest prostokątem.

  • Każdy prostopadłościan ma 6 ścian, 8 wierzchołków i 12 krawędzi.

  • Dwie ściany mające wspólną krawędź nazywamy prostopadłymi.

  • Dwie ściany, które nie mają wspólnej krawędzi, nazywamy równoległymi.

  • Każda ściana jest prostopadła do czterech ścian oraz równoległa do jednej ściany.


Z każdego wierzchołka wychodzą trzy krawędzie – jedną nazywamy długością, drugą – szerokością, trzecią – wysokością prostopadłościanu i oznaczamy je odpowiednio literami a, b, c.

Długości tych krawędzi nazywamy wymiarami prostopadłościanu.

a – długość prostopadłościanu, b – szerokość prostopadłościanu, c - wysokość prostopadłościanu.


Prostopadłościan, którego wszystkie ściany są jednakowymi kwadratami nazywamy sześcianem.

Wszystkie krawędzie sześcianu mają jednakową długość.

kwadrat

a - długość krawędzi sześcianu

Graniastosłup prosty

Graniastosłup prosty to graniastosłup, którego ściany boczne są prostopadłe do dwóch identycznych podstaw.

Podstawy graniastosłupa prostego to przystające wielokąty. Są do siebie równoległe. 

Każda ściana boczna graniastosłupa prostego jest prostokątem.

Krawędzie boczne graniastosłupa prostego mają jednakową długość.

Z dowolnego wierzchołka graniastosłupa prostego wychodzą trzy krawędzie. Jedna z nich jest krawędzią boczną, a pozostałe krawędziami podstawy.

Krawędź boczna jest prostopadła do każdej krawędzi podstawy.


Przykłady:

  • Prostopadłościan

  • Sześcian

  • Graniastosłup trójkątny (podstawą jest trójkąt)

  • Graniastosłup pięciokątny (podstawą jest pięciokąt), itd.


Wysokość graniastosłupa – to odcinek łączący podstawy graniastosłupa i prostopadły do każdej z nich.

W przypadku graniastosłupa prostego wysokością jest krawędź boczna.

Wysokość graniastosłupa oznaczamy literą H.

Graniastosłup prawidłowy

Graniastosłup prawidłowy to graniastosłup prosty, którego podstawą jest wielokąt foremny.


Przypomnienie:

Wielokąt foremny to wielokąt, którego wszystkie kąty wewnętrzne mają równe miary i wszystkie boki mają taką samą długość, np. kwadrat, trójkąt równoboczny, pięciokąt foremny. 


W graniastosłupie prawidłowym: 

  • podstawy to przystające wielokąty 

  • ściany boczne to przystające prostokąty

Graniastosłup przyjmuje swoją nazwę od wielokąta, który jest jego podstawą.
 

Przykłady: 

Siatki graniastosłupów prostych

Po rozcięciu wzdłuż kilku krawędzi powierzchni dowolnego graniastosłupa i rozłożeniu go na powierzchnię płaską powstanie jego siatka.

Jest to wielokąt złożony z mniejszych wielokątów – ścian graniastosłupa.

Ten sam graniastosłup może mieć kilka siatek.
 

Przykłady:

 Siatka graniastosłupa

Pole powierzchni graniastosłupa

Pole powierzchni graniastosłupa to suma pól wszystkich jego ścian.

Pole powierzchni składa się z pola powierzchni bocznej czyli sumy pól wszystkich ścian bocznych oraz z dwóch pól powierzchni identycznych podstaw. 

`P_c=2P_p+P_b`  

`P_c \ \ \ ->`    pole powierzchni całkowitej graniastosłupa 

`P_p \ \ \ ->`    pole podstawy graniastosłupa 

`P_b \ \ \ ->`    pole powierzchni bocznej graniastosłupa


Z powyższego wzoru możemy wyprowadzić wzór na pole powierzchni prostopadłościanu oraz sześcianu. 

Prostopadłościan:

`P_c=2P_p+P_b` 

`P_p=a*b=ab` 

`P_b=2*a*c+2*b*c=2ac+2bc` 

Zatem: 

`P_c=2ab+2ac+2bc=2(ab+ac+bc)`  


Sześcian: 

Wszystkie krawędzie sześcianu mają jednakową długość.

