Figury geometryczne - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Proste i odcinki

Podstawowymi figurami geometrycznymi na płaszczyźnie są prosta, półprosta i odcinek.

  • Prosta

  • Półprosta

  • Odcinek



Dwie proste mogą się przecinać lub nie mieć punktów wspólnych. 

Gdy dwie proste przecinają się pod kątem prostym mówimy, że są to proste prostopadłe.

Gdy proste nie mają punktów wspólnych (nie przecinają się) mówimy, że są to proste równoległe.




Uwaga!!! 

Prosta jest równoległa sama do siebie. 

Kąty

Dwie półproste, które mają wspólny początek dzielą płaszczyznę na dwie części. Półproste te z każdą z tych części tworzą kąt.

Półproste nazywamy ramionami kąta. Miary kątów podajemy w stopniach (°).


Wyróżniamy kilka rodzajów kątów:

  1. Kąt prosty - ma miarę 90°

    prosty
  2. Kąt półpełny - ma miarę 180°

  3. Kąt pełny - ma miarę 360°

  4. Kąt ostry - ma miarę mniejszą niż 90°

    ostry
  5. Kąt rozwarty - ma miarę większą niż 90° i mniejszą niż 180°

    rozwarty
  6. Kąt wklęsły - ma miarę większą niż 180° i mniejszą niż 360°

    wklesly



Istnieje również kilka zależności między dwoma kątami:

  1. Kąty przyległe - suma ich miar wynosi 180°

    przylegle
  2. Kąty wierzchołkowe - mają takie same miary

    wierzcholkowe
  3. Kąty odpowiadające - mają takie same miary

    odpowiadajace
  4. Kąty naprzemianległe - mają takie same miary

    naprzemianlegle

Trójkąty

Trójkąty dzielimy na:

  • ostrokątne (wszystkie kąty trójkąta są kątami ostrymi),

  • prostokątne (jeden z kątów trójkąta jest kątem prostym),

  • rozwartokątne (jeden z kątów trójkąta jest kątem rozwartym),

  • równoboczne (wszystkie boki trójkąta mają taką samą długość),

  • równoramienne (dwa boki - ramiona, mają taką samą długość), 

  • różnoboczne (każdy bok trójkąta ma inną długość).


Suma miar kątów w dowolnym trójkącie jest równa 180°.

Nierówność trójkąta:

Boki dowolnego trójkąta muszą spełniać poniższe nierówności:

  1. `a+b \ > \ c` 

  2. `a+c \ > \ b` 

  3. `b+c \ > \ a`   

trojkat

Aby stwierdzić, czy z trzech odcinków można zbudować trójkąt wystarczy sprawdzić, czy suma długości dwóch krótszych odcinków jest większa od długości najdłuższego odcinka.


Trójkąt równoramienny

W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie mają równe miary, a ramiona mają taką samą długość. 


Trójkąt równoboczny: 

W trójkącie równobocznym wszystkie kąty mają równe miary wynoszące 60o, a boki mają równe długości. 


Trójkąt prostokątny: 

 

Pole trójkąta: 

Pole trójkąta obliczamy ze wzoru:

`P=(a*h)/2` 

`a`   - długość boku

`h`   - długość wysokości opuszczonej na ten bok

Przystawanie trójkątów

Trójkąty są przystające:

  1. Jeżeli boki jednego trójkąta mają takie same długości jak odpowiednie boki drugiego trójkąta.
    Taką cechę nazywamy bbb (bok, bok, bok). 
  2. Jeżeli dwa boki jednego trójkąta mają takie same długości jak odpowiednie boki drugiego trójkąta oraz kąty między tymi bokami mają równe miary.
    Taką cechę nazywamy bkb (bok, kąt, bok). 


  3. Jeżeli długość boku jednego trójkąta jest taka sama jak długość boku drugiego trójkąta oraz kąty leżące przy tych bokach mają równe miary. 
    Taką cechę nazywamy kbk (kąt, bok, kąt). 

Trapez

W dowolnym czworokącie (trapez, równoległobok, romb, prostokąt, kwadrat) suma miar kątów wewnętrznych wynosi 360°


W trapezie: 

  • występuje co najmniej jedna para boków równoległych, nazywamy je podstawami; pozostałe boki to ramiona

  • suma miar kątów leżących przy jednym ramieniu wynosi 180°

trapez


Rodzaje trapezów: 

  • trapez równoramienny - ramiona mają jednakowe długości, kąty leżące przy danej podstawie mają równe miary

  • trapez prostokątny - co najmniej jeden z kątów wewnętrznych jest kątem prostym

     

