Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Koła i okręgi - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Styczna do okręgu

Styczna do okręgu to prosta mająca dokładnie jeden punkt wspólny z okręgiem.

Punkt wspólny prostej i okręgu nazywamy punktem styczności.

Promień poprowadzony do punktu styczności jest prostopadły do stycznej.




Uwaga!!!

Jeśli dwie styczne do okręgu przecinają się w punkcie S, to odcinki łączące punkt S z punktami styczności mają równe długości. 

 `|AS|=|BS|`  

Wzajemne położenie dwóch okręgów

Dwa okręgi mogą być:

  • rozłączne
  • przecinające się
  • styczne
  • współśrodkowe

Długość okręgu

Długość okręgu to nic innego jak obwód okręgu.

Wzór na długość okręgu:

`l=2pir` 

gdzie `r`  to długość promienia okręgu

Liczba `π`  (pi), która wystąpiła w powyższym wzorze, to liczba wyznaczająca stosunek długości okręgu ( `l` ) do długości jego średnicy ( `d` ).

`pi=l/d`  
W przybliżeniu wynosi ona `3,14`  lub `22/7` .
Liczba `π`  jest liczbą niewymierną!

 

Przykład:

Obliczamy ile wynosi długość okręgu, którego promień ma długość 5 cm. 

`r=5 \ "cm"` 

Zatem:

`l=2pi*5 \ "cm"=10pi \ "cm"` 

Pole koła

Wzór na pole koła:

`P=pir^2` 

gdzie `r`  to długość promienia koła


Przykład:

Obliczamy ile wynosi pole koła, którego promień ma długość 3 cm. 

`r=3 \ "cm"` 

Zatem: 

`P=pi*(3 \ "cm")^2=pi*9 \ "cm"^2=9pi \ "cm"^2`  

Długość łuku

Kąt środkowy to kąt, którego wierzchołkiem jest środek okręgu (koła) a ramiona zawierają promienie okręgu (koła). 

Kąt środkowy wyznacza łuk będący częścią okręgu. Łuk ten stanowi taką samą część okręgu, jaką częścią kąta pełnego jest kąt `alpha`

Długość łuku (x) obliczamy ze wzoru: 

`x=alpha/360^@*2pir`   

`r`  - długość promienia okręgu 

`alpha`  - miara kąta środkowego 



Przykład:

Kąt środkowy ma miarę 60o. Promień okręgu ma długość 4 cm. Obliczamy ile wynosi długość łuku wyznaczonego przez ten kąt. 

`x=60^@/360^@*2pi*4 \ "cm"=1/strike6^3*strike2^1pi*4 \ "cm"=1/3*pi*4 \ "cm"=4/3pi \ "cm"`  

Pole wycinka koła

Wycinek koła to część wspólna koła i kąta środkowego. 

Wycinek koła stanowi taką samą część całego koła, jaką częścią kąta pełnego jest kąt `alpha`.  

Pole wycinka koła (Pw) obliczamy ze wzoru: 

`P_w=alpha/360^@*pir^2` 

`r`  - długość promienia koła 

`alpha`  - miara kąta środkowego  

 

Przykład

Kąt środkowy ma miarę 90o. Promień koła ma długość 12 cm. Obliczamy ile wynosi pole wycinka koła wyznaczonego przez ten kąt. 

`P_w=90^@/360^@*pi*(12 \ "cm")^2=1/strike4^1*pi*strike144^36 \ "cm"^2=36pi \ "cm"^2`   

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Ustal, ile razy dłuższy jest okrąg o promieniu 5 od okręgu o średnicy 5.

$$ L_1=2πr_1=2π×5=10π $$

$$ L_2=2πr_2=2π×2,5=5π $$

$$ {L_1}/{L_2} ={10}/5=2 $$

Odp.: Okrąg o promieniu 5 jest 2 razy dłuższy od okręgu o średnicy 5.

Zadanie 2.

Ustal, ile razy większe jest koło o promieniu 4 od koła o średnicy 4.

$$ P_1=π {r_1}^2=π×4^2=16π $$

$$ P_2=π {r_2}^2=π×2^2=4π $$

$$ {P_1}/{P_2} ={16}/4=4 $$

Odp.: Koło o promieniu 4 jest 4 razy większe od koła o średnicy 4.

Zadanie 3.

Ustal promień koła, w którym wycinkowi:

  1. o polu $$3π$$, odpowiada kąt 30°
  2. o polu $$3/2 π$$, odpowiada kąt 240°
  3. o polu $$2π$$, odpowiada kąt 72°
  1. $$ {30°}/{360°}×πr^2=3π $$

    $$ 1/{12}×r^2=3 $$

    $$ r=6 $$
     
  2. $$ {240°}/{360°}×πr^2=3/2 π $$

    $$ 2/3×r^2=3/2 $$

    $$ r=3/2=1,5 $$
     
  3. $$ {72°}/{360°}×πr^2=2π $$

    $$ 1/5×r^2=2 $$

    $$ r=√10 $$
     

Zadanie 4.

Co oznacza liczba π i jakie jest jej przybliżenie w zaokrągleniu do części setnych?

Liczba π jest to stosunek długości obwodu okręgu do jego średnicy. W przybliżeniu wynosi 3,14.

$$π={ ext "długość obwodu"}/{ ext "długość promienia"}≈3,14 $$

Zadanie 5.

Jakie pole i obwód ma koło o średnicy $$4√π$$ ?

$$ d=4√π -> r=2√π $$

$$ P=πr^2=π{(2√π)}^2=4π^2 $$

$$ L=2πr=2π2√π=4π√π $$

Odp.: Pole koła wynosi $$4π^2$$, a obwód $$4π√π$$.

Zadanie 6.

Kasia obeszła trawnik wykonując 30 kroków. Oblicz jaką średnicę miał ten trawnik jeżeli długość jednego kroku Kasi jest równa 0,6m. Przybliż liczbę π do 3.

$$ 2πr=30×0,6 $$

$$ 2×3r=18 $$

$$ r=3 m $$

$$ d=2×3=6 m $$

Odp.: Średnica trawnika wynosi 6 m.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wykres z lewej strony przedstawia...

W pierwszej fazie ruchu (do najwyższego punktu na wykresie po lewej) prędkość samochodu rosła,{premium}

więc na wykresie drogi od czasu na początku wykres powinien rosnąć.


W drugiej fazie ruchu (od najwyższego punktu, na wykresie po lewej, do zera) prędkość samochodu malała,

przebyta droga nadal będzie rosła, ale już wolniej. 

W ostatniej fazie ruchu samochód nie poruszał się, oznacza to, że droga osiągnie pewien poziom i od pewnego

momentu będzie miała tę wartość.

Wykres, który pasuje do tej sytuacji to wykres `"C."`  

 

Zredukuj wyrazy podobne. Litery odpowiadające...

`2x+7y-3x+5-2y-x=-2x+5y+5` 

W kratkę należy wpisać literę E.

{premium}


`5x-2y+5-4y-3x+y=2x-5y+5` 

W kratkę należy wpisać literę P.


`3(-2x)+10*y/2-5+8x=-6x+5y-5+8x=2x+5y-5` 

W kratkę należy wpisać literę I.


`5(-y)+2*(-2)x+7*(-1)+2+2x=-5y-4x-7+2+2x=-2x-5y-5` 

W kratkę należy wpisać literę K.


`4*(-2y)+2x-5*(-2y)+7+2*(-1)+3y=-8y+2x+10y+7-2+3y=2x+5y+5` 

W kratkę należy wpisać literę A.


Hasło: EPIKA

Jaką wysokość ma romb ...

Dane są przekątne rombu. Oznaczmy je jako e i f:

`e=12\ "cm"` 

`f\ =16\ "cm"`  


Pole rombu możemy obliczyć ze wzoru:

`P_r=(e*f)/2` 

gdzie e, f - długości przekątnych rombu


Podstawiamy dane do wzoru:{premium}

`P_r=(12*strike16^8)/strike2^1=96\ ["cm"^2]` 


Romb jest równoległobokiem, więc jego pole możemy także obliczyć korzystając ze wzoru na pole równoległoboku:

`P_(rw)=a*h` 

gdzie h - wysokość rombu, a - podstawa, na którą opuszczona jest wysokość


Rysunek pomocniczy:

W rombie przekątne przecinają się pod kątem prostym, dzieląc się na połowy.

