Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Figury geometryczne - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Proste i odcinki

Podstawowymi figurami geometrycznymi na płaszczyźnie są prosta, półprosta i odcinek.

  • Prosta

  • Półprosta

  • Odcinek



Dwie proste mogą się przecinać lub nie mieć punktów wspólnych. 

Gdy dwie proste przecinają się pod kątem prostym mówimy, że są to proste prostopadłe.

Gdy proste nie mają punktów wspólnych (nie przecinają się) mówimy, że są to proste równoległe.




Uwaga!!! 

Prosta jest równoległa sama do siebie. 

Kąty

Dwie półproste, które mają wspólny początek dzielą płaszczyznę na dwie części. Półproste te z każdą z tych części tworzą kąt.

Półproste nazywamy ramionami kąta. Miary kątów podajemy w stopniach (°).


Wyróżniamy kilka rodzajów kątów:

  1. Kąt prosty - ma miarę 90°

    prosty
  2. Kąt półpełny - ma miarę 180°

  3. Kąt pełny - ma miarę 360°

  4. Kąt ostry - ma miarę mniejszą niż 90°

    ostry
  5. Kąt rozwarty - ma miarę większą niż 90° i mniejszą niż 180°

    rozwarty
  6. Kąt wklęsły - ma miarę większą niż 180° i mniejszą niż 360°

    wklesly



Istnieje również kilka zależności między dwoma kątami:

  1. Kąty przyległe - suma ich miar wynosi 180°

    przylegle
  2. Kąty wierzchołkowe - mają takie same miary

    wierzcholkowe
  3. Kąty odpowiadające - mają takie same miary

    odpowiadajace
  4. Kąty naprzemianległe - mają takie same miary

    naprzemianlegle

Trójkąty

Trójkąty dzielimy na:

  • ostrokątne (wszystkie kąty trójkąta są kątami ostrymi),

  • prostokątne (jeden z kątów trójkąta jest kątem prostym),

  • rozwartokątne (jeden z kątów trójkąta jest kątem rozwartym),

  • równoboczne (wszystkie boki trójkąta mają taką samą długość),

  • równoramienne (dwa boki - ramiona, mają taką samą długość), 

  • różnoboczne (każdy bok trójkąta ma inną długość).


Suma miar kątów w dowolnym trójkącie jest równa 180°.

Nierówność trójkąta:

Boki dowolnego trójkąta muszą spełniać poniższe nierówności:

  1. `a+b \ > \ c` 

  2. `a+c \ > \ b` 

  3. `b+c \ > \ a`   

trojkat

Aby stwierdzić, czy z trzech odcinków można zbudować trójkąt wystarczy sprawdzić, czy suma długości dwóch krótszych odcinków jest większa od długości najdłuższego odcinka.


Trójkąt równoramienny

W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie mają równe miary, a ramiona mają taką samą długość. 


Trójkąt równoboczny: 

W trójkącie równobocznym wszystkie kąty mają równe miary wynoszące 60o, a boki mają równe długości. 

Przystawanie trójkątów

Trójkąty są przystające:

  1. Jeżeli boki jednego trójkąta mają takie same długości jak odpowiednie boki drugiego trójkąta.
    Taką cechę nazywamy bbb (bok, bok, bok). 
  2. Jeżeli dwa boki jednego trójkąta mają takie same długości jak odpowiednie boki drugiego trójkąta oraz kąty między tymi bokami mają równe miary.
    Taką cechę nazywamy bkb (bok, kąt, bok). 


  3. Jeżeli długość boku jednego trójkąta jest taka sama jak długość boku drugiego trójkąta oraz kąty leżące przy tych bokach mają równe miary. 
    Taką cechę nazywamy kbk (kąt, bok, kąt). 

