Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Koła i okręgi - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Styczna do okręgu

Styczna do okręgu to prosta mająca dokładnie jeden punkt wspólny z okręgiem.

Punkt wspólny prostej i okręgu nazywamy punktem styczności.

Promień poprowadzony do punktu styczności jest prostopadły do stycznej.




Uwaga!!!

Jeśli dwie styczne do okręgu przecinają się w punkcie S, to odcinki łączące punkt S z punktami styczności mają równe długości. 

 `|AS|=|BS|`  

Wzajemne położenie dwóch okręgów

Dwa okręgi mogą być:

  • rozłączne
  • przecinające się
  • styczne
  • współśrodkowe

Długość okręgu

Długość okręgu to nic innego jak obwód okręgu.

Wzór na długość okręgu:

`l=2pir` 

gdzie `r`  to długość promienia okręgu

Liczba `π`  (pi), która wystąpiła w powyższym wzorze, to liczba wyznaczająca stosunek długości okręgu ( `l` ) do długości jego średnicy ( `d` ).

`pi=l/d`  
W przybliżeniu wynosi ona `3,14`  lub `22/7` .
Liczba `π`  jest liczbą niewymierną!

 

Przykład:

Obliczamy ile wynosi długość okręgu, którego promień ma długość 5 cm. 

`r=5 \ "cm"` 

Zatem:

`l=2pi*5 \ "cm"=10pi \ "cm"` 

Pole koła

Wzór na pole koła:

`P=pir^2` 

gdzie `r`  to długość promienia koła


Przykład:

Obliczamy ile wynosi pole koła, którego promień ma długość 3 cm. 

`r=3 \ "cm"` 

Zatem: 

`P=pi*(3 \ "cm")^2=pi*9 \ "cm"^2=9pi \ "cm"^2`  

Długość łuku

Kąt środkowy to kąt, którego wierzchołkiem jest środek okręgu (koła) a ramiona zawierają promienie okręgu (koła). 

Kąt środkowy wyznacza łuk będący częścią okręgu. Łuk ten stanowi taką samą część okręgu, jaką częścią kąta pełnego jest kąt `alpha`

Długość łuku (x) obliczamy ze wzoru: 

`x=alpha/360^@*2pir`   

`r`  - długość promienia okręgu 

`alpha`  - miara kąta środkowego 



Przykład:

Kąt środkowy ma miarę 60o. Promień okręgu ma długość 4 cm. Obliczamy ile wynosi długość łuku wyznaczonego przez ten kąt. 

`x=60^@/360^@*2pi*4 \ "cm"=1/strike6^3*strike2^1pi*4 \ "cm"=1/3*pi*4 \ "cm"=4/3pi \ "cm"`  

Pole wycinka koła

Wycinek koła to część wspólna koła i kąta środkowego. 

Wycinek koła stanowi taką samą część całego koła, jaką częścią kąta pełnego jest kąt `alpha`.  

Pole wycinka koła (Pw) obliczamy ze wzoru: 

`P_w=alpha/360^@*pir^2` 

`r`  - długość promienia koła 

`alpha`  - miara kąta środkowego  

 

Przykład

Kąt środkowy ma miarę 90o. Promień koła ma długość 12 cm. Obliczamy ile wynosi pole wycinka koła wyznaczonego przez ten kąt. 

`P_w=90^@/360^@*pi*(12 \ "cm")^2=1/strike4^1*pi*strike144^36 \ "cm"^2=36pi \ "cm"^2`   

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Ustal, ile razy dłuższy jest okrąg o promieniu 5 od okręgu o średnicy 5.

$$ L_1=2πr_1=2π×5=10π $$

$$ L_2=2πr_2=2π×2,5=5π $$

$$ {L_1}/{L_2} ={10}/5=2 $$

Odp.: Okrąg o promieniu 5 jest 2 razy dłuższy od okręgu o średnicy 5.

Zadanie 2.

Ustal, ile razy większe jest koło o promieniu 4 od koła o średnicy 4.

$$ P_1=π {r_1}^2=π×4^2=16π $$

$$ P_2=π {r_2}^2=π×2^2=4π $$

$$ {P_1}/{P_2} ={16}/4=4 $$

Odp.: Koło o promieniu 4 jest 4 razy większe od koła o średnicy 4.

Zadanie 3.

Ustal promień koła, w którym wycinkowi:

  1. o polu $$3π$$, odpowiada kąt 30°
  2. o polu $$3/2 π$$, odpowiada kąt 240°
  3. o polu $$2π$$, odpowiada kąt 72°
  1. $$ {30°}/{360°}×πr^2=3π $$

    $$ 1/{12}×r^2=3 $$

    $$ r=6 $$
     
  2. $$ {240°}/{360°}×πr^2=3/2 π $$

    $$ 2/3×r^2=3/2 $$

    $$ r=3/2=1,5 $$
     
  3. $$ {72°}/{360°}×πr^2=2π $$

    $$ 1/5×r^2=2 $$

    $$ r=√10 $$
     

Zadanie 4.

