Równania - 7-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Liczby spełniające równania

Litery w równaniu oznaczają liczby, których nie znamy, czyli niewiadome

Liczby odpowiadające tym niewiadomym nazywamy liczbami spełniającymi równanie lub pierwiastkami równania.

Przykłady

  • równanie  `x+6=10`  spełnia liczba `4`, gdyż  `4+6=10`, czyli `x=4` 

  • równanie  `2x+1=1`  spełnia liczba `0`, gdyż  `2*0+1=0+1=1`, czyli `x=1`     



Równania z jedną niewiadomą mogą:

  • nie mieć żadnego rozwiązania - równania sprzeczne;

  • mieć jedno rozwiązanie;

  • mieć nieskończenie wiele rozwiązań - równania tożsamościowe.  

Przykłady: 

  • równanie  `x+5=0`  ma jedno rozwiązanie, spełnia je liczba  `-5` , czyli  `x=-5`   

  • równanie  `x+2=x+1`  nie ma rozwiązania, nie spełnia go żadna liczba - równanie sprzeczne

  • równanie  `x+2=2+x`  ma nieskończenie wiele rozwiązań, spełnia go każda liczba  - równanie tożsamościowe



Zbiór liczb spełniających równanie to zbiór rozwiązań równania

Jeśli dwa równania mają taki sam zbiór rozwiązań, to są to równania równoważne

Przykład: 

  • równania  `x+2=5`  i  `x-3=0`  są równoważne, gdyż rozwiązaniem każdego z nich jest liczba 3 

Sposoby rozwiązywania równań

Aby obliczyć jaka liczba spełnia równanie należy je rozwiązać.

Najprostszą metodą rozwiązywania równań jest metoda równań równoważnych.

Polega ona na dodaniu/odjęciu tego samego wyrażenia od obu stron równania lub na pomnożeniu/podzieleniu przez tę samą liczbę (różną od zera) obu stron równania.

Przykłady:

  1. dodanie tego samego wyrażenia

    `x-10=14 \ \ \ \ \ \ \ \ |+10`   

    `x=24`    (dodaliśmy do obu stron równania liczbę 10)

  2. odjęcie tego samego wyrażenia

    `y+13=23 \ \ \ \ \ \ \ \ |-13` 

    `y=10`    (odjęliśmy od obu stron równania liczbę 13)

  3. pomnożenie przez tę samą liczbę

    `0,5x=7 \ \ \ \ \ \ \ \ |*2`  

    `x=14`     (pomnożyliśmy obie strony równania razy 2)

  4. podzielenie przez tę samą liczbę

    `3x=27 \ \ \ \ \ \ \ \ |:3`  

    `x=9`    (podzieliliśmy obie strony równania przez 3)

Przekształcanie wzorów

Przekształcanie wzorów służy do wyznaczenia określonej niewiadomej.

Przy przekształcaniu wzorów postępujemy tak samo jak przy rozwiązywaniu równań. Wykonujemy więc czynności takie jak dodawanie / odejmowanie od obu stron tego samego wyrażenia lub mnożenie / dzielenie obu stron przez to samo wyrażenie.

Przykłady:

  1. dodawanie / odejmowanie tego samego wyrażenia

    Ze wzoru  `z+p=k`  wyznaczamy zmienną  `z` 

    `z+p=k \ \ \ \ \ \ \ \ |-p`   

    `z=k-p` 

    Ze wzoru  `k-5=x`  wyznaczamy zmienną  `k`  

    `k-5=x \ \ \ \ \ \ \ \ |+5`  

    `k=x+5`  

  2. mnożenie / dzielenie przez to samo wyrażenie

    Ze wzoru  `m/z=y+l` , gdzie `z!=0`, wyznaczamy zmienną  `m`   
    `m/z=y+l \ \ \ \ \ \ \ \ |*z`  

    `m=(y+l)*z`  

    Ze wzoru  `dt=x+5`  wyznaczamy zmienną  `d`   

    `dt=x+5 \ \ \ \ \ \ \ \ |:t \ \ \ \ \ t!=0` 

    `d=(x+5)/t`     

 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Rozwiąż równanie:

  1. $$ x+5=10 $$
  2. $$ 2x+3=15 $$
  3. $$ 5x+13=23 $$
  1. $$ x+5=10 $$
    $$ x=5 $$
  2. $$ 2x+3=15 $$
    $$ 2x=12 $$
    $$ x=6 $$

  3. $$ 5x+13=23 $$
    $$ 5x=10 $$
    $$ x=2 $$

Zadanie 2.

Ułóż i rozwiąż odpowiednie równanie:
Liczba o 3 większa od x jest 3 razy większa od x.

$$ x+3=3x $$
$$ 3=2x $$
$$ x=1,5 $$

Zadanie 3.

Tata Zosi jest od niej 3 razy starszy, a Zosia jest od niego młodsza o 30 lat. Ile lat ma Zosia?

x -> wiek Zosi
$$ x+30 $$ lub $$ 3x$$ -> wiek taty Zosi
$$ x+30=3x $$
$$ 2x=30 $$
$$ x=15 $$
Odp.: Zosia ma 15 lat.

Zadanie 4.

Julek i Zosia są w sumie o 6 lat starsi od swojego brata Michała, ale każde z nich z osobna jest od niego młodsze: Julek o 7 lat, Zosia o 2 lata. Ile lat mają w sumie wszyscy troje?

$$ x $$ -> wiek Michała
$$ x-7 $$ -> wiek Julka
$$ x-2 $$ -> wiek Zosi
$$ x-7+x-2=x+6 $$
$$ 2x-9=x+6 $$
$$ x=15 $$ -> wszyscy: $$ 15+8+13=36$$
Odp.: Wszyscy troje mają razem 36 lat.

Zadanie 5.

Ile trzeba użyć soli, aby po zmieszaniu z 150 g wody otrzymać roztwór o stężeniu $$ 6,25% $$ ?

x -> potrzebna sól

$$ x/{150+x}×100%=6,25% $$

$$ x={6,25}/{100} (150+x) $$

$$ x=9,375+0,0625x $$

$$ 0,9375x=9,375 $$

$$ x=10 g $$
Odp.: Trzeba użyć 10 g soli, aby otrzymać 6,25% rozwór.

Zadanie 6.

Ustal, ile liczb naturalnych spełnia nierówność $$ 2x < x+3$$.

$$ 2x < x+3 $$
$$ x<3 $$ -> spełniają je liczby: 0,1,2
Odp.: Tą nierówność spełniają 3 liczby naturalne - 0,1,2.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Znajdź za pomocą równania liczbę ...

a) Suma cyfr liczby dwucyfrowej wynosi 10. 

Przyjmijmy oznaczenia: 

  - cyfra dziesiątek tej liczby 

  - cyfra jedności tej liczby  (bo suma jej cyfr musi wynosić 10)

Liczba ta ma więc postać (np. 36=3٠10+6, czyli cyfrę dziesiątek mnożymy razy 10 i dodajemy cyfrę jedności): 

  


Zamieniamy teraz cyfry tej liczby.{premium}

   - cyfra dziesiątek nowej liczby 

  - cyfra jedności nowej liczby 

Liczba ta ma postać: 

    

 

W zadaniu powiedziano, że nowa liczba jest o 36 mniejsza od początkowej liczby, czyli: 

 

 

 

 

Cyfra dziesiątek początkowej liczby wynosi 7. 


Obliczamy, ile wynosi cyfra jedności tej liczby. 

 

Cyfra jedności tej liczby wynosi 3.     


Odpowiedź
: Liczba o podanych własnościach to 73.



b) Suma cyfr pewnej liczby trzycyfrowej wynosi 9. 

Przyjmijmy oznaczenia: 

   - cyfra setek / cyfra dziesiątek tej liczby 

    - cyfra jedności tej liczby  (bo suma cyfr tej liczby wynosi 9)

Liczba ta ma więc postać: 

  


Przestawiamy teraz cyfrę jedności i cyfrę dziesiątek początkowej liczby.

  - cyfra setek nowej liczby 

   - cyfra dziesiątek nowej liczby 

  - cyfra jedności nowej liczby 

Liczba ta ma postać: 

     

Suma tych dwóch liczb jest równa 477, zatem:

Cyfra setek oraz cyfra dziesiątek początkowej liczby wynosi 2. 


Obliczamy, ile wynosi cyfra jedności tej liczby. 

  

Cyfra jedności tej liczby wynosi 5. 

Odpowiedź: Liczbą o podanych własnościach jest 225.

Na prostej l zaznaczono cztery rożne ...

Przykładowe półproste zawarte w prostej l:

- półprosta AB,

- półprosta BA,{premium}

- półprosta CD,

- półprosta AD,

- półprosta CB. 

 

Przykładowe półproste, do których należy punkt B:

- półprosta AB,

- półprosta BA,

- półprosta CB.

Ile złotych kosztuje najczęściej ...

Najczęściej sprzedawany lizak, bo aż {premium}154 razy, kosztuje 0,60 zł. 


Poprawna odpowiedź: D. 0,60 

O ilu uczniów odpowiedziało przecząco niż twierdząco na zadane pytanie?

W sondzie brało udział 200 osób zatem:


liczba osób, która odpowiedziała twierdząco na to pytanie wynosi:

 


liczba osób, która odpowiedziała przecząco na to pytanie wynosi:

 


obliczmy, o ilu więcej uczniów odpowiedziało przecząco, niż twierdząco na to pytanie:

 


Odp. D

Rozwiąż w zeszycie równania.

a)  

 

 

 


b)  

 

 

 

 

 


c)  

 

 

 

 

 

 


d)  

 

 

 

 

 

 

Podaj 5 ułamków zwykłych większych...

Są to na przykład:{premium}    

Darek, Jarek i Marek mają łącznie...

Niech oznacza wiek Marka.{premium}

Jarek jest lata młodszy od Marka, więc ma  lat.

Darek ma dwa razy więcej niż Jarek i Marek łącznie, czyli  

Wiedząc, że wszyscy trzej razem mają  lata, możemy zapisać następujące równanie:

 

 

 

 

 

 

        

Odp. Marek ma lat, Jarek  a Darek   

W klasach 7a i 7b uczy się ...

  - ilość uczniów w klasie 7a

  - ilość uczniów w klasie 7b  [bo w klasach 7a i 7b jest łącznie 67 osób]  {premium}


  - ilość uczniów biorących udział w zawodach z klasy 7a

  - ilość uczniów biorących udział w zawodach z klasy 7b 

  - łączna ilość uczniów biorących udział w zawodach z klas 7a i 7b 


Równanie opisujące tą sytuację ma postać: 

 

 

 

 

 

 

 

W klasie 7a było 35 uczniów. 


Obliczamy, ilu uczniów było w klasie 7b. 

 

W klasie 7b było 32 uczniów. 


Odpowiedź: W klasie 7a było 35 uczniów, a w klasie 7b było 32 uczniów.        

Rozwiązaniem równania...

Mamy dane następujące równanie:

 {premium}

Mnożymy na krzyż i wyznaczamy  

 

 

 

 

Prawidłowa odpowiedź to         

W układzie współrzędnych zaznaczone są punkty