Proporcjonalność - 7-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Proporcje

Proporcja to równość dwóch ułamków czyli równość dwóch ilorazów. Wyrazy skrajne to w pierwszym ułamku licznik, a w drugim ułamku mianownik. Wyrazy środkowe to w pierwszym ułamku mianownik, a w drugim licznik.

Przykłady

  • $$ m/n=k/l $$ -> wyrazy skrajne: m, l; wyrazy środkowe: n, k
  • $$5/k=l/3 $$ -> wyrazy skrajne: 5, 3 ; wyrazy środkowe: k, l
  • $$3/x={5+x}/2 $$-> wyrazy skrajne: 3, 2 ; wyrazy środkowe: x, 5+x

Aby rozwiązać proporcje należy przyrównać do siebie iloczyn wyrazów skrajnych i iloczyn wyrazów środkowych.

Przykład:

  • $$ x/3=5/2 $$
    $$ 2x=15 $$
    $$ x=7.5$$

Wielkości wprost proporcjonalne

W matematyce prawie na każdym kroku można zauważyć wielkości wprost proporcjonalne. Co to jest? Wielkości w której wraz ze wzrostem jednej druga rośnie tyle samo razy.

Przykłady:

  • bok i obwód kwadratu:

    $$ { ext"bok"}/{ ext"obwód"}=1/4 $$
  • liczba takich samych zabawek i cena jaką musimy za nią zapłacić:

    $${ ext"liczba zabawek"}/{ ext"cena"}=1/{5,10 ext"zł"}$$
  • odległość na mapie i odległość w terenie:

    $${ ext"odległość na mapie"}/{ ext"odległość w terenie"}=1/100000$$
 

Wielkości odwrotnie proporcjonalne

Wielkości odwrotnie proporcjonalne to takie, w których jedna wielkość rośnie, a druga maleje tyle samo razy.

Przykłady:

  • liczba kawałków ciasta i wielkość jednego kawałka:

    $${ ext"liczba kawałków"}/4=1/{ ext"wielkość jednego kawałka"}$$
  • ilość słoików w którą rozlejemy daną ciecz i ich pojemność:

    $${ ext"ilość słoików"}/2=5/{ ext"pojemność jednego słoika"}$$
  • prędkość pojazdu i czas na przejechanie jednego kilometra:

    $${ ext"prędkość pojazdu"}/1=4/{ ext"czas"}$$

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Odgadnij liczbę x spełniającą równanie:

  1. $$ 1/x=5/{15} $$
  2. $$ 2/3=x/9 $$
  3. $$ 2/x=7/{21} $$
  1. $$ 5x=15 $$
    $$ x=3 $$
  2. $$ 3x=18 $$
    $$ x=6 $$
  3. $$ 7x=42 $$
    $$ x=6 $$

Zadanie 2.

Włosy przedłużają się przeciętnie o 1 cm w ciągu 3 tygodni. O ile milimetrów wydłużają się w ciągu jednej godziny?

x -> długość o jaką wydłużają się włosy w ciągu jednej godziny
$$1 cm=10 mm $$
3 tygodnie =21 dni= 504 godzin
$$ {10}/{504}=x/1 $$
$$ 504x=10 $$
$$ x≈0,02 mm $$

Odp.: Włosy wydłużają się przeciętnie o około 0,02 mm na godzinę.

Zadanie 3.

Jaka równość wynika z proporcji: $$ 3/x={2+x}/{12} $$ ?

$$ 3/x={2+x}/12 $$
$$ x(2+x)=36 $$
$$ 2x+x^2=36 $$
Odp.: Z tej proporcji wynika równość $$2x+x^2=36$$.

Zadanie 4.

Szklankę herbaty posłodzono dwiema łyżeczkami cukru. Ile łyżeczek cukru trzeba wrzucić do kotła herbaty, aby była tak samo słodka? Szklanka ma pojemność 0,25 l, a kocioł 20 l.

$$ x $$ -> ilość łyżeczek cukru jaką trzeba wrzucić do kotła
$$ 2/{0,25}=x/{20} $$
$$ 0,25x=40 $$
$$ x=160 $$
Odp.: Trzeba wrzucić 160 łyżeczek cukry, aby herbata w kotle była tak samo słodka jak w szklance.

Zadanie 5.

Tomek i Janek plewią ogródek. Gdyby Tomek robił to sam, zajęłoby mu to 10 godzin. Gdyby Janek robił to sam zajęłoby mu to 15 godzin. Jak długo będą plewić wspólnie?

$$ x$$ -> ilość godzin jaką będą plewić ogródek wspólnie
$$ 1/{10} $$ ogródka plewi Tomek w 1 godzinę
$$ 1/{15} $$ ogródka plewi Janek w 1 godzinę
$$ 1/{10}+1/{15}=3/{30}+2/{30}=5/{30}=1/6 $$ ogródka plewią obydwoje w 1 godzinę
$$ { {1}/{6} }/1=1/x $$
$$ x=6 $$
Odp.: Wspólnie będą plewić ogródek w 6 godzin.

Zadanie 6.

