Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Trójkąty prostokątne - 7-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Twierdzenie Pitagorasa

Twierdzenie Pitagorasa

Jeśli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

`a^2+b^2=c^2`  

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa

Znając długości trzech boków trójkąta jesteśmy w stanie stwierdzić czy jest on prostokątny.

Wystarczy sprawdzić czy suma kwadratów długości dwóch krótszych boków jest równa kwadratowi długości najdłuższego boku.

Takie twierdzenie nazywamy twierdzeniem odwrotnym do twierdzenia Pitagorasa.

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa:

Jeśli w trójkącie suma kwadratów długości dwóch krótszych boków jest równa kwadratowi długości najdłuższego boku, to trójkąt jest prostokątny.

Przekątna kwadratu

Dzięki znajomości twierdzenia Pitagorasa jesteśmy w stanie obliczyć długość przekątnej kwadratu znając długość jego boku.

przekatna

`a`  - długość boku kwadratu 

`d`  - długość przekątnej kwadratu 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa mamy: 
`a^2+a^2=d^2`  
`2a^2=d^2`  
`d=sqrt{2a^2}` 
`d=sqrt{2}*sqrt{a^2}`
`d=asqrt{2}` 

Przekątna kwadratu o boku długości `a` ma długość:

`d=asqrt{2}` 

Wysokość i pole trójkąta równobocznego

Dzięki twierdzeniu Pitagorasa, oprócz długości przekątnej kwadratu, jesteśmy również w stanie obliczyć długość wysokości oraz pole trójkąta równobocznego znając długość jego boku.

`a`  - długość boku trójkąta 

`h`  - długość wysokości trójkąta 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa mamy: 
`(1/2a)^2+h^2=a^2` 
`1/4a^2+h^2=a^2 \ \ \ \ \ \ \ \ |-1/4a^2`  
`h^2=3/4a^2`    
`h=sqrt{3/4a^2}` 
`h=sqrt{3a^2}/sqrt{4}` 
`h=(asqrt{3})/2`  

Wysokość trójkąta równobocznego o boku długości `a`  możemy obliczyć ze wzoru:

`h=(asqrt{3})/2` 
 

Znając długość podstawy i długość wysokości jesteśmy w stanie obliczyć ile wynosi pole trójkąta równobocznego.

`P=1/2*a*h=1/2*a*(asqrt{3})/2=(a^2sqrt{3})/4` 

 Pole trójkąta równobocznego o boku długości  `a`  możemy obliczyć ze wzoru:

`P=(a^2sqrt{3})/4`  

Trójkąty o kątach 45°, 45°, 90° oraz 30°, 60°, 90°

Istnieją dwa rodzaje trójkątów prostokątnych, w których dzięki kątom znamy zależności między długościami ich boków.

Znajomość tych zależności ułatwi i przyspieszy rozwiązywanie zadań!

  1. Trójkąt o kątach 45°, 45°, 90° (prostokątny równoramienny).

    Jest to połowa kwadratu o boku `a`, dlatego przeciwprostokątna ma długość `asqrt{2}` 



  2. Trójkąt o kątach 30°, 60°, 90°

    Jest to połowa trójkąta równobocznego o boku `2a` .

 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Oblicz długość przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości:

  1. 3 i 5
  2. 1 i √2
  3. $$√2$$ i $$√3$$

Z twierdzenia pitagorasa ($$a^2+b^2=c^2$$) obliczam długość trzeciego boku:

  1. $$3^2+5^2=c^2 $$

    $$34=c^2 $$

    $$c=√34 $$
     
  2. $$1^2+{(√2)}^2=c^2 $$

    $$1+2=c^2 $$

    $$c=√3 $$
     
  3. $${(√2)}^2+{(√3)}^2=c^2 $$

    $$2+3=c^2$$

    $$c=√5$$
     

Zadanie 2.

Oblicz pole trójkąta prostokątnego o bokach długości:

  1. 3 cm, 4 cm i 5 cm
  2. 5 cm, 12 cm i 13 cm

Pole trójkąta prostokątnego można obliczyć ze wzoru: $$ P={a×b}/2 $$, gdzie a i b to przyprostokątne. Przyprostokątne to zawsze dwa krótsze boki trójkąta prostokątnego.

  1. $$ P={3×4}/2={12}/2=6 cm^2 $$
  2. $$ P={5×12}/2={60}/2=30 cm^2 $$

Zadanie 3.

Oblicz długość przekątnej kwadratu o boku długości:

  1. 5
  2. $$3√2$$
  3. $$5√3$$

Aby obliczyć przekątną kwadratu należy posłużyć się wzorem $$a√2$$, gdzie a oznacza długość boku kwadratu.

  1. $$ 5×√2=5√2 $$
  2. $$ 3√2×√2=3×2=6 $$
  3. $$ 5√3×√2=5√6 $$

Zadanie 4.

O ile procent przekątna kwadratu jest dłuższa od jego boku? Wynik zaokrąglij do części dziesiątych procenta.

$${a√2-a}/{a}×100%=(√2-1)×100%≈(1,414-1)×100%=0,414×100%=41,4% $$

Odp.: Przekątna kwadratu jest dłuższa od jego boku o ok. 41,4%.

Zadanie 5.

Oblicz długość przekątnej prostokąta o bokach długości 2 dm i 5 cm.

$$2 dm=20 cm$$
 

Obliczam przekątną z twierdzenia pitagorasa przyjmując przekątną, jako trzeci bok trójkąta prostokątnego:

$$ {20}^3+5^2=c^2 $$

$$400+25=c^2$$

$$c=√425=5√17 cm $$
 

Odp.: Przekątna tego prostokąta ma długość $$5√17$$ cm.

Zadanie 6.

Czy istnieje trójkąt prostokątny o bokach długości 2, 5 i 6?

Trójkąt jest prostokątny, gdy długości jego boków spełniają równanie $$a^2+b^2=c^2$$.

$$2^2+5^2$$ ? $$6^2 $$

$$4+25$$ ? $$36$$

$$29≠36$$ -> trójkąt nie jest prostokątny

Odp.: Nie istnieje trójkąt prostokątny o podanych bokach.

 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Zapisz odpowiednie równania, a) Marek zebrał m kg makulatury, Jola o 3 kg więcej...

a) waga makulatury Marka: m  

waga makulatury Joli: m+3``

waga makulatury Eli: 3m  

waga razem: 28``

`m+m+3+3m=28` 


b) liczba pięćdziesięciogroszówek: x

liczba dwudziestogroszówek: x+10``

kwota w skarbonce: 14,60 zł``

`x*0,5+(x+10)*0,2=14,60` 


c) liczba kilometrów: `x` 

I dzień: `1/4x`  ``

II dzień: `1/4x+6`

III dzień: `1/4x+6+10`

`1/4x+1/4x+6+1/4x+16=x`

Wykaż, że alfa+gamma=beta

 

Uzupełnij tabelę. Wypisz ...
Wielokrotności Liczba Dzielniki 
0, 12, 24, 36, 48, 60 12 1, 2, 3, 4, 6, 12
0, 48, 96, 144, 192 48 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48
102, 204, 306, 408, 510 102 1, 2, 3, 6, 17, 34, 51, 102
W przepełnionym wagonie II klasy było cztery razy więcej pasażerów niż w wagonie klasy I...

pasażerowie I klasy: x

pasażerowie II klasy: 4x``

razem: 5x

 
`x+54=4x-54 \ \ \ |-x` 

`54=3x-54 \ \ \ |+54` 

`108=3x \ \ \ |:3` 

`36=x` 

 

`5*36=180`

``

Odp. : W pociągu było 180 pasażerów.

Oblicz długość przekątnej kwadratu o podanym

`a) \ \ a=44 \ "cm":4=11 \ "cm"` 

`d=asqrt2=11 \ "cm"*sqrt2=11sqrt2 \ "cm"` 

`b) \ \ a=2,4 \ "cm":4=0,6 \ "cm"` 

`d=asqrt2=0,6 \ "cm"*sqrt2=0,6sqrt2 \ "cm"` 

`c) \ \ a=6 4/5 \ "m":4=34/5 \ "m":4=34/5 \ "m"*1/4=34/20 \ "m"=17/10 \ "m"=1 7/10 \ "m"` 

`d=asqrt2=1 7/10 \ "m"*sqrt2=1 7/10sqrt2 \ "m"` 

`d) \ \ a=8sqrt2 \ "cm":4=2sqrt2 \ "cm"` 

`d=2sqrt2 \ "cm"*sqrt2=2sqrt4 \ "cm"=4 \ "cm"` 

`e) \ \ a=7sqrt6 \ "cm":4=7/4sqrt6 \ "cm"=1 3/4sqrt6 \ "cm"` 

 `d=1 3/4sqrt6 \ "cm"*sqrt2=1 3/4sqrt12 \ "cm"=1 3/4*sqrt(4*3) \ "cm"=1 3/4*sqrt4*sqrt3 \ "cm"=1 3/4*2*sqrt3 \ "cm"=` 

`=7/strike4^2*strike2^1*sqrt3 \ "cm"=7/2sqrt3 \ "cm"=3 1/2sqrt3 \ "cm"`

`f) \ \ a=sqrt75 \ "cm":4=sqrt75/4 \ "cm"` 

`d=sqrt75/4*sqrt2 \ "cm"=sqrt150/4 \ "cm"=sqrt(25*6)/4 \ "cm"=(5sqrt6)/4 \ "cm"=1 1/4sqrt6 \ "cm"` 

Wyznacz współrzędne środka odcinka AB, jeśli...

