Graniastosłupy - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Prostopadłościan i sześcian

Prostopadłościan to figura przestrzenna, której kształt przypomina pudełko lub akwarium.

Prostopadłościan

  • Każda ściana prostopadłościanu jest prostokątem.

  • Każdy prostopadłościan ma 6 ścian, 8 wierzchołków i 12 krawędzi.

  • Dwie ściany mające wspólną krawędź nazywamy prostopadłymi.

  • Dwie ściany, które nie mają wspólnej krawędzi, nazywamy równoległymi.

  • Każda ściana jest prostopadła do czterech ścian oraz równoległa do jednej ściany.


Z każdego wierzchołka wychodzą trzy krawędzie – jedną nazywamy długością, drugą – szerokością, trzecią – wysokością prostopadłościanu i oznaczamy je odpowiednio literami a, b, c.

Długości tych krawędzi nazywamy wymiarami prostopadłościanu.

a – długość prostopadłościanu, b – szerokość prostopadłościanu, c - wysokość prostopadłościanu.


Prostopadłościan, którego wszystkie ściany są jednakowymi kwadratami nazywamy sześcianem.

Wszystkie krawędzie sześcianu mają jednakową długość.

kwadrat

a - długość krawędzi sześcianu

Graniastosłup prosty

Graniastosłup prosty to graniastosłup, którego ściany boczne są prostopadłe do dwóch identycznych podstaw.

Podstawy graniastosłupa prostego to przystające wielokąty. Są do siebie równoległe. 

Każda ściana boczna graniastosłupa prostego jest prostokątem.

Krawędzie boczne graniastosłupa prostego mają jednakową długość.

Z dowolnego wierzchołka graniastosłupa prostego wychodzą trzy krawędzie. Jedna z nich jest krawędzią boczną, a pozostałe krawędziami podstawy.

Krawędź boczna jest prostopadła do każdej krawędzi podstawy.


Przykłady:

  • Prostopadłościan

  • Sześcian

  • Graniastosłup trójkątny (podstawą jest trójkąt)

  • Graniastosłup pięciokątny (podstawą jest pięciokąt), itd.


Wysokość graniastosłupa – to odcinek łączący podstawy graniastosłupa i prostopadły do każdej z nich.

W przypadku graniastosłupa prostego wysokością jest krawędź boczna.

Wysokość graniastosłupa oznaczamy literą H.

Graniastosłup prawidłowy

Graniastosłup prawidłowy to graniastosłup prosty, którego podstawą jest wielokąt foremny.


Przypomnienie:

Wielokąt foremny to wielokąt, którego wszystkie kąty wewnętrzne mają równe miary i wszystkie boki mają taką samą długość, np. kwadrat, trójkąt równoboczny, pięciokąt foremny. 


W graniastosłupie prawidłowym: 

  • podstawy to przystające wielokąty 

  • ściany boczne to przystające prostokąty

Graniastosłup przyjmuje swoją nazwę od wielokąta, który jest jego podstawą.
 

Przykłady: 

Siatki graniastosłupów prostych

Po rozcięciu wzdłuż kilku krawędzi powierzchni dowolnego graniastosłupa i rozłożeniu go na powierzchnię płaską powstanie jego siatka.

Jest to wielokąt złożony z mniejszych wielokątów – ścian graniastosłupa.

Ten sam graniastosłup może mieć kilka siatek.
 

Przykłady:

 Siatka graniastosłupa

Pole powierzchni graniastosłupa

Pole powierzchni graniastosłupa to suma pól wszystkich jego ścian.

Pole powierzchni składa się z pola powierzchni bocznej czyli sumy pól wszystkich ścian bocznych oraz z dwóch pól powierzchni identycznych podstaw. 

`P_c=2P_p+P_b`  

`P_c \ \ \ ->`    pole powierzchni całkowitej graniastosłupa 

`P_p \ \ \ ->`    pole podstawy graniastosłupa 

`P_b \ \ \ ->`    pole powierzchni bocznej graniastosłupa


Z powyższego wzoru możemy wyprowadzić wzór na pole powierzchni prostopadłościanu oraz sześcianu. 

