Wyrażenia algebraiczne - 7-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Wartości liczbowe wyrażeń algebraicznych

Aby obliczyć wartość liczbową wyrażenia algebraicznego należy w miejsce liter powstawiać odpowiednie liczby.

Przykład:

Obliczyć wartość liczbową wyrażenia algebraicznego $$ 2y+3y^2-10 $$ dla $$ y=2$$.

$$ 2y+3y^2-10=2×2+3×2^2-10=4+3×4-10=4+12-10=16-10=6 $$
 

Wartości liczbowe wyrażeń algebraicznych

W wyrażeniach algebraicznych poszczególne elementy, czyli pojedyncze litery, liczby lub iloczyny liczb i liter nazywamy jednomianami.

Przykłady jednomianów:

$$-7b$$, $$4bk$$, $$10z$$, $$5t^2$$

W jednomianach składających się z iloczynu liczby i litery, liczba ta nosi nazwę współczynnik liczbowy.


Przykłady:
  • $$13k^3$$ -> współczynnik liczbowy: 13
  • $$ -4xyz $$-> współczynnik liczbowy: (-4)

W celu przedstawienia wyrażenia algebraicznego w sposób bardziej przejrzysty należy go uporządkować czyli doprowadzić je do najprostszej postaci. Pamiętaj aby w iloczynie najpierw stała liczba a następnie litera lub litery w kolejności alfabetycznej!

Przykłady:
  • $$1/4×16x×x-3+4$$ -> po uporządkowaniu: $$4x×x+1=4x^2+1 $$
  • $$ (-15k)×(-3p) $$ -> po uporządkowaniu: $$(-15)×(-3)×k×p=45kp $$

Sumy algebraiczne

Wyrażenie algebraiczne powstałe po dodaniu jednomianów nazywamy sumą algebraiczną. Dodawane jednomiany noszą nazwę wyrazy sumy lub wielomiany.

Przykłady sum algebraicznych:

  • $$8k+5l-10q$$
  • $$67r+(-9p)-3$$
 

Jeżeli podczas dodawania lub odejmowania jednomianów spotkamy się z jednomianami w których różni się tylko współczynnik liczbowy wówczas mówimy że jednomiany są podobne. Dodawanie i odejmowanie tych jednomianów nazywamy redukcją wyrazów podobnych.

Przykłady jednomianów podobnych:

  • $$4xy^2$$ i $$16y^2 x$$
  • $$14nm$$ i $$(-14)nm$$
  • $$3k$$ i $$8k$$

Przykłady redukcji wyrazów podobnych:

  • $$4xy-9xy=(-5)xy$$
  • $$8y^2+19y^2=27y^2$$

Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych

Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych to nic innego jak pozbywanie się nawiasu z sum algebraicznych i porządkowanie tego jednego długiego wyrażenia algebraicznego.

Przykłady:

  • $$(x-y)+(4x-2y)=x-y+4x-2y=5x-3y$$
  • $$7k-9m+(11m-4k)=7k-9m+11m-4k=3k+2m$$

Jedyną zasadą którą trzeba zapamiętać jest zmiana znaków w nawiasie gdy tuz przed nim znajduje się minus!

Przykład:

  • $$9l-10k-(11l+7k-11t)=9l-10k-11l-7k+11t=-2l-17k+11t$$

Mnożenie jednomianu przez sumy algebraiczne

Mnożenie jednomianu przez sumy algebraiczne polega na pomnożeniu jednomianu przez każdy oddzielny wyraz sumy.

Przykłady:
  • $$9a(4c+9b)=(9a×4c)+(9a×9b)=36ac+81ab$$
  • $$(a-bc)5xy=(a×5xy)-(bc×5xy)=5axy-5bcxy$$

Wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias

Mnożenie jednomianów i sum algebraicznych prowadziło do powstania jednej długiej sumy algebraicznej. Czasami jednak warto wykonać odwrotną operację czyli zamienienie długiej sumy algebraicznej na iloczyn jednomianu i krótszej sumy algebraicznej. Taką operację nazywamy wyłączaniem czynnika przed nawias. Jak to zrobić?

 
  1. Z pośród sumy algebraicznej wybierz jednomiany które mają przynajmniej jeden jednakowy element (litery lub liczby).

    Przykład:

    $$8xy$$, $$9k$$, $$17x$$, $$3$$, $$7p$$ -> jednomiany które nas interesują: $$8xy$$, $$17x$$ .
  2. Znajdź powtarzający się element.

