Figury geometryczne - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Figury geometryczne - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Proste i odcinki

Podstawowymi figurami geometrycznymi na płaszczyźnie są prosta, półprosta i odcinek.

  • Prosta

  • Półprosta

  • Odcinek



Dwie proste mogą się przecinać lub nie mieć punktów wspólnych. 

Gdy dwie proste przecinają się pod kątem prostym mówimy, że są to proste prostopadłe.

Gdy proste nie mają punktów wspólnych (nie przecinają się) mówimy, że są to proste równoległe.




Uwaga!!! 

Prosta jest równoległa sama do siebie. 

Kąty

Dwie półproste, które mają wspólny początek dzielą płaszczyznę na dwie części. Półproste te z każdą z tych części tworzą kąt.

Półproste nazywamy ramionami kąta. Miary kątów podajemy w stopniach (°).


Wyróżniamy kilka rodzajów kątów:

  1. Kąt prosty - ma miarę 90°

    prosty
  2. Kąt półpełny - ma miarę 180°

  3. Kąt pełny - ma miarę 360°

  4. Kąt ostry - ma miarę mniejszą niż 90°

    ostry
  5. Kąt rozwarty - ma miarę większą niż 90° i mniejszą niż 180°

    rozwarty
  6. Kąt wklęsły - ma miarę większą niż 180° i mniejszą niż 360°

    wklesly



Istnieje również kilka zależności między dwoma kątami:

  1. Kąty przyległe - suma ich miar wynosi 180°

    przylegle
  2. Kąty wierzchołkowe - mają takie same miary

    wierzcholkowe
  3. Kąty odpowiadające - mają takie same miary

    odpowiadajace
  4. Kąty naprzemianległe - mają takie same miary

    naprzemianlegle

Trójkąty

Trójkąty dzielimy na:

  • ostrokątne (wszystkie kąty trójkąta są kątami ostrymi),

  • prostokątne (jeden z kątów trójkąta jest kątem prostym),

  • rozwartokątne (jeden z kątów trójkąta jest kątem rozwartym),

  • równoboczne (wszystkie boki trójkąta mają taką samą długość),

  • równoramienne (dwa boki - ramiona, mają taką samą długość), 

  • różnoboczne (każdy bok trójkąta ma inną długość).


Suma miar kątów w dowolnym trójkącie jest równa 180°.

Nierówność trójkąta:

Boki dowolnego trójkąta muszą spełniać poniższe nierówności:

  1. `a+b \ > \ c` 

  2. `a+c \ > \ b` 

  3. `b+c \ > \ a`   

trojkat

Aby stwierdzić, czy z trzech odcinków można zbudować trójkąt wystarczy sprawdzić, czy suma długości dwóch krótszych odcinków jest większa od długości najdłuższego odcinka.


Trójkąt równoramienny

W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie mają równe miary, a ramiona mają taką samą długość. 


Trójkąt równoboczny: 

W trójkącie równobocznym wszystkie kąty mają równe miary wynoszące 60o, a boki mają równe długości. 


Trójkąt prostokątny: 

 

Pole trójkąta: 

Pole trójkąta obliczamy ze wzoru:

`P=(a*h)/2` 

`a`   - długość boku

`h`   - długość wysokości opuszczonej na ten bok

Przystawanie trójkątów

Trójkąty są przystające:

  1. Jeżeli boki jednego trójkąta mają takie same długości jak odpowiednie boki drugiego trójkąta.
    Taką cechę nazywamy bbb (bok, bok, bok). 
  2. Jeżeli dwa boki jednego trójkąta mają takie same długości jak odpowiednie boki drugiego trójkąta oraz kąty między tymi bokami mają równe miary.
    Taką cechę nazywamy bkb (bok, kąt, bok). 


  3. Jeżeli długość boku jednego trójkąta jest taka sama jak długość boku drugiego trójkąta oraz kąty leżące przy tych bokach mają równe miary. 
    Taką cechę nazywamy kbk (kąt, bok, kąt). 

