Graniastosłupy - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Graniastosłupy - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Prostopadłościan i sześcian

Prostopadłościan to figura przestrzenna, której kształt przypomina pudełko lub akwarium.

Prostopadłościan

  • Każda ściana prostopadłościanu jest prostokątem.

  • Każdy prostopadłościan ma 6 ścian, 8 wierzchołków i 12 krawędzi.

  • Dwie ściany mające wspólną krawędź nazywamy prostopadłymi.

  • Dwie ściany, które nie mają wspólnej krawędzi, nazywamy równoległymi.

  • Każda ściana jest prostopadła do czterech ścian oraz równoległa do jednej ściany.


Z każdego wierzchołka wychodzą trzy krawędzie – jedną nazywamy długością, drugą – szerokością, trzecią – wysokością prostopadłościanu i oznaczamy je odpowiednio literami a, b, c.

Długości tych krawędzi nazywamy wymiarami prostopadłościanu.

a – długość prostopadłościanu, b – szerokość prostopadłościanu, c - wysokość prostopadłościanu.


Prostopadłościan, którego wszystkie ściany są jednakowymi kwadratami nazywamy sześcianem.

Wszystkie krawędzie sześcianu mają jednakową długość.

kwadrat

a - długość krawędzi sześcianu

Graniastosłup prosty

Graniastosłup prosty to graniastosłup, którego ściany boczne są prostopadłe do dwóch identycznych podstaw.

Podstawy graniastosłupa prostego to przystające wielokąty. Są do siebie równoległe. 

Każda ściana boczna graniastosłupa prostego jest prostokątem.

Krawędzie boczne graniastosłupa prostego mają jednakową długość.

Z dowolnego wierzchołka graniastosłupa prostego wychodzą trzy krawędzie. Jedna z nich jest krawędzią boczną, a pozostałe krawędziami podstawy.

Krawędź boczna jest prostopadła do każdej krawędzi podstawy.


Przykłady:

  • Prostopadłościan

  • Sześcian

  • Graniastosłup trójkątny (podstawą jest trójkąt)

  • Graniastosłup pięciokątny (podstawą jest pięciokąt), itd.


Wysokość graniastosłupa – to odcinek łączący podstawy graniastosłupa i prostopadły do każdej z nich.

W przypadku graniastosłupa prostego wysokością jest krawędź boczna.

Wysokość graniastosłupa oznaczamy literą H.

Graniastosłup prawidłowy

Graniastosłup prawidłowy to graniastosłup prosty, którego podstawą jest wielokąt foremny.


Przypomnienie:

Wielokąt foremny to wielokąt, którego wszystkie kąty wewnętrzne mają równe miary i wszystkie boki mają taką samą długość, np. kwadrat, trójkąt równoboczny, pięciokąt foremny. 


W graniastosłupie prawidłowym: 

  • podstawy to przystające wielokąty 

  • ściany boczne to przystające prostokąty

Graniastosłup przyjmuje swoją nazwę od wielokąta, który jest jego podstawą.
 

Przykłady: 

Siatki graniastosłupów prostych

Po rozcięciu wzdłuż kilku krawędzi powierzchni dowolnego graniastosłupa i rozłożeniu go na powierzchnię płaską powstanie jego siatka.

Jest to wielokąt złożony z mniejszych wielokątów – ścian graniastosłupa.

Ten sam graniastosłup może mieć kilka siatek.
 

Przykłady:

 Siatka graniastosłupa

Pole powierzchni graniastosłupa

Pole powierzchni graniastosłupa to suma pól wszystkich jego ścian.

Pole powierzchni składa się z pola powierzchni bocznej czyli sumy pól wszystkich ścian bocznych oraz z dwóch pól powierzchni identycznych podstaw. 

`P_c=2P_p+P_b`  

`P_c \ \ \ ->`    pole powierzchni całkowitej graniastosłupa 

`P_p \ \ \ ->`    pole podstawy graniastosłupa 

`P_b \ \ \ ->`    pole powierzchni bocznej graniastosłupa


Z powyższego wzoru możemy wyprowadzić wzór na pole powierzchni prostopadłościanu oraz sześcianu. 

Prostopadłościan:

`P_c=2P_p+P_b` 

`P_p=a*b=ab` 

`P_b=2*a*c+2*b*c=2ac+2bc` 

Zatem: 

`P_c=2ab+2ac+2bc=2(ab+ac+bc)`  


Sześcian: 

Wszystkie krawędzie sześcianu mają jednakową długość.

Wszystkie ściany są przystającymi kwadratami. Jest ich 6. 

`P_c=2P_p+P_b`

`P_p=a*a=a^2`  

`P_b=4*a*a=4a^2` 

Zatem:

`P_c=2a^2+4a^2=6a^2` 

Jednostki objętości

Objętość podaje się w jednostkach sześciennych.

Podstawowe jednostki objętości to:

  • milimetr sześcienny (`"mm"^3`),

  • centymetr sześcienny (`"cm"^3`),

  • decymetr sześcienny (`"dm"^3`),

  • metr sześcienny (`"m"^3`). 