Wszystkie ściany są przystającymi kwadratami. Jest ich 6. 

`P_c=2P_p+P_b`

`P_p=a*a=a^2`  

`P_b=4*a*a=4a^2` 

Zatem:

`P_c=2a^2+4a^2=6a^2` 

Jednostki objętości

Objętość podaje się w jednostkach sześciennych.

Podstawowe jednostki objętości to:

  • milimetr sześcienny (`"mm"^3`),

  • centymetr sześcienny (`"cm"^3`),

  • decymetr sześcienny (`"dm"^3`),

  • metr sześcienny (`"m"^3`). 


Objętość różnego rodzaju płynów wyraża się w: 

  • mililitrach,  `1 \ "ml"=1 \ "cm"^3` 

  • litrach,   `1 \ "l"=1 \ "dm"^3`   

    `1 \ "l"=1000 \ "ml"`  

  • hektolitrach,  `1 \ "hl"=100 \ "l"`  

 

Przeliczanie jednostek:

`1 \ "cm"=10 \ "mm"` 

Czyli: 

`1 \ "cm"^3=1 \ "cm"*1 \ "cm"*1 \ "cm"=10 \ "mm"*10 \ "mm"*10 \ "mm"=1000 \ "mm"^3` 
  

`1 \ "dm"=10 \ "cm"` 

Czyli: 

`1 \ "dm"^3=1 \ "dm"*1 \ "dm"*1 \ "dm"=10 \ "cm"*10 \ "cm"*10 \ "cm"=1000 \ "cm"^3`    


`1 \ "m"=100 \ "cm"` 

Czyli: 

`1 \ "m"^3=1 \ "m"*1 \ "m"*1 \ "m"=100 \ "cm"*100 \ "cm"*100 \ "cm"=1 \ 000 \ 000 \ "cm"^3`   


`1 \ "l"=1 \ "dm"^3=1000 \ "cm"^3=1000 \ "ml"`  


Analogicznie jak powyżej możemy przeliczyć również inne jednostki. 

Objętość graniastosłupa

Objętość graniastosłupa to iloczyn pola podstawy i wysokości tego graniastosłupa. 

`V=P_p*H` 

`V \ \ \ ->`   objętość graniastosłupa 

`P_p \ \ \ ->`   pole podstawy 

`H \ \ \ ->`    długość wysokości graniastosłupa    


Z powyższego wzoru możemy wyprowadzić wzór na objętość prostopadłościanu oraz sześcianu.

Prostopadłościan: 

`V=P_p*H` 

`P_p=a*b=ab` 

`H=c` 

Zatem: 

`V=ab*c=abc`     


Sześcian: 

`V=P_p*H`  

`P_p=a*a=a^2` 

`H=a` 

Zatem: 

`V=a^2*a=a^3`   

 

Odcinki w graniastosłupach

W graniastosłupach rozróżniamy 3 różne odcinki:

  • przekątną podstawy

  • przekątną ściany bocznej

  • przekątną graniastosłupa - odcinek łączący dwa wierzchołki graniastosłupa i niezawierający się w żadnej ścianie


Uwaga!!!

Graniastosłup trójkątny nie ma przekątnej podstawy i przekątnej graniastosłupa. Posiada on tylko przekątną ściany bocznej. 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Punkty A=(5a+1, 4) ...

 

 

 

 

Zatem otrzymujemy:

{premium}  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Obliczmy współrzędne punktu A

 

 

 

 

Obliczmy współrzędne punktu B

 

 

 

 

W pewnym roku kwiecień rozpoczyna się w niedzielę. Czy prawdopodobieństwo...

Wiemy, że:

-w tym roku kwiecień rozpoczął się w niedzielę

-kwiecień ma 30 dni


Wypiszmy dni weekendu w kwietniu tego roku:

1; 7; 8; 14; {premium}15; 21; 22; 18; 29

Zdarzenie polega na tym, iż losujemy jeden dzień w kwietniu

Wszystkich możliwości wyników jest 30

Zdarzenie A polega na tym, iż losowo wybrany dzień nie przypadnie w weekend

wiemy, że w tym miesiącu było 9 dni przypadających w weekend

zatem dni nie przypadających w weekend czyli sprzyjających zdarzeniu A było:

30-9=21


Obliczmy prawdopodobieństwo zdarzenia A:

 


Odp.: Prawdopodobieństwo tego zdarzenia wynosi `7/10`.