Trapez

W dowolnym czworokącie (trapez, równoległobok, romb, prostokąt, kwadrat) suma miar kątów wewnętrznych wynosi 360°


W trapezie: 

  • występuje co najmniej jedna para boków równoległych, nazywamy je podstawami; pozostałe boki to ramiona

  • suma miar kątów leżących przy jednym ramieniu wynosi 180°

trapez


Rodzaje trapezów: 

  • trapez równoramienny - ramiona mają jednakowe długości

  • trapez prostokątny - co najmniej jeden z kątów wewnętrznych jest kątem prostym

     

Wzór na pole trapezu

`P=((a+b)*h)/2` 

`a, b`  - długości podstaw trapezu

`h` - długość wysokości trapezu  

Równoległobok

W równoległoboku: 

  • przeciwległe boki mają równe długości i są do siebie równoległe

  • przeciwległe kąty mają równe miary 

  • suma miar kątów leżących przy jednym boku wynosi 180°

  • przekątne przecinają się w połowie


Wzór na pole równoległoboku: 

`P=a*h` 

`a`  - długość boku równoległoboku

`h`  - długość wysokości opuszczonej na ten bok  

Romb

W rombie: 

  • wszystkie boki mają równe długości

  • przeciwległe kąty mają równe miary 

  • suma miar kątów przy jednym boku wynosi 180°

  • przekątne przecinają się w połowie i pod kątem prostym

Wzór na pole rombu:

`P=(e*f)/2` 

`e, f`  - długości przekątnych rombu 


Uwaga!

Każdy romb jest równoległobokiem.

Obliczając pole rombu może więc korzystać ze wzoru na pole równoległoboku. 

Prostokąt

W prostokącie: 

  • przeciwległe boki mają równe długości

  • wszystkie kąty wewnętrzne są kątami prostymi (mają miary wynoszące 90°)

  • przekątne mają jednakową długość i przecinają się w połowie 

 

Wzór na pole prostokąta

`P=a*b` 

`a, b` - długości sąsiednich boków prostokąta 

Kwadrat

W kwadracie: 

  • wszystkie boki mają jednakową długość

  • wszystkie kąty wewnętrzne są kątami prostymi (mają miary wynoszące 90°)

  • przekątne mają jednakowe długości, przecinają się w połowie i są prostopadłe

Wzór na pole kwadratu

`P=a*a=a^2` 

`a`  - długość boku kwadratu


Uwaga!

Każdy kwadrat jest prostokątem.

Jednostki pola

Pola powierzchni figur podaje się w jednostkach kwadratowych.

Najczęściej używane jednostki to:

  • milimetr kwadratowy (`"mm"^2`),

  • centymetr kwadratowy (`"cm"^2`),

  • decymetr kwadratowy (`"dm"^2`),

  • metr kwadratowy (`"m"^2`),

  • kilometr kwadratowy (`"km"^2`).


Przeliczanie jednostek
:

`1 \ "mm"=1/10 \ "cm"` 

Zatem: 

`1 \ "mm"^2=1 \ "mm"*1 \ "mm"=1/10 \ "cm"*1/10 \ "cm"=1/100 \ "cm"^2=0,01 \ "cm"^2` 
  

`1 \ "cm"=10 \ "mm"` 

Zatem: 

`1 \ "cm"^2=1 \ "cm"*1 \ "cm"=10 \ "mm"*10 \ "mm"=100 \ "mm"^2` 


`1 \ "cm"=1/100 \ "m"` 

Zatem: 

`1 \ "cm"^2=1 \ "cm"*1 \ "cm"=1/100 \ "m"*1/100 \ "m"=1/(10 \ 000) \ "m"^2=0,0001 \ "m"^2` 


`1 \ "m"=100 \ "cm"` 

Zatem: 

`1 \ "m"^2=1 \ "m"*1 \ "m"=100 \ "cm"*100 \ "cm"=10 \ 000 \ "cm"^2` 


Analogicznie jak powyżej możemy obliczyć, że: 

`1 \ "cm"^2=0,01 \ "dm"^2` 

`1 \ "dm"^2=100 \ "cm"^2` 

`1 \ "m"^2=0,000001 \ "km"^2`      

`1 \ "km"^2=1 \ 000 \ 000 \ "m"^2`  


Powierzchnię gruntów, działek, łąk itp. podaje się często w arach lub hektarach

`1 \ "a"=100 \ "m"^2` 

`1 \ "ha"=10 \ 000 \ "m"^2`

`1 \ "ha"=100 \ "a"`  

Wielokąty foremne

Wielokąt foremny to wielokąt, którego wszystkie boki mają jednakowe długości oraz wszystkie kąty wewnętrzne mają równe miary. 


