Graniastosłupy - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Prostopadłościan i sześcian

Prostopadłościan to figura przestrzenna, której kształt przypomina pudełko lub akwarium.

Prostopadłościan

  • Każda ściana prostopadłościanu jest prostokątem.

  • Każdy prostopadłościan ma 6 ścian, 8 wierzchołków i 12 krawędzi.

  • Dwie ściany mające wspólną krawędź nazywamy prostopadłymi.

  • Dwie ściany, które nie mają wspólnej krawędzi, nazywamy równoległymi.

  • Każda ściana jest prostopadła do czterech ścian oraz równoległa do jednej ściany.


Z każdego wierzchołka wychodzą trzy krawędzie – jedną nazywamy długością, drugą – szerokością, trzecią – wysokością prostopadłościanu i oznaczamy je odpowiednio literami a, b, c.

Długości tych krawędzi nazywamy wymiarami prostopadłościanu.

a – długość prostopadłościanu, b – szerokość prostopadłościanu, c - wysokość prostopadłościanu.


Prostopadłościan, którego wszystkie ściany są jednakowymi kwadratami nazywamy sześcianem.

Wszystkie krawędzie sześcianu mają jednakową długość.

kwadrat

a - długość krawędzi sześcianu

Graniastosłup prosty

Graniastosłup prosty to graniastosłup, którego ściany boczne są prostopadłe do dwóch identycznych podstaw.

Podstawy graniastosłupa prostego to przystające wielokąty. Są do siebie równoległe. 

Każda ściana boczna graniastosłupa prostego jest prostokątem.

Krawędzie boczne graniastosłupa prostego mają jednakową długość.

Z dowolnego wierzchołka graniastosłupa prostego wychodzą trzy krawędzie. Jedna z nich jest krawędzią boczną, a pozostałe krawędziami podstawy.

Krawędź boczna jest prostopadła do każdej krawędzi podstawy.


Przykłady:

  • Prostopadłościan

  • Sześcian

  • Graniastosłup trójkątny (podstawą jest trójkąt)

  • Graniastosłup pięciokątny (podstawą jest pięciokąt), itd.


Wysokość graniastosłupa – to odcinek łączący podstawy graniastosłupa i prostopadły do każdej z nich.

W przypadku graniastosłupa prostego wysokością jest krawędź boczna.

Wysokość graniastosłupa oznaczamy literą H.

Graniastosłup prawidłowy

Graniastosłup prawidłowy to graniastosłup prosty, którego podstawą jest wielokąt foremny.


Przypomnienie:

Wielokąt foremny to wielokąt, którego wszystkie kąty wewnętrzne mają równe miary i wszystkie boki mają taką samą długość, np. kwadrat, trójkąt równoboczny, pięciokąt foremny. 


W graniastosłupie prawidłowym: 

  • podstawy to przystające wielokąty 

  • ściany boczne to przystające prostokąty

Graniastosłup przyjmuje swoją nazwę od wielokąta, który jest jego podstawą.
 

Przykłady: 

Siatki graniastosłupów prostych

Po rozcięciu wzdłuż kilku krawędzi powierzchni dowolnego graniastosłupa i rozłożeniu go na powierzchnię płaską powstanie jego siatka.

Jest to wielokąt złożony z mniejszych wielokątów – ścian graniastosłupa.

Ten sam graniastosłup może mieć kilka siatek.
 

Przykłady:

 Siatka graniastosłupa

Pole powierzchni graniastosłupa

Pole powierzchni graniastosłupa to suma pól wszystkich jego ścian.

Pole powierzchni składa się z pola powierzchni bocznej czyli sumy pól wszystkich ścian bocznych oraz z dwóch pól powierzchni identycznych podstaw. 

`P_c=2P_p+P_b`  

`P_c \ \ \ ->`    pole powierzchni całkowitej graniastosłupa 

`P_p \ \ \ ->`    pole podstawy graniastosłupa 

`P_b \ \ \ ->`    pole powierzchni bocznej graniastosłupa


Z powyższego wzoru możemy wyprowadzić wzór na pole powierzchni prostopadłościanu oraz sześcianu. 

Prostopadłościan:

`P_c=2P_p+P_b` 

`P_p=a*b=ab` 

`P_b=2*a*c+2*b*c=2ac+2bc` 

Zatem: 

`P_c=2ab+2ac+2bc=2(ab+ac+bc)`  


Sześcian: 

Wszystkie krawędzie sześcianu mają jednakową długość.

Wszystkie ściany są przystającymi kwadratami. Jest ich 6. 

