Wyrażenia algebraiczne - 7-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Wyrażenia algebraiczne

Wyrażenia algebraiczne to wyrażenia składające się z liczb, liter, znaków działań i nawiasów.

Przykłady:

  • `x+5` 

  • `x^2-y^2` 

  • `2+a` 

  • `3x-5y` 

  • `y^2` 

  • `1/2ah` 

  • `-3/4` 


Uwaga!

Wyrażenie `3*x` możemy zapisać prościej jako `3x`.

Wyrażenie `3*(m+n)` możemy zapisać prościej jako `3(m+n)` .


Uwaga!!

Jeśli w danym wyrażeniu po kropce oznaczającej znak mnożenia występuje liczba NIE WOLNO pominąć kropki. 

Wyrażenia  `3+x*5`  nie można zapisać jako `strike(3+x5)` . 

Wyrażenia `(3m+n)*7` nie można zapisać jako  `strike((3m+n)7)` . 


Przykładowe wyrażenia algebraiczne i sposób ich odczytywania.      

Wyrażenie algebraiczne (zapis) Nazwa (sposób odczytywania)
`3+b`  suma liczb 3 i b
`a+b`  suma liczb a i b
`a-b`  różnica liczb a i b
`x*y`  iloczyn liczb x i y
`m:2`  iloraz liczby m i 2 (iloraz liczby m przez 2)
`2y`  podwojona liczba y,
liczba dwa razy większa od y,
iloczyn liczb 2 i y
`3b`  potrojona liczba b,
liczba trzy razy większa od b,
iloczyn liczb 3 i b
`1/2a`  połowa liczby a
`1/3x`  trzecia część liczby x
`x^2`  kwadrat liczby x
`y^3`  sześcian liczby y
`-2xy`  iloczyn liczb -2, x i y
`x-12`  różnica liczb x i 12, 
liczba o 12 mniejsza od x

 

Wartości liczbowe wyrażeń algebraicznych

Aby obliczyć wartość liczbową wyrażenia algebraicznego należy w miejsce liter podstawić odpowiednie liczby.


Przykład:

Oblicz wartość liczbową wyrażenia `2y+3y^2-10 \ \ \ "dla" \ \ \ y=2` . 

W miejsce `y` wstawiamy 2.  

`2*2+3*2^2-10=4+3*4-10=4+12-10=16-10=6` 

Wartość wyrażenia `2y+3y^2-10 \ \ \ "dla" \ \ \ y=2`  wynosi 6. 

Jednomiany

W wyrażeniach algebraicznych poszczególne elementy, czyli pojedyncze litery, liczby lub iloczyny liczb i liter nazywamy jednomianami.

Przykłady jednomianów: 

`-7b, \ \ 4bk, \ \ 10z, \ \ 5t^2,  \ \ x, \ \ -5`   


Liczbę występującą w danym jednomianie nazywamy współczynnikiem liczbowym jednomianu.

Przykłady:

  • `13k^3 \ \ \ -> \ \ \ "współczynnik liczbowy: 13"` 

  • `-4xyz \ \ \ -> \ \ \ "współczynnik liczbowy: -4"`   

W celu przedstawienia wyrażenia algebraicznego w sposób bardziej przejrzysty należy uporządkować go, czyli doprowadzić do najprostszej postaci.

Pamiętaj aby w każdym z jednomianów najpierw stała liczba a następnie litera lub litery w kolejności alfabetycznej!

Przykłady:

  • `1/4*16x*x*3y=ul(1/4)*ul(16)*ul(ul(x))*ul(ul(x))*ul(3)*y=12*x^2*y=12x^2y`      

  • `(-15k)*(-3p)=ul((-15))*ul(ul(k))*ul((-3))*p=45*k*p=45kp`    

Sumy algebraiczne

Wyrażenie algebraiczne powstałe po dodaniu jednomianów nazywamy sumą algebraiczną.

Dodawane jednomiany noszą nazwę wyrazów sumy. Sumę algebraiczną możemy nazwać także wielomianem.


Przykłady sum algebraicznych:

  • `8k-5l-10q` 

  • `67r+(-9p)-3` 
     


Jeżeli podczas dodawania lub odejmowania jednomianów spotkamy się z jednomianami różniącymi się tylko współczynnikiem liczbowym lub kolejnością czynników wówczas mówimy, że jednomiany są podobne.

Dodawanie i odejmowanie tych jednomianów nazywamy redukcją wyrazów podobnych.