Przykłady wielokątów foremnych:

  • Trójkąt równoboczny

    trojkatrownoboczny
  • Kwadrat

    kwadrat1
  • Pięciokąt foremny

    piecokat
  • Sześciokąt foremny

    szesciokat

Układ współrzędnych

Układ współrzędnych służy do określania położenia punktów na płaszczyźnie. Tworzą go dwie osie, które są do siebie prostopadłe. 

Oś x-ów (oś poziomą) nazywamy osią odciętych i oznaczamy symbolicznie OX

Oś y-ów (oś pionową) nazywamy osią rzędnych i oznaczamy symbolem OY. 

Punkt przecięcia osi nazywamy początkiem układu współrzędnych. 


Współrzędne punktu 
to dwie liczby, które określają położenie tego punktu na płaszczyźnie. 

Pierwsza liczba to współrzędna x (odcięta punktu), którą odczytujemy z osi poziomej (OX). 

Druga liczba to współrzędna y (rzędna punktu), którą odczytujemy z osi pionowej (OY). 


Osie układu dzielą płaszczyznę na cztery części, które nazywamy ćwiartkami układu współrzędnych

Uwaga!

Punkty, które leżą na osiach nie należą do żadnej ćwiartki. 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Czy boki trójkąta mogą mieć podane niżej długości?

  1. 2 cm, 3 cm i 4 cm
  2. 1 cm, 2 cm i 3 cm
  3. 2 cm, 2 cm i 3 cm

Aby trójkąt mógł istnieć, długości jego boków muszą spełniać nierówności: $$a+b$$ > $$c$$.

  1. mogą być, bo spełniają nierówności
  2. nie mogą być, bo nie spełniają nierówności
  3. mogą być, bo spełniają nierówności

Zadanie 2.

Czy kąty w trójkącie mogą mieć podane niżej miary?

  1. $$ 12°, 15°$$ i $$153° $$
  2. $$ 35°, 55°$$ i $$75° $$
  3. $$ 1°, 1°$$ i $$178° $$

Suma miar kątów w trójkącie musi wynosić 180°.

  1. $$ 12°+15°+153°=180° $$ -> mogą być takie miary kątów
  2. $$ 35°+55°+75°=165°$$ -> nie mogą być takie miary kątów
  3. $$ 1°+1°+178°=180°$$ -> mogą być takie miary kątów

Zadanie 3.

Odpowiedz na pytania:

  1. Czy dwa wielokąty, których odpowiednie kąty mają takie same miary, muszą być przystające?
  2. Czy dwa wielokąty, których odpowiednie boki mają zawsze takie same długości, muszą być przystające?
  1. Nie muszą, ponieważ mogą mieć inne długości odpowiednich boków.
  2. Nie, ponieważ wielokąt wklęsły i wypukły mogą mieć takie same długości, ale nie będą wtedy przystające.

Zadanie 4.

Podstawami piramid Cheopsa w Egipcie i piramidy słońca w Meksyku są kwadraty o bokach długości odpowiednio 230 m i 225 m. Oblicz różnicę pól powierzchni zajmowanych przez te piramidy.

Pole 1 -> $$ 230^2=52900 m^2 $$

Pole 2 -> $$ 225^2=50625 m^2 $$

Różnica -> $$ 52900-50625=2275 m^2 $$

Odp.: Różnica pól powierzchni zajmowanych przez te piramidy wynosi $$ 2275 m^2 $$ .

Zadanie 5.

Trzy boki trapezu równoramiennego mają długość 10 cm, wysokość trapezu wynosi 8 cm, a jego pole wynosi 128 $$cm^2$$. Oblicz obwód tego trapezu.

Jeżeli trzy boki mają 10 cm to dwa z nich muszą być ramionami, a trzeci będzie jedną podstawą.

$$ {(a+b)h}/2=128 cm^2$$

$${(a+10)×8}/2=128 $$

$$ a+10=32 $$

$$a=22$$ cm -> $$Obw=22 cm+10 cm+10 cm+10 cm=52 cm $$

Odp.: Obwód tego trapezu jest równy $$52$$ cm.

Zadanie 6.

Pole równoległoboku jest równe 120cm2. Jeden z boków ma długość 5 cm, a jedna z wysokości długość 4cm. Oblicz długości pozostałych boków i wysokości tego równoległoboku.