Wzór na pole trapezu

`P=((a+b)*h)/2` 

`a, b`  - długości podstaw trapezu

`h` - długość wysokości trapezu  

Równoległobok

W równoległoboku: 

  • przeciwległe boki mają równe długości i są do siebie równoległe

  • przeciwległe kąty mają równe miary 

  • suma miar kątów leżących przy jednym boku wynosi 180°

  • przekątne przecinają się w połowie


Wzór na pole równoległoboku: 

`P=a*h` 

`a`  - długość boku równoległoboku

`h`  - długość wysokości opuszczonej na ten bok  

Romb

W rombie: 

  • wszystkie boki mają równe długości

  • przeciwległe kąty mają równe miary 

  • suma miar kątów przy jednym boku wynosi 180°

  • przekątne przecinają się w połowie i pod kątem prostym

Wzór na pole rombu:

`P=(e*f)/2` 

`e, f`  - długości przekątnych rombu 


Uwaga!

Każdy romb jest równoległobokiem.

Obliczając pole rombu może więc korzystać ze wzoru na pole równoległoboku. 

Prostokąt

W prostokącie: 

  • przeciwległe boki mają równe długości

  • wszystkie kąty wewnętrzne są kątami prostymi (mają miary wynoszące 90°)

  • przekątne mają jednakową długość i przecinają się w połowie 

 

Wzór na pole prostokąta

`P=a*b` 

`a, b` - długości sąsiednich boków prostokąta 

Kwadrat

W kwadracie: 

  • wszystkie boki mają jednakową długość

  • wszystkie kąty wewnętrzne są kątami prostymi (mają miary wynoszące 90°)

  • przekątne mają jednakowe długości, przecinają się w połowie i są prostopadłe

Wzór na pole kwadratu

`P=a*a=a^2` 

`a`  - długość boku kwadratu


Uwaga!

Każdy kwadrat jest prostokątem.

Jednostki pola

Pola powierzchni figur podaje się w jednostkach kwadratowych.

Najczęściej używane jednostki to:

  • milimetr kwadratowy (`"mm"^2`),

  • centymetr kwadratowy (`"cm"^2`),

  • decymetr kwadratowy (`"dm"^2`),

  • metr kwadratowy (`"m"^2`),

  • kilometr kwadratowy (`"km"^2`).


Przeliczanie jednostek
:

`1 \ "mm"=1/10 \ "cm"` 

Zatem: 

`1 \ "mm"^2=1 \ "mm"*1 \ "mm"=1/10 \ "cm"*1/10 \ "cm"=1/100 \ "cm"^2=0,01 \ "cm"^2` 
  

`1 \ "cm"=10 \ "mm"` 

Zatem: 

`1 \ "cm"^2=1 \ "cm"*1 \ "cm"=10 \ "mm"*10 \ "mm"=100 \ "mm"^2` 


`1 \ "cm"=1/100 \ "m"` 

Zatem: 

`1 \ "cm"^2=1 \ "cm"*1 \ "cm"=1/100 \ "m"*1/100 \ "m"=1/(10 \ 000) \ "m"^2=0,0001 \ "m"^2` 


`1 \ "m"=100 \ "cm"` 

Zatem: 

`1 \ "m"^2=1 \ "m"*1 \ "m"=100 \ "cm"*100 \ "cm"=10 \ 000 \ "cm"^2` 


Analogicznie jak powyżej możemy obliczyć, że: 

`1 \ "cm"^2=0,01 \ "dm"^2` 

`1 \ "dm"^2=100 \ "cm"^2` 

`1 \ "m"^2=0,000001 \ "km"^2`      

`1 \ "km"^2=1 \ 000 \ 000 \ "m"^2`  


Powierzchnię gruntów, działek, łąk itp. podaje się często w arach lub hektarach

`1 \ "a"=100 \ "m"^2` 

`1 \ "ha"=10 \ 000 \ "m"^2`

`1 \ "ha"=100 \ "a"`  

Wielokąty foremne

Wielokąt foremny to wielokąt, którego wszystkie boki mają jednakowe długości oraz wszystkie kąty wewnętrzne mają równe miary. 


Przykłady wielokątów foremnych:

  • Trójkąt równoboczny

    trojkatrownoboczny
  • Kwadrat

    kwadrat1
  • Pięciokąt foremny

    piecokat
  • Sześciokąt foremny

    szesciokat

Układ współrzędnych

Układ współrzędnych służy do określania położenia punktów na płaszczyźnie. Tworzą go dwie osie, które są do siebie prostopadłe. 

Oś x-ów (oś poziomą) nazywamy osią odciętych i oznaczamy symbolicznie OX

Oś y-ów (oś pionową) nazywamy osią rzędnych i oznaczamy symbolem OY. 

