Równania - 7-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Równania - 7-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Liczby spełniające równania

Litery w równaniu oznaczają liczby, których nie znamy, czyli niewiadome

Liczby odpowiadające tym niewiadomym nazywamy liczbami spełniającymi równanie lub pierwiastkami równania.

Przykłady

  • równanie  `x+6=10`  spełnia liczba `4`, gdyż  `4+6=10`, czyli `x=4` 

  • równanie  `2x+1=1`  spełnia liczba `0`, gdyż  `2*0+1=0+1=1`, czyli `x=1`     



Równania z jedną niewiadomą mogą:

  • nie mieć żadnego rozwiązania - równania sprzeczne;

  • mieć jedno rozwiązanie;

  • mieć nieskończenie wiele rozwiązań - równania tożsamościowe.  

Przykłady: 

  • równanie  `x+5=0`  ma jedno rozwiązanie, spełnia je liczba  `-5` , czyli  `x=-5`   

  • równanie  `x+2=x+1`  nie ma rozwiązania, nie spełnia go żadna liczba - równanie sprzeczne

  • równanie  `x+2=2+x`  ma nieskończenie wiele rozwiązań, spełnia go każda liczba  - równanie tożsamościowe



Zbiór liczb spełniających równanie to zbiór rozwiązań równania

Jeśli dwa równania mają taki sam zbiór rozwiązań, to są to równania równoważne

Przykład: 

  • równania  `x+2=5`  i  `x-3=0`  są równoważne, gdyż rozwiązaniem każdego z nich jest liczba 3 

Sposoby rozwiązywania równań

Aby obliczyć jaka liczba spełnia równanie należy je rozwiązać.

Najprostszą metodą rozwiązywania równań jest metoda równań równoważnych.

Polega ona na dodaniu/odjęciu tego samego wyrażenia od obu stron równania lub na pomnożeniu/podzieleniu przez tę samą liczbę (różną od zera) obu stron równania.

Przykłady:

  1. dodanie tego samego wyrażenia

    `x-10=14 \ \ \ \ \ \ \ \ |+10`   

    `x=24`    (dodaliśmy do obu stron równania liczbę 10)

  2. odjęcie tego samego wyrażenia

    `y+13=23 \ \ \ \ \ \ \ \ |-13` 

    `y=10`    (odjęliśmy od obu stron równania liczbę 13)

  3. pomnożenie przez tę samą liczbę

    `0,5x=7 \ \ \ \ \ \ \ \ |*2`  

    `x=14`     (pomnożyliśmy obie strony równania razy 2)

  4. podzielenie przez tę samą liczbę

    `3x=27 \ \ \ \ \ \ \ \ |:3`  

    `x=9`    (podzieliliśmy obie strony równania przez 3)

Przekształcanie wzorów

Przekształcanie wzorów służy do wyznaczenia określonej niewiadomej.

Przy przekształcaniu wzorów postępujemy tak samo jak przy rozwiązywaniu równań. Wykonujemy więc czynności takie jak dodawanie / odejmowanie od obu stron tego samego wyrażenia lub mnożenie / dzielenie obu stron przez to samo wyrażenie.

Przykłady:

  1. dodawanie / odejmowanie tego samego wyrażenia

    Ze wzoru  `z+p=k`  wyznaczamy zmienną  `z` 

    `z+p=k \ \ \ \ \ \ \ \ |-p`   

    `z=k-p` 

    Ze wzoru  `k-5=x`  wyznaczamy zmienną  `k`  

    `k-5=x \ \ \ \ \ \ \ \ |+5`  

    `k=x+5`  

  2. mnożenie / dzielenie przez to samo wyrażenie

    Ze wzoru  `m/z=y+l` , gdzie `z!=0`, wyznaczamy zmienną  `m`   
    `m/z=y+l \ \ \ \ \ \ \ \ |*z`  

    `m=(y+l)*z`  

    Ze wzoru  `dt=x+5`  wyznaczamy zmienną  `d`   

    `dt=x+5 \ \ \ \ \ \ \ \ |:t \ \ \ \ \ t!=0` 

    `d=(x+5)/t`     

 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Rozwiąż równanie:

  1. $ x+5=10 $
  2. $ 2x+3=15 $
  3. $ 5x+13=23 $
  1. $ x+5=10 $
    $ x=5 $
  2. $ 2x+3=15 $
    $ 2x=12 $
    $ x=6 $

  3. $ 5x+13=23 $
    $ 5x=10 $
    $ x=2 $

Zadanie 2.

Ułóż i rozwiąż odpowiednie równanie:
Liczba o 3 większa od x jest 3 razy większa od x.

