Graniastosłupy - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Prostopadłościan i sześcian

Prostopadłościan to figura przestrzenna, której kształt przypomina pudełko lub akwarium.

Prostopadłościan

  • Każda ściana prostopadłościanu jest prostokątem.

  • Każdy prostopadłościan ma 6 ścian, 8 wierzchołków i 12 krawędzi.

  • Dwie ściany mające wspólną krawędź nazywamy prostopadłymi.

  • Dwie ściany, które nie mają wspólnej krawędzi, nazywamy równoległymi.

  • Każda ściana jest prostopadła do czterech ścian oraz równoległa do jednej ściany.


Z każdego wierzchołka wychodzą trzy krawędzie – jedną nazywamy długością, drugą – szerokością, trzecią – wysokością prostopadłościanu i oznaczamy je odpowiednio literami a, b, c.

Długości tych krawędzi nazywamy wymiarami prostopadłościanu.

a – długość prostopadłościanu, b – szerokość prostopadłościanu, c - wysokość prostopadłościanu.


Prostopadłościan, którego wszystkie ściany są jednakowymi kwadratami nazywamy sześcianem.

Wszystkie krawędzie sześcianu mają jednakową długość.

kwadrat

a - długość krawędzi sześcianu

Graniastosłup prosty

Graniastosłup prosty to graniastosłup, którego ściany boczne są prostopadłe do dwóch identycznych podstaw.

Podstawy graniastosłupa prostego to przystające wielokąty. Są do siebie równoległe. 

Każda ściana boczna graniastosłupa prostego jest prostokątem.

Krawędzie boczne graniastosłupa prostego mają jednakową długość.

Z dowolnego wierzchołka graniastosłupa prostego wychodzą trzy krawędzie. Jedna z nich jest krawędzią boczną, a pozostałe krawędziami podstawy.

Krawędź boczna jest prostopadła do każdej krawędzi podstawy.


Przykłady:

  • Prostopadłościan

  • Sześcian

  • Graniastosłup trójkątny (podstawą jest trójkąt)

  • Graniastosłup pięciokątny (podstawą jest pięciokąt), itd.


Wysokość graniastosłupa – to odcinek łączący podstawy graniastosłupa i prostopadły do każdej z nich.

W przypadku graniastosłupa prostego wysokością jest krawędź boczna.

Wysokość graniastosłupa oznaczamy literą H.

Graniastosłup prawidłowy

Graniastosłup prawidłowy to graniastosłup prosty, którego podstawą jest wielokąt foremny.


Przypomnienie:

Wielokąt foremny to wielokąt, którego wszystkie kąty wewnętrzne mają równe miary i wszystkie boki mają taką samą długość, np. kwadrat, trójkąt równoboczny, pięciokąt foremny. 


W graniastosłupie prawidłowym: 

  • podstawy to przystające wielokąty 

  • ściany boczne to przystające prostokąty

Graniastosłup przyjmuje swoją nazwę od wielokąta, który jest jego podstawą.
 

Przykłady: 

Siatki graniastosłupów prostych

Po rozcięciu wzdłuż kilku krawędzi powierzchni dowolnego graniastosłupa i rozłożeniu go na powierzchnię płaską powstanie jego siatka.

Jest to wielokąt złożony z mniejszych wielokątów – ścian graniastosłupa.

Ten sam graniastosłup może mieć kilka siatek.
 

Przykłady:

 Siatka graniastosłupa

Pole powierzchni graniastosłupa

Pole powierzchni graniastosłupa to suma pól wszystkich jego ścian.

Pole powierzchni składa się z pola powierzchni bocznej czyli sumy pól wszystkich ścian bocznych oraz z dwóch pól powierzchni identycznych podstaw. 

`P_c=2P_p+P_b`  

`P_c \ \ \ ->`    pole powierzchni całkowitej graniastosłupa 

`P_p \ \ \ ->`    pole podstawy graniastosłupa 

`P_b \ \ \ ->`    pole powierzchni bocznej graniastosłupa


Z powyższego wzoru możemy wyprowadzić wzór na pole powierzchni prostopadłościanu oraz sześcianu. 

Prostopadłościan:

`P_c=2P_p+P_b` 

`P_p=a*b=ab` 

`P_b=2*a*c+2*b*c=2ac+2bc` 

Zatem: 

`P_c=2ab+2ac+2bc=2(ab+ac+bc)`  


Sześcian: 

Wszystkie krawędzie sześcianu mają jednakową długość.

Wszystkie ściany są przystającymi kwadratami. Jest ich 6. 

`P_c=2P_p+P_b`

`P_p=a*a=a^2`  

`P_b=4*a*a=4a^2` 

Zatem:

`P_c=2a^2+4a^2=6a^2` 

Jednostki objętości

Objętość podaje się w jednostkach sześciennych.

Podstawowe jednostki objętości to:

  • milimetr sześcienny (`"mm"^3`),

  • centymetr sześcienny (`"cm"^3`),

  • decymetr sześcienny (`"dm"^3`),

  • metr sześcienny (`"m"^3`). 


Objętość różnego rodzaju płynów wyraża się w: 

  • mililitrach,  `1 \ "ml"=1 \ "cm"^3` 

  • litrach,   `1 \ "l"=1 \ "dm"^3`   

    `1 \ "l"=1000 \ "ml"`  

  • hektolitrach,  `1 \ "hl"=100 \ "l"`  

 

Przeliczanie jednostek:

`1 \ "cm"=10 \ "mm"` 

Czyli: 

`1 \ "cm"^3=1 \ "cm"*1 \ "cm"*1 \ "cm"=10 \ "mm"*10 \ "mm"*10 \ "mm"=1000 \ "mm"^3` 
  

`1 \ "dm"=10 \ "cm"` 

Czyli: 

`1 \ "dm"^3=1 \ "dm"*1 \ "dm"*1 \ "dm"=10 \ "cm"*10 \ "cm"*10 \ "cm"=1000 \ "cm"^3`    


`1 \ "m"=100 \ "cm"` 

Czyli: 

`1 \ "m"^3=1 \ "m"*1 \ "m"*1 \ "m"=100 \ "cm"*100 \ "cm"*100 \ "cm"=1 \ 000 \ 000 \ "cm"^3`   


`1 \ "l"=1 \ "dm"^3=1000 \ "cm"^3=1000 \ "ml"`  


Analogicznie jak powyżej możemy przeliczyć również inne jednostki. 

Objętość graniastosłupa

Objętość graniastosłupa to iloczyn pola podstawy i wysokości tego graniastosłupa. 

`V=P_p*H` 

`V \ \ \ ->`   objętość graniastosłupa 

`P_p \ \ \ ->`   pole podstawy 

`H \ \ \ ->`    długość wysokości graniastosłupa    


Z powyższego wzoru możemy wyprowadzić wzór na objętość prostopadłościanu oraz sześcianu.

Prostopadłościan: 

`V=P_p*H` 

`P_p=a*b=ab` 

`H=c` 

Zatem: 

`V=ab*c=abc`     


Sześcian: 

`V=P_p*H`  

`P_p=a*a=a^2` 

`H=a` 

Zatem: 

`V=a^2*a=a^3`   

 

Odcinki w graniastosłupach

W graniastosłupach rozróżniamy 3 różne odcinki:

  • przekątną podstawy

  • przekątną ściany bocznej

  • przekątną graniastosłupa - odcinek łączący dwa wierzchołki graniastosłupa i niezawierający się w żadnej ścianie


Uwaga!!!

Graniastosłup trójkątny nie ma przekątnej podstawy i przekątnej graniastosłupa. Posiada on tylko przekątną ściany bocznej. 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Tomek biega codziennie. Od poniedziałku ...

