Wyrażenia algebraiczne - 7-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Wartości liczbowe wyrażeń algebraicznych

Aby obliczyć wartość liczbową wyrażenia algebraicznego należy w miejsce liter powstawiać odpowiednie liczby.

Przykład:

Obliczyć wartość liczbową wyrażenia algebraicznego $$ 2y+3y^2-10 $$ dla $$ y=2$$.

$$ 2y+3y^2-10=2×2+3×2^2-10=4+3×4-10=4+12-10=16-10=6 $$
 

Wartości liczbowe wyrażeń algebraicznych

W wyrażeniach algebraicznych poszczególne elementy, czyli pojedyncze litery, liczby lub iloczyny liczb i liter nazywamy jednomianami.

Przykłady jednomianów:

$$-7b$$, $$4bk$$, $$10z$$, $$5t^2$$

W jednomianach składających się z iloczynu liczby i litery, liczba ta nosi nazwę współczynnik liczbowy.


Przykłady:
  • $$13k^3$$ -> współczynnik liczbowy: 13
  • $$ -4xyz $$-> współczynnik liczbowy: (-4)

W celu przedstawienia wyrażenia algebraicznego w sposób bardziej przejrzysty należy go uporządkować czyli doprowadzić je do najprostszej postaci. Pamiętaj aby w iloczynie najpierw stała liczba a następnie litera lub litery w kolejności alfabetycznej!

Przykłady:
  • $$1/4×16x×x-3+4$$ -> po uporządkowaniu: $$4x×x+1=4x^2+1 $$
  • $$ (-15k)×(-3p) $$ -> po uporządkowaniu: $$(-15)×(-3)×k×p=45kp $$

Sumy algebraiczne

Wyrażenie algebraiczne powstałe po dodaniu jednomianów nazywamy sumą algebraiczną. Dodawane jednomiany noszą nazwę wyrazy sumy lub wielomiany.

Przykłady sum algebraicznych:

  • $$8k+5l-10q$$
  • $$67r+(-9p)-3$$
 

Jeżeli podczas dodawania lub odejmowania jednomianów spotkamy się z jednomianami w których różni się tylko współczynnik liczbowy wówczas mówimy że jednomiany są podobne. Dodawanie i odejmowanie tych jednomianów nazywamy redukcją wyrazów podobnych.

Przykłady jednomianów podobnych:

  • $$4xy^2$$ i $$16y^2 x$$
  • $$14nm$$ i $$(-14)nm$$
  • $$3k$$ i $$8k$$

Przykłady redukcji wyrazów podobnych:

  • $$4xy-9xy=(-5)xy$$
  • $$8y^2+19y^2=27y^2$$

Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych

Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych to nic innego jak pozbywanie się nawiasu z sum algebraicznych i porządkowanie tego jednego długiego wyrażenia algebraicznego.

Przykłady:

  • $$(x-y)+(4x-2y)=x-y+4x-2y=5x-3y$$
  • $$7k-9m+(11m-4k)=7k-9m+11m-4k=3k+2m$$

Jedyną zasadą którą trzeba zapamiętać jest zmiana znaków w nawiasie gdy tuz przed nim znajduje się minus!

Przykład:

  • $$9l-10k-(11l+7k-11t)=9l-10k-11l-7k+11t=-2l-17k+11t$$

Mnożenie jednomianu przez sumy algebraiczne

Mnożenie jednomianu przez sumy algebraiczne polega na pomnożeniu jednomianu przez każdy oddzielny wyraz sumy.

Przykłady:
  • $$9a(4c+9b)=(9a×4c)+(9a×9b)=36ac+81ab$$
  • $$(a-bc)5xy=(a×5xy)-(bc×5xy)=5axy-5bcxy$$

Wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias

Mnożenie jednomianów i sum algebraicznych prowadziło do powstania jednej długiej sumy algebraicznej. Czasami jednak warto wykonać odwrotną operację czyli zamienienie długiej sumy algebraicznej na iloczyn jednomianu i krótszej sumy algebraicznej. Taką operację nazywamy wyłączaniem czynnika przed nawias. Jak to zrobić?

 
  1. Z pośród sumy algebraicznej wybierz jednomiany które mają przynajmniej jeden jednakowy element (litery lub liczby).

    Przykład:

    $$8xy$$, $$9k$$, $$17x$$, $$3$$, $$7p$$ -> jednomiany które nas interesują: $$8xy$$, $$17x$$ .
  2. Znajdź powtarzający się element.

    Przykład:

    $$8xy$$, $$17x$$ -> elementy powtarzające się: $$x$$.
  3. Wyciągnij powtarzający się element przed nawias tak by po pomnożeniu wychodziła ta sama suma algebraiczna.

