Symetrie - 7-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Symetrie względem prostej

Symetria względem prostej to inaczej odbicie lustrzane względem prostej. Gdy mówimy, że dwie figury są względem siebie symetryczne wówczas od danego punktu jednej figury i punktu mu odpowiadającemu drugiej figury do prostej jest taka sama odległość.

  Zobacz w programie GeoGebra

Przykłady:

  • Przykład symetrii
  • Symetria względem prostej

Oś symetrii figury

Oś symetrii dowolnej figury to taka prosta, która podzieli figurę na dwa symetryczne do siebie kawałki. Figura, która posiada, co najmniej jedną oś symetrii to figura osiowosymetryczna. Niektóre figury mogą nie mieć lub mieć więcej niż jedną oś symetrii!

Przykłady

  • os2
  • os1

Symetralna odcinka

Symetralna odcinka to prosta, która jest prostopadła do danego odcinka i przechodzi przez jego środek.

symetralna

Dwusieczna kąta

Dwusieczna kąta to prosta, która dzieli kąt na dwa jednakowe kąty o jednakowych miarach.

  Zobacz w programie GeoGebra jak konstrukcyjnie narysować dwusieczną kąta


dwusiecznakata

 

Symetria względem punktu

Symetria względem punktu to odbicie lustrzane obrazu względem punktu. Figury są do siebie symetryczne względem punktu, jeżeli prosta przechodząca przez dany punkt przechodzi przez odpowiadające sobie punkty dwóch figur w jednakowych odległościach od punktu. Brzmi trudno, ale oznacza to tylko tyle, że odpowiadające sobie punkty figur są równoodległe od punktu symetrii.

  Zobacz w programie GeoGebra

Przykłady

  • wzgledempunktu
  • wzgledempunktu2

środek symetrii figury

Środek symetrii figury to taki punkt, względem którego wszystkie punkty figury są symetryczne. W przypadku wielokątów wystarczy sprawdzić, czy odpowiednie wierzchołki są symetryczne względem tego punktu. Figura, która posiada środek symetrii to figura środkowosymetryczna.

Przykłady:

  • srodek1
  • srodek2

Symetrie w układzie współrzędnych

W układzie współrzędnych występują 3 symetrie:

  1. Symetria względem początku układu współrzędnych. Wtedy obie współrzędne punktu zmieniają się na przeciwne.

    Przykład:

    • punktem symetrycznym do punktu A (9,4) względem początku układu współrzędnych jest punkt A’ (-9,-4)
  2. Symetria względem osi x. Wtedy tylko druga współrzędna zmienia się na przeciwną, a pierwsza pozostaje bez zmian.

    Przykład:

    • punktem symetrycznym punktu do B (3,1) względem osi x jest punkt B’ (3,-1)
  3. Symetria względem osi y. Wtedy tylko pierwsza współrzędna zmienia się na przeciwną, a pierwsza pozostaje bez zmian.

    Przykład:

    • punktem symetrycznym do punktu C (7,2) względem osi y jest punkt B’ (-7,2)
 

Zadania powtórzeniowe

 

Zadanie 1.

Boki czworokąta mają długości 4 cm, 5 cm, 6 cm i 9 cm. Wielokąt zbudowany z tego czworokąta i jego odbicia symetrycznego względem prostej zawierającej jeden z boków czworokąta ma obwód 40 cm. Jakiej długości bok jest zawarty w osi symetrii?

obwód: 40 cm -> figura i jej odbicie symetryczne

obwód: 20 cm -> figura bez odbicia symetrycznego i bez szukanego boku

Długości których trzech boków mają w sumie 20 cm

z tego wynika, że bok o długości 4 cm jest zawarty w osi symetrii

Odp: Bok o długości 4 cm jest zawarty w osi symetrii.

Zadanie 2.

Podaj współrzędne punktów symetrycznych do punktów: A=(3,-5) ; B=(-1,2) ; C=(-420,0)

  1. względem osi x
  2. względem osi y
  3. względem początku układu współrzędnego [punkt (0,0)]

Gdy punkt jest symetryczny względem osi x, zmienia się jego druga współrzędna na liczbę przeciwną.

