Wyrażenia algebraiczne - 7-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Wartości liczbowe wyrażeń algebraicznych

Aby obliczyć wartość liczbową wyrażenia algebraicznego należy w miejsce liter powstawiać odpowiednie liczby.

Przykład:

Obliczyć wartość liczbową wyrażenia algebraicznego $$ 2y+3y^2-10 $$ dla $$ y=2$$.

$$ 2y+3y^2-10=2×2+3×2^2-10=4+3×4-10=4+12-10=16-10=6 $$
 

Wartości liczbowe wyrażeń algebraicznych

W wyrażeniach algebraicznych poszczególne elementy, czyli pojedyncze litery, liczby lub iloczyny liczb i liter nazywamy jednomianami.

Przykłady jednomianów:

$$-7b$$, $$4bk$$, $$10z$$, $$5t^2$$

W jednomianach składających się z iloczynu liczby i litery, liczba ta nosi nazwę współczynnik liczbowy.


Przykłady:
  • $$13k^3$$ -> współczynnik liczbowy: 13
  • $$ -4xyz $$-> współczynnik liczbowy: (-4)

W celu przedstawienia wyrażenia algebraicznego w sposób bardziej przejrzysty należy go uporządkować czyli doprowadzić je do najprostszej postaci. Pamiętaj aby w iloczynie najpierw stała liczba a następnie litera lub litery w kolejności alfabetycznej!

Przykłady:
  • $$1/4×16x×x-3+4$$ -> po uporządkowaniu: $$4x×x+1=4x^2+1 $$
  • $$ (-15k)×(-3p) $$ -> po uporządkowaniu: $$(-15)×(-3)×k×p=45kp $$

Sumy algebraiczne

Wyrażenie algebraiczne powstałe po dodaniu jednomianów nazywamy sumą algebraiczną. Dodawane jednomiany noszą nazwę wyrazy sumy lub wielomiany.

Przykłady sum algebraicznych:

  • $$8k+5l-10q$$
  • $$67r+(-9p)-3$$
 

Jeżeli podczas dodawania lub odejmowania jednomianów spotkamy się z jednomianami w których różni się tylko współczynnik liczbowy wówczas mówimy że jednomiany są podobne. Dodawanie i odejmowanie tych jednomianów nazywamy redukcją wyrazów podobnych.

Przykłady jednomianów podobnych:

  • $$4xy^2$$ i $$16y^2 x$$
  • $$14nm$$ i $$(-14)nm$$
  • $$3k$$ i $$8k$$

Przykłady redukcji wyrazów podobnych:

  • $$4xy-9xy=(-5)xy$$
  • $$8y^2+19y^2=27y^2$$

Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych

Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych to nic innego jak pozbywanie się nawiasu z sum algebraicznych i porządkowanie tego jednego długiego wyrażenia algebraicznego.

Przykłady:

  • $$(x-y)+(4x-2y)=x-y+4x-2y=5x-3y$$
  • $$7k-9m+(11m-4k)=7k-9m+11m-4k=3k+2m$$

Jedyną zasadą którą trzeba zapamiętać jest zmiana znaków w nawiasie gdy tuz przed nim znajduje się minus!

Przykład:

  • $$9l-10k-(11l+7k-11t)=9l-10k-11l-7k+11t=-2l-17k+11t$$

Mnożenie jednomianu przez sumy algebraiczne

Mnożenie jednomianu przez sumy algebraiczne polega na pomnożeniu jednomianu przez każdy oddzielny wyraz sumy.

Przykłady:
  • $$9a(4c+9b)=(9a×4c)+(9a×9b)=36ac+81ab$$
  • $$(a-bc)5xy=(a×5xy)-(bc×5xy)=5axy-5bcxy$$

Wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias

Mnożenie jednomianów i sum algebraicznych prowadziło do powstania jednej długiej sumy algebraicznej. Czasami jednak warto wykonać odwrotną operację czyli zamienienie długiej sumy algebraicznej na iloczyn jednomianu i krótszej sumy algebraicznej. Taką operację nazywamy wyłączaniem czynnika przed nawias. Jak to zrobić?

 
  1. Z pośród sumy algebraicznej wybierz jednomiany które mają przynajmniej jeden jednakowy element (litery lub liczby).

    Przykład:

    $$8xy$$, $$9k$$, $$17x$$, $$3$$, $$7p$$ -> jednomiany które nas interesują: $$8xy$$, $$17x$$ .
  2. Znajdź powtarzający się element.

    Przykład:

    $$8xy$$, $$17x$$ -> elementy powtarzające się: $$x$$.
  3. Wyciągnij powtarzający się element przed nawias tak by po pomnożeniu wychodziła ta sama suma algebraiczna.