    Przykład:

    $$8xy+17x$$ -> wyłączenie czynnika przed nawias: $$x(8y+17)$$.

Przykłady:

  • $$ 9x-3y+18k=3(3x-y+6k) $$
  • $$ 5kl+10xk-20qk=5k(l+2x-4q) $$
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Michał ma n lat. Dwie siostry Michała są od niego młodsze: Ania o 3 lata, a Beata o 5 lat. Tata Michała jest od niego starszy o 30 lat, a mama o 28. Zapisz w postaci wyrażeń algebraicznych wiek sióstr i rodziców.

Ania: n-3

Beata: n-5

Tata: n+30

Mama: n+28
 

Zadanie 2.

Oblicz wartość poniższych wyrażeń dla $$x=3$$.

  1. $$ 2x+5 $$
  2. $$ 2(x+5) $$
  3. $$ x(2+5) $$
  1. $$ 2x+5=2×3+5=6+5=11 $$
  2. $$ 2(x+5)=2(3+5)=2×8=16 $$
  3. $$ x(2+5)=3(2+5)=3×7=21 $$

Zadanie 3.

Uporządkuj jednomiany:

  1. baba
  2. baca
  3. lelek
  4. jajo
  1. $$ a^2 b^2 $$
  2. $$ a^2 bc $$
  3. $$ e^2 kl^2 $$
  4. $$ aj^2 o $$

Zadanie 4.

Marcin ma x złotych, Jacek o 5 złotych więcej, a Olek trzy razy więcej niż Marcin. Ile pieniędzy mają w sumie?

Marcin -> $$x$$

Jacek -> $$x+5$$

Olek -> $$3x$$

$$ x+(x+5)+3x=x+x+5+3x=5x+5$$

Odp.: W sumie chłopcy mają $$5x+5$$ zł.

Zadanie 5.

Przekształć do postaci sumy algebraicznej wyrażenie:

  1. $$ 2(a+b) $$
  2. $$ 3(x+2y-6) $$
  3. $$ -2(x+4-y+z) $$
  1. $$ 2(a+b)=2a+2b $$
  2. $$ 3(x+2y-6)=3x+6y-18 $$
  3. $$ -2(x+4-y+z)=-2x-8+2y-2z$$

Zadanie 6.

Wyłącz wspólny czynnik przed nawias:

  1. $$ 5a+10b-15c $$
  2. $$ 12x+5xy+8x^2 $$
  3. $$ -3k-6k^2-18klm $$
  1. $$ 5a+10b-15c=5(a+2b-3c) $$
  2. $$ 12x+5xy+8x^2=x(12+5y+8x) $$
  3. $$ -3k-6k^2-18klm=-3k(1+2k+6lm) $$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wyrażenie -4a(2a-3) można zapisać w postaci

`-4a(2a-3)=-4a*2a-4a*(-3)=-8a^2+12a`


Poprawna odpowiedź:
C. -8a2+12a

Ustal, która liczba jest większa:

a) Oznaczamy: x - pewna kwota.

20% pewnej kwoty wynosi: 

`20%*x=0,2x `

Kwota 10 razy większa od poczatkowej kwoty:

`10x`

3% kwoty 10 razy większej wynosi:

`3%*10x=0,03*10x=0,3x`

Otrzymujemy:

`0,2x<0,3x` 

20% pewnej kwoty jest mniejsze niż 3% kwoty 10 razy większej. 

 

 

b) Oznaczamy: x- pewna kwota.

25% pewnej kwoty wynosi: 

`25%*x=0,25x`

Kwota 2 razy większa od początkowej kwoty:

 `2x`

15% kwoty 2 razy większej wynosi: 

`15%*2x=0,15*2x=0,3x `

Otrzymujemy:

`0,25x<0,3x` 

25% pewnej kwoty jest mniejsze niż 15% kwoty 2 razy większej. 

 

 

c) Oznaczamy: x -pewna kwota.

50% pewnej kwoty wynosi: 

`50%*x=0,5x `

Kwota 2 razy mniejsza od początkowej kwoty: 

`1/2x`

150% kwoty 2 razy mniejszej wynosi: 

`150%*1/2x=1,5*1/2x=3/2*1/2x=3/4x=0,75x`

Otrzymujemy:

`0,5x<0,75x` 

50% pewnej kwoty jest mniejsze niż 150% kwoty 2 razy mniejszej. 

Wykonaj działania 2,1*4,13

`a)\ 2,1*4,13=8,673`

 

 

`b)\ 10,01*0,05=0,5005`

 

Napisz trzy dowolne jednomiany podobne do jednomianu 3a^2b

Szukamy takich jednomianów, w których występuje kwadrat liczby a (czynnik a pojawia się 2 razy) oraz liczba b (1 czynnik b).