Trapez

W dowolnym czworokącie (trapez, równoległobok, romb, prostokąt, kwadrat) suma miar kątów wewnętrznych wynosi 360°


W trapezie: 

  • występuje co najmniej jedna para boków równoległych, nazywamy je podstawami; pozostałe boki to ramiona

  • suma miar kątów leżących przy jednym ramieniu wynosi 180°

trapez


Rodzaje trapezów: 

  • trapez równoramienny - ramiona mają jednakowe długości, kąty leżące przy danej podstawie mają równe miary

  • trapez prostokątny - co najmniej jeden z kątów wewnętrznych jest kątem prostym

     

Wzór na pole trapezu

`P=((a+b)*h)/2` 

`a, b`  - długości podstaw trapezu

`h` - długość wysokości trapezu  

Równoległobok

W równoległoboku: 

  • przeciwległe boki mają równe długości i są do siebie równoległe

  • przeciwległe kąty mają równe miary 

  • suma miar kątów leżących przy jednym boku wynosi 180°

  • przekątne przecinają się w połowie


Wzór na pole równoległoboku: 

`P=a*h` 

`a`  - długość boku równoległoboku

`h`  - długość wysokości opuszczonej na ten bok  

Romb

W rombie: 

  • wszystkie boki mają równe długości

  • przeciwległe kąty mają równe miary 

  • suma miar kątów przy jednym boku wynosi 180°

  • przekątne przecinają się w połowie i pod kątem prostym

Wzór na pole rombu:

`P=(e*f)/2` 

`e, f`  - długości przekątnych rombu 


Uwaga!

Każdy romb jest równoległobokiem.

Obliczając pole rombu może więc korzystać ze wzoru na pole równoległoboku. 

Prostokąt

W prostokącie: 

  • przeciwległe boki mają równe długości

  • wszystkie kąty wewnętrzne są kątami prostymi (mają miary wynoszące 90°)

  • przekątne mają jednakową długość i przecinają się w połowie 

 

Wzór na pole prostokąta

`P=a*b` 

`a, b` - długości sąsiednich boków prostokąta 

Kwadrat

W kwadracie: 

  • wszystkie boki mają jednakową długość

  • wszystkie kąty wewnętrzne są kątami prostymi (mają miary wynoszące 90°)

  • przekątne mają jednakowe długości, przecinają się w połowie i są prostopadłe

Wzór na pole kwadratu

`P=a*a=a^2` 

`a`  - długość boku kwadratu


Uwaga!

Każdy kwadrat jest prostokątem.

Jednostki pola

Pola powierzchni figur podaje się w jednostkach kwadratowych.

Najczęściej używane jednostki to:

  • milimetr kwadratowy (`"mm"^2`),

  • centymetr kwadratowy (`"cm"^2`),

  • decymetr kwadratowy (`"dm"^2`),

  • metr kwadratowy (`"m"^2`),

  • kilometr kwadratowy (`"km"^2`).


Przeliczanie jednostek
:

`1 \ "mm"=1/10 \ "cm"` 

Zatem: 

`1 \ "mm"^2=1 \ "mm"*1 \ "mm"=1/10 \ "cm"*1/10 \ "cm"=1/100 \ "cm"^2=0,01 \ "cm"^2` 
  

`1 \ "cm"=10 \ "mm"` 

Zatem: 

`1 \ "cm"^2=1 \ "cm"*1 \ "cm"=10 \ "mm"*10 \ "mm"=100 \ "mm"^2` 


`1 \ "cm"=1/100 \ "m"` 

Zatem: 

`1 \ "cm"^2=1 \ "cm"*1 \ "cm"=1/100 \ "m"*1/100 \ "m"=1/(10 \ 000) \ "m"^2=0,0001 \ "m"^2` 


`1 \ "m"=100 \ "cm"` 

Zatem: 

`1 \ "m"^2=1 \ "m"*1 \ "m"=100 \ "cm"*100 \ "cm"=10 \ 000 \ "cm"^2` 


Analogicznie jak powyżej możemy obliczyć, że: 

`1 \ "cm"^2=0,01 \ "dm"^2` 

`1 \ "dm"^2=100 \ "cm"^2` 

`1 \ "m"^2=0,000001 \ "km"^2`      

`1 \ "km"^2=1 \ 000 \ 000 \ "m"^2`  


Powierzchnię gruntów, działek, łąk itp. podaje się często w arach lub hektarach

`1 \ "a"=100 \ "m"^2` 

`1 \ "ha"=10 \ 000 \ "m"^2`

`1 \ "ha"=100 \ "a"`  

Wielokąty foremne

Wielokąt foremny to wielokąt, którego wszystkie boki mają jednakowe długości oraz wszystkie kąty wewnętrzne mają równe miary. 


Przykłady wielokątów foremnych:

  • Trójkąt równoboczny

    trojkatrownoboczny
  • Kwadrat

    kwadrat1
  • Pięciokąt foremny

    piecokat
  • Sześciokąt foremny

    szesciokat

Układ współrzędnych

Układ współrzędnych służy do określania położenia punktów na płaszczyźnie. Tworzą go dwie osie, które są do siebie prostopadłe. 

