Koła i okręgi - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Koła i okręgi - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Styczna do okręgu

Styczna do okręgu to prosta mająca dokładnie jeden punkt wspólny z okręgiem.

Punkt wspólny prostej i okręgu nazywamy punktem styczności.

Promień poprowadzony do punktu styczności jest prostopadły do stycznej.




Uwaga!!!

Jeśli dwie styczne do okręgu przecinają się w punkcie S, to odcinki łączące punkt S z punktami styczności mają równe długości. 

 `|AS|=|BS|`  

Wzajemne położenie dwóch okręgów

Dwa okręgi mogą być:

  • rozłączne
  • przecinające się
  • styczne
  • współśrodkowe

Długość okręgu

Długość okręgu to nic innego jak obwód okręgu.

Wzór na długość okręgu:

`l=2pir` 

gdzie `r`  to długość promienia okręgu

Liczba `π`  (pi), która wystąpiła w powyższym wzorze, to liczba wyznaczająca stosunek długości okręgu ( `l` ) do długości jego średnicy ( `d` ).

`pi=l/d`  
W przybliżeniu wynosi ona `3,14`  lub `22/7` .
Liczba `π`  jest liczbą niewymierną!

 

Przykład:

Obliczamy ile wynosi długość okręgu, którego promień ma długość 5 cm. 

`r=5 \ "cm"` 

Zatem:

`l=2pi*5 \ "cm"=10pi \ "cm"` 

Pole koła

Wzór na pole koła:

`P=pir^2` 

gdzie `r`  to długość promienia koła


Przykład:

Obliczamy ile wynosi pole koła, którego promień ma długość 3 cm. 

`r=3 \ "cm"` 

Zatem: 

`P=pi*(3 \ "cm")^2=pi*9 \ "cm"^2=9pi \ "cm"^2`  

Długość łuku

Kąt środkowy to kąt, którego wierzchołkiem jest środek okręgu (koła) a ramiona zawierają promienie okręgu (koła). 

Kąt środkowy wyznacza łuk będący częścią okręgu. Łuk ten stanowi taką samą część okręgu, jaką częścią kąta pełnego jest kąt `alpha`

Długość łuku (x) obliczamy ze wzoru: 

`x=alpha/360^@*2pir`   

`r`  - długość promienia okręgu 

`alpha`  - miara kąta środkowego 



Przykład:

Kąt środkowy ma miarę 60o. Promień okręgu ma długość 4 cm. Obliczamy ile wynosi długość łuku wyznaczonego przez ten kąt. 

`x=60^@/360^@*2pi*4 \ "cm"=1/strike6^3*strike2^1pi*4 \ "cm"=1/3*pi*4 \ "cm"=4/3pi \ "cm"`  

Pole wycinka koła

Wycinek koła to część wspólna koła i kąta środkowego. 

Wycinek koła stanowi taką samą część całego koła, jaką częścią kąta pełnego jest kąt `alpha`.  

Pole wycinka koła (Pw) obliczamy ze wzoru: 

`P_w=alpha/360^@*pir^2` 

`r`  - długość promienia koła 

`alpha`  - miara kąta środkowego  

 

Przykład

Kąt środkowy ma miarę 90o. Promień koła ma długość 12 cm. Obliczamy ile wynosi pole wycinka koła wyznaczonego przez ten kąt. 

`P_w=90^@/360^@*pi*(12 \ "cm")^2=1/strike4^1*pi*strike144^36 \ "cm"^2=36pi \ "cm"^2`   

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Ustal, ile razy dłuższy jest okrąg o promieniu 5 od okręgu o średnicy 5.

$ L_1=2πr_1=2π×5=10π $

$ L_2=2πr_2=2π×2,5=5π $

$ {L_1}/{L_2} ={10}/5=2 $

Odp.: Okrąg o promieniu 5 jest 2 razy dłuższy od okręgu o średnicy 5.

Zadanie 2.

Ustal, ile razy większe jest koło o promieniu 4 od koła o średnicy 4.

$ P_1=π {r_1}^2=π×4^2=16π $

$ P_2=π {r_2}^2=π×2^2=4π $

$ {P_1}/{P_2} ={16}/4=4 $

Odp.: Koło o promieniu 4 jest 4 razy większe od koła o średnicy 4.