Takie jednomiany to na przykład (należy wybrać trzy z nich): 

`5a^2b,\ \ \ 10a^2b,\ \ \ 1/3a^2b,\ \ \ 2015a^2b,\ \ \ 12a^2b,\ \ \ 9a^2b,\ \ \ -100a^2b`

Sześcian o krawędzi ...

Do każdego z podanych wyrażeń dopasuj ...

`"I".\ 3%\ "liczby"\ 102~~3%\ "liczby"\ 100=3` 

`"Najbliższa wartość z ramki":` 

`3%\ "liczby"\ 102\ \ \ ->\ \ \ 3,06`  

 

`"II".\ 25%\ "liczby"\ 397~~25%\ "liczby"\ 400=100` 

`"Najbliższa wartość z ramki":` 

`25%\ "liczby"\ 397\ \ \ ->\ \ \ 99,25`  

 

`"III".\ 31%\ "liczby"\ 23~~30%\ "liczby"\ 23=0,3*23=6,9` 

`"Najbliższa wartość z ramki":` 

`31%\ "liczby"\ 23\ \ \ ->\ \ \ 7,13`  

 

`"IV".\ 9%\ "liczby"\ 29~~9%\ "liczby"\ 30=0,09*30=2,7` 

`"Najbliższa wartość z ramki":` 

`9%\ "liczby"\ 29\ \ \ ->\ \ \ 2,61`  

Przyjrzyj się poniższemu szlaczkowi. Jaki symbol znajdzie się na 111...

Strzałki w tym samym kierunku powtarzają się co 8 pozycji, zatem 

111:8= 13 reszty 7, więc na 111 będzie ta sama strzałka, która znajduje się na 7 pozycji czyli: 

W każdym zadaniu algebraicznym otocz pętlą znak działania, które podczas obliczeń...

`a")" \ (x^2+3y)*a \ \ "(należy otoczyć pętlą kropkę)"   \ \ \ \ "nazwa: iloczyn"` 

`b")" \ (3(x-2))/2 \ \ \"(należy otoczyć pętlą kreskę ułamkową)" \ \ \ "nazwa: iloraz"` 

`c")" \ 3x^3+2y \ \ \ "(należy otoczyć pętlą znak plus)" \ \ \ "nazwa: suma"` 

`d")" \ (8-x):(-2y) \ \ \ "(należy otoczyć pętlą dwukropek)" \ \ \ "nazwa: iloraz"` 

`e")" \ (2x-3y)^2 \ \ \ "(należy otoczyć pętlą wykładnik potęgi czyli małą cyfrę 2)" \ \ \ "nazwa: potęga"` 

`f")" \ 2/3x*(-y) \ \ \ "(należy otoczyć pętlą kropkę)" \ \ \ "nazwa: iloczyn"` 

`g")" \ 6-7x^2y \ \ \ "(należy otoczyć pętlą znak minus)"  \ \ \ "nazwa: różnica"` 

`h")" \ -4xy+5x\ \ \ "(należy otoczyć pętlą znak plus)" \ \ \ "nazwa: suma"` 

Równoległobok i romb o boku 16 cm mają ...

Wyznaczamy długość obwodu rombu o boku długości 16 cm:

`"Obw"_("r")=4*16\ "cm"=64\ "cm"` 

Obwód równoległoboku ma taką samą długość, jak obwód rombu, czyli:

`"Obw"_("rw")=64\ "cm"` 

Z treści zadania wiemy, że jeden z boków równoległoboku jest o 0,8 dm=8 cm krótszy od drugiego.

Jeżeli oznaczymy długość jednego z boków jako x (w cm), to długość drugiego boku wynosi x+8 (w cm).

Znając długość obwodu równoległoboku, możemy zapisujemy równanie: 

`2*x+2*(x+8)=64` 

`2x+2x+16=64` 

`4x+16=64\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |-16` 

`4x=48\ \ \ \ \ \ \ \ \ |:4` 

`x=12\ ["cm"]` 

Obliczamy długość drugiego boku równoległoboku:

`x+8=12+8=20\ ["cm"]` 

 

Odp: Długości boków równoległoboku wynoszą 12 cm i 20 cm.

a) 35‰ - jaki to ułamek ? ...

`"a)"\ 35permille=35/1000=7/200` 

`\ \ \ 35permille=35/10%=3,5%`    

 

`"b)" \ 0,27%=0,27*10permille=2,7permille` 

`\ \ \ 0,27%=(0,27)/100=27/10000=0,0027` 

 

`"c) Aby zamienić ułamek na promile mnożymy dany ułamek przez"\ 1000permille.`

 

`"d)"\ 7/1410*1000permille=7000/1410permille~~4,96permille` 

`\ \ \ (1,2)/5700*1000permille=1200/5700permille~~0,21permille`