Koła i okręgi - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Koła i okręgi - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Styczna do okręgu

Styczna do okręgu to prosta mająca dokładnie jeden punkt wspólny z okręgiem.

Punkt wspólny prostej i okręgu nazywamy punktem styczności.

Promień poprowadzony do punktu styczności jest prostopadły do stycznej.




Uwaga!!!

Jeśli dwie styczne do okręgu przecinają się w punkcie S, to odcinki łączące punkt S z punktami styczności mają równe długości. 

 `|AS|=|BS|`  

Wzajemne położenie dwóch okręgów

Dwa okręgi mogą być:

  • rozłączne
  • przecinające się
  • styczne
  • współśrodkowe

Długość okręgu

Długość okręgu to nic innego jak obwód okręgu.

Wzór na długość okręgu:

`l=2pir` 

gdzie `r`  to długość promienia okręgu

Liczba `π`  (pi), która wystąpiła w powyższym wzorze, to liczba wyznaczająca stosunek długości okręgu ( `l` ) do długości jego średnicy ( `d` ).

`pi=l/d`  
W przybliżeniu wynosi ona `3,14`  lub `22/7` .
Liczba `π`  jest liczbą niewymierną!

 

Przykład:

Obliczamy ile wynosi długość okręgu, którego promień ma długość 5 cm. 

`r=5 \ "cm"` 

Zatem:

`l=2pi*5 \ "cm"=10pi \ "cm"` 

Pole koła

Wzór na pole koła:

`P=pir^2` 

gdzie `r`  to długość promienia koła


Przykład:

Obliczamy ile wynosi pole koła, którego promień ma długość 3 cm. 

`r=3 \ "cm"` 

Zatem: 

`P=pi*(3 \ "cm")^2=pi*9 \ "cm"^2=9pi \ "cm"^2`  

Długość łuku

Kąt środkowy to kąt, którego wierzchołkiem jest środek okręgu (koła) a ramiona zawierają promienie okręgu (koła). 

Kąt środkowy wyznacza łuk będący częścią okręgu. Łuk ten stanowi taką samą część okręgu, jaką częścią kąta pełnego jest kąt `alpha`

Długość łuku (x) obliczamy ze wzoru: 

`x=alpha/360^@*2pir`   

`r`  - długość promienia okręgu 

`alpha`  - miara kąta środkowego 



Przykład:

Kąt środkowy ma miarę 60o. Promień okręgu ma długość 4 cm. Obliczamy ile wynosi długość łuku wyznaczonego przez ten kąt. 

`x=60^@/360^@*2pi*4 \ "cm"=1/strike6^3*strike2^1pi*4 \ "cm"=1/3*pi*4 \ "cm"=4/3pi \ "cm"`  

Pole wycinka koła

Wycinek koła to część wspólna koła i kąta środkowego. 

Wycinek koła stanowi taką samą część całego koła, jaką częścią kąta pełnego jest kąt `alpha`.  

Pole wycinka koła (Pw) obliczamy ze wzoru: 

`P_w=alpha/360^@*pir^2` 

`r`  - długość promienia koła 

`alpha`  - miara kąta środkowego  

 

Przykład

Kąt środkowy ma miarę 90o. Promień koła ma długość 12 cm. Obliczamy ile wynosi pole wycinka koła wyznaczonego przez ten kąt. 

`P_w=90^@/360^@*pi*(12 \ "cm")^2=1/strike4^1*pi*strike144^36 \ "cm"^2=36pi \ "cm"^2`   

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Ustal, ile razy dłuższy jest okrąg o promieniu 5 od okręgu o średnicy 5.

$ L_1=2πr_1=2π×5=10π $

$ L_2=2πr_2=2π×2,5=5π $

$ {L_1}/{L_2} ={10}/5=2 $

Odp.: Okrąg o promieniu 5 jest 2 razy dłuższy od okręgu o średnicy 5.

Zadanie 2.

Ustal, ile razy większe jest koło o promieniu 4 od koła o średnicy 4.

$ P_1=π {r_1}^2=π×4^2=16π $

$ P_2=π {r_2}^2=π×2^2=4π $

$ {P_1}/{P_2} ={16}/4=4 $

Odp.: Koło o promieniu 4 jest 4 razy większe od koła o średnicy 4.

Zadanie 3.