Przykłady jednomianów podobnych:

  • `4xy^2 \ "i" \ 16y^2x` 

  • `14nm \ "i" \ (-16)mn` 

  • `3k \ "i" \ 8k`   


Przykłady redukcji wyrazów podobnych:

  • `4xy-9xy=(-5)xy` 

  • `8y^2+19y^2=27y^2`  

Redukcja wyrazów podobnych

Jednomiany podobne to wyrazy sumy algebraicznej (sumy jednomianów) różniące się tylko współczynnikiem liczbowym.


Redukcja wyrazów podobnych
polega na dodaniu wyrazów podobnych.


Przykłady redukcji wyrazów podobnych:

  • `ul(2xy)+ul(ul(6z))-ul(10xy)+ul(ul(z))-k=-8xy+7z-k`  

    Jednomiany podobne to: 2xy i -10xy oraz 6z i z. 

  • `ul(8x)+ul(ul(2y))+ul(ul(ul(9x^2)))+7-ul(x)-ul(ul(3y))-ul(ul(ul(x^2)))=8x^2+7x-y+7` 

    Jednomiany podobne to: 9x2 i -x2, 8x i -x, 2y i -3y    

Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych

Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych to nic innego jak opuszczanie nawiasów i porządkowanie otrzymanego wyrażenia algebraicznego.

Przykłady:

  • `(x-y)+(4x-2y)=ul(x)-ul(ul(y))+ul(4x)-ul(ul(2y))=5x-3y`  

  • `7k-9m+(11m-4k)=ul(7k)-ul(ul(9m))+ul(ul(11m))-ul(4k)=3k+2m` 


Uwaga - ważna zasada!!!

Jeśli w sumie algebraicznej przed nawiasem znajduje się znak minus, to opuszczając nawias należy znaki wszystkich wyrazów z nawiasu zmienić na przeciwne. 

Przykłady:

  • `9l-10k-(11l+7k-11t)=ul(9l)-ul(ul(10k))-ul(11l)-ul(ul(7k))+11t=-2l-17k+11t`    

  • `8+2k-(6k+5m)=8+ul(2k)-ul(6k)-5m=8-4k-5m`  

Mnożenie jednomianów przez sumy algebraiczne

Mnożenie jednomianów przez sumy algebraiczne polega na pomnożeniu jednomianu przez każdy wyraz sumy.


Przykłady:

  • `9a(4c+9b)=9a*4c+9a*9b=36ac+81ab`  

  • `(a-bc)*5xy=a*5xy-bc*5xy=5axy-5bcxy`  

Mnożenie sum algebraicznych

Mnożenie sum algebraicznych jest bardzo podobne do mnożenia jednomianu przez sumę algebraiczną.

Wystarczy tylko pomnożyć każdy jednomian z pierwszej sumy przez wszystkie jednomiany z drugiej sumy i je dodać.

`(m+n)(k+l)=m(k+l)+n(k+l)=mk+ml+nk+nl` 


Schemat mnożenia sum algebraicznych: 


Przykłady:

  • `(3k-1)(2+t)=3k*2+3k*t+(-1)*2+(-1)*t=6k+3kt-2-t` 

  • `(6l-7b)(9r+4q)=6l*9r+6l*4q+(-7b)*(9r)+(-7b)*4q=54lr+24lq-63br-28bq`     

Wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias

Mnożenie jednomianów i sum algebraicznych prowadziło do powstania sumy algebraicznej.

Czasami warto wykonać odwrotną operację czyli zamienić sumę algebraiczną na iloczyn jednomianu i krótszej sumy algebraicznej. Taką operację nazywamy wyłączaniem czynnika przed nawias.


Jak to zrobić? 

Mamy sumę:  `8xy+2x+9kx+17x` 

  1. Z każdego wyrazu sumy wybieramy powtarzający się element. W podanym przykładzie będzie to: `x` . 

    `8ul(x)y+2ul(x)+9kul(x)+17ul(x)`  

  2. Wyciągamy powtarzający się element przed nawias tak, by po pomnożeniu otrzymać początkową sumę algebraiczną.
    Z pozostałych elementów każdego jednomianu tworzymy sumę algebraiczną. 

