Wyrażenia algebraiczne - 7-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Wartości liczbowe wyrażeń algebraicznych

Aby obliczyć wartość liczbową wyrażenia algebraicznego należy w miejsce liter powstawiać odpowiednie liczby.

Przykład:

Obliczyć wartość liczbową wyrażenia algebraicznego $$ 2y+3y^2-10 $$ dla $$ y=2$$.

$$ 2y+3y^2-10=2×2+3×2^2-10=4+3×4-10=4+12-10=16-10=6 $$
 

Wartości liczbowe wyrażeń algebraicznych

W wyrażeniach algebraicznych poszczególne elementy, czyli pojedyncze litery, liczby lub iloczyny liczb i liter nazywamy jednomianami.

Przykłady jednomianów:

$$-7b$$, $$4bk$$, $$10z$$, $$5t^2$$

W jednomianach składających się z iloczynu liczby i litery, liczba ta nosi nazwę współczynnik liczbowy.


Przykłady:
  • $$13k^3$$ -> współczynnik liczbowy: 13
  • $$ -4xyz $$-> współczynnik liczbowy: (-4)

W celu przedstawienia wyrażenia algebraicznego w sposób bardziej przejrzysty należy go uporządkować czyli doprowadzić je do najprostszej postaci. Pamiętaj aby w iloczynie najpierw stała liczba a następnie litera lub litery w kolejności alfabetycznej!

Przykłady:
  • $$1/4×16x×x-3+4$$ -> po uporządkowaniu: $$4x×x+1=4x^2+1 $$
  • $$ (-15k)×(-3p) $$ -> po uporządkowaniu: $$(-15)×(-3)×k×p=45kp $$

Sumy algebraiczne

Wyrażenie algebraiczne powstałe po dodaniu jednomianów nazywamy sumą algebraiczną. Dodawane jednomiany noszą nazwę wyrazy sumy lub wielomiany.

Przykłady sum algebraicznych:

  • $$8k+5l-10q$$
  • $$67r+(-9p)-3$$
 

Jeżeli podczas dodawania lub odejmowania jednomianów spotkamy się z jednomianami w których różni się tylko współczynnik liczbowy wówczas mówimy że jednomiany są podobne. Dodawanie i odejmowanie tych jednomianów nazywamy redukcją wyrazów podobnych.

Przykłady jednomianów podobnych:

  • $$4xy^2$$ i $$16y^2 x$$
  • $$14nm$$ i $$(-14)nm$$
  • $$3k$$ i $$8k$$

Przykłady redukcji wyrazów podobnych:

  • $$4xy-9xy=(-5)xy$$
  • $$8y^2+19y^2=27y^2$$

Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych

Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych to nic innego jak pozbywanie się nawiasu z sum algebraicznych i porządkowanie tego jednego długiego wyrażenia algebraicznego.

Przykłady:

  • $$(x-y)+(4x-2y)=x-y+4x-2y=5x-3y$$
  • $$7k-9m+(11m-4k)=7k-9m+11m-4k=3k+2m$$

Jedyną zasadą którą trzeba zapamiętać jest zmiana znaków w nawiasie gdy tuz przed nim znajduje się minus!

Przykład:

  • $$9l-10k-(11l+7k-11t)=9l-10k-11l-7k+11t=-2l-17k+11t$$

Mnożenie jednomianu przez sumy algebraiczne

Mnożenie jednomianu przez sumy algebraiczne polega na pomnożeniu jednomianu przez każdy oddzielny wyraz sumy.

Przykłady:
  • $$9a(4c+9b)=(9a×4c)+(9a×9b)=36ac+81ab$$
  • $$(a-bc)5xy=(a×5xy)-(bc×5xy)=5axy-5bcxy$$

Wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias

Mnożenie jednomianów i sum algebraicznych prowadziło do powstania jednej długiej sumy algebraicznej. Czasami jednak warto wykonać odwrotną operację czyli zamienienie długiej sumy algebraicznej na iloczyn jednomianu i krótszej sumy algebraicznej. Taką operację nazywamy wyłączaniem czynnika przed nawias. Jak to zrobić?

 
  1. Z pośród sumy algebraicznej wybierz jednomiany które mają przynajmniej jeden jednakowy element (litery lub liczby).

    Przykład:

    $$8xy$$, $$9k$$, $$17x$$, $$3$$, $$7p$$ -> jednomiany które nas interesują: $$8xy$$, $$17x$$ .
  2. Znajdź powtarzający się element.

