Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Równania - 7-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Liczby spełniające równania

Litery w równaniu oznaczają liczby, których nie znamy, czyli niewiadome

Liczby odpowiadające tym niewiadomym nazywamy liczbami spełniającymi równanie lub pierwiastkami równania.

Przykłady

  • równanie  `x+6=10`  spełnia liczba `4`, gdyż  `4+6=10`, czyli `x=4` 

  • równanie  `2x+1=1`  spełnia liczba `0`, gdyż  `2*0+1=0+1=1`, czyli `x=1`     



Równania z jedną niewiadomą mogą:

  • nie mieć żadnego rozwiązania - równania sprzeczne;

  • mieć jedno rozwiązanie;

  • mieć nieskończenie wiele rozwiązań - równania tożsamościowe.  

Przykłady: 

  • równanie  `x+5=0`  ma jedno rozwiązanie, spełnia je liczba  `-5` , czyli  `x=-5`   

  • równanie  `x+2=x+1`  nie ma rozwiązania, nie spełnia go żadna liczba - równanie sprzeczne

  • równanie  `x+2=2+x`  ma nieskończenie wiele rozwiązań, spełnia go każda liczba  - równanie tożsamościowe



Zbiór liczb spełniających równanie to zbiór rozwiązań równania

Jeśli dwa równania mają taki sam zbiór rozwiązań, to są to równania równoważne

Przykład: 

  • równania  `x+2=5`  i  `x-3=0`  są równoważne, gdyż rozwiązaniem każdego z nich jest liczba 3 

Sposoby rozwiązywania równań

Aby obliczyć jaka liczba spełnia równanie należy je rozwiązać.

Najprostszą metodą rozwiązywania równań jest metoda równań równoważnych.

Polega ona na dodaniu/odjęciu tego samego wyrażenia od obu stron równania lub na pomnożeniu/podzieleniu przez tę samą liczbę (różną od zera) obu stron równania.

Przykłady:

  1. dodanie tego samego wyrażenia

    `x-10=14 \ \ \ \ \ \ \ \ |+10`   

    `x=24`    (dodaliśmy do obu stron równania liczbę 10)

  2. odjęcie tego samego wyrażenia

    `y+13=23 \ \ \ \ \ \ \ \ |-13` 

    `y=10`    (odjęliśmy od obu stron równania liczbę 13)

  3. pomnożenie przez tę samą liczbę

    `0,5x=7 \ \ \ \ \ \ \ \ |*2`  

    `x=14`     (pomnożyliśmy obie strony równania razy 2)

  4. podzielenie przez tę samą liczbę

    `3x=27 \ \ \ \ \ \ \ \ |:3`  

    `x=9`    (podzieliliśmy obie strony równania przez 3)

Przekształcanie wzorów

Przekształcanie wzorów służy do wyznaczenia określonej niewiadomej.

Przy przekształcaniu wzorów postępujemy tak samo jak przy rozwiązywaniu równań. Wykonujemy więc czynności takie jak dodawanie / odejmowanie od obu stron tego samego wyrażenia lub mnożenie / dzielenie obu stron przez to samo wyrażenie.

Przykłady:

  1. dodawanie / odejmowanie tego samego wyrażenia

    Ze wzoru  `z+p=k`  wyznaczamy zmienną  `z` 

    `z+p=k \ \ \ \ \ \ \ \ |-p`   

    `z=k-p` 

    Ze wzoru  `k-5=x`  wyznaczamy zmienną  `k`  

    `k-5=x \ \ \ \ \ \ \ \ |+5`  

    `k=x+5`  

  2. mnożenie / dzielenie przez to samo wyrażenie

    Ze wzoru  `m/z=y+l` , gdzie `z!=0`, wyznaczamy zmienną  `m`   
    `m/z=y+l \ \ \ \ \ \ \ \ |*z`  

    `m=(y+l)*z`  

    Ze wzoru  `dt=x+5`  wyznaczamy zmienną  `d`   

    `dt=x+5 \ \ \ \ \ \ \ \ |:t \ \ \ \ \ t!=0` 

    `d=(x+5)/t`     

 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Rozwiąż równanie:

  1. $$ x+5=10 $$
  2. $$ 2x+3=15 $$
  3. $$ 5x+13=23 $$
  1. $$ x+5=10 $$
    $$ x=5 $$
  2. $$ 2x+3=15 $$
    $$ 2x=12 $$
    $$ x=6 $$

  3. $$ 5x+13=23 $$
    $$ 5x=10 $$
    $$ x=2 $$

Zadanie 2.

Ułóż i rozwiąż odpowiednie równanie:
Liczba o 3 większa od x jest 3 razy większa od x.

$$ x+3=3x $$
$$ 3=2x $$
$$ x=1,5 $$

Zadanie 3.

Tata Zosi jest od niej 3 razy starszy, a Zosia jest od niego młodsza o 30 lat. Ile lat ma Zosia?

x -> wiek Zosi
$$ x+30 $$ lub $$ 3x$$ -> wiek taty Zosi
$$ x+30=3x $$
$$ 2x=30 $$
$$ x=15 $$
Odp.: Zosia ma 15 lat.

Zadanie 4.

Julek i Zosia są w sumie o 6 lat starsi od swojego brata Michała, ale każde z nich z osobna jest od niego młodsze: Julek o 7 lat, Zosia o 2 lata. Ile lat mają w sumie wszyscy troje?

$$ x $$ -> wiek Michała
$$ x-7 $$ -> wiek Julka
$$ x-2 $$ -> wiek Zosi
$$ x-7+x-2=x+6 $$
$$ 2x-9=x+6 $$
$$ x=15 $$ -> wszyscy: $$ 15+8+13=36$$
Odp.: Wszyscy troje mają razem 36 lat.

Zadanie 5.

Ile trzeba użyć soli, aby po zmieszaniu z 150 g wody otrzymać roztwór o stężeniu $$ 6,25% $$ ?

x -> potrzebna sól

$$ x/{150+x}×100%=6,25% $$

$$ x={6,25}/{100} (150+x) $$

$$ x=9,375+0,0625x $$

$$ 0,9375x=9,375 $$

$$ x=10 g $$
Odp.: Trzeba użyć 10 g soli, aby otrzymać 6,25% rozwór.

Zadanie 6.

Ustal, ile liczb naturalnych spełnia nierówność $$ 2x < x+3$$.

$$ 2x < x+3 $$
$$ x<3 $$ -> spełniają je liczby: 0,1,2
Odp.: Tą nierówność spełniają 3 liczby naturalne - 0,1,2.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Ile jest liczb dwucyfrowych podzielnych...

a) przez 5:

   Liczby dwucyfrowe podzielne przez 5 to: 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45,...,95

  Tych liczb jest 18 ponieważ w każdej dziesiątce są dwie takie liczby, a od 10 do 99 jest 9 dziesiątek 29=18


b) przez 7:

  Liczby dwucyfrowe podzielne przez 7 to: 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56,..., 98

   Od 1 do 98 jest 98 liczb, z których co siódma dzieli się przez 7, zatem liczb podzielnych przez 7 wśród nich jest: 
   
     98:7= 14

   zatem od 1 do 98 jest 14 liczb podzielnych przez 7, aby obliczyć ile jest liczb podzielnych przez 7 od 10 do 99 należy od 14 odjąć 1 (ponieważ od 1 do 10         jest jedna liczba podzielna przez 7):

  14-1=13


c) przez 11:

 Liczby dwucyfrowe podzielne przez 11 to: 11, 22, 33, 44, 55, 66,..., 99

Tych liczb jest 9 ponieważ w każdej dziesiątce jest jedna taka liczba, a od 10 do 99 jest 9 dziesiątek 1∙9=9

Przyjrzyj się rysunkowi i oceń prawdziwość ...

Prostokąt został podzielony na 7 części. 

5 części pomalowano kolorem zielonym, a 2 kolorem żółtym. 

Zielona część stanowi `5/7` całego prostokąta (bo zajmuje 5 części z 7). 
Prostokąt podzielono (kolorystycznie) w stosunku 5 : 2  (5 części zielonych i 2 części żółte). 

 

Część zielona stanowi `5/7` całego prostokąta.   P F
Prostokąt podzielono w stosunku `5 \ : \ 7`  P F
Wykonaj redukcję wyrazów podobnych

a) `ul(3xy)+ul(ul(4x))-ul(5xy)+10-ul(ul(2x))+ul(2xy)=2x+10`

b) `ul(1,5x^2)-ul(ul(0,2y^2))+ul(0,5x^2)+ul(ul(0,8y^2))=2x^2+0,6y^2`

c) `ul(-0,25xy)+ul(ul5)+4/5xz-ul(ul(0,5))-ul(#(3/4xy)^((=0.75xy)))=-xy+4/5xz+4,5`

d) `ul(-x^2)-ul(ulx)+ul(ul(4x))-ul(5x^2)-ul(ul(0,3x))=-6x^2+2,7x`

e) `ul(-1/8x^2)-ul(ul(8z))+ul(#(0,125x^2)^((=1/8x^2)))+ul(ul(8z))+ul(ul(ul(#(0,8x^2y)^((=4/5x^2y)))))-3-ul(ul(ul(4/5x^2y)))=-3`

Spodnie są o 60% droższe od kamizelki, a o ...

Marynarka kosztuje 200 zł. Spodnie są o 20% tańsze od marynarki.

Cena spodni stanowi 80% ceny marynarki:

`80%*200=0,8*200=160\ ["zł"]`

 

Oznaczmy cenę kamizelki przez x.

Wiemy, że{premium} spodnie są o 60% droższe od kamizelki.

Oznacza to, że cena spodni wynosi 160% ceny kamizelki:

`160%*x=160`

`1,6*x=160`

`x=160:1,6=1600:16=100\ ["zł"]`

 

Odp: Kamizelka kosztuje 100 zł.

Narysuj siatkę graniastosłupa o podstawie

Oszacuj wartości pierwiastków i określ,...

`"Kwadrat ma boki długości:" \ sqrt99 \ "i" \ sqrt35+sqrt135` 

`"Pole kwadratu wynosi około:"` 

`sqrt99*(sqrt35+sqrt135)~~10*(6+12)=10*18=180` 

`"Przybliżyliśmy długości boków z nadmiarem zatem pole kwadratu jest mniejsze niż 180"` 


`` `"Trójkąt ma podstawę długości" \ sqrt333 \ "i wysokość długości" \ sqrt444` 

`"Pole trójkąta wynosi około:"` 

`1/2*sqrt333*sqrt444~~1/2*18*21=9*21=189` 

`"Przybliżyliśmy długość podstawy i wysokości tego trójkąta z niedomiarem więc pole tego trójkąta jest większe niż 189."` 



`"Odp. Większe pole ma trójkąt."` 

Oblicz:

a) `sqrt((-17)^2)=|-17|=17` {premium}

b) `sqrt(23^2)=|23|=23` 

c) `sqrt(0^2)=|0|=0` 

Znajdź równanie, którego rozwiązaniem jest dana liczba...

`x:4=5` 

`x=4*5` 

`x=20` 



`4-x=5` 

`-x=5-4` 

`-x=1` 

`x=-1` 



`x+4=5` 

`x=5-4` 

`x=1` 



`4x=5` 

`x=5/4=1 1/4` 


`x-4=5` 

`x=5+4` 

`x=9` 



`4-x=5` 

`-x=5-4` 

`-x=1` 

`x=-1` 


`"Hasło:  ASTRY"` 

Wynikiem którego z poniższych działań...

Obliczamy wyniki podanych działań:

`"A."\ 6^3/1,5^3=(6/1,5)^3=4^3=64` 

`"B."\ 2^4/8^4=(2/8)^4=(1/4)^4=1/256` 

`"C."\ 4^3*1/8^3=4/8)^3=(1/2)^3=1/8` 

`"D."\ 7^4*(1/14)^4=(7/14)^4=(1/2)^4=1/16` 

Prawidłowa odpowiedź to `"D."`      

Dwóch wędkarzy łowi średnio sześć...

Ilość ryb złowionych przez wędkarzy jest wprost proporcjonalna do czasu łowienia.

Ustalmy najpierw, ile ryb łowi ośmiu wędkarzy w ciągu godziny. Szukaną ilość ryb oznaczmy jako `x.` 

Mamy wówczas:

`2/6=8/x` 

`2x=6*8\ "/":2` 

`x=48/2=24` 

Czyli ośmiu wędkarzy złowi średnio `24` ryby w ciągu godziny.

Oznaczmy teraz ilość ryb, jaką złowią w ciągu pięciu godzin jako `y.` 

Mamy wtedy:

`24/1=y/5` 

`y=5*24=120` 

Odp. Ośmiu wędkarzy złowi w ciągu pięciu godzin `120` ryb.