`P_c=2P_p+P_b`

`P_p=a*a=a^2`  

`P_b=4*a*a=4a^2` 

Zatem:

`P_c=2a^2+4a^2=6a^2` 

Jednostki objętości

Objętość podaje się w jednostkach sześciennych.

Podstawowe jednostki objętości to:

  • milimetr sześcienny (`"mm"^3`),

  • centymetr sześcienny (`"cm"^3`),

  • decymetr sześcienny (`"dm"^3`),

  • metr sześcienny (`"m"^3`). 


Objętość różnego rodzaju płynów wyraża się w: 

  • mililitrach,  `1 \ "ml"=1 \ "cm"^3` 

  • litrach,   `1 \ "l"=1 \ "dm"^3`   

    `1 \ "l"=1000 \ "ml"`  

  • hektolitrach,  `1 \ "hl"=100 \ "l"`  

 

Przeliczanie jednostek:

`1 \ "cm"=10 \ "mm"` 

Czyli: 

`1 \ "cm"^3=1 \ "cm"*1 \ "cm"*1 \ "cm"=10 \ "mm"*10 \ "mm"*10 \ "mm"=1000 \ "mm"^3` 
  

`1 \ "dm"=10 \ "cm"` 

Czyli: 

`1 \ "dm"^3=1 \ "dm"*1 \ "dm"*1 \ "dm"=10 \ "cm"*10 \ "cm"*10 \ "cm"=1000 \ "cm"^3`    


`1 \ "m"=100 \ "cm"` 

Czyli: 

`1 \ "m"^3=1 \ "m"*1 \ "m"*1 \ "m"=100 \ "cm"*100 \ "cm"*100 \ "cm"=1 \ 000 \ 000 \ "cm"^3`   


`1 \ "l"=1 \ "dm"^3=1000 \ "cm"^3=1000 \ "ml"`  


Analogicznie jak powyżej możemy przeliczyć również inne jednostki. 

Objętość graniastosłupa

Objętość graniastosłupa to iloczyn pola podstawy i wysokości tego graniastosłupa. 

`V=P_p*H` 

`V \ \ \ ->`   objętość graniastosłupa 

`P_p \ \ \ ->`   pole podstawy 

`H \ \ \ ->`    długość wysokości graniastosłupa    


Z powyższego wzoru możemy wyprowadzić wzór na objętość prostopadłościanu oraz sześcianu.

Prostopadłościan: 

`V=P_p*H` 

`P_p=a*b=ab` 

`H=c` 

Zatem: 

`V=ab*c=abc`     


Sześcian: 

`V=P_p*H`  

`P_p=a*a=a^2` 

`H=a` 

Zatem: 

`V=a^2*a=a^3`   

 

Odcinki w graniastosłupach

W graniastosłupach rozróżniamy 3 różne odcinki:

  • przekątną podstawy

  • przekątną ściany bocznej

  • przekątną graniastosłupa - odcinek łączący dwa wierzchołki graniastosłupa i niezawierający się w żadnej ścianie


Uwaga!!!

Graniastosłup trójkątny nie ma przekątnej podstawy i przekątnej graniastosłupa. Posiada on tylko przekątną ściany bocznej. 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Połącz strzałkami kolejne kroki obliczeń.

{premium}

Oblicz długość przekątnej...

 

Podane mamy wymiary prostopadłościanu:

 

Z tego wynika, że:

podglad pliku

Przekątna podstawy  będzie wynosiła:

 

 

 

Z tego wynika, że przekątna prostopadłościanu będzie wynosiła:

 

 

 

 

 

 

Odp.: Przekątna prostopadłościanu wynosi{premium} .

 

 

Podane mamy wymiary prostopadłościanu:

 

Z tego wynika, że:

podglad pliku

Przekątna podstawy  będzie wynosiła:

 

Z tego wynika, że przekątna prostopadłościanu będzie wynosiła:

 

 

 

Odp.: Przekątna prostopadłościanu wynosi .

 

 

Podane mamy wymiary prostopadłościanu:

 

Z tego wynika, że:

podglad pliku

Przekątna podstawy  będzie wynosiła:

 

 

 

Z tego wynika, że przekątna prostopadłościanu będzie wynosiła:

 

 

 

 

 

Odp.: Przekątna prostopadłościanu wynosi .

Ojciec z synem mają razem...