Każdy równoległobok ma dwie pary takich samych boków i dwie pary wysokości o równych długościach. Pole równoległoboku oblicza się ze wzoru $$P=ah $$.

Jedna para boków ($$a_1$$) i wysokości na nie padające ($$h_1$$):

$$P=a_1 h_1$$

$$120=5×h_1$$

$$h_1=24 cm$$

Druga para boków ($$a_2$$) i wysokości na nie padające ($$h_2$$):

$$P=a_2 h_2 $$

$$120=a_2×4 $$

$$a_2=30$$ cm

Odp: Długości boków równoległoboku to 5 cm i 30 cm, a wysokości to 4 cm i 24 cm.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Oblicz:

`2^3*5^3=#underbrace(2*2*2)_(8)*#underbrace(5*5*5)_(125)=8*125=1000` 

{premium}  

`(0,1^2)^2=(0,01)^2=0,0001`  

`3^2*3^5=#underbrace(3*3*3)_(27)*#underbrace(3*3*3)_(27)*3=27*27*3=2187` 
 

`8^3:4^3=(8*8*8):(4*4*4)=512:64=8` 

`0,5^4:0,5^2=(#underbrace(0,5*0,5)_(0,25)*#underbrace(0,5*0,5)_(0,25)):#underbrace((0,5*0,5))_(0,25)=(0,25*0,25):0,25=0,0625:0,25=0,25`      

Stosunek miar kątów trójkąta wynosi...

Stosunek podziału kątów trójkąta wynosi 1:3:5. 

Suma miar kątów w trójkącie wynosi 180°.


Chcemy podzielić 180° na trzy części w stosunku 1:3:5. 

Oznacza to, że dzielimy 180° na 9 kawałków (1+3+5=9 -suma stosunków).
`180:9=20` 
{premium}

Jeden kawałek odpowiada 20°. 

Pierwsza część składa się z 1 kawałka, czyli ma ona 20°. 
Druga część składa się z 3 kawałków, czyli ma ona 3∙20°=60°. 
Trzecia część składa się z 5 kawałków, czyli ma ona 5∙20°=100°. 

Podział kątów trójkąta w stosunku 1:3:5 wyznacza kąty o miarach:
20°, 60°, 100°. 

Na rysunku przedstawiono graniastosłup ...

a) Rysunek pomocniczy:

Przekątna graniastosłupa oznaczona jako p, przekątna podstawy oznaczona jako d oraz wysokość graniastosłupa

tworzą trójkąt prostokątny.
{premium}

Przekątna podstawy d ma długość równą 12 (podstawą jest sześciokąt foremny, więc możemy go podzielić na sześć

przystających trójkątów równobocznych o takiej samej długości boku, jak długość boku sześciokąta):

`d=12`  

Korzystając z tw. Pitagorasa obliczamy długość przekątnej graniastosłupa p:

`p^2=d^2+5^2` 

`p^2=12^2+25` 

`p^2=144+25=169` 

`p=sqrt169=13` 

Odp: Długości boków zaznaczonego trójkąta to 5, 12 i 13.

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 


b) Rysunek pomocniczy:

Przekątna graniastosłupa oznaczona jako p, krótsza przekątna podstawy oznaczona jako d oraz wysokość graniastosłupa

tworzą trójkąt prostokątny.

Krótsza przekątna podstawy (d) ma taką samą długość jak dwie wysokości trójkąta równobocznego (na które można podzielić podstawę), stąd:

`d=strike2^1*(6sqrt3)/strike2^1=6sqrt3` 

Korzystając z tw. Pitagorasa obliczamy długość przekątnej p:

`p^2=5^2+d^2`  

`p^2=25+(6sqrt3)^2` 

`p^2=25+108=133` 

`p=sqrt133`   

c) Rysunek pomocniczy:

Przekątna graniastosłupa oznaczona jako p, przekątna podstawy oznaczona jako d oraz przekątna ściany bocznej

oznaczona jako c tworzą trójkąt.

Korzystając z tw. Pitagorasa obliczamy długość przekątnej c:

`c^2=5^2+6^2` 

`c^2=25+36=61` 

`c=sqrt61` 

Przekątna podstawy d ma długość równą 12 (podstawą jest sześciokąt foremny, więc możemy go podzielić na sześć

przystających trójkątów równobocznych o takiej samej długości boku, jak długość boku sześciokąta):

`d=12`  

Aby obliczyć długość przekątnej p musimy wyznaczyć najpierw długość odcinka b (jest to krótsza przekątna podstawy).