$ x+3=3x $
$ 3=2x $
$ x=1,5 $

Zadanie 3.

Tata Zosi jest od niej 3 razy starszy, a Zosia jest od niego młodsza o 30 lat. Ile lat ma Zosia?

x -> wiek Zosi
$ x+30 $ lub $ 3x$ -> wiek taty Zosi
$ x+30=3x $
$ 2x=30 $
$ x=15 $
Odp.: Zosia ma 15 lat.

Zadanie 4.

Julek i Zosia są w sumie o 6 lat starsi od swojego brata Michała, ale każde z nich z osobna jest od niego młodsze: Julek o 7 lat, Zosia o 2 lata. Ile lat mają w sumie wszyscy troje?

$ x $ -> wiek Michała
$ x-7 $ -> wiek Julka
$ x-2 $ -> wiek Zosi
$ x-7+x-2=x+6 $
$ 2x-9=x+6 $
$ x=15 $ -> wszyscy: $ 15+8+13=36$
Odp.: Wszyscy troje mają razem 36 lat.

Zadanie 5.

Ile trzeba użyć soli, aby po zmieszaniu z 150 g wody otrzymać roztwór o stężeniu $ 6,25% $ ?

x -> potrzebna sól

$ x/{150+x}×100%=6,25% $

$ x={6,25}/{100} (150+x) $

$ x=9,375+0,0625x $

$ 0,9375x=9,375 $

$ x=10 g $
Odp.: Trzeba użyć 10 g soli, aby otrzymać 6,25% rozwór.

Zadanie 6.

Ustal, ile liczb naturalnych spełnia nierówność $ 2x < x+3$.

$ 2x < x+3 $
$ x<3 $ -> spełniają je liczby: 0,1,2
Odp.: Tą nierówność spełniają 3 liczby naturalne - 0,1,2.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Oblicz.

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

Cenę koszuli obniżono o 20 %.

  -cena koszuli przed obniżką

  -cena koszuli po obniżce

Szymon zapłacił za koszulę banknotem 100 zł i otrzymał 52 zł reszty, więc koszula kosztowała 100zł - 52zł = 48zł
48zł -koszt koszuli po obniżce

Przyrównujemy cenę koszuli po obniżce zapisaną dwoma sposobami i obliczmy x. 
 
  
 

Koszula przed obniżką kosztowała 60 zł. 

Obliczamy, o ile obniżono cenę koszuli. 
 

Cenę koszuli obniżono o 12 zł. 

Jedna pszczoła ma masę 200 mg. Ile pszczół ...

1 pszczoła ma masę 200 mg.  

x pszczół ma masę 1 kg{premium} = 1 000 000 mg. 


Im więcej pszczół, tym większa ich łączna masa. 

Podane wielkości są wielkościami wprost proporcjonalnymi. 


Mamy więc: 

 

 

 

   


Odpowiedź: Odważnik 1 kg zrównoważy 5000 pszczół.      

Zastąp literę odpowiednią liczbą, aby zachodziła ...

 

  

  

     

 

 

 

 

      

 

 

 

 

       

 

 

 

 

     

 

 

 

 

 

 

       

 

 

 

Podaj zaokrąglenia do części ...


 {premium}

Wiedząc, że 37*12=444 oblicz:

{premium}

 

Cena kuchenki gazowej z 7-procentowym...

Cena kuchenki z siedmioprocentowym podatkiem VAT stanowi  ceny bez podatku. {premium}

Obliczamy cenę kuchenki bez podatku:

 

Obliczamy cenę kuchenki z podatkiem  

     

Odp. Gdyby podatek VAT wynosił  kuchenka kosztowałaby    

Uwaga: Odpowiedź podana w zbiorze zadań jest błędna.

Ala oszczędzała przez kilka miesięcy, aby kupić sobie wymarzone buty...

 [zł]- początkowa cena butów {premium}

 [zł]- cena butów po obniżce

 [zł]-cena bluzki

wiemy, ze cena bluzki stanowiła  początkowej ceny butów, zatem:

 

 

 

 [zł]


zatem Ala zapłaciła za buty:

 [zł]


a za bluzkę:

 [zł]


Odp. Ala zapłaciła za buty 144 zł, a za bluzkę 45 zł.

Czy ułamek...

Liczba nieparzysta podniesiona do potęgi nieparzystej pozostanie liczbą nieparzystą.{premium}

Zarówno suma, jak i różnica, liczb nieparzystych jest liczbą parzystą. Zatem w liczniku i mianowniku będziemy

mieć liczbę podzielną przez  Więc tak, ułamek można skrócić przez    

Na rysunku przedstawiono prostopadłościan...

a)  

 

Dla  {premium}

 

 

 

b)  

 

Dla