    `x(8y+2+9k+17)`  


Przykłady:

  • `9x-3y+18k=ul(3)*3x+ul(3)*(-y)+ul(3)*6k=ul(3)(3x-y+6k)`  

  • `5kl+10xk-20qk=ul(5k)*l+ul(5k)*2x+ul(5k)*(-4q)=ul(5k)(l+2x-4q)`  

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Michał ma n lat. Dwie siostry Michała są od niego młodsze: Ania o 3 lata, a Beata o 5 lat. Tata Michała jest od niego starszy o 30 lat, a mama o 28. Zapisz w postaci wyrażeń algebraicznych wiek sióstr i rodziców.

Ania: n-3

Beata: n-5

Tata: n+30

Mama: n+28
 

Zadanie 2.

Oblicz wartość poniższych wyrażeń dla $$x=3$$.

  1. $$ 2x+5 $$
  2. $$ 2(x+5) $$
  3. $$ x(2+5) $$
  1. $$ 2x+5=2×3+5=6+5=11 $$
  2. $$ 2(x+5)=2(3+5)=2×8=16 $$
  3. $$ x(2+5)=3(2+5)=3×7=21 $$

Zadanie 3.

Uporządkuj jednomiany:

  1. baba
  2. baca
  3. lelek
  4. jajo
  1. $$ a^2 b^2 $$
  2. $$ a^2 bc $$
  3. $$ e^2 kl^2 $$
  4. $$ aj^2 o $$

Zadanie 4.

Marcin ma x złotych, Jacek o 5 złotych więcej, a Olek trzy razy więcej niż Marcin. Ile pieniędzy mają w sumie?

Marcin -> $$x$$

Jacek -> $$x+5$$

Olek -> $$3x$$

$$ x+(x+5)+3x=x+x+5+3x=5x+5$$

Odp.: W sumie chłopcy mają $$5x+5$$ zł.

Zadanie 5.

Przekształć do postaci sumy algebraicznej wyrażenie:

  1. $$ 2(a+b) $$
  2. $$ 3(x+2y-6) $$
  3. $$ -2(x+4-y+z) $$
  1. $$ 2(a+b)=2a+2b $$
  2. $$ 3(x+2y-6)=3x+6y-18 $$
  3. $$ -2(x+4-y+z)=-2x-8+2y-2z$$

Zadanie 6.

Wyłącz wspólny czynnik przed nawias:

  1. $$ 5a+10b-15c $$
  2. $$ 12x+5xy+8x^2 $$
  3. $$ -3k-6k^2-18klm $$
  1. $$ 5a+10b-15c=5(a+2b-3c) $$
  2. $$ 12x+5xy+8x^2=x(12+5y+8x) $$
  3. $$ -3k-6k^2-18klm=-3k(1+2k+6lm) $$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Oblicz wartość wyrażenia dla podanej wartości x.

rownanie matematyczne

W miejsce x w wyrażeniu wstawiamy 3 i obliczamy jego wartość. 
`6*3-5=18-5=13` 


`b) \ 5-2(x-6) \ \ \ "dla" \ \ \ x=9` 

W miejsce x w wyrażeniu wstawiamy 9 i obliczamy jego wartość. 
`5-2(9-6)=5-2*3=5-6=-1` 

O tym, czy figura jest łamaną, można się ...

Łamanymi są figury: A, B, oraz C.{premium}

Te figury zbudowane są z odcinków i można je narysować nie odrywając ołówka od papieru

oraz nie kreśląc dwa razy tych samych odcinków.

W jakiej grupie wiekowej kobiet było tyle samo co...

Na podstawie diagramu wiemy, że tyle samo mężczyzn co kobiet było w grupie wiekowej 20-24.


Odp. D

Zaznacz trzy punkty A, B, C nieleżące na jednej ...

Rysujemy proste a, b i c przecinające się w punktach A, B i C.

Następnie rysujemy proste prostopadłe do prostych a, b i c przechodzące przez punkty A, B i C.

Prosta k przechodzi przez punkt C i jest prostopadła do prostej a.

Prosta l przechodzi przez punkt A i jest prostopadła do prostej b.

Prosta m przechodzi przez punkt B i jest prostopadła do prostej c.

Wypisujemy przykładowe pary odcinków prostopadłych:

rownanie matematyczne  

W układzie współrzędnych zaznaczono trzy wierzchołki równoległoboku...

I rozwiązanie:

punkt D1=(0,5){premium}

pole równoległoboku AKPD1:

rownanie matematyczne 


II rozwiązanie:

punkt D2=(-6,-3)

pole równoległoboku AD2KP:

rownanie matematyczne 


III rozwiązanie:

punkt D3=(6,-3)

pole równoległoboku AKD3P:

rownanie matematyczne 

W trapezie równoramiennym ABCD podstawa CD i ramię ...

