Statystyka - 7-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Statystyka - 7-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Odczytywanie danych statystycznych

Statystyka to nauka zajmująca się zbieraniem i opracowywaniem różnego typu danych.

Dane statystyczne są zbierane po przeprowadzeniu wielu badań dotyczących tego samego zjawiska wśród dużej liczby osób.

Dane mogą być przedstawione za pomocą diagramów, tabelek lub też w sposób opisowy.
 

  1. Sposób opisowy

    W 2017 roku na wakacje za granicę wyjechało 50% wszystkich mieszkańców Polski. 30% mieszkańców udało się do Włoch, 10% do Hiszpanii, 4% wybrało Bułgarię a 3% Egipt. Pozostałe 3% mieszkańców wyjechało do krajów innych niż wymienione.

  2. Tabela

    Miejsce wakacji  Procent mieszkańców
    Polska (w kraju) 50%
    Włochy 30%
    Hiszpania 10%
    Bułgaria 4%
    Egipt 3%
    inne 3%


  3. Diagram



 

Średnia i mediana

Średnia arytmetyczna to średni wynik spośród wielu innych wyników.


Sposób obliczania średniej: 

`"średnia"=("suma wyników")/("liczba wyników")` 

Średnia arytmetyczna danego zestawu liczb to iloraz sumy tych liczb przez ich ilość. 

Przykład:

W klasie 7a jest 10 osób. Na koniec roku szkolnego uczniowie tej klasy uzyskali z matematyki następujące oceny: 6, 6, 5, 5, 5, 4, 3, 3, 3, 2. 

Ile wynosiła średnia ocen z matematyki na koniec roku w tej klasie?  

`"średnia"=(6+6+5+5+5+4+3+3+3+2)/10=42/10=4,2` 

Odpowiedź: Średnia ocen z matematyki na koniec roku w tej klasie wynosiła 4,2.


 

Mediana to wynik środkowy uporządkowanego malejąco lub rosnąco zbioru wyników.

  • Jeśli mamy nieparzystą liczbę wyników, to mediana jest wyrazem środkowym. 

  • Jeśli mamy parzystą liczbę wyników, to mediana jest średnią arytmetyczną dwóch środkowych wyrazów. 

 
Przykład:

W klasie 7a jest 10 osób. Na koniec roku szkolnego uczniowie tej klasy uzyskali z matematyki następujące oceny: 6, 6, 5, 5, 5, 4, 3, 3, 3, 2. 

Jaka jest mediana ocen na koniec roku z matematyki w tej klasie?

Oceny ustawiamy w kolejności malejącej: 6, 6, 5, 5, 5, 4, 3, 3, 2. Jest ich 10, czyli parzysta ilość. 

Mediana będzie więc średnią arytmetyczną dwóch środkowych wyników. 

`"mediana"=(5+4)/2=9/2=4,5`  

Odpowiedź: Mediana ocen na koniec roku w tej klasie wynosi 4,5.

Zdarzenia losowe

Z doświadczeniami losowymi mamy do czynienia na co dzień. Rzut monetą, rzut sześcienną kostką do gry, wygrana na loterii czy numer nadjeżdżającego autobusu to tylko kilka z nich.

Zdarzenie losowe to pewna sytuacja możliwa do uzyskania podczas danego doświadczenia losowego, np. wyrzucenie parzystej liczby oczek na kostce do gry. 

W zdarzeniach losowych prawdopodobieństwo (oznaczmy go literą P) nastąpienia sytuacji, która nas interesuje oblicza się bardzo prosto (o ile każda z sytuacji jest jednakowo prawdopodobna). Jest to iloraz ilości sytuacji nas interesujących (np. autobusy nam odpowiadające) (ich ilość oznaczmy literą n) i ilości wszystkich możliwych sytuacji (np. wszystkie autobusy) (ich ilość oznaczmy literą N).

`P=n/N` 


Przykładowe zadania:

Zadanie 1.

Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowanie króla z talii 52 kart?

Wiemy, że w talii są 52 karty. W całej talii są 4 króle. 

Wszystkich możliwych wyników jest więc 52. Liczba interesujących nas wyników to 4. 

Prawdopodobieństwo (p) tego zdarzenia wynosi:

`p=4/52=1/13` 

Odpowiedź: Prawdopodobieństwo, że wylosujemy króla wynosi `1/13`

Zadanie 2.