Korzystając z tw. Pitagorasa obliczamy długość boku rombu (patrz rysunek I).

`a^2=6^2+8^2` 

`a^2=36+64` 

`a^2=100` 

`a=sqrt100=10\ ["cm"]`  


Podstawiamy dane do wzoru na pole równoległoboku (patrz rysunek II):

`96=10*h\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \|:10`

`h=9,6\ ["cm"]` 


Odpowiedź
: Romb ma wysokość o długości 9,6 cm.

Jeśli przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają ...

W trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej. 

`a`  - długość przeciwprostokątnej

Zatem:{premium}

`(sqrt{13} \ "cm")^2+(6 \ "cm")^2=a^2` 

`13 \ "cm"^2+36 \ "cm"^2=a^2` 

`49 \ "cm"^2=a^2` 

`a=7 \ "cm"` 

Przeciwprostokątna ma długość `7 \ "cm"`


Odpowiedź: B. `7 \ "cm"`

Dane są cztery odcinki o podanych długościach...

Dane są odcinki o długościach: 3 cm, 4 cm, 5 cm i 8 cm

wiemy, że aby z trzech odcinków można było zbudować trójkąt suma długości
każdych dwóch z tych odcinków musi być większa od długości trzeciego odcinka

1) sprawdźmy czy z odcinków o długościach: 3 cm, 4 cm, 5 cm można zbudować trójkąt:

`3 \ "cm"+4 \ "cm"=7 \ "cm" > 5 \ "cm"` {premium}

`3 \ "cm"+5 \ "cm" =8 \ "cm" > 4 \ "cm"` 

`4 \ "cm"+5 \ "cm"=9 \ "cm" >3 \ "cm"` 

z tych trzech odcinków można zbudować trójkąt


2) sprawdźmy czy z odcinków o długościach: 3 cm, 4 cm, 8 cm można zbudować trójkąt:

`3 \ "cm"+4 \ "cm"=7 \ "cm" < 8 \ "cm"` 

z tych trzech odcinków nie można zbudować trójkąta


3) sprawdźmy czy z odcinków o długościach: 3 cm, 5 cm, 8 cm można zbudować trójkąt:

`3 \ "cm"+5 \ "cm"=7 \ "cm" < 8\ "cm"` 

z tych trzech odcinków nie można zbudować trójkąta


4) sprawdźmy czy z odcinków o długościach: 4 cm, 5 cm, 8 cm można zbudować trójkąt:

`4 \ "cm"+5 \ "cm"=9 \ "cm" > 8 \ "cm"` 

`8 \ "cm"+5 \ "cm" =13 \ "cm" > 4 \ "cm"` 

`4 \ "cm"+8 \ "cm"=12 \ "cm" > 5 \ "cm"` 

z tych trzech odcinków można zbudować trójkąt


Odp.: Możemy zbudować trójkąty na dwa sposoby z odcinków 3 cm, 4 cm i 5 cm  oraz 4 cm, 5 cm i 8 cm.

Na rysunku przedstawiono prostokąt

`1^2+1^2=(2b)^2`

`1+1=4b^2` 

`4b^2=2 \ \ \ \ \ |:4` 

`b^2=2/4` 

`b^2=1/2 \ \ \ \ |sqrt` 

`b=sqrt(1/2)` 

{premium}

`x^2=b^2+b^2` 

`x^2=(sqrt(1/2))^2+(sqrt(1/2))^2` 

`x^2=1/2+1/2` 

`x^2=1 \ \ \ \ \ |sqrt` 

`x=1`   

Oceń prawdziwość podanych zdań...

Cena brutto pewnego towaru wynosi 8900 zł. Cena netto tego towaru przy podatku VAT równym 5% wynosi 8476,19 zł.

`8  476,19\ zł + 5%*8  476,19\ zł=8  476,19\ zł + 0,05*8  476,19\ zł ~~ 8  476,19\ zł+423,81=8900\ zł` 
{premium}

PRAWDA

Cena netto pewnego towaru wynosi 8900 zł. Cena netto tego towaru przy podatku VAT równym 8% wynosi 8240,74 zł. 

`8900\ zł + 8%*8900\ zł = 8900\ zł + 0,08*8900\ zł =8900\ zł+ 712\ zł=9612\ zł` 

FAŁSZ 

Cena netto pewnego towaru wynosi 8900 zł, a cena brutto jest równa 10 947 zł. Podatek VAT jest równy 23%. 

`8900\ zł + 23%*8900\ zł = 8900\ zł + 0,23*8900\ zł = 8900\ zł+2047\ zł =10  947\ zł` 

PRAWDA 

Cena netto pewnego towaru wynosi 8900 zł. Różnica między ceną brutto tego towaru z podatkiem VAT równym 23%, a ceną brutto tego towaru z podatkiem VAT równym 5% wynosi 1602 zł.

`8900\ zł + 23%*8900\ zł = 8900\ zł + 0,23*8900\ zł = 8900\ zł+2047\ zł =10  947\ zł` 

`8900\ zł + 5%*8900\ zł = 8900\ zł + 0,05*8900\ zł = 8900\ zł+445\ zł =9  345\ zł` 

`10  947\ zł - 9  345\ zł = 1  602\ zł` 

PRAWDA 
Dany jest trójkąt równoramienny ABF...

Miara kąta wypukłego `CDF` może być równa mierze kąta wypukłego `FAB` tylko wtedy,

gdy odcinki `FA` i `FD` są równoległe.

Zatem:

Miara kąta wypukłego `CDF` jest równa mierze kąta wypukłego `FAB.` F 

{premium}


Obliczamy miarę kąta `CBD,` korzystając z faktu, że suma miar kątów przy ramieniu trapezu jest równa `180^@.` 

`/_CBD=180^@-(110^@+30^@)=180^@-140^@=40^@` 

Obliczamy miarę kąta `BAD,` korzystając z faktu, że trapez jest równoramienny:

`/_BAD=30^@+40^@=70^@` 

Obliczamy miarę kąta `ADB,` korzystając z sumy kątów trójkąta dla `DeltaADB:` 

`/_ADB=180^@-(70^@+30^@)=180^@-100^@=80^@` 

Mamy więc:

`/_ADB=80^@=2*40^@=2*/_CBD` 

Kąt `ADB` ma dwa razy większą miarę niż kąt `CBD.`   P

Kąty `ADB` i `FDA` to kąty przyległe, stąd:

`/_FDA=180^@-80^@=100^@` 

Oznacza to, że trójkąt `ADF` nie jest trójkątem prostokątnym.

Trójkąt `ADF` jest trójkątem prostokątnym. F
Podaj współrzędne punktów symetrycznych ...

Zauważmy, że punkty symetryczne względem punktu (0, 0) mają odpowiadające sobie współrzędne będące liczbami przeciwnymi.

{premium}

`A'=(30,\ 1)`

`B'=(-9/10,\ -0)=(-9/10,\ 0)`

 

Znajdź liczbę, której...

Dane:

Wyrażenie: `(2/3)^3 * (-1 1/2)^3 + (sqrt8)^2 : 2^3 - (root(3)(-4))^3` 

Szukane:

Liczba, której `20%` jest równe wartości podanego wyrażenia: `x = ?` 

Rozwiązanie:

Zaczynamy od obliczenia wartości podanego wyrażenia:

`(2/3)^3 * (-1 1/2)^3 + (sqrt8)^2 : 2^3 - (root(3)(-4))^3 = ` 

`\ \ \ =(2/3)^3 * (-3/2)^3 + 8 : 2^3 - (-4) = ` 

`\ \ \ =(2/3* (-3/2))^3 + 2^3 : 2^3 + 4 = ` {premium}

`\ \ \ =(-1)^3 + 2^(3-3) + 4 = ` 

`\ \ \ = -1 + 2^(0) + 4 = ` 

`\ \ \ = -1 + 1 + 4 = ` 

`\ \ \ = 4 ` 

Szukamy liczby, której `20%` jest równe wartości podanego wyrażenia:

`20%*x = 4` 

`1/5*x = 4 \ \ \ \ |*5` 

`x = 20` 

Odp.: Liczba, której `20%` jest równe wartości podanego wyrażenia to 20.