Co oznacza liczba π i jakie jest jej przybliżenie w zaokrągleniu do części setnych?

Liczba π jest to stosunek długości obwodu okręgu do jego średnicy. W przybliżeniu wynosi 3,14.

$$π={ ext "długość obwodu"}/{ ext "długość promienia"}≈3,14 $$

Zadanie 5.

Jakie pole i obwód ma koło o średnicy $$4√π$$ ?

$$ d=4√π -> r=2√π $$

$$ P=πr^2=π{(2√π)}^2=4π^2 $$

$$ L=2πr=2π2√π=4π√π $$

Odp.: Pole koła wynosi $$4π^2$$, a obwód $$4π√π$$.

Zadanie 6.

Kasia obeszła trawnik wykonując 30 kroków. Oblicz jaką średnicę miał ten trawnik jeżeli długość jednego kroku Kasi jest równa 0,6m. Przybliż liczbę π do 3.

$$ 2πr=30×0,6 $$

$$ 2×3r=18 $$

$$ r=3 m $$

$$ d=2×3=6 m $$

Odp.: Średnica trawnika wynosi 6 m.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Praca uczniów na całej lekcji matematyki była tak...

Wiemy, że:

lekcja trwa 45 minut

stosunek ilości czasu poświęconego na samodzielną pracę
do ilości pozostałego czasu wynosił 5:4


obliczmy ile czasu uczniowie poświęcili na lekcji na samodzielną pracę:

`x` - czas poświęcony na samodzielna pracę uczniów na lekcji

`45-x` - pozostały czas na lekcji

`x/(45-x)=5/4 \ \|*4` 
{premium}

`(4x)/(45-x)=5 \ \ |*(45-x)` 

`4x=5*(45-x)` 

`4x=225-5x \ \ |+5x` 

`9x=225 \ \ |:9` 

`x=25 \ "[min]"` 


`45-x=45-25=20 \ "[min]"` 

zatem:

A. FAŁSZ

B. FAŁSZ

C. PRAWDA

D. FAŁSZ


Odp. C

Oblicz miary kątów...

Suma miar kątów wewnętrznych w trójkącie wynosi `180^@ .` 

Z tego wynika, że kąt α ma miarę:

`alpha + 15^@ + 20^@ = 180^@` 

`alpha + 35^@ = 180^@ \ \ \ \ \ |-35^@` 

`alpha = 145^@` 
{premium}


Wiemy, że suma kątów przyległych równa jest `180^@.` 

Z tego wynika, że kąt β będzie miał miarę:

`beta+80^@ + (180^@ - 145^@) = 180^@` 

`beta + 80^@ + 35^@ = 180^@` 

`beta + 115^@ = 180^@ \ \ \ \ \ |-115^@` 

`beta = 65^@` 

Wiemy, że kąty wierzchołkowe mają takie same miary. Z tego wynika, że kąt γ ma miarę:

`gamma + 93^@ + 70^@ = 180^@` 

`gamma +163^@ = 180^@ \ \ \ \ \ |-163^@` 

`gamma = 17^@` 

Zapisz podane liczby w kolejności od najmniejszej do największej.

`a=-5/2=-2 1/2=-2 5/10=-2,5` 

`b=2,2(52)=2,2525252...` 

`c=2,5(25)=2,5252525...` 

`d=-8/3=-2 2/3=-2, (6)=-2, 666...` 

`e=2,52` 

`f=3 1/3=3, (3)=3,333...` 

{premium}

Odpowiedź:
Liczby w kolejności od najmniejszej do największej to: 

`d,  \ \ a,  \ \ b,  \ \ e,  \ \ c,  \ \ f`  

Odległość między punktami A=(2,1) i B=(-3, -2)...

Rysunek pomocniczy:



Długość odcinka AB oznaczonego literą x możemy obliczyć korzystając z twierdzenia Pitagorasa:
{premium}

`3^2+5^2=x^2`
 
`9+25=x^2`  

`x^2=34 \ \ |sqrt` 

`x=sqrt34` 


Odp.: D

Helikopter wystartował z lotniska...

Dane:

Tor ruchu helikoptera z w odległością pomiędzy lotniskiem, a szpitalem tworzy trójkąt prostokątny o przyprostokątnych:

`a = 5\ km` 

`b = 12\ km` 

Szukane:

`c = ?` 

Rozwiązanie:

Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa:

`a^2 + b^2 = c^2`   

`(5\ km)^2 + (12\ km)^2 = c^2` 
{premium}

`25\ km^2 + 144\ km^2 = c^2` 

`169\ km^2 = c^2` 

`c^2 = 169\ km^2 \ \ \ \ \ |sqrt(\ )` 

`sqrt(c^2) = sqrt(169\ km^2)` 

`c = 13\ km` 

Odp.: Odległość pomiędzy lotniskiem, a szpitalem wynosi 13 kilometrów.

Dwa okręgi o środkach P oraz S są styczne i mają ...

Łączymy punkty P i S i otrzymujemy odcinek PS.

Okręgi o środkach punktach P i S są styczne zewnętrznie i mają równe promienie.

Oznacza to, że są styczne w punkcie będącym środkiem odcinka PS.

Oznaczmy ten punkt jako R.

{premium}

Kreślimy okrąg o środku P i promieniu PR oraz okrąg o środku S i promieniu SR.

Następnie rysujemy odcinek OS. Punkt przecięcia odcinka OS z okręgiem o środku S oznaczmy jako T.

Kreślimy okrąg o środku w punkcie O i promieniu OT. 

Możemy zauważyć, że wszystkie warunki podane w treści zadania są spełnione.

Okrąg o środku w punkcie O NIE przecina okręgu o środku w punkcie P.

Zaokrąglij liczbę...

`a)` 

`12,(72) = 12,72727272... ~~12,73`  

{premium}

`b)` 

`0,0(346) = 0,0346346346... ~~0,035`   

 

`c)` 

`0,5(15)=0,51515151515...~~0,5152`  

 

`d)` 

`0,(39) = 0,39393939...~~0,39394`  

Poniższy diagram przedstawia...

`a)` 

`292-245 = 47` 

Odp.: Wydobycie zmniejszyło się o 47 mln ton.

{premium}

`b)` 

Z wykresu możemy odczytać, że największa różnica między wydobyciem węgla
w obu krajach miała miejsce w 1913 roku.

 

`c)` 

W 1913 roku:  

`(292+41)/(1216) = 333/1216 ~~0,27 = 27%`    

W 1980 roku:  

`(130+193)/(2728) = 323/2728 ~~0,12 = 12%`    

W 2006 roku:  

`(19+94)/(5370) = 113/5370 ~~0,02 = 2%`    

Rysunek przedstawia ostrosłup prawidłowy trójkątny o krawędzi podstawy długości 6 i wysokości 3.

`a)` 

`|AB|=6` 

`|SW|=3` 

`|AM|=(6sqrt3)/2=3sqrt3`  - wysokość podstawy, czyli trójkąta równobocznego o boku 6

`|AW|=2/3*|AM|=2/3*3sqrt3=2sqrt3` 

`|WM|=1/3*|AM|=1/3*3sqrt3=sqrt3` 

 

Długość odcinka SM obliczymy korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta SWM:

`|SW|^2+|WM|^2=|SM|^2` 

`3^2+sqrt3^2=|SM|^2` 

`9+3=|SM|^2` 

`|SM|=sqrt12=sqrt4*sqrt3=2sqrt3` 

 

 

Długość odcinka SA obliczymy korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta AWS

`|AW|^2+|WS|^2=|SA|^2` 

`(2sqrt3)^2+3^2=|SA|^2` 

`12+9=|SA|^2` 

`|SA|=sqrt21` 

 

{premium}

`b)` 

`|KL|=a` 

`|SM|=a` 

`|KP|=(asqrt3)/2`  - wysokość trójkąta równobocznego o boku a

`|KO|=2/3*|KP|=2/3*(asqrt3)/2=` `(asqrt3)/3` 

`|OP|=1/3*|KP|=1/3*(asqrt3)/2=(asqrt3)/6` 

`|SP|=(asqrt3)/2` 

 

Długość odcinka SO obliczymy korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta SOP

`|SO|^2+|OP|^2=|SP|^2` 

`|SO|^2+((asqrt3)/6)^2=((asqrt3)/2)^2` 

`|SO|^2+(a^2*3)/36=(a^2*3)/4` 

`|SO|^2+a^2/12=(3a^2)/4\ \ \ |-a^2/12` 

`|SO|^2=(3a^2)/4-a^2/12=(9a^2)/12-a^2/12=(8a^2)/12=(2a^2)/3`  

`|SO|=sqrt(2a^2/3)=sqrt(2/3)*a=sqrt2/sqrt3*a=(sqrt2*sqrt3)/3*a=sqrt6/3a`      

 

 

 

 

Oszacuj lewe strony poniższych równości...

A. `5712:(45+23)=5712:68< 6800: 68=100` 

zatem: 

`5712:(45+23) < 100` 

{premium}

pierwsza równość jest fałszywa


B. `66*20:11=1320:11> 1100:11=100` 

zatem:

`66*20:11> 100` 

druga równość jest fałszywa


C. `(85-16)*89=69*89 < 70*90=6300` 

zatem:

`(85-16)*89< 6300` 

`(85-16)*89=69*89 < 70*89=6230` 

`(85-16)*89=69*89 < 69*90=6210` 

`6210-69=6141` 

trzecia równość jest prawdziwa



D. `55*(11+78)=55*89 > 55*80=4400` 

zatem:

`55*(11+78) > 4400` 

czwarte równość jest fałszywa