Statystyka - 7-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Odczytywanie danych statystycznych

Statystyka to nauka zajmująca się zbieraniem i opracowywaniem różnego typu danych.

Dane statystyczne są zbierane po przeprowadzeniu wielu badań dotyczących tego samego zjawiska wśród dużej liczby osób.

Dane mogą być przedstawione za pomocą diagramów, tabelek lub też w sposób opisowy.
 

  1. Sposób opisowy

    W 2017 roku na wakacje za granicę wyjechało 50% wszystkich mieszkańców Polski. 30% mieszkańców udało się do Włoch, 10% do Hiszpanii, 4% wybrało Bułgarię a 3% Egipt. Pozostałe 3% mieszkańców wyjechało do krajów innych niż wymienione.

  2. Tabela

    Miejsce wakacji  Procent mieszkańców
    Polska (w kraju) 50%
    Włochy 30%
    Hiszpania 10%
    Bułgaria 4%
    Egipt 3%
    inne 3%


  3. Diagram



 

Średnia i mediana

Średnia arytmetyczna to średni wynik spośród wielu innych wyników.


Sposób obliczania średniej: 

`"średnia"=("suma wyników")/("liczba wyników")` 

Średnia arytmetyczna danego zestawu liczb to iloraz sumy tych liczb przez ich ilość. 

Przykład:

W klasie 7a jest 10 osób. Na koniec roku szkolnego uczniowie tej klasy uzyskali z matematyki następujące oceny: 6, 6, 5, 5, 5, 4, 3, 3, 3, 2. 

Ile wynosiła średnia ocen z matematyki na koniec roku w tej klasie?  

`"średnia"=(6+6+5+5+5+4+3+3+3+2)/10=42/10=4,2` 

Odpowiedź: Średnia ocen z matematyki na koniec roku w tej klasie wynosiła 4,2.


 

Mediana to wynik środkowy uporządkowanego malejąco lub rosnąco zbioru wyników.

  • Jeśli mamy nieparzystą liczbę wyników, to mediana jest wyrazem środkowym. 

  • Jeśli mamy parzystą liczbę wyników, to mediana jest średnią arytmetyczną dwóch środkowych wyrazów. 

 
Przykład:

W klasie 7a jest 10 osób. Na koniec roku szkolnego uczniowie tej klasy uzyskali z matematyki następujące oceny: 6, 6, 5, 5, 5, 4, 3, 3, 3, 2. 

Jaka jest mediana ocen na koniec roku z matematyki w tej klasie?

Oceny ustawiamy w kolejności malejącej: 6, 6, 5, 5, 5, 4, 3, 3, 2. Jest ich 10, czyli parzysta ilość. 

Mediana będzie więc średnią arytmetyczną dwóch środkowych wyników. 

`"mediana"=(5+4)/2=9/2=4,5`  

Odpowiedź: Mediana ocen na koniec roku w tej klasie wynosi 4,5.

Zdarzenia losowe

Z doświadczeniami losowymi mamy do czynienia na co dzień. Rzut monetą, rzut sześcienną kostką do gry, wygrana na loterii czy numer nadjeżdżającego autobusu to tylko kilka z nich.

Zdarzenie losowe to pewna sytuacja możliwa do uzyskania podczas danego doświadczenia losowego, np. wyrzucenie parzystej liczby oczek na kostce do gry. 

W zdarzeniach losowych prawdopodobieństwo (oznaczmy go literą P) nastąpienia sytuacji, która nas interesuje oblicza się bardzo prosto (o ile każda z sytuacji jest jednakowo prawdopodobna). Jest to iloraz ilości sytuacji nas interesujących (np. autobusy nam odpowiadające) (ich ilość oznaczmy literą n) i ilości wszystkich możliwych sytuacji (np. wszystkie autobusy) (ich ilość oznaczmy literą N).

`P=n/N` 


Przykładowe zadania:

Zadanie 1.

Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowanie króla z talii 52 kart?

Wiemy, że w talii są 52 karty. W całej talii są 4 króle. 

Wszystkich możliwych wyników jest więc 52. Liczba interesujących nas wyników to 4. 

Prawdopodobieństwo (p) tego zdarzenia wynosi:

`p=4/52=1/13` 

Odpowiedź: Prawdopodobieństwo, że wylosujemy króla wynosi `1/13`

Zadanie 2.

Stoimy na przystanku. Na tym przystanku zatrzymuje się łącznie 8 autobusów. My możemy jechać tylko autobusem numer 234 oraz 123. Nadjeżdża autobus. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że będzie to jeden z autobusów, którymi możemy pojechać?


Wszystkich możliwych wyników jest 8. Liczba interesujących nas wyników to 2. 

Prawdopodobieństwo (p) tego zdarzenia wynosi:

`p=2/8=1/4`  

Odpowiedź: Prawdopodobieństwo nadjechania autobusu, który nam odpowiada wynosi `1/4`.

Zadanie 3.

Rzucamy dwa razy sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo, że suma oczek wyniesie 6.

Rzucając kostką dwukrotnie otrzymujemy 36 róznych kombinacji. Przedstawione są one na tabelce:

tabela

Liczby, które spełniają nasz warunek (suma wynosi 6) zostały pogrubione. Jest ich w sumie 5. 

Wszystkich możliwych wyników jest 36. Liczba interesujących nas wyników to 5. 

Prawdopodobieństwo (p) tego zdarzenia wynosi:

`p=5/36`  

Odpowiedź: Prawdopodobieństwo wynosi `5/36`


Zadanie 4.

Ze zbioru liczb 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ..., 19, 20 wybieramy losowo jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo, że wylosowana liczba jest podzielna przez 3.

Ze zbioru liczb 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ..., 19, 20 (jest ich w sumie 20) wypisujemy wszystkie liczby podzielne przez 3, czyli: 3, 6, 9, 12, 15, 18. Jest ich w sumie 6. 

Wszystkich możliwych wyników jest 20. Liczba interesujących nas wyników to 6. 

Prawdopodobieństwo (p) tego zdarzenia wynosi: 
 
`p=6/20=3/10` 

Odpowiedź: Prawdopodobieństwo w tym przypadku wynosi `3/10`

Zadanie 5.

Rzucamy 2 razy monetą. Oblicz prawdopodobieństwo, że dwa razy wypadnie reszka.

Na początek musimy wypisać wszystkie możliwe kombinacje rzutów tak więc: 

  • Orzeł i Orzeł
  • Orzeł i Reszka
  • Reszka i Reszka
  • Reszka i Orzeł

Pogrubiona została kombinacja, która spełnia nasz warunek. 

Wszystkich możliwych wyników jest 4. Liczba interesujących nas wyników to 1. 

Prawdopodobieństwo (p) tego zdarzenia wynosi:

`p=1/4`  
Odpowiedź: Prawdopodobieństwo w tym przypadku wynosi `1/4` . 

 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Oblicz średnią liczb: 1,2,4,5,3,4,2,3,4,5,2,1.

$$ Śr= {1+2+4+5+3+4+2+3+4+5+2+1}/12={36}/{12}=3 $$

Odp.: Średnia tych liczb wynosi 3.

Zadanie 2.

Oblicz medianę liczb: 1,2,2,3,4,4,5,6,7,12,45,55.

Jest parzysta ilość cyfr, więc należy obliczyć średnią dwóch środkowych liczb.

$${4+5}/2=9/2=4,5$$

Odp.: Mediana tych liczb wynosi 4,5.

Zadanie 3.

Rzucasz jedną sześcienną kostką do gry. Oblicz, jakie jest prawdopodobieństwo, że wynik będzie:

  1. parzysty
  2. nieparzysty
  3. liczbą podzielną przez 3

W sumie może być 6 wyników.

  1. parzystych możliwości jest 3 -> prawdopodobieństwo: $$3/6=1/2$$
  2. nieparzystych możliwości jest 3 -> prawdopodobieństwo: $$3/6=1/2$$
  3. liczb podzielnych przez 3 jest 2 -> prawdopodobieństwo: $$2/6=1/3$$

Zadanie 4.

W klasie Stasia i Małgosi jest 36 osób. Staś ma numer w dzienniku 17, a Małgosia 12. Stasio zaproponował nauczycielowi, że przed każdym wezwaniem do tablicy będzie rzucał dwiema sześciennymi kostkami do gry. Iloczyn wyrzuconych oczek będzie wyznaczał osobę z tym numerem w dzienniku do odpowiedzi. Małgosia natomiast zaprotestowała twierdząc, że to niesprawiedliwe. Wyjaśnij, dlaczego Małgosia uważa, że to niesprawiedliwe i dlaczego ma wyjść na tym najgorzej?

Nie jest to sprawiedliwy sposób, ponieważ każda liczba w dzienniku ma inną liczbę dzielników, przez co jest mniej lub bardziej prawdopodobne wylosowania tej osoby. Niektórych numerów nie będzie można wcale wyznaczyć. Na przykład, numer Stasia 17, można uzyskać tylko poprzez pomnożenia 1 i 17, a takie liczby nie występują na kostkach do gry. Natomiast numer Małgosi można uzyskać poprzez pomnożenie największej ilości kombinacji cyfr.

$$12$$ -> $$2×6$$; $$3×4$$; $$4×3$$; $$6×2$$

$$17$$ -> $$1×17$$

Zadanie 5.

Jakie jest prawdopodobieństwo, że z pomiędzy damy trefl, damy pik i króla trefl wylosujemy damę?

wszystkie możliwe karty -> 3

ilość dam -> 2

prawdopodobieństwo -> $$2/3$$

Odp.: Prawdopodobieństwo wylosowania damy jest równe $$2/3$$.

Zadanie 6.

Ułóż taki zestaw 5 liczb, w którym średnia będzie równa medianie.

Zaczynam od ustalenia sobie średniej i mediany. Wybieram sobie 3.

Tak na razie wygląda ciąg moich liczb: --3--.

Następnie wybieram takie liczby by 1 i 5 oraz 2 i 4 dawały średnią 3. Należy pamiętać, że 1 i 2 nie może być większe od 3, a 4 i 5 nie może być mniejsze od 3.

Tak wyglądają przykładowe liczby: 1,3,3,3,5 lub 1,2,3,4,5.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Zmieszano 200 mililitrów śmietany o zawartości 18% tłuszczu ...

ODP: B

 

Obliczamy, ile procent tłuszczu zawiera 200 ml śmietany 18%:

 

Obliczamy, ile procent tłuszczu zawiera 0,3 l = 300 ml śmietany 30%:

 

Obliczamy, ile mililitrów tłuszczu zawiera zmieszana śmietana:

Obliczamy ilość otrzymanej śmietany:

 

Obliczamy, ile procent tłuszczu zawiera otrzymana śmietana: 

Druga część różnicy liczb 4x i 8y

Druga część różnicy liczb 4x i 8y:

 

Druga część różnicy liczb 4x i 8y pomniejszona dwukrotnie: 

 

Teraz sprawdzamy, czy podane odpowiedzi są poprawne:

 

 

Wszystkie podane odpowiedzi są poprawne. 

 

 

Na pewnej wystawie zgromadzono 84 dzieła sztuki:

a) x -liczba rzeźb
2x -liczba obrazów 
2∙2x=4x -liczba fotografii
Łącznie były 84 dzieła. 

Równanie ma postać:
 

Rozwiązujemy równanie. 
 
 
 

Na wystawie było 12 rzeźb. 
 


b) x -czas trwania pierwszej części (w min)
x+30 -czas trwania drugiej części (w min) [bo pierwsza jest o 30 min od niej krótsza]
x-5 -czas trwania trzeciej części (w min) [bo pierwsza jest o 5 min dłuższa]
Łącznie film trwa  6 godzin i 10 min, czyli 370 min (6∙60min+10min=360min+10min=370min). 

Równanie ma postać:
 

Rozwiązujemy równanie. 
 
 
`3x=345 \ \ \ \ \ \ \ |:3` 
 

Pierwsza część trwa 115 min.

Druga część trwa 145 min.

Trzecia część trwa 110 min. 
 


c)  
  

Równanie ma postać:
 

Rozwiązujemy równanie. 
 
`4x+2=14 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |-2` 
 
 

Przejazd między pierwszym, a drugim przystankiem trwa 3 minuty. 

Pewien milioner przekazał na cele dobroczynne...


Oznaczmy wielkość całego majątku jako x.{premium} 

  

Wykonaj działania a) (2x-3)-(x+5)+(x+4)

a)   {premium}

b)   

c)    

d)   

Spośród podanych krajów najmniej studentów na...

Spośród podanych krajów najmniej studentów na 10 000 ludności jest w USA.



Odp. B

Zmieszano 3 litry octu 6 - procentowego ...

Obliczamy, ile czystego octu znajduje się w 3 litrach octu 6 - procentowego:

 {premium}

Obliczamy, ile czystego octu znajduje się w 7 litrach octu 10 - procentowego:

 

 

Obliczamy, ile octu otrzymano po zmieszaniu obu roztworów:

 

Obliczamy, ile czystego octu znajduje się w otrzymanym roztworze:

 

Obliczamy, ilu procentowy ocet otrzymano:

  

 

Prawidłowa odpowiedź : D

W układzie współrzędnych zaznaczone są punkty

Jeżeli punkty leżą na osi x, to znaczy, że nie można nimi "ruszać" w górę ani w dół (za to odpowiedzialna jest druga współrzędna). Zatem druga współrzędna punktów musi być równa 0. Punkty B i G mają drugą współrzędną różną od 0, więc nie leżą na osi x. Podane zdanie jest więc fałszywe, więc należy zaznaczyć odpowiedź A. 

 

 

Odcięta to pierwsza współrzędna. Punkty B ma pierwszą współrzędną równą0, punkt D ma pierwszą współrzędną dodatnią, więc podane zdanie jest fałszywe, czyli należy zaznaczyć odpowiedź B. 

 

 

 

Jeżeli punkty leżą na osi y, to znaczy, że nie można nimi "ruszać" w prawo ani lewo (za to odpowiedzialna jest pierwsza współrzędna). Zatem pierwsza współrzędna punktów musi być równa 0. Punkty A i F mają pierwszą współrzędną różną od 0, więc nie leżą na osi y. Podane zdanie jest więc fałszywe, więc należy zaznaczyć odpowiedź C. 

 

 

Rzędna to druga współrzędna. Punkty E i G rzeczywiście mają drugą współrzędną dodatnią, więc podane zdanie jest prawdziwe - nie należy zaznaczać odpowiedzi D. 

 

 

Pewną sumę pieniędzy podzielono...

Liczymy ile procent stanowi V część:

{premium}

Różnica pomiędzy najmniejsżą i największą to:

 

 

więc

 

czyli:

 

 

Odp. Dzielono kwotę 950 zł.

Jaka jest setna cyfra po przecinku danej liczby?

 

Setna cyfra po przecinku to 7

 

 

Na nieparzystych miejscach (po przecinku) znajduje się cyfra 2.

Na parzystych miejscach (po przecinku) znajduje się cyfra 1.

Setne miejsce zajmuje miejsce parzyste, więc na setnym miejscu znajduje się cyfra 1

 

  

Na pierwszym, czwartym, siódmym itd. miejscu (po przecinku) znajduje się cyfra 3 - numer miejsca to liczba dająca resztę 1 przy dzieleniu przez 3. 

Na drugim, piątym, ósmym itd. miejscu (po przecinku) znajduje się cyfra 1 - numer miejsca to liczba dająca resztę 2 przy dzieleniu przez 3. 

Na trzecim, szóstym, dziewiątym itd. miejscu (po przecinku) znajduje się cyfra 4 - numer miejsca to liczba podzielna przez 3. 

Sprawdzamy, jaką resztę przy dzieleniu przez 3 daje liczba 100:

  

Stąd na setnym miejscu znajduje się cyfra 3

 

  

Dla miejsc od trzeciego w górę: 

Na trzecim, siódmym, jedenastym itd. miejscu (po przecinku) znajduje się cyfra 3 - numer miejsca to liczba dająca resztę 3 przy dzieleniu przez 4

Na czwartym, ósmym, dwunastym itd. miejscu (po przecinku) znajduje się cyfra 8 - numer miejsca to liczba podzielna przez 4

Na piątym, dziewiątym, trzynastym itd. miejscu (po przecinku) znajduje się cyfra 7 - numer miejsca to liczba dająca resztę 1 przy dzieleniu przez 4

Na szóstym, dziesiątym, czternastym itd. miejscu (po przecinku) znajduje się cyfra 2- numer miejsca to liczba dająca resztę 2 przy dzieleniu przez 4

Sprawdzamy, jaką resztę przy dzieleniu przez 4 daje liczba 100:

  

Stąd na setnym miejscu znajduje się cyfra 8