Wyrażenia algebraiczne - 7-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Wyrażenia algebraiczne - 7-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Wyrażenia algebraiczne

Wyrażenia algebraiczne to wyrażenia składające się z liczb, liter, znaków działań i nawiasów.

Przykłady:

  • `x+5` 

  • `x^2-y^2` 

  • `2+a` 

  • `3x-5y` 

  • `y^2` 

  • `1/2ah` 

  • `-3/4` 


Uwaga!

Wyrażenie `3*x` możemy zapisać prościej jako `3x`.

Wyrażenie `3*(m+n)` możemy zapisać prościej jako `3(m+n)` .


Uwaga!!

Jeśli w danym wyrażeniu po kropce oznaczającej znak mnożenia występuje liczba NIE WOLNO pominąć kropki. 

Wyrażenia  `3+x*5`  nie można zapisać jako `strike(3+x5)` . 

Wyrażenia `(3m+n)*7` nie można zapisać jako  `strike((3m+n)7)` . 


Przykładowe wyrażenia algebraiczne i sposób ich odczytywania.      

Wyrażenie algebraiczne (zapis) Nazwa (sposób odczytywania)
`3+b`  suma liczb 3 i b
`a+b`  suma liczb a i b
`a-b`  różnica liczb a i b
`x*y`  iloczyn liczb x i y
`m:2`  iloraz liczby m i 2 (iloraz liczby m przez 2)
`2y`  podwojona liczba y,
liczba dwa razy większa od y,
iloczyn liczb 2 i y
`3b`  potrojona liczba b,
liczba trzy razy większa od b,
iloczyn liczb 3 i b
`1/2a`  połowa liczby a
`1/3x`  trzecia część liczby x
`x^2`  kwadrat liczby x
`y^3`  sześcian liczby y
`-2xy`  iloczyn liczb -2, x i y
`x-12`  różnica liczb x i 12, 
liczba o 12 mniejsza od x

 

Wartości liczbowe wyrażeń algebraicznych

Aby obliczyć wartość liczbową wyrażenia algebraicznego należy w miejsce liter podstawić odpowiednie liczby.


Przykład:

Oblicz wartość liczbową wyrażenia `2y+3y^2-10 \ \ \ "dla" \ \ \ y=2` . 

W miejsce `y` wstawiamy 2.  

`2*2+3*2^2-10=4+3*4-10=4+12-10=16-10=6` 

Wartość wyrażenia `2y+3y^2-10 \ \ \ "dla" \ \ \ y=2`  wynosi 6. 

Jednomiany

W wyrażeniach algebraicznych poszczególne elementy, czyli pojedyncze litery, liczby lub iloczyny liczb i liter nazywamy jednomianami.

Przykłady jednomianów: 

`-7b, \ \ 4bk, \ \ 10z, \ \ 5t^2,  \ \ x, \ \ -5`   


Liczbę występującą w danym jednomianie nazywamy współczynnikiem liczbowym jednomianu.

Przykłady:

  • `13k^3 \ \ \ -> \ \ \ "współczynnik liczbowy: 13"` 

  • `-4xyz \ \ \ -> \ \ \ "współczynnik liczbowy: -4"`   

W celu przedstawienia wyrażenia algebraicznego w sposób bardziej przejrzysty należy uporządkować go, czyli doprowadzić do najprostszej postaci.

Pamiętaj aby w każdym z jednomianów najpierw stała liczba a następnie litera lub litery w kolejności alfabetycznej!

Przykłady:

  • `1/4*16x*x*3y=ul(1/4)*ul(16)*ul(ul(x))*ul(ul(x))*ul(3)*y=12*x^2*y=12x^2y`      

  • `(-15k)*(-3p)=ul((-15))*ul(ul(k))*ul((-3))*p=45*k*p=45kp`    

Sumy algebraiczne

Wyrażenie algebraiczne powstałe po dodaniu jednomianów nazywamy sumą algebraiczną.

Dodawane jednomiany noszą nazwę wyrazów sumy. Sumę algebraiczną możemy nazwać także wielomianem.


