Trójkąty prostokątne - 7-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Trójkąty prostokątne - 7-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Twierdzenie Pitagorasa

Twierdzenie Pitagorasa

Jeśli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

`a^2+b^2=c^2`  

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa

Znając długości trzech boków trójkąta jesteśmy w stanie stwierdzić czy jest on prostokątny.

Wystarczy sprawdzić czy suma kwadratów długości dwóch krótszych boków jest równa kwadratowi długości najdłuższego boku.

Takie twierdzenie nazywamy twierdzeniem odwrotnym do twierdzenia Pitagorasa.

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa:

Jeśli w trójkącie suma kwadratów długości dwóch krótszych boków jest równa kwadratowi długości najdłuższego boku, to trójkąt jest prostokątny.

Przekątna kwadratu

Dzięki znajomości twierdzenia Pitagorasa jesteśmy w stanie obliczyć długość przekątnej kwadratu znając długość jego boku.

przekatna

`a`  - długość boku kwadratu 

`d`  - długość przekątnej kwadratu 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa mamy: 
`a^2+a^2=d^2`  
`2a^2=d^2`  
`d=sqrt{2a^2}` 
`d=sqrt{2}*sqrt{a^2}`
`d=asqrt{2}` 

Przekątna kwadratu o boku długości `a` ma długość:

`d=asqrt{2}` 

Wysokość i pole trójkąta równobocznego

Dzięki twierdzeniu Pitagorasa, oprócz długości przekątnej kwadratu, jesteśmy również w stanie obliczyć długość wysokości oraz pole trójkąta równobocznego znając długość jego boku.

`a`  - długość boku trójkąta 

`h`  - długość wysokości trójkąta 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa mamy: 
`(1/2a)^2+h^2=a^2` 
`1/4a^2+h^2=a^2 \ \ \ \ \ \ \ \ |-1/4a^2`  
`h^2=3/4a^2`    
`h=sqrt{3/4a^2}` 
`h=sqrt{3a^2}/sqrt{4}` 
`h=(asqrt{3})/2`  

Wysokość trójkąta równobocznego o boku długości `a`  możemy obliczyć ze wzoru:

`h=(asqrt{3})/2` 
 

Znając długość podstawy i długość wysokości jesteśmy w stanie obliczyć ile wynosi pole trójkąta równobocznego.

`P=1/2*a*h=1/2*a*(asqrt{3})/2=(a^2sqrt{3})/4` 

 Pole trójkąta równobocznego o boku długości  `a`  możemy obliczyć ze wzoru:

`P=(a^2sqrt{3})/4`  

Trójkąty o kątach 45°, 45°, 90° oraz 30°, 60°, 90°

Istnieją dwa rodzaje trójkątów prostokątnych, w których dzięki kątom znamy zależności między długościami ich boków.

Znajomość tych zależności ułatwi i przyspieszy rozwiązywanie zadań!

  1. Trójkąt o kątach 45°, 45°, 90° (prostokątny równoramienny).

    Jest to połowa kwadratu o boku `a`, dlatego przeciwprostokątna ma długość `asqrt{2}` 



  2. Trójkąt o kątach 30°, 60°, 90°

    Jest to połowa trójkąta równobocznego o boku `2a` .

 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Oblicz długość przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości:

  1. 3 i 5
  2. 1 i √2
  3. $√2$ i $√3$

Z twierdzenia pitagorasa ($a^2+b^2=c^2$) obliczam długość trzeciego boku:

  1. $3^2+5^2=c^2 $

    $34=c^2 $

    $c=√34 $
     
  2. $1^2+{(√2)}^2=c^2 $

    $1+2=c^2 $

    $c=√3 $
     
  3. ${(√2)}^2+{(√3)}^2=c^2 $

    $2+3=c^2$

    $c=√5$
     

Zadanie 2.

Oblicz pole trójkąta prostokątnego o bokach długości:

  1. 3 cm, 4 cm i 5 cm
  2. 5 cm, 12 cm i 13 cm

Pole trójkąta prostokątnego można obliczyć ze wzoru: $ P={a×b}/2 $, gdzie a i b to przyprostokątne. Przyprostokątne to zawsze dwa krótsze boki trójkąta prostokątnego.

  1. $ P={3×4}/2={12}/2=6 cm^2 $
  2. $ P={5×12}/2={60}/2=30 cm^2 $

Zadanie 3.

Oblicz długość przekątnej kwadratu o boku długości:

  1. 5
  2. $3√2$
  3. $5√3$

Aby obliczyć przekątną kwadratu należy posłużyć się wzorem $a√2$, gdzie a oznacza długość boku kwadratu.

  1. $ 5×√2=5√2 $
  2. $ 3√2×√2=3×2=6 $
  3. $ 5√3×√2=5√6 $

Zadanie 4.

O ile procent przekątna kwadratu jest dłuższa od jego boku? Wynik zaokrąglij do części dziesiątych procenta.

${a√2-a}/{a}×100%=(√2-1)×100%≈(1,414-1)×100%=0,414×100%=41,4% $

Odp.: Przekątna kwadratu jest dłuższa od jego boku o ok. 41,4%.

Zadanie 5.

Oblicz długość przekątnej prostokąta o bokach długości 2 dm i 5 cm.

$2 dm=20 cm$
 

Obliczam przekątną z twierdzenia pitagorasa przyjmując przekątną, jako trzeci bok trójkąta prostokątnego:

$ {20}^3+5^2=c^2 $

$400+25=c^2$

$c=√425=5√17 cm $
 

Odp.: Przekątna tego prostokąta ma długość $5√17$ cm.

Zadanie 6.

Czy istnieje trójkąt prostokątny o bokach długości 2, 5 i 6?

Trójkąt jest prostokątny, gdy długości jego boków spełniają równanie $a^2+b^2=c^2$.

$2^2+5^2$ ? $6^2 $

$4+25$ ? $36$

$29≠36$ -> trójkąt nie jest prostokątny

Odp.: Nie istnieje trójkąt prostokątny o podanych bokach.

 

Spis treści

Rozwiązane zadania
W sklepie "Frykasy" ananasy i limonki...

Niech limonka kosztuje x zł. Wtedy ananas kosztuje: 5x+1,50 zł.

Pani Kasia zapłaciła 17,40 zł więc koszt limonki to:{premium}

 

cena ananasa to:

Odp. Ananas kosztuje 6 zł, a limonka kosztuje 0,9 zł.

Adam, Bogdan i Czesław podzielili...

{premium}

 

Wiemy, że Czesław otrzymał 360 zł, więc możemy zapisać:

 

Obliczamy, ile otrzymał Adam:

 

Obliczamy, ile otrzymał Bogdan:

Zamień ułamek zwykły na ułamek okresowy.

 {premium}

 

 

 

 

Spośród graniastosłupów prostych przedstawionych ...

ODP: D

 

Obliczamy objętość graniastosłupa I:

 

Obliczamy objętość graniastosłupa II:

 

Obliczamy objętość graniastosłupa III (w podstawie znajduje się trójkąt równoboczny o boku długości 4):

 

Obliczamy objętość graniastosłupa IV (w podstawie znajduje się prostokąt o wymiarach 2 x 3):

 

  

 

Równe objętości mają graniastosłup I i IV oraz II i III.

Zapisz i uporządkuj jednomian utworzony z wszystkich liter twojego imienia.

Przykładowe rozwiązanie: {premium}

 

W zeszłym tygodniu na szkolnej dyskotece było dokładnie ...

Zeszły tydzień:

Oznaczamy:

x - liczba dziewcząt w zeszłym tygodniu

x - liczba chłopców w zeszłym tygodniu

x+x=2x - liczba osób ogólem na dyskotece w zeszłym tygodniu

 

Obecny tydzień:

Na dyskotekę przyszło o 20% więcej osób, czyli:

W tym tygodniu na dyskotece jest 2,4x osób.

Dziewcząta stanowią 45% wszystkich osób, które przyszły na dyskotekę w tym tygodniu, stąd:{premium}

Zauważmy, że:

 

Liczba dziewcząt w tym tygodniu wynosiła 1,08x, a w tamtym x.

 

Odp: W tym tygodniu na dyskotekę przyszło więcej dziewczyn niż tydzień temu.

Stosując metodę Jacka, znajdź liczbę, ...

 

{premium}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Deska podłogowa ma grubość ...

Objętość wszystkich użytych desek do pokrycia podłogi wynosi 3 m3.

 

Wysokość deski to 2,5 cm. Zamieńmy jednostki, w których podana jest wysokość deski na m:{premium}

 

Ułożone deski (jedna obok drugiej) tworzą graniastosłup o wysokości 0,025 m.

Obliczmy pole podstawy tego graniastosłupa:

 

 

 

 

Odp: Deskami można pokryć 120 m2 powierzchni.

Oblicz, zamieniając...

a) zrobione w książce

b)  

Podaj przykład liczby naturalnej n, dla której wartość wyrażenia...

 

 {premium}