Objętość różnego rodzaju płynów wyraża się w: 

  • mililitrach,  `1 \ "ml"=1 \ "cm"^3` 

  • litrach,   `1 \ "l"=1 \ "dm"^3`   

    `1 \ "l"=1000 \ "ml"`  

  • hektolitrach,  `1 \ "hl"=100 \ "l"`  

 

Przeliczanie jednostek:

`1 \ "cm"=10 \ "mm"` 

Czyli: 

`1 \ "cm"^3=1 \ "cm"*1 \ "cm"*1 \ "cm"=10 \ "mm"*10 \ "mm"*10 \ "mm"=1000 \ "mm"^3` 
  

`1 \ "dm"=10 \ "cm"` 

Czyli: 

`1 \ "dm"^3=1 \ "dm"*1 \ "dm"*1 \ "dm"=10 \ "cm"*10 \ "cm"*10 \ "cm"=1000 \ "cm"^3`    


`1 \ "m"=100 \ "cm"` 

Czyli: 

`1 \ "m"^3=1 \ "m"*1 \ "m"*1 \ "m"=100 \ "cm"*100 \ "cm"*100 \ "cm"=1 \ 000 \ 000 \ "cm"^3`   


`1 \ "l"=1 \ "dm"^3=1000 \ "cm"^3=1000 \ "ml"`  


Analogicznie jak powyżej możemy przeliczyć również inne jednostki. 

Objętość graniastosłupa

Objętość graniastosłupa to iloczyn pola podstawy i wysokości tego graniastosłupa. 

`V=P_p*H` 

`V \ \ \ ->`   objętość graniastosłupa 

`P_p \ \ \ ->`   pole podstawy 

`H \ \ \ ->`    długość wysokości graniastosłupa    


Z powyższego wzoru możemy wyprowadzić wzór na objętość prostopadłościanu oraz sześcianu.

Prostopadłościan: 

`V=P_p*H` 

`P_p=a*b=ab` 

`H=c` 

Zatem: 

`V=ab*c=abc`     


Sześcian: 

`V=P_p*H`  

`P_p=a*a=a^2` 

`H=a` 

Zatem: 

`V=a^2*a=a^3`   

 

Odcinki w graniastosłupach

W graniastosłupach rozróżniamy 3 różne odcinki:

  • przekątną podstawy

  • przekątną ściany bocznej

  • przekątną graniastosłupa - odcinek łączący dwa wierzchołki graniastosłupa i niezawierający się w żadnej ścianie


Uwaga!!!

Graniastosłup trójkątny nie ma przekątnej podstawy i przekątnej graniastosłupa. Posiada on tylko przekątną ściany bocznej. 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Iloczynem liczb 56 i 35 jest ...

Obliczamy iloczyn licz  i .{premium}

podglad pliku

Liczba  zapisana w systemie rzymskim to:  


Odpowiedź: A

Które trójkąty są przystające do trójkąta ABC?

Trójkąty przystające to trójkąty, które mają takie same długości boków i takie same kąty.

Obliczmy najpierw miarę kąta  w trójkącie  {premium}

 

Porównujemy trójkąty z rysunków z trójkątem      

Trójkąt  jest przystający, bo miary kątów przy boku  są takie same jak w trójkącie    

Trójkąt  nie jest przystający, bo w trójkącie  nie ma kąta o mierze  

Trójkąt nie jest przystający, bo miary kątów przy boku  są inne niż w trójkącie  

 

Odp. B    

Ania i Jarek grali w kamienie. Na początku ...

Wiemy, że gra polega na zabraniu dowolnej liczby kamieni z jednego ze stosów oraz że przegrywa ten, kto nie może już wykonać żadnego ruchu. 

Zauważmy, że:

- na pierwszym stosie pozostał 1 kamień

- na drugim stosie pozostały 3 kamienie {premium} 


Możliwości ruchów:

1) Jeśli Ania weźmie 1 kamień z pierwszego stosu, to Jarek weźmie 3 kamienie z drugiego stosu i w ten sposób zapewni sobie wygraną.

2) Jeśli Ania weźmie 1 kamień z drugiego stosu, to Jarek weźmie 1 kamień z drugiego stosu i w ten sposób zapewni sobie wygraną. 

3) Jeśli Ania weźmie 3 kamienie z drugiego stosu, to Jarek weźmie 1 kamień z pierwszego stosu i w ten sposób zapewni sobie wygraną. 

4) Jeśli Ania weźmie 2 kamienie z drugiego stosu, to na pierwszym i drugim stosie zostanie po jednym kamieniu. Jarek będzie mógł wziąć jeden kamień z dowolnego stosu, co zapewni Ani wygraną.  


Z powyższej analizy wynika, że aby wygrać, Ania musi wziąć 2 kamienie z drugiego stosu.

W pewnym czworokącie jeden z kątów jest trzy razy mniejszy...