Współrzędne środka odcinka AB możemy obliczyć korzystając z wzoru podanego w podręczniku na stronie 255:


`a")" \ A=(4,1) \ \ \ B=(6,5)` 

`S_(AB)=((4+6)/2;(1+5)/2)=(10/2;6/2)=(5;3)` 

`b")" \ A=(4,0) \ \ \ B=(0,6)` 

`S_(AB)=((4+0)/2;(0+6)/2)=(4/2;6/2)=(2;3)` 


`c")" \ A=(-1,4) \ \ \ B=(1,7)` 

`S_(AB)=((-1+1)/2;(4+7)/2)=(0/2;11/2)=(0;5,5)` 

`d")" \ A=(-6,-3) \ \ \ B=(3,4)` 

`S_(AB)=((-6+3)/2;(-3+4)/2)=(-3/2;1/2)=(-1 1/2;1/2)` 

W kantorze wisi poniższa informacja...

`4\ "dolary"\ \ \ \ \ -\ \ \ 3\ "euro"`

`x\ "dolarów"\ \ \ -\ \ \ 18\ "euro"`

 

`4/x=3/18`

`4/x=1/6`

`x=4*6=24`

Odp.: Za 18 euro można kupić 24 dolary. 

Zakreskuj w pierwszej kolumnie tabeli ...
`sqrt{36}`  `sqrt{100}`  `sqrt{25}`  
`sqrt{100}-sqrt{64}=10-8=2`   `ul(ul( \ 10 \ ))=sqrt{100}`    `ul(ul( \ sqrt{75}:sqrt{3} \ ))=sqrt{75:3}=sqrt{25}`  
`ul(ul(  \ sqrt{2}*sqrt{18} \ ))=sqrt{2*18}=sqrt{36}`    `sqrt{36}+sqrt{64}=6+8=14`   `ul(ul( \ sqrt{5}*sqrt{5} \ ))=sqrt{5*5}=sqrt{25}`   
`sqrt{6^2}=6`   `ul(ul( \ sqrt{10}*sqrt{10} \ ))=sqrt{10*10}=sqrt{100}`   `sqrt{16}+sqrt{9}=4+3=7`  
`ul(ul( \ sqrt{72}:sqrt{2} \ ))=sqrt{72:2}=sqrt{36}`   `4sqrt{25}=sqrt{16}*sqrt{25}=sqrt{16*25}=sqrt{400}`   `ul(ul( \ 5 \ ))=sqrt{25}`  
`sqrt{25}+sqrt{9}+sqrt{1}+sqrt{1}=5+3+1+1=10`   `ul(ul( \ sqrt{300}:sqrt{3} \ ))=sqrt{300:3}=sqrt{100}`   `ul(ul( \ sqrt{125}:sqrt{5} \ ))=sqrt{125:5}=sqrt{25}`   
`ul(ul( \ sqrt{4}*sqrt{9} \ ))=sqrt{4*9}=sqrt{36}`   `sqrt{81}+sqrt{9}+sqrt{10}=9+3+sqrt{10}=12+sqrt{10}`   `ul(ul( \ sqrt{100}:2 \ ))=10:2=5=sqrt{25}`  
`(sqrt{6})^2=6`   `ul(ul( \ 2sqrt{25} \ ))=sqrt{4}*sqrt{25}=sqrt{4*25}=sqrt{100}`   `sqrt{36}-sqrt{11}=6-sqrt{11}`  
Słoń waży tyle, ile dwa...

Niech x - waga zająca zatem:

lis waży - 2x

borsuk waży - 4x

sarna waży - 8x

struś waży - 16x

tygrys waży - 32x

koń waży - 64x

niedźwiedź waży - 128x

nosorożec waży - 256x

słoń waży - 512x

Czyli:

 

`512x=256x+128x+64x+32x+16x+8x+4x+2x+x+6,25`

`512x=511x+6,25|-511x`

`x=6,25`

Czyli słoń waży:

`512x=512*6,25=3200`

 
Odp. Słoń waży 3200 kg.

Oblicz, jaką część pola powierzchni całkowitej...

Prostopadłościan ma po 2 ściany każdego rodzaju, obliczamy jego pole: 

`P=2*1\ cm*2\ cm+2*1\ cm*3\ cm+2*2\ cm*3\ cm=`

`\ \ \ =4\ cm^2+6\ cm^2+12\ cm^2=22\ cm^2`

 

Obliczamy, jaką część tego pola stanowi pole najmniejszej ściany:

`(1\ cm*2\ cm)/(22\ cm^2)=(2\ cm^2)/(22\ cm^2)=2/22=1/11=1/11*100%=100/11%=9 1/11%`