Tomek od poniedziałku do niedzieli (czyli przez 7 dni) przebiegł kolejno:

rownanie matematyczne

 

Obliczamy średnią liczbę kilometrów pokonywaną dziennie przez Tomka:

rownanie matematyczne  
{premium}


Wyznaczamy medinę:

- porzadkujemy dane od najmniejszej do największej:

rownanie matematyczne   

- jest nieparzysta liczba danych więc medianą jest wartość znajdująca się na środku (na czwartym miejscu):

rownanie matematyczne 

 

Odp.: Średnia liczba kilometrów pokonywanych dziennie przez Tomka jest mniejsza niż mediana.

Czy równoległobok o wierzchołkach...

rownanie matematyczne 

Podane mamy wierzchołki czworokąta:

rownanie matematyczne 

Zaznaczmy te punkty w układzie współrzędnych:

podglad pliku

Jeżeli czworokąt o podanych wierzchołkach byłby rombem to miałby wszystkie boki równej długości. Z tego wynika, że powinna być wówczas spełniona zależność:

rownanie matematyczne 

Obliczamy długości tych odcinków:

rownanie matematyczne odcinek AB:

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne odcinek BC:

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne odcinek CD:{premium}

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne odcinek AD:

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne

Ponieważ spełniona jest zależność rownanie matematyczne to czworokąt jest rombem.


rownanie matematyczne 

Przekątne rombu to rownanie matematyczne i rownanie matematyczne.  Obliczamy długości tych odcinków. Odcinek rownanie matematyczne:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Odcinek rownanie matematyczne:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Odpowiedź: Długości przekątnych wynoszą rownanie matematyczne i rownanie matematyczne.


rownanie matematyczne 

W rombie przekątne przecinają się w połowie. Współrzędne środka odcinka będącego jedną z przekątnych będą wynosiły:

rownanie matematyczne 

Odpowiedź: Punkt przecięcia się przekątnych rombu wynosi rownanie matematyczne.

Oblicz...

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne {premium}

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Jaką liczbę należy dodać do licznika i mianownika ułamka ...

rownanie matematyczne 


Możemy napisać równanie:   {premium}

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

 

rownanie matematyczne 


Odpowiedź: Do licznika i mianownika tego ułamka należy dodać 1

Obwód prostokąta wynosi...

Dane:

Obwód prostokąta: rownanie matematyczne 

Długość jednego boku: rownanie matematyczne 

Długość drugiego boku: rownanie matematyczne 

Szukane:

Pole prostokąta w skali rownanie matematycznerownanie matematyczne 

Rozwiązanie:

Znamy obwód prostokąta. Zapiszmy równanie opisujące go i wyznaczmy długość jednego z boków:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne {premium}

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Czyli:

rownanie matematyczne 

Wówczas długość drugiego boku wynosi:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Mamy podaną skalę prostokąta. Długości boków tego prostokąta w skali rownanie matematyczne będą wynosiły:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Wówczas pole tego prostokąta w tej skali wynosi:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Odp.: Pole prostokąta w skali rownanie matematyczne wynosi rownanie matematyczne.

Narysuj w zeszycie dowolny odcinek AB ...

{premium}

Dla poniżej opisanych sytuacji...

a)

{premium}

Na 25 sposobów można wytypować zwycięzców.

 

b)

Na 20 sposobów można wytypować dwóch zawodników, którzy jako pierwsi dotrą do mety.

Jaką liczbę należy wstawić...

Mamy równanie postaci:

rownanie matematyczne 

Chcemy, aby rozwiązaniem tego zadania była liczba rownanie matematyczne. Wówczas liczba rownanie matematyczne to:

rownanie matematyczne {premium}

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

W miejscu liczby rownanie matematyczne należy wstawić liczbę rownanie matematyczne.

Wykonaj...

Korzystamy z wzoru:

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne {premium}

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Te spośród podanych liczb, które są liczbami naturalnymi, zakreśl kolorem niebieskim,...

Każda liczba naturalna jest liczbą całkowitą i wymierną
Każda liczba całkowita jest liczbą wymierną ale nie musi być liczbą naturalną
Jeśli liczba jest wymierna to nie może być jednocześnie niewymierna.

{premium}