Wiek syna:  

Wiek ojca:  

Wiemy, że syn z ojcem ma razem 46 lat, czyli:

 

 

Wiek syna 10 lat temu:  

Wiek ojca 10 lat temu:{premium}  

Wiemy, że 10 lat temu ojciec miał 2 razy więcej lat, niż syn ma teraz, czyli:

 

Wyznaczmy :

 

 

 

 

 

Wówczas:

 

Z tego wynika, że za 6 lat syn będzie miał:

 

Ojciec za 6 lat będzie miał:

 

 

Odpowiedź:

Za 6 lat syn będzie miał  lat.

Za 6 lat ojciec będzie miał  lat.

Na loterię przygotowano 80 losów, z których 20 wygrywa...

Na loterię przygotowano 80 losów

 w tym 20 losów wygrywających

Obliczmy ile losów wygrywających trzeba dołożyć aby prawdopodobieństwo wygrania wzrosło do  

`x`- liczba losów wygrywających trzeba dołożyć aby prawdopodobieństwo wygrania wzrosło do  

 

{premium}

 

 

 

 

 

 


Odp.: Należy dołożyć 10 losów wygrywających.

Do wykonania szkieletu graniastosłupa prawidłowego ...

Do wykonania szkieletu graniastosłupa prawidłowego czworokątnego Jeremi potrzebował  drutu, czyli suma długości krawędzi tego graniastosłupa wynosi .

Wiemy, że graniastosłup prawidłowy czworokątny ma w podstawie {premium}kwadrat.

Wykonajmy rysunek.

Thumb str. 28   5

Graniastosłup prawidłowy czworokątny ma  krawędzi, w tym  krawędzi podstawy.

Od  odejmijmy sumę długości krawędzi bocznych.

Suma długości krawędzi podstawy jest równa .

Obliczamy długość jednej krawędzi (wiemy, że jest ich ).

 

 

Odpowiedź: Długość krawędzi postawy tego graniastosłupa jest równa .

 

Cena brutto korali wynosi 24,60 zł. Wiedząc, że ...

Cenę netto oznaczmy przez . Podatek VAT obliczany jest od ceny netto i wynosi , więc podatek VAT to  z , czyli .

Na cenę brutto składa się cena netto oraz podatek VAT, czyli: 

 

Aby obliczyć cenę netto oraz wartość podatku VAT należy rozwiązać poniższe równanie:

 

 

 

Cena netto korali to  


Odpowiedź: B

Przekątna sześcianu ma...

Dane:

Przekątna sześcianu:  

Szukane:

Pole powierzchni całkowitej:  

Rozwiązanie:

Wiemy, że:

podglad pliku

gdzie  jest przekątną podstawy sześcianu,  jest przekątną sześcianu. Ponieważ każdy bok sześcianu jest kwadratem, to:

 

Korzystając  z twierdzenia Pitagorasa wyznaczamy :{premium}

 

 

 

 

 

 

Wówczas wynosi:

 

 

Pole powierzchni jednej ściany będzie miało postać:

 

 

 

Ponieważ sześcian ma sześć takich samych ścian to:

 

 

 

 

 

 

Odp.: Pole powierzchni całkowitej sześcianu wynosi .

Czy z drutu o długości...

 

Długość krawędzi podstawy:  

Długość krawędzi bocznej:  

Ostrosłup prawidłowy trójkątny ma w podstawie trójkąt równoboczny. Z tego wynika, że suma krawędzi podstawy wynosi:

 

Krawędzie boczne tego ostrosłupa będą trzema odcinkami tej samej długości:

 

Z tego wynika, że całkowita ilość drutu potrzebnego do zbudowania tego ostrosłupa wynosi:{premium}

 

 

 

Odp.: Z drutu o długości  można wykonać szkielet ostrosłupa o podanych wymiarach.

 

 

Długość krawędzi podstawy:  

Długość krawędzi bocznej:  

Ostrosłup prawidłowy sześciokątny ma w podstawie sześciokąt foremny. Z tego wynika, że suma krawędzi podstawy wynosi:

 

Krawędzie boczne tego ostrosłupa będą sześcioma odcinkami tej samej długości:

 

Z tego wynika, że całkowita ilość drutu potrzebnego do zbudowania tego ostrosłupa wynosi:

 

 

 

Odp.: Z drutu o długości  można wykonać szkielet ostrosłupa o podanych wymiarach.

Poprowadź prostą, która podzieli figurę przedstawioną na rysunku

 {premium}

 

 

 

 

Oblicz długość przekątnej...

 

 

Wówczas:

 

 

 

 

 {premium}

 

Wówczas:

 

 

 

 

 

 

Wówczas: