Trójkąty prostokątne - 7-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Twierdzenie Pitagorasa

Twierdzenie Pitagorasa

Jeśli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

`a^2+b^2=c^2`  

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa

Znając długości trzech boków trójkąta jesteśmy w stanie stwierdzić czy jest on prostokątny.

Wystarczy sprawdzić czy suma kwadratów długości dwóch krótszych boków jest równa kwadratowi długości najdłuższego boku.

Takie twierdzenie nazywamy twierdzeniem odwrotnym do twierdzenia Pitagorasa.

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa:

Jeśli w trójkącie suma kwadratów długości dwóch krótszych boków jest równa kwadratowi długości najdłuższego boku, to trójkąt jest prostokątny.

Przekątna kwadratu

Dzięki znajomości twierdzenia Pitagorasa jesteśmy w stanie obliczyć długość przekątnej kwadratu znając długość jego boku.

przekatna

`a`  - długość boku kwadratu 

`d`  - długość przekątnej kwadratu 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa mamy: 
`a^2+a^2=d^2`  
`2a^2=d^2`  
`d=sqrt{2a^2}` 
`d=sqrt{2}*sqrt{a^2}`
`d=asqrt{2}` 

Przekątna kwadratu o boku długości `a` ma długość:

`d=asqrt{2}` 

Wysokość i pole trójkąta równobocznego

Dzięki twierdzeniu Pitagorasa, oprócz długości przekątnej kwadratu, jesteśmy również w stanie obliczyć długość wysokości oraz pole trójkąta równobocznego znając długość jego boku.

`a`  - długość boku trójkąta 

`h`  - długość wysokości trójkąta 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa mamy: 
`(1/2a)^2+h^2=a^2` 
`1/4a^2+h^2=a^2 \ \ \ \ \ \ \ \ |-1/4a^2`  
`h^2=3/4a^2`    
`h=sqrt{3/4a^2}` 
`h=sqrt{3a^2}/sqrt{4}` 
`h=(asqrt{3})/2`  

Wysokość trójkąta równobocznego o boku długości `a`  możemy obliczyć ze wzoru:

`h=(asqrt{3})/2` 
 

Znając długość podstawy i długość wysokości jesteśmy w stanie obliczyć ile wynosi pole trójkąta równobocznego.

`P=1/2*a*h=1/2*a*(asqrt{3})/2=(a^2sqrt{3})/4` 

 Pole trójkąta równobocznego o boku długości  `a`  możemy obliczyć ze wzoru:

`P=(a^2sqrt{3})/4`  

Trójkąty o kątach 45°, 45°, 90° oraz 30°, 60°, 90°

Istnieją dwa rodzaje trójkątów prostokątnych, w których dzięki kątom znamy zależności między długościami ich boków.

Znajomość tych zależności ułatwi i przyspieszy rozwiązywanie zadań!

  1. Trójkąt o kątach 45°, 45°, 90° (prostokątny równoramienny).

    Jest to połowa kwadratu o boku `a`, dlatego przeciwprostokątna ma długość `asqrt{2}` 



  2. Trójkąt o kątach 30°, 60°, 90°

    Jest to połowa trójkąta równobocznego o boku `2a` .

 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Oblicz długość przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości:

  1. 3 i 5
  2. 1 i √2
  3. $$√2$$ i $$√3$$

Z twierdzenia pitagorasa ($$a^2+b^2=c^2$$) obliczam długość trzeciego boku:

  1. $$3^2+5^2=c^2 $$

    $$34=c^2 $$

    $$c=√34 $$
     
  2. $$1^2+{(√2)}^2=c^2 $$

    $$1+2=c^2 $$

    $$c=√3 $$
     
  3. $${(√2)}^2+{(√3)}^2=c^2 $$

    $$2+3=c^2$$

    $$c=√5$$
     

Zadanie 2.

Oblicz pole trójkąta prostokątnego o bokach długości:

  1. 3 cm, 4 cm i 5 cm
  2. 5 cm, 12 cm i 13 cm

Pole trójkąta prostokątnego można obliczyć ze wzoru: $$ P={a×b}/2 $$, gdzie a i b to przyprostokątne. Przyprostokątne to zawsze dwa krótsze boki trójkąta prostokątnego.

  1. $$ P={3×4}/2={12}/2=6 cm^2 $$
  2. $$ P={5×12}/2={60}/2=30 cm^2 $$

Zadanie 3.

Oblicz długość przekątnej kwadratu o boku długości:

  1. 5
  2. $$3√2$$
  3. $$5√3$$

Aby obliczyć przekątną kwadratu należy posłużyć się wzorem $$a√2$$, gdzie a oznacza długość boku kwadratu.

  1. $$ 5×√2=5√2 $$
  2. $$ 3√2×√2=3×2=6 $$
  3. $$ 5√3×√2=5√6 $$

Zadanie 4.

O ile procent przekątna kwadratu jest dłuższa od jego boku? Wynik zaokrąglij do części dziesiątych procenta.

$${a√2-a}/{a}×100%=(√2-1)×100%≈(1,414-1)×100%=0,414×100%=41,4% $$

Odp.: Przekątna kwadratu jest dłuższa od jego boku o ok. 41,4%.

Zadanie 5.

Oblicz długość przekątnej prostokąta o bokach długości 2 dm i 5 cm.

$$2 dm=20 cm$$
 

Obliczam przekątną z twierdzenia pitagorasa przyjmując przekątną, jako trzeci bok trójkąta prostokątnego:

$$ {20}^3+5^2=c^2 $$

$$400+25=c^2$$

$$c=√425=5√17 cm $$
 

Odp.: Przekątna tego prostokąta ma długość $$5√17$$ cm.

Zadanie 6.

Czy istnieje trójkąt prostokątny o bokach długości 2, 5 i 6?

Trójkąt jest prostokątny, gdy długości jego boków spełniają równanie $$a^2+b^2=c^2$$.

$$2^2+5^2$$ ? $$6^2 $$

$$4+25$$ ? $$36$$

$$29≠36$$ -> trójkąt nie jest prostokątny

Odp.: Nie istnieje trójkąt prostokątny o podanych bokach.

 

Spis treści

Rozwiązane zadania
W każdym worku dopisz po trzy liczby pasujące...

Przykładowe rozwiązanie:


Uzupełnij:

{premium}

Wykonaj dodawanie.

{premium}

 

 

Wpisz w okienko odpowiednią liczbę.

a) Obliczamy, jaką liczbę należy wpisać w okienko. 

  

W okienko należy wpisać liczbę  .{premium}


b) Obliczamy, jaką liczbę należy wpisać w okienko. 

 

W okienko należy wpisać liczbę .


c) Obliczamy, jaką liczbę należy wpisać w okienko. 

 

W okienko należy wpisać liczbę  .  


d) Obliczamy, jaką liczbę należy wpisać w okienko.  

 

W okienko należy wpisać liczbę  .   

Wykonaj dzielenie. W ostatnim przykładzie najpierw zapisz iloraz w innej postaci:

                                                                                       {premium}

   

Samochód porusza się między miejscowościami ...

Na każdym odcinku drogi samochód jedzie z taką samą prędkością. 

Stosunek czasu do {premium}drogi na każdym z odcinków jest więc taki sam. 

czas 27 min 5/6 h = 50 min t
droga 45 km s 20 km


 

 

  

    

 

 

 

 

     

 


Odpowiedź
Uzupełniamy luki wpisując 83 1/3 km oraz 1/5 h. 

Oblicz:

Przypomnienie dzieląc/mnożąc liczbę przez 10, 100, 1000, ... przesuwamy przecinek o tyle miejsc w lewo/prawo, ile ma zer liczba, przez którą dzielimy.

 

Aby pomnożyć powyższe liczby, wykonujemy następujące czynności:{premium}

- mnożymy dane liczby bez przecinków,

- do otrzymanego wyniku dopisujemy przecinek w takim miejscu, aby ilość cyfr po przecinku odpowiadała sumie cyfr po przecinku podstawowych liczb:

 

Pierwsza liczba miała 4 cyfry po przecinku. Druga liczba miała 1 cyfrę po przecinku. Wynik musi mieć 5 cyfr po przecinku (4+1=5).

Stąd otrzymujemy:

 

 

Aby pomnożyć powyższe liczby, wykonujemy następujące czynności:

- mnożymy dane liczby bez przecinków,

- do otrzymanego wyniku dopisujemy przecinek w takim miejscu, aby ilość cyfr po przecinku odpowiadała sumie cyfr po przecinku podstawowych liczb:

Pierwsza liczba miała 1 cyfrę po przecinku. Druga liczba miała 3 cyfry po przecinku. Wynik musi mieć 4 cyfr po przecinku (1+3=4).

Stąd otrzymujemy:

 

Aby podzielić powyższe liczby przesuwamy w każdej z liczb o tyle miejsc przecinek w prawo, aby liczba przez którą dzielimy stała się liczbą całkowitą.

 

Oblicz. Jeśli poprawnie rozwiążesz trzy kolejne przykłady ...

Poziom A

 

 

 

 {premium}

 

 

 

 

 

Poziom B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Poziom C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Poziom D

 

 

  

 

 

 

 

 

 

Mistrz

       

 

   

 

  

 

 

 

 

Uzupełnij graf .

w pierwsze puste pole (od lewej) należy wpisać{premium}  

w drugie puste pole (od lewej) należy wpisać  

 

w trzecie puste pole (od lewej) należy wpisać  

Oblicz wartość wyrażenia dla podanych wartości zmiennych.

 

 {premium}