Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Wyrażenia algebraiczne - 7-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Wyrażenia algebraiczne

Wyrażenia algebraiczne to wyrażenia składające się z liczb, liter, znaków działań i nawiasów.

Przykłady:

  • `x+5` 

  • `x^2-y^2` 

  • `2+a` 

  • `3x-5y` 

  • `y^2` 

  • `1/2ah` 

  • `-3/4` 


Uwaga!

Wyrażenie `3*x` możemy zapisać prościej jako `3x`.

Wyrażenie `3*(m+n)` możemy zapisać prościej jako `3(m+n)` .


Uwaga!!

Jeśli w danym wyrażeniu po kropce oznaczającej znak mnożenia występuje liczba NIE WOLNO pominąć kropki. 

Wyrażenia  `3+x*5`  nie można zapisać jako `strike(3+x5)` . 

Wyrażenia `(3m+n)*7` nie można zapisać jako  `strike((3m+n)7)` . 


Przykładowe wyrażenia algebraiczne i sposób ich odczytywania.      

Wyrażenie algebraiczne (zapis) Nazwa (sposób odczytywania)
`3+b`  suma liczb 3 i b
`a+b`  suma liczb a i b
`a-b`  różnica liczb a i b
`x*y`  iloczyn liczb x i y
`m:2`  iloraz liczby m i 2 (iloraz liczby m przez 2)
`2y`  podwojona liczba y,
liczba dwa razy większa od y,
iloczyn liczb 2 i y
`3b`  potrojona liczba b,
liczba trzy razy większa od b,
iloczyn liczb 3 i b
`1/2a`  połowa liczby a
`1/3x`  trzecia część liczby x
`x^2`  kwadrat liczby x
`y^3`  sześcian liczby y
`-2xy`  iloczyn liczb -2, x i y
`x-12`  różnica liczb x i 12, 
liczba o 12 mniejsza od x

 

Wartości liczbowe wyrażeń algebraicznych

Aby obliczyć wartość liczbową wyrażenia algebraicznego należy w miejsce liter podstawić odpowiednie liczby.


Przykład:

Oblicz wartość liczbową wyrażenia `2y+3y^2-10 \ \ \ "dla" \ \ \ y=2` . 

W miejsce `y` wstawiamy 2.  

`2*2+3*2^2-10=4+3*4-10=4+12-10=16-10=6` 

Wartość wyrażenia `2y+3y^2-10 \ \ \ "dla" \ \ \ y=2`  wynosi 6. 

Jednomiany

W wyrażeniach algebraicznych poszczególne elementy, czyli pojedyncze litery, liczby lub iloczyny liczb i liter nazywamy jednomianami.

Przykłady jednomianów: 

`-7b, \ \ 4bk, \ \ 10z, \ \ 5t^2,  \ \ x, \ \ -5`   


Liczbę występującą w danym jednomianie nazywamy współczynnikiem liczbowym jednomianu.

Przykłady:

  • `13k^3 \ \ \ -> \ \ \ "współczynnik liczbowy: 13"` 

  • `-4xyz \ \ \ -> \ \ \ "współczynnik liczbowy: -4"`   

W celu przedstawienia wyrażenia algebraicznego w sposób bardziej przejrzysty należy uporządkować go, czyli doprowadzić do najprostszej postaci.

Pamiętaj aby w każdym z jednomianów najpierw stała liczba a następnie litera lub litery w kolejności alfabetycznej!

Przykłady:

  • `1/4*16x*x*3y=ul(1/4)*ul(16)*ul(ul(x))*ul(ul(x))*ul(3)*y=12*x^2*y=12x^2y`      

  • `(-15k)*(-3p)=ul((-15))*ul(ul(k))*ul((-3))*p=45*k*p=45kp`    

Sumy algebraiczne

Wyrażenie algebraiczne powstałe po dodaniu jednomianów nazywamy sumą algebraiczną.

Dodawane jednomiany noszą nazwę wyrazów sumy. Sumę algebraiczną możemy nazwać także wielomianem.


Przykłady sum algebraicznych:

  • `8k-5l-10q` 

  • `67r+(-9p)-3` 
     


Jeżeli podczas dodawania lub odejmowania jednomianów spotkamy się z jednomianami różniącymi się tylko współczynnikiem liczbowym lub kolejnością czynników wówczas mówimy, że jednomiany są podobne.

