Graniastosłupy - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Graniastosłupy - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Prostopadłościan i sześcian

Prostopadłościan to figura przestrzenna, której kształt przypomina pudełko lub akwarium.

Prostopadłościan

  • Każda ściana prostopadłościanu jest prostokątem.

  • Każdy prostopadłościan ma 6 ścian, 8 wierzchołków i 12 krawędzi.

  • Dwie ściany mające wspólną krawędź nazywamy prostopadłymi.

  • Dwie ściany, które nie mają wspólnej krawędzi, nazywamy równoległymi.

  • Każda ściana jest prostopadła do czterech ścian oraz równoległa do jednej ściany.


Z każdego wierzchołka wychodzą trzy krawędzie – jedną nazywamy długością, drugą – szerokością, trzecią – wysokością prostopadłościanu i oznaczamy je odpowiednio literami a, b, c.

Długości tych krawędzi nazywamy wymiarami prostopadłościanu.

a – długość prostopadłościanu, b – szerokość prostopadłościanu, c - wysokość prostopadłościanu.


Prostopadłościan, którego wszystkie ściany są jednakowymi kwadratami nazywamy sześcianem.

Wszystkie krawędzie sześcianu mają jednakową długość.

kwadrat

a - długość krawędzi sześcianu

Graniastosłup prosty

Graniastosłup prosty to graniastosłup, którego ściany boczne są prostopadłe do dwóch identycznych podstaw.

Podstawy graniastosłupa prostego to przystające wielokąty. Są do siebie równoległe. 

Każda ściana boczna graniastosłupa prostego jest prostokątem.

Krawędzie boczne graniastosłupa prostego mają jednakową długość.

Z dowolnego wierzchołka graniastosłupa prostego wychodzą trzy krawędzie. Jedna z nich jest krawędzią boczną, a pozostałe krawędziami podstawy.

Krawędź boczna jest prostopadła do każdej krawędzi podstawy.


Przykłady:

  • Prostopadłościan

  • Sześcian

  • Graniastosłup trójkątny (podstawą jest trójkąt)

  • Graniastosłup pięciokątny (podstawą jest pięciokąt), itd.


Wysokość graniastosłupa – to odcinek łączący podstawy graniastosłupa i prostopadły do każdej z nich.

W przypadku graniastosłupa prostego wysokością jest krawędź boczna.

Wysokość graniastosłupa oznaczamy literą H.

Graniastosłup prawidłowy

Graniastosłup prawidłowy to graniastosłup prosty, którego podstawą jest wielokąt foremny.


Przypomnienie:

Wielokąt foremny to wielokąt, którego wszystkie kąty wewnętrzne mają równe miary i wszystkie boki mają taką samą długość, np. kwadrat, trójkąt równoboczny, pięciokąt foremny. 


W graniastosłupie prawidłowym: 

  • podstawy to przystające wielokąty 

  • ściany boczne to przystające prostokąty

Graniastosłup przyjmuje swoją nazwę od wielokąta, który jest jego podstawą.
 

Przykłady: 

Siatki graniastosłupów prostych

Po rozcięciu wzdłuż kilku krawędzi powierzchni dowolnego graniastosłupa i rozłożeniu go na powierzchnię płaską powstanie jego siatka.

Jest to wielokąt złożony z mniejszych wielokątów – ścian graniastosłupa.

Ten sam graniastosłup może mieć kilka siatek.
 

Przykłady:

 Siatka graniastosłupa

Pole powierzchni graniastosłupa

Pole powierzchni graniastosłupa to suma pól wszystkich jego ścian.

Pole powierzchni składa się z pola powierzchni bocznej czyli sumy pól wszystkich ścian bocznych oraz z dwóch pól powierzchni identycznych podstaw. 

`P_c=2P_p+P_b`  

`P_c \ \ \ ->`    pole powierzchni całkowitej graniastosłupa 

`P_p \ \ \ ->`    pole podstawy graniastosłupa 

`P_b \ \ \ ->`    pole powierzchni bocznej graniastosłupa


Z powyższego wzoru możemy wyprowadzić wzór na pole powierzchni prostopadłościanu oraz sześcianu. 

Prostopadłościan:

`P_c=2P_p+P_b` 

`P_p=a*b=ab` 

`P_b=2*a*c+2*b*c=2ac+2bc` 

Zatem: 

`P_c=2ab+2ac+2bc=2(ab+ac+bc)`  


Sześcian: 

Wszystkie krawędzie sześcianu mają jednakową długość.

Wszystkie ściany są przystającymi kwadratami. Jest ich 6. 

`P_c=2P_p+P_b`

`P_p=a*a=a^2`  

`P_b=4*a*a=4a^2` 

Zatem:

`P_c=2a^2+4a^2=6a^2` 

Jednostki objętości

Objętość podaje się w jednostkach sześciennych.

Podstawowe jednostki objętości to:

  • milimetr sześcienny (`"mm"^3`),

  • centymetr sześcienny (`"cm"^3`),

  • decymetr sześcienny (`"dm"^3`),

  • metr sześcienny (`"m"^3`). 


Objętość różnego rodzaju płynów wyraża się w: 

  • mililitrach,  `1 \ "ml"=1 \ "cm"^3` 

  • litrach,   `1 \ "l"=1 \ "dm"^3`   

    `1 \ "l"=1000 \ "ml"`  

  • hektolitrach,  `1 \ "hl"=100 \ "l"`  

 

Przeliczanie jednostek:

`1 \ "cm"=10 \ "mm"` 

Czyli: 

`1 \ "cm"^3=1 \ "cm"*1 \ "cm"*1 \ "cm"=10 \ "mm"*10 \ "mm"*10 \ "mm"=1000 \ "mm"^3` 
  

`1 \ "dm"=10 \ "cm"` 

Czyli: 

`1 \ "dm"^3=1 \ "dm"*1 \ "dm"*1 \ "dm"=10 \ "cm"*10 \ "cm"*10 \ "cm"=1000 \ "cm"^3`    


`1 \ "m"=100 \ "cm"` 

Czyli: 

`1 \ "m"^3=1 \ "m"*1 \ "m"*1 \ "m"=100 \ "cm"*100 \ "cm"*100 \ "cm"=1 \ 000 \ 000 \ "cm"^3`   


`1 \ "l"=1 \ "dm"^3=1000 \ "cm"^3=1000 \ "ml"`  


Analogicznie jak powyżej możemy przeliczyć również inne jednostki. 

Objętość graniastosłupa

Objętość graniastosłupa to iloczyn pola podstawy i wysokości tego graniastosłupa. 

`V=P_p*H` 

`V \ \ \ ->`   objętość graniastosłupa 

`P_p \ \ \ ->`   pole podstawy 

`H \ \ \ ->`    długość wysokości graniastosłupa    


Z powyższego wzoru możemy wyprowadzić wzór na objętość prostopadłościanu oraz sześcianu.

Prostopadłościan: 

`V=P_p*H` 

`P_p=a*b=ab` 

`H=c` 

Zatem: 

`V=ab*c=abc`     


Sześcian: 

`V=P_p*H`  

`P_p=a*a=a^2` 

`H=a` 

Zatem: 

`V=a^2*a=a^3`   

 

Odcinki w graniastosłupach

W graniastosłupach rozróżniamy 3 różne odcinki:

  • przekątną podstawy

  • przekątną ściany bocznej

  • przekątną graniastosłupa - odcinek łączący dwa wierzchołki graniastosłupa i niezawierający się w żadnej ścianie


Uwaga!!!

Graniastosłup trójkątny nie ma przekątnej podstawy i przekątnej graniastosłupa. Posiada on tylko przekątną ściany bocznej. 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Przekątna pewnego trapezu zawiera się w ...

Wiemy, że przekątna trapezu, który nie jest trapezem równoramiennym, zawiera się w dwusiecznej kąta ostrego.