    Przykład:

    $$8xy$$, $$17x$$ -> elementy powtarzające się: $$x$$.
  3. Wyciągnij powtarzający się element przed nawias tak by po pomnożeniu wychodziła ta sama suma algebraiczna.

    Przykład:

    $$8xy+17x$$ -> wyłączenie czynnika przed nawias: $$x(8y+17)$$.

Przykłady:

  • $$ 9x-3y+18k=3(3x-y+6k) $$
  • $$ 5kl+10xk-20qk=5k(l+2x-4q) $$
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Michał ma n lat. Dwie siostry Michała są od niego młodsze: Ania o 3 lata, a Beata o 5 lat. Tata Michała jest od niego starszy o 30 lat, a mama o 28. Zapisz w postaci wyrażeń algebraicznych wiek sióstr i rodziców.

Ania: n-3

Beata: n-5

Tata: n+30

Mama: n+28
 

Zadanie 2.

Oblicz wartość poniższych wyrażeń dla $$x=3$$.

  1. $$ 2x+5 $$
  2. $$ 2(x+5) $$
  3. $$ x(2+5) $$
  1. $$ 2x+5=2×3+5=6+5=11 $$
  2. $$ 2(x+5)=2(3+5)=2×8=16 $$
  3. $$ x(2+5)=3(2+5)=3×7=21 $$

Zadanie 3.

Uporządkuj jednomiany:

  1. baba
  2. baca
  3. lelek
  4. jajo
  1. $$ a^2 b^2 $$
  2. $$ a^2 bc $$
  3. $$ e^2 kl^2 $$
  4. $$ aj^2 o $$

Zadanie 4.

Marcin ma x złotych, Jacek o 5 złotych więcej, a Olek trzy razy więcej niż Marcin. Ile pieniędzy mają w sumie?

Marcin -> $$x$$

Jacek -> $$x+5$$

Olek -> $$3x$$

$$ x+(x+5)+3x=x+x+5+3x=5x+5$$

Odp.: W sumie chłopcy mają $$5x+5$$ zł.

Zadanie 5.

Przekształć do postaci sumy algebraicznej wyrażenie:

  1. $$ 2(a+b) $$
  2. $$ 3(x+2y-6) $$
  3. $$ -2(x+4-y+z) $$
  1. $$ 2(a+b)=2a+2b $$
  2. $$ 3(x+2y-6)=3x+6y-18 $$
  3. $$ -2(x+4-y+z)=-2x-8+2y-2z$$

Zadanie 6.

Wyłącz wspólny czynnik przed nawias:

  1. $$ 5a+10b-15c $$
  2. $$ 12x+5xy+8x^2 $$
  3. $$ -3k-6k^2-18klm $$
  1. $$ 5a+10b-15c=5(a+2b-3c) $$
  2. $$ 12x+5xy+8x^2=x(12+5y+8x) $$
  3. $$ -3k-6k^2-18klm=-3k(1+2k+6lm) $$

Spis treści

3 szkoły podstawowej
4 szkoły podstawowej
5 szkoły podstawowej
6 szkoły podstawowej
7 szkoły podstawowej
II gimnazjum
III gimnazjum
Matura podstawowa
Matura rozszerzona
Rozwiązane zadania
Uzupełnij:

`a)\ 3,75=3 3/4=3 6/8=30/8`

`b)\ 1 1/5=1,2=12/10=120/100`

`c)\ 12/15=4/5=8/10=80/100`

`d)\ 104/100=1,04=1 1/25=26/25`

`e)\ 39/12=13/4=3 1/4=3,25`

`f)\ 2125/1000=2,125=2 1/8=17/8`

Uzupełnij kwadrat magiczny liczbami ...

Obliczamy, ile wynosi suma liczb na przekątnej. 

`"XIV+XVII+XX"=14+17+20=51` 


Suma liczb w każdym wierszu, w każdej kolumnie i na przekątnych musi wynosić 51.


1) Obliczamy, jaką liczbę należy wpisać w trzecim wierszu.

`51-"XXVI"-"XX"=51-26-20=5="V"` 

W trzecim wierszu wpisujemy liczbę V.    


2) Obliczamy, jaką liczbę należy wpisać w drugiej kolumnie. 

`51-"XVII"-"V"=51-17-5=29="XXIX"` 

W drugiej kolumnie należy wpisać liczbę XXIX


3) Obliczamy, jaką liczbę należy wpisać w pierwszym wierszu. 

`51-"XIV"-"XXIX"=51-14-29=8="VIII"` 

W pierwszym wierszu należy wpisać liczbę VIII.  


4) Obliczamy, jaką liczbę należy wpisać w pierwszej kolumnie. 

`51-"XIV"-"XXVI"=51-14-26=11="XI"` 

W pierwszej kolumnie należy wpisać liczbę XI


5) Obliczamy, jaką liczbę należy wpisać w drugim wierszu. 

`51-"XI"-"XVII"=51-11-17=23="XXIII"` 

W drugim wierszu należy wpisać liczbę XXIII.  

 

Wypisz kilka cyfr rozwinięć dziesiętnych podanych liczb, a by można było je porównać...

a) 2,13=2,1300
    2,31=2,3100
    2,(13)=2,1313...

2,13 < 2,(13) < 2,31


b) 3,4=3,4000
    3,(4)=3,4444...
    3,(40)=3,4040...

3,4 < 3,(40) < 3,(4)

Odszukaj na rysunku liczby:

Dane są liczby:

`-1,\ 0,\ 10^3,\ \ \ 2,7,\ -0,25,\ -2^2,\ (-2)^2,\ -2^3,\ 3/4,\ -1/3,\ -18/6` 

Obliczmy wartości liczb:

`10^3=10*10*10=1000`

`-2^2=-2*2=-4`

`(-2)^2=(-2)*(-2)=4`

`-2^3=-*2*2*2=-8`

`-18/6=-3`

 

`"a)"\ 0,\ \ 10^3,\ \ (-2)^2`

`"b)"\ -1,\ \ 0,\ \ 10^3,\ \ -2^2,\ \ (-2)^2,\ \ -2^3,\ \ -18/6`

`"c)"\ 0,\ \ 10^3,\ \ 2,7,\ \ (-2)^2,\ \ 3/4`

`"d)"\ -2^2,\ \ -2^3,\ \ -18/6 `

`"e)"\ 0,\ \ 10^3,\ \ 2,7,\ \ -0,25,\ \ (-2)^2,\ \ 3/4,\ \ -1/3`

Uzupełnij według wzoru.

a) Dzielniki liczby 16: 1, 2, 4, 8, 16

Dzielniki liczby 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48

[Podkreślamy największy wspólny dzielnik tych liczb]. 

NWD(16,48)=16

Wielokrotności liczby 16: 16, 32, 48, 64, 80, 96 ...

Wielokrotności liczby 48: 48, 96, 144, 192 ...

[Podkreślamy najmniejszą wspólną wielokrotność tych liczb]

NWW(16,48)=48




b) Dzielniki liczby 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

Dzielniki liczby 28: 1, 2, 4, 7, 14, 28

[Podkreślamy największy wspólny dzielnik tych liczb]. 

NWD(24,28)=4

Wielokrotności liczby 24: 24, 48, 72, 96, 120, 144, 168, 192 ...

Wielokrotności liczby 28: 28, 56, 84, 112, 140, 168, 196 ...

[Podkreślamy najmniejszą wspólną wielokrotność tych liczb]

NWW(24,28)=168

Oblicz. Zapisz wyniki w kolejności od najmniejszego ...

`"R" \ -> \ (2*1 3/4-3/4):(-5 1/2)=(strike2^1*7/strike4^2-3/4):(-11/2)=(14/4-3/4)*(-2/11)=strike11^1/strike4^2*(-strike2^1/strike11^1)=-1/2` 

`"A" \ -> \ 2 3/4+0,75*1/3-2 2/3:5/6=2 3/4+strike3^1/4*1/strike3^1-8/strike3^1*strike6^2/5=2 3/4+1/4-16/5=3-3 1/5=-1/5` 

`"N" \ -> \ (1 2/5-11/15):(2 2/3-2 2/9)=(7/5-11/15):(2 6/9-2 2/9)=(21/15-11/15):4/9=10/15*9/4=strike2^1/strike3^1*strike9^3/strike4^2=3/2` 

