Koła i okręgi - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Styczna do okręgu

Styczna do okręgu to prosta mająca dokładnie jeden punkt wspólny z okręgiem.

Punkt wspólny prostej i okręgu nazywamy punktem styczności.

Promień poprowadzony do punktu styczności jest prostopadły do stycznej.




Uwaga!!!

Jeśli dwie styczne do okręgu przecinają się w punkcie S, to odcinki łączące punkt S z punktami styczności mają równe długości. 

 `|AS|=|BS|`  

Wzajemne położenie dwóch okręgów

Dwa okręgi mogą być:

  • rozłączne
  • przecinające się
  • styczne
  • współśrodkowe

Długość okręgu

Długość okręgu to nic innego jak obwód okręgu.

Wzór na długość okręgu:

`l=2pir` 

gdzie `r`  to długość promienia okręgu

Liczba `π`  (pi), która wystąpiła w powyższym wzorze, to liczba wyznaczająca stosunek długości okręgu ( `l` ) do długości jego średnicy ( `d` ).

`pi=l/d`  
W przybliżeniu wynosi ona `3,14`  lub `22/7` .
Liczba `π`  jest liczbą niewymierną!

 

Przykład:

Obliczamy ile wynosi długość okręgu, którego promień ma długość 5 cm. 

`r=5 \ "cm"` 

Zatem:

`l=2pi*5 \ "cm"=10pi \ "cm"` 

Pole koła

Wzór na pole koła:

`P=pir^2` 

gdzie `r`  to długość promienia koła


Przykład:

Obliczamy ile wynosi pole koła, którego promień ma długość 3 cm. 

`r=3 \ "cm"` 

Zatem: 

`P=pi*(3 \ "cm")^2=pi*9 \ "cm"^2=9pi \ "cm"^2`  

Długość łuku

Kąt środkowy to kąt, którego wierzchołkiem jest środek okręgu (koła) a ramiona zawierają promienie okręgu (koła). 

Kąt środkowy wyznacza łuk będący częścią okręgu. Łuk ten stanowi taką samą część okręgu, jaką częścią kąta pełnego jest kąt `alpha`

Długość łuku (x) obliczamy ze wzoru: 

`x=alpha/360^@*2pir`   

`r`  - długość promienia okręgu 

`alpha`  - miara kąta środkowego 



Przykład:

Kąt środkowy ma miarę 60o. Promień okręgu ma długość 4 cm. Obliczamy ile wynosi długość łuku wyznaczonego przez ten kąt. 

`x=60^@/360^@*2pi*4 \ "cm"=1/strike6^3*strike2^1pi*4 \ "cm"=1/3*pi*4 \ "cm"=4/3pi \ "cm"`  

Pole wycinka koła

Wycinek koła to część wspólna koła i kąta środkowego. 

Wycinek koła stanowi taką samą część całego koła, jaką częścią kąta pełnego jest kąt `alpha`.  

Pole wycinka koła (Pw) obliczamy ze wzoru: 

`P_w=alpha/360^@*pir^2` 

`r`  - długość promienia koła 

`alpha`  - miara kąta środkowego  

 

Przykład

Kąt środkowy ma miarę 90o. Promień koła ma długość 12 cm. Obliczamy ile wynosi pole wycinka koła wyznaczonego przez ten kąt. 

`P_w=90^@/360^@*pi*(12 \ "cm")^2=1/strike4^1*pi*strike144^36 \ "cm"^2=36pi \ "cm"^2`   

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Ustal, ile razy dłuższy jest okrąg o promieniu 5 od okręgu o średnicy 5.

$$ L_1=2πr_1=2π×5=10π $$

$$ L_2=2πr_2=2π×2,5=5π $$

$$ {L_1}/{L_2} ={10}/5=2 $$

Odp.: Okrąg o promieniu 5 jest 2 razy dłuższy od okręgu o średnicy 5.

Zadanie 2.

Ustal, ile razy większe jest koło o promieniu 4 od koła o średnicy 4.

$$ P_1=π {r_1}^2=π×4^2=16π $$

$$ P_2=π {r_2}^2=π×2^2=4π $$

$$ {P_1}/{P_2} ={16}/4=4 $$

Odp.: Koło o promieniu 4 jest 4 razy większe od koła o średnicy 4.

Zadanie 3.

Ustal promień koła, w którym wycinkowi:

  1. o polu $$3π$$, odpowiada kąt 30°
  2. o polu $$3/2 π$$, odpowiada kąt 240°
  3. o polu $$2π$$, odpowiada kąt 72°
  1. $$ {30°}/{360°}×πr^2=3π $$

    $$ 1/{12}×r^2=3 $$

    $$ r=6 $$
     
  2. $$ {240°}/{360°}×πr^2=3/2 π $$

    $$ 2/3×r^2=3/2 $$

    $$ r=3/2=1,5 $$
     
  3. $$ {72°}/{360°}×πr^2=2π $$

    $$ 1/5×r^2=2 $$

    $$ r=√10 $$
     

Zadanie 4.

Co oznacza liczba π i jakie jest jej przybliżenie w zaokrągleniu do części setnych?