Krótsza przekątna podstawy ma taką samą długość jak dwie wysokości trójkąta równobocznego (na które można podzielić podstawę), stąd:

`b=strike2^1*(6sqrt3)/strike2^1=6sqrt3` 

Korzystając z tw. Pitagorasa obliczamy długość przekątnej p:

`p^2=5^2+b^2` 

`p^2=25+(6sqrt3)^2` 

`p^2=25+108=133` 

`p=sqrt133`   

Odp: Długości boków zaznaczonego trójkąta to 61, 12 i 133.

 

Graniastosłup G jest prawidłowy pięciokątny...

Wykonajmy rysunek przedstawiający sytuację opisaną w zadaniu:



{premium}

Pole podstawy oznaczymy: `P_p`  

Pole całkowite tego graniastosłupa G będzie wynosiło: `P_G = 2 P_p+ P_(bG)` 

Pole całkowite nowo powstałego graniastosłupa G' będzie wynosiło: `P_(G') = 2 P_p + P_(bG')` 

Pole powierzchni bocznej graniastosłupa G będzie wynosiło: `P_(bG) = 5*a*h` 

Pole powierzchni bocznej graniastosłupa G' będzie wynosiło: `P_(bG') = 5*a*H` 

Suma długości krawędzi graniastosłupa G będzie wynosiła: `L_G = 10a + 5 h` 

Suma długości krawędzi graniastosłupa G' będzie wynosiła: `L_(G') = 10a + 5H` 

Zauważmy, że: `H = 2 h` 

Z treści zadania wiemy, że zależność pola graniastosłupa G' od pola graniastosłupa G ma postać: `P_(G') = P_G + 100\ cm^2` 

Z treści zadania wiemy, że zależność długości krawędzi graniastosłupa G' od długości krawędzi graniastosłupa G ma postać: `L_(G') = L_G + 20\ cm` 

Wyznaczmy wysokość graniastosłupa G:

`L_(G') = L_G+20\ cm` 

`10a + 5H = 10a + 5 h+20\ cm  \ \ \ \ \ |-10a`

`5H =5 h+20\ cm`  

`5*2h =5 h+20\ cm` 

`10h =5 h+20\ cm \ \ \ \ \ |-5 h` 

`5 h = 20\ cm \ \ \ \ \ \ |:5` 

`h = 4\ cm` 

Obliczamy krawędź podstawy graniastosłupa G:

`P_(G') = 2 P_p + P_(bG')` 

`P_G + 100\ cm^2 = 2 P_p + P_(bG')` 

`2 P_p+ P_(bG) + 100\ cm^2 = 2 P_p + P_(bG') \ \ \ \ \ \ |-2 P_p` 

`P_(bG) + 100\ cm^2 =  P_(bG')` 

`P_(bG') = P_(bG) + 100\ cm^2` 

`5*a*H = 5*a*h + 100\ cm^2` 

`5*a*2h = 5*a*h + 100\ cm^2` 

`10*a*h = 5*a*h + 100\ cm^2 \ \ \ \ \ \ |-5*a*h` 

`5*a*h = 100\ cm^2` 

`5*a*4\ cm = 100\ cm^2` 

`a*20\ cm = 100\ cm^2 \ \ \ \ \ |:20\ cm` 

`a = (100\ cm^2)/(20\ cm)` 

`a = 5\ cm` 

Podaj NWD i NWW liczb:

a) Wypiszmy kilka kolejnych wielokrotności (różnych od 0) liczby 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, ...

Wypiszmy teraz kilka kolejnych wielokrotności (różnych od 0) liczby 7: 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, ...

Zauważmy, że najmniejszą wspólną wielokrotnością (NWW) liczb 5 i 7 jest 35

`NWW(5,7)=35` 

{premium}

Wypiszmy dzielniki liczby 5: 1, 5. 

Wypiszmy teraz dzielniki liczby 7: 1, 7. 

Zauważmy, że największym wspólnym dzielnikiem (NWD) liczb 5 i 7 jest 1. Są to liczby względnie pierwsze. 