Gdy punkt jest symetryczny względem osi y, zmienia się jego pierwsza współrzędna na liczbę przeciwną.

Gdy punkt jest symetryczny względem punktu (0,0), zmieniają się jego obydwie współrzędne na liczby przeciwne.

  1. A=(3,5) ; B=(-1,-2) ; C=(-420,0)
  2. A=(-3,-5) ; B=(1,2) ; C=(420,0)
  3. A=(-3,5) ; B=(1,-2) ; C=(420,0)

Zadanie 3.

Która z figur ma zawsze środek symetrii? Trójkąt równoboczny, prostokąt, trapez czy trójkąt prostokątny?

Środek symetrii ma figura, która po obrocie o 180° względem tego punktu będzie wyglądała tak samo.

Odp.: Z podanych figur środek symetrii ma zawsze prostokąt.

Zadanie 4.

Jakie współrzędne ma punkt będący środkiem symetrii czworokąta o wierzchołkach (-2,4),(0,4),(4,-2) i (2,-2)?

Zadanie 5.

Określ, gdzie położony jest punkt K, jeżeli odcinek symetryczny do odcinka AB względem punktu K:

  1. leży na prostej AB
  2. jest odcinkiem AB
  3. ma jeden punkt wspólny z odcinkiem AB
  1. Odcinek K leży w dowolnym miejscu na prostej AB
  2. Odcinek K leży w połowie odcinka AB
  3. Odcinek K leży na krańcu odcinka AB

Zadanie 6.

Kąt między dwoma bokami trójkąta ma miarę 20°. Pod jakim kątem przecinają się symetralne tych boków?

$$ β $$ -> miara szukanego kąta
Powstaje czworokąt o kątach $$ β, 20°, 90° i 90° $$ . Suma miar kątów w czworokącie wynosi $$ 360° $$ .

$$ β+20°+90°+90°=360° $$
β=160°

Odp.: Symetralne tych boków przecinają się pod kątem $$ 160° $$ .

Spis treści

Rozwiązane zadania
Oblicz obwód i pole figury.

a) `"P"=root(3)(16)*root(3)(4)=root(3)(16*4)=root(3)(64)=4` 

`"Obw."=2*root(3)(16)+2*root(3)(4)=2*root(3)(8*2)+2*root(3)(4)=4root(3)(2)+2root(3)(4)` 

 

b) `"P"=1/2*sqrt20*sqrt5=1/2*sqrt(20*5)=1/2*sqrt100=1/2*10=5` 

`"Obw."=sqrt20+sqrt5+5=sqrt(4*5)+sqrt5+5=2sqrt5+sqrt5+5=3sqrt5+5` 

 

c) `"P"=((sqrt2+sqrt32)*4sqrt2)/2=((sqrt2+sqrt(16*2))*4sqrt2)/2=((sqrt2+4sqrt2)*4sqrt2)/2=(5sqrt2*4sqrt2)/2=(5*4*2)/2=40/2=20` 

`"Obw."=sqrt32+4sqrt2+sqrt2+5sqrt2=sqrt(16*2)+4sqrt2+sqrt2+5sqrt2=4sqrt2+4sqrt2+sqrt2+5sqrt2=14sqrt2` 

 

d) `"P"=1/2*6sqrt3*8sqrt3=1/2*6*8*3=3*8*3=72` 

`"Obw."=sqrt75=sqrt75+sqrt75+sqrt75=4*sqrt75=4*sqrt(25*3)=4*5*sqrt3=20sqrt3` 

 

e) `"P"=((3sqrt5+6sqrt5)*2sqrt5)/2=(9sqrt5*2sqrt5)/2=(9*2*5)/2=9*5=45` 

`"Obw."=6sqrt5+2sqrt10+3sqrt5+5=9sqrt5+2sqrt10+5` 

 

f) `"P"=((sqrt32+2sqrt2)*2)/2=((sqrt(16*2)+2sqrt2)*2)/2=((4sqrt2+2sqrt2)*2)/2=(6sqrt2*2)/2=6sqrt2` 

`"Obw."=2sqrt2+2+sqrt32+2sqrt3=2sqrt2+2+sqrt(16*2)+2sqrt3=2sqrt2+2+4sqrt2+2sqrt3=6sqrt2+2+2sqrt3` 

Jaka była cena towaru przed ogłoszeniem ...

a) Po 20% obniżce towar kosztuje 3,40 zł.

Nowa cena stanowi 80% początkowej ceny.

Szukamy takiej kwoty, której 80% jest równe 3,40 zł.

20% tej kwoty jest równe 0,85 zł (4 razy mniej niż 80%).

Stąd 100% tej kwoty jest równe (5 razy więcej niż 20%):

`5*0,85\ "zł"=4,25\ "zł"` 

 

b) Po 15% obniżce towar kosztuje 212,50 zł.

Nowa cena stanowi 85% początkowej ceny.

Szukamy takiej kwoty, której 85% jest równe 212,50 zł.

5% tej kwoty jest równe 12,50 zł (17 razy mniej niż 85%).

Stąd 100% tej kwoty jest równe (20 razy więcej niż 5%):

`20*12,50\ "zł"=250\ "zł"` 

 

c) Po 40% obniżce towar kosztuje 1944 zł.

Nowa cena stanowi 60% początkowej ceny.

Szukamy takiej kwoty, której 60% jest równe 1944 zł.

20% tej kwoty jest równe 648 zł (3 razy mniej niż 60%).

Stąd 100% tej kwoty jest równe (5 razy więcej niż 20%):

`5*648\ "zł"=3240\ "zł"` 

 

d) Po 70% obniżce towar kosztuje 1410 zł.

Nowa cena stanowi 30% początkowej ceny.

Szukamy takiej kwoty, której 30% jest równe 1410 zł.

10% tej kwoty jest równe 470 zł (3 razy mniej niż 30%).

Stąd 100% tej kwoty jest równe (10 razy więcej niż 10%):

`10*470\ "zł"=4700\ "zł"`  

Przerysuj do zeszytu tabelę...

Obliczmy o ile zł zostały obniżone łyżwy.

`12%*600=12/100*600=12/strike100^1*strike600^6=12*6=72` 

Obliczmy cenę łyżew po obniżce o 72 zł.

`600-72=528` 

 


Obliczmy o ile zł został obniżony kask.

`15%*250=15/100*250=15/strike100^2*strike250^5=15/2*5=75/2=37,5` 

Obliczmy cenę kasku po obniżce o 37,5 zł.

`250-37,5=212,5` 

 


Obliczmy o ile zł został obniżony dres.

`20%*260=20/100*260=20/strike100^10*strike260^26=20/10*26=2*26=52` 

Obliczmy cenę dresu po obniżce o 52 zł.

`260-52=208` 

 


 

Produkt Cena przed obniżką Obniżka Cena po obniżce
łyżwy 600 zł 12% 528 zł
kask 250 zł 15% 212,50 zł
dres 260 zł 20% 208 zł

 

 

Jakim procentem:

a) Obliczamy, jakim procentem 100 zł jest 1 zł 60 gr = 1,6 zł:

`(1,6)/strike100^1*strike100^1%=1,6%`

 

b) Obliczamy, jakim procentem 1 godziny (= 60 min) jest 45 min 30 s = 45,5 min:

`(45,5)/strike60^3*strike100^5%=(227,5)/3%~~75,8%`

 

c) Obliczamy, jakim procentem 1 tony (= 1000 kg) jest 25 kg 25 dag = 25,25 kg:

`(25,25)/strike1000^10*strike100^1%=(25,25)/10%=2,525%~~2,5%`

 

d) Obliczamy, jakim procentem 3450 gramów (= 3,45 kg) są 2 kg 30 dag = 2,3 kg:

`(2,3)/(3,45)*100%=strike230^46/strike345^69*100%~~66,7%`

Pokój ma wymiary 3,52 m x 3,97 m...

`3,52*3,97=13,9744\ "[m"^2]~~14,0\ "[m"^2]=14 \ "[m"^2]`

 

Cena netto pendrive'a wynosi 50 zł...

`a)\ 50+23%*50=50+0,23*50=50+11,50=61,50\ "zł"`

 

`b)`

`"Oznaczmy cenę netto jako x. Cena brutto stanowi 123% ceny netto (100% + 23% VAT)"` 

`123%*x=1722`

`1,23*x=1722`

`x=1722:1,23=172\ 200:123=1400\ "zł"`

 

 

 

Jeden bok prostokąta o polu 36 cm² ma ...

Zamieniamy jednostkę pola z cm2 na mm2:

`36\ "cm"^2=36*10\ "mm"*10\ "mm"=3600\ "mm"^2`

Wyznaczamy długość drugiego boku prostokąta:

`3600\ "mm"^2:4\ "mm"=900\ "mm"=90\ "cm"=0,9\ "m"`

 

ODP: B

Na diagramie przedstawiono procentowy udział...

a) Firma Corn w 2014 r. miała 15 % udziałów, a w 2015 r. 20 % udziałów.

Różnica wynosi 5 punktów procentowych.

Firma Mais w 2014 r. miała 20 % udziałów, a w 2015 e. 15 % udziałów.

Różnica wynosi 5 punktów procentowych.

Firma Kukur w 2014 r. miała 10 % udziałów, a w 2015 r. 25 % udziałów.

Różnica wynosi 15 punktów procentowych. 

Odp. Udziały firmy Corn wzrosły o 5 punktów procentowych, udziały firmy Mais zmalały o 5 punktów procentowych, a udziały firmy Kukur wzrosły o 15 punktów procentowych. 

 

b) Firma Kukur w 2014 r. miała 10 % udziałów, a w 2015 r. 25 % udziałów. 

Najpierw obliczmy różnicę. 

25 % - 10 % = 15 %

Obliczmy jakim procentem udziałów z 2014 r., czyli 10 % jest wynik 15 %.

`(15 %)/(10 %)=15/10=3/2=1,5 \ "czyli" \ 150%` 

Odp. Udział firmy Kukur wzrósł o 150 %.

 

c) Firma Mais w 2014 r. miała 20 % udziałów, a w 2015 e. 15 % udziałów.

Najpierw obliczmy różnicę.

20 % - 15 % = 5 %

Obliczamy jakim procentem udziałów z 2014 r., czyli 20 % jest wynik 5 %.

`(5%)/(20%)=5/20=1/4 \ "czyli" \ 25%` 

Odp. Udział firmy Mais zmalał o 25 %.

Dekan, deken i dekin mają...

Wykorzystajmy ogólne wzory sumaryczne:

Alkany: `C_nH_(2n+2)` 

Alkeny: `C_nH_(2n)` 

Alkiny: `C_nH_(2n-2)` 

 

Jeśli atomów węgla jest dziesięć, to `n=10` 

 

Dekan: `C_(10)H_(22)` 

Deken: `C_(10)H_(20)` 

Dekin: `C_(10)H_(18)` 

Ile cukru trzeba dosypać do 5 kg roztworu ...

Dany jest 10% roztwór cukru o masie 5 kg.

Obliczamy masę cukru w tym roztworze:

`10%*5=0,1*5=0,5 \["kg"]` 

 

Do danego roztworu dosypujemy pewną ilość cukru.

Oznaczmy ilość cukru (w kg), który trzeba dosypać, jako x. 

Wyznaczamy masę cukru w nowym roztworze:

`0,5+x\ ["kg"]`

Masa całego roztworu także się zwiększy i będzie wynosić: 

`5+x\ ["kg"]`

 

Wiemy, że stężenie nowego roztworu ma być równe 25%.

W dalszej części zadania korzystamy ze wzoru na stężenie:

`S=("masa cukru")/("masa roztworu")*100%` 

Korzystając ze wzoru wyznaczamy x:

`(0,5+x)/(5+x)*100%=25%\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |:25%` 

`(0,5+x)/(5+x)*4=1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |*(5+x)`

`(0,5+x)*4=5+x`  

`2+4x=5+x\ \ \ \ \ \ \ \ \  \ \ \ \ |-x`

`2+3x=5\ \ \ \ \ \ \  \ \ \ \ |-2`

`3x=3\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |:3`    

`x=1\ ["kg"]`

 

Odp: Należy dosypać 1 kg cukru.