Punkt przecięcia osi nazywamy początkiem układu współrzędnych. 


Współrzędne punktu 
to dwie liczby, które określają położenie tego punktu na płaszczyźnie. 

Pierwsza liczba to współrzędna x (odcięta punktu), którą odczytujemy z osi poziomej (OX). 

Druga liczba to współrzędna y (rzędna punktu), którą odczytujemy z osi pionowej (OY). 


Osie układu dzielą płaszczyznę na cztery części, które nazywamy ćwiartkami układu współrzędnych

Uwaga!

Punkty, które leżą na osiach nie należą do żadnej ćwiartki. 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Czy boki trójkąta mogą mieć podane niżej długości?

  1. 2 cm, 3 cm i 4 cm
  2. 1 cm, 2 cm i 3 cm
  3. 2 cm, 2 cm i 3 cm

Aby trójkąt mógł istnieć, długości jego boków muszą spełniać nierówności: $$a+b$$ > $$c$$.

  1. mogą być, bo spełniają nierówności
  2. nie mogą być, bo nie spełniają nierówności
  3. mogą być, bo spełniają nierówności

Zadanie 2.

Czy kąty w trójkącie mogą mieć podane niżej miary?

  1. $$ 12°, 15°$$ i $$153° $$
  2. $$ 35°, 55°$$ i $$75° $$
  3. $$ 1°, 1°$$ i $$178° $$

Suma miar kątów w trójkącie musi wynosić 180°.

  1. $$ 12°+15°+153°=180° $$ -> mogą być takie miary kątów
  2. $$ 35°+55°+75°=165°$$ -> nie mogą być takie miary kątów
  3. $$ 1°+1°+178°=180°$$ -> mogą być takie miary kątów

Zadanie 3.

Odpowiedz na pytania:

  1. Czy dwa wielokąty, których odpowiednie kąty mają takie same miary, muszą być przystające?
  2. Czy dwa wielokąty, których odpowiednie boki mają zawsze takie same długości, muszą być przystające?
  1. Nie muszą, ponieważ mogą mieć inne długości odpowiednich boków.
  2. Nie, ponieważ wielokąt wklęsły i wypukły mogą mieć takie same długości, ale nie będą wtedy przystające.

Zadanie 4.

Podstawami piramid Cheopsa w Egipcie i piramidy słońca w Meksyku są kwadraty o bokach długości odpowiednio 230 m i 225 m. Oblicz różnicę pól powierzchni zajmowanych przez te piramidy.

Pole 1 -> $$ 230^2=52900 m^2 $$

Pole 2 -> $$ 225^2=50625 m^2 $$

Różnica -> $$ 52900-50625=2275 m^2 $$

Odp.: Różnica pól powierzchni zajmowanych przez te piramidy wynosi $$ 2275 m^2 $$ .

Zadanie 5.

Trzy boki trapezu równoramiennego mają długość 10 cm, wysokość trapezu wynosi 8 cm, a jego pole wynosi 128 $$cm^2$$. Oblicz obwód tego trapezu.

Jeżeli trzy boki mają 10 cm to dwa z nich muszą być ramionami, a trzeci będzie jedną podstawą.

$$ {(a+b)h}/2=128 cm^2$$

$${(a+10)×8}/2=128 $$

$$ a+10=32 $$

$$a=22$$ cm -> $$Obw=22 cm+10 cm+10 cm+10 cm=52 cm $$

Odp.: Obwód tego trapezu jest równy $$52$$ cm.

Zadanie 6.

Pole równoległoboku jest równe 120cm2. Jeden z boków ma długość 5 cm, a jedna z wysokości długość 4cm. Oblicz długości pozostałych boków i wysokości tego równoległoboku.

Każdy równoległobok ma dwie pary takich samych boków i dwie pary wysokości o równych długościach. Pole równoległoboku oblicza się ze wzoru $$P=ah $$.

Jedna para boków ($$a_1$$) i wysokości na nie padające ($$h_1$$):

$$P=a_1 h_1$$

$$120=5×h_1$$

$$h_1=24 cm$$

Druga para boków ($$a_2$$) i wysokości na nie padające ($$h_2$$):

$$P=a_2 h_2 $$

$$120=a_2×4 $$

$$a_2=30$$ cm

Odp: Długości boków równoległoboku to 5 cm i 30 cm, a wysokości to 4 cm i 24 cm.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Zmieszano pewną liczbę kilogramów 40-procentowego ...

x - ilość kilogramów roztworu 40% 

40%x - ilość soli w tym roztworze 

 

2x - ilość kilogramów roztworu 10%

10%٠2x - ilość soli w tym roztworze {premium}

 

Zapiszmy, jaki jest stosunek soli do masy roztworu w nowym roztworze:

 

 

 

Odp. Otrzymano roztwór 20-procentowy.

Równanie 4x+4= ...

Zauważ, że po pomnożeniu liczby  przez {premium}wyrażenie w nawiasie  otrzymamy dokładnie to, co znajduje się po prawej stronie tego równania, czyli .

Zatem, niezależnie od wartości , równanie będzie prawdziwe, więc będzie spełnione przez każdą liczbę.


Odpowiedź: D

W piekarni Rogal&Buła sprzedawane...

Wyznaczmy medianę tych danych:

w tym celu uporządkujmy dane w kolejności rosnącej:

 

zauważmy, że dwie środkowe wartości to:{premium}

 i  , zatem:


 

Obliczmy średnią arytmetyczną tych danych:

 

Wierzchołki trójkąta prostokątnego ...

Aby na przeciwprostokątnej trójkąta był przynajmniej jeszcze jeden punkt kratowy,

to liczby a i b (długości przyprostokątnych) nie mogą być względnie pierwsze, czyli  

{premium}

 

Odp. Na przeciwprostokątnej jest jeszcze co najmniej jeden punkt kratowy.

 

Obliczmy długość drugiej przyprostokątnej, korzystając z tw. Pitagorasa.

 

 

 

 

 

 

 

  

Odp. Na przeciwprostokątnej jest jeszcze co najmniej jeden punkt kratowy.

 

 

Obliczmy długość drugiej przyprostokątnej, korzystając z tw. Pitagorasa.

 

 

 

 

 

 

 

Odp. Na przeciwprostokątnej nie ma więcej punktów kratowych.

 

 

Obliczmy długość drugiej przyprostokątnej, korzystając z tw. Pitagorasa.

 

 

 

 

 

 

  

Odp. Na przeciwprostokątnej nie ma więcej punktów kratowych.

 

Wskaż zdanie fałszywe ...

A. Graniastosłup o podstawie -kąta ma:  krawędzi (podręcznik s.83) - zdanie prawdziwe.

B. {premium}Podstawą graniastosłupa może być dowolny wielokąt - zdanie prawdziwe.

C. Graniastosłup trójkątny ma w podstawie trójkąt, tym samym ma on , czyli  krawędzi.
     Jest to najmniejsza liczba krawędzi graniastosłupa - zdanie prawdziwe.

D. Nie wszystkie ściany boczne graniastosłupów pochyłych są prostokątami - zdanie fałszywe.

 

Odpowiedź D.

Które wyrażenie ma inną wartość ...

Obliczamy wartość każdego z podanych wyrażeń. 

 
{premium}

 


 


   


Zauważmy, że wartości wrażeń podanych w przykładach A., C. i D. wynoszą 62

Wartość wyrażenia B. wynosi 63


Poprawna odpowiedź: B. 

Przyjrzyj się rysunkowi. Smycz ...

Rysunek pomocniczy:

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.   {premium}

Korzystając z tw. Pitagorasa obliczmy długość x:

 

 

 

 

 

Jeżeli długość x+2 jest mniejsza od 7,5, to kot może czuć się bezpiecznie, jeżeli jest większa, to pies może go dosięgnąć.

 

Odległość, do której sięga pies jest mniejsza od 7,5, więc kot może czuć się bezpiecznie.


Odpowiedź: Kot może czuć się bezpiecznie.

Oblicz obwody narysowanych wielokątów.

Odcinki AD i BC mają taką samą długość. 
 
 

{premium}

Odcinki AB i DC mają taką samą długość równą 5.


Obwód to suma długość wszystkich boków wielokąta.
   
 


Odcinek AD ma długość 5. 
Odcinek BC ma długość 3. 
Odcinki AB i CD mają taką samą długość. 
  
 


Obwód:
 
 

Figura przedstawiona na rysunku to romb. Każdy bok tej figury ma więc taką samą długość.  
 
 


Obwód tej figury wynosi:
 

Zapisz pary: numer trójkąta równobocznego ...

IB. Bok trójkąta równobocznego wynosi 6, zatem jego wysokość wynosi:

 

{premium}


IIA. Bok trójkąta równobocznego wynosi  

Jego wysokość wynosi:

 


IIIC. Bok trójkąta równobocznego wynosi 6,8 zatem jego wysokość wynosi:

 


IVE. Bok trójkąta równobocznego wynosi 2√2, zatem jego wysokość wynosi:

 

 

 

Ogrodnik miał zapas worków...

 - liczba worków nawozu typu B

 - liczba worków nawozu typu A

 

 

{premium}

 

 

 

 

 

 

Odp. Ogrodnik zmieszał 8 worków typu B i 10 worków typu A.