    Przykład:

    $$8xy+17x$$ -> wyłączenie czynnika przed nawias: $$x(8y+17)$$.

Przykłady:

  • $$ 9x-3y+18k=3(3x-y+6k) $$
  • $$ 5kl+10xk-20qk=5k(l+2x-4q) $$
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Michał ma n lat. Dwie siostry Michała są od niego młodsze: Ania o 3 lata, a Beata o 5 lat. Tata Michała jest od niego starszy o 30 lat, a mama o 28. Zapisz w postaci wyrażeń algebraicznych wiek sióstr i rodziców.

Ania: n-3

Beata: n-5

Tata: n+30

Mama: n+28
 

Zadanie 2.

Oblicz wartość poniższych wyrażeń dla $$x=3$$.

  1. $$ 2x+5 $$
  2. $$ 2(x+5) $$
  3. $$ x(2+5) $$
  1. $$ 2x+5=2×3+5=6+5=11 $$
  2. $$ 2(x+5)=2(3+5)=2×8=16 $$
  3. $$ x(2+5)=3(2+5)=3×7=21 $$

Zadanie 3.

Uporządkuj jednomiany:

  1. baba
  2. baca
  3. lelek
  4. jajo
  1. $$ a^2 b^2 $$
  2. $$ a^2 bc $$
  3. $$ e^2 kl^2 $$
  4. $$ aj^2 o $$

Zadanie 4.

Marcin ma x złotych, Jacek o 5 złotych więcej, a Olek trzy razy więcej niż Marcin. Ile pieniędzy mają w sumie?

Marcin -> $$x$$

Jacek -> $$x+5$$

Olek -> $$3x$$

$$ x+(x+5)+3x=x+x+5+3x=5x+5$$

Odp.: W sumie chłopcy mają $$5x+5$$ zł.

Zadanie 5.

Przekształć do postaci sumy algebraicznej wyrażenie:

  1. $$ 2(a+b) $$
  2. $$ 3(x+2y-6) $$
  3. $$ -2(x+4-y+z) $$
  1. $$ 2(a+b)=2a+2b $$
  2. $$ 3(x+2y-6)=3x+6y-18 $$
  3. $$ -2(x+4-y+z)=-2x-8+2y-2z$$

Zadanie 6.

Wyłącz wspólny czynnik przed nawias:

  1. $$ 5a+10b-15c $$
  2. $$ 12x+5xy+8x^2 $$
  3. $$ -3k-6k^2-18klm $$
  1. $$ 5a+10b-15c=5(a+2b-3c) $$
  2. $$ 12x+5xy+8x^2=x(12+5y+8x) $$
  3. $$ -3k-6k^2-18klm=-3k(1+2k+6lm) $$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Dokończ zdanie tak, aby otrzymać zdanie prawdziwe...

11,97-(-23,07)=11,97+23,07=35,04


Odp. A

a) Cenę pewnego towaru podniesiono o 10%, a po ...

Przyjmijmy, że cena towaru to x zł.

 

a) Cenę towaru podniesiono o 10%. Nowa cena stanowi 110% początkowej ceny:

`110%*x=110/100*x=1,1x`

Nową cenę obniżono o 10%. Oznacza to, że nowa cena stanowi 90% ceny po podwyżce:

`90%*1,1x=90/100*1,1x=0,9*1,1x=0,99x < x`

Odp: Cena towaru po sezonie była niższa od ceny początkowej.

 

 

b) Cenę towaru obnizono o 10%. Nowa cena stanowi 90% początkowej ceny:

`90%*x=90/100*x=0,9x`

Nową cenę podwyższono o 10%. Oznacza to, że nowa cena stanowi 110% ceny po obniżce:

`110%*0,9x=110/100*0,9x=1,1*0,9x=0,99 x < x`

Odp: Cena towaru w sezonie była niższa od ceny początkowej.

Śnieżnicki Park Krajobrazowy ma obszar ...

Powierzchnia Śnieżnickiego Parku Krajobrazowego jest równa 28,8 tys. ha.

Obliczamy powierzchnię pięciu rezerwatów wchodzących w skład parku:

`124,6+22,1+89,9+181,9+3=421,5\ ["ha"]` 

Zapisujemy, jaki ułamek parku krajobrazowego stanowi powierzchnia rezerwatów:

`(421,5)/(28 800)~~420/(28\ 800)=42/(2880)=21/1440~~20/1440=2/144=1/72~~0,01` 

 

Odp: Powierzchnia pięciu rezerwatów stanowi 0,01 powierzchni parku krajobrazowego. 

Wyraź liczby w postaci potęgi liczby 10.

