Trójkąty prostokątne - 7-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Twierdzenie Pitagorasa

Twierdzenie Pitagorasa

Jeśli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

`a^2+b^2=c^2`  

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa

Znając długości trzech boków trójkąta jesteśmy w stanie stwierdzić czy jest on prostokątny.

Wystarczy sprawdzić czy suma kwadratów długości dwóch krótszych boków jest równa kwadratowi długości najdłuższego boku.

Takie twierdzenie nazywamy twierdzeniem odwrotnym do twierdzenia Pitagorasa.

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa:

Jeśli w trójkącie suma kwadratów długości dwóch krótszych boków jest równa kwadratowi długości najdłuższego boku, to trójkąt jest prostokątny.

Przekątna kwadratu

Dzięki znajomości twierdzenia Pitagorasa jesteśmy w stanie obliczyć długość przekątnej kwadratu znając długość jego boku.

przekatna

`a`  - długość boku kwadratu 

`d`  - długość przekątnej kwadratu 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa mamy: 
`a^2+a^2=d^2`  
`2a^2=d^2`  
`d=sqrt{2a^2}` 
`d=sqrt{2}*sqrt{a^2}`
`d=asqrt{2}` 

Przekątna kwadratu o boku długości `a` ma długość:

`d=asqrt{2}` 

Wysokość i pole trójkąta równobocznego

Dzięki twierdzeniu Pitagorasa, oprócz długości przekątnej kwadratu, jesteśmy również w stanie obliczyć długość wysokości oraz pole trójkąta równobocznego znając długość jego boku.

`a`  - długość boku trójkąta 

`h`  - długość wysokości trójkąta 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa mamy: 
`(1/2a)^2+h^2=a^2` 
`1/4a^2+h^2=a^2 \ \ \ \ \ \ \ \ |-1/4a^2`  
`h^2=3/4a^2`    
`h=sqrt{3/4a^2}` 
`h=sqrt{3a^2}/sqrt{4}` 
`h=(asqrt{3})/2`  

Wysokość trójkąta równobocznego o boku długości `a`  możemy obliczyć ze wzoru:

`h=(asqrt{3})/2` 
 

Znając długość podstawy i długość wysokości jesteśmy w stanie obliczyć ile wynosi pole trójkąta równobocznego.

`P=1/2*a*h=1/2*a*(asqrt{3})/2=(a^2sqrt{3})/4` 

 Pole trójkąta równobocznego o boku długości  `a`  możemy obliczyć ze wzoru:

`P=(a^2sqrt{3})/4`  

Trójkąty o kątach 45°, 45°, 90° oraz 30°, 60°, 90°

Istnieją dwa rodzaje trójkątów prostokątnych, w których dzięki kątom znamy zależności między długościami ich boków.

Znajomość tych zależności ułatwi i przyspieszy rozwiązywanie zadań!

  1. Trójkąt o kątach 45°, 45°, 90° (prostokątny równoramienny).

    Jest to połowa kwadratu o boku `a`, dlatego przeciwprostokątna ma długość `asqrt{2}` 



  2. Trójkąt o kątach 30°, 60°, 90°

    Jest to połowa trójkąta równobocznego o boku `2a` .

 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Oblicz długość przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości:

  1. 3 i 5
  2. 1 i √2
  3. $$√2$$ i $$√3$$

Z twierdzenia pitagorasa ($$a^2+b^2=c^2$$) obliczam długość trzeciego boku:

  1. $$3^2+5^2=c^2 $$

    $$34=c^2 $$

    $$c=√34 $$
     
  2. $$1^2+{(√2)}^2=c^2 $$

    $$1+2=c^2 $$

    $$c=√3 $$
     
  3. $${(√2)}^2+{(√3)}^2=c^2 $$

    $$2+3=c^2$$

    $$c=√5$$
     

Zadanie 2.

Oblicz pole trójkąta prostokątnego o bokach długości:

  1. 3 cm, 4 cm i 5 cm
  2. 5 cm, 12 cm i 13 cm

Pole trójkąta prostokątnego można obliczyć ze wzoru: $$ P={a×b}/2 $$, gdzie a i b to przyprostokątne. Przyprostokątne to zawsze dwa krótsze boki trójkąta prostokątnego.

  1. $$ P={3×4}/2={12}/2=6 cm^2 $$
  2. $$ P={5×12}/2={60}/2=30 cm^2 $$

Zadanie 3.

Oblicz długość przekątnej kwadratu o boku długości:

  1. 5
  2. $$3√2$$
  3. $$5√3$$

Aby obliczyć przekątną kwadratu należy posłużyć się wzorem $$a√2$$, gdzie a oznacza długość boku kwadratu.

  1. $$ 5×√2=5√2 $$
  2. $$ 3√2×√2=3×2=6 $$
  3. $$ 5√3×√2=5√6 $$

Zadanie 4.

O ile procent przekątna kwadratu jest dłuższa od jego boku? Wynik zaokrąglij do części dziesiątych procenta.

$${a√2-a}/{a}×100%=(√2-1)×100%≈(1,414-1)×100%=0,414×100%=41,4% $$

Odp.: Przekątna kwadratu jest dłuższa od jego boku o ok. 41,4%.

Zadanie 5.

Oblicz długość przekątnej prostokąta o bokach długości 2 dm i 5 cm.

$$2 dm=20 cm$$
 

Obliczam przekątną z twierdzenia pitagorasa przyjmując przekątną, jako trzeci bok trójkąta prostokątnego:

$$ {20}^3+5^2=c^2 $$

$$400+25=c^2$$

$$c=√425=5√17 cm $$
 

Odp.: Przekątna tego prostokąta ma długość $$5√17$$ cm.

Zadanie 6.

Czy istnieje trójkąt prostokątny o bokach długości 2, 5 i 6?

Trójkąt jest prostokątny, gdy długości jego boków spełniają równanie $$a^2+b^2=c^2$$.

$$2^2+5^2$$ ? $$6^2 $$

$$4+25$$ ? $$36$$

$$29≠36$$ -> trójkąt nie jest prostokątny

Odp.: Nie istnieje trójkąt prostokątny o podanych bokach.

 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Między pary liczb wstaw...

a)  

b)  

c)  

d)  

e)  

f)   

Podaj współrzędne punktów A, B, C, D zaznaczonych na osi.

W każdym przykładzie zaczynamy od wyznaczenia jednostki. Obliczamy odległość między dowolnymi dwiema zaznaczonymi liczbami i dzielimy ją przez ilość odcinkow jednostkowych, które się między nimi znajdują. 

 

{premium}

 

 

 

 

 

Rabata kwiatowa w kształcie rombu ma powierzchnię 0,15 a

 

Oznaczmy długość drugiej przekątnej (w m) jako x. 

 

Teraz musimy obliczyć, ile czerwonych tulipanów zmieścimy. 

Policzmy, na ile odcinków długości 15 cm można podzielić przekątną długości 600 cm: 

Musimy wsadzić tulipana na początku i końcu każdego odcinka, więc wsadzimy 41 tulipanów. 

(Jeśli mielibyśmy na przykład 5 odcinków, to byłoby 6 tulipanów, gdyby były 3 odcinki, to byłyby 4 tulipany, co obrazuje poniższy rysunek. Zawsze ilość tulipanów - czyli punktów wyznaczających odcinki - jest o 1 większa niż liczba odcinków)

Podaj dwie liczby, które ...

 

 

ponieważ:

 

Liczba ujemna podniesiona do drugiej potęgi jest liczbą dodatnią.

 

 

 

ponieważ:

 

 

 

 

ponieważ:

 

Oblicz obwód kwadratu o przekątnej...

Korzystamy z wzoru na przekątną kwadratu o boku długości  :{premium}

 

 

 

 [cm]

 [cm]


Odp. Obwód tego kwadratu ma długość  cm.

Z miejscowości X wyjechały jednocześnie dwa autobusy w przeciwnych kierunkach.

 - prędkość pierwszego autobusu{premium}

 - prędkość drugiego autobusu

 - droga jaką pokonał pierwszy autobus 

 - droga jaką pokonał drugi autobus

- odległość między autobusami

Oblicz długości przekątnych rombu, jeśli jedna z nich jest 2 razy krótsza

Jeśli jedna przekątna jest 2 razy krótsza od drugiej, to długości przekątnych możemy oznaczyć jako x i 2x. 

Jedna przekątna rombu ma a cm

Przekątne mają długości a cm oraz 4a cm. 

Obliczamy pole rombu: 

Trójkąt BCD jest równoboczny , a trójkąt ABD...

a)
 {premium}

b) TAK, ponieważ 30o+60o=90o

Odczytaj współrzędne zaznaczonych ...

Najpierw odczytujemy współrzędna x, a następnie współrzędna y zaznaczonych punktów.

W podpunkcie b) należy zwrócić uwagę, że odcinek długości 1 jest równy dwóm kratkom.