Jeśli 5 butelek napoju kosztuje 8 zł, to ile kosztuje 20 takich butelek?

$$x$$ -> koszt 20 takich butelek
$$ 8/5=x/{20} $$
$$ 5x=160 $$
$$ x=32 $$
Odp.: 20 takich butelek kosztuje 32 zł.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Uzupełnij:

`a)\ 3,75=3 3/4=3 6/8=30/8`

`b)\ 1 1/5=1,2=12/10=120/100`

`c)\ 12/15=4/5=8/10=80/100`

`d)\ 104/100=1,04=1 1/25=26/25`

`e)\ 39/12=13/4=3 1/4=3,25`

`f)\ 2125/1000=2,125=2 1/8=17/8`

Na rysunku wierzchołki pięciokąta foremnego leżą na okręgu...

Można łatwo narysować ten dziesięciokąt, kreśląc najpierw symetralne boków pięciokąta. Wierzchołki pięciokąta oraz punkty przecięcia symetralnych i okręgu będą szukanymi wierzchołkami dziesięciokąta foremnego.

Skreśl te punkty, które nie należą do narysowanej figury...

Skreślamy następujące litery: L, U, N, I, Y, K

Hasło: FERMAT

Oblicz wartości liczbowe wyrażeń algebraicznych dla podanych wartości zmiennych.

a) 12x+3

dla x=2

12 2+3= 24+3=27


dla x=-2

12 (-2)+3=-24+3=-21



b) -n2+1

dla n=1

-12+1=-1+1=0


dla n=3

-32+1=-9+1=-8



c) 8/a

dla a=2

`8/2=4` 


dla a=1/4

`8/(1/4)=8*4=32` 

Uzupełnij tabelę.
Potęga Liczba Słownie
`10^0`   `1`  `"jeden"` 
`10^1`  `10`  `"dziesięć"` 
`10^2`  `100`  `"sto"` 
`10^3`  `1000`  `"tysiąc"` 
`10^4`  `10 \ 000`  `"10 tysięcy"` 
`10^5`  `100 \ 000`   `"100 tysięcy"` 
`10^6`  `1 \ 000 \ 000`  `"milion"` 
`10^7`  `10 \ 000 \ 000`  `"10 milionów"` 
`10^8`  `100 \ 000 \ 000`  `"100 milionów"` 
`10^9`  `1 \ 000 \ 000 \ 000`  `"miliard"`  
`10^10`   `10 \ 000 \ 000 \ 000`  `"10 miliardów"` 
`10^12`  `1 \ 000 \ 000 \ 000 \ 000`  `"bilion"` 
`10^15`   `1 \ 000 \ 000 \ 000 \ 000 \ 000`   `"biliard"` 
`10^18`  `1 \ 000 \ 000 \ 000 \ 000 \ 000 \ 000`  `"trylion"` 
`10^19`   `10 \ 000 \ 000 \ 000 \ 000 \ 000 \ 000`  `"10 trylionów"` 
Wpisz do tabelki odpowiednie numery trójkątów.
  ostrokątne prostokątne rozwartokątne
trójkąty 3, 6, 8 2, 4, 7 1, 5, 9
trójkąty równoramienne

3, 6 7 9
trójkąty równoboczne 6    
Oblicz pierwiastek i uzasadnij wynik.

`a) \ \ sqrt{16}=4, \ \ \ \ \ "bo" \ \ \ 4*4=4^2=16` 

`b) \ \ sqrt{81}=9, \ \ \ \ \ "bo" \ \ \ 9*9=9^2=81` 

`c) \ \ sqrt{3600}=60, \ \ \ \ \ "bo" \ \ \ 60*60=60^2=3600` 

`d) \ \ sqrt{1 \ 000 \ 000}=1000, \ \ \ \ \ "bo" \ \ \ 1000*1000=1000^2=1 \ 000 \ 000` 

`e) \ \ sqrt{16 \ 000 \ 000}=4000, \ \ \ \ \ "bo" \ \ \ 4000*4000=4000^2=16 \ 000 \ 000`      

Oblicz przybliżoną wartość wyrażenia z dokładnością ...

`10sqrt{3}-sqrt{5}~~10*1,73-2,23=17,3-2,23=15,07~~15 \ \ \ \ \ - \ \ H` 


`100sqrt{5}-100sqrt{3}=100(sqrt{5}-sqrt{3})~~100(2,23-1,73)=100*0,5=50 \ \ \ \ \ - \ \ E` 


`sqrt{5}+sqrt{2}~~2,23+1,41=3,64~~4 \ \ \ \ \ - \ \ B` 


`2sqrt{2}-sqrt{5}~~2*1,41-2,23=2,82-2,23=0,59~~1 \ \ \ \ \ - \ \ A` 


`12sqrt{5}-2sqrt{5}=10sqrt{5}~~10*2,23=22,3~~22 \ \ \ \ \ - \ \ N` 


Hasło: HEBAN     

Przeczytaj poniższą listę własności czworokątów....

Należy wpisać kody w następujący sposób:


Trapez: A1

Trapez prostokątny: A1, C1, D1

Trapez równoramienny: A1, B1, D2, E1

Równoległobok: A2, B2, D2, E2

Prostokąt: A2, B2, C2, D3, E1, E2

Romb: A2, B3, D2, E2, E3

Kwadrat: A2, B3, C2, D3, E1, E2, E3

Wyraź pola narysowanych prostokątów na dwa sposoby.





`P= 0,6* 1=0,6 \ "[m"^2"]"= 6000 \ "[cm"^2"]"`         `P= 50* 40=2000 \ "[cm"^2"]"= 0,2 \ "[m"^2"]"`              `P= 2000* 500=1000000 \ "[m"^2"]"= 1 \ "[km"^2"]"`