Wyrażenia algebraiczne - 7-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Wyrażenia algebraiczne

Wyrażenia algebraiczne to wyrażenia składające się z liczb, liter, znaków działań i nawiasów.

Przykłady:

  • `x+5` 

  • `x^2-y^2` 

  • `2+a` 

  • `3x-5y` 

  • `y^2` 

  • `1/2ah` 

  • `-3/4` 


Uwaga!

Wyrażenie `3*x` możemy zapisać prościej jako `3x`.

Wyrażenie `3*(m+n)` możemy zapisać prościej jako `3(m+n)` .


Uwaga!!

Jeśli w danym wyrażeniu po kropce oznaczającej znak mnożenia występuje liczba NIE WOLNO pominąć kropki. 

Wyrażenia  `3+x*5`  nie można zapisać jako `strike(3+x5)` . 

Wyrażenia `(3m+n)*7` nie można zapisać jako  `strike((3m+n)7)` . 


Przykładowe wyrażenia algebraiczne i sposób ich odczytywania.      

Wyrażenie algebraiczne (zapis) Nazwa (sposób odczytywania)
`3+b`  suma liczb 3 i b
`a+b`  suma liczb a i b
`a-b`  różnica liczb a i b
`x*y`  iloczyn liczb x i y
`m:2`  iloraz liczby m i 2 (iloraz liczby m przez 2)
`2y`  podwojona liczba y,
liczba dwa razy większa od y,
iloczyn liczb 2 i y
`3b`  potrojona liczba b,
liczba trzy razy większa od b,
iloczyn liczb 3 i b
`1/2a`  połowa liczby a
`1/3x`  trzecia część liczby x
`x^2`  kwadrat liczby x
`y^3`  sześcian liczby y
`-2xy`  iloczyn liczb -2, x i y
`x-12`  różnica liczb x i 12, 
liczba o 12 mniejsza od x

 

Wartości liczbowe wyrażeń algebraicznych

Aby obliczyć wartość liczbową wyrażenia algebraicznego należy w miejsce liter podstawić odpowiednie liczby.


Przykład:

Oblicz wartość liczbową wyrażenia `2y+3y^2-10 \ \ \ "dla" \ \ \ y=2` . 

W miejsce `y` wstawiamy 2.  

`2*2+3*2^2-10=4+3*4-10=4+12-10=16-10=6` 

Wartość wyrażenia `2y+3y^2-10 \ \ \ "dla" \ \ \ y=2`  wynosi 6. 

Jednomiany

W wyrażeniach algebraicznych poszczególne elementy, czyli pojedyncze litery, liczby lub iloczyny liczb i liter nazywamy jednomianami.

Przykłady jednomianów: 

`-7b, \ \ 4bk, \ \ 10z, \ \ 5t^2,  \ \ x, \ \ -5`   


Liczbę występującą w danym jednomianie nazywamy współczynnikiem liczbowym jednomianu.

Przykłady:

  • `13k^3 \ \ \ -> \ \ \ "współczynnik liczbowy: 13"` 

  • `-4xyz \ \ \ -> \ \ \ "współczynnik liczbowy: -4"`   

W celu przedstawienia wyrażenia algebraicznego w sposób bardziej przejrzysty należy uporządkować go, czyli doprowadzić do najprostszej postaci.

Pamiętaj aby w każdym z jednomianów najpierw stała liczba a następnie litera lub litery w kolejności alfabetycznej!

Przykłady:

  • `1/4*16x*x*3y=ul(1/4)*ul(16)*ul(ul(x))*ul(ul(x))*ul(3)*y=12*x^2*y=12x^2y`      

  • `(-15k)*(-3p)=ul((-15))*ul(ul(k))*ul((-3))*p=45*k*p=45kp`    

Sumy algebraiczne

Wyrażenie algebraiczne powstałe po dodaniu jednomianów nazywamy sumą algebraiczną.

Dodawane jednomiany noszą nazwę wyrazów sumy. Sumę algebraiczną możemy nazwać także wielomianem.


Przykłady sum algebraicznych:

  • `8k-5l-10q` 

  • `67r+(-9p)-3` 
     


Jeżeli podczas dodawania lub odejmowania jednomianów spotkamy się z jednomianami różniącymi się tylko współczynnikiem liczbowym lub kolejnością czynników wówczas mówimy, że jednomiany są podobne.