Dodawanie i odejmowanie tych jednomianów nazywamy redukcją wyrazów podobnych.


Przykłady jednomianów podobnych:

  • `4xy^2 \ "i" \ 16y^2x` 

  • `14nm \ "i" \ (-16)mn` 

  • `3k \ "i" \ 8k`   


Przykłady redukcji wyrazów podobnych:

  • `4xy-9xy=(-5)xy` 

  • `8y^2+19y^2=27y^2`  

Redukcja wyrazów podobnych

Jednomiany podobne to wyrazy sumy algebraicznej (sumy jednomianów) różniące się tylko współczynnikiem liczbowym.


Redukcja wyrazów podobnych
polega na dodaniu wyrazów podobnych.


Przykłady redukcji wyrazów podobnych:

  • `ul(2xy)+ul(ul(6z))-ul(10xy)+ul(ul(z))-k=-8xy+7z-k`  

    Jednomiany podobne to: 2xy i -10xy oraz 6z i z. 

  • `ul(8x)+ul(ul(2y))+ul(ul(ul(9x^2)))+7-ul(x)-ul(ul(3y))-ul(ul(ul(x^2)))=8x^2+7x-y+7` 

    Jednomiany podobne to: 9x2 i -x2, 8x i -x, 2y i -3y    

Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych

Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych to nic innego jak opuszczanie nawiasów i porządkowanie otrzymanego wyrażenia algebraicznego.

Przykłady:

  • `(x-y)+(4x-2y)=ul(x)-ul(ul(y))+ul(4x)-ul(ul(2y))=5x-3y`  

  • `7k-9m+(11m-4k)=ul(7k)-ul(ul(9m))+ul(ul(11m))-ul(4k)=3k+2m` 


Uwaga - ważna zasada!!!

Jeśli w sumie algebraicznej przed nawiasem znajduje się znak minus, to opuszczając nawias należy znaki wszystkich wyrazów z nawiasu zmienić na przeciwne. 

Przykłady:

  • `9l-10k-(11l+7k-11t)=ul(9l)-ul(ul(10k))-ul(11l)-ul(ul(7k))+11t=-2l-17k+11t`    

  • `8+2k-(6k+5m)=8+ul(2k)-ul(6k)-5m=8-4k-5m`  

Mnożenie jednomianów przez sumy algebraiczne

Mnożenie jednomianów przez sumy algebraiczne polega na pomnożeniu jednomianu przez każdy wyraz sumy.


Przykłady:

  • `9a(4c+9b)=9a*4c+9a*9b=36ac+81ab`  

  • `(a-bc)*5xy=a*5xy-bc*5xy=5axy-5bcxy`  

Mnożenie sum algebraicznych

Mnożenie sum algebraicznych jest bardzo podobne do mnożenia jednomianu przez sumę algebraiczną.

Wystarczy tylko pomnożyć każdy jednomian z pierwszej sumy przez wszystkie jednomiany z drugiej sumy i je dodać.

`(m+n)(k+l)=m(k+l)+n(k+l)=mk+ml+nk+nl` 


Schemat mnożenia sum algebraicznych: 


Przykłady:

  • `(3k-1)(2+t)=3k*2+3k*t+(-1)*2+(-1)*t=6k+3kt-2-t` 

  • `(6l-7b)(9r+4q)=6l*9r+6l*4q+(-7b)*(9r)+(-7b)*4q=54lr+24lq-63br-28bq`     

Wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias

Mnożenie jednomianów i sum algebraicznych prowadziło do powstania sumy algebraicznej.

Czasami warto wykonać odwrotną operację czyli zamienić sumę algebraiczną na iloczyn jednomianu i krótszej sumy algebraicznej. Taką operację nazywamy wyłączaniem czynnika przed nawias.


Jak to zrobić? 

Mamy sumę:  `8xy+2x+9kx+17x` 

  1. Z każdego wyrazu sumy wybieramy powtarzający się element. W podanym przykładzie będzie to: `x` . 

    `8ul(x)y+2ul(x)+9kul(x)+17ul(x)`  

  2. Wyciągamy powtarzający się element przed nawias tak, by po pomnożeniu otrzymać początkową sumę algebraiczną.
    Z pozostałych elementów każdego jednomianu tworzymy sumę algebraiczną. 

