Trójkąty prostokątne - 7-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Twierdzenie Pitagorasa

Twierdzenie Pitagorasa

Jeśli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

`a^2+b^2=c^2`  

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa

Znając długości trzech boków trójkąta jesteśmy w stanie stwierdzić czy jest on prostokątny.

Wystarczy sprawdzić czy suma kwadratów długości dwóch krótszych boków jest równa kwadratowi długości najdłuższego boku.

Takie twierdzenie nazywamy twierdzeniem odwrotnym do twierdzenia Pitagorasa.

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa:

Jeśli w trójkącie suma kwadratów długości dwóch krótszych boków jest równa kwadratowi długości najdłuższego boku, to trójkąt jest prostokątny.

Przekątna kwadratu

Dzięki znajomości twierdzenia Pitagorasa jesteśmy w stanie obliczyć długość przekątnej kwadratu znając długość jego boku.

przekatna

`a`  - długość boku kwadratu 

`d`  - długość przekątnej kwadratu 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa mamy: 
`a^2+a^2=d^2`  
`2a^2=d^2`  
`d=sqrt{2a^2}` 
`d=sqrt{2}*sqrt{a^2}`
`d=asqrt{2}` 

Przekątna kwadratu o boku długości `a` ma długość:

`d=asqrt{2}` 

Wysokość i pole trójkąta równobocznego

Dzięki twierdzeniu Pitagorasa, oprócz długości przekątnej kwadratu, jesteśmy również w stanie obliczyć długość wysokości oraz pole trójkąta równobocznego znając długość jego boku.

`a`  - długość boku trójkąta 

`h`  - długość wysokości trójkąta 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa mamy: 
`(1/2a)^2+h^2=a^2` 
`1/4a^2+h^2=a^2 \ \ \ \ \ \ \ \ |-1/4a^2`  
`h^2=3/4a^2`    
`h=sqrt{3/4a^2}` 
`h=sqrt{3a^2}/sqrt{4}` 
`h=(asqrt{3})/2`  

Wysokość trójkąta równobocznego o boku długości `a`  możemy obliczyć ze wzoru:

`h=(asqrt{3})/2` 
 

Znając długość podstawy i długość wysokości jesteśmy w stanie obliczyć ile wynosi pole trójkąta równobocznego.

`P=1/2*a*h=1/2*a*(asqrt{3})/2=(a^2sqrt{3})/4` 

 Pole trójkąta równobocznego o boku długości  `a`  możemy obliczyć ze wzoru:

`P=(a^2sqrt{3})/4`  

Trójkąty o kątach 45°, 45°, 90° oraz 30°, 60°, 90°

Istnieją dwa rodzaje trójkątów prostokątnych, w których dzięki kątom znamy zależności między długościami ich boków.

Znajomość tych zależności ułatwi i przyspieszy rozwiązywanie zadań!

  1. Trójkąt o kątach 45°, 45°, 90° (prostokątny równoramienny).

    Jest to połowa kwadratu o boku `a`, dlatego przeciwprostokątna ma długość `asqrt{2}` 



  2. Trójkąt o kątach 30°, 60°, 90°

    Jest to połowa trójkąta równobocznego o boku `2a` .

 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Oblicz długość przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości:

  1. 3 i 5
  2. 1 i √2
  3. $$√2$$ i $$√3$$

Z twierdzenia pitagorasa ($$a^2+b^2=c^2$$) obliczam długość trzeciego boku:

  1. $$3^2+5^2=c^2 $$

    $$34=c^2 $$

    $$c=√34 $$
     
  2. $$1^2+{(√2)}^2=c^2 $$

    $$1+2=c^2 $$

    $$c=√3 $$
     
  3. $${(√2)}^2+{(√3)}^2=c^2 $$

    $$2+3=c^2$$

    $$c=√5$$
     

Zadanie 2.

Oblicz pole trójkąta prostokątnego o bokach długości:

  1. 3 cm, 4 cm i 5 cm
  2. 5 cm, 12 cm i 13 cm

Pole trójkąta prostokątnego można obliczyć ze wzoru: $$ P={a×b}/2 $$, gdzie a i b to przyprostokątne. Przyprostokątne to zawsze dwa krótsze boki trójkąta prostokątnego.

  1. $$ P={3×4}/2={12}/2=6 cm^2 $$
  2. $$ P={5×12}/2={60}/2=30 cm^2 $$

Zadanie 3.

Oblicz długość przekątnej kwadratu o boku długości:

  1. 5
  2. $$3√2$$
  3. $$5√3$$

Aby obliczyć przekątną kwadratu należy posłużyć się wzorem $$a√2$$, gdzie a oznacza długość boku kwadratu.

  1. $$ 5×√2=5√2 $$
  2. $$ 3√2×√2=3×2=6 $$
  3. $$ 5√3×√2=5√6 $$

Zadanie 4.

O ile procent przekątna kwadratu jest dłuższa od jego boku? Wynik zaokrąglij do części dziesiątych procenta.

$${a√2-a}/{a}×100%=(√2-1)×100%≈(1,414-1)×100%=0,414×100%=41,4% $$

Odp.: Przekątna kwadratu jest dłuższa od jego boku o ok. 41,4%.

Zadanie 5.

Oblicz długość przekątnej prostokąta o bokach długości 2 dm i 5 cm.

$$2 dm=20 cm$$
 

Obliczam przekątną z twierdzenia pitagorasa przyjmując przekątną, jako trzeci bok trójkąta prostokątnego:

$$ {20}^3+5^2=c^2 $$

$$400+25=c^2$$

$$c=√425=5√17 cm $$
 

Odp.: Przekątna tego prostokąta ma długość $$5√17$$ cm.

Zadanie 6.

Czy istnieje trójkąt prostokątny o bokach długości 2, 5 i 6?

Trójkąt jest prostokątny, gdy długości jego boków spełniają równanie $$a^2+b^2=c^2$$.

$$2^2+5^2$$ ? $$6^2 $$

$$4+25$$ ? $$36$$

$$29≠36$$ -> trójkąt nie jest prostokątny

Odp.: Nie istnieje trójkąt prostokątny o podanych bokach.

 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Uzupełnij wyrażenia.

 

 

 


 

 

 

 



 

 

 


 

 

 


 



 

 

 


 
 

 


 
 
 
 


 


 

Oblicz 5+(-4)

Niemowlę po urodzeniu ważyło 3 kg...

Obliczam o ile zwiększyła się masa niemowlaka: {premium}`3*40%=3*0,40=3*40/100=3*2/5=6/5=1 1/5= 1,2 \ "[kg]"` 



 

Filip miał 10 zł i chciał kupić 5 jednakowych...

Za  zeszytów Filip musiałby zapłacić więcej niż  czyli{premium}

jeden zeszyt kosztował więcej niż  

 wystarczyło na kupno  zeszytów, więc jeden zeszyt

kosztował co najwyżej  

Zatem Kasia za   zeszyty zapłaciła co najwyżej  pierwsze zdanie jest prawdziwe.

Adrian za  zeszytów zapłaci więcej niż drugie zdanie jest fałszywe.     

Na rysunku zaznaczono wierzchołki dwóch ...

Pierwszy równoległobok: ACGH

Drugi równoległobok: BFDE

 

Na prostokątnym diagramie procentowym przedstawiono ...

Kwadrat składa się ze 100 kwadracików. Cały kwadrat odpowiada 100%.

Stąd 1 kwadracik oznacza 1%.

 

a) PRAWDA

Ocenę dostateczną reprezentuje 50 kwadracików, więc liczba uczniów, którzy

otrzymali ocenę dostateczną wynosi 50%. {premium}

 

b) PRAWDA

Aby uzyskać promocję z przedmiotu należy mieć ocenę co najmniej dopuszczającą.

Zauważmy, że tylko 1% uczniów otrzymał ocenę niedostateczną, więc pozostała część,

czyli 99% otrzymało oceny dopuszczające i wyższe, czyli otrzymało promocję.

 

c) FAŁSZ

Z podpunktu a) wiemy, że 50% uczniów otrzymało oceny dostateczne, więc

pozostała część uczniów, czyli także 50% otrzymała inne oceny.

Nie prawdą więc jest, że PONAD połowa uczniów otrzymała oceny różne od dostatecznej.

 

d) PRAWDA

Ocenę dobrą, bardzo dobrą i celującą reprezentuje 40 kwadracików, więc liczba uczniów, którzy

otrzymali ocenę wyższą niż dobrą wynosi 40%. 

40% to więcej niż 1/3:

 

 

e) FAŁSZ

Uczniowie z ocenami dobrymi i bardzo dobrymi stanowią 35%. 

Uczniowie z ocenami dostatecznymi i dopuszczającymi stanowią 59%.

Dwa razy mniej niż 59% wynosi 29,5%.

Połącz strzałkami kolejne etapy rozwiązania równania i uzupełnij...

Oblicz, zamieniając...

a) zrobione w książce

b)  

Wskaż, które ze zdań są fałszywe.

Zdania fałszywe to:   

Jakie wynagrodzenie otrzymywał pracownik przed ...

a) Pensja pracownika wzrosła o 10% i wynosi obecnie 1760 zł.

Nowa pensja stanowi więc 110% początkowej kwoty.

Szukamy takiej liczby, której 110% wynosi 1760 zł.

10% tej kwoty (czyli 11 razy mniej niż 110%) jest równe:

 

100% tej kwoty (10 razy więcej niż 10%) jest równe:

     

 

b) Pensja pracownika wzrosła o 15% i wynosi obecnie 2415 zł.

Nowa pensja stanowi więc 115% początkowej kwoty.

Szukamy takiej liczby, której 115% wynosi 2415 zł.

5% tej kwoty (czyli 23 razy mniej niż 115%) jest równe:

 

100% tej kwoty (czyli 20 razy więcej niż 5%) jest równe:

  

 

c) Pensja pracownika wzrosła o 35% i wynosi obecnie 5535 zł.

Szukamy takiej liczby, której 135% wynosi 5535 zł.

5% tej kwoty (czyli 27 razy mniej niż 135%) jest równe:

 

100% tej kwoty (czyli 20 razy więcej niż 5%) jest równe:

  

 

d) Pensja pracownika wzrosła o 45% i wynosi obecnie 9062,50 zł.

Szukamy takiej liczby, której 145% wynosi 9062,50 zł.

5% tej kwoty (czyli 29 razy mniej niż 145%) jest równe:

 

100% tej kwoty (czyli 20 razy więcej niż 5%) jest równe: