Równania - 7-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Liczby spełniające równania

Litery w równaniu oznaczają liczby, których nie znamy, czyli niewiadome

Liczby odpowiadające tym niewiadomym nazywamy liczbami spełniającymi równanie lub pierwiastkami równania.

Przykłady

  • równanie  `x+6=10`  spełnia liczba `4`, gdyż  `4+6=10`, czyli `x=4` 

  • równanie  `2x+1=1`  spełnia liczba `0`, gdyż  `2*0+1=0+1=1`, czyli `x=1`     



Równania z jedną niewiadomą mogą:

  • nie mieć żadnego rozwiązania - równania sprzeczne;

  • mieć jedno rozwiązanie;

  • mieć nieskończenie wiele rozwiązań - równania tożsamościowe.  

Przykłady: 

  • równanie  `x+5=0`  ma jedno rozwiązanie, spełnia je liczba  `-5` , czyli  `x=-5`   

  • równanie  `x+2=x+1`  nie ma rozwiązania, nie spełnia go żadna liczba - równanie sprzeczne

  • równanie  `x+2=2+x`  ma nieskończenie wiele rozwiązań, spełnia go każda liczba  - równanie tożsamościowe



Zbiór liczb spełniających równanie to zbiór rozwiązań równania

Jeśli dwa równania mają taki sam zbiór rozwiązań, to są to równania równoważne

Przykład: 

  • równania  `x+2=5`  i  `x-3=0`  są równoważne, gdyż rozwiązaniem każdego z nich jest liczba 3 

Sposoby rozwiązywania równań

Aby obliczyć jaka liczba spełnia równanie należy je rozwiązać.

Najprostszą metodą rozwiązywania równań jest metoda równań równoważnych.

Polega ona na dodaniu/odjęciu tego samego wyrażenia od obu stron równania lub na pomnożeniu/podzieleniu przez tę samą liczbę (różną od zera) obu stron równania.

Przykłady:

  1. dodanie tego samego wyrażenia

    `x-10=14 \ \ \ \ \ \ \ \ |+10`   

    `x=24`    (dodaliśmy do obu stron równania liczbę 10)

  2. odjęcie tego samego wyrażenia

    `y+13=23 \ \ \ \ \ \ \ \ |-13` 

    `y=10`    (odjęliśmy od obu stron równania liczbę 13)

  3. pomnożenie przez tę samą liczbę

    `0,5x=7 \ \ \ \ \ \ \ \ |*2`  

    `x=14`     (pomnożyliśmy obie strony równania razy 2)

  4. podzielenie przez tę samą liczbę

    `3x=27 \ \ \ \ \ \ \ \ |:3`  

    `x=9`    (podzieliliśmy obie strony równania przez 3)

Przekształcanie wzorów

Przekształcanie wzorów służy do wyznaczenia określonej niewiadomej.

Przy przekształcaniu wzorów postępujemy tak samo jak przy rozwiązywaniu równań. Wykonujemy więc czynności takie jak dodawanie / odejmowanie od obu stron tego samego wyrażenia lub mnożenie / dzielenie obu stron przez to samo wyrażenie.

Przykłady:

  1. dodawanie / odejmowanie tego samego wyrażenia

    Ze wzoru  `z+p=k`  wyznaczamy zmienną  `z` 

    `z+p=k \ \ \ \ \ \ \ \ |-p`   

    `z=k-p` 

    Ze wzoru  `k-5=x`  wyznaczamy zmienną  `k`  

    `k-5=x \ \ \ \ \ \ \ \ |+5`  

    `k=x+5`  

  2. mnożenie / dzielenie przez to samo wyrażenie

    Ze wzoru  `m/z=y+l` , gdzie `z!=0`, wyznaczamy zmienną  `m`   
    `m/z=y+l \ \ \ \ \ \ \ \ |*z`  

    `m=(y+l)*z`  

    Ze wzoru  `dt=x+5`  wyznaczamy zmienną  `d`   

    `dt=x+5 \ \ \ \ \ \ \ \ |:t \ \ \ \ \ t!=0` 

    `d=(x+5)/t`     

 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Rozwiąż równanie:

  1. $$ x+5=10 $$
  2. $$ 2x+3=15 $$
  3. $$ 5x+13=23 $$
  1. $$ x+5=10 $$
    $$ x=5 $$
  2. $$ 2x+3=15 $$
    $$ 2x=12 $$
    $$ x=6 $$

  3. $$ 5x+13=23 $$
    $$ 5x=10 $$
    $$ x=2 $$

Zadanie 2.

Ułóż i rozwiąż odpowiednie równanie:
Liczba o 3 większa od x jest 3 razy większa od x.

$$ x+3=3x $$
$$ 3=2x $$
$$ x=1,5 $$

Zadanie 3.

Tata Zosi jest od niej 3 razy starszy, a Zosia jest od niego młodsza o 30 lat. Ile lat ma Zosia?

x -> wiek Zosi
$$ x+30 $$ lub $$ 3x$$ -> wiek taty Zosi
$$ x+30=3x $$
$$ 2x=30 $$
$$ x=15 $$
Odp.: Zosia ma 15 lat.

Zadanie 4.

Julek i Zosia są w sumie o 6 lat starsi od swojego brata Michała, ale każde z nich z osobna jest od niego młodsze: Julek o 7 lat, Zosia o 2 lata. Ile lat mają w sumie wszyscy troje?

$$ x $$ -> wiek Michała
$$ x-7 $$ -> wiek Julka
$$ x-2 $$ -> wiek Zosi
$$ x-7+x-2=x+6 $$
$$ 2x-9=x+6 $$
$$ x=15 $$ -> wszyscy: $$ 15+8+13=36$$
Odp.: Wszyscy troje mają razem 36 lat.

Zadanie 5.

Ile trzeba użyć soli, aby po zmieszaniu z 150 g wody otrzymać roztwór o stężeniu $$ 6,25% $$ ?

x -> potrzebna sól

$$ x/{150+x}×100%=6,25% $$

$$ x={6,25}/{100} (150+x) $$

$$ x=9,375+0,0625x $$

$$ 0,9375x=9,375 $$

$$ x=10 g $$
Odp.: Trzeba użyć 10 g soli, aby otrzymać 6,25% rozwór.

Zadanie 6.

Ustal, ile liczb naturalnych spełnia nierówność $$ 2x < x+3$$.

$$ 2x < x+3 $$
$$ x<3 $$ -> spełniają je liczby: 0,1,2
Odp.: Tą nierówność spełniają 3 liczby naturalne - 0,1,2.

Spis treści

Rozwiązane zadania
W każdym worku dopisz po trzy liczby pasujące...

Przykładowe rozwiązanie:


Uzupełnij:

{premium}

Wykonaj dodawanie.

{premium}

 

 

Wpisz w okienko odpowiednią liczbę.

a) Obliczamy, jaką liczbę należy wpisać w okienko. 

  

W okienko należy wpisać liczbę  .{premium}


b) Obliczamy, jaką liczbę należy wpisać w okienko. 

 

W okienko należy wpisać liczbę .


c) Obliczamy, jaką liczbę należy wpisać w okienko. 

 

W okienko należy wpisać liczbę  .  


d) Obliczamy, jaką liczbę należy wpisać w okienko.  

 

W okienko należy wpisać liczbę  .   

Wykonaj dzielenie. W ostatnim przykładzie najpierw zapisz iloraz w innej postaci:

                                                                                       {premium}

   

Samochód porusza się między miejscowościami ...

Na każdym odcinku drogi samochód jedzie z taką samą prędkością. 

Stosunek czasu do {premium}drogi na każdym z odcinków jest więc taki sam. 

czas 27 min 5/6 h = 50 min t
droga 45 km s 20 km


 

 

  

    

 

 

 

 

     

 


Odpowiedź
Uzupełniamy luki wpisując 83 1/3 km oraz 1/5 h. 

Oblicz:

Przypomnienie dzieląc/mnożąc liczbę przez 10, 100, 1000, ... przesuwamy przecinek o tyle miejsc w lewo/prawo, ile ma zer liczba, przez którą dzielimy.

 

Aby pomnożyć powyższe liczby, wykonujemy następujące czynności:{premium}

- mnożymy dane liczby bez przecinków,

- do otrzymanego wyniku dopisujemy przecinek w takim miejscu, aby ilość cyfr po przecinku odpowiadała sumie cyfr po przecinku podstawowych liczb:

 

Pierwsza liczba miała 4 cyfry po przecinku. Druga liczba miała 1 cyfrę po przecinku. Wynik musi mieć 5 cyfr po przecinku (4+1=5).

Stąd otrzymujemy:

 

 

Aby pomnożyć powyższe liczby, wykonujemy następujące czynności:

- mnożymy dane liczby bez przecinków,

- do otrzymanego wyniku dopisujemy przecinek w takim miejscu, aby ilość cyfr po przecinku odpowiadała sumie cyfr po przecinku podstawowych liczb:

Pierwsza liczba miała 1 cyfrę po przecinku. Druga liczba miała 3 cyfry po przecinku. Wynik musi mieć 4 cyfr po przecinku (1+3=4).

Stąd otrzymujemy:

 

Aby podzielić powyższe liczby przesuwamy w każdej z liczb o tyle miejsc przecinek w prawo, aby liczba przez którą dzielimy stała się liczbą całkowitą.

 

Oblicz. Jeśli poprawnie rozwiążesz trzy kolejne przykłady ...

Poziom A

 

 

 

 {premium}

 

 

 

 

 

Poziom B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Poziom C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Poziom D

 

 

  

 

 

 

 

 

 

Mistrz

       

 

   

 

  

 

 

 

 

Uzupełnij graf .

w pierwsze puste pole (od lewej) należy wpisać{premium}  

w drugie puste pole (od lewej) należy wpisać  

 

w trzecie puste pole (od lewej) należy wpisać  

Oblicz wartość wyrażenia dla podanych wartości zmiennych.

 

 {premium}