Prostopadłościan:

`P_c=2P_p+P_b` 

`P_p=a*b=ab` 

`P_b=2*a*c+2*b*c=2ac+2bc` 

Zatem: 

`P_c=2ab+2ac+2bc=2(ab+ac+bc)`  


Sześcian: 

Wszystkie krawędzie sześcianu mają jednakową długość.

Wszystkie ściany są przystającymi kwadratami. Jest ich 6. 

`P_c=2P_p+P_b`

`P_p=a*a=a^2`  

`P_b=4*a*a=4a^2` 

Zatem:

`P_c=2a^2+4a^2=6a^2` 

Jednostki objętości

Objętość podaje się w jednostkach sześciennych.

Podstawowe jednostki objętości to:

  • milimetr sześcienny (`"mm"^3`),

  • centymetr sześcienny (`"cm"^3`),

  • decymetr sześcienny (`"dm"^3`),

  • metr sześcienny (`"m"^3`). 


Objętość różnego rodzaju płynów wyraża się w: 

  • mililitrach,  `1 \ "ml"=1 \ "cm"^3` 

  • litrach,   `1 \ "l"=1 \ "dm"^3`   

    `1 \ "l"=1000 \ "ml"`  

  • hektolitrach,  `1 \ "hl"=100 \ "l"`  

 

Przeliczanie jednostek:

`1 \ "cm"=10 \ "mm"` 

Czyli: 

`1 \ "cm"^3=1 \ "cm"*1 \ "cm"*1 \ "cm"=10 \ "mm"*10 \ "mm"*10 \ "mm"=1000 \ "mm"^3` 
  

`1 \ "dm"=10 \ "cm"` 

Czyli: 

`1 \ "dm"^3=1 \ "dm"*1 \ "dm"*1 \ "dm"=10 \ "cm"*10 \ "cm"*10 \ "cm"=1000 \ "cm"^3`    


`1 \ "m"=100 \ "cm"` 

Czyli: 

`1 \ "m"^3=1 \ "m"*1 \ "m"*1 \ "m"=100 \ "cm"*100 \ "cm"*100 \ "cm"=1 \ 000 \ 000 \ "cm"^3`   


`1 \ "l"=1 \ "dm"^3=1000 \ "cm"^3=1000 \ "ml"`  


Analogicznie jak powyżej możemy przeliczyć również inne jednostki. 

Objętość graniastosłupa

Objętość graniastosłupa to iloczyn pola podstawy i wysokości tego graniastosłupa. 

`V=P_p*H` 

`V \ \ \ ->`   objętość graniastosłupa 

`P_p \ \ \ ->`   pole podstawy 

`H \ \ \ ->`    długość wysokości graniastosłupa    


Z powyższego wzoru możemy wyprowadzić wzór na objętość prostopadłościanu oraz sześcianu.

Prostopadłościan: 

`V=P_p*H` 

`P_p=a*b=ab` 

`H=c` 

Zatem: 

`V=ab*c=abc`     


Sześcian: 

`V=P_p*H`  

`P_p=a*a=a^2` 

`H=a` 

Zatem: 

`V=a^2*a=a^3`   

 

Odcinki w graniastosłupach

W graniastosłupach rozróżniamy 3 różne odcinki:

  • przekątną podstawy

  • przekątną ściany bocznej

  • przekątną graniastosłupa - odcinek łączący dwa wierzchołki graniastosłupa i niezawierający się w żadnej ścianie


Uwaga!!!

Graniastosłup trójkątny nie ma przekątnej podstawy i przekątnej graniastosłupa. Posiada on tylko przekątną ściany bocznej. 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Po wykonaniu działań w wyrażeniu (x²)³

 

{premium} 

   

 

 

Odp. C

Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa...

Wiemy, że:

 

 


Obliczmy pole powierzchni dwóch podstaw tego graniastosłupa:

   {premium}

   

 

 


Obliczmy długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa:

 

 

 

 

 


Obliczmy długość krawędzi bocznej tego graniastosłupa:

 

 

 


Odp.: Długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa wynosi 4 cm, a długość krawędzi bocznej tego graniastosłupa wynosi 10 cm.