    `x(8y+2+9k+17)`  


Przykłady:

  • `9x-3y+18k=ul(3)*3x+ul(3)*(-y)+ul(3)*6k=ul(3)(3x-y+6k)`  

  • `5kl+10xk-20qk=ul(5k)*l+ul(5k)*2x+ul(5k)*(-4q)=ul(5k)(l+2x-4q)`  

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Michał ma n lat. Dwie siostry Michała są od niego młodsze: Ania o 3 lata, a Beata o 5 lat. Tata Michała jest od niego starszy o 30 lat, a mama o 28. Zapisz w postaci wyrażeń algebraicznych wiek sióstr i rodziców.

Ania: n-3

Beata: n-5

Tata: n+30

Mama: n+28
 

Zadanie 2.

Oblicz wartość poniższych wyrażeń dla $$x=3$$.

  1. $$ 2x+5 $$
  2. $$ 2(x+5) $$
  3. $$ x(2+5) $$
  1. $$ 2x+5=2×3+5=6+5=11 $$
  2. $$ 2(x+5)=2(3+5)=2×8=16 $$
  3. $$ x(2+5)=3(2+5)=3×7=21 $$

Zadanie 3.

Uporządkuj jednomiany:

  1. baba
  2. baca
  3. lelek
  4. jajo
  1. $$ a^2 b^2 $$
  2. $$ a^2 bc $$
  3. $$ e^2 kl^2 $$
  4. $$ aj^2 o $$

Zadanie 4.

Marcin ma x złotych, Jacek o 5 złotych więcej, a Olek trzy razy więcej niż Marcin. Ile pieniędzy mają w sumie?

Marcin -> $$x$$

Jacek -> $$x+5$$

Olek -> $$3x$$

$$ x+(x+5)+3x=x+x+5+3x=5x+5$$

Odp.: W sumie chłopcy mają $$5x+5$$ zł.

Zadanie 5.

Przekształć do postaci sumy algebraicznej wyrażenie:

  1. $$ 2(a+b) $$
  2. $$ 3(x+2y-6) $$
  3. $$ -2(x+4-y+z) $$
  1. $$ 2(a+b)=2a+2b $$
  2. $$ 3(x+2y-6)=3x+6y-18 $$
  3. $$ -2(x+4-y+z)=-2x-8+2y-2z$$

Zadanie 6.

Wyłącz wspólny czynnik przed nawias:

  1. $$ 5a+10b-15c $$
  2. $$ 12x+5xy+8x^2 $$
  3. $$ -3k-6k^2-18klm $$
  1. $$ 5a+10b-15c=5(a+2b-3c) $$
  2. $$ 12x+5xy+8x^2=x(12+5y+8x) $$
  3. $$ -3k-6k^2-18klm=-3k(1+2k+6lm) $$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Porównaj liczby - wstaw ...

`a)` Przykład ten został rozwiązany w zeszycie ćwiczeń. 

`b) \ sqrt{63}=sqrt{9*7}=3sqrt{7} \ \ \ \ \ \ < \ \ \ \ \ \ 3sqrt{8}`   {premium}


`c) \ 11sqrt{3} \ \ \ \ \ \ > \ \ \ \ \ \ sqrt{242}=sqrt{121*2}=sqrt{121}*sqrt{2}=11sqrt{2}` 


`d) \ 2sqrt{17}=sqrt{4}*sqrt{17}=sqrt{4*17}=sqrt{68} \ \ \ \ \ \ < \ \ \ \ \ \ sqrt{2^3*3^2}=sqrt{8*9}=sqrt{72}` 


`e) \ 2sqrt{18}=sqrt{4}*sqrt{18}=sqrt{4*18}=sqrt{72} \ \ \ \ \ \ > \ \ \ \ \ \ sqrt{62}`     


`f) \ sqrt{3^3*2^2}=sqrt{3*3^2*2^2}=3*2*sqrt{3}=6sqrt{3} \ \ \ \ \ \ < \ \ \ \ \ \ 6sqrt{5}`  

Długości boków równoległoboku są równe 17 cm i 26 cm

Obliczamy, jaką długość ma wysokość opuszczona na bok 17 cm: 

`17*x=408\ \ \ \ |:17`

`x=24\ cm`

 

 

A teraz obliczamy, jaką długość ma wysokość opuszczona na bok 26 cm: 

`26*x=408`

`x=408/26=204/13=15 9/13\ cm`

Kurs kroju i szycia rozpoczęło 200 osób, w tym ...

Kurs rozpoczęło 200 osób. 70% z nich stanowili mężczyźni.

Obliczamy, ilu mężczyzn rozpoczęło kurs: 

`70%*200=70/strike100^1*strike200^2=140`

 

Obliczamy, ile kobiet rozpoczęło kurs: {premium}

`200-140=60`

 

Po pierwszym dniu wyjechało 60% mężczyzn, czyli 40% mężczyzn zostało.

Obliczamy, ile mężczyzn zostało: 

`40%*140=40/100*140=4/strike10^1*strike140^14=56`

 

 Po pierwszym dniu wyjechało 10% kobiet, czyli 90% kobiet zostało:

Obliczamy, ile kobiet zostało: 

`90%*60=90/100*60=9/strike10^1*strike60^6=54`

 

 Obliczamy, ile osób kontynuowało kurs: 

`56+54=110`

 

Odp: Drugiego dnia kurs naukę kontynuowało 110 osób.

Zapisz liczbę w notacji...

a) `0,00063=6,3*10^(-4)` 

b) `0,000092=9,2*10^(-5)` 

c) `0,00000013=1,3*10^(-7)` 

d) `0,0452=4,52*10^(-2)` 

e) `0,00000981=9,81*10^(-6)` 

f) `0,00000000814=8,14*10^(-9)` 

Grześ przeglądał zeszyt do matematyki ...

a) Sprawdzamy, czy suma kwadratów długości dwóch krótszych boków jest równa kwadratowi długości najdłuższego boku. 

`6^2+8^2=36+64=100=10^2` 

Suma kwadratów długości dwóch krótszych boków jest równa kwadratowi długości najdłuższego boku.

Oznacza to, że trójkąt ten jest prostokątny. 


b) Sprawdzamy, czy suma kwadratów długości dwóch krótszych boków jest równa kwadratowi długości najdłuższego boku. 

`(sqrt{3})^2+(sqrt{21})^2=3+21=24=(sqrt{24})^2` 

Suma kwadratów długości dwóch krótszych boków jest równa kwadratowi długości najdłuższego boku.

Oznacza to, że trójkąt ten jest prostokątny. 


c) Sprawdzamy, czy suma kwadratów długości dwóch krótszych boków jest równa kwadratowi długości najdłuższego boku. 

`(1 1/2)^2+(2 1/2)^2=1,5^2+2,5^2=2,25+6,25=8,5!=9=3^2`  

Suma kwadratów długości dwóch krótszych boków nie jest równa kwadratowi długości najdłuższego boku.

Oznacza to, że trójkąt ten nie jest prostokątny. 


d) Sprawdzamy, czy suma kwadratów długości dwóch krótszych boków jest równa kwadratowi długości najdłuższego boku. 

`3,5^2+12^2=12,25+144=156,25=12,5^2` 

Suma kwadratów długości dwóch krótszych boków jest równa kwadratowi długości najdłuższego boku.

Oznacza to, że trójkąt ten jest prostokątny. 


Odpowiedź: Grześ poprawnie rozwiązał zadanie. 

Uzasadnij, że przekątna w równoległoboku dzieli go na dwa...



W każdym równoległoboku przeciwległe boki są równej długości, zatem z cechy przystawania trójkątów bok- bok- bok przekątna równoległoboku dzieli go na dwa trójkąty przystające. (Na powyższym rysunku trójkąty ABD i CDB są przystające, gdyż obie figury mają boki długości a, b, c).

Spośród ułamków...

`1/5=2/10=0,2` 

`1/9=1:9=0,111"..."` 

`15/18=5/6=5:6=0,83333"..."` 

`4 1/6=25/6=25:6=4,1666"..."` 

`23/27=23:27=0,851851851"..."` 

`48/12=24/6=4` 

`6/24=1/4=25/100=0,25` 

Odp. `1/9, \ 15/18, \ 4 1/6, \ 23/27` 

Zredukuj wyrazy podobne,a następnie oblicz wartość...

`"a)"\ -ul(2x^2)+ul(ul(2x))+7y^2+ul(x^2)-ul(ul(3x))-6y^2+ul(ul(x))=-x^2+y^2` 

Obliczamy wartość wyrażenia dla podanych `x` i `y:` 

`-x^2+y^2=-(-1)^2+2^2=-1+4=3` 

 

`"b)"\ ul(ul(5xy^2))-ul(xy)-x^2y-ul(ul(xy^2))+ul(2xy)+x^2y-ul(ul(4xy^2))=xy`         

Obliczamy wartość wyrażenia dla podanych `x` i `y:` 

`xy=-1*2=-2` 

 

`"c)"\ -3x^2+7xy*x+2x*x-5x*xy+x^2=-ul(3x^2)+7x^2y+ul(2x^2)-5x^2y+ul(x^2)=2x^2y` 

Obliczamy wartość wyrażenia dla podanych `x` i `y:` 

`2x^2y=2*(-1)^2*2=2*2=4` 

 

`"d)"\ xy+3x*yx-2y*xy-x^2y-2yx^2+2y^2x=xy+ul(3x^2y)-ul(ul(2xy^2))-ul(x^2y)-ul(2yx^2)+ul(ul(2y^2x))=xy`  

Obliczamy wartość wyrażenia dla podanych `x` i `y:` 

`xy=-1*2=-2` 

 

`"e)"\ 6x*x^2-4x^2*2x-3x*x+x*2x*x+3x=ul(6x^3)-ul(8x^3)-3x^2+ul(2x^3)+3x=-3x^2+3x`  

Obliczamy wartość wyrażenia dla podanych `x` i `y:` 

`-3x^2+3x=-3*(-1)^2+3*(-1)=-3-3=-6` 

 

`"f)"\ -5xy^3+x^2y^2-3y^2*xy+2y*4xy^2-2xy*3yx=-ul(ul(5xy^3))+ul(x^2y^2)-ul(ul(3xy^3))+ul(ul(8xy^3))-ul(6x^2y^2)=`   

`\ \ \ =-5x^2y^2` 

Obliczamy wartość wyrażenia dla podanych `x` i `y:` 

`-5x^2y^2=-5*(-1)^2*2^2=-5*4=-20`   

W trójkącie równoramiennym ABC, w którym ...

Trójkąt ABC jest trójkątem równoramiennym, w którym |AC|=|BC|. 

W trójkącie ABC opuszczono wysokość z wierzchołka A. 


Trójkąt ADC jest trójkątem prostokątnym. Jeden z kątów ostrych tego trójkąta ma miarę 38o

Obliczamy, ile wynosi miara trzeciego kąta tego trójkąta. 

`|/_CAD|=180^@-90^@-38^@=52^@` 

Trzeci kąt trójkąta ADC ma miarę 52o.  


W trójkącie ABC kąty leżące przy podstawie mają miary 52o+x.

`|/_CBA|=|/_CAB|=|/_CAD|+|/_DAB|=52^@+x`   

Obliczamy, ile wynosi x.

`(180^@-38^@):2=52^@+x`  

`142^@:2=52^@+x` 

`71^@=52^@+x`   

`x=72^@-52^@=19^@` 


Odpowiedź: Miara kąta x wynosi 19o

Oszacuj wartości pierwiastków i określ,...

`"Kwadrat ma boki długości:" \ sqrt99 \ "i" \ sqrt35+sqrt135` 

`"Pole kwadratu wynosi około:"` 

`sqrt99*(sqrt35+sqrt135)~~10*(6+12)=10*18=180` 

`"Przybliżyliśmy długości boków z nadmiarem zatem pole kwadratu jest mniejsze niż 180"` 


`` `"Trójkąt ma podstawę długości" \ sqrt333 \ "i wysokość długości" \ sqrt444` 

`"Pole trójkąta wynosi około:"` 

`1/2*sqrt333*sqrt444~~1/2*18*21=9*21=189` 

`"Przybliżyliśmy długość podstawy i wysokości tego trójkąta z niedomiarem więc pole tego trójkąta jest większe niż 189."` 



`"Odp. Większe pole ma trójkąt."`