Zadanie 3.

Ustal promień koła, w którym wycinkowi:

  1. o polu $3π$, odpowiada kąt 30°
  2. o polu $3/2 π$, odpowiada kąt 240°
  3. o polu $2π$, odpowiada kąt 72°
  1. $ {30°}/{360°}×πr^2=3π $

    $ 1/{12}×r^2=3 $

    $ r=6 $
     
  2. $ {240°}/{360°}×πr^2=3/2 π $

    $ 2/3×r^2=3/2 $

    $ r=3/2=1,5 $
     
  3. $ {72°}/{360°}×πr^2=2π $

    $ 1/5×r^2=2 $

    $ r=√10 $
     

Zadanie 4.

Co oznacza liczba π i jakie jest jej przybliżenie w zaokrągleniu do części setnych?

Liczba π jest to stosunek długości obwodu okręgu do jego średnicy. W przybliżeniu wynosi 3,14.

$π={ ext "długość obwodu"}/{ ext "długość promienia"}≈3,14 $

Zadanie 5.

Jakie pole i obwód ma koło o średnicy $4√π$ ?

$ d=4√π -> r=2√π $

$ P=πr^2=π{(2√π)}^2=4π^2 $

$ L=2πr=2π2√π=4π√π $

Odp.: Pole koła wynosi $4π^2$, a obwód $4π√π$.

Zadanie 6.

Kasia obeszła trawnik wykonując 30 kroków. Oblicz jaką średnicę miał ten trawnik jeżeli długość jednego kroku Kasi jest równa 0,6m. Przybliż liczbę π do 3.

$ 2πr=30×0,6 $

$ 2×3r=18 $

$ r=3 m $

$ d=2×3=6 m $

Odp.: Średnica trawnika wynosi 6 m.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Oblicz objętość graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego...

Dłuższa przekątna graniastosłupa tworzy z dłuższą przekątną podstawy oraz wysokością bryły trójkąt

prostokątny równoramienny, więc wysokość bryły i dłuższa przekątna podstawy mają taką samą długość.

Co więcej, taki trójkąt jest połówką kwadratu, więc wysokość bryły i dłuższa przekątna podstawy są równe  


Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:

Thumb dd2str185


Przyda nam się też rysunek pomocniczy podstawy graniastosłupa: {premium}

Thumb dd2astr185


Przekątne sześciokąta podzieliły go na sześć trójkątów równobocznych o boku  

Stąd:

 

 


Pole sześciokąta jest równe polu sześciu trójkątów równobocznych o boku  

Obliczamy pole podstawy graniastosłupa:

Podstawiamy  

 


Obliczamy objętość graniastosłupa:

 

 


Odp. Objętość graniastosłupa jest równa  

Narysuj sześciokąt, który nie jest foremny ...

Lodziarz sprzedaje małe...

Dane:

Cena małej gałki lodów:  

Cena dużej gałki lodów:  

Liczba sprzedanych gałek lodów:  

Kwota uzyskana ze sprzedaży lodów:  

Liczba sprzedanych małych gałek:  

Szukane:

Liczba sprzedanych dużych gałek lodów:  

Rozwiązanie:

Znamy liczbę sprzedanych przez lodziarza gałek lodów, która jest sumą małych i dużych gałek lodów:

 
{premium}

Znamy kwotę uzyskaną przez lodziarze ze sprzedaży:

 

Otrzymujemy układ równań, z którego obliczamy ilość małych i dużych gałek lodów sprzedanych przez lodziarza:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Odp.: Lodziarz sprzedał 260 dużych gałek lodów.

Spośród narysowanych figur ...

a) 

podglad pliku{premium}

,   


b)

podglad pliku

 


c)

podglad pliku

 

W prostopadłościanie o objętości V cm³ jedna z krawędzi o długości x jest

Wprowadźmy oznaczenia zgodne z treścią zadania.

Objętość: V

Długość jednej z krawędzi: x

Długość drugiej z krawędzi: 2x

Długość trzeciej z krawędzi: c

{premium}

Trzecią krawędź o nieznanej długości przedstawmy za pomocą danych nam wielkości korzystając ze wzoru na objętość prostopadłościanu.

 

 

 

 

 

Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu wyraża się wzorem:

 

Wyznaczmy wzór na pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu zapisany za pomocą tych oznaczeń.

 

 

 

  

 

 

W równoległoboku ABCD przekątne ...

W trójkącie BCE opuszczamy wysokość z wierzchołka C. 

Trójkąt EFC jest trójkątem prostokątnym równoramiennym o przeciwprostokątnej długości 6 cm. {premium}

Korzystając z zależności między bokami w trójkącie prostokątnym równoramiennym obliczamy długość wysokości CF. 
 
 
Usuwamy niewymierność z mianownika. 
 


Każda z przekątnych równoległoboku dzieli go na dwa trójkąty przystające. 

Przekątna BD dzieli równoległobok na dwa trójkąty przystające. 

Trójkąt ABD jest przystający do trójkąta CDB. 

W trójkącie CDB podstawą jest przekątna BD równoległoboku, czyli a=16 cm. 
Wysokość tego trójkąta jest równa długości odcinka CF, czyli h=3√2 cm. 

Pole równoległoboku jest sumą pól trójkątów ABD i CDB, czyli jest dwa razy większe od pola trójkąta CDB (bo trójkąty te są przystające).


Obliczamy ile wynosi pole równoległoboku:
   

Odpowiedź:
Pole równoległoboku wynosi 48√2 cm2

Doświadczenie losowe polega na...

Określmy na początku zbiór zdarzeń elementarnych:

 

Z tego wynika, że liczba zdarzeń elementarnych wynosi:  

 

 

Losujemy oczka będące potęgą liczby dwa:

 

Liczba zdarzeń sprzyjających wynosi:  

Wówczas prawdopodobieństwo wylosowania liczby będącej potęgą liczby dwa to:

 

 

 

 

Losujemy oczka będące wielokrotnością liczby :{premium}

 

Liczba zdarzeń sprzyjających wynosi:  

Prawdopodobieństwo to:

 

 

 

Losujemy liczbę nie większą niż . Zauważmy, że . Z tego wynika, że:

 

 

Liczba zdarzeń sprzyjających wynosi:  

Prawdopodobieństwo to:

 

 

 

 

Losujemy liczbę, która nie dzieli się przez :

 

Liczba zdarzeń sprzyjających wynosi:  

Prawdopodobieństwo to:

 

 

 

 

Losujemy liczbę, która przy dzieleniu przez  daje resztę . Zauważmy, że:

 

 

 

 

 

 

Nie ma elementów spełniających to założenie. Zbiór jest pusty:  

Liczba zdarzeń sprzyjających wynosi:  

Prawdopodobieństwo to:

 

 

Dany jest kąt alpha...

1. Tak, ponieważ wystarczy dorysować zielony odcinek:

podglad pliku{premium}

2. Tak, ponieważ wystarczy dorysować zielony odcinek:

Thumb zad23bs71

3. Tak, ponieważ wystarczy dorysować zielony odcinek:

Thumb zad23cs71

4. Tak, ponieważ wystarczy dorysować zielony odcinek:

Thumb zad23ds71

W konkursie Mistrz Klawiatury ...

Oznaczmy prędkość (wyrażoną w znakach na minutę) z jaką pisała na konkursie Joasia, jako  . 

 

Z treści zadania wiemy, że w określonym przez jury czasie zapisała 4920 znaków, pisząc z prędkością  znaków na minutę.
Skoro w ciągu jednej minuty zapisywała   znaków, to na zapisanie 4920 znaków potrzebowała    minut.    {premium}


Wiemy także, że gdyby pisała o 5 znaków więcej w ciągu każdej minuty, to w tym samym czasie zapisałaby 5040 znaków.

Skoro w ciągu jednej minuty zapisałaby   znaków, to na napisanie 5040 znaków potrzebowałaby    minut. 


Wiemy, że czasy pisania w obu przypadkach byłyby takie same, czyli: 

 


Odpowiedź: Joasia pisała z prędkością 205 znaków na minutę

Średnica najmniejszej poznanej bakterii wynosi około ...

Średnica najmniejszej poznanej bakterii wynosi około , czyli{premium}

 


Przypomnijmy, że , zatem

 

Na zdjęciu z mikroskopu powiększającego milion razy będzie milion razy dłuższa.