Koła i okręgi - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Koła i okręgi - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Styczna do okręgu

Styczna do okręgu to prosta mająca dokładnie jeden punkt wspólny z okręgiem.

Punkt wspólny prostej i okręgu nazywamy punktem styczności.

Promień poprowadzony do punktu styczności jest prostopadły do stycznej.




Uwaga!!!

Jeśli dwie styczne do okręgu przecinają się w punkcie S, to odcinki łączące punkt S z punktami styczności mają równe długości. 

 `|AS|=|BS|`  

Wzajemne położenie dwóch okręgów

Dwa okręgi mogą być:

  • rozłączne
  • przecinające się
  • styczne
  • współśrodkowe

Długość okręgu

Długość okręgu to nic innego jak obwód okręgu.

Wzór na długość okręgu:

`l=2pir` 

gdzie `r`  to długość promienia okręgu

Liczba `π`  (pi), która wystąpiła w powyższym wzorze, to liczba wyznaczająca stosunek długości okręgu ( `l` ) do długości jego średnicy ( `d` ).

`pi=l/d`  
W przybliżeniu wynosi ona `3,14`  lub `22/7` .
Liczba `π`  jest liczbą niewymierną!

 

Przykład:

Obliczamy ile wynosi długość okręgu, którego promień ma długość 5 cm. 

`r=5 \ "cm"` 

Zatem:

`l=2pi*5 \ "cm"=10pi \ "cm"` 

Pole koła

Wzór na pole koła:

`P=pir^2` 

gdzie `r`  to długość promienia koła


Przykład:

Obliczamy ile wynosi pole koła, którego promień ma długość 3 cm. 

`r=3 \ "cm"` 

Zatem: 

`P=pi*(3 \ "cm")^2=pi*9 \ "cm"^2=9pi \ "cm"^2`  

Długość łuku

Kąt środkowy to kąt, którego wierzchołkiem jest środek okręgu (koła) a ramiona zawierają promienie okręgu (koła). 

Kąt środkowy wyznacza łuk będący częścią okręgu. Łuk ten stanowi taką samą część okręgu, jaką częścią kąta pełnego jest kąt `alpha`

Długość łuku (x) obliczamy ze wzoru: 

`x=alpha/360^@*2pir`   

`r`  - długość promienia okręgu 

`alpha`  - miara kąta środkowego 



Przykład:

Kąt środkowy ma miarę 60o. Promień okręgu ma długość 4 cm. Obliczamy ile wynosi długość łuku wyznaczonego przez ten kąt. 

`x=60^@/360^@*2pi*4 \ "cm"=1/strike6^3*strike2^1pi*4 \ "cm"=1/3*pi*4 \ "cm"=4/3pi \ "cm"`  

Pole wycinka koła

Wycinek koła to część wspólna koła i kąta środkowego. 

Wycinek koła stanowi taką samą część całego koła, jaką częścią kąta pełnego jest kąt `alpha`.  

Pole wycinka koła (Pw) obliczamy ze wzoru: 

`P_w=alpha/360^@*pir^2` 

`r`  - długość promienia koła 

`alpha`  - miara kąta środkowego  

 

Przykład

Kąt środkowy ma miarę 90o. Promień koła ma długość 12 cm. Obliczamy ile wynosi pole wycinka koła wyznaczonego przez ten kąt. 

`P_w=90^@/360^@*pi*(12 \ "cm")^2=1/strike4^1*pi*strike144^36 \ "cm"^2=36pi \ "cm"^2`   

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Ustal, ile razy dłuższy jest okrąg o promieniu 5 od okręgu o średnicy 5.

$ L_1=2πr_1=2π×5=10π $

$ L_2=2πr_2=2π×2,5=5π $

$ {L_1}/{L_2} ={10}/5=2 $

Odp.: Okrąg o promieniu 5 jest 2 razy dłuższy od okręgu o średnicy 5.

Zadanie 2.

Ustal, ile razy większe jest koło o promieniu 4 od koła o średnicy 4.

$ P_1=π {r_1}^2=π×4^2=16π $

$ P_2=π {r_2}^2=π×2^2=4π $

$ {P_1}/{P_2} ={16}/4=4 $

Odp.: Koło o promieniu 4 jest 4 razy większe od koła o średnicy 4.

Zadanie 3.