Suma miar kątów wewnętrznych w każdym czworokącie wynosi  

wprowadźmy następujące oznaczenia:

 - miara najmniejszego z kątów w tym czworokącie

 - miara największego z kątów w tym czworokącie

 - miary pozostałych kątów w tym czworokącie

wiemy, że:

 

zatem{premium}

 

 

 

 


 

  

 


Odp.: Miary kątów w tym czworokącie to: `40^@, 100^@, 100^@, 120^@`.

Skonstruuj w zeszycie kąt prosty, a następnie kąt o mierze ...

Konstruujemy symetralną odcinka.

1. Rysujemy odcinek. Z jednego końca po obu stronach odcinka kreślimy łuki (o promieniu większym niż połowa długości odcinka).

podglad pliku{premium}

2. Nie zmieniając rozwartości cyrkla, kreślimy łuki z drugiego końca tego odcinka.

podglad pliku

3. Przez punkty przecięcia łuków prowadzimy prostą. Narysowana prosta jest symetralną odcinka.

podglad pliku

4. Zaznaczamy kąt prosty.

podglad pliku

Konstruujemy dwusieczną kąta prostego.

5. Z wierzchołka kąta kreślimy łuk (o dowolnym promieniu).

podglad pliku

6. Z punktów przecięcia łuku z ramionami kąta kreślimy łuki o jednakowym promieniu (przecinające się wewnątrz kąta).

podglad pliku

7. Z wierzchołka kąta prowadzimy półprostą przechodzącą przez punkt przecięcia łuków. Narysowana półprosta jest dwusieczną kąta prostego. 

podglad pliku

Konstruujemy dwusieczne kątów o mierze .

8. Z punktów przecięcia łuku z ramionami kątów kreślimy łuki o jednakowym promieniu (przecinające się wewnątrz kątów).

podglad pliku

9. Z wierzchołka kąta prowadzimy półproste przechodzące przez punkty przecięcia łuków. Narysowane półproste są dwusiecznymi kątów o mierze

podglad pliku

Kąt prosty został podzielony na cztery kąty - każdy o mierze .

podglad pliku

Loteria ma składać się ...

Liczba wszystkich losów ma wynosić 120. 


Przyjmijmy oznaczenia: 

  - liczba losów wygrywających 


Prawdopodobieństwo wylosowania losu wygrywającego ma być większe niż 1/6, czyli: {premium}

   


Prawdopodobieństwo wylosowania losu wygrywającego ma być jednocześnie mniejsze niż 1/2, czyli: 

   


Wynika z tego, że liczba losów wygrywających ma być większa niż 20 i mniejsza niż 60. 

Może ona wynosić: 25, 40, 54

Uzasadnij, że cyfrą jedności ...

Obliczmy pierwsze potęgi liczby 9. {premium}

 

 

 

 

 

 

Możemy zauważyć, że podnosząc 9 do potęgi parzystej cyfrą jedności jest liczba 1.

Podnosząc 9 do potęgi nieparzystej cyfrą jedności jest liczba 9.

Zauważmy, że 62 to liczba parzysta, więc cyfrą jedności  jest liczba 1.

Na rysunku obok półproste BP, CR i DR są dwusiecznymi kątów czworokąta ABCD.

Rysunek pomocniczy:

Miara kąta ABC to 110°. Półprosta BP dzieli kąt ABC na kąty o równych miarach. 
Oznacza to, że:
 

{premium}
Suma miar kątów w czworokącie wynosi 360°. 
Zatem [w czworokącie ABCD]:
 
 
 
  


Suma miar kątów w trójkącie to 180°.
Zatem [w trójkącie CDR]:
   
Wstawiamy z równania (*) wyznaczoną wartość sumy kątów γ i δ. 
 
 

 

Poprawna odpowiedź to:
   

Z 13 prostopadłościennych ...

Najpierw wyznaczamy wymiary klocka jasnego.

podglad pliku

Numerkami oznaczamy kolejne równania, jakie rozwiązujemy.

podglad pliku{premium}

1.     

 


2.     

 

 


3.     

 

 


Wymiary klocka jasnego:  


Następnie wyznaczamy wymiary klocka ciemnego.

podglad pliku

Dla ułatwienia wymiary podstawy zbudowanego prostopadłościanu zapisujemy u góry.

podglad pliku

1.     

 

 

2.     

 

 


3.     


Wymiary klocka ciemnego:  


Wymiary zbudowanego z tych klocków prostopadłościanu: .

Jego objętość:  

Wymiary klocka jasnego: .

Jego objętość: .

Sprawdzamy, czy można z samych jasnych klocków zbudować taki sam prostopadłościan.

 - NIE

podglad pliku


Wymiary klocka ciemnego: .

Jego objętość: .

Sprawdzamy, czy można z samych ciemnych klocków zbudować taki sam prostopadłościan.

 - TAK

podglad pliku

Wyrażenie...

 {premium}

 

 

Odp. A