    Przykład:

    $$8xy$$, $$17x$$ -> elementy powtarzające się: $$x$$.
  3. Wyciągnij powtarzający się element przed nawias tak by po pomnożeniu wychodziła ta sama suma algebraiczna.

    Przykład:

    $$8xy+17x$$ -> wyłączenie czynnika przed nawias: $$x(8y+17)$$.

Przykłady:

  • $$ 9x-3y+18k=3(3x-y+6k) $$
  • $$ 5kl+10xk-20qk=5k(l+2x-4q) $$
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Michał ma n lat. Dwie siostry Michała są od niego młodsze: Ania o 3 lata, a Beata o 5 lat. Tata Michała jest od niego starszy o 30 lat, a mama o 28. Zapisz w postaci wyrażeń algebraicznych wiek sióstr i rodziców.

Ania: n-3

Beata: n-5

Tata: n+30

Mama: n+28
 

Zadanie 2.

Oblicz wartość poniższych wyrażeń dla $$x=3$$.

  1. $$ 2x+5 $$
  2. $$ 2(x+5) $$
  3. $$ x(2+5) $$
  1. $$ 2x+5=2×3+5=6+5=11 $$
  2. $$ 2(x+5)=2(3+5)=2×8=16 $$
  3. $$ x(2+5)=3(2+5)=3×7=21 $$

Zadanie 3.

Uporządkuj jednomiany:

  1. baba
  2. baca
  3. lelek
  4. jajo
  1. $$ a^2 b^2 $$
  2. $$ a^2 bc $$
  3. $$ e^2 kl^2 $$
  4. $$ aj^2 o $$

Zadanie 4.

Marcin ma x złotych, Jacek o 5 złotych więcej, a Olek trzy razy więcej niż Marcin. Ile pieniędzy mają w sumie?

Marcin -> $$x$$

Jacek -> $$x+5$$

Olek -> $$3x$$

$$ x+(x+5)+3x=x+x+5+3x=5x+5$$

Odp.: W sumie chłopcy mają $$5x+5$$ zł.

Zadanie 5.

Przekształć do postaci sumy algebraicznej wyrażenie:

  1. $$ 2(a+b) $$
  2. $$ 3(x+2y-6) $$
  3. $$ -2(x+4-y+z) $$
  1. $$ 2(a+b)=2a+2b $$
  2. $$ 3(x+2y-6)=3x+6y-18 $$
  3. $$ -2(x+4-y+z)=-2x-8+2y-2z$$

Zadanie 6.

Wyłącz wspólny czynnik przed nawias:

  1. $$ 5a+10b-15c $$
  2. $$ 12x+5xy+8x^2 $$
  3. $$ -3k-6k^2-18klm $$
  1. $$ 5a+10b-15c=5(a+2b-3c) $$
  2. $$ 12x+5xy+8x^2=x(12+5y+8x) $$
  3. $$ -3k-6k^2-18klm=-3k(1+2k+6lm) $$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Metalowy pręt rozcięto na dwie części...

Układamy równanie: x+2x=7,5


Rozwiązujemy równanie:  x+2x=7,5
         
                                         3x=7,5    |:3
   
                                          x=2,5

krótsza część pręta ma długość: 2,5 m

dłuższa część pręta ma długość: 5 m

Sprawdzamy rozwiązanie równania z warunkami zadania:

L=2,5+2٠2,5=2,5+5=7,5

P=7,5

L=P


Odpowiedź: Pręt został rozcięty na dwie części długości 2,5 m i 5 m.

Cenę kurtki podwyższono o 18%...

 `"Obliczamy, ile kosztowałaby kurtka bez rabatu 5 zł:"` 

`568,48+5=573,48\ "zł"`

 

`"Obliczamy, ile kosztowała kurtka przed obniżką o 10% (oznaczmy tą cenę jako x). Wiemy, że po tej obniżce cena wynosiła 573,48 zł:"` 

`90%*x=573,48`

`0,9*x=573,48`

`x=573,48:0,9=5734,8:9=637,20\ "zł"`

 
`"Obliczamy, ile kosztowała kurtka przed podwyżką o 18% (oznaczmy tą cenę jako y)."` 
`"Wiemy, że po tej podwyżce cena wynosiła 637,20 zł."` 

`118%*y=637,20`

`1,18*y=637,20`

`y=637,20:1,18=63720:118=540\ "zł"`

 

 `"Obliczamy, o ile wzrosła cena końcowa w stosunku do początkowej:"` 

 

`568,48-540=28,48 \ "zł"`

 

`"Obliczamy, jaki to procent ceny początkowej, czyli o ile procent wzrosła ta cena:"`

`(28,48)/540=2848/54000=1424/27000=712/13500=0,05274...~~0,053=5,3%` 
`"Odp. ostateczna cena kurtki wzrosła o około 5,3% w stosunku do ceny początkowej."` 

Które pary trójkątów są przystające?

