Graniastosłupy - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Graniastosłupy - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Prostopadłościan i sześcian

Prostopadłościan to figura przestrzenna, której kształt przypomina pudełko lub akwarium.

Prostopadłościan

  • Każda ściana prostopadłościanu jest prostokątem.

  • Każdy prostopadłościan ma 6 ścian, 8 wierzchołków i 12 krawędzi.

  • Dwie ściany mające wspólną krawędź nazywamy prostopadłymi.

  • Dwie ściany, które nie mają wspólnej krawędzi, nazywamy równoległymi.

  • Każda ściana jest prostopadła do czterech ścian oraz równoległa do jednej ściany.


Z każdego wierzchołka wychodzą trzy krawędzie – jedną nazywamy długością, drugą – szerokością, trzecią – wysokością prostopadłościanu i oznaczamy je odpowiednio literami a, b, c.

Długości tych krawędzi nazywamy wymiarami prostopadłościanu.

a – długość prostopadłościanu, b – szerokość prostopadłościanu, c - wysokość prostopadłościanu.


Prostopadłościan, którego wszystkie ściany są jednakowymi kwadratami nazywamy sześcianem.

Wszystkie krawędzie sześcianu mają jednakową długość.

kwadrat

a - długość krawędzi sześcianu

Graniastosłup prosty

Graniastosłup prosty to graniastosłup, którego ściany boczne są prostopadłe do dwóch identycznych podstaw.

Podstawy graniastosłupa prostego to przystające wielokąty. Są do siebie równoległe. 

Każda ściana boczna graniastosłupa prostego jest prostokątem.

Krawędzie boczne graniastosłupa prostego mają jednakową długość.

Z dowolnego wierzchołka graniastosłupa prostego wychodzą trzy krawędzie. Jedna z nich jest krawędzią boczną, a pozostałe krawędziami podstawy.

Krawędź boczna jest prostopadła do każdej krawędzi podstawy.


Przykłady:

  • Prostopadłościan

  • Sześcian

  • Graniastosłup trójkątny (podstawą jest trójkąt)

  • Graniastosłup pięciokątny (podstawą jest pięciokąt), itd.


Wysokość graniastosłupa – to odcinek łączący podstawy graniastosłupa i prostopadły do każdej z nich.

W przypadku graniastosłupa prostego wysokością jest krawędź boczna.

Wysokość graniastosłupa oznaczamy literą H.

Graniastosłup prawidłowy

Graniastosłup prawidłowy to graniastosłup prosty, którego podstawą jest wielokąt foremny.


Przypomnienie:

Wielokąt foremny to wielokąt, którego wszystkie kąty wewnętrzne mają równe miary i wszystkie boki mają taką samą długość, np. kwadrat, trójkąt równoboczny, pięciokąt foremny. 


W graniastosłupie prawidłowym: 

  • podstawy to przystające wielokąty 

  • ściany boczne to przystające prostokąty

Graniastosłup przyjmuje swoją nazwę od wielokąta, który jest jego podstawą.
 

Przykłady: 

Siatki graniastosłupów prostych

Po rozcięciu wzdłuż kilku krawędzi powierzchni dowolnego graniastosłupa i rozłożeniu go na powierzchnię płaską powstanie jego siatka.

Jest to wielokąt złożony z mniejszych wielokątów – ścian graniastosłupa.

Ten sam graniastosłup może mieć kilka siatek.
 

Przykłady:

 Siatka graniastosłupa

Pole powierzchni graniastosłupa

Pole powierzchni graniastosłupa to suma pól wszystkich jego ścian.

Pole powierzchni składa się z pola powierzchni bocznej czyli sumy pól wszystkich ścian bocznych oraz z dwóch pól powierzchni identycznych podstaw. 

`P_c=2P_p+P_b`  

`P_c \ \ \ ->`    pole powierzchni całkowitej graniastosłupa 

`P_p \ \ \ ->`    pole podstawy graniastosłupa 

`P_b \ \ \ ->`    pole powierzchni bocznej graniastosłupa


Z powyższego wzoru możemy wyprowadzić wzór na pole powierzchni prostopadłościanu oraz sześcianu. 