Przykłady sum algebraicznych:

  • `8k-5l-10q` 

  • `67r+(-9p)-3` 
     


Jeżeli podczas dodawania lub odejmowania jednomianów spotkamy się z jednomianami różniącymi się tylko współczynnikiem liczbowym lub kolejnością czynników wówczas mówimy, że jednomiany są podobne.

Dodawanie i odejmowanie tych jednomianów nazywamy redukcją wyrazów podobnych.


Przykłady jednomianów podobnych:

  • `4xy^2 \ "i" \ 16y^2x` 

  • `14nm \ "i" \ (-16)mn` 

  • `3k \ "i" \ 8k`   


Przykłady redukcji wyrazów podobnych:

  • `4xy-9xy=(-5)xy` 

  • `8y^2+19y^2=27y^2`  

Redukcja wyrazów podobnych

Jednomiany podobne to wyrazy sumy algebraicznej (sumy jednomianów) różniące się tylko współczynnikiem liczbowym.


Redukcja wyrazów podobnych
polega na dodaniu wyrazów podobnych.


Przykłady redukcji wyrazów podobnych:

  • `ul(2xy)+ul(ul(6z))-ul(10xy)+ul(ul(z))-k=-8xy+7z-k`  

    Jednomiany podobne to: 2xy i -10xy oraz 6z i z. 

  • `ul(8x)+ul(ul(2y))+ul(ul(ul(9x^2)))+7-ul(x)-ul(ul(3y))-ul(ul(ul(x^2)))=8x^2+7x-y+7` 

    Jednomiany podobne to: 9x2 i -x2, 8x i -x, 2y i -3y    

Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych

Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych to nic innego jak opuszczanie nawiasów i porządkowanie otrzymanego wyrażenia algebraicznego.

Przykłady:

  • `(x-y)+(4x-2y)=ul(x)-ul(ul(y))+ul(4x)-ul(ul(2y))=5x-3y`  

  • `7k-9m+(11m-4k)=ul(7k)-ul(ul(9m))+ul(ul(11m))-ul(4k)=3k+2m` 


Uwaga - ważna zasada!!!

Jeśli w sumie algebraicznej przed nawiasem znajduje się znak minus, to opuszczając nawias należy znaki wszystkich wyrazów z nawiasu zmienić na przeciwne. 

Przykłady:

  • `9l-10k-(11l+7k-11t)=ul(9l)-ul(ul(10k))-ul(11l)-ul(ul(7k))+11t=-2l-17k+11t`    

  • `8+2k-(6k+5m)=8+ul(2k)-ul(6k)-5m=8-4k-5m`  

Mnożenie jednomianów przez sumy algebraiczne

Mnożenie jednomianów przez sumy algebraiczne polega na pomnożeniu jednomianu przez każdy wyraz sumy.


Przykłady:

  • `9a(4c+9b)=9a*4c+9a*9b=36ac+81ab`  

  • `(a-bc)*5xy=a*5xy-bc*5xy=5axy-5bcxy`  

Mnożenie sum algebraicznych

Mnożenie sum algebraicznych jest bardzo podobne do mnożenia jednomianu przez sumę algebraiczną.

Wystarczy tylko pomnożyć każdy jednomian z pierwszej sumy przez wszystkie jednomiany z drugiej sumy i je dodać.

`(m+n)(k+l)=m(k+l)+n(k+l)=mk+ml+nk+nl` 


Schemat mnożenia sum algebraicznych: 


Przykłady:

  • `(3k-1)(2+t)=3k*2+3k*t+(-1)*2+(-1)*t=6k+3kt-2-t` 

  • `(6l-7b)(9r+4q)=6l*9r+6l*4q+(-7b)*(9r)+(-7b)*4q=54lr+24lq-63br-28bq`     

Wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias

Mnożenie jednomianów i sum algebraicznych prowadziło do powstania sumy algebraicznej.

Czasami warto wykonać odwrotną operację czyli zamienić sumę algebraiczną na iloczyn jednomianu i krótszej sumy algebraicznej. Taką operację nazywamy wyłączaniem czynnika przed nawias.


Jak to zrobić? 

Mamy sumę:  `8xy+2x+9kx+17x` 

  1. Z każdego wyrazu sumy wybieramy powtarzający się element. W podanym przykładzie będzie to: `x` . 

    `8ul(x)y+2ul(x)+9kul(x)+17ul(x)`  

  2. Wyciągamy powtarzający się element przed nawias tak, by po pomnożeniu otrzymać początkową sumę algebraiczną.
    Z pozostałych elementów każdego jednomianu tworzymy sumę algebraiczną. 