Stoimy na przystanku. Na tym przystanku zatrzymuje się łącznie 8 autobusów. My możemy jechać tylko autobusem numer 234 oraz 123. Nadjeżdża autobus. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że będzie to jeden z autobusów, którymi możemy pojechać?


Wszystkich możliwych wyników jest 8. Liczba interesujących nas wyników to 2. 

Prawdopodobieństwo (p) tego zdarzenia wynosi:

`p=2/8=1/4`  

Odpowiedź: Prawdopodobieństwo nadjechania autobusu, który nam odpowiada wynosi `1/4`.

Zadanie 3.

Rzucamy dwa razy sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo, że suma oczek wyniesie 6.

Rzucając kostką dwukrotnie otrzymujemy 36 róznych kombinacji. Przedstawione są one na tabelce:

tabela

Liczby, które spełniają nasz warunek (suma wynosi 6) zostały pogrubione. Jest ich w sumie 5. 

Wszystkich możliwych wyników jest 36. Liczba interesujących nas wyników to 5. 

Prawdopodobieństwo (p) tego zdarzenia wynosi:

`p=5/36`  

Odpowiedź: Prawdopodobieństwo wynosi `5/36`


Zadanie 4.

Ze zbioru liczb 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ..., 19, 20 wybieramy losowo jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo, że wylosowana liczba jest podzielna przez 3.

Ze zbioru liczb 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ..., 19, 20 (jest ich w sumie 20) wypisujemy wszystkie liczby podzielne przez 3, czyli: 3, 6, 9, 12, 15, 18. Jest ich w sumie 6. 

Wszystkich możliwych wyników jest 20. Liczba interesujących nas wyników to 6. 

Prawdopodobieństwo (p) tego zdarzenia wynosi: 
 
`p=6/20=3/10` 

Odpowiedź: Prawdopodobieństwo w tym przypadku wynosi `3/10`

Zadanie 5.

Rzucamy 2 razy monetą. Oblicz prawdopodobieństwo, że dwa razy wypadnie reszka.

Na początek musimy wypisać wszystkie możliwe kombinacje rzutów tak więc: 

  • Orzeł i Orzeł
  • Orzeł i Reszka
  • Reszka i Reszka
  • Reszka i Orzeł

Pogrubiona została kombinacja, która spełnia nasz warunek. 

Wszystkich możliwych wyników jest 4. Liczba interesujących nas wyników to 1. 

Prawdopodobieństwo (p) tego zdarzenia wynosi:

`p=1/4`  
Odpowiedź: Prawdopodobieństwo w tym przypadku wynosi `1/4` . 

 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Oblicz średnią liczb: 1,2,4,5,3,4,2,3,4,5,2,1.

$ Śr= {1+2+4+5+3+4+2+3+4+5+2+1}/12={36}/{12}=3 $

Odp.: Średnia tych liczb wynosi 3.

Zadanie 2.

Oblicz medianę liczb: 1,2,2,3,4,4,5,6,7,12,45,55.

Jest parzysta ilość cyfr, więc należy obliczyć średnią dwóch środkowych liczb.

${4+5}/2=9/2=4,5$

Odp.: Mediana tych liczb wynosi 4,5.

Zadanie 3.

Rzucasz jedną sześcienną kostką do gry. Oblicz, jakie jest prawdopodobieństwo, że wynik będzie:

  1. parzysty
  2. nieparzysty
  3. liczbą podzielną przez 3

W sumie może być 6 wyników.

  1. parzystych możliwości jest 3 -> prawdopodobieństwo: $3/6=1/2$
  2. nieparzystych możliwości jest 3 -> prawdopodobieństwo: $3/6=1/2$
  3. liczb podzielnych przez 3 jest 2 -> prawdopodobieństwo: $2/6=1/3$

Zadanie 4.

W klasie Stasia i Małgosi jest 36 osób. Staś ma numer w dzienniku 17, a Małgosia 12. Stasio zaproponował nauczycielowi, że przed każdym wezwaniem do tablicy będzie rzucał dwiema sześciennymi kostkami do gry. Iloczyn wyrzuconych oczek będzie wyznaczał osobę z tym numerem w dzienniku do odpowiedzi. Małgosia natomiast zaprotestowała twierdząc, że to niesprawiedliwe. Wyjaśnij, dlaczego Małgosia uważa, że to niesprawiedliwe i dlaczego ma wyjść na tym najgorzej?

Nie jest to sprawiedliwy sposób, ponieważ każda liczba w dzienniku ma inną liczbę dzielników, przez co jest mniej lub bardziej prawdopodobne wylosowania tej osoby. Niektórych numerów nie będzie można wcale wyznaczyć. Na przykład, numer Stasia 17, można uzyskać tylko poprzez pomnożenia 1 i 17, a takie liczby nie występują na kostkach do gry. Natomiast numer Małgosi można uzyskać poprzez pomnożenie największej ilości kombinacji cyfr.

$12$ -> $2×6$; $3×4$; $4×3$; $6×2$

$17$ -> $1×17$

Zadanie 5.

Jakie jest prawdopodobieństwo, że z pomiędzy damy trefl, damy pik i króla trefl wylosujemy damę?

wszystkie możliwe karty -> 3

ilość dam -> 2

prawdopodobieństwo -> $2/3$

Odp.: Prawdopodobieństwo wylosowania damy jest równe $2/3$.

Zadanie 6.

Ułóż taki zestaw 5 liczb, w którym średnia będzie równa medianie.

Zaczynam od ustalenia sobie średniej i mediany. Wybieram sobie 3.

Tak na razie wygląda ciąg moich liczb: --3--.

Następnie wybieram takie liczby by 1 i 5 oraz 2 i 4 dawały średnią 3. Należy pamiętać, że 1 i 2 nie może być większe od 3, a 4 i 5 nie może być mniejsze od 3.

Tak wyglądają przykładowe liczby: 1,3,3,3,5 lub 1,2,3,4,5.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Oblicz wartość wyrażenia dla podanej wartości x.

W miejsce x w wyrażeniu wstawiamy 3 i obliczamy jego wartość. 
 


 

W miejsce x w wyrażeniu wstawiamy 9 i obliczamy jego wartość. 
 

W którym przykładzie ...


Liczby w kolejności rosnącej to:
   

W tym przykładzie uporządkowanie było nieprawidłowe. 
 

{premium}
 

Liczby w kolejności rosnącej to:
 

W tym przykładzie uporządkowanie było prawidłowe.
 


 

Liczby w kolejności rosnącej to:
 
Z dwóch ułamków o takim samym liczniku ten jest większy, który ma mniejszy licznik.

W tym przykładzie uporządkowanie było nieprawidłowe.
    


 

Liczby w kolejności rosnącej to:
 

W tym przykładzie uporządkowanie było nieprawidłowe. 


Poprawna odpowiedź to: B. 
W przykładzie B liczby zostały poprawnie uporządkowane. 

Zapisz na rysunku długości boków wielokątów oraz...

 



Korzystając z twierdzenia Pitagorasa możemy obliczyć długości odcinków AC{premium}, AB, KN, NM, ML i KL

 

 

 

 



 

 

 

 


długości odcinków: KN, NM, ML i KL są takie same ponieważ każdy z tych odcinków jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości 2 i 6

 

 

 

 

 


Obwód trójkąta ABC wynosi:

 


Obwód czworokąta KLMN wynosi:

 



 


Korzystając z twierdzenia Pitagorasa możemy obliczyć długości odcinków: AB, BC, KN, ML i KL


 

 

 

 



 

 

 

 



 

 

 

 

 



 

 

 

 


 

 

 

 

 


Obwód trójkąta ABC wynosi:

 


Obwód czworokąta KLMN wynosi:

 

Biebrzański Park Narodowy ma powierzchnię

 

  

 

Uzupełnij:

 {premium}

 

 

     

Symbolem IX oznaczamy

Prawidłowa odpowiedź to : {premium}

IX= 10-1=9

9 miesiąc to wrzesień

Odp. B

Dopisz prawą stronę równania na trzy sposoby, tak aby

Jeśli prawa strona równania będzie wielokrotnością lewej strony, to równanie będzie miało nieskończenie wiele rozwiązań
Prawa strona może mieć postać:
   
Równanie ma postać:
 


 
Równanie ma postać:
 


 
Równanie ma postać:
   


Jeśli po prawej stronie równania napiszemy x z takim samym znakiem, jak po lewej stronie, oraz liczbę dodawaną do x, różną od liczby po stronie lewej, otrzymamy równanie sprzeczne
Prawa strona może mieć postać:
 
Równanie ma wtedy postać:
 


 
Równanie ma wtedy postać:
 


W pozostałych przypadkach równanie będzie miało jedno rozwiązanie
Prawa strona może mieć postać:
 
Równanie ma postać:
 


 
Równanie ma postać:
 


 
Równanie ma wtedy postać:
 
 


 

Równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań.
Prawa strona równania może mieć postać:
 
Równanie ma postać:
 


 
Równanie ma postać:
 


Równanie jest sprzeczne
Prawa strona równania może mieć postać:
 
Równanie ma postać:
 


 
Równanie ma wtedy postać:
`-1/3x=-1/3x-10` 


Równanie ma jedno rozwiązanie
Prawa strona równania może mieć postać:
 
Równanie ma wtedy postać:
 


 
Równanie ma wtedy postać:
 
 


 
 
 


Równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań.  
Prawa strona może mieć postać:
 
Równanie ma wtedy postać:
 


  
Równanie ma wtedy postać:
 


Równanie jest sprzeczne.  
Prawa strona może mieć postać:
 
Równanie ma wtedy postać:
 


 
Równanie ma wtedy postać:
 


Równanie ma jedno rozwiązanie
Prawa strona może mieć postać:
 
Równanie ma wtedy postać:
 


 
Równanie ma wtedy postać:
 
 


 
 
 

W tym przykładzie po uporządkowaniu strony lewej nie mamy niewiadomej. 

Aby równanie to miało nieskończenie wiele rozwiązań prawa strona musi być równa -10. 
Równanie ma wtedy postać:
 


Aby równanie było sprzeczne prawa strona musi być liczbą różną od -10 (z prawej strony nie dajemy niewiadomej x). 
Prawa strona równania może wynosić: 
 
Równanie ma wtedy postać:
 


 
Równanie ma wtedy postać:
 


Aby równanie miało jedno rozwiązanie wprowadzamy niewiadomą x po stronie prawej. 
Prawa strona może mieć postać:
 
Równanie ma wtedy postać:
 


 
Równanie ma wtedy postać:
 
 


 
 


Równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań
Prawa strona może mieć postać:
 
Równanie ma wtedy postać:
 


 
Równanie ma wtedy postać:
 


Aby równanie było sprzeczne, prawa strona może mieć postać:
 
Równanie ma wtedy postać:
 


 
Równanie ma wtedy postać:
 


Równanie ma jedno rozwiązanie, gdy prawa strona ma postać, np.:
 
Równanie ma wtedy postać:
 


 
Równanie ma wtedy postać:
  
 


 
 


Aby równanie miało nieskończenie wiele rozwiązań, prawa strona może mieć postać:
 
Równanie ma wtedy postać:
`-1/5x+3/5=-3/15x+9/15` 


 
Równanie ma postać:
 


Równanie będzie sprzeczne, gdy prawa strona będzie miała postać np.:
 
Równanie ma wtedy postać:
 


 
Równanie ma wtedy postać:
 

 

Równanie ma jedno rozwiązanie, gdy prawa strona będzie równa np.:
 
Równanie ma wtedy postać:
 


 
Równanie ma wtedy postać:
 

 

Oblicz pole figury za pomocą wyrażenia algebraicznego zapisanego...

 {premium}

 

 

Zapisz liczbę cyframi arabskimi.

Przypomnijmy, w jaki sposób zamieniamy cyfry rzymskie na arabskie.

Do zapisu liczb w rzymskim systemie używa się znaków (cyfr):

W rzymskim systemie zapisu liczb wartość liczby otrzymuje się przez:{premium}

  • dodanie wartości jej znaków, np.    
  • odejmowanie wartości jej znaków, np. gdy  stoi przed  lub  stoi przed  np.  

Zasady zapisywania liczb w systemie rzymskim:

  • Obok siebie nie mogą stać więcej niż trzy znaki  np. nie można zapisać  
  • Znak  oraz  mogą wystąpić w zapisie liczby tylko raz, ale nie mogą poprzedzić znaku o większej wartości, np. nie można zapisać   
  • Znak o mniejszej wartości może poprzedzić znak o większej wartości tylko w przypadkach:    

 Powyższe informacje przydadzą się nam w tym i następnych zadaniach:

Na rysunku przedstawiono trójkąty przystające...

Miarę kąta  możemy wyznaczyć z sumy miar kątów w trójkącie: {premium}

 

 

 

Trójkąty są przystające, dlatego kąt  będzie miał taką samą miarę kąta,

co kąt na przeciw boku długości  w drugim trójkącie, więc  

natomiast kąt  będzie miał taką samą miarę, jak kąt  czyli  

Odp.