Ustal promień koła, w którym wycinkowi:

  1. o polu $3π$, odpowiada kąt 30°
  2. o polu $3/2 π$, odpowiada kąt 240°
  3. o polu $2π$, odpowiada kąt 72°
  1. $ {30°}/{360°}×πr^2=3π $

    $ 1/{12}×r^2=3 $

    $ r=6 $
     
  2. $ {240°}/{360°}×πr^2=3/2 π $

    $ 2/3×r^2=3/2 $

    $ r=3/2=1,5 $
     
  3. $ {72°}/{360°}×πr^2=2π $

    $ 1/5×r^2=2 $

    $ r=√10 $
     

Zadanie 4.

Co oznacza liczba π i jakie jest jej przybliżenie w zaokrągleniu do części setnych?

Liczba π jest to stosunek długości obwodu okręgu do jego średnicy. W przybliżeniu wynosi 3,14.

$π={ ext "długość obwodu"}/{ ext "długość promienia"}≈3,14 $

Zadanie 5.

Jakie pole i obwód ma koło o średnicy $4√π$ ?

$ d=4√π -> r=2√π $

$ P=πr^2=π{(2√π)}^2=4π^2 $

$ L=2πr=2π2√π=4π√π $

Odp.: Pole koła wynosi $4π^2$, a obwód $4π√π$.

Zadanie 6.

Kasia obeszła trawnik wykonując 30 kroków. Oblicz jaką średnicę miał ten trawnik jeżeli długość jednego kroku Kasi jest równa 0,6m. Przybliż liczbę π do 3.

$ 2πr=30×0,6 $

$ 2×3r=18 $

$ r=3 m $

$ d=2×3=6 m $

Odp.: Średnica trawnika wynosi 6 m.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wiatrak ma skrzydła ...

Wiatrak ma skrzydła długości 4 m.

a) Punkt A w czasie jednego obrotu skrzydeł, zakreśli okrąg. Tym samym pokona drogę równą długości okręgu o promieniu 4 m (promień okręgu jest równy długości skrzydła wiatraka).

Obliczmy długość okręgu (drogę, jaką pokona punkt A):{premium}

`l=2pi*4`

 

 

Odp: Punkt A w czasie jednego obrotu skrzydeł pokona drogę równą 8𝜋 m.

 

b) Pewien punkt (niech to będzie punkt B) znajduje się na skrzydle wiatraka. W ciągu jednego obrotu pokonuje drogę równą 22 m. Odległość tego punktu, czyli punktu B od punktu S, wyznacza promień okręgu, po jakim porusza się ten punkt.

Punkt B pokonuje drogę równą 22 m, czyli zakreśla okrąg o długości 22 m.

r - długość promienia  (odległość punktu B znajdującego się na skrzydle wiatraka od punktu S)

 

 

 

 

Odp: Punkt na skrzydle wiatraka znajduje się 11/𝜋 m od punktu S.

Sporządź kopię rysunku ostrosłupa

W pewnym stopie trzech metali...

Dane:

Masy metali A, B i C: , i .

Stosunek wagowy tych metali:  

Masa całego stopu:  

Szukane:

 

 

 

Rozwiązanie:

Stosunek mas  oznacza, że masa  jest trzynastą częścią całości, masa  jest czwartą częścią całości,  jest trzecią częścią całości masy . Całość będzie wynosiła:{premium}

 

Wówczas:

 

 

 

Wiemy, że:

 

Wówczas:

  

  

  

Odp.: Masy poszczególnych składników stopu wynoszą ,  i .

Z kwadratowych arkuszy papieru ...

Rysunek pomocniczy:

Patrząc na rysunek możemy zauważy, że długość średnicy koła na kolejnych rysunkach jest równa{premium} 1/n, gdzie n oznacza ilość kół w jednym wierszu.

Ilość kół w jednym wierszu jest zgodan z numerem rysunku.

Ilość wszystkich kół na rysunku jest równa kwadratowi liczby kół z jednego wiersza.

Np. Na rysunku 5 koła będą miały średnicę 1/5 m. W jednym wierszu będzie 5 kół. W całym kwadracie będzie 25 kół (52=25).