Liczba π jest to stosunek długości obwodu okręgu do jego średnicy. W przybliżeniu wynosi 3,14.

$$π={ ext "długość obwodu"}/{ ext "długość promienia"}≈3,14 $$

Zadanie 5.

Jakie pole i obwód ma koło o średnicy $$4√π$$ ?

$$ d=4√π -> r=2√π $$

$$ P=πr^2=π{(2√π)}^2=4π^2 $$

$$ L=2πr=2π2√π=4π√π $$

Odp.: Pole koła wynosi $$4π^2$$, a obwód $$4π√π$$.

Zadanie 6.

Kasia obeszła trawnik wykonując 30 kroków. Oblicz jaką średnicę miał ten trawnik jeżeli długość jednego kroku Kasi jest równa 0,6m. Przybliż liczbę π do 3.

$$ 2πr=30×0,6 $$

$$ 2×3r=18 $$

$$ r=3 m $$

$$ d=2×3=6 m $$

Odp.: Średnica trawnika wynosi 6 m.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Liczba s jest średnią arytmetyczną ...

Średnia arytmetyczna liczb x i y (dwóch liczb) wynosi s. 

Możemy więc zapisać:  {premium}

  


Z powyższego wzoru wyznaczamy zmienną x. 

   


Poprawna odpowiedź: C. x = 2s - y

Liczby pierwsze: 29, 47, 61, ...

Wypiszmy kilka kwadratów kolejnych liczb pierwszych:

 


Podane liczby zapisujemy w postaci sumy kwadratów co najmniej dwóch liczb pierwszych.

 {premium}

 


 

 


 

 

 

 

 

 

Dane są trójkąty ABC i ADE położone jak na rysunku...

Suma miar kątów wewnętrznych w każdym trójkącie wynosi  

dla ułatwienia zrozumienia czytelnikowi rozwiązania oznaczam dodatkowy kąt literą  

rysunek pomocniczy:



rozpatrzmy trójkąt ABC:

 {premium}

 

 


rozpatrzmy trójkąt ABE:

 

 

 

 


rozpatrzmy trójkąt AED:

 

 

 

 


rozpatrzmy trójkąt BED:

 

 

 

 


Odp.: Miary szukanych kątów to `alpha=28^@, beta=62^@, gamma=20^@`.

Jak można obliczyć, ile jest ...

Wszystkich możliwych kodów PIN jest {premium}

 


Odpowiedź: B

W pewnej szkole do egzaminu gimnazjalnego ...

Przyjmijmy oznaczenia: 

  - liczba dziewcząt przystępujących do egzaminu 

  - liczba chłopców przystępujących do egzaminu [bo było o 60 chłopców więcej]

  - łączna liczba uczniów przystępujących do egzaminu 


Wiemy, że chłopcy stanowili 65% liczby osób piszących egzamin. Zatem: {premium}

 

  

 

 

  

 

Do egzaminu przystąpiło 70 dziewcząt. 


Poprawna odpowiedź: C. 70 

Narysuj graniastosłup...

Wykonajmy rysunek:{premium}

podglad pliku

Liczba krawędzi:  

Liczba ścian:  

Łamana otwarta składa...

Długość najkrótszego odcinka:  

Długość drugiego co do najmniejszej wielkości odcinka:  

Długość trzeciego co do najmniejszej wielkości odcinka:  

Długość najdłuższego odcinka:{premium}  

 

 

Suma długości dwóch środkowych odcinków wynosi:

 

Odp.: Dwa środkowe odcinki mają razem długość .

 

 

Obliczamy najpierw długość całej łamanej:

 

Chcemy obliczyć długość łamanej w skali , czyli  razy mniejszą. Wówczas:

 

Odp.: Długość łamanej w skali  wynosi .

Które z odcinków zaznaczonych na rysunku są: przekątnymi podstaw

a)

przekątne podstaw: brak

przekątne ścian bocznych: C'B

przekątne graniastosłupa: AC'

{premium}

 

b)

przekątne podstaw: A'D', BD

przekątne ścian bocznych: EA', D'C

przekątne graniastosłupa: D'B

 

c)

przekątne podstaw: DB

przekątne ścian bocznych: AD', B'C

przekątne graniastosłupa: D'B

Czy każde dwa trójkąty równoboczne są przystające?

Dwa trójkąty są przystające, kiedy nie tylko ich kształt, ale również ich rozmiar jest taki sam.

zatem:{premium}
Jeśli rozważymy dwa trójkąty równoboczne: trójkąt równoboczny o boku 2 cm
i trójkąt równoboczny o boku 3 cm  to można zauważyć, że figury te mają ten sam kształt
ale inny rozmiar, więc nie są przystające.

Nie każde dwa trójkąty równoboczne są zatem przystające.

Dwa trójkąty równoboczne są przystające, jeśli bok jednego trójkąta ma długość równą długości boku drugiego trójkąta.

Przekątna kwadratu o boku ...

Dzięki znajomości twierdzenia Pitagorasa jesteśmy w stanie obliczyć długość przekątnej

kwadratu znając długość jego boku.{premium}

Thumb str. 18   1

 

Odpowiedź C.