Ustal promień koła, w którym wycinkowi:

  1. o polu $3π$, odpowiada kąt 30°
  2. o polu $3/2 π$, odpowiada kąt 240°
  3. o polu $2π$, odpowiada kąt 72°
  1. $ {30°}/{360°}×πr^2=3π $

    $ 1/{12}×r^2=3 $

    $ r=6 $
     
  2. $ {240°}/{360°}×πr^2=3/2 π $

    $ 2/3×r^2=3/2 $

    $ r=3/2=1,5 $
     
  3. $ {72°}/{360°}×πr^2=2π $

    $ 1/5×r^2=2 $

    $ r=√10 $
     

Zadanie 4.

Co oznacza liczba π i jakie jest jej przybliżenie w zaokrągleniu do części setnych?

Liczba π jest to stosunek długości obwodu okręgu do jego średnicy. W przybliżeniu wynosi 3,14.

$π={ ext "długość obwodu"}/{ ext "długość promienia"}≈3,14 $

Zadanie 5.

Jakie pole i obwód ma koło o średnicy $4√π$ ?

$ d=4√π -> r=2√π $

$ P=πr^2=π{(2√π)}^2=4π^2 $

$ L=2πr=2π2√π=4π√π $

Odp.: Pole koła wynosi $4π^2$, a obwód $4π√π$.

Zadanie 6.

Kasia obeszła trawnik wykonując 30 kroków. Oblicz jaką średnicę miał ten trawnik jeżeli długość jednego kroku Kasi jest równa 0,6m. Przybliż liczbę π do 3.

$ 2πr=30×0,6 $

$ 2×3r=18 $

$ r=3 m $

$ d=2×3=6 m $

Odp.: Średnica trawnika wynosi 6 m.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Oblicz pole powierzchni ostrosłupa:

a) Rysunek pomocniczy:

Pole powierzchni ostrosłupa liczymy sumując pole podstawy oraz pole powierzchni bocznej:{premium}

 

Obliczamy pole podstawy (podstawa jest kwadratem o boku długości ).

  

Korzystając z tw. Pitagorasa obliczamy długość wysokości ściany bocznej ():

 

 

 

Obliczamy pole powierzchni bocznej (powierzchnia boczna składa się z  ścian, każda o podstawie długości  i wysokości  ):

  

Obliczamy pole powierzchni całkowitej:

 



b)
Rysunek pomocniczy:

W podstawie znajduje się sześciokąt foremny o boku długości .

Obliczamy pole podstawy:

 
Korzystając z tw. Pitagorasa obliczamy długość wysokości ściany bocznej:

 

 

 

 

Obliczamy pole powierzchni bocznej (powierzchnia boczna składa się z  ścian, każda o podstawie długości  i wysokości ):

     

Obliczamy pole powierzchni całkowitej:

  

Sześcian o krawędzi 8 cm podzielono...

Obliczmy objętość sześcianu o krawędzi 8 cm:

 

Sześcian ten podzielono na 6 przystających ostrosłupów obliczmy objętość jednego z tych ostrosłupów:   {premium}

 

wykonajmy rysunek pomocniczy:
podglad pliku

zauważmy, że:

 


Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczmy wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa:

 

 

 

 

 


Obliczmy pole powierzchni całkowitej jednego z tych ostrosłupów:

 


Odp.: Objętość jednego z tych ostrosłupów wynosi 85 1/3 cm3, a pole powierzchni całkowitej jednego z tych ostrosłupów wynosi 64(1+√2) cm2.

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz ...

Pierwszy wiersz w tabeli

 
{premium}
 

 

czyli: 

20% liczby 49 to mniej niż 5% liczby 400

F (fałsz) 

 

Drugi wiersz w tabeli

x - szukana liczba 

15% szukanej liczby wynosi 12, zatem: 

 

  

 

Szukana liczba to 80. 


80 < 85, czyli liczba ta jest mniejsza niż 85

P (prawda)

Liczby...

Obliczamy:

 {premium}

 

 

 

Odpowiedź:  

W jednym worku było...

Ilość fasoli w pierwszym worku:  

Ilość fasoli w drugim worku:  

Ilość fasoli odsypana z pierwszego worka:  

Ilość fasoli odsypana z drugiego worka:   

Ilość fasoli, która pozostała w pierwszym worku:  

Ilość fasoli, która pozostała w drugim worku:{premium}  

Ponadto wiemy, że po odsypaniu w pierwszy worku pozostało trzy razy więcej fasoli niż w drugim:

 

Wówczas otrzymujemy, że  wynosi:

 

 

 

 

 

Oznacza to, że z pierwszego worka odsypano  kilogramy fasoli. Wówczas z drugiego:

 

Z drugiego worka odsypano  kilogramów fasoli.

