Proporcjonalność - 7-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Proporcje

Proporcja to równość dwóch ułamków czyli równość dwóch ilorazów. Wyrazy skrajne to w pierwszym ułamku licznik, a w drugim ułamku mianownik. Wyrazy środkowe to w pierwszym ułamku mianownik, a w drugim licznik.

Przykłady

  • $$ m/n=k/l $$ -> wyrazy skrajne: m, l; wyrazy środkowe: n, k
  • $$5/k=l/3 $$ -> wyrazy skrajne: 5, 3 ; wyrazy środkowe: k, l
  • $$3/x={5+x}/2 $$-> wyrazy skrajne: 3, 2 ; wyrazy środkowe: x, 5+x

Aby rozwiązać proporcje należy przyrównać do siebie iloczyn wyrazów skrajnych i iloczyn wyrazów środkowych.

Przykład:

  • $$ x/3=5/2 $$
    $$ 2x=15 $$
    $$ x=7.5$$

Wielkości wprost proporcjonalne

W matematyce prawie na każdym kroku można zauważyć wielkości wprost proporcjonalne. Co to jest? Wielkości w której wraz ze wzrostem jednej druga rośnie tyle samo razy.

Przykłady:

  • bok i obwód kwadratu:

    $$ { ext"bok"}/{ ext"obwód"}=1/4 $$
  • liczba takich samych zabawek i cena jaką musimy za nią zapłacić:

    $${ ext"liczba zabawek"}/{ ext"cena"}=1/{5,10 ext"zł"}$$
  • odległość na mapie i odległość w terenie:

    $${ ext"odległość na mapie"}/{ ext"odległość w terenie"}=1/100000$$
 

Wielkości odwrotnie proporcjonalne

Wielkości odwrotnie proporcjonalne to takie, w których jedna wielkość rośnie, a druga maleje tyle samo razy.

Przykłady:

  • liczba kawałków ciasta i wielkość jednego kawałka:

    $${ ext"liczba kawałków"}/4=1/{ ext"wielkość jednego kawałka"}$$
  • ilość słoików w którą rozlejemy daną ciecz i ich pojemność:

    $${ ext"ilość słoików"}/2=5/{ ext"pojemność jednego słoika"}$$
  • prędkość pojazdu i czas na przejechanie jednego kilometra:

    $${ ext"prędkość pojazdu"}/1=4/{ ext"czas"}$$

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Odgadnij liczbę x spełniającą równanie:

  1. $$ 1/x=5/{15} $$
  2. $$ 2/3=x/9 $$
  3. $$ 2/x=7/{21} $$
  1. $$ 5x=15 $$
    $$ x=3 $$
  2. $$ 3x=18 $$
    $$ x=6 $$
  3. $$ 7x=42 $$
    $$ x=6 $$

Zadanie 2.

Włosy przedłużają się przeciętnie o 1 cm w ciągu 3 tygodni. O ile milimetrów wydłużają się w ciągu jednej godziny?

x -> długość o jaką wydłużają się włosy w ciągu jednej godziny
$$1 cm=10 mm $$
3 tygodnie =21 dni= 504 godzin
$$ {10}/{504}=x/1 $$
$$ 504x=10 $$
$$ x≈0,02 mm $$

Odp.: Włosy wydłużają się przeciętnie o około 0,02 mm na godzinę.

Zadanie 3.

Jaka równość wynika z proporcji: $$ 3/x={2+x}/{12} $$ ?

$$ 3/x={2+x}/12 $$
$$ x(2+x)=36 $$
$$ 2x+x^2=36 $$
Odp.: Z tej proporcji wynika równość $$2x+x^2=36$$.

Zadanie 4.