    `x(8y+2+9k+17)`  


Przykłady:

  • `9x-3y+18k=ul(3)*3x+ul(3)*(-y)+ul(3)*6k=ul(3)(3x-y+6k)`  

  • `5kl+10xk-20qk=ul(5k)*l+ul(5k)*2x+ul(5k)*(-4q)=ul(5k)(l+2x-4q)`  

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Michał ma n lat. Dwie siostry Michała są od niego młodsze: Ania o 3 lata, a Beata o 5 lat. Tata Michała jest od niego starszy o 30 lat, a mama o 28. Zapisz w postaci wyrażeń algebraicznych wiek sióstr i rodziców.

Ania: n-3

Beata: n-5

Tata: n+30

Mama: n+28
 

Zadanie 2.

Oblicz wartość poniższych wyrażeń dla $x=3$.

  1. $ 2x+5 $
  2. $ 2(x+5) $
  3. $ x(2+5) $
  1. $ 2x+5=2×3+5=6+5=11 $
  2. $ 2(x+5)=2(3+5)=2×8=16 $
  3. $ x(2+5)=3(2+5)=3×7=21 $

Zadanie 3.

Uporządkuj jednomiany:

  1. baba
  2. baca
  3. lelek
  4. jajo
  1. $ a^2 b^2 $
  2. $ a^2 bc $
  3. $ e^2 kl^2 $
  4. $ aj^2 o $

Zadanie 4.

Marcin ma x złotych, Jacek o 5 złotych więcej, a Olek trzy razy więcej niż Marcin. Ile pieniędzy mają w sumie?

Marcin -> $x$

Jacek -> $x+5$

Olek -> $3x$

$ x+(x+5)+3x=x+x+5+3x=5x+5$

Odp.: W sumie chłopcy mają $5x+5$ zł.

Zadanie 5.

Przekształć do postaci sumy algebraicznej wyrażenie:

  1. $ 2(a+b) $
  2. $ 3(x+2y-6) $
  3. $ -2(x+4-y+z) $
  1. $ 2(a+b)=2a+2b $
  2. $ 3(x+2y-6)=3x+6y-18 $
  3. $ -2(x+4-y+z)=-2x-8+2y-2z$

Zadanie 6.

Wyłącz wspólny czynnik przed nawias:

  1. $ 5a+10b-15c $
  2. $ 12x+5xy+8x^2 $
  3. $ -3k-6k^2-18klm $
  1. $ 5a+10b-15c=5(a+2b-3c) $
  2. $ 12x+5xy+8x^2=x(12+5y+8x) $
  3. $ -3k-6k^2-18klm=-3k(1+2k+6lm) $

Spis treści

Rozwiązane zadania
Przyjmij, że kilogram mąki to całość. Połącz określenia ...

  

{premium}     

 

 

 

 

 

Na działce o powierzchni 12 arów ogród zajmuje 80% jej obszaru,1/40 -chodnik, a resztę dom

{premium}

Odp.: Dom zajmuje

Jaką długość ma bok kwadratu ...

a) Pole kwadratu wyraża wzór: P = a2, gdzie a to długość boku kwadratu. 
P = a2, więc a = √P
Aby znaleźć długość boku kwadratu musimy wyznaczy pierwiastek z jego pola. 

Odpowiedź:{premium}

Bok kwadratu ma długość √10    

 

b) Najpierw obliczamy pole prostokąta o bokach długości 18 cm i 8 cm. 
 

Pole kwadratu ma być równe polu prostokąta, czyli pole kwadratu wynosi:
 

Pole kwadratu wyraża wzór: P = a2, gdzie a to długość boku kwadratu. 
P = a2, więc a = √P
Aby znaleźć długość boku kwadratu musimy wyznaczy pierwiastek z jego pola. 
  

Odpowiedź:
Bok kwadratu ma długość 12 cm
 


c) Obliczamy objętość prostopadłościanu o krawędziach długości 1 m x 0,5 m x 0,25 m.
   

