Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Statystyka - 7-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Odczytywanie danych statystycznych

Statystyka to nauka zajmująca się zbieraniem i opracowywaniem różnego typu danych.

Dane statystyczne są zbierane po przeprowadzeniu wielu badań dotyczących tego samego zjawiska wśród dużej liczby osób.

Dane mogą być przedstawione za pomocą diagramów, tabelek lub też w sposób opisowy.
 

  1. Sposób opisowy

    W 2017 roku na wakacje za granicę wyjechało 50% wszystkich mieszkańców Polski. 30% mieszkańców udało się do Włoch, 10% do Hiszpanii, 4% wybrało Bułgarię a 3% Egipt. Pozostałe 3% mieszkańców wyjechało do krajów innych niż wymienione.

  2. Tabela

    Miejsce wakacji  Procent mieszkańców
    Polska (w kraju) 50%
    Włochy 30%
    Hiszpania 10%
    Bułgaria 4%
    Egipt 3%
    inne 3%


  3. Diagram



 

Średnia i mediana

Średnia arytmetyczna to średni wynik spośród wielu innych wyników.


Sposób obliczania średniej: 

`"średnia"=("suma wyników")/("liczba wyników")` 

Średnia arytmetyczna danego zestawu liczb to iloraz sumy tych liczb przez ich ilość. 

Przykład:

W klasie 7a jest 10 osób. Na koniec roku szkolnego uczniowie tej klasy uzyskali z matematyki następujące oceny: 6, 6, 5, 5, 5, 4, 3, 3, 3, 2. 

Ile wynosiła średnia ocen z matematyki na koniec roku w tej klasie?  

`"średnia"=(6+6+5+5+5+4+3+3+3+2)/10=42/10=4,2` 

Odpowiedź: Średnia ocen z matematyki na koniec roku w tej klasie wynosiła 4,2.


 

Mediana to wynik środkowy uporządkowanego malejąco lub rosnąco zbioru wyników.

  • Jeśli mamy nieparzystą liczbę wyników, to mediana jest wyrazem środkowym. 

  • Jeśli mamy parzystą liczbę wyników, to mediana jest średnią arytmetyczną dwóch środkowych wyrazów. 

 
Przykład:

W klasie 7a jest 10 osób. Na koniec roku szkolnego uczniowie tej klasy uzyskali z matematyki następujące oceny: 6, 6, 5, 5, 5, 4, 3, 3, 3, 2. 

Jaka jest mediana ocen na koniec roku z matematyki w tej klasie?

Oceny ustawiamy w kolejności malejącej: 6, 6, 5, 5, 5, 4, 3, 3, 2. Jest ich 10, czyli parzysta ilość. 

Mediana będzie więc średnią arytmetyczną dwóch środkowych wyników. 

`"mediana"=(5+4)/2=9/2=4,5`  

Odpowiedź: Mediana ocen na koniec roku w tej klasie wynosi 4,5.

Zdarzenia losowe

Z doświadczeniami losowymi mamy do czynienia na co dzień. Rzut monetą, rzut sześcienną kostką do gry, wygrana na loterii czy numer nadjeżdżającego autobusu to tylko kilka z nich.

Zdarzenie losowe to pewna sytuacja możliwa do uzyskania podczas danego doświadczenia losowego, np. wyrzucenie parzystej liczby oczek na kostce do gry. 

W zdarzeniach losowych prawdopodobieństwo (oznaczmy go literą P) nastąpienia sytuacji, która nas interesuje oblicza się bardzo prosto (o ile każda z sytuacji jest jednakowo prawdopodobna). Jest to iloraz ilości sytuacji nas interesujących (np. autobusy nam odpowiadające) (ich ilość oznaczmy literą n) i ilości wszystkich możliwych sytuacji (np. wszystkie autobusy) (ich ilość oznaczmy literą N).

`P=n/N` 


Przykładowe zadania:

Zadanie 1.

Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowanie króla z talii 52 kart?

Wiemy, że w talii są 52 karty. W całej talii są 4 króle. 

Wszystkich możliwych wyników jest więc 52. Liczba interesujących nas wyników to 4. 

Prawdopodobieństwo (p) tego zdarzenia wynosi:

`p=4/52=1/13` 

Odpowiedź: Prawdopodobieństwo, że wylosujemy króla wynosi `1/13`

Zadanie 2.

Stoimy na przystanku. Na tym przystanku zatrzymuje się łącznie 8 autobusów. My możemy jechać tylko autobusem numer 234 oraz 123. Nadjeżdża autobus. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że będzie to jeden z autobusów, którymi możemy pojechać?


Wszystkich możliwych wyników jest 8. Liczba interesujących nas wyników to 2. 

Prawdopodobieństwo (p) tego zdarzenia wynosi:

`p=2/8=1/4`  

Odpowiedź: Prawdopodobieństwo nadjechania autobusu, który nam odpowiada wynosi `1/4`.

Zadanie 3.

Rzucamy dwa razy sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo, że suma oczek wyniesie 6.

Rzucając kostką dwukrotnie otrzymujemy 36 róznych kombinacji. Przedstawione są one na tabelce:

tabela

Liczby, które spełniają nasz warunek (suma wynosi 6) zostały pogrubione. Jest ich w sumie 5. 

Wszystkich możliwych wyników jest 36. Liczba interesujących nas wyników to 5. 

Prawdopodobieństwo (p) tego zdarzenia wynosi:

`p=5/36`  

Odpowiedź: Prawdopodobieństwo wynosi `5/36`


Zadanie 4.

Ze zbioru liczb 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ..., 19, 20 wybieramy losowo jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo, że wylosowana liczba jest podzielna przez 3.

Ze zbioru liczb 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ..., 19, 20 (jest ich w sumie 20) wypisujemy wszystkie liczby podzielne przez 3, czyli: 3, 6, 9, 12, 15, 18. Jest ich w sumie 6. 

Wszystkich możliwych wyników jest 20. Liczba interesujących nas wyników to 6. 

Prawdopodobieństwo (p) tego zdarzenia wynosi: 
 
`p=6/20=3/10` 

Odpowiedź: Prawdopodobieństwo w tym przypadku wynosi `3/10`

Zadanie 5.

Rzucamy 2 razy monetą. Oblicz prawdopodobieństwo, że dwa razy wypadnie reszka.

Na początek musimy wypisać wszystkie możliwe kombinacje rzutów tak więc: 

  • Orzeł i Orzeł
  • Orzeł i Reszka
  • Reszka i Reszka
  • Reszka i Orzeł

Pogrubiona została kombinacja, która spełnia nasz warunek. 

Wszystkich możliwych wyników jest 4. Liczba interesujących nas wyników to 1. 

Prawdopodobieństwo (p) tego zdarzenia wynosi:

`p=1/4`  
Odpowiedź: Prawdopodobieństwo w tym przypadku wynosi `1/4` . 

 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Oblicz średnią liczb: 1,2,4,5,3,4,2,3,4,5,2,1.

$$ Śr= {1+2+4+5+3+4+2+3+4+5+2+1}/12={36}/{12}=3 $$

Odp.: Średnia tych liczb wynosi 3.

Zadanie 2.

Oblicz medianę liczb: 1,2,2,3,4,4,5,6,7,12,45,55.

Jest parzysta ilość cyfr, więc należy obliczyć średnią dwóch środkowych liczb.

$${4+5}/2=9/2=4,5$$

Odp.: Mediana tych liczb wynosi 4,5.

Zadanie 3.

Rzucasz jedną sześcienną kostką do gry. Oblicz, jakie jest prawdopodobieństwo, że wynik będzie:

  1. parzysty
  2. nieparzysty
  3. liczbą podzielną przez 3

W sumie może być 6 wyników.

  1. parzystych możliwości jest 3 -> prawdopodobieństwo: $$3/6=1/2$$
  2. nieparzystych możliwości jest 3 -> prawdopodobieństwo: $$3/6=1/2$$
  3. liczb podzielnych przez 3 jest 2 -> prawdopodobieństwo: $$2/6=1/3$$

Zadanie 4.

W klasie Stasia i Małgosi jest 36 osób. Staś ma numer w dzienniku 17, a Małgosia 12. Stasio zaproponował nauczycielowi, że przed każdym wezwaniem do tablicy będzie rzucał dwiema sześciennymi kostkami do gry. Iloczyn wyrzuconych oczek będzie wyznaczał osobę z tym numerem w dzienniku do odpowiedzi. Małgosia natomiast zaprotestowała twierdząc, że to niesprawiedliwe. Wyjaśnij, dlaczego Małgosia uważa, że to niesprawiedliwe i dlaczego ma wyjść na tym najgorzej?

Nie jest to sprawiedliwy sposób, ponieważ każda liczba w dzienniku ma inną liczbę dzielników, przez co jest mniej lub bardziej prawdopodobne wylosowania tej osoby. Niektórych numerów nie będzie można wcale wyznaczyć. Na przykład, numer Stasia 17, można uzyskać tylko poprzez pomnożenia 1 i 17, a takie liczby nie występują na kostkach do gry. Natomiast numer Małgosi można uzyskać poprzez pomnożenie największej ilości kombinacji cyfr.

$$12$$ -> $$2×6$$; $$3×4$$; $$4×3$$; $$6×2$$

$$17$$ -> $$1×17$$

Zadanie 5.

Jakie jest prawdopodobieństwo, że z pomiędzy damy trefl, damy pik i króla trefl wylosujemy damę?

wszystkie możliwe karty -> 3

ilość dam -> 2

prawdopodobieństwo -> $$2/3$$

Odp.: Prawdopodobieństwo wylosowania damy jest równe $$2/3$$.

Zadanie 6.

Ułóż taki zestaw 5 liczb, w którym średnia będzie równa medianie.

Zaczynam od ustalenia sobie średniej i mediany. Wybieram sobie 3.

Tak na razie wygląda ciąg moich liczb: --3--.

Następnie wybieram takie liczby by 1 i 5 oraz 2 i 4 dawały średnią 3. Należy pamiętać, że 1 i 2 nie może być większe od 3, a 4 i 5 nie może być mniejsze od 3.

Tak wyglądają przykładowe liczby: 1,3,3,3,5 lub 1,2,3,4,5.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wiedząc, że ...

`2^10=1024` 


`(-2)^10=2^10=1024` 
`ul(ul( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

`-2^10=-1*2^10=-1*1024=-1024` 
`ul(ul( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

`(-1/2)^10=(1/2)^10=#((1/2)*(1/2)*...*(1/2))_(_(10 \ razy))=` `\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =(1^10)/(2^10)=1/1024`     
`ul(ul( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

`-0,5^10=-1*0,5^10=-1*1/1024=-1/1024`  
`ul(ul( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 


`(-0,5)^10=0,5^10=1/1024` 
`ul(ul( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

23=(2∙2)∙2=22∙2
24=(2∙2∙2)∙2=23∙2

`2^11=2^10*2=1024*2=2048` 

`ul(ul( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

`2^3=2^4/2=(2*2*2*strike2^1)/strike2^1=2*2*2`       

`2^9=2^10:2=1024:2=512` 

W tabeli podane cztery liczby...

I. `-(-3^2)=-(-9)=9` {premium}

II. `-(-3)^3=-(-27)=27` 

III. `(-2)^3*(-2)^4=(-8)*16=-128` 

IV. `-(-2)^3*(-2^4)=-(-8)*(-16)=8*(-16)=-128` 

 

Odp. B

Ola ma 12 lat, jej brat Bartek jest od niej o 2 lata młodszy...
Imię  Liczba lat obecnie Wiek za 4 lata
Ola 12 lat 16 lat
Bartek 10 lat 14 lat


Układamy równanie:   12+x+10+x=30

Rozwiązujemy równanie: 12+x+10+x=30

                                     22+2x=30    |:-22

                                      2x=8    |:4

                                       x=4


Sprawdzamy rozwiązanie równania z warunkami zadania:

        L= 12+4+10+4=30

        P=30

        L=P


Odpowiedź: Ola i jej brat będą mieli razem 30 lat za 4 lata.

Suma długości krawędzi sześcianu ...

Sześcian ma 12 krawędzi równej długości.

Oznaczmy długość krawędzi sześcianu jako x. Mamy wówczas równanie:{premium}

`12x=240` 

`x=20\ ["cm"]` 

 

Krawędź sześcianu ma 20 cm długości.

Obliczamy objętość sześcianu:

`V=x^3=20^3=8000\ ["cm"^3]` 

 

`8000\ "cm"^3=8000*1\ "cm"^3=8000*0,001\ "dm"^3=8\ "dm"^3=8\ "l"` 

 

Odp: Objętość sześcianu wynosi 8000 cm3, czyli 8 litrów. 

Jednomian 9x³ y² przedstaw na cztery różne sposoby

`9x^3y^2=9x*x^2y^2`

`9x^3y^2=9x^3*y^2`

`9x^3y^2=3xy*3x^2y`

`9x^3y^2=9y^2*x^3`

Wypisz do zeszytu z rysunku kilka par...

Pary odcinków prostopadłych:

`AB_|_DI` 

`GH_|_GJ` 

`IJ_|_EB` 

`DE_|_CH`   

 

Pary odcinków równoległych:

`BC"||"FH` 

`JK"||AB"` 

`KH"||"DI`     

`AB"||IJ"`   

W akcji Góra grosza zebrano ...

W akcji "Góra grosza" zebrano 1 652 727, 94 zł.

Na pomoc dla dzieci przeznaczono 1 352 908,43 zł.

 

a) Zapisujemy liczby z dokładnością do tysięcy złotych:{premium}

`1\ 652\ ul(7)27,94~~1\ 653\ 000` 

`1\ 352\ ul(9)08,43~~1\ 353\ 000`       

 

b) Zapisujemy liczby z dokładnością do dziesiątek tysięcy złotych:

`1\ 65ul(2)\ 727,94~~1\ 650\ 000`  

`1\ 35ul(2)\ 908,43~~1\ 350\ 000`  

Rozwiąż równania.

`"a)"\ 15^(2x)*15^3=15^(2x+3)`  

Zatem:

`15^(2x+3)=15^13`  

Porównujemy wykładniki potęg po obu stronach równania i wnioskujemy, że 

`2x+3=13` 

Rozwiązujemy równanie:

`2x=10\ "/":2` 

`x=5` 

Odp. Rozwiązaniem równania jest liczba `5.`     

 

`"b)"\ 7^24:7^(2x)=7^(24-2x)`  

Zatem:

`7^(24-2x)=7^4`  

Porównujemy wykładniki potęg po obu stronach równania i wnioskujemy, że 

`24-2x=4` 

Rozwiązujemy równanie:

`2x=20\ "/":2` 

`x=10` 

Odp. Rozwiązaniem równania jest liczba `10.` 

 

`"c)"\ 9^4*9^(3x-4)=9^(3x)`  

Zatem:

`9^(3x)=9^15`  

Porównujemy wykładniki potęg po obu stronach równania i wnioskujemy, że 

`3x=15` 

Rozwiązujemy równanie:

`3x=15\ "/":3` 

`x=5` 

Odp. Rozwiązaniem równania jest liczba `5.` 

 

`"d)"\ 13^(2x+7):13^7=13^(2x)`  

Zatem:

`13^(2x)=13^6`  

Porównujemy wykładniki potęg po obu stronach równania i wnioskujemy, że 

`2x=6` 

Rozwiązujemy równanie:

`2x=6\ "/":2` 

`x=3` 

Odp. Rozwiązaniem równania jest liczba `3.` 

 

`"e)"\ 41^(3x)/41^x=41^(2x)`  

Zatem:

`41^2x=41^8`  

Porównujemy wykładniki potęg po obu stronach równania i wnioskujemy, że 

`2x=8` 

Rozwiązujemy równanie:

`2x=8\ "/":2` 

`x=4` 

Odp. Rozwiązaniem równania jest liczba `4.` 

 

`"f)"\ 6^x*6^12=6^(x+12)`  

Zatem:

`6^(x+12)=6^2x`  

Porównujemy wykładniki potęg po obu stronach równania i wnioskujemy, że 

`x+12=2x` 

Rozwiązujemy równanie:

`x=12` 

Odp. Rozwiązaniem równania jest liczba `12.` 

Narysuj prostą oraz po dwa punkty leżące ...

Rysujemy prostą k.

Poza prostą zaznaczamy po dwa punkty: A i B (nad prostą k) oraz C i D (pod prostą k).

Aby wyznaczyć odległość punktu od prostej mierzymy najkrótszy odcinek łączący punkt z prostą.

Najkrótszy odcinek poprowadzony jest zawsze pod kątem prostym.

Iloczynem liczb 2 ¹/₇ i 4,8 jest

ODP: B

 

`2 1/7*4,8=strike15^3/7*48/strike10^2=3/7*strike48^24/strike2^1=72/7=10 2/7`