Ile jest wszystkich liczb trzycyfrowych ...

Liczby trzycyfrowe, których suma cyfr wynosi 4 to: 

400, 103, 130, 301, {premium}310, 202, 220, 112, 121, 211. 

Jest 10 takich liczb.  


Obliczamy ile wynosi suma tych liczb. 

 


Obliczamy ile wynosi suma cyfr liczby 2110. 

 

Suma cyfr tej liczby wynosi 4, czyli nie dzieli się przez 9. Oznacza to, że liczba ta nie dzieli się przez 9. 


Odpowiedź: Wszystkich liczb trzycyfrowych, których suma cyfr wynosi 4, jest 10. Suma tych liczb nie jest podzielna przez 9. 

Uzasadnij, że wszystkie trójkąty...

100-kąt foremny ma wszystkie boki tej samej długości i  {premium}  wszystkie kąty wewnętrzne tej samej miary

zatem na mocy cechy przystawania bok-kąt-bok wiemy, że wszystkie trójkąty wyznaczone przez

trzy kolejne wierzchołki 100- kąta foremnego są przystające.

Które trapezy mają równe ...

I.  Trapez składa się z czterech trójkątów prostokątnych: 

  • o przyprostokątnych długości 3 

  • o przyprostokątnych długości 3 i 8 - 2 trójkąty 

  • o przyprostokątnych długości 8 {premium}

 


II. 
Trapez składa się z czterech trójkątów prostokątnych: 

  • o przyprostokątnych długości 5 

  • o przyprostokątnych długości 5 i 10 - 2 trójkąty 

  • o przyprostokątnych długości 10

 


III.  Trapez składa się z czterech trójkątów prostokątnych: 

  • o przyprostokątnych długości 6 

  • o przyprostokątnych długości 6 i 9 - 2 trójkąty 

  • o przyprostokątnych długości 9

 


IV. Trapez składa się z czterech trójkątów prostokątnych: 

  • o przyprostokątnych długości 4 

  • o przyprostokątnych długości 4 i 7 - 2 trójkąty 

  • o przyprostokątnych długości 7

 


Trapezy o równych polach to:  

 

  

Trapezy I i IV oraz II i III mają równe pola. 

Wojtek gra w grę planszową, w której pionek porusza się o tyle pól,...

Zdarzenie polega na jednokrotnym rzucie kostką.

Wszystkie możliwe wyniki tego doświadczenia to:

 

Wszystkich możliwych wyników jest 6

zauważmy, że Wojtek przesunie pionek na pole z pułapką jeśli wyrzuci liczbę oczek 2 lub 5

zatem:{premium}

zdarzenie A polega na tym, że wypadnie liczba oczek różna od 2 i 5

 

zdarzeniu A sprzyjają 4 wyniki

Prawdopodobieństwo zdarzenia A wynosi:

 


Czy to prawda, że:

 

 

 

PRAWDA


 

 

 

 

 

 

 

FAŁSZ


 

 

 

 

 

PRAWDA


 

 

 

  

FAŁSZ

Zapisz w postaci jednej potęgi:

 

{premium}

 


 
 

  

Wybierz poprawne dokończenie zdania...

Wszystkie krawędzie ostrosłupa mają taką samą długość . Oznacza to, że jego ściany boczne są trójkątami równobocznymi, a w takim razie podstawa musi być kwadratem. Z tego wynika, że pole podstawy będzie wynosiło:

 

Pole jednej {premium}ściany bocznej będzie wynosiło:

 

 

Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa wynosi:

 

 

 

 

 

 

Odpowiedź:  

W ósmej klasie uczniowie...

Z diagramu odczytujemy, że liczba poszczególnych kolorów koszulek wynosi:

 białe: ,

 czerwone: ,

 zielone: ,{premium}

 niebieskie: .

Liczba wszystkich koszulek wynosi

 

Z tego wynika, że częstość występowania dla poszczególnych kolorów koszulek wynosi:

 białe: ,

 czerwone: ,

 zielone: ,

 niebieskie: .