Sześcian ma taką samą objętość jak prostopadłościan, więc jego objętość to:
 

Objętość sześcianu wyraża wzór: V=a3, gdzie a to długość krawędzi sześcianu. 
V = a3, więc a = ³√V
Aby znaleźć długość krawędzi sześcianu musimy wyznaczyć pierwiastek sześcienny z jego objętości.
 

Odpowiedź:
Długość krawędzi sześcinu to 0,5 m.  

Zapisz w postaci jednej potęgi.

{premium}  

 

       

50% uczniów pewnej klasy nie wie, że ...

Oznaczamy x - liczba uczniów tej klasy.

50% uczniów klaasy nie wiem, że 50% to pół:{premium}

50% z wyznaczonej wyżej połowy nie wie, że 100% to jeden:

 

50% z wyznaczonej powyżej wartości nie słyszało słowa "procent":

 

 Z treści zadania wiemy, że są 4 osób, które nie znają słowa "procent". Stąd:

 

Odp: Ta klasa liczy 32 uczniów.

W Polsce cena sprzętu elektronicznego składa się ...

Podatek VAT stanowi 23% ceny netto towaru.

Oznacza to, że 123% ceny netto to cena towaru w sklepie.

 

a) Szukamy takiej liczby, której 123% jest równe 615 zł.

Oznaczmy tę liczbę jako x. Wówczas otrzymujemy:

 

 

{premium}  

   

b) Szukamy takiej liczby, której 123% jest równe 861 zł.

Oznaczmy tę liczbę jako x. Wówczas otrzymujemy:

 

 

 

 

c) Szukamy takiej liczby, której 123% jest równe 676,50 zł.

Oznaczmy tę liczbę jako x. Wówczas otrzymujemy:

 

 

 

 

d) Szukamy takiej liczby, której 123% jest równe 1476 zł.

Oznaczmy tę liczbę jako x. Wówczas otrzymujemy:

 

 

 

Zapisz wyrażenie bez nawiasów.

{premium}


Jeżeli przed nawiasem występuje znak "-", to gdy opuszczamy nawias zmieniamy znaki wszystkich wyrazów w nawiasie na przeciwne.

Poniżej podano kilka potęg liczby 7.

Zauważmy, że możliwe cyfry jedności potęg siódemki to:  Będą one występowały

dokładnie w takiej kolejności i zmieniały się co   {premium}

Jak teraz ustalić, jaką cyfrę jedności będzie miała liczba ?

Najłatwiej będzie podzielić wykładnik przez  i wnioskować na podstawie reszty z dzielenia:

gdy otrzymamy resztę to cyfrą jedności będzie  

gdy otrzymamy resztę to cyfrą jedności będzie  

gdy otrzymamy resztę to cyfrą jedności będzie  

gdy otrzymamy resztę to cyfrą jedności będzie  

Wykonajmy więc wspomniane dzielenie:

cyfrą jedności liczby  będzie    

Prawidłowa odpowiedź to   

Wyznacz miary kątów zaznaczonych na rysunku.

Zauważmy, że proste  i  są równoległe. 

 

Grupa I:

Kąt  i kąt o mierze  to kąty wierzchołkowe, zatem  

Kąt  {premium}  to kąt odpowiadający dla kąta przyległego do kąta stąd:  

 

Kąt   to kąt odpowiadający dla kąta przyległego do kąta o mierze `60^@,` stąd: 

  

Odp.  

 

Grupa II:

Kąt o mierze `50^@alpha,alpha=50^@.`    

Kąt o mierze  to kąt odpowiadający dla kąta wierzchołkowego dla kąta stąd:  `beta=70^@.` 

Odp.  

 

Grupa III:

Kąt  i kąt o mierze to kąty przyległe, stąd:

 

Kąt  i kąt o mierze  to kąty odpowiadające, stąd  

Odp.     

Janek zapisał cztery nierówności:

 

 {premium}
 
 

Nierówność została zapisana poprawnie. 
 


 

 
 
  

Nierówność została zapisana błędnie. 
 


 

 
 
 

Nierówność została zapisana błędnie. 
 


 

 

 
    

Nierówność została zapisana poprawnie. 



Dwie nierówności zostały zapisane poprawnie. 

Poprawna odpowiedź to: B. dwie