`a")" \ 10 000=10^4` 

`b")" \ 100 000=10^5` 

`c")" \ 100 000 000=10^8` 

`d")" \ 0,0001=10^-5` 

`e")" \ 0,0000001=10^-8` 

`f")" \ 0,0000000001=10^-11` 

Oblicz w pamięci.

Zapisane działania pokazują, w jaki sposób można obliczać w pamięci. 

`a")"\ 3/11+5/11=8/11`

`b")"\ 2 2/7+4/7=2 6/7`

`c")"\ 5/6+3/6=8/6=4/3=1 1/3`

`d")"\ 5 3/7+2 5/7=7 8/7=8 1/7`

`e")"\ 9/8-5/8=4/8=1/2`

`f")"\ 5 4/9-1/9=5 3/9=5 1/3`

`g")"\ 8-3/5=7 5/5-3/5=7 2/5`

`h")"\ 7 2/7-5/7=6 9/7-5/7=6 4/7`

 

Marcin ma x złotych, Jacek...

Marcin: `x\ "zł"` 

Jacek: `(x+5)\ "zł"` 

Olek: `3x\ "zł"` 

Razem:

`x+x+5+3x=(5x+5)\ "zł"` 

Odp. Chłopcy mają razem `(5x+5)\ "zł".`       

Na parkingu jest x dwukołowych motocykli

`2x+5y`

(każdy z x motocykli ma 2 koła, a każdy z y samochodów ma 5 kół - 4 "normalne" i 1 zapasowe)

Przeciętnie w 100 kg mleka krowiego ...

W 100 kg mleka znajduje się 88,7 kg wody, 7/10 kg soli mineralnych 31/5 kg tłuszczu oraz 3,1 kg białka.

Pozostała część to cukier.

Obliczamy, ile cukru znajduje się w 100 kg mleka (od masy mleka odejmujemy sumę powyższych składników):

`100\ "kg"-(88,7\ "kg"+7/10\ "kg"+3 1/5\ "kg"+3,1\ "kg")=100\ "kg"-(88,7\ "kg"+0,7\ "kg"+3,2\ "kg"+3,1\ "kg")=` 

`=100\ "kg"-95,7\ "kg"=4,3\ "kg"`    

 

Odp: W 100 kg mleka znajduje się 4,3 kg cukru.

Wynikiem działania -[-(10 2/3)]-(-30) jest

`-[-(-10 2/3)]-(-30)= -10 2/3+30=19 1/3` 




`"Odp. C"` 

Uzupełnij diagramy zgodnie ze wzorem ...

a) `rarr` Początkowo mamy 5 klocków, które stanowią dla nas 100%. 

1 klocek (5 razy mniej niż 5 klocków), to 20% wszystkich klocków (5 razy mniej niż 100%). 

W efekcie końcowym mamy 6 klocków, więc dołożyliśmy 1 klocek, czyli zwiększyliśmy o 20% liczbę klocków. 


`larr`  Początkowo mamy 6 klocków, które stanowią dla nas 100%. 

1 klocek (6 razy mniej niż 6 klocków), to około 16,7% wszystkich klocków (6 razy mniej niż 100%).

W efekcie końcowym mamy 5 klocków, więc musieliśmy zabrać 1 klocek, czyli zmniejszyć o 16,7% liczbę klocków.



b) `rarr` Początkowo mamy 2 klocki, które stanowią dla nas 100%. 

W efekcie końcowym mamy 4 klocki, więc dołożyliśmy 2 klocki, czyli zwiększyliśmy o 100% liczbę klocków. 


`larr`  Początkowo mamy 4 klocki, które stanowią dla nas 100%. 

2 klocki (2 razy mniej niż 4 klocki), to 50% wszystkich klocków (2 razy mniej niż 100%).

W efekcie końcowym mamy 2 klocki, więc musieliśmy zabrać 2 klocek, czyli zmniejszyć o 50% liczbę klocków.

 

c) `rarr`  Początkowo mamy 2 klocki, które stanowią dla nas 100%. 

1 klocek (2 razy mniej niż 2 klocki), to 50% wszystkich klocków (2 razy mniej niż 100%). 

W efekcie końcowym mamy 3 klocki, więc dołożyliśmy 1 klocek, czyli zwiększyliśmy o 50% liczbę klocków. 


`larr`  Początkowo mamy 3 klocków, które stanowią dla nas 100%. 

1 klocek (3 razy mniej niż 3 klocki), to około 33,3% wszystkich klocków (3 razy mniej niż 100%).

W efekcie końcowym mamy 2 klocki, więc musieliśmy zabrać 1 klocek, czyli zmniejszyć o około 33,3% liczbę klocków.