Trójkąty prostokątne - 7-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Trójkąty prostokątne - 7-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Twierdzenie Pitagorasa

Twierdzenie Pitagorasa

Jeśli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

`a^2+b^2=c^2`  

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa

Znając długości trzech boków trójkąta jesteśmy w stanie stwierdzić czy jest on prostokątny.

Wystarczy sprawdzić czy suma kwadratów długości dwóch krótszych boków jest równa kwadratowi długości najdłuższego boku.

Takie twierdzenie nazywamy twierdzeniem odwrotnym do twierdzenia Pitagorasa.

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa:

Jeśli w trójkącie suma kwadratów długości dwóch krótszych boków jest równa kwadratowi długości najdłuższego boku, to trójkąt jest prostokątny.

Przekątna kwadratu

Dzięki znajomości twierdzenia Pitagorasa jesteśmy w stanie obliczyć długość przekątnej kwadratu znając długość jego boku.

przekatna

`a`  - długość boku kwadratu 

`d`  - długość przekątnej kwadratu 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa mamy: 
`a^2+a^2=d^2`  
`2a^2=d^2`  
`d=sqrt{2a^2}` 
`d=sqrt{2}*sqrt{a^2}`
`d=asqrt{2}` 

Przekątna kwadratu o boku długości `a` ma długość:

`d=asqrt{2}` 

Wysokość i pole trójkąta równobocznego

Dzięki twierdzeniu Pitagorasa, oprócz długości przekątnej kwadratu, jesteśmy również w stanie obliczyć długość wysokości oraz pole trójkąta równobocznego znając długość jego boku.

`a`  - długość boku trójkąta 

`h`  - długość wysokości trójkąta 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa mamy: 
`(1/2a)^2+h^2=a^2` 
`1/4a^2+h^2=a^2 \ \ \ \ \ \ \ \ |-1/4a^2`  
`h^2=3/4a^2`    
`h=sqrt{3/4a^2}` 
`h=sqrt{3a^2}/sqrt{4}` 
`h=(asqrt{3})/2`  

Wysokość trójkąta równobocznego o boku długości `a`  możemy obliczyć ze wzoru:

`h=(asqrt{3})/2` 
 

Znając długość podstawy i długość wysokości jesteśmy w stanie obliczyć ile wynosi pole trójkąta równobocznego.

`P=1/2*a*h=1/2*a*(asqrt{3})/2=(a^2sqrt{3})/4` 

 Pole trójkąta równobocznego o boku długości  `a`  możemy obliczyć ze wzoru:

`P=(a^2sqrt{3})/4`  

Trójkąty o kątach 45°, 45°, 90° oraz 30°, 60°, 90°

Istnieją dwa rodzaje trójkątów prostokątnych, w których dzięki kątom znamy zależności między długościami ich boków.

Znajomość tych zależności ułatwi i przyspieszy rozwiązywanie zadań!

  1. Trójkąt o kątach 45°, 45°, 90° (prostokątny równoramienny).

    Jest to połowa kwadratu o boku `a`, dlatego przeciwprostokątna ma długość `asqrt{2}` 



  2. Trójkąt o kątach 30°, 60°, 90°

    Jest to połowa trójkąta równobocznego o boku `2a` .

 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Oblicz długość przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości:

  1. 3 i 5
  2. 1 i √2
  3. $√2$ i $√3$

Z twierdzenia pitagorasa ($a^2+b^2=c^2$) obliczam długość trzeciego boku:

  1. $3^2+5^2=c^2 $

    $34=c^2 $

    $c=√34 $
     
  2. $1^2+{(√2)}^2=c^2 $

    $1+2=c^2 $

    $c=√3 $
     
  3. ${(√2)}^2+{(√3)}^2=c^2 $

    $2+3=c^2$

    $c=√5$
     

Zadanie 2.

Oblicz pole trójkąta prostokątnego o bokach długości:

  1. 3 cm, 4 cm i 5 cm
  2. 5 cm, 12 cm i 13 cm

Pole trójkąta prostokątnego można obliczyć ze wzoru: $ P={a×b}/2 $, gdzie a i b to przyprostokątne. Przyprostokątne to zawsze dwa krótsze boki trójkąta prostokątnego.

  1. $ P={3×4}/2={12}/2=6 cm^2 $
  2. $ P={5×12}/2={60}/2=30 cm^2 $

Zadanie 3.

Oblicz długość przekątnej kwadratu o boku długości:

  1. 5
  2. $3√2$
  3. $5√3$

Aby obliczyć przekątną kwadratu należy posłużyć się wzorem $a√2$, gdzie a oznacza długość boku kwadratu.

  1. $ 5×√2=5√2 $
  2. $ 3√2×√2=3×2=6 $
  3. $ 5√3×√2=5√6 $

Zadanie 4.

O ile procent przekątna kwadratu jest dłuższa od jego boku? Wynik zaokrąglij do części dziesiątych procenta.

${a√2-a}/{a}×100%=(√2-1)×100%≈(1,414-1)×100%=0,414×100%=41,4% $

Odp.: Przekątna kwadratu jest dłuższa od jego boku o ok. 41,4%.

