Równania i nierówności - 7-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Liczby spełniające równanie

Liczby odpowiadające niewiadomym nazywamy liczbami spełniającymi równanie lub pierwiastkami równania.

Równania z jedną niewiadomą mogą nie mieć żadnego rozwiązania, mogą też mieć jedno lub więcej rozwiązań.

 

Równania tożsamościowe to takie które mają przynamniej jedno rozwiązanie ( może być też nieskończenie wiele rozwiązań ).

Przykład:

  • $$x+3=10$$ -> rozwiązaniem jest x=7

Równania sprzeczne to takie, które nie mają rozwiązania.

Przykład:

  • $$x+3=x-10$$ -> nie ma rozwiązań

Sposoby rozwiązywania równań

Aby dojść, jaka liczba spełnia równanie, należy je rozwiązać. Najprostszą metodą rozwiązywania równań jest metoda równań równoważnych. Polega ona na dodaniu/odjęciu tego samego wyrażenia od obu stron równania lub na pomnożeniu/podzieleniu przez tę samą liczbę (różną od zera) obu stron równania.

Przykłady:

  1. dodanie tego samego wyrażenia:

    $$x-10=14$$
    $$x=24$$ (dodaliśmy z obu stron liczbę 10)
  2. odjęcie tego samego wyrażenia:

    $$y+13=23$$
    $$y=10$$ (odjęliśmy z obu stron liczbę 13)
  3. pomnożenie przez tę samą liczbę:

    $$0.5x=7$$
    $$x=14$$(pomnożyliśmy obie strony przez 2)
  4. podzielenie prze tę samą liczbę:

    $$3x=27$$
    $$x=9 $$ (podzieliliśmy obie strony przez 3)
 

Nierówności

Nierówność jest to podobne do równania połączenie dwóch wyrażeń algebraicznych, w którym zamiast znaku równości występują znaki: „większy” (>), "mniejszy" ($$< $$), "większy równy" ($$≥$$), „mniejszy równy” ($$≤$$). Rozwiązywanie takiej nierówności jest bardzo podobne do rozwiązywania równania, a rozwiązaniem jest przeważnie zbiór liczb. Czasami jednak zdarza się, że rozwiązaniem może być tylko jedna liczba. Rozwiązania można przedstawić na osi liczbowej.

Przykłady nierówności:

  • $$2x-4<3$$
  • $$4y+20>15$$
  • $$3k+2≤10$$
  • $$ 4p-1≥3$$

Przedstawianie rozwiązań na osi liczbowej:

  • $$ x>3 $$

    przyklad1
  • $$x<3 $$

    przyklad2
  • $$x≤4$$

    przyklad3
  • $$x≥4$$

    przyklad4

Przekształcanie równań

Przekształcanie równań służy do wyznaczenia jednej niewiadomej względem innych. Przy przekształcaniu wzorów postępujemy tak samo jak przy rozwiązywaniu równań. Wykonujemy więc czynności takie jak dodawanie/odejmowanie tego samego wyrażenia od obu stron oraz mnożenie/dzielenie przez to samo wyrażenie obu stron.

Przykłady:

  1. mnożenie/dzielenie przez to samo wyrażenie

    $$k÷z=y+l $$
    $$k=(y+l)×z$$ (pomnożyliśmy obie strony prze „z”)
  2. dodawanie/odejmowanie tego samego wyrażenia

    $$z+p=k$$
    $$z=k-p$$ (odjęliśmy od obu stron „p”)
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Rozwiąż równanie:

  1. $$ x+5=10 $$
  2. $$ 2x+3=15 $$
  3. $$ 5x+13=23 $$
  1. $$ x+5=10 $$
    $$ x=5 $$
  2. $$ 2x+3=15 $$
    $$ 2x=12 $$
    $$ x=6 $$

  3. $$ 5x+13=23 $$
    $$ 5x=10 $$
    $$ x=2 $$

Zadanie 2.

Ułóż i rozwiąż odpowiednie równanie:
Liczba o 3 większa od x jest 3 razy większa od x.

$$ x+3=3x $$
$$ 3=2x $$
$$ x=1,5 $$

Zadanie 3.

Tata Zosi jest od niej 3 razy starszy, a Zosia jest od niego młodsza o 30 lat. Ile lat ma Zosia?

x -> wiek Zosi
$$ x+30 $$ lub $$ 3x$$ -> wiek taty Zosi
$$ x+30=3x $$
$$ 2x=30 $$
$$ x=15 $$
Odp.: Zosia ma 15 lat.

Zadanie 4.

Julek i Zosia są w sumie o 6 lat starsi od swojego brata Michała, ale każde z nich z osobna jest od niego młodsze: Julek o 7 lat, Zosia o 2 lata. Ile lat mają w sumie wszyscy troje?

$$ x $$ -> wiek Michała
$$ x-7 $$ -> wiek Julka
$$ x-2 $$ -> wiek Zosi
$$ x-7+x-2=x+6 $$
$$ 2x-9=x+6 $$
$$ x=15 $$ -> wszyscy: $$ 15+8+13=36$$
Odp.: Wszyscy troje mają razem 36 lat.