Prostopadłościan:

`P_c=2P_p+P_b` 

`P_p=a*b=ab` 

`P_b=2*a*c+2*b*c=2ac+2bc` 

Zatem: 

`P_c=2ab+2ac+2bc=2(ab+ac+bc)`  


Sześcian: 

Wszystkie krawędzie sześcianu mają jednakową długość.

Wszystkie ściany są przystającymi kwadratami. Jest ich 6. 

`P_c=2P_p+P_b`

`P_p=a*a=a^2`  

`P_b=4*a*a=4a^2` 

Zatem:

`P_c=2a^2+4a^2=6a^2` 

Jednostki objętości

Objętość podaje się w jednostkach sześciennych.

Podstawowe jednostki objętości to:

  • milimetr sześcienny (`"mm"^3`),

  • centymetr sześcienny (`"cm"^3`),

  • decymetr sześcienny (`"dm"^3`),

  • metr sześcienny (`"m"^3`). 


Objętość różnego rodzaju płynów wyraża się w: 

  • mililitrach,  `1 \ "ml"=1 \ "cm"^3` 

  • litrach,   `1 \ "l"=1 \ "dm"^3`   

    `1 \ "l"=1000 \ "ml"`  

  • hektolitrach,  `1 \ "hl"=100 \ "l"`  

 

Przeliczanie jednostek:

`1 \ "cm"=10 \ "mm"` 

Czyli: 

`1 \ "cm"^3=1 \ "cm"*1 \ "cm"*1 \ "cm"=10 \ "mm"*10 \ "mm"*10 \ "mm"=1000 \ "mm"^3` 
  

`1 \ "dm"=10 \ "cm"` 

Czyli: 

`1 \ "dm"^3=1 \ "dm"*1 \ "dm"*1 \ "dm"=10 \ "cm"*10 \ "cm"*10 \ "cm"=1000 \ "cm"^3`    


`1 \ "m"=100 \ "cm"` 

Czyli: 

`1 \ "m"^3=1 \ "m"*1 \ "m"*1 \ "m"=100 \ "cm"*100 \ "cm"*100 \ "cm"=1 \ 000 \ 000 \ "cm"^3`   


`1 \ "l"=1 \ "dm"^3=1000 \ "cm"^3=1000 \ "ml"`  


Analogicznie jak powyżej możemy przeliczyć również inne jednostki. 

Objętość graniastosłupa

Objętość graniastosłupa to iloczyn pola podstawy i wysokości tego graniastosłupa. 

`V=P_p*H` 

`V \ \ \ ->`   objętość graniastosłupa 

`P_p \ \ \ ->`   pole podstawy 

`H \ \ \ ->`    długość wysokości graniastosłupa    


Z powyższego wzoru możemy wyprowadzić wzór na objętość prostopadłościanu oraz sześcianu.

Prostopadłościan: 

`V=P_p*H` 

`P_p=a*b=ab` 

`H=c` 

Zatem: 

`V=ab*c=abc`     


Sześcian: 

`V=P_p*H`  

`P_p=a*a=a^2` 

`H=a` 

Zatem: 

`V=a^2*a=a^3`   

 

Odcinki w graniastosłupach

W graniastosłupach rozróżniamy 3 różne odcinki:

  • przekątną podstawy

  • przekątną ściany bocznej

  • przekątną graniastosłupa - odcinek łączący dwa wierzchołki graniastosłupa i niezawierający się w żadnej ścianie


Uwaga!!!

Graniastosłup trójkątny nie ma przekątnej podstawy i przekątnej graniastosłupa. Posiada on tylko przekątną ściany bocznej. 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Jak zmieni się pole koła...

Początkowo średnica koła wynosi:  

Następnie średnicę tą zwiększamy o , czyli wynosi ona: 

 

 

 

 

Wówczas promienie dla poszczególnych kół wynoszą:{premium}

 

 

Pole każdego z tych kół wynosi:

 

 

Obliczamy ile razy zwiększyło się pole koła:

 

Obliczamy o ile wzrosło to pole:

 

Obliczmy o ile procent wzrosło:

 

 

 

 

 

 

 

 

Odpowiedź:

 Zwiększy się o .

