Równania i nierówności - 7-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Liczby spełniające równanie

Liczby odpowiadające niewiadomym nazywamy liczbami spełniającymi równanie lub pierwiastkami równania.

Równania z jedną niewiadomą mogą nie mieć żadnego rozwiązania, mogą też mieć jedno lub więcej rozwiązań.

 

Równania tożsamościowe to takie które mają przynamniej jedno rozwiązanie ( może być też nieskończenie wiele rozwiązań ).

Przykład:

  • $$x+3=10$$ -> rozwiązaniem jest x=7

Równania sprzeczne to takie, które nie mają rozwiązania.

Przykład:

  • $$x+3=x-10$$ -> nie ma rozwiązań

Sposoby rozwiązywania równań

Aby dojść, jaka liczba spełnia równanie, należy je rozwiązać. Najprostszą metodą rozwiązywania równań jest metoda równań równoważnych. Polega ona na dodaniu/odjęciu tego samego wyrażenia od obu stron równania lub na pomnożeniu/podzieleniu przez tę samą liczbę (różną od zera) obu stron równania.

Przykłady:

  1. dodanie tego samego wyrażenia:

    $$x-10=14$$
    $$x=24$$ (dodaliśmy z obu stron liczbę 10)
  2. odjęcie tego samego wyrażenia:

    $$y+13=23$$
    $$y=10$$ (odjęliśmy z obu stron liczbę 13)
  3. pomnożenie przez tę samą liczbę:

    $$0.5x=7$$
    $$x=14$$(pomnożyliśmy obie strony przez 2)
  4. podzielenie prze tę samą liczbę:

    $$3x=27$$
    $$x=9 $$ (podzieliliśmy obie strony przez 3)
 

Nierówności

Nierówność jest to podobne do równania połączenie dwóch wyrażeń algebraicznych, w którym zamiast znaku równości występują znaki: „większy” (>), "mniejszy" ($$< $$), "większy równy" ($$≥$$), „mniejszy równy” ($$≤$$). Rozwiązywanie takiej nierówności jest bardzo podobne do rozwiązywania równania, a rozwiązaniem jest przeważnie zbiór liczb. Czasami jednak zdarza się, że rozwiązaniem może być tylko jedna liczba. Rozwiązania można przedstawić na osi liczbowej.

Przykłady nierówności:

  • $$2x-4<3$$
  • $$4y+20>15$$
  • $$3k+2≤10$$
  • $$ 4p-1≥3$$

Przedstawianie rozwiązań na osi liczbowej:

  • $$ x>3 $$

    przyklad1
  • $$x<3 $$

    przyklad2
  • $$x≤4$$

    przyklad3
  • $$x≥4$$

    przyklad4

Przekształcanie równań

Przekształcanie równań służy do wyznaczenia jednej niewiadomej względem innych. Przy przekształcaniu wzorów postępujemy tak samo jak przy rozwiązywaniu równań. Wykonujemy więc czynności takie jak dodawanie/odejmowanie tego samego wyrażenia od obu stron oraz mnożenie/dzielenie przez to samo wyrażenie obu stron.

Przykłady:

  1. mnożenie/dzielenie przez to samo wyrażenie

    $$k÷z=y+l $$
    $$k=(y+l)×z$$ (pomnożyliśmy obie strony prze „z”)
  2. dodawanie/odejmowanie tego samego wyrażenia

    $$z+p=k$$
    $$z=k-p$$ (odjęliśmy od obu stron „p”)
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Rozwiąż równanie:

  1. $$ x+5=10 $$
  2. $$ 2x+3=15 $$
  3. $$ 5x+13=23 $$
  1. $$ x+5=10 $$
    $$ x=5 $$
  2. $$ 2x+3=15 $$
    $$ 2x=12 $$
    $$ x=6 $$

  3. $$ 5x+13=23 $$
    $$ 5x=10 $$
    $$ x=2 $$

Zadanie 2.

Ułóż i rozwiąż odpowiednie równanie:
Liczba o 3 większa od x jest 3 razy większa od x.

$$ x+3=3x $$
$$ 3=2x $$
$$ x=1,5 $$

Zadanie 3.

Tata Zosi jest od niej 3 razy starszy, a Zosia jest od niego młodsza o 30 lat. Ile lat ma Zosia?

x -> wiek Zosi
$$ x+30 $$ lub $$ 3x$$ -> wiek taty Zosi
$$ x+30=3x $$
$$ 2x=30 $$
$$ x=15 $$
Odp.: Zosia ma 15 lat.

Zadanie 4.

Julek i Zosia są w sumie o 6 lat starsi od swojego brata Michała, ale każde z nich z osobna jest od niego młodsze: Julek o 7 lat, Zosia o 2 lata. Ile lat mają w sumie wszyscy troje?

$$ x $$ -> wiek Michała
$$ x-7 $$ -> wiek Julka
$$ x-2 $$ -> wiek Zosi
$$ x-7+x-2=x+6 $$
$$ 2x-9=x+6 $$
$$ x=15 $$ -> wszyscy: $$ 15+8+13=36$$
Odp.: Wszyscy troje mają razem 36 lat.

Zadanie 5.

Ile trzeba użyć soli, aby po zmieszaniu z 150 g wody otrzymać roztwór o stężeniu $$ 6,25% $$ ?

x -> potrzebna sól

$$ x/{150+x}×100%=6,25% $$

$$ x={6,25}/{100} (150+x) $$

$$ x=9,375+0,0625x $$

$$ 0,9375x=9,375 $$

$$ x=10 g $$
Odp.: Trzeba użyć 10 g soli, aby otrzymać 6,25% rozwór.