Dodawanie i odejmowanie tych jednomianów nazywamy redukcją wyrazów podobnych.


Przykłady jednomianów podobnych:

  • `4xy^2 \ "i" \ 16y^2x` 

  • `14nm \ "i" \ (-16)mn` 

  • `3k \ "i" \ 8k`   


Przykłady redukcji wyrazów podobnych:

  • `4xy-9xy=(-5)xy` 

  • `8y^2+19y^2=27y^2`  

Redukcja wyrazów podobnych

Jednomiany podobne to wyrazy sumy algebraicznej (sumy jednomianów) różniące się tylko współczynnikiem liczbowym.


Redukcja wyrazów podobnych
polega na dodaniu wyrazów podobnych.


Przykłady redukcji wyrazów podobnych:

  • `ul(2xy)+ul(ul(6z))-ul(10xy)+ul(ul(z))-k=-8xy+7z-k`  

    Jednomiany podobne to: 2xy i -10xy oraz 6z i z. 

  • `ul(8x)+ul(ul(2y))+ul(ul(ul(9x^2)))+7-ul(x)-ul(ul(3y))-ul(ul(ul(x^2)))=8x^2+7x-y+7` 

    Jednomiany podobne to: 9x2 i -x2, 8x i -x, 2y i -3y    

Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych

Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych to nic innego jak opuszczanie nawiasów i porządkowanie otrzymanego wyrażenia algebraicznego.

Przykłady:

  • `(x-y)+(4x-2y)=ul(x)-ul(ul(y))+ul(4x)-ul(ul(2y))=5x-3y`  

  • `7k-9m+(11m-4k)=ul(7k)-ul(ul(9m))+ul(ul(11m))-ul(4k)=3k+2m` 


Uwaga - ważna zasada!!!

Jeśli w sumie algebraicznej przed nawiasem znajduje się znak minus, to opuszczając nawias należy znaki wszystkich wyrazów z nawiasu zmienić na przeciwne. 

Przykłady:

  • `9l-10k-(11l+7k-11t)=ul(9l)-ul(ul(10k))-ul(11l)-ul(ul(7k))+11t=-2l-17k+11t`    

  • `8+2k-(6k+5m)=8+ul(2k)-ul(6k)-5m=8-4k-5m`  

Mnożenie jednomianów przez sumy algebraiczne

Mnożenie jednomianów przez sumy algebraiczne polega na pomnożeniu jednomianu przez każdy wyraz sumy.


Przykłady:

  • `9a(4c+9b)=9a*4c+9a*9b=36ac+81ab`  

  • `(a-bc)*5xy=a*5xy-bc*5xy=5axy-5bcxy`  

Mnożenie sum algebraicznych

Mnożenie sum algebraicznych jest bardzo podobne do mnożenia jednomianu przez sumę algebraiczną.

Wystarczy tylko pomnożyć każdy jednomian z pierwszej sumy przez wszystkie jednomiany z drugiej sumy i je dodać.

`(m+n)(k+l)=m(k+l)+n(k+l)=mk+ml+nk+nl` 


Schemat mnożenia sum algebraicznych: 


Przykłady:

  • `(3k-1)(2+t)=3k*2+3k*t+(-1)*2+(-1)*t=6k+3kt-2-t` 

  • `(6l-7b)(9r+4q)=6l*9r+6l*4q+(-7b)*(9r)+(-7b)*4q=54lr+24lq-63br-28bq`     

Wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias

Mnożenie jednomianów i sum algebraicznych prowadziło do powstania sumy algebraicznej.

Czasami warto wykonać odwrotną operację czyli zamienić sumę algebraiczną na iloczyn jednomianu i krótszej sumy algebraicznej. Taką operację nazywamy wyłączaniem czynnika przed nawias.


Jak to zrobić? 

Mamy sumę:  `8xy+2x+9kx+17x` 

  1. Z każdego wyrazu sumy wybieramy powtarzający się element. W podanym przykładzie będzie to: `x` . 

    `8ul(x)y+2ul(x)+9kul(x)+17ul(x)`  

  2. Wyciągamy powtarzający się element przed nawias tak, by po pomnożeniu otrzymać początkową sumę algebraiczną.
    Z pozostałych elementów każdego jednomianu tworzymy sumę algebraiczną. 

    `x(8y+2+9k+17)`  


Przykłady:

  • `9x-3y+18k=ul(3)*3x+ul(3)*(-y)+ul(3)*6k=ul(3)(3x-y+6k)`  

  • `5kl+10xk-20qk=ul(5k)*l+ul(5k)*2x+ul(5k)*(-4q)=ul(5k)(l+2x-4q)`  

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Michał ma n lat. Dwie siostry Michała są od niego młodsze: Ania o 3 lata, a Beata o 5 lat. Tata Michała jest od niego starszy o 30 lat, a mama o 28. Zapisz w postaci wyrażeń algebraicznych wiek sióstr i rodziców.

Ania: n-3

Beata: n-5

Tata: n+30

Mama: n+28
 

Zadanie 2.

Oblicz wartość poniższych wyrażeń dla $$x=3$$.

  1. $$ 2x+5 $$
  2. $$ 2(x+5) $$
  3. $$ x(2+5) $$
  1. $$ 2x+5=2×3+5=6+5=11 $$
  2. $$ 2(x+5)=2(3+5)=2×8=16 $$
  3. $$ x(2+5)=3(2+5)=3×7=21 $$

Zadanie 3.

Uporządkuj jednomiany:

  1. baba
  2. baca
  3. lelek
  4. jajo
  1. $$ a^2 b^2 $$
  2. $$ a^2 bc $$
  3. $$ e^2 kl^2 $$
  4. $$ aj^2 o $$

Zadanie 4.

Marcin ma x złotych, Jacek o 5 złotych więcej, a Olek trzy razy więcej niż Marcin. Ile pieniędzy mają w sumie?

Marcin -> $$x$$

Jacek -> $$x+5$$

Olek -> $$3x$$

$$ x+(x+5)+3x=x+x+5+3x=5x+5$$

Odp.: W sumie chłopcy mają $$5x+5$$ zł.

Zadanie 5.

Przekształć do postaci sumy algebraicznej wyrażenie:

  1. $$ 2(a+b) $$
  2. $$ 3(x+2y-6) $$
  3. $$ -2(x+4-y+z) $$
  1. $$ 2(a+b)=2a+2b $$
  2. $$ 3(x+2y-6)=3x+6y-18 $$
  3. $$ -2(x+4-y+z)=-2x-8+2y-2z$$

Zadanie 6.

Wyłącz wspólny czynnik przed nawias:

  1. $$ 5a+10b-15c $$
  2. $$ 12x+5xy+8x^2 $$
  3. $$ -3k-6k^2-18klm $$
  1. $$ 5a+10b-15c=5(a+2b-3c) $$
  2. $$ 12x+5xy+8x^2=x(12+5y+8x) $$
  3. $$ -3k-6k^2-18klm=-3k(1+2k+6lm) $$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Darek, Jarek i Marek mają łącznie...

Niech `x` oznacza wiek Marka.

Jarek jest `3` lata młodszy od Marka, więc ma `x-3` lat.

Darek ma dwa razy więcej niż Jarek i Marek łącznie, czyli `2*(x+x-3).` 

Wiedząc, że wszyscy trzej razem mają  `93` lata, możemy zapisać następujące równanie:

`x+x-3+2(2x-3)=93` 

`2x-3+4x-6=93` 

`6x-9=93` 

`6x=102\ "/":6` 

`x=17` 

`x-3=17-3=14` 

`2(2x-3)=2*(34-3)=2*31=62`        

Odp. Marek ma `17` lat, Jarek `14,` a Darek `62.`  

Z przystani na jeziorze wypływają ...

Pierwszy kajakarz porusza się z prędkością 9 km/h. Oznacza to, że w ciągu 1 h = 60 min pokona on drogę długości 9 km. 

W ciągu 20 min (3 razy mniej niż 60 min) pokona on drogę 3 razy krótszą, czyli 9 km : 3 = 3 km. 

Drugi kajakarz porusza się z prędkością 12 km/h. Oznacza to, że w ciągu 1 h = 60 min pokona on drogę długości 12 km. 

W ciągu 20 min (3 razy mniej niż 60 min) pokona on drogę 3 razy krótszą, czyli 12 km : 3 = 4 km. 


Przyjmijmy oznaczenia jak na poniższym rysunku. 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczamy, ile wynosi odległość między kajakarzami (x). 

`3^2+4^2=x^2` 

`9+16=x^2` 

`25=x^2` 

`x=sqrt{25}=5 \ \ \ ["km"]` 


Odpowiedź: Kajakarze po 20 minutach znajdują się w odległości 5 km od siebie.    

W dwóch pojemnikach jest 18,5 l wody. Po ile litrów ...

`x`  - ilość wody w pierwszym pojemniku [w litrach]

`x-2,5`  - ilość wody w drugim pojemniku [w litrach] (bo jest o 2,5 l mniej niż w pierwszym pojemniku)

`18,5`  - łączna ilość wody w obu pojemnikach [w litrach]


Równanie opisujące tą sytuację ma postać: 

`x+x-2,5=18,5` 

`2x-2,5=18,5 \ \ \ \ \ \ \ |+2,5` 

`2x=21 \ \ \ \ \ \ |:2` 

`x=10,5` 

W pierwszym pojemniku znajduje się 10,5 l wody. 


Obliczamy, ile wody znajduje się w drugim pojemniku.    

`10,5-2,5=8` 

W drugim pojemniku znajduje się 8 l wody. 


Odpowiedź: W jednym z pojemników znajduje się 10,5 litra wody, a w drugim - 8 litrów wody.  

Z 2 kg roztworu 12 - procentowego roztworu cukru ...

Obliczamy ilość cukru (w kg) w 2 kg 12 - procentowego roztworu cukru:

`12% * 2 = 0,12 * 2 = 0,24\ ["kg"]` 

Z roztworu odparowano 290 g = 0,29 kg wody oraz dosypano 250 g = 0,25 kg cukru.

Obliczamy masę roztworu po odparowaniu wody i dosypaniu cukru:

`2-0,29+0,25=1,71+0,25=1,96\ ["kg"]` 

Obliczamy masę cukru w nowym roztworze:

`0,24+0,25=0,49\ ["kg"]` 

Obliczamy stężenie procentowe roztworu:

`(0,49)/(1,96)*100%=strike49^1/strike196^4*100%=1/strike4^1*strike100^25%=25%` 

 

Odp: Stężenie otrzymanego roztworu wynosi 25%.

Poniżej podane są cztery zestawy...

I.

`(2^3+2^0)/2^6=(8+1)/64=9/64` 

`(9^9:(3^6*3^4))/6^6=((3^2)^9:(3^(6+4)))/6^6=(3^18:3^10)/6^6=3^(18-10)/6^6=3^8/6^6=(3^6*3^2)/6^6=(3^6/6^6)*3^2=(3/6)^6*9=(1/2)^6*9=1/64*9=9/64` 

`(81*3^4)/(3^6:0,5^6)=(3^4*3^4)/((3:0,5)^6)=(3^(4+4))/(6^6)=3^8/6^6=(3^6*3^2)/6^6=(3^6/6^6)*3^2=(3/6)^6*9=(1/2)^6*9=1/64*9=9/64` 

 

II.

`-sqrt(5^3)/sqrt(2^2+1^2)=-sqrt125/sqrt(4+1)=-(5sqrt5)/sqrt5=-5` 

`root(3)(-500/(sqrt2*sqrt8))=root(3)(-500/sqrt16)=root(3)(-500/4)=root(3)(-125)=-5` 

`5/6:(4*(-9)^3)/(3(sqrt(18^2)^3))=5/6:[(4*(-9)^3)/(3*18^3)]=5/6:[4/3*(-9/18)^3]=5/6:[4/3*(-1/2)^3]=5/6:[4/3*(-1/8)]=5/6:(-4/24)=5/6:(-1/6)=5/6:(-6/1)=-5` 

III. 

`root(3)(10000)/root(3)((3^4-3^0):8)=root(3)(1000*10)/root(3)((81-1):8)=(10root(3)(10))/root(3)(80:8)=(10root(3)(10))/root(3)(10)=10` 

`2*(3sqrt5-10/sqrt5)^2=2*(3sqrt5-(10sqrt5)/5)^2=2*(3sqrt5-2sqrt5)^2=2*(sqrt5)^2=2*5=10` 

`((4^9:2^14)^2)/(sqrt10)^14*5^8=[(2^2)^9:2^14]^2/(sqrt10)^(2*7)*5^8=(2^18:2^14)^2/10^7*5^8=(2^4)^2/10^7*5^8=2^8/10^7*5^8=(2*5)^8/10^7=10^8/10^7=10^(8-7)=10^1=10` 

 

IV.