`NWD(5,7)=1`



b) Wypiszmy kilka kolejnych wielokrotności (różnych od 0) liczby 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32 ...

Wypiszmy teraz kilka kolejnych wielokrotności (różnych od 0) liczby 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36 ...

Zauważmy, że najmniejszą wspólną wielokrotnością (NWW) liczb 4 i 6 jest 12

`NWW(4,6)=12` 


Wypiszmy dzielniki liczby 4: 1, 2, 4. 

Wypiszmy teraz dzielniki liczby 6: 1, 2, 3, 6. 

Zauważmy, że największym wspólnym dzielnikiem (NWD) liczb 4 i 6 jest 2

`NWD(4,6)=2`

 



c)
Wypiszmy kilka kolejnych wielokrotności (różnych od 0) liczby 10: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80 ...

Wypiszmy teraz kilka kolejnych wielokrotności (różnych od 0) liczby 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84 ...

Zauważmy, że najmniejszą wspólną wielokrotnością (NWW) liczb 10 i 12 jest 60

`NWW(10,12)=60` 


Wypiszmy dzielniki liczby 10: 1, 2, 5, 10. 

Wypiszmy teraz dzielniki liczby 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12. 

Zauważmy, że największym wspólnym dzielnikiem (NWD) liczb 10 i 12 jest 2

`NWD(10,12)=2` 



d)
Wypiszmy kilka kolejnych wielokrotności (różnych od 0) liczby 8: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 ...

Wypiszmy teraz kilka kolejnych wielokrotności (różnych od 0) liczby 12: 12, 24, 36, 48, 60 ...

Zauważmy, że najmniejszą wspólną wielokrotnością (NWW) liczb 8 i 12 jest 24

`NWW(8,12)=24` 


Wypiszmy dzielniki liczby 8: 1, 2, 4, 8. 

Wypiszmy teraz dzielniki liczby 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12. 

Zauważmy, że największym wspólnym dzielnikiem (NWD) liczb 8 i 12 jest 4.  

`NWD(8,12)=4`



e) 
Wypiszmy kilka kolejnych wielokrotności (różnych od 0) liczby 100: 100, 200, 300, 400, 500, 600 ...

Wypiszmy teraz kilka kolejnych wielokrotności (różnych od 0) liczby 150: 150, 300, 450, 600, 750 ...

Zauważmy, że najmniejszą wspólną wielokrotnością (NWW) liczb 100 i 150 jest 300

`NWW(100,150)=300` 


Wypiszmy dzielniki liczby 100: 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100. 

Wypiszmy teraz dzielniki liczby 150: 1, 3, 5, 10, 15, 30, 50, 150. 

Zauważmy, że największym wspólnym dzielnikiem (NWD) liczb 100 i 150 jest 50.  

`NWD(100,150)=50`



f) 

Przyjrzyj się towarom na rysunku...

Z rysunku dołączonego do zadania odczytujemy, że:

Cena płaszcza przed obniżką wynosi: `165\  zł`   

Cena płaszcza po obniżce wynosi: `99\ zł`  

Cena spodni przed obniżką wynosi: `150\ zł` 

Procent o jaki obniżono cenę spodni: `30%` 

Cena spódnicy po obniżce: `133\ zł`  

Procent o jaki obniżono cenę spódnicy: `30%` 

 

`a)` 

Procent o jaki obniżono cenę spodni i spódnicy jest taki sam i wynosi 30%. Obliczmy o ile obniżono cenę płaszcza:

`165\ zł - x*165\ zł = 99\ zł \ \ \ \ \ |-165\ zł` 

`-x*165\ zł = -66\ zł \ \ \ \ \ |:(-165\ zł)`    

`x = 0,4` 

`x = 40%` 

Odp.: O największy procent obniżono cenę płaszcza.

{premium}

`b)` 

Kwota o jaką obniżono cenę płaszcza:

`165\ zł - 99\ zł = 66\ zł` 

Kwota o jaką obniżono cenę spodni:

`30%*150\ zł =  0,3*150\ zł =  45\ zł` 

Obliczmy ile wynosiła cena spódnicy przed obniżką:

`x - 30% x = 133\ zł` 

`x - 0,3 x= 133\ zł` 

`0,7  x = 133\ zł \ \ \ \ \ |:0,7` 

`x = 190\ zł`    

Kwota o jaką obniżono cenę spódnicy:

`190\ zł - 133\ zł = 57\ zł` 

Odp.: Cena płaszcza została obniżona o największą kwotę.