Wykonujemy rysunek pomocniczy.{premium}

podglad pliku

Podstawy trapezu są równoległe. 

podglad pliku

Zauważmy, że kąty  i  są naprzemianległe, zatem trójkąt utworzony z przekątnej trapezu, górnej podstawy i jednego z ramion jest równoramienny. Oznacza to, że boki zaznaczone kolorem zielonym są równe.

Prostokąt ABCD jest symetryczny do prostokąta ...

{premium}


Dłuższy bok prostokąta ABCD ma długość:
 


Krótszy bok prostokąta ABCD ma długość:
 


Boki prostokąta ABCD mają więc długość 15 i 7. 


Jego obwód to:
 


Odpowiedź: Obwód prostokąta ABCD wynosi 44. 

Obręcz drewnianej beczki wykonujemy z paska ...

Aby obliczyć długość okręgu  o promieniu , stosujemy wzór:

 

Średnica  okręgu o promieniu  jest równa: . Zatem długość okręgu  o średnicy  możemy obliczyć również stosując poniższy wzór:

 


Średnica beczki w miejscu o największym obwodzie jest równa .{premium}

Korzystamy ze wzoru: , aby obliczyć obwód koła o średnicy .

 


Pamiętamy, że do tej długości należy doliczyć jeszcze  paska jako zakładkę potrzebną do nitowania.

Obliczamy, ile centymetrów paska potrzeba na wykonanie największej obręczy beczki.

 

Układając obok siebie przystające...

Przykładowe rozwiązania:

podglad pliku{premium}
Thumb zad17bs68

Wykaż, że liczba...

Zauważmy, że:

    {premium}

 

 


ta liczba jest równa 3, zatem jest to liczba naturalna

a) Dwa boki trójkąta mają...

 

Każdy bok trójkąta ma długość mniejszą od sumy długości dwóch pozostałych boków. W naszym przypadku boku trójkąta mają długość:   

Ich suma wynosi:  
{premium}

Oznacza to, że trzeci bok tego trójkąta może mieć długość  , ale jego długość nie może wynosić  

 

 

Suma miar kątów wewnętrznych w każdym trójkącie wynosi  

Oznacza to, że trzeci kąt tego trójkąta wynosi:

 

  

 

Uzupełnij zdania.

Pierwsze zdanie

 
{premium}

  


Drugie zdanie

1 godzina to 3600 sekund. 

Zatem: 

 


Trzecie zdanie

1 km = 1000 m = 100 000 cm 

Zatem: 

   


Czwarte zdanie

1 km = 1000 m 

1 h = 60 min 

Zatem: 

 

Oblicz objętość ostrosłupa trójkątnego, w którym ...

Podstawą ostrosłupa jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 3 cm i 5 cm. 

Obliczamy ile wynosi pole podstawy. {premium}

  


Krawędź prostopadła do płaszczyzny podstawy jest wysokością tego ostrosłupa. 

Wysokość ma więc długość 4 cm. 

 


Obliczamy ile wynosi objętość ostrosłupa. 

Zatem: 

 


Odpowiedź
: Objętość ostrosłupa wynosi 10 cm3

Rzucamy dwa razy czworościenną kostką do ...

Wypisujemy wszystkie możliwe wyniki doświadczenia losowego w tabeli.

I rzut \ II rzut        
       
       
       
       


a)

Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych:{premium}

 


Zdarzenia elementarne sprzyjające temu zdarzeniu:

 


Liczba zdarzeń elementarnych sprzyjających temu zdarzeniu.

 


Prawdopodobieństwo tego zdarzenia jest wiec równe:

 


b)

Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych:

 


Nie ma zdarzeń elementarnych sprzyjające temu zdarzeniu, ponieważ największą sumą, jaką możemy otrzymać jest .


Liczba zdarzeń elementarnych sprzyjających temu zdarzeniu.

 


Prawdopodobieństwo tego zdarzenia jest wiec równe:

 


c)

Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych:

 


Zdarzenia elementarne sprzyjające temu zdarzeniu:

 


Liczba zdarzeń elementarnych sprzyjających temu zdarzeniu.

 


Prawdopodobieństwo tego zdarzenia jest wiec równe:

 

Oblicz wysokość trapezu, a następnie jego pole.

{premium}