 

Odpowiedź: Z pierwszego worka odsypano  fasoli, a z drugiego worka odsypano  fasoli.

Dwa graniastosłupy proste mają ...

Podstawą graniastosłupa czworokątnego jest romb. Kąt ostry tego rombu ma miarę 60o

Romb ten możemy podzielić więc na dwa trójkąty równoboczne o boku długości 3 cm. {premium}

Obliczamy ile wynosi pole podstawy tego graniastosłupa. 

 


Podstawą graniastosłupa trójkątnego jest trójkąt równoboczny o boku długości 6 cm. 

Pole podstawy tego graniastosłupa wynosi: 

 

 

Objętości tych brył są równe. 

Pole podstawy graniastosłupa trójkątnego jest większe, więc jego wysokość będzie krótsza. 

Wysokość tego graniastosłupa będzie miała długość 12 cm. 

 


Obliczamy il wynosi objętość graniastosłupa czworokątnego (hI).

 

 

  


Odpowiedź: Wysokość drugiego graniastosłupa będzie miała długość 24 cm

Dwa boki trójkąta mają długości ...

Suma długości dwóch krótszych boków trójkąta musi być większa od długości trzeciego, najdłuższego boku. 

Dwa boki mają długość 5 cm i 9 cm. 


A. Sprawdzamy, czy trzeci bok tego trójkąta może mieć długość 5 cm.  {premium}

 

Suma długości dwóch krótszych boków jest większa od długości najdłuższego boku. 

Oznacza to, że trzeci bok może mieć długość 5 cm. 

B. Sprawdzamy, czy trzeci bok tego trójkąta może mieć długość 9 cm.  

 

Suma długości dwóch krótszych boków jest większa od długości trzeciego boku. 

Oznacza to, że trzeci bok może mieć długość 9 cm. 

C. Sprawdzamy, czy trzeci bok tego trójkąta może mieć długość 14 cm. 

 

Suma długości dwóch krótszych boków jest równa długości najdłuższego boku. 

Oznacza to, że trzeci bok nie może mieć długość 14 cm. 

D. Sprawdzamy, czy trzeci bok tego trójkąta może mieć długość 12 cm. 

 

Suma długości dwóch krótszych boków jest większa od długości najdłuższego boku. 

Oznacza to, że trzeci bok może mieć długość 12 cm. 


Poprawna odpowiedź: C. 14 cm

Wypisz wszystkie liczby całkowite spełniające...

-Liczby całkowite spełniające warunek:

   i       to:


 


-Liczby całkowite spełniające warunek:

   i       to: {premium}


 


Liczby całkowite spełniające warunek:

   i       to:


 


Liczby całkowite spełniające warunek:

   i       to:


 

W ostrosłupie prawidłowym sześciokątnym ...

Krawędź boczna ma długość , a wysokość ściany bocznej jest równa 

Długość krawędzi podstawy oznaczamy przez , więc {premium}jej połowa jest równa .

podglad pliku

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, wyznaczamy długość krawędzi podstawy.

 

 

 

 


Podstawą ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego jest sześciokąt foremny. Składa się on z sześciu przystających trójkątów równobocznych (zob. rys.).

podglad pliku

Dłuższa przekątna sześciokąta foremnego jest dwa razy dłuższa od boku tego sześciokąta, zatem ma ona długość .

Na osi liczbowej zaznaczono ...

Odcinek między 0 i 1, czyli odcinek długości 1, został podzielony na 10 równych części. 

Każdej części odpowiada więc odległość: 

 
{premium}


Końce pierwszego odcinka mają współrzędne 0,1 oraz 0,3. 

Końce drugiego odcinka mają współrzędne 0,4 i 0,6. 

Końce trzeciego odcinka mają współrzędne 0,7 i 0,9. 


Każdy z podanych ułamków zapisujemy w postaci dziesiętnej i określamy, na którym odcinku znajduje się ten ułamek. 

 

Punkt o tej współrzędnej leży na drugim odcinku. 


Punkt o tej współrzędnej leży na pierwszym odcinku.   


 

Punkt o tej współrzędnej leży na trzecim odcinku. 


 

Punkt o tej współrzędnej nie leży na żadnym z odcinków. 


Poprawna odpowiedź: D. 9/25