Zadanie 6.

Ustal, ile liczb naturalnych spełnia nierówność $$ 2x < x+3$$.

$$ 2x < x+3 $$
$$ x<3 $$ -> spełniają je liczby: 0,1,2
Odp.: Tą nierówność spełniają 3 liczby naturalne - 0,1,2.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Zapisz ułamek zwykły w postaci rozwinięcia dziesiętnego.



`a")" \ 4/15=0,266666666...=0,2(6)` 

`b")" \ 5/18=0,277777777...=0,2(7)` 

`c")" \ 7/22=0,318181818...=0,3(18)` 

`d")" \ 5/44=0,113636363...=0,11(36)` 

13% pewnej liczby równa się 52

`13%\ \ \ -\ \ \ 52`

`20%\ \ \ -\ \ \ x`

 `13/20=52/x`

`13x=52*20\ \ \ \ \ |:13`

`x=4*20=80`

Odp.:20% tej liczby jest równe 80. 

Zapisz w prostszej postaci.

a) `5sqrt3-6+2sqrt3=7sqrt3-6` 

b) `3sqrt6+2-1/2sqrt6+1/2=2 1/2sqrt6+2 1/2` 

c) `sqrt5+2sqrt3-6sqrt3+2sqrt5=3sqrt5-4sqrt3` 

d) `4root(3)(2)-4,5+0,5root(3)(2)-3=4,5root(3)(2)-7,5` 

e) `3root(3)(7)-8sqrt3-5root(3)(7)+sqrt3=-2root(3)(7)-7sqrt3` 

f) `1,2sqrt3-1,2root(3)(5)+0,8sqrt3-0,2root(3)(5)=2sqrt3-1,4root(3)(5)` 

 

Zapisz odpowiednie równania. a) Pan Rozrzutny miał x zł oszczędności

 oszczędności pana Rozrzutnego: x zł

kwota wypłacona w poniedziałek: 0,25x   zł

kwota wypłacona we wtorek: 0,25+60 zł

 

na konce zostało: 20 zł

`0,25x+0,25x+60+20=x`

 

Różnica sum algebraicznych...

`(-20a+7b)-(-22a-7b+7)=-20a+7b+22a+7b-7=2a+14b-7` 

 

Odp. D

 

Przyjrzyj się osi liczbowej przedstawionej ...

Zauważmy, że liczba A jest mniejsza od -1, ale jest także większa od -1,5.

Liczba B jest natomiast większa od 3 ale mniejsza od 3,5.

Odległość pomiędzy liczbami -1 i 3 jest równa 4. Odległość pomiędzy liczbami -1,5 a 3,5 jest równa 5.

Stąd odległość pomiędzy liczbami A i B jest większa od 4 i równocześnie mniejsza od 5.

 

ODP: B

 

Które z podanych par liczb są ...

Pary liczb przeciwnych znajdują się w podpunktach:

`"b)"\ 1,2=1 2/10=1 1/5=6/5 \ \ \ \ "i"\ \ \ -6/5`  

`"e)"\ 3,5\ \ \ \ "i"\ \ \ -3,5` 

 

Pary liczb odwrotnych znajdują się w podpunktach:

`"c)"\ -4,4=-4 4/10=-4 2/5=-22/5\ \ \ \ "i"\ \ \ -5/22` 

`"f)"\ -4/5\ \ \ "i"\ \ -5/4` 

`"g)"\ 8/7\ \ \ "i"\ \ \ 0,875=875/1000=7/8` 

Rozstrzygnij, czy można zbudować trójkąt o bokach długości

Aby trójkąt dało się "złożyć" suma długości dwóch najkrótszych boków musi być większa od długości trzeciego boku. 

Zamieńmy jednostki, aby wszystkie długości były wyrażone w jednej jednostce. 

`8\ dm=80\ cm`

`80\ mm=8\ cm`

 

Dwa najkrótsze boki to 80 cm i 8 cm. Ich suma jest równa 88 cm (80 cm + 8 cm = 88 cm), czyli wynosi tyle, ile długość najdłuższego boku.

Suma długości dwóch krótszych boków jest równa długości najdłuższego boku, a nie jest większa od długości najdłuższego boku, więc taki trójkąt nie istnieje. 

Wstaw nawiasy na cztery sposoby tak, aby uzyskać ...

Przykładowe rozwiązania:

`"I)"\ \ (-3-6)*5-1:8=(-9)*5-1:8=-45-1/8=-45 1/8` 

`"II)"\ (-3-6)*(5-1):8=-9*4:8=-36/8=-9/2=-4 1/2`

`"III)"\ -3-6*(5-1):8=-3-6*4:8=-3-24:8=-3-3=-6`

`"IV)"\ (-3-6*5-1):8=(-3-30-1):8=-34:8=-34/8=-17/4=-4 1/4`

Zapisz za pomocą jednomianu pole...

`"a)"` Zapisujemy wzór na pole trójkąta dla podanych danych:

`P=1/2*2 1/2a*6c=1/strike2^1*5/2*strike6^3*ac=15/2ac=7,5ac` 

`"b)"` Zapisujemy wzór na pole równoległoboku dla podanych danych:

`P=8b^2*4ac=32ab^2c` 

`"c)"` Zapisujemy wzór na pole prostokąta dla podanych danych:

`P=2aulc*3b^2ulc=6ab^2c^2`