Zadanie 5.

Ile trzeba użyć soli, aby po zmieszaniu z 150 g wody otrzymać roztwór o stężeniu $$ 6,25% $$ ?

x -> potrzebna sól

$$ x/{150+x}×100%=6,25% $$

$$ x={6,25}/{100} (150+x) $$

$$ x=9,375+0,0625x $$

$$ 0,9375x=9,375 $$

$$ x=10 g $$
Odp.: Trzeba użyć 10 g soli, aby otrzymać 6,25% rozwór.

Zadanie 6.

Ustal, ile liczb naturalnych spełnia nierówność $$ 2x < x+3$$.

$$ 2x < x+3 $$
$$ x<3 $$ -> spełniają je liczby: 0,1,2
Odp.: Tą nierówność spełniają 3 liczby naturalne - 0,1,2.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Oceń prawdziwość podanych zdań. wybierz P, jeśli zdanie...

`750000=7,5*10^5!=7,5*10^4 \ \ \ "F"` 

`0,00000082=8,2*10^-7!=8,2*10^-8 \ \ \ "F"` 

`0,000001=1*10^-6 \ \ \ "P"` 

Z miejscowości K do miejscowości m wyruszyli jednocześnie dwaj motocykliści...



Z twierdzenia Pitagorasa możemy obliczyć długość trasy Motocyklisty II:

162+302=x2

256+900=x2

x2=1156

x=34 [km]



Długość trasy Motocyklisty I wynosiła:

16 km+30 km=46 km


Różnica długości tras motocyklistów wynosiła:

46 km-34 km=12 km


Czas, w którym Motocyklista I pokonał tą trasę:

46:75=46/75= 368/600=36,8/60=36 2/15 [min]



Czas, w którym Motocyklista II pokonał tą trasę:

34/68= 0,5[ h]

0,5 h=30 min



A. PRAWDA

B. FAŁSZ

C. PRAWDA

D. FAŁSZ

W klasie 7a jest 25 uczniów, a w klasie 7b - 20 uczniów...

`a)`

`ul(ul(7a))`

`"niemiecki: "60%*25=60/100*25=3/strike5^1*strike25^5=15`

`"francuski: "25-15=10`

 

 

`ul(ul(7b))`

`"niemiecki: "55%*20=55/100*20=11/20*20=11`

`"francuski: "20-11=9`

 

 

`b)`

`"niemiecki: "(15+11)/(25+20)=26/45=26/45*100%=2600/45%=520/9%=57 7/9%`

`"francuski: "(10+9)/(25+20)=19/45=19/45*100%=1900/45%=380/9%=42 2/9%`

 

Korzystając z informacji zamieszczonych na rysunku, wykonaj...




Współrzędne punktów A i B:

A=(8,-4) a B=(3,6)

Obliczmy współrzędne punktu S:

`S=((8+3)/2, (-4+6)/2)` 

`S=(11/2, 2/2)` 

`S=(5,5 ; 1)` 

Odcinki równoległe na tym rysunku to:

RS i CA; BA i RP; PS i CB


Korzystając z twierdzenia Pitagorasa możemy obliczyć długości boków trójkąta ABC oraz trójkąta PRS:

`5^2+10^2=AB^2` 

`25+100=AB^2` 

`AB^2=125 \ \ |sqrt` 

`AB=sqrt125` 

`AB=5sqrt5` 


`6^2+14^2=AC^2` 

`36+196=AC^2` 

`AC^2=232 \ \ |sqrt` 

`AC=sqrt232` 

`AC=2sqrt58` 


`4^2+9^2=BC^2` 

`16+81=BC^2` 

`BC^2=97 \ \ |sqrt` 

`BC=sqrt97` 

`BC=sqrt(4*24,25)` 

`BC=2sqrt24,25` 


`7^2+3^2=RS^2` 

`49+9=RS^2` 

`RS^2=58 \ \ |sqrt` 

`RS=sqrt58` 



`5^2+2,5^2=PR^2` 

`25+6,25=PR^2` 

`PR^2=31,25 \ \ |sqrt` 

`PR=sqrt31,25` 

`PR=sqrt(6,25*5)` 

`PR=2,5sqrt5` 




`4,5^2+2^2=PS^2` 

`20,25+4=PS^2` 

`PS^2=24,25 \ \ |sqrt` 

`PS=sqrt24,25` 

Możemy zauważyć, iż boki  trójkąta PSR są dwa razy krótsze od odpowiednio równoległych boków trójkąta ABC.

Ile co najmniej metrów kwadratowych ma powierzchnia owczarni dla 350 owiec

5 owiec = 5 m²

1 owca = 1 m²

350 owiec = 350 m²

 

Odp.: Powierzchnia owczarni ma conajmniej 350 m²  .

