Równania i nierówności - 7-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Liczby spełniające równanie

Liczby odpowiadające niewiadomym nazywamy liczbami spełniającymi równanie lub pierwiastkami równania.

Równania z jedną niewiadomą mogą nie mieć żadnego rozwiązania, mogą też mieć jedno lub więcej rozwiązań.

 

Równania tożsamościowe to takie które mają przynamniej jedno rozwiązanie ( może być też nieskończenie wiele rozwiązań ).

Przykład:

  • $$x+3=10$$ -> rozwiązaniem jest x=7

Równania sprzeczne to takie, które nie mają rozwiązania.

Przykład:

  • $$x+3=x-10$$ -> nie ma rozwiązań

Sposoby rozwiązywania równań

Aby dojść, jaka liczba spełnia równanie, należy je rozwiązać. Najprostszą metodą rozwiązywania równań jest metoda równań równoważnych. Polega ona na dodaniu/odjęciu tego samego wyrażenia od obu stron równania lub na pomnożeniu/podzieleniu przez tę samą liczbę (różną od zera) obu stron równania.

Przykłady:

  1. dodanie tego samego wyrażenia:

    $$x-10=14$$
    $$x=24$$ (dodaliśmy z obu stron liczbę 10)
  2. odjęcie tego samego wyrażenia:

    $$y+13=23$$
    $$y=10$$ (odjęliśmy z obu stron liczbę 13)
  3. pomnożenie przez tę samą liczbę:

    $$0.5x=7$$
    $$x=14$$(pomnożyliśmy obie strony przez 2)
  4. podzielenie prze tę samą liczbę:

    $$3x=27$$
    $$x=9 $$ (podzieliliśmy obie strony przez 3)
 

Nierówności

Nierówność jest to podobne do równania połączenie dwóch wyrażeń algebraicznych, w którym zamiast znaku równości występują znaki: „większy” (>), "mniejszy" ($$< $$), "większy równy" ($$≥$$), „mniejszy równy” ($$≤$$). Rozwiązywanie takiej nierówności jest bardzo podobne do rozwiązywania równania, a rozwiązaniem jest przeważnie zbiór liczb. Czasami jednak zdarza się, że rozwiązaniem może być tylko jedna liczba. Rozwiązania można przedstawić na osi liczbowej.

Przykłady nierówności:

  • $$2x-4<3$$
  • $$4y+20>15$$
  • $$3k+2≤10$$
  • $$ 4p-1≥3$$

Przedstawianie rozwiązań na osi liczbowej:

  • $$ x>3 $$

    przyklad1
  • $$x<3 $$

    przyklad2
  • $$x≤4$$

    przyklad3
  • $$x≥4$$

    przyklad4

Przekształcanie równań

Przekształcanie równań służy do wyznaczenia jednej niewiadomej względem innych. Przy przekształcaniu wzorów postępujemy tak samo jak przy rozwiązywaniu równań. Wykonujemy więc czynności takie jak dodawanie/odejmowanie tego samego wyrażenia od obu stron oraz mnożenie/dzielenie przez to samo wyrażenie obu stron.

Przykłady:

  1. mnożenie/dzielenie przez to samo wyrażenie

    $$k÷z=y+l $$
    $$k=(y+l)×z$$ (pomnożyliśmy obie strony prze „z”)
  2. dodawanie/odejmowanie tego samego wyrażenia

    $$z+p=k$$
    $$z=k-p$$ (odjęliśmy od obu stron „p”)
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Rozwiąż równanie:

  1. $$ x+5=10 $$
  2. $$ 2x+3=15 $$
  3. $$ 5x+13=23 $$
  1. $$ x+5=10 $$
    $$ x=5 $$
  2. $$ 2x+3=15 $$
    $$ 2x=12 $$
    $$ x=6 $$

  3. $$ 5x+13=23 $$
    $$ 5x=10 $$
    $$ x=2 $$

Zadanie 2.

Ułóż i rozwiąż odpowiednie równanie:
Liczba o 3 większa od x jest 3 razy większa od x.

$$ x+3=3x $$
$$ 3=2x $$
$$ x=1,5 $$

Zadanie 3.

Tata Zosi jest od niej 3 razy starszy, a Zosia jest od niego młodsza o 30 lat. Ile lat ma Zosia?

x -> wiek Zosi
$$ x+30 $$ lub $$ 3x$$ -> wiek taty Zosi
$$ x+30=3x $$
$$ 2x=30 $$
$$ x=15 $$
Odp.: Zosia ma 15 lat.

Zadanie 4.

Julek i Zosia są w sumie o 6 lat starsi od swojego brata Michała, ale każde z nich z osobna jest od niego młodsze: Julek o 7 lat, Zosia o 2 lata. Ile lat mają w sumie wszyscy troje?

$$ x $$ -> wiek Michała
$$ x-7 $$ -> wiek Julka
$$ x-2 $$ -> wiek Zosi
$$ x-7+x-2=x+6 $$
$$ 2x-9=x+6 $$
$$ x=15 $$ -> wszyscy: $$ 15+8+13=36$$
Odp.: Wszyscy troje mają razem 36 lat.

Zadanie 5.

Ile trzeba użyć soli, aby po zmieszaniu z 150 g wody otrzymać roztwór o stężeniu $$ 6,25% $$ ?

x -> potrzebna sól

$$ x/{150+x}×100%=6,25% $$

$$ x={6,25}/{100} (150+x) $$

$$ x=9,375+0,0625x $$

$$ 0,9375x=9,375 $$

$$ x=10 g $$
Odp.: Trzeba użyć 10 g soli, aby otrzymać 6,25% rozwór.

Zadanie 6.