Z graniastosłupa prawidłowego o wymiarach ...

a) Rysunek pomocniczy:

Otrzymany ostrosłup ma jedną krawędź pokrywającą się z wysokością graniastosłupa, dwie krawędzie (zaznaczone na zielono - )

będące przekątnymi ścian bocznych graniastosłupa oraz jedną krawędź (zaznaczona na czerwono - ) będącą przekątną graniastosłupa.

Obliczamy długości krawędzi  - korzystamy z tw. Pitagorasa:{premium}

 

 

   

Aby obliczyć długość krawędzi , musimy obliczyć długość odcinka .

Odcinek  jest przekątną podstawy (podstawa jest kwadratem, bo graniastosłup jest prawidłowy), więc:

 

Korzystając z tw. Pitagorasa obliczamy długość krawędzi :

 

 

 


Odp: Wycięty ostrosłup ma krawędzie boczne długości: , ,  oraz .


b) Powierzchnia boczna wyciętego ostrosłupa składa się z dwóch rodzajów ścian.

-> rodzaj I - ścian będącymi trójkątami prostokątnymi o przyprostokątnych długości  i ,

-> rodzaj II -  ścian będącymi trójkątami prostokątnymi o przyprostokątnych długości  i

(trójkąt o bokach długości  jest trójkątem prostokątnym)

Obliczamy sumę pól ścian rodzaju I:

   

Obliczamy sumę pól ścian rodzaju II:

 

Obliczamy pole powierzchni bocznej ostrosłupa (sumę pól ścian I i II rodzaju):

  

Odp: Pole powierzchni bocznej wyciętego ostrosłupa wynosi .

Wyrażenie...

 {premium}

 

Odp. C

 

Popatrz na rysunek obok. ...

Obliczamy ile wynosi długość drogi prowadzącej z punktu A do B przez punkt L. 

 

{premium}
Odcinek LB jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości 2 i 5. 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczamy ile wynosi długość tego odcinka. 

    

Obliczamy ile wynosi długości całej drogi. 

 


  

  

 

Obliczamy ile wynosi długość drogi prowadzącej z punktu A do B przez punkt K. 

 

Odcinek AK jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości 3 i 5. 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczamy ile wynosi długość tego odcinka. 

    

Obliczamy ile wynosi długość całej drogi. 

 


  

  


Oznacza to, że: 


Odpowiedź: Dłuższa jest droga prowadząca przez punkt L.  

Oblicz sumę długości krawędzi ...

Wiemy, że jest to ostrosłup prawidłowy. {premium}

Jest to siatka ostrosłupa trójkątnego o krawędzi podstawy równej 2 oraz krawędzi ściany bocznej równej 5.

Ostrosłup ten ma 3 krawędzi podstawy i 3 krawędzie bocznych.

 

Suma wszystkich krawędzi:

 

Doświadczenie losowe polega na jednokrotnym rzucie ...

Wszystkich możliwych wyników tego doświadczenia jest{premium} .

Zdarzeniu "wyrzucono reszkę i liczbę oczek co najwyżej równą 4" sprzyjają wyniki:

 

Rysunek przedstawia ostrosłup prawidłowy ...

Wypiszemy odcinki w kolejności od najkrótszego do najdłuższego.

 - połowa przekątnej podstawy ostrosłupa,{premium}

 - wysokość ostrosłupa,

 - wysokość ściany bocznej,

 - krawędź boczna.


Odpowiedź: D

Dokończ zdanie tak, aby otrzymać zdanie

 -liczba wierzchołków graniastosłupa

 - liczba krawędzi graniastosłupa

 - liczba ścian bocznych graniastosłupa

 - liczba wszystkich ścian graniastosłupa {premium}

 

Wiemy, że

 

 

 

 

 

Liczba krawędzi:

 

Liczba ścian bocznych:

 

 

Odp. B

Objętość ostrosłupa jest równa ...

 
{premium}

 

 

 

 

Odp. B