`root(3)(8^2:0,2^6)=root(3)(64:0,2^6)=root(3)(64):root(3)(0,2^6)=4:root(3)(0,2^2)^3=4:0,2^2=4:0,04=4/0,04=400/4=100` 

`50*(2^5+2^5)/((2^3)^4:2^(3+4))=50*(2*2^5)/(2^12:2^7)=50*2^(1+5)/2^(12-7)=50*2^6/2^5=50*2^(6-5)=50*2^1=50*2=100` 

`36+1:(sqrt8/2-2/sqrt8)^12=36+1:(sqrt8/2-2sqrt8/8)^12=36+1:(sqrt8/2-sqrt8/4)^12=36+1:(2sqrt8/4-sqrt8/4)^12=36+1:(sqrt8/4)^12=36+1:((2sqrt2)/4)^12=36+1:(sqrt2/2)^12=36+1:2^6/2^12=36+1*2^12/2^6=36+1*2^6=36+1*64=36+64=100` 

 

 

W tabeli podano...
Rok Liczba ludności w Ameryce Północnej
1100 `500\ 000`  `5*10^5` 
1750 `2\ 000\ 000`  `2*10^6` 
1900 `82\ 000\ 000`  `8,2*10^7` 
1950 `172\ 000\ 000`  `1,72*10^8` 
2000 `316\ 000\ 000`  `3,16*10^8` 
Oblicz:

`"a)"\ (strike(1,2)^(0,6)*5/strike2^1)/(strike(0,16)^(0,04)*1/strike4^1):(4 1/4:0,01)/(strike(6,25)^(0,25)*4/strike25^1)=` `3/(0,04):(4,25:0,01)/1=` 

`\ \ \ =3/(0,04)*1/(4,25:0,01)=` `300/4*1/425=` `150/2*1/425=` 

`\ \ \ =75*1/425=(75:25)/(425:25)=3/17` 

 

`"b)"\ (0,5+0,2*0,6)/(3/4-7:10)+(0,7+strike(0,2)^(0,05)*1/strike4^1)/(0,7-strike(0,4)^(0,2)*1/strike2^1)=` `(0,5+0,12)/(0,75-0,7)+(0,7+0,05)/(0,7-0,2)=` 

`\ \ \ =(0,62)/(0,05)+(0,75)/(0,5)=` `62/5+75/50=12 2/5+1 25/50=` `12,4+1,5=13,9` 

 

`"c)"\ (3+2 1/2*0,3)/(3 3/4:(4,8-3*0,6))*(4+0,1*10)/(1,6*5)=` `(3+5/strike2^1*strike(0,3)^(0,15))/(15/4:(4,8-1,8))*(4+1)/8=` 

`\ \ \ =(3+0,75)/(15/4:3)*5/8=` `(3,75)/(5/4)*5/8=` `3,75:5/4*5/8=` `3,75*4/strike5^1*strike5^1/8=` 

` \ \ \ =3,75*4/8=3,75*1/2=1,875=1 7/8` 

Uzupełnij tabelki.
Liczba a  100 80 2000
10% liczby a 10 8 200
30% liczby a 30 24 600
80% liczby a 80 64 1600

    

Liczba b 20 700 50
10% liczby b 2 70 5
5% liczby b 1 35 2,5
15% liczby b 3 105 7,5

 

Liczba c 400 30 80
10% liczby c 40 3 8
1% liczby c 4 0,3 0,8
7% liczby c 28 2,1 5,6

 

 Liczba d  20  700  50
 50% liczby d  10  350  25
 25% liczby d  5  175  12,5
 75% liczby d  15  525  37,5
Każdy bok kwadratu o długości 10 wydłużono o 20%...

 `"Obliczamy, jaką długość ma bok nowego kwadratu:"` 

`10+20%*10=10+0,2*10=10+2=12`

 
`"Obliczamy pole i obwód tego kwadratu:"` 

`"P"=12*12=10*12+2*12=120+24=144`

`"O"=4*12=48`

Oblicz wartość liczbową jednomianu.

a) `-2abc=-strike2^1*4*(-1/strike2^1)*(-5)=-20`

b) `-3x^2=-3*(-1/3)^2=-strike3^1*(-1/strike3^1)*(-1/3)=-1/3`

c) `1/2mn=1/strike2^1*(-strike8^4)*2 1/2=-strike4^2*5/strike2^1=-10`

d) `0,2yz=0,2*(-5)*(-3,2)=-1*(-3,2)=3,2`