Ustal, ile liczb naturalnych spełnia nierówność $$ 2x < x+3$$.

$$ 2x < x+3 $$
$$ x<3 $$ -> spełniają je liczby: 0,1,2
Odp.: Tą nierówność spełniają 3 liczby naturalne - 0,1,2.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Uzupełnij:

`a)\ 3,75=3 3/4=3 6/8=30/8`

`b)\ 1 1/5=1,2=12/10=120/100`

`c)\ 12/15=4/5=8/10=80/100`

`d)\ 104/100=1,04=1 1/25=26/25`

`e)\ 39/12=13/4=3 1/4=3,25`

`f)\ 2125/1000=2,125=2 1/8=17/8`

Na rysunku wierzchołki pięciokąta foremnego leżą na okręgu...

Można łatwo narysować ten dziesięciokąt, kreśląc najpierw symetralne boków pięciokąta. Wierzchołki pięciokąta oraz punkty przecięcia symetralnych i okręgu będą szukanymi wierzchołkami dziesięciokąta foremnego.

Skreśl te punkty, które nie należą do narysowanej figury...

Skreślamy następujące litery: L, U, N, I, Y, K

Hasło: FERMAT

Oblicz wartości liczbowe wyrażeń algebraicznych dla podanych wartości zmiennych.

a) 12x+3

dla x=2

12 2+3= 24+3=27


dla x=-2

12 (-2)+3=-24+3=-21



b) -n2+1

dla n=1

-12+1=-1+1=0


dla n=3

-32+1=-9+1=-8



c) 8/a

dla a=2

`8/2=4` 


dla a=1/4

`8/(1/4)=8*4=32` 

Uzupełnij tabelę.
Potęga Liczba Słownie
`10^0`   `1`  `"jeden"` 
`10^1`  `10`  `"dziesięć"` 
`10^2`  `100`  `"sto"` 
`10^3`  `1000`  `"tysiąc"` 
`10^4`  `10 \ 000`  `"10 tysięcy"` 
`10^5`  `100 \ 000`   `"100 tysięcy"` 
`10^6`  `1 \ 000 \ 000`  `"milion"` 
`10^7`  `10 \ 000 \ 000`  `"10 milionów"` 
`10^8`  `100 \ 000 \ 000`  `"100 milionów"` 
`10^9`  `1 \ 000 \ 000 \ 000`  `"miliard"`  
`10^10`   `10 \ 000 \ 000 \ 000`  `"10 miliardów"` 
`10^12`  `1 \ 000 \ 000 \ 000 \ 000`  `"bilion"` 
`10^15`   `1 \ 000 \ 000 \ 000 \ 000 \ 000`   `"biliard"` 
`10^18`  `1 \ 000 \ 000 \ 000 \ 000 \ 000 \ 000`  `"trylion"` 
`10^19`   `10 \ 000 \ 000 \ 000 \ 000 \ 000 \ 000`  `"10 trylionów"` 
Wpisz do tabelki odpowiednie numery trójkątów.
  ostrokątne prostokątne rozwartokątne
trójkąty 3, 6, 8 2, 4, 7 1, 5, 9
trójkąty równoramienne

3, 6 7 9
trójkąty równoboczne 6    
Oblicz pierwiastek i uzasadnij wynik.

`a) \ \ sqrt{16}=4, \ \ \ \ \ "bo" \ \ \ 4*4=4^2=16` 

`b) \ \ sqrt{81}=9, \ \ \ \ \ "bo" \ \ \ 9*9=9^2=81` 

`c) \ \ sqrt{3600}=60, \ \ \ \ \ "bo" \ \ \ 60*60=60^2=3600` 

`d) \ \ sqrt{1 \ 000 \ 000}=1000, \ \ \ \ \ "bo" \ \ \ 1000*1000=1000^2=1 \ 000 \ 000` 

`e) \ \ sqrt{16 \ 000 \ 000}=4000, \ \ \ \ \ "bo" \ \ \ 4000*4000=4000^2=16 \ 000 \ 000`      

Oblicz przybliżoną wartość wyrażenia z dokładnością ...

`10sqrt{3}-sqrt{5}~~10*1,73-2,23=17,3-2,23=15,07~~15 \ \ \ \ \ - \ \ H` 


`100sqrt{5}-100sqrt{3}=100(sqrt{5}-sqrt{3})~~100(2,23-1,73)=100*0,5=50 \ \ \ \ \ - \ \ E` 


`sqrt{5}+sqrt{2}~~2,23+1,41=3,64~~4 \ \ \ \ \ - \ \ B` 


`2sqrt{2}-sqrt{5}~~2*1,41-2,23=2,82-2,23=0,59~~1 \ \ \ \ \ - \ \ A` 


`12sqrt{5}-2sqrt{5}=10sqrt{5}~~10*2,23=22,3~~22 \ \ \ \ \ - \ \ N` 


Hasło: HEBAN     

Przeczytaj poniższą listę własności czworokątów....

Należy wpisać kody w następujący sposób:


Trapez: A1

Trapez prostokątny: A1, C1, D1

Trapez równoramienny: A1, B1, D2, E1

Równoległobok: A2, B2, D2, E2

Prostokąt: A2, B2, C2, D3, E1, E2

Romb: A2, B3, D2, E2, E3

Kwadrat: A2, B3, C2, D3, E1, E2, E3

Wyraź pola narysowanych prostokątów na dwa sposoby.





`P= 0,6* 1=0,6 \ "[m"^2"]"= 6000 \ "[cm"^2"]"`         `P= 50* 40=2000 \ "[cm"^2"]"= 0,2 \ "[m"^2"]"`              `P= 2000* 500=1000000 \ "[m"^2"]"= 1 \ "[km"^2"]"`