 

Obliczmy pole koła z pierwszego rysunku:

 

Promień koła jet dwa razy mniejszy od średnicy, więc:

 

Pole koła I:

 

   

Obliczmy pole jednego koła z drugiego rysunku:

  

Promień koła jet dwa razy mniejszy od średnicy, więc:

 

Pole koła II:

  

Suma wszystkich czterech kół wynosi:

 

   

Obliczmy pole jednego koła z trzeciego rysunku:

  

Promień koła jet dwa razy mniejszy od średnicy, więc:

 

Pole koła III:

  

Suma wszystkich czterech kół wynosi:

  

   

Analizując trzy powyższe przykłady możemy zauważyć, że suma pól kół na każdym rysunku wynosi 1/4𝜋 m2.

Otrzymane dane zapiszmy w postaci tabelki.

Nr rys.

Ilość kół w jednym wierszu

Ilość wszystkich kół

Średnica jednego koła [m]

Promień jednego koła [m]

Pole jednego koła [m2]

Pole wszystkich kół [m2]

1

1

12=1

1

1/2

1/4𝜋

11/4𝜋 = 1/4𝜋

2

2

22=4

1/2

1/4

1/16𝜋

41/16𝜋 = 1/4𝜋

3

3

32=9

1/3

1/6

1/36𝜋

91/36𝜋 = 1/4𝜋

4

4

42=16

1/4

1/8

1/64𝜋

161/64𝜋 = 1/4𝜋

...

...

...

...

...

...

...

n

n

n2

1/n

1/2n

( 1/2n )2 𝜋

n2( 1/2n )2 𝜋=1/4𝜋

Sprawdźmy, czy dla dowolnego n (gdzie n - liczba kół w wierszu), suma pól wszystkich kół, których ilość wynosi n2, jest równa 1/4𝜋 m.

Średnica koła, które znajduje się na n-tym rysunku, wynosi 1/n m. Długość promienia koła jest dwa razy krótsza od długości średnicy, więc promień ma:

  

Obliczmy pole jednego koła:

  

Obliczmy sume wszystkich pól (wiemy, że jest n2 kół):

  

Ile osi symetrii ma: ...

a)

podglad pliku

Odcinek ma dwie osie symetrii.{premium}


b)

podglad pliku

Półprosta ma jedną oś symetrii.


c)

podglad pliku

Prostokąt ma dwie osie symetrii.


d)

podglad pliku

Romb ma dwie osie symetrii.


e)

podglad pliku

Sześciokąt foremny ma sześć osi symetrii.


f)

podglad pliku

Okrąg ma nieskończenie wiele osi symetrii.

Oblicz, o ile większe jest pole trapezu od pola...

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa możemy obliczyć  długość drugiej przyprostokątnej tego trójkąta (a):

 

   {premium}

 

 


Obliczmy pole tego trójkąta:

 


Obliczmy pole trapezu:

 

Obliczmy, o ile większe jest pole trapezu od pola trójkąta:

 


Odp.: Pole trapezu jest o 72 m2 większe od pola trójkąta.

Książka po obniżce kosztuje...

Nowa cena książki:  

Cena książki przed obniżką:  

Obliczamy procent, o jaki zmniejszyła się cena książki:

 {premium}

 

 

 

 

 

Cena książki zmniejszyła się o .

 

Odpowiedź:  O .

Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego...

Objętość ostrosłupa obliczamy korzystając z wzoru:

 


Obliczmy pole podstawy tego ostrosłupa:  {premium}

 


Korzystając  z twierdzenia Pitagorasa obliczmy długość wysokości tego ostrosłupa:

 

 

 

 

 


Obliczmy objętość tego ostrosłupa:

 

podglad pliku


Odp.: Objętość tego ostrosłupa wynosi 588√3 cm3.

Dwusieczna kąta prostego BAC w trójkącie...

Wiemy, że:

-dwusieczna kąta dzieli kąt na dwa kąty o tej samej mierze

-w każdym trójkącie suma miar kątów wewnętrznych wynosi  

wykonajmy rysunek pomocniczy:{premium}

podglad pliku

Obliczmy miarę kąta  :

 

  


Obliczmy miarę kąta  :

 

 

 

 


Odp.: Miary kątów w trójkącie ABC to: `90^@, 60^@, 30^@`.

Zapisz w najprostszej postaci wyrażenie opisujące...

 Obliczmy obwód tej figury:

{premium}  

 


 Obliczmy obwód tej figury: