Koła i okręgi - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Styczna do okręgu

Styczna do okręgu to prosta mająca dokładnie jeden punkt wspólny z okręgiem.

Punkt wspólny prostej i okręgu nazywamy punktem styczności.

Promień poprowadzony do punktu styczności jest prostopadły do stycznej.




Uwaga!!!

Jeśli dwie styczne do okręgu przecinają się w punkcie S, to odcinki łączące punkt S z punktami styczności mają równe długości. 

 `|AS|=|BS|`  

Wzajemne położenie dwóch okręgów

Dwa okręgi mogą być:

  • rozłączne
  • przecinające się
  • styczne
  • współśrodkowe

Długość okręgu

Długość okręgu to nic innego jak obwód okręgu.

Wzór na długość okręgu:

`l=2pir` 

gdzie `r`  to długość promienia okręgu

Liczba `π`  (pi), która wystąpiła w powyższym wzorze, to liczba wyznaczająca stosunek długości okręgu ( `l` ) do długości jego średnicy ( `d` ).

`pi=l/d`  
W przybliżeniu wynosi ona `3,14`  lub `22/7` .
Liczba `π`  jest liczbą niewymierną!

 

Przykład:

Obliczamy ile wynosi długość okręgu, którego promień ma długość 5 cm. 

`r=5 \ "cm"` 

Zatem:

`l=2pi*5 \ "cm"=10pi \ "cm"` 

Pole koła

Wzór na pole koła:

`P=pir^2` 

gdzie `r`  to długość promienia koła


Przykład:

Obliczamy ile wynosi pole koła, którego promień ma długość 3 cm. 

`r=3 \ "cm"` 

Zatem: 

`P=pi*(3 \ "cm")^2=pi*9 \ "cm"^2=9pi \ "cm"^2`  

Długość łuku

Kąt środkowy to kąt, którego wierzchołkiem jest środek okręgu (koła) a ramiona zawierają promienie okręgu (koła). 

Kąt środkowy wyznacza łuk będący częścią okręgu. Łuk ten stanowi taką samą część okręgu, jaką częścią kąta pełnego jest kąt `alpha`

Długość łuku (x) obliczamy ze wzoru: 

`x=alpha/360^@*2pir`   

`r`  - długość promienia okręgu 

`alpha`  - miara kąta środkowego 



Przykład:

Kąt środkowy ma miarę 60o. Promień okręgu ma długość 4 cm. Obliczamy ile wynosi długość łuku wyznaczonego przez ten kąt. 

`x=60^@/360^@*2pi*4 \ "cm"=1/strike6^3*strike2^1pi*4 \ "cm"=1/3*pi*4 \ "cm"=4/3pi \ "cm"`  

Pole wycinka koła

Wycinek koła to część wspólna koła i kąta środkowego. 

Wycinek koła stanowi taką samą część całego koła, jaką częścią kąta pełnego jest kąt `alpha`.  

Pole wycinka koła (Pw) obliczamy ze wzoru: 

`P_w=alpha/360^@*pir^2` 

`r`  - długość promienia koła 

`alpha`  - miara kąta środkowego  

 

Przykład

Kąt środkowy ma miarę 90o. Promień koła ma długość 12 cm. Obliczamy ile wynosi pole wycinka koła wyznaczonego przez ten kąt. 

`P_w=90^@/360^@*pi*(12 \ "cm")^2=1/strike4^1*pi*strike144^36 \ "cm"^2=36pi \ "cm"^2`   

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Ustal, ile razy dłuższy jest okrąg o promieniu 5 od okręgu o średnicy 5.

$$ L_1=2πr_1=2π×5=10π $$

$$ L_2=2πr_2=2π×2,5=5π $$

$$ {L_1}/{L_2} ={10}/5=2 $$

Odp.: Okrąg o promieniu 5 jest 2 razy dłuższy od okręgu o średnicy 5.

Zadanie 2.

Ustal, ile razy większe jest koło o promieniu 4 od koła o średnicy 4.

$$ P_1=π {r_1}^2=π×4^2=16π $$

$$ P_2=π {r_2}^2=π×2^2=4π $$

$$ {P_1}/{P_2} ={16}/4=4 $$

Odp.: Koło o promieniu 4 jest 4 razy większe od koła o średnicy 4.

Zadanie 3.

Ustal promień koła, w którym wycinkowi:

  1. o polu $$3π$$, odpowiada kąt 30°
  2. o polu $$3/2 π$$, odpowiada kąt 240°
  3. o polu $$2π$$, odpowiada kąt 72°
  1. $$ {30°}/{360°}×πr^2=3π $$

    $$ 1/{12}×r^2=3 $$

    $$ r=6 $$
     
  2. $$ {240°}/{360°}×πr^2=3/2 π $$

    $$ 2/3×r^2=3/2 $$

    $$ r=3/2=1,5 $$
     
  3. $$ {72°}/{360°}×πr^2=2π $$

    $$ 1/5×r^2=2 $$

    $$ r=√10 $$
     

Zadanie 4.

Co oznacza liczba π i jakie jest jej przybliżenie w zaokrągleniu do części setnych?

Liczba π jest to stosunek długości obwodu okręgu do jego średnicy. W przybliżeniu wynosi 3,14.

$$π={ ext "długość obwodu"}/{ ext "długość promienia"}≈3,14 $$

Zadanie 5.

Jakie pole i obwód ma koło o średnicy $$4√π$$ ?

$$ d=4√π -> r=2√π $$

$$ P=πr^2=π{(2√π)}^2=4π^2 $$

$$ L=2πr=2π2√π=4π√π $$

Odp.: Pole koła wynosi $$4π^2$$, a obwód $$4π√π$$.

Zadanie 6.

Kasia obeszła trawnik wykonując 30 kroków. Oblicz jaką średnicę miał ten trawnik jeżeli długość jednego kroku Kasi jest równa 0,6m. Przybliż liczbę π do 3.

$$ 2πr=30×0,6 $$

$$ 2×3r=18 $$

$$ r=3 m $$

$$ d=2×3=6 m $$

Odp.: Średnica trawnika wynosi 6 m.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Ile jest liczb pierwszych mniejszych od 20?

Liczby pierwsze mniejsze od 20 to: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19. 

{premium}

Jest ich 8

Wśród poniższych brył wskaż ...

Ostrosłup to wielościan, w którym wszystkie ściany boczne sa trójkątami o wspólnym wierzchołku, a podstawą jest dowolny wielokąt. {premium}

Ostrosłupy to: II, III, VII.

Dany jest trójkąt ABC. Który z narysowanych ...

podglad pliku{premium}  podglad pliku

Trójkątem przystającym do trójkąta  jest trójkąt  (na podstawie cechy przystawania kbk).

Oblicz w zeszycie promień...

 

   {premium}

 

 


 

   

 


`c")" \ 34 \ "cm"` 

`34=2pir \ \|:2`   

`17=pir \ \ | :pi` 

`r=17/pi \ "[cm]"`


`d")" \ 13 \ "dm"` 

`13=2pir \ \|:2`   

`6,5=pir \ \ | :pi` 

`r=6,5/pi \ "[dm]"`

Kolejne punkty kratowe K, L, M są ...

Sprawdźmy A.

Z punktu K do punktu L przesuwamy się o 3 w lewo i 5 w górę. 

Z punktu L do punktu M przesuwamy się o 3 w lewo i 5 w górę. {premium}

Dodatkowo: NWD(3, 5)=1. 

Są to kolejne punkty kratowe.

 

Odp. A

Sześcienna kostka czekolady...

Wiemy, że sześcienna kostka o krawędzi 2 cm waży 5 dag. {premium}

Zauważmy, że  

Sześcienna kostka o krawędzi 8 cm składa się z:

 sześciennych kostek o wadze 5 dag.

 

 

 

Odp: Sześcienna kostka czekolady o krawędzi 8 cm ważyłaby  

a) Wyraź podane wielkości...

 

Wiemy, że:

 

  

Wówczas:

 

 

 

 

 

{premium}

 

Wiemy, że:

 

 

 

Wówczas:

 

 

 

 

 

 

 

Wiemy, że:

 

Wówczas:

 

 

  

 

 

 

 

Wiemy, że:

 

 

  

Wówczas:

  

 

 

 

 

Co jest większe: 30% liczby a ...

Obliczmy liczbę a.

 

{premium}

Obliczmy 30% liczby a.

 

 

Obliczmy liczbę b.

 

Obliczmy 0,9 liczby b.

 

 

Odp. 30% liczby a jest równe 0,9 liczby b.

 

Średnia wieku dziesięciu koszykarzy...

Niech  jest wiekiem trenera, a  jest sumą wieku koszykarzy. Wiemy, że średnia wieku  koszykarzy wynosi  lat, czyli:

 {premium}

 

Natomiast średnia wieku koszykarzy wraz z trenerem wynosi  lat. Wówczas:

 

 

 

 

 

Odpowiedź: Trener ma  lat.

W pierwszym pojemniku jest 7 kul białych ...

Pierwszy pojemnik: 

Obliczamy ile łącznie kul znajduje się w pierwszym pojemniku. 

 

W pierwszym pojemniku znajduje się łącznie 20 kul, czyli: 

 

Kul białych jest 7, więc:  {premium}

Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej wynosi więc: 

  


Drugi pojemnik:

x - liczba białych kul jakie należy dołożyć 

15+x - liczba białych kul w pojemniku po dołożeniu pewnej ilości kul białych

y - liczba czarnych kul jakie należy dołożyć 

20+y - liczba czarnych kul w pojemniku po dołożeniu pewnej ilości kul czarnych 

15+x+20+y=35+x+y - liczba wszystkich kul w pojemniku 


Chcemy, aby prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej wynosiło 7/20 (tyle samo, co w pierwszym pojemniku). Zatem:

 

   

 


Zauważmy, że z prawej strony równania (7y) mamy liczbę będącą wielokrotnością liczby 7 (bo mamy iloczyn liczby 7 i pewnej liczby y). 

Skoro zachodzi równość, to lewa strona także musi być wielokrotnością liczby 7. Szukamy więc takich liczb x, aby wartość lewej strony równania była wielokrotnością liczby 7. 

  • Dla x=6 mamy: 

 

 

Zatem: 

 

Możemy dołożyć 6 kul białych i 19 kul czarnych

  • Dla x=20 mamy: 

Zatem:

   

Możemy dołożyć 20 kul białych i 45 kul czarnych