ODP: A, D

 

Zdanie A.

Sprawdzamy, czy długości boków trójkąta ABC są takie same, jak długości boków trójkąta KLM.

Długości boków trójkąta ABC:

`30\ "dm",\ \ \ \ 400\ "cm"=40\ "dm",\ \ \ \ 5\ "m"=50\ "dm"` 

Długości boków trójkąta KLM:

`4\ "m"=40\ "dm",\ \ \ \ 300\ "cm"=30\ "dm",\ \ \ \ 50\ "dm"` 

Trójkąty ABC i KLM mają boki takiej samej długości, więc z cechy bok bok bok te trójkąty są przystające.   

 

Zdanie B. 

Znając tylko miary kątów nie możemy stwierdzić, że trójkąty są przystające.

Trójkąty nie są przystające.

 

Zdanie C.

Trójkąty mają równe obwody, ale nie muszą mieć boków takiej samej długości.

Np. trójkąt ABC może mieć boki długości 50 cm, 50 cm i 20 cm, a trójkąt KLM

boki długości 60 cm, 30 cm i 40 cm. Trójkąty nie są przystające.

 

Zdanie D.

Trójkąty ABC i KLM są równoramienne i prostokątne.

Miary kątów w obu trójkątach wynoszą więc `45^@`, `45^@` oraz `90^@`.   

Wiemy dodatkowo, że ich przyprostokątnej są równej długości.

Z cechy bok kat bok lub kąt bok kąt możemy stwierdzić, że trójkąty są przystające.

Oblicz p% z q%

`p%*q%*1200=p/100*q/100*1200=(1200pq)/10000=(12pq)/100=(6pq)/50=(3pq)/25`

Czy narysowane odcinki mogą stanowić boki tego...

Aby z trzech danych boków można było zbudować trójkąt, długość każdego boku trójkąta musi być mniejsza od sumy długości dwóch pozostałych boków, zatem:

Zapisz liczbę w notacji wykładniczej.

`a")" \ 6,5*100^3=6,5*(10^2)^3=6,5*10^6` 

`b")" \ 2,27*1000^2=2,27*(10^3)^2=2,27*10^6` 

`c")" \ 4,5*100^4=4,5*(10^2)^4=4,5*10^8` 

`d")" \ 2,7*1000^5=2,7*(10^3)^5=2,7*10^15` 

Zredukuj wyrazy podobne

`a)\ x+x+x+x=4x`

`b)\ 3x-6x+x+2x=(3-6+1+2)*x=0*x=0`

`c)\ -2x+x+1/3x-4,5x=(-2+1+1/3-4,5)*x=(-1+1/3-4 1/2)*x=`

`\ \ \ =(-1+2/6-4 3/6)x=(-5 3/6+2/6)x=-5 1/6x`

`d)\ -x+0,7x+5=(-1+0,7)x+5=-0,3x+5`

O ile procent obniżono cenę kurtki na wyprzedaży?

Kurtka przed przeceną kosztowała `340\ "zł"` i to było `100%.` 

Obecnie kurtka kosztuje `289\ "zł."` 

Obliczamy najpierw, o ile obniżono cenę kurtki:

`340\ "zł"-289\ "zł"=51\ "zł"` 

Teraz chcemy obliczyć, ile to jest procent.

Układamy odpowiednią proporcję:

`340\ "zł"-100%` 

`51\ "zł"-x` 

`x=(51\ strike"zł" *strike100^10%)/(strike340^34\ strike"zł")=(510%)/34=15%` 

 

Odp. Cenę kurtki obniżono o `15%.` 

Przedstaw wyrażenie...

a) `(4x^2-1xy)+(2x^2-3xy)=6x^2-4xy` 

b) `(8x^2+2xy)-(2x^2+6xy)=6x^2-4xy` 

Wiek Słońca szacuje się na około...

`(4,5*10^9)/(200\ 000)=(4,5*10^9)/(2*10^5)=4,5/2*10^9/10^5=2,25*10^(9-5)=2,25*10^4`