Równania - 7-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Równania - 7-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Liczby spełniające równania

Litery w równaniu oznaczają liczby, których nie znamy, czyli niewiadome

Liczby odpowiadające tym niewiadomym nazywamy liczbami spełniającymi równanie lub pierwiastkami równania.

Przykłady

  • równanie  `x+6=10`  spełnia liczba `4`, gdyż  `4+6=10`, czyli `x=4` 

  • równanie  `2x+1=1`  spełnia liczba `0`, gdyż  `2*0+1=0+1=1`, czyli `x=1`     



Równania z jedną niewiadomą mogą:

  • nie mieć żadnego rozwiązania - równania sprzeczne;

  • mieć jedno rozwiązanie;

  • mieć nieskończenie wiele rozwiązań - równania tożsamościowe.  

Przykłady: 

  • równanie  `x+5=0`  ma jedno rozwiązanie, spełnia je liczba  `-5` , czyli  `x=-5`   

  • równanie  `x+2=x+1`  nie ma rozwiązania, nie spełnia go żadna liczba - równanie sprzeczne

  • równanie  `x+2=2+x`  ma nieskończenie wiele rozwiązań, spełnia go każda liczba  - równanie tożsamościowe



Zbiór liczb spełniających równanie to zbiór rozwiązań równania

Jeśli dwa równania mają taki sam zbiór rozwiązań, to są to równania równoważne

Przykład: 

  • równania  `x+2=5`  i  `x-3=0`  są równoważne, gdyż rozwiązaniem każdego z nich jest liczba 3 

Sposoby rozwiązywania równań

Aby obliczyć jaka liczba spełnia równanie należy je rozwiązać.

Najprostszą metodą rozwiązywania równań jest metoda równań równoważnych.

Polega ona na dodaniu/odjęciu tego samego wyrażenia od obu stron równania lub na pomnożeniu/podzieleniu przez tę samą liczbę (różną od zera) obu stron równania.

Przykłady:

  1. dodanie tego samego wyrażenia

    `x-10=14 \ \ \ \ \ \ \ \ |+10`   

    `x=24`    (dodaliśmy do obu stron równania liczbę 10)

  2. odjęcie tego samego wyrażenia

    `y+13=23 \ \ \ \ \ \ \ \ |-13` 

    `y=10`    (odjęliśmy od obu stron równania liczbę 13)

  3. pomnożenie przez tę samą liczbę

    `0,5x=7 \ \ \ \ \ \ \ \ |*2`  

    `x=14`     (pomnożyliśmy obie strony równania razy 2)

  4. podzielenie przez tę samą liczbę

    `3x=27 \ \ \ \ \ \ \ \ |:3`  

    `x=9`    (podzieliliśmy obie strony równania przez 3)

Przekształcanie wzorów

Przekształcanie wzorów służy do wyznaczenia określonej niewiadomej.

Przy przekształcaniu wzorów postępujemy tak samo jak przy rozwiązywaniu równań. Wykonujemy więc czynności takie jak dodawanie / odejmowanie od obu stron tego samego wyrażenia lub mnożenie / dzielenie obu stron przez to samo wyrażenie.

Przykłady:

  1. dodawanie / odejmowanie tego samego wyrażenia

    Ze wzoru  `z+p=k`  wyznaczamy zmienną  `z` 

    `z+p=k \ \ \ \ \ \ \ \ |-p`   

    `z=k-p` 

    Ze wzoru  `k-5=x`  wyznaczamy zmienną  `k`  

    `k-5=x \ \ \ \ \ \ \ \ |+5`  

    `k=x+5`  

  2. mnożenie / dzielenie przez to samo wyrażenie

    Ze wzoru  `m/z=y+l` , gdzie `z!=0`, wyznaczamy zmienną  `m`   
    `m/z=y+l \ \ \ \ \ \ \ \ |*z`  

    `m=(y+l)*z`  

    Ze wzoru  `dt=x+5`  wyznaczamy zmienną  `d`   

    `dt=x+5 \ \ \ \ \ \ \ \ |:t \ \ \ \ \ t!=0` 

    `d=(x+5)/t`     

 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Rozwiąż równanie:

  1. $ x+5=10 $
  2. $ 2x+3=15 $
  3. $ 5x+13=23 $
  1. $ x+5=10 $
    $ x=5 $
  2. $ 2x+3=15 $
    $ 2x=12 $
    $ x=6 $

  3. $ 5x+13=23 $
    $ 5x=10 $
    $ x=2 $

Zadanie 2.

Ułóż i rozwiąż odpowiednie równanie:
Liczba o 3 większa od x jest 3 razy większa od x.

$ x+3=3x $
$ 3=2x $
$ x=1,5 $

Zadanie 3.

Tata Zosi jest od niej 3 razy starszy, a Zosia jest od niego młodsza o 30 lat. Ile lat ma Zosia?

x -> wiek Zosi
$ x+30 $ lub $ 3x$ -> wiek taty Zosi
$ x+30=3x $
$ 2x=30 $
$ x=15 $
Odp.: Zosia ma 15 lat.

Zadanie 4.

Julek i Zosia są w sumie o 6 lat starsi od swojego brata Michała, ale każde z nich z osobna jest od niego młodsze: Julek o 7 lat, Zosia o 2 lata. Ile lat mają w sumie wszyscy troje?

$ x $ -> wiek Michała
$ x-7 $ -> wiek Julka
$ x-2 $ -> wiek Zosi
$ x-7+x-2=x+6 $
$ 2x-9=x+6 $
$ x=15 $ -> wszyscy: $ 15+8+13=36$
Odp.: Wszyscy troje mają razem 36 lat.

Zadanie 5.

Ile trzeba użyć soli, aby po zmieszaniu z 150 g wody otrzymać roztwór o stężeniu $ 6,25% $ ?

x -> potrzebna sól

$ x/{150+x}×100%=6,25% $

$ x={6,25}/{100} (150+x) $

$ x=9,375+0,0625x $

$ 0,9375x=9,375 $

$ x=10 g $
Odp.: Trzeba użyć 10 g soli, aby otrzymać 6,25% rozwór.

Zadanie 6.

Ustal, ile liczb naturalnych spełnia nierówność $ 2x < x+3$.

$ 2x < x+3 $
$ x<3 $ -> spełniają je liczby: 0,1,2
Odp.: Tą nierówność spełniają 3 liczby naturalne - 0,1,2.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wyrażenie -2a(-a+b-1)-1/2(2a-4ab+b) jest równe...

Prawidłowa odpowiedź : {premium}`-2a(-a+b-1)-1/2(2a-4ab+b)=2a^2-2ab+2a-a+2ab-1/2b=2a^2+a-1/2b` 



 

Uzasadnij, że trójkąty przedstawione na rysunku mają równe pola.

Pole pierwszego trójkąta (od lewej) to różnica wielkości pola prostokąta o bokach długości 2 i 6 oraz sumy pól trzech trójkątów ( P1, P2 i P3)
zatem wynosi ono:

 {premium}



Pole drugiego trójkąta (od lewej) to różnica wielkości pola prostokąta o bokach długości 2 i 6 oraz sumy pól trzech trójkątów ( P4, P5 i P6)
zatem wynosi ono:

 

 

 

W tabeli podano, ile litrów wody w ciągu sekundy spływa wybranymi...
Rzeka Ilość wody w litrach na sekundę Ilość wody w litrach na rok Ilość wody w km3 na rok
Amazonka 1,2٠108 1,2٠108٠ 3,15٠107= 3,78٠1015 3,78٠1015 :1012  =3,78٠103
Jangcy{premium} 3,5٠ 107 3,5٠ 10٠ 3,15٠10=
=11,025٠ 1014 =1,1025٠ 1015
1,1025٠ 1015 :1012  =1,1025٠103  
Dunaj 6٠ 106 6٠ 106٠ 3,15٠10=18,9 ٠1013  =
=1,89٠1014
1,89 ٠1014:1012  =1,89 ٠102
Sekwana 5,3٠ 105 5,3٠ 105٠ 3,15٠10=16,695 ٠1012
1,6695 ٠1013
1,6695 ٠1013:1012  =1,6695 ٠10
W klasie liczącej 20 osób było 60% dziewcząt.

a) 20 -liczba osób w klasie (przed zmianą)
60%∙20=12 -liczba dziewcząt w klasie (przed zmianą) [60%∙20=0,6∙20=12]
20-12=8 -liczba chłopców w klasie (przed zmianą)

x -liczba zapisanych chłopców
8+x -liczba chłopców (po zmienie)
20+x -liczba uczniów w klasie (po zmianie)

Po zmianie dziewczyny (dziewczyn nadal jest 12) stanowią 48% całej klasy, czyli:
 

Rozwiązujemy równanie. 
 
 
 
 

Obliczamy, ile osób liczy klasa po przyjściu dodatkowych uczniów. 
 

