Równania - 7-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Równania - 7-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Liczby spełniające równania

Litery w równaniu oznaczają liczby, których nie znamy, czyli niewiadome

Liczby odpowiadające tym niewiadomym nazywamy liczbami spełniającymi równanie lub pierwiastkami równania.

Przykłady

  • równanie  `x+6=10`  spełnia liczba `4`, gdyż  `4+6=10`, czyli `x=4` 

  • równanie  `2x+1=1`  spełnia liczba `0`, gdyż  `2*0+1=0+1=1`, czyli `x=1`     



Równania z jedną niewiadomą mogą:

  • nie mieć żadnego rozwiązania - równania sprzeczne;

  • mieć jedno rozwiązanie;

  • mieć nieskończenie wiele rozwiązań - równania tożsamościowe.  

Przykłady: 

  • równanie  `x+5=0`  ma jedno rozwiązanie, spełnia je liczba  `-5` , czyli  `x=-5`   

  • równanie  `x+2=x+1`  nie ma rozwiązania, nie spełnia go żadna liczba - równanie sprzeczne

  • równanie  `x+2=2+x`  ma nieskończenie wiele rozwiązań, spełnia go każda liczba  - równanie tożsamościowe



Zbiór liczb spełniających równanie to zbiór rozwiązań równania

Jeśli dwa równania mają taki sam zbiór rozwiązań, to są to równania równoważne

Przykład: 

  • równania  `x+2=5`  i  `x-3=0`  są równoważne, gdyż rozwiązaniem każdego z nich jest liczba 3 

Sposoby rozwiązywania równań

Aby obliczyć jaka liczba spełnia równanie należy je rozwiązać.

Najprostszą metodą rozwiązywania równań jest metoda równań równoważnych.

Polega ona na dodaniu/odjęciu tego samego wyrażenia od obu stron równania lub na pomnożeniu/podzieleniu przez tę samą liczbę (różną od zera) obu stron równania.

Przykłady:

  1. dodanie tego samego wyrażenia

    `x-10=14 \ \ \ \ \ \ \ \ |+10`   

    `x=24`    (dodaliśmy do obu stron równania liczbę 10)

  2. odjęcie tego samego wyrażenia

    `y+13=23 \ \ \ \ \ \ \ \ |-13` 

    `y=10`    (odjęliśmy od obu stron równania liczbę 13)

  3. pomnożenie przez tę samą liczbę

    `0,5x=7 \ \ \ \ \ \ \ \ |*2`  

    `x=14`     (pomnożyliśmy obie strony równania razy 2)

  4. podzielenie przez tę samą liczbę

    `3x=27 \ \ \ \ \ \ \ \ |:3`  

    `x=9`    (podzieliliśmy obie strony równania przez 3)

Przekształcanie wzorów

Przekształcanie wzorów służy do wyznaczenia określonej niewiadomej.

Przy przekształcaniu wzorów postępujemy tak samo jak przy rozwiązywaniu równań. Wykonujemy więc czynności takie jak dodawanie / odejmowanie od obu stron tego samego wyrażenia lub mnożenie / dzielenie obu stron przez to samo wyrażenie.

Przykłady:

  1. dodawanie / odejmowanie tego samego wyrażenia

    Ze wzoru  `z+p=k`  wyznaczamy zmienną  `z` 

    `z+p=k \ \ \ \ \ \ \ \ |-p`   

    `z=k-p` 

    Ze wzoru  `k-5=x`  wyznaczamy zmienną  `k`  

    `k-5=x \ \ \ \ \ \ \ \ |+5`  

    `k=x+5`  

  2. mnożenie / dzielenie przez to samo wyrażenie

    Ze wzoru  `m/z=y+l` , gdzie `z!=0`, wyznaczamy zmienną  `m`   
    `m/z=y+l \ \ \ \ \ \ \ \ |*z`  

    `m=(y+l)*z`  

    Ze wzoru  `dt=x+5`  wyznaczamy zmienną  `d`   

    `dt=x+5 \ \ \ \ \ \ \ \ |:t \ \ \ \ \ t!=0` 

    `d=(x+5)/t`     

 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Rozwiąż równanie:

  1. $ x+5=10 $
  2. $ 2x+3=15 $
  3. $ 5x+13=23 $
  1. $ x+5=10 $
    $ x=5 $
  2. $ 2x+3=15 $
    $ 2x=12 $
    $ x=6 $

  3. $ 5x+13=23 $
    $ 5x=10 $
    $ x=2 $

Zadanie 2.

Ułóż i rozwiąż odpowiednie równanie:
Liczba o 3 większa od x jest 3 razy większa od x.

$ x+3=3x $
$ 3=2x $
$ x=1,5 $

Zadanie 3.

Tata Zosi jest od niej 3 razy starszy, a Zosia jest od niego młodsza o 30 lat. Ile lat ma Zosia?

x -> wiek Zosi
$ x+30 $ lub $ 3x$ -> wiek taty Zosi
$ x+30=3x $
$ 2x=30 $
$ x=15 $
Odp.: Zosia ma 15 lat.

Zadanie 4.

Julek i Zosia są w sumie o 6 lat starsi od swojego brata Michała, ale każde z nich z osobna jest od niego młodsze: Julek o 7 lat, Zosia o 2 lata. Ile lat mają w sumie wszyscy troje?

$ x $ -> wiek Michała
$ x-7 $ -> wiek Julka
$ x-2 $ -> wiek Zosi
$ x-7+x-2=x+6 $
$ 2x-9=x+6 $
$ x=15 $ -> wszyscy: $ 15+8+13=36$
Odp.: Wszyscy troje mają razem 36 lat.

Zadanie 5.

Ile trzeba użyć soli, aby po zmieszaniu z 150 g wody otrzymać roztwór o stężeniu $ 6,25% $ ?

x -> potrzebna sól

$ x/{150+x}×100%=6,25% $

$ x={6,25}/{100} (150+x) $

$ x=9,375+0,0625x $

$ 0,9375x=9,375 $

$ x=10 g $
Odp.: Trzeba użyć 10 g soli, aby otrzymać 6,25% rozwór.

Zadanie 6.

Ustal, ile liczb naturalnych spełnia nierówność $ 2x < x+3$.

$ 2x < x+3 $
$ x<3 $ -> spełniają je liczby: 0,1,2
Odp.: Tą nierówność spełniają 3 liczby naturalne - 0,1,2.

Spis treści

Rozwiązane zadania
W Polsce cena sprzętu elektronicznego składa się ...

Podatek VAT stanowi 23% ceny netto towaru.

Oznacza to, że 123% ceny netto to cena towaru w sklepie.

 

a) Szukamy takiej liczby, której 123% jest równe 615 zł.

Oznaczmy tę liczbę jako x. Wówczas otrzymujemy:

 

 

{premium}  

   

b) Szukamy takiej liczby, której 123% jest równe 861 zł.

Oznaczmy tę liczbę jako x. Wówczas otrzymujemy:

 

 

 

 

c) Szukamy takiej liczby, której 123% jest równe 676,50 zł.

Oznaczmy tę liczbę jako x. Wówczas otrzymujemy:

 

 

 

 

d) Szukamy takiej liczby, której 123% jest równe 1476 zł.

Oznaczmy tę liczbę jako x. Wówczas otrzymujemy:

 

 

 

W cukierni zatrudnionych jest...

  - tylu pracowników zarabia 5000 zł.

  - tylu pracowników zarabia 4000 zł.

 

Obliczmy średnią arytmetyczną zarobków:

{premium}

  

Pierwsze zdanie jest prawdziwe.   

 

Obliczmy średnią arytmetyczną po zatrudnieniu czterech dodatkowych osób:

 

 

Drugie zdanie jest fałszywe - średnia pensja zwiększy się dokładnie o 50 zł.  

Która z poniższych równości będzie prawdziwa

A.  

Równość będzie prawdziwa tylko wtedy, gdy w kwadracik wpiszemy 1.

{premium}

B.   

Równość będzie prawdziwa tylko wtedy, gdy w kwadracik wpiszemy 0.

 

C.  

   

Równość będzie prawdziwa zawsze (w kwadracik możemy wpisać cokolwiek, wynik mnożenia przez 0 to 0, 8+0=8). 

 

D.  

Równość będzie prawdziwa tylko wtedy, gdy w kwadracik wpiszemy 1.

Jeden z boków prostokąta...

{premium}

 

Korzystając z informacji o obwodzie możemy zapisać:

 

   

Zapisz za pomocą wyrażeń algebraicznych i znaku równości...

{premium}

Rowerzysta przejechał 2000 m ...

Prędkość rowerzysty należy wyrazić w km/h. 

Pokonaną przez niego drogę wyrażamy w kilometrach, a czas podróży w godzinach. {premium}


Droga: 

 


Czas: 

 


Prędkość rowerzysty wynosiła więc: 

  


Poprawna odpowiedź: A. 2/x

Na którym rysunku kąty...

Przyjrzyjmy się przypadkowi{premium}  

 

Zauważmy, że musi zachodzić równość:

{premium}  

Czyli:

 

Gdybyśmy przyjęli  otrzymalibyśmy:

 

 

Gdybyśmy przyjęli  otrzymalibyśmy:

 

 

Widzimy, że w żadnym z tych dwóch przypadków równość  nie jest prawdziwa, więc 

prawidłową odpowiedzią do zadania jest odpowiedź     

Oszacuj wartości podanych liczb ...

Ograniczmy podane pierwiastki, przez pierwiastki, których wartości znamy.

`sqrt9 

`3 

`sqrt16 

`4 

 

`sqrt25 

`5 

{premium}  

 

 

`6 

 

 

 

`7 

 

 

`sqrt49 

`7 

 

 

 

`8 

 

 

`sqrt64 

`8 

 

 

`9 

 

Liczby zaznaczone na osi liczbowej:

Każdą dodatnią liczbę naturalną...

a) Liczby ujemnej nie można przedstawić w postaci sumy potęg liczby 2, ponieważ potęgi liczby 2 są liczbami dodatnimi. {premium}

Suma liczb dodatnich jest liczbą dodatnią.

 

b) Podane liczby zapisujemy w postaci sumy potęg liczby 2. 

 

 

 

 

O ile kilogramów mniej...

W 2014 r. eksportowano 262,6 tys. ton, natomiast w roku 2015 302,7 tys. ton.


Obliczmy różnicę tych liczb. {premium}

  


Eksportowano o 40,1 tys. ton mniej, czyli 40 100 ton.

 

 


Odpowiedź: Eksportowano o 40 100 000 kg mniej.