Oś x-ów (oś poziomą) nazywamy osią odciętych i oznaczamy symbolicznie OX

Oś y-ów (oś pionową) nazywamy osią rzędnych i oznaczamy symbolem OY. 

Punkt przecięcia osi nazywamy początkiem układu współrzędnych. 


Współrzędne punktu 
to dwie liczby, które określają położenie tego punktu na płaszczyźnie. 

Pierwsza liczba to współrzędna x (odcięta punktu), którą odczytujemy z osi poziomej (OX). 

Druga liczba to współrzędna y (rzędna punktu), którą odczytujemy z osi pionowej (OY). 


Osie układu dzielą płaszczyznę na cztery części, które nazywamy ćwiartkami układu współrzędnych

Uwaga!

Punkty, które leżą na osiach nie należą do żadnej ćwiartki. 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Czy boki trójkąta mogą mieć podane niżej długości?

  1. 2 cm, 3 cm i 4 cm
  2. 1 cm, 2 cm i 3 cm
  3. 2 cm, 2 cm i 3 cm

Aby trójkąt mógł istnieć, długości jego boków muszą spełniać nierówności: $a+b$ > $c$.

  1. mogą być, bo spełniają nierówności
  2. nie mogą być, bo nie spełniają nierówności
  3. mogą być, bo spełniają nierówności

Zadanie 2.

Czy kąty w trójkącie mogą mieć podane niżej miary?

  1. $ 12°, 15°$ i $153° $
  2. $ 35°, 55°$ i $75° $
  3. $ 1°, 1°$ i $178° $

Suma miar kątów w trójkącie musi wynosić 180°.

  1. $ 12°+15°+153°=180° $ -> mogą być takie miary kątów
  2. $ 35°+55°+75°=165°$ -> nie mogą być takie miary kątów
  3. $ 1°+1°+178°=180°$ -> mogą być takie miary kątów

Zadanie 3.

Odpowiedz na pytania:

  1. Czy dwa wielokąty, których odpowiednie kąty mają takie same miary, muszą być przystające?
  2. Czy dwa wielokąty, których odpowiednie boki mają zawsze takie same długości, muszą być przystające?
  1. Nie muszą, ponieważ mogą mieć inne długości odpowiednich boków.
  2. Nie, ponieważ wielokąt wklęsły i wypukły mogą mieć takie same długości, ale nie będą wtedy przystające.

Zadanie 4.

Podstawami piramid Cheopsa w Egipcie i piramidy słońca w Meksyku są kwadraty o bokach długości odpowiednio 230 m i 225 m. Oblicz różnicę pól powierzchni zajmowanych przez te piramidy.

Pole 1 -> $ 230^2=52900 m^2 $

Pole 2 -> $ 225^2=50625 m^2 $

Różnica -> $ 52900-50625=2275 m^2 $

Odp.: Różnica pól powierzchni zajmowanych przez te piramidy wynosi $ 2275 m^2 $ .

Zadanie 5.

Trzy boki trapezu równoramiennego mają długość 10 cm, wysokość trapezu wynosi 8 cm, a jego pole wynosi 128 $cm^2$. Oblicz obwód tego trapezu.

Jeżeli trzy boki mają 10 cm to dwa z nich muszą być ramionami, a trzeci będzie jedną podstawą.

$ {(a+b)h}/2=128 cm^2$

${(a+10)×8}/2=128 $

$ a+10=32 $

$a=22$ cm -> $Obw=22 cm+10 cm+10 cm+10 cm=52 cm $

Odp.: Obwód tego trapezu jest równy $52$ cm.

Zadanie 6.

Pole równoległoboku jest równe 120cm2. Jeden z boków ma długość 5 cm, a jedna z wysokości długość 4cm. Oblicz długości pozostałych boków i wysokości tego równoległoboku.

Każdy równoległobok ma dwie pary takich samych boków i dwie pary wysokości o równych długościach. Pole równoległoboku oblicza się ze wzoru $P=ah $.

Jedna para boków ($a_1$) i wysokości na nie padające ($h_1$):

$P=a_1 h_1$

$120=5×h_1$

$h_1=24 cm$

Druga para boków ($a_2$) i wysokości na nie padające ($h_2$):

$P=a_2 h_2 $

$120=a_2×4 $

$a_2=30$ cm

Odp: Długości boków równoległoboku to 5 cm i 30 cm, a wysokości to 4 cm i 24 cm.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Na osi liczbowej zaznaczono cztery liczby : 2√2, π,√19, π/2.

