Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Równania - 7-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Liczby spełniające równania

Litery w równaniu oznaczają liczby, których nie znamy, czyli niewiadome

Liczby odpowiadające tym niewiadomym nazywamy liczbami spełniającymi równanie lub pierwiastkami równania.

Przykłady

  • równanie  `x+6=10`  spełnia liczba `4`, gdyż  `4+6=10`, czyli `x=4` 

  • równanie  `2x+1=1`  spełnia liczba `0`, gdyż  `2*0+1=0+1=1`, czyli `x=1`     



Równania z jedną niewiadomą mogą:

  • nie mieć żadnego rozwiązania - równania sprzeczne;

  • mieć jedno rozwiązanie;

  • mieć nieskończenie wiele rozwiązań - równania tożsamościowe.  

Przykłady: 

  • równanie  `x+5=0`  ma jedno rozwiązanie, spełnia je liczba  `-5` , czyli  `x=-5`   

  • równanie  `x+2=x+1`  nie ma rozwiązania, nie spełnia go żadna liczba - równanie sprzeczne

  • równanie  `x+2=2+x`  ma nieskończenie wiele rozwiązań, spełnia go każda liczba  - równanie tożsamościowe



Zbiór liczb spełniających równanie to zbiór rozwiązań równania

Jeśli dwa równania mają taki sam zbiór rozwiązań, to są to równania równoważne

Przykład: 

  • równania  `x+2=5`  i  `x-3=0`  są równoważne, gdyż rozwiązaniem każdego z nich jest liczba 3 

Sposoby rozwiązywania równań

Aby obliczyć jaka liczba spełnia równanie należy je rozwiązać.

Najprostszą metodą rozwiązywania równań jest metoda równań równoważnych.

Polega ona na dodaniu/odjęciu tego samego wyrażenia od obu stron równania lub na pomnożeniu/podzieleniu przez tę samą liczbę (różną od zera) obu stron równania.

Przykłady:

  1. dodanie tego samego wyrażenia

    `x-10=14 \ \ \ \ \ \ \ \ |+10`   

    `x=24`    (dodaliśmy do obu stron równania liczbę 10)

  2. odjęcie tego samego wyrażenia

    `y+13=23 \ \ \ \ \ \ \ \ |-13` 

    `y=10`    (odjęliśmy od obu stron równania liczbę 13)

  3. pomnożenie przez tę samą liczbę

    `0,5x=7 \ \ \ \ \ \ \ \ |*2`  

    `x=14`     (pomnożyliśmy obie strony równania razy 2)

  4. podzielenie przez tę samą liczbę

    `3x=27 \ \ \ \ \ \ \ \ |:3`  

    `x=9`    (podzieliliśmy obie strony równania przez 3)

Przekształcanie wzorów

Przekształcanie wzorów służy do wyznaczenia określonej niewiadomej.

Przy przekształcaniu wzorów postępujemy tak samo jak przy rozwiązywaniu równań. Wykonujemy więc czynności takie jak dodawanie / odejmowanie od obu stron tego samego wyrażenia lub mnożenie / dzielenie obu stron przez to samo wyrażenie.

Przykłady:

  1. dodawanie / odejmowanie tego samego wyrażenia

    Ze wzoru  `z+p=k`  wyznaczamy zmienną  `z` 

    `z+p=k \ \ \ \ \ \ \ \ |-p`   

    `z=k-p` 

    Ze wzoru  `k-5=x`  wyznaczamy zmienną  `k`  

    `k-5=x \ \ \ \ \ \ \ \ |+5`  

    `k=x+5`  

  2. mnożenie / dzielenie przez to samo wyrażenie

    Ze wzoru  `m/z=y+l` , gdzie `z!=0`, wyznaczamy zmienną  `m`   
    `m/z=y+l \ \ \ \ \ \ \ \ |*z`  

    `m=(y+l)*z`  

    Ze wzoru  `dt=x+5`  wyznaczamy zmienną  `d`   

    `dt=x+5 \ \ \ \ \ \ \ \ |:t \ \ \ \ \ t!=0` 

    `d=(x+5)/t`     

 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Rozwiąż równanie:

  1. $$ x+5=10 $$
  2. $$ 2x+3=15 $$
  3. $$ 5x+13=23 $$
  1. $$ x+5=10 $$
    $$ x=5 $$
  2. $$ 2x+3=15 $$
    $$ 2x=12 $$
    $$ x=6 $$

  3. $$ 5x+13=23 $$
    $$ 5x=10 $$
    $$ x=2 $$

Zadanie 2.

Ułóż i rozwiąż odpowiednie równanie:
Liczba o 3 większa od x jest 3 razy większa od x.

$$ x+3=3x $$
$$ 3=2x $$
$$ x=1,5 $$

Zadanie 3.

Tata Zosi jest od niej 3 razy starszy, a Zosia jest od niego młodsza o 30 lat. Ile lat ma Zosia?

x -> wiek Zosi
$$ x+30 $$ lub $$ 3x$$ -> wiek taty Zosi
$$ x+30=3x $$
$$ 2x=30 $$
$$ x=15 $$
Odp.: Zosia ma 15 lat.

Zadanie 4.

Julek i Zosia są w sumie o 6 lat starsi od swojego brata Michała, ale każde z nich z osobna jest od niego młodsze: Julek o 7 lat, Zosia o 2 lata. Ile lat mają w sumie wszyscy troje?

$$ x $$ -> wiek Michała
$$ x-7 $$ -> wiek Julka
$$ x-2 $$ -> wiek Zosi
$$ x-7+x-2=x+6 $$
$$ 2x-9=x+6 $$
$$ x=15 $$ -> wszyscy: $$ 15+8+13=36$$
Odp.: Wszyscy troje mają razem 36 lat.

Zadanie 5.

Ile trzeba użyć soli, aby po zmieszaniu z 150 g wody otrzymać roztwór o stężeniu $$ 6,25% $$ ?

x -> potrzebna sól

$$ x/{150+x}×100%=6,25% $$

$$ x={6,25}/{100} (150+x) $$

$$ x=9,375+0,0625x $$

$$ 0,9375x=9,375 $$

$$ x=10 g $$
Odp.: Trzeba użyć 10 g soli, aby otrzymać 6,25% rozwór.

Zadanie 6.

Ustal, ile liczb naturalnych spełnia nierówność $$ 2x < x+3$$.

$$ 2x < x+3 $$
$$ x<3 $$ -> spełniają je liczby: 0,1,2
Odp.: Tą nierówność spełniają 3 liczby naturalne - 0,1,2.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Rozwiąż równanie.

`a) \ 2(x+3)=10` 
`\ \ \ 2x+6=10 \ \ \ \ \ \ |-6` 
`\ \ \ 2x=4 \ \ \ \ \ |:2` 
`\ \ \ x=2` 
`ul(ul( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 


`b) \ 3(x-1)+2=8` 
`\ \ \ 3x-3+2=8` 
`\ \ \ 3x-1=8 \ \ \ \ \ \ |+1` 
`\ \ \ 3x=9 \ \ \ \ \ |:3` 
`\ \ \ x=3` 
`ul(ul( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 


`c) \ 2(13-x)-9=1` 
`\ \ \ 26-2x-9=1` 
`\ \ \ 17-2x=1 \ \ \ \ \ \ |-17` 
`\ \ \ -2x=-16 \ \ \ \ \ \ |:(-2)` 
`\ \ \ x=8` 
`ul(ul( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 


`d) \ 3(1-x)+2=-7` 
`\ \ \ 3-3x+2=-7` 
`\ \ \ 5-3x=-7 \ \ \ \ \ |-5` 
`\ \ \ -3x=-12 \ \ \ \ \ |:(-3)` 
`\ \ \ x=4` 
`ul(ul( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 


`e) \ 5-2(x+2)=9` 
`\ \ \ 5-2x-4=9` 
`\ \ \ 1-2x=9 \ \ \ \ \ \ |-1` 
`\ \ \ -2x=8 \ \ \ \ \ |:(-2)` 
`\ \ \ x=-4` 
`ul(ul( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 


`f) \ -2-(4-3x)=-7` 
`\ \ \ -2-4+3x=-7` 
`\ \ \ -6+3x=-7 \ \ \ \ \ \ |+6` 
`\ \ \ 3x=-1 \ \ \ \ \ |:3`  
`\ \ \ x=-1/3`    
`ul(ul( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 


`g) \ 9=5-4(2x-5)` 
`\ \ \ 9=5-8x+20` 
`\ \ \ 9=25-8x \ \ \ \ \ \ \ |-25` 
`\ \ \ -16=-8x \ \ \ \ \ \ |:(-8)` 
`\ \ \ x=2`  
`ul(ul( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 


`h) \ 0=6-3(5+2x)` 
`\ \ \ 0=6-15-6x` 
`\ \ \ 0=-9-6x \ \ \ \ \ \ |+9` 
`\ \ \ 9=-6x \ \ \ \ \ |:(-6)` 

`\ \ \ x=-9/6`  

`\ \ \ x=-3/2` 
`ul(ul( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 


`i) \ -1=-4+2(1-5x)` 
`\ \ \ -1=-4+2-10x` 
`\ \ \ -1=-2-10x \ \ \ \ \ |+2` 
`\ \ \ 1=-10x \ \ \ \ \ |:(-10)` 
`\ \ \ x=-1/10`    

Plan działki wykonano w skali 1:600 .Oblicz ile arów zajmuje trawnik.

`1 cm * 600 = 600cm = 6m`{premium}

`8cm *600 = 4800cm=48m`

`5 cm *600 = 3000cm = 30 m`

`2cm *600 = 1200cm = 12 m`

 `P_t=P_(dz)-4*P_k-P_d`  

`P_(dz) = 48m * 30m = 1440m^2`

`P_k=1/2*6m*6m = 18m^2`  

`P_d=12m*12m =144m^2`

`P_t = 1440m^2 - 4 * 18m^2 -144m^2=1224m^2=12,24a`

Odp.: Trawnik zajmuje 12,24 a.

Cena netto litra mleka jest równa m złotych...

`m` - cena netto litra mleka{premium}

`m+0,05m=1,05m` - cena brutto litra mleka


Zatem 4 litry mleka będą kosztowały:

`4*1,05m=4,2m` 


Odp. 4 litry tego mleka będą kosztowały 4,2m zł.

Julita odłożyła pieniądze na prezent imieninowy ...

Oznaczmy kwotę przeznaczoną na prezent jako x.

Z treści zadania wiemy, że 24% tej kwoty, czyli 30 zł, przeznaczyła na kwiaty.

Możemy zapisać równanie:

`24%*x=30`

`24/100*x=30` 

`6/25*x=30\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |*25/6` 

`x=strike30^5*25/strike6^1=125 \ ["zł"]`

Obliczamy, ile pieniędzy pozostało jej na prezent po kupnie kwiatów:

`125\ "zł"-30\ "zł"=95\ "zł"`

 

Odp: Na prezent pozostało jej 95 zł.

Ile kilogramów zaprawy trzeba przygotować na otynkowanie domu

Obliczmy pole powierzchni bocznej tego prostopadłościanu:

`P_b = 2*12 *7+2*8*7 = 280 \ "[m"^2"]"`{premium}

obliczmy pole powierzchni bocznej bez otworów okiennych:

`80% *280 = 0,8 * 280 = 224\ "[m"^2"]"`  

obliczmy ile kilogramów zaprawy nalezy przygotować na otynkowanie tego domu

`224:0,25 =896 \ "[kg]"`

Odp.: Potrzebne będzie 896 kg zaprawy.

Co się bardziej opłaca właścicielowi sklepu :sprzedać 10 rowerów z 15 % zyskiem

`x`  - kwota, jaką zainwestował właściciel w jeden rower{premium}

`10x*15% = 1,5x` - zysk ze sprzedaży 10 rowerów z zyskiem 10%

`30x*5% = 1,5x` - zysk ze sprzedaży 30 rowerów z zyskiem 5%

Odp.: Obie opcje są tak samo korzystne dla sprzedawcy

Ułóż zadanie do równania...

Pole prostokąta jest{premium} równe 70. Jeden z boków jest o 3 dłuższy od drugiego. Oblicz te boki.

Spójrz na grupę osób czekających na autobus ...

Na zdjęciu znajduje się 15 osób.

 

a) Jest 10 osób stojących.

Obliczamy, jaki to procent całej grupy:

`10/15=2/3 *100%=200/3=66 2/3%` 

Osoby stojące stanowią 40% całej grupy.

{premium}

b) Jest 5 osób siedzących.

Obliczamy, jaki to procent całej grupy:

`5/15=1/3*100%=100/3%=33 1/3%` 

Osoby siedzące stanowią 331/3% całej grupy. 

 

c) Jest 9 osób ubranych w długie spodnie.

Obliczamy, jaki to procent całej grupy:

`strike9^3/strike15^5=3/5\ stackrel(*20)=\ 60/100=60%` 

Osoby ubrane w długie spodnie stanowią 60% całej grupy. 

 

d) Nie ma osoby, która miałaby na głowie kapelusz.

Osoby z kapeluszem stanowią 0% całej grupy.

 

e) Są 3 osoby, które stoją i mają bordowe buty.

Obliczamy, jaki to procent całej grup:

`3/15=1/5\ stackrel(*20)=\ 20/100=20%` 

Stojące osoby z bordowymi butami stanowią 20% całej grupy.

 

f) Jest 10 osób, których kolorów butów to biały lub czarny.

Obliczamy, jaki to procent całej grupy:

`10/15=2/3 *100%=200/3=66 2/3%` 

Osoby stojące stanowią 40% całej grupy.

Oblicz wartość liczbową wyrażenia

`a)\ x^2+x+2=4^2+4+2=16+4+2=22` 

{premium}

`b)\ (2x+1)(-3y^2+2)=(2*(-1)+1)*(-3*(-1)^2+2)=` 

`\ \ \ =(-2+1)*(-3*1+2)=-1*(-3+2)=-1*(-1)=1`   

 

`c)\ x^2/y+y/x^2=(-2)^2/(3)+(3)/(-2)^2=4/3+3/4=16/12+9/12=25/12=2 1/12`  

 

`d)\ x^3y^2+x^2y^3=(-2)^3*1^2+(-2)^2*1^3=-8*1+4*1=-8+4=-4` 

Obwód prostokąta jest równy...

Niech `a` będzie jednym z boków, oraz niech `a+20%*a` będzie drugim bokiem.

`2*a+2*(a+20%*a)=66` 

`2a+2(a+0,2a)=66` 

`2a+2(1,2a)=66` 

`2a+2,4a=66` 

`4,4a=66 \ \ \ \ \ \ |:4,4` 

`a=15` 

 

`a+20%a=15+20%*15=15+0,2*15=15+3=18` 

 

`P=15*18=270 ["cm"^2]` 

 

Odp. C