Zadanie 5.

Oblicz długość przekątnej prostokąta o bokach długości 2 dm i 5 cm.

$2 dm=20 cm$
 

Obliczam przekątną z twierdzenia pitagorasa przyjmując przekątną, jako trzeci bok trójkąta prostokątnego:

$ {20}^3+5^2=c^2 $

$400+25=c^2$

$c=√425=5√17 cm $
 

Odp.: Przekątna tego prostokąta ma długość $5√17$ cm.

Zadanie 6.

Czy istnieje trójkąt prostokątny o bokach długości 2, 5 i 6?

Trójkąt jest prostokątny, gdy długości jego boków spełniają równanie $a^2+b^2=c^2$.

$2^2+5^2$ ? $6^2 $

$4+25$ ? $36$

$29≠36$ -> trójkąt nie jest prostokątny

Odp.: Nie istnieje trójkąt prostokątny o podanych bokach.

 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Aby upiec ciasto, należy...

x - wspólna jednostka

10x - mąka 

5x - tłuszcz

4x - cukier{premium}

 

 

 - mąka

 - tłuszcz

 - cukier 


 

   - a więc musimy wziąć o 0,05 kg więcej tłuszczu niż cukru.

Pierwsze zdanie jest prawdziwe.

 

 

Drugie zdanie jest prawdziwe. 

Zapisz odpowiedni ułamek...

a)  {premium}

b)  

c)  

d)  

e)  

f)  

Wskaż dwie kolejne liczby całkowite ...

a) Szukamy liczby naturalnej, która jest mniejsza od 33 1/3 i z której potrafimy obliczyć pierwiastek. 

 

Szukamy teraz liczby naturalnej, która jest większa od 33 1/3 i z której potrafimy obliczyć pierwiastek. {premium}

 

Mamy więc: 

 

  

Podana liczba znajduje się między 5 i 6

 

b) Szukamy liczby całkowitej, która jest mniejsza od -25 i z której potrafimy obliczyć pierwiastek trzeciego stopnia. 

 

Szukamy teraz liczby całkowitej, która jest większa od -25 i z której potrafimy obliczyć pierwiastek trzeciego stopnia. 

 

Mamy więc: 

 

  

Podana liczba znajduje się między -3 i -2

Wyznacz cyfrę jedności...

 

 

 

...

{premium}

Zauważmy, że niezależnie od potęgi, cyfrą jedności zawsze jest 5.

 

 

 

 

...

Podobnie jak wcześniej - cyfra jedności zawsze jest taka sama, i w tym wypadku jest równa 6.

 

 

 

Odp.: Cyfrą jedności danej liczby jest 1.       

W układzie współrzędnych dany jest okrąg ...

Obliczamy, ile wynosi odległość punktu A = (-39, 52) od punktu O = (0, 0) (początku układu współrzędnych), czyli długość odcinka AO. {premium}

    

Odległość punktu A od punktu O jest równa długości promienia okręgu, czyli punkt A leży na okręgu. 

Obliczamy, ile wynosi odległość punktu B = (25, 60) od punktu O=(0,0) (początku układu współrzędnych), czyli długość odcinka BO. 

    

Odległość punktu B od punktu O jest równa długości promienia okręgu, czyli punkt B leży na okręgu. 


Obliczamy ile wynosi odległość punktu C = (45, 48) od punktu O=(0,0) (początku układu współrzędnych), czyli długość odcinka CO. 

      

Odległość punktu C od punktu O jest większa od długości promienia okręgu, czyli punkt C leży poza okręgiem. 


Odpowiedź: Na okręgu leżą wierzchołki A i B tego trójkąta. Wierzchołek C leży poza okręgiem. 

Weź udział w wyścigu. Wygrywa ten, kto wykona najmniej ...

Współrzędne punktów w których zakręcamy:{premium}

(-10,-6), (-1,-6), (-1,-4), (4,-4), (4,-6), (6,-6), (7,-7), (11,-7), (11,-2), (9,-2), 

(9,0), (-3,0), (-3,-1), (-10,-1), (-10,7), (-6,7), (-6,5), (2,5), (2,7), (10,7), (10,5)

Oblicz masę sztabki w kształcie prostopadłościanu

 

{premium}  

 

 

 

    

Na podstawie sondażu można przypuszczać...

W przedstawionym na diagramie{premium} okresie poparcie zarówno wzrastało, jak i malało, dlatego trudno powiedzieć jak się zmieni. 


Odp. D

Spośród 250 uczniów...

Obliczamy jakim procentem liczby 250 jest liczba 130.{premium}

  


Odpowiedź: 52% uczniów tej szkoły uczęszcza na zajęcia dodatkowe.

Na kurs tańca zapisało się 15 dziewcząt ...

Na kurs zapisało się 15 dziewcząt oraz 10 chłopców.

Obliczamy liczbę uczestników kursu:{premium}

 


Obliczamy, jaki procent liczby wszystkich uczestników stanowią chłopcy:

   


Odpowiedź
: C. 40%