`"E" \ -> \ 1,3-2 5/8:0,75+0,04*(-7 1/2)=1,3-21/8:3/4+4/100*(-15/2)=1,3-strike21^7/strike8^2*strike4^1/strike3^1+1/strike25^5*(-strike15^3/2)=`     
`\ \ \ \ \ \ \ \ =1,3-7/2-3/10=1,3-3,5-0,3=-2,5` 

 

`"K" \ -> \ (2/3+4/7)*(-1/2)-1/4*(2 6/7+2 2/3)=(14/21+12/21)*(-1/2)-1/4*(2 18/21+2 14/21)=strike26^13/21*(-1/strike2^1)-1/4*4 32/21=`    
`\ \ \ \ \ \ \ \ \ =-13/21-1/strike4^1*strike116^29/21=-13/21-29/21=-42/21=-2` 


Liczby w kolejności od najmniejszej do największej to:

`-2,5 \ < \ -2, \ < \ -1/2 \ < \ -1/5 \ < \ 3/2` 


Hasło: EKRAN     

Z powyższego diagramu wynika, że w 2015 roku w Polsce...

Około 2/10 osób w wieku 13 lat lub więcej miało wykształcenie zasadnicze zawodowe

Wykształcenie wyższe miało tylko 24,3% osób. 

Przeciętnie na 100 osób w wieku 13 lat lub więcej około 32 osób miało wykształcenie policealne lub średnie. 

Przeciętnie około 166 osób na 1000 osób w wieku 13 lat lub więcej miało wykształcenie podstawowe. 

Zaznacz na osi liczbowej i odczytaj odległość ...

Poziom A

 

 

Poziom B

 

 

Poziom C

 

 

Poziom D

Wyznacz największy wspólny dzielnik i najmniejszą wspólną wielokrotność podanych liczb.


Korzystając z powyższych rozkładów największy wspólny dzielnik obliczymy mnożąc wspólne dzielniki podanych liczb, a najmniejszą wspólną wielokrotność wyznaczymy mnożąc większą z liczb przez te dzielniki drugiej liczby, które nie występują w rozkładzie większej z liczb.

a) NWD (300, 72)= 322 = 12

   NWW (300, 72)= 300∙ 2∙3= 1800


b) NWD (210, 357)= 3∙7 = 21

   NWW (210, 357)= 357∙ 2∙5= 3570


c) NWD (154, 242)= 2∙11 = 22

   NWW (154, 242)= 242∙ 7= 1694


d) NWD (333, 185)= 37 

   NWW (333, 185)= 333∙ 5= 1665


e) NWD (440, 198)= 2∙11 = 22

   NWW (440, 198)= 440∙3∙3= 3960


f) NWD (2016, 180)= 2∙2∙3∙3= 36

   NWW (2016, 180)= 2016∙5= 10080

Podziel niebieski prostokąt w podanym stosunku. Na każdej ...

a) Prostokąt dzielimy w stosunku 2:3, czyli dzielimy go na 5 równych części (2+3=5). 

Zauważmy, że na szerokość prostokąta przypada 10 małych kwadracików. Dzielimy je na 5 równych części, czyli każda z części składa się z 2 kwadracików (10:5=2). 

Teraz prostokąt dzielimy w stosunku 2:3, czyli jednym kolorem malujemy 2 z otrzymanych części a innym kolorem 3 pozostałe części. 



b) Prostokąt dzielimy w stosunku 2:3:3, czyli na 8 równych części (2+3+3=8). 

Zauważmy, że na długość prostokąta przypadają 24 małe kwadraciki. Dzielimy je na 8 równych części, czyli każda z części składa się z 3 kwadracików (24:8=3). 

Teraz prostokąt dzielimy w stosunku 2:3:3, czyli jednym kolorem malujemy 2 z otrzymanych części, innym kolorem 3 części i jeszcze innym kolorem pozostałe 3 części. 

 

c) Prostokąt dzielimy w stosunku 3:4:5, czyli na 12 równych części (3+4+5=12). 

Zauważmy, że na długość prostokąta przypadają 24 małe kwadraciki. Dzielimy je na 12 równych części, czyli każda z części składa się z 2 kwadracików (24:12=2). 

Teraz prostokąt dzielimy w stosunku 3:4:5, czyli jednym kolorem malujemy 3 z otrzymanych części, innym kolorem 4 części i jeszcze innym kolorem pozostałe 5 części.