 

`c)` 

Cena płaszcza przed obniżką: `165\ zł` 

Cena spodni przed obniżką: `150\ zł` 

Cena spódnicy przed obniżką: `190\ zł`   

Odp.: Najtańsze przed obniżką były spodnie. 

 

`d)`  

Cena płaszcza po obniżce: `99\ zł` 

Obliczmy cenę spodni po obniżce: `150\ zł - 45\ zł = 105\ zł` 

Cena spódnicy po obniżce: `133\ zł`    

Odp.: Najtańszy po obniżce był płaszcz.

a) Magda stwierdziła, że ma...

`a)`  

Kwota jaką posiadała Magda w skarbonce: `10\ zł` 

Kwota jaką posiadała Ania w skarbonce: `190\ zł` 

Kwota jaką Magda odkładała co tydzień do skarbonki: `2\ zł` 

Kwota jaką Ania wydawała co tydzień ze swojej skarbonki: `10\ zł` 

Liczba tygodni po jakiej siostry będą miały taką samą kwotę: `x` 

Czas po jakim Magda odłoży tyle oszczędności co będzie posiadała wtedy Ania: `10\ zł + x*2\ zł` 

Czas po jakim Ania będzie miała tyle oszczędności co Magda: `190\ zł - x*10\ zł` 

Porównajmy te wzory i obliczmy po ilu tygodniach dziewczynki będą miały tyle samo pieniędzy w skarbonkach:

`10\ zł + x*2\ zł = 190\ zł - x*10\ zł \ \ \ \ \ \ |+x*10\ zł` 
{premium}

`10\ zł + ul(x*2\ zł) + ul(x*10\ zł) = 190\ zł - strike(x*10\ zł) + strike(x*10\ zł)` 

`10\ zł + x*12\ zł = 190\ zł \ \ \ \ |-10\ zł` 

`x*12\ zł = 180\ zł \ \ \ \ \ |:12\ zł` 

`x = (180\ zł)/(12\ zł)` 

`x = 15` 

Odp.: Siostry będą miały tyle samo pieniędzy po 15 tygodniach.

 

`b)` 

Prędkość z jaką poruszał się pierwszy samochód: `v_1 = 60\ (km)/h` 

Prędkość z jaką poruszał się drugi samochód: `v_2 = 80\ (km)/h` 

Droga jaką pokonały oba pojazdy razem: `s = 280\ km` 

Wiemy, że samochody pokonały razem drogę s, czyli możemy ją zapisać jako sumę drogi pokonanej przez pierwszy samochód i drugi samochód:

`s = s_1 + s_2` 

gdzie s1 jest drogą pokonaną przez pierwszy samochód, s2 jest drogą pokonaną przez drugi samochód. Wiemy, że prędkość z jaką porusza się samochód w zależności od drogi jaką pokona i czasu przedstawiamy wzorem:

`v = s/t` 

gdzie v jest prędkością, s jest drogą, t jest czasem. Przekształćmy ten wzór, żeby wyznaczyć drogę:

`v = s/t \ \ \ \ \ |*t` 

`v*t=s` 

`s = v*t`  

Z tego wynika, że droga jaką pokonał pierwszy samochód będzie miała postać:

`s_1 = v_1*t` 

Droga jaką pokonał drugi samochód będzie miała postać:

`s_2 = v_2*t` 

Wiemy, że czas ruchu obydwu samochodów był taki sam, czyli możemy zapisać, że:

`s = s_1+s_2` 

`s = v_1*t + v_2*t` 

`s = (v_1 + v_2)*t \ \ \ \ \ \  |:(v_1 + v_2)` 

`s/(v_1 + v_2) = t` 

`t = s/(v_1 + v_2)` 

`t = (280\ km)/(60\ (km)/h + 80\ (km)/h)` 

`t = (280\ km)/(140\ (km)/h)` 

`t = (280\ strike(km)*h)/(140\ strike(km))` 

`t = 2\ h` 

Odp.: Samochody spotkały się po dwóch godzinach jazdy.

Adam i Ewa mają razem...