Po przyjściu dodatkowych uczniów klasa liczy 25 osób
{premium}  


b) 25 -liczba czekoladek w bombonierce
40%∙25=0,4∙25=10 -liczba orzechowych czekoladek
x -liczba zjedzonych przez Michała czekoladek
10-x -liczba orzechowych czekoladek, które pozostały w bombonierce
25-x -liczba pozostałych czekoladek w bombonierce po zjedzeniu kilku orzechowych czekoladek

Czekoladki orzechowe, które pozostały w bombonierce (8-x) stanowią 25% czekoladek, które pozostały w bombonierce (25-x). 
Równanie ma postać:
 
  
  
  
 
 

Michał zjadł 5 czekoladek orzechowych.
 


c) x -liczba kredek w pudełku
80%∙x=0,8x -liczba zatemperowanych kredek w pudełku
x-20 -liczba kredek w pudełku po wyjściu 20 zatemperowanych
0,8x-20 -liczba zatemperowanych kredek w pudełku po wyjęciu 20

Zatemperowane kredki (0,8x-20) stanowią 64% kredek pozostałych w pudełku (x-20), czyli:
 

Rozwiązujemy równanie. 
 
 
 
 
 

Wszystkich kredek było 45. Obliczamy, ile kredek pozostało w pudełku po wyjęciu 20.
 

W pudełku pozostało 25 kredek.
 


d) x -liczba tulipanów w wazonie
70%x=0,7x -liczba czerwonych tulipanów
x+10 -liczba tulipanów w wazonie po dołożeniu 10
0,7x+10 -liczba czerwonych tulipanów po dołożeniu 10

Czerwone tulipany (0,7x+10) stanowią 80% wszystkich tulipanów (x+10), czyli:
 

Rozwiązujemy równanie. 
 
 
 
 
 

Obliczamy, ile czerwonych tulipanów znajduje się w wazonie. 
 

W wazonie są 24 czerwone tulipany. 

Oblicz długość odcinków przedstawionych...

Zaznaczone punkty mają współrzędne:

A=(-2, -1)

B=(-2, 3)

C=(2, -1)

D=(5, -3)


Rysunek pomocniczy:{premium}



długość odcinka AB łatwo odczytać z rysunku (ponieważ odcinek ten jest równoległy do osi y), możemy ją również obliczyć w następujący sposób:

 


długość odcinka CD możemy obliczyć korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

  

 

 

 

W dwóch pojemnikach jest 18,5 l wody. Po ile litrów ...

  - ilość wody w pierwszym pojemniku [w litrach]

  - ilość wody w drugim pojemniku [w litrach]{premium} (bo jest o 2,5 l mniej niż w pierwszym pojemniku)

  - łączna ilość wody w obu pojemnikach [w litrach]


Równanie opisujące tą sytuację ma postać: 

 

 

 

 

W pierwszym pojemniku znajduje się 10,5 l wody. 


Obliczamy, ile wody znajduje się w drugim pojemniku.    

 

W drugim pojemniku znajduje się 8 l wody. 


Odpowiedź: W jednym z pojemników znajduje się 10,5 litra wody, a w drugim - 8 litrów wody.  

Akwarium w kształcie prostopadłościanu ...

Wysokość akwarium wynosi 40 cm. Woda sięga do połowy wysokości, czyli na wysokość: . {premium}


Woda znajdująca się w akwarium, ograniczona jego ścianami, ma kształt prostopadłościanu o wymiarach 20 cm x 50 cm x 20 cm. 

Obliczamy, ile wynosi objętość tej wody. 

 


Do akwarium dolewamy 5 l = 5000 ml = 5000 cm3 wody.

Objętość wody po dolaniu 5 l będzie wynosić:  . 

Woda znajdująca się w akwarium i ograniczona jego ścianami nadal ma kształt prostopadłościanu, jednak o innej wysokości (h).

     

 

 

Po dolaniu 5 l wody sięga ona na wysokość 25 cm. 


Odpowiedź: Woda będzie sięgała do wysokości 25 cm.  

Wyłącz liczbę przed...

 

 

{premium}  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Utworzono figurę z dwóch prostokątów .Ile razy zwiększy się pole całej figury

{premium}

Odp.: Pole zwiększy się 6 razy.

- Teraz jestem siedem razy starsza od mojej córki. Za 20 lat będę od niej dwa razy starsza

wiek córki: x

wiek mamy: 7x{premium}


 

 

wiek mamy:

Odp. Pani ma teraz 28 lat.