Rysunek pomocniczy:

Wiemy, że:

rownanie matematyczne 

Kąty CAB oraz DCA są kątami naprzemianległymi, więc mają równe miary:{premium}

rownanie matematyczne 

Trójkąt ACD jest trójkątem równoramiennym, ponieważ |AD|=|DC|, stąd:

rownanie matematyczne 

Korzystając z tego, że suma miar w trójkącie wynosi 180° wyznaczamy miarę kąta ADC:

rownanie matematyczne  

Trapez jest równoramienny, więc kąty znajdujące się przy jednej podstawie mają równe miary, czyli:

rownanie matematyczne  

rownanie matematyczne  

 

Odp: Kąty trapezu ABCD mają miary 94°, 94°, 86° oraz 86°. 

 

 

Jeśli przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego ma długość 13 cm, a jedna...

Z twierdzenia Pitagorasa wiemy, że:


rownanie matematyczne - długość drugiej przyprostokątnej{premium}

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 


Odp. A

Sprawdź, czy czworokąt ABCD jest ...

W układzie współrzędnych zaznaczamy punkty A, B, C i D. 

Rysujemy czworokąt ABCD. {premium}

Dane są cztery liczby: 102, 244, 612 i 721...

rownanie matematyczne Wiemy, że liczba jest podzielna przez rownanie matematyczne jeżeli jej cyfrą jedności jest rownanie matematyczne lub rownanie matematyczne W przypadku podanych liczb taką sytuację uzyskamy, jeżeli dodamy do siebie rownanie matematyczne i rownanie matematyczne bo rownanie matematyczne [wystarczy spojrzeć na sumę cyfr jedności, nie trzeba nawet sumować całych liczb] {premium}

rownanie matematyczne Wiemy, że liczba jest podzielna przez rownanie matematyczne jeżeli jej dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez rownanie matematyczne Pokażemy inny, szybszy sposób, który nie wymaga mnożenia liczb przez siebie. Rozłóżmy podane liczby na czynniki pierwsze. Podzielne przez rownanie matematyczne będą iloczyny tych liczb, które w obu rozkładach na czynniki będą miały przynajmniej dwie dwójki, bo rownanie matematyczne czyli będą to pary: rownanie matematyczne  

rownanie matematyczne Wiemy, że liczba jest podzielna przez rownanie matematyczne jeśli suma jej cyfr jest również podzielna przez rownanie matematyczne My jednak znowu skorzystamy z rozkładu na czynniki pierwsze. Szukamy dwóch takich liczb, z których jedna będzie miała w swoim rozkładzie na czynniki dokładnie te same liczby, co druga (czyli jedna podzieli się przez drugą), co więcej druga liczba (dzielna) będzie miała w rozkładzie dodatkowo jeszcze jedną trójkę (może mieć też inne czynniki). W naszym przypadku będą to liczby rownanie matematyczne i rownanie matematyczne bo rownanie matematyczne  

rownanie matematyczne Liczba jest podzielna przez rownanie matematyczne jeżeli suma jej cyfr jest podzielna przez rownanie matematyczne Odejmijmy więc od siebie podane liczby, obliczmy sumę cyfr każdej z nich i sprawdźmy, czy obliczona suma jest podzielna przez rownanie matematyczne   

rownanie matematyczne suma cyfr: rownanie matematyczne nie jest podzielna przez rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne suma cyfr: rownanie matematyczne jest podzielna przez rownanie matematyczne         

rownanie matematyczne suma cyfr: rownanie matematyczne nie jest podzielna przez rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne suma cyfr: rownanie matematyczne nie jest podzielna przez rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne suma cyfr: rownanie matematyczne nie jest podzielna przez rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne suma cyfr: rownanie matematyczne nie jest podzielna przez rownanie matematyczne 

Zatem jedyną prawidłową parą jest rownanie matematyczne i rownanie matematyczne          

 

Ciekawostka :)

Zauważmy, że jeżeli suma cyfr jednej i drugiej liczby jest taka sama, to różnica takich liczb będzie podzielna przez rownanie matematyczne np.

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne      

rownanie matematyczne  

   

Ile złotych kosztuje najczęściej ...

Najczęściej sprzedawany lizak, bo aż {premium}154 razy, kosztuje 0,60 zł. 


Poprawna odpowiedź: D. 0,60