 Zwiększy się  razy.

Objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego...

Objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego obliczamy korzystając z  wzoru:

 

gdzie

  -długość krawędzi podstawy

  -długość wysokości ostrosłupa


    {premium}

 

 

 

Obliczmy obwód podstawy tego ostrosłupa:

 

Odp.: D


Iloczynem liczb 56 i 35 jest ...

Obliczamy iloczyn licz  i .{premium}

podglad pliku

Liczba  zapisana w systemie rzymskim to:  


Odpowiedź: A

Krysia i jej starszy brak mają ...

  - wiek Jędrka trzy lata temu

 - wiek Krysi trzy lata temu

  - wiek Jędrka obecnie

  - wiek Krysi obecnie   {premium}

Razem mają 26 lat, zatem otrzymujemy: 

 

 

Odp. B

 

Rozwiązując to równanie otrzymujemy:

 

 

 

 

 

Wiek Jędrka za 4 lata:

 

Wiek Krysi za 4 lata:

 

Odp. C

W tabeli zapisano trzy wyrażenia.

 


Sprawdzamy, które z wyrażeń są równe 508 = 58 ٠ 108. {premium}

 

 

 


Poprawna odpowiedź: B. Tylko II i III 

Trójkąt ABC na rysunku obok jest równoboczny ...

Trójkąt ABC jest równoboczny, zatem: 

    

Wiemy także, że: 

 


Oznacza to, że kąty {premium}ABL, BCM, CAK mają równe miary wynoszące: 

 


Zauważmy, że trójkąty ABL, BCM i CAK są przystające (cecha kbk). 

Odpowiedni bok każdego z tych trójkątów ma taką samą długość i dwa kąty leżące przy tym boku mają równe miary. 

Oznacza to, że: 

  


Kąty KLM, LMK i MKL są kątami przyległymi odpowiednio do kątów BLA, CMB i AKC. 

Suma miar kątów przyległych wynosi 180o, zatem:

 


Kąty wewnętrzne trójkąta KLM mają miarę 60o. Oznacza to, że trójkąt ten jest równoboczny. 

Pani Ewa wzięła w banku kredyt...

Kwota pożyczona przez panią Ewę wynosi , a kwota oddana do banku wynosi . Z tego wynika, że oprocentowanie kredytu wynosiło:{premium}

 

 

 

 

 

Odpowiedź:  

Pewna drukarka drukuje 25 000 znaków w ciągu jednej minuty...

Wiemy, że drukarka drukuje 25 000 znaków w ciągu jednej minuty

1 minuta = 60 sekund

obliczmy, ile potrwa drukowanie 7500 znaków na tej drukarce:

 - czas, w którym zostanie wydrukowane 7500 znaków na tej drukarce

 
{premium}

 

 

 

 

Odp.: C

Które z liczb: 1, 4, 9, 30, 50, 90,...

Zauważmy, że:

1 zapisane w systemie rzymskim to I   {premium}

4 zapisane w systemie rzymskim to IV

9 zapisane w systemie rzymskim to IX

30 zapisane w systemie rzymskim to XXX

50 zapisane w systemie rzymskim to L

90 zapisane w systemie rzymskim to XC

100 zapisane w systemie rzymskim to C

500 zapisane w systemie rzymskim to D

zatem:

Odp.: Spośród podanych liczb zapisanych w systemie rzymskim dwie osie symetrii mają tylko liczby 1, 30.

Na podstawie tabeli ...
  • Długość boku kwadratu o polu  jest zawarta między 6 cm a 7 cm. Przybliżona wartość boku kwadratu to  . 

    {premium}
  • Aby długość boku oszacować z dokładnością do dwóch cyfr po przecinku należy obliczyć pola kwadratów o bokach, których długości są liczbami :

     

     

     

    Możemy zauważyć, że najbliżej liczby 40 jest kwadrat liczby 6,32.