Doprowadź wyrażenie do najprostszej postaci

Skorzystamy ze wzorów podanych w przykładzie 2 na stronie 177. 

`(a+b)(a+b)=a^2+2ab+b^2`

`(a-b)(a-b)=a^2-2ab+b^2`

`(a+b)(a-b)=a^2-b^2`   


 

`a)\ (2x-3)(2x-3)-(2x+3)(2x+3)=` 

`\ \ \ =((2x)^2-2*2x*3+3^2)-((2x)^2+2*2x*3+3^2)=` 

`\ \ \ =(4x^2-12x+9)-(4x^2+12x+9)=` 

`\ \ \ =4x^2-12x+9-4x^2-12x-9=-24x` 

Wartość liczbowa dla x= -1/to: 

`-strike24^4*(-1/strike6^1)=4`  

 

`b)\ (3a-2b)(3a+2b)-(2b-4a)(2b+4a)=` 

`\ \ \ =((3a)^2-(2b)^2)-((2b)^2-(4a)^2)=` 

`\ \ \ =(9a^2-4b^2)-(4b^2-16a^2)=` 

`\ \ \ =9a^2-4b^2-4b^2+16a^2=25a^2-8b^2` 

Wartość liczbowa dla a= -1/5 i b=3/7 to:

`25a^2-8b^2=25*(-1/5)^2-8*(3/7)^2=` 
`=strike25^1*1/strike25^1-8*9/49=1-72/49=49/49-72/49=-23/49`       

Wzór E=mc², chyba najbardziej znany na świecie...

`E=mc^2\ \ \ |:c^2`

`m=E/c^2`

Liczba x spełnia równanie

`x=-root()16=-4`

 

 

`A.`

`(-3x-2)/2-(-3x-3)/3=(-3x-4)/4`

`(-3x-2)/2-(-x-1)=(-3x-4)/4`

`(-3x-2)/2+x+1=(-3x-4)/4\ \ \ |*4`

`2(-3x-2)+4x+4=-3x-4`

`-6x-4+4x+4=-3x-4`

`-2x=-3x-4\ \ \ |+3x`

`x=-4`

 

 

`B.`

`-[-(-x-1)-1]-1=1-[-1(-1-x)-x]-x-1`

`-[x+1-1]-1=1-[1+x-x]-x-1`

`-x-1=1-1-x-1`

`-x-1=-x-1\ \ \ |+x`

`-1=-1`

Otrzymaliśmy równość, która zawsze jest prawdziwa, zatem równanie jest tożsamościowe - spełnia je każda liczba (a więc spełnia je także x=-4)

 

 

`C.`

`5-(2-x)/2=-1-(-1+x)-1^0-1^1`

`5-(2-x)/2=-1+1-x-1-1`

`5-(2-x)/2=-x-2\ \ \ |*2`

`10-(2-x)=-2x-4`

`10-2+x=-2x-4`

`8+x=-2x-4\ \ \ |+2x`

`8+3x=-4\ \ \ |-8`

`3x=-12\ \ \ |:3`

`x=-4`

 

 

 

`D.`

`-[-(-x)]-4=(x-2)-(-2+x)`

`-x-4=x-2+2-x`

`-x-4=0\ \ \ |+4`

`-x=4\ \ \ |*(-1)`

`x=-4`

 

 

`odp.\ A,\ B,\ C,\ D`

Z zapisu k٠a٠k٠a٠o=k٠a٠w٠a wyznacz zmienną o...

`k*a*k*a*o=k*a*w*a`

`a^2k^2o=a^2kw\ \ \ \ |:a^2ne0\ \ \ \ ("czyli"\ \ ane0)`

`k^2o=kw\ \ \ \ |:k^2ne0\ \ \ \ ("czyli"\ \ kne0)`

`o=(kw)/k^2`

`o=w/k`

 

 

Ustal , o ile zwiększy się twoja ...

a) `x`  - suma ocen 

`10`  - ilość ocen 

Średnia wynosi więc: `x/10`  

Jeśli jedną z ocen poprawimy o 1 stopień, to suma ocen zwiększy się o 1. 

`x+1`  - suma ocen po poprawieniu jednej oceny  

`10`  - ilość ocen 

Średnia będzie wynosić wtedy: 

`(x+1)/10=x/10+1/10=x/10+0,1`  


Zauważmy, że nowa średnia będzie o 0,1 większa od początkowej średniej. 

 

b)  `y`  - suma ocen

`10`  - ilość ocen

Średnia wynosi więc:  `y/10` 

Jeśli każdą z ocen poprawimy o 1 stopień, to suma ocen zwiększy się o 1٠10=10. 

`y+10`  - suma ocen po poprawieniu każdej z nich    

`10`  - ilość ocen 

Średnia będzie wynosić więc: 

`(y+10)/10=y/10+10/10=y/10+1` 


Zauważmy, że nowa średnia będzie o 1 większa od początkowej średniej.