Wiek Ewy: `x` 

Wiek Adama: `y` 

Suma wieku Ewy i Adama: `x+y = 24` 

Wiek Adama za dwa lata: `y+2` 

Wiek Ewy za dwa lata: `x+2 = 3*(y+2)` 

Otrzymujemy układ równań, z którego obliczamy ile lat ma Ewa i Adam:

`{(x+y=24 \ \ \ \ \ |-y),(x+2 = 3(y+2)):}` 
{premium}

`{(x = 24-y),(ul24-y + ul2 = 3y+6):}` 

`{(x = 24-y),(26-y =3y+6 \ \ \ \ \ |-3y-26):}` 

`{(x = 24-y),(-4y = -20 \ \ \ \ \ |:(-4) ):}` 

`{(x=24-5),(y = 5):}` 

`{(x = 19),(y = 5):}` 

Oceniamy prawdziwość zdań:

Adam jest o 14 lat młodszy od Ewy.

`19-5 = 14` 

PRAWDA

Ewa jest cztery razy starsza od Adama.

`19/5 = 3 4/5` 

FAŁSZ

Kilka lat temu  Ewa była razy starsza od Adama.

Lata, które upłynęły, od czasu kiedy Ewa mogła być osiem razy starsza od Adama: `z`  

Wiek Ewy w tym czasie: `19-z` 

Wiek Adama w tym czasie: `5-z` 

Ewa była osiem razy starsza od Adama wówczas:

`(19-z)/(5-z)=8 \ \ \ \ |*(5-z)` 

`19-z = 8(5-z)` 

`19-z = 40-8z \ \ \ \ \ |+8z-19` 

`7z = 21 \ \ \ \ |:7` 

`z = 21/7` 

`z = 3` 

Taka sytuacja miała miejsce 3 lata temu.

PRAWDA

Za 6 lat Adam i Ewa będą mieli razem 30 lat.

Wiek Ewy za 6 lat: `19+6 = 25` 

Wiek Adama za 6 lat: `5+6 = 11` 

Razem: `25+11 = 36` 

FAŁSZ

a) Od największej liczby...

`a)`  

Największa liczba, którą można zapisać w systemie rzymskim: `MMMCMXLIX - 3999`  

Liczba trzycyfrowa, która w zapisie rzymskim ma najwięcej znaków: `D C C CLXXXVIII -  888` 

Od największej liczby jaką można zapisać w systemie rzymskim odjęto najdłuższą liczbę trzycyfrową zapisaną w systemie rzymskim:

`3999 -888 = 3111` 

{premium}

`b)` 

Liczba czterocyfrowa, która ma w zapisie rzymskim najwięcej znaków: `MMMD C C C LXXXVIII  - 3888` 

Największa liczba, która można zapisać za pomocą znaków: I, X, L, C, M użytych tylko raz: `M C L X I  - 1161` 

Od liczby czterocyfrowej, która ma w zapisie rzymskim najwięcej znaków odjęto największą liczbę, która można zapisać za pomocą znaków: I, X, L, C, M użytych tylko raz:

`3888 - 1161=2727` 

Oblicz kwotę, której:

`a)` 

`70%  *x=14` 

`70/100 *x = 14 \ \ \ \ \ |*100` 

`70  x = 1400 \ \ \ \ \ |:70`  

`x = 20` 

{premium}

`b)` 

`64%*x = 16` 

`64/100*x = 16 \ \ \ \ \ |*100` 

`64  x = 1600\ \ \ \ \ |:64` 

`x = 25` 

 

`c)` 

`82%*x = 574` 

`82/100*x = 574 \ \ \ \ \ |*100` 

`82  x = 57400 \ \ \ \ \ |:82` 

`x = 700` 

 

`d)` 

`67%*x = 2010` 

`67/100*x = 2010 \ \ \ \ \ |*100` 

`67 x = 201000 \ \ \ \ \ \ |:67` 

`x = 3 000` 

 

`e)` 

`99%*x = 1237,5` 

`99/100*x = 1237,5 \ \ \ \ \ |*100` 

`99  x = 123750 \ \ \ \ \ |:99` 

`x = 1250` 

 

`f)` 

`135%*x = 945` 

`135/100*x = 945 \ \ \ \ \  |*100` 

`135  x = 94500\ \ \ \ \ \ |:135` 

`x = 700`