 

 

 

Na osi zaznaczono dwie liczby pomiędzy liczbami 2 i 4. Wiemy jednak że wartość liczby pi wynosi w przybliżeniu 3,14, więc jest to liczba:

 {premium}

 

Drugą liczbą pomiędzy liczbami 3 i 4 jest liczba B, stąd:

 

 

  

  

 

 

 

 

 

 

Czy wykonany z kartonu...

Kwadrat nie będzie widoczny spod koła jeżeli długość średnicy tego koła będzie większa lub równa przekątnej kwadratu. Przekątna kwadratu o boku  wynosi:

 {premium}

 

 

 

Ponieważ koło ma średnicę o długości , czyli mniejszą od przekątnej kwadratu, to nie przykryje ono w całości tego kwadratu.

 

Odpowiedź: Nie, ponieważ średnica koła jest mniejsza od przekątnej kwadratu.

Przerysuj do zeszytu figurę...

Rysunki możemy uzupełnić w  następujący sposób:  {premium}

a)
podglad pliku
b)

Thumb zad18bs140

Trójkąt równoboczny, kwadrat i ...

Oznaczmy: 

a - długość boku trójkąta równobocznego

b - długość boku kwadratu

c - długość boku sześciokąta foremnego

 

Obliczmy długość boku i pole trójkąta równobocznego. {premium}

 

 

 

 

 

 

Zauważmy, że:

  

 

Obliczmy długość boku i pole kwadratu.

 

 

 

 

 

Obliczmy długość boku i pole sześciokąta foremnego.

 

 

 

 

 

 

 

Zauważmy, że:

 

 

Odp. Pole trójkąta jest najmniejsza, a pole sześciokąta jest największe.

Na wykresie przedstawiono odległość w kilometrach przebytą...

Z wykresu możemy odczytać, że:


w ciągu minuty samochód przebywał mniej niż kilometr, zatem

pierwsze zdanie jest prawdziwe
{premium}

odległość 4 km samochód pokonał w czasie powyżej 5 minut, zatem

drugie zdanie jest fałszywe


między 3 a 6 minutą jazdy samochód przebył więcej niż 2 km 

trzecie zdanie jest prawdziwe


obliczmy prędkość średnią samochodu:

 

wiemy, że samochód przejechał 3 km w 4 minuty, zatem:

 

czwarte zdanie jest fałszywe






Dwutomowe wydanie Opowieści z Narnii C. S. Lewisa liczy...

 -liczba stron w tomie I

 -liczba stron w tomie II

Wiemy, że pierwszy tom ma o 138 stron mniej niż drugi, zatem:

musimy rozwiązać równanie:

 

zatem:
{premium}
   

 

 

 

 


Odp.: Pierwszy tom ma 471 stron, a drugi tom ma 609 stron.

Par liczb naturalnych, których suma ...

Wypiszmy wszystkie pary liczb naturalnych, których suma jest równa .{premium}

 

Jest  takich par.


Odpowiedź: A

 

Wykonaj i opisz konstrukcję kąta 135°.

{premium}

Współrzędne którego z punktów zaznaczonych ...

Odczytujemy najpierw ile wynoszą współrzędne punktu A. 

 

Obliczamy, czy współrzędne tego punktu spełniają podany warunek. {premium}

 

Współrzędne punktu A spełniają podany warunek. 


Odczytujemy najpierw ile wynoszą współrzędne punktu B. 

 

Obliczamy, czy współrzędne tego punktu spełniają podany warunek. 

 

Współrzędne punktu B nie spełniają podanego warunku. 


Odczytujemy najpierw ile wynoszą współrzędne punktu C. 

 

Obliczamy, czy współrzędne tego punktu spełniają podany warunek. 

 

Współrzędne punktu C nie spełniają podanego warunku. 



Odczytujemy najpierw ile wynoszą współrzędne punktu D. 

 

Obliczamy, czy współrzędne tego punktu spełniają podany warunek.

 

Współrzędne punktu D nie spełniają podanego warunku. 

 

Poprawna odpowiedź: A. A

Dany jest prostopadłościan...

Zaznaczmy na rysunku przekrój prostopadłościanu:{premium}

podglad pliku

Zauważmy, że odcinki BD o EF są do siebie równoległe `BD || EF` oraz długość odcinka BD jest większa od odcinka EF: `|BD| > |EF|.` 

Z tego wynika, że pole przekroju tego prostopadłościanu jest trapezem.

 

Odpowiedź:

`bb(B.)` trapezem.