Szklankę herbaty posłodzono dwiema łyżeczkami cukru. Ile łyżeczek cukru trzeba wrzucić do kotła herbaty, aby była tak samo słodka? Szklanka ma pojemność 0,25 l, a kocioł 20 l.

$$ x $$ -> ilość łyżeczek cukru jaką trzeba wrzucić do kotła
$$ 2/{0,25}=x/{20} $$
$$ 0,25x=40 $$
$$ x=160 $$
Odp.: Trzeba wrzucić 160 łyżeczek cukry, aby herbata w kotle była tak samo słodka jak w szklance.

Zadanie 5.

Tomek i Janek plewią ogródek. Gdyby Tomek robił to sam, zajęłoby mu to 10 godzin. Gdyby Janek robił to sam zajęłoby mu to 15 godzin. Jak długo będą plewić wspólnie?

$$ x$$ -> ilość godzin jaką będą plewić ogródek wspólnie
$$ 1/{10} $$ ogródka plewi Tomek w 1 godzinę
$$ 1/{15} $$ ogródka plewi Janek w 1 godzinę
$$ 1/{10}+1/{15}=3/{30}+2/{30}=5/{30}=1/6 $$ ogródka plewią obydwoje w 1 godzinę
$$ { {1}/{6} }/1=1/x $$
$$ x=6 $$
Odp.: Wspólnie będą plewić ogródek w 6 godzin.

Zadanie 6.

Jeśli 5 butelek napoju kosztuje 8 zł, to ile kosztuje 20 takich butelek?

$$x$$ -> koszt 20 takich butelek
$$ 8/5=x/{20} $$
$$ 5x=160 $$
$$ x=32 $$
Odp.: 20 takich butelek kosztuje 32 zł.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Każdy bok kwadratu o długości 10 wydłużono o 20%...

 `"Obliczamy, jaką długość ma bok nowego kwadratu:"` 

`10+20%*10=10+0,2*10=10+2=12`

 
`"Obliczamy pole i obwód tego kwadratu:"` 

`"P"=12*12=10*12+2*12=120+24=144`

`"O"=4*12=48`

Wartość którego wyrażenia jest liczbą wymierną?

`A.\ -1/2root(3)5+0,5root(3)((sqrt5)^2)=-1/2root(3)5+1/2root(3)5=0`

`B.\ -sqrt3/2*((-16)/(5sqrt3))=strikesqrt3^1/2*16/(5*strikesqrt3^1)=16/(2*5)=16/10=8/5`

`C.\ sqrt10/2+sqrt6/2`

`D.\ root(3)7/5:(-(3root(3)7)/4)=strikeroot(3)7^1/5*(-4/(3*strikeroot(3)7^1))=-4/(5*3)=-4/15`

 

 

`"Odp. A, B, D"`

Podkreśl poprawne oszacowanie pierwiastka kwadratowego...

`sqrt2~~1,41` 

`sqrt3~~1,73` 

`sqrt5~~2,24` 

`sqrt12~~3,46` 

`sqrt7~~2,65` 


`"Należy podkreślić:"` 

`1,4 < sqrt2 < 1,5` 

`1,7 < sqrt3 < 1,8` 

`2,2< sqrt5 < 2,5` 

`2 < sqrt7 < 2,8` 

Na pewnej wystawie zgromadzono 84 dzieła sztuki:

a) x -liczba rzeźb
2x -liczba obrazów 
2∙2x=4x -liczba fotografii
Łącznie były 84 dzieła. 

Równanie ma postać:
`x+2x+4x=84` 

Rozwiązujemy równanie. 
`x+2x+4x=84` 
`7x=84 \ \ \ \ \ \ \ \ \ |:7` 
`x=12` 

Na wystawie było 12 rzeźb. 
`ul(ul( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 


b) x -czas trwania pierwszej części (w min)
x+30 -czas trwania drugiej części (w min) [bo pierwsza jest o 30 min od niej krótsza]
x-5 -czas trwania trzeciej części (w min) [bo pierwsza jest o 5 min dłuższa]
Łącznie film trwa  6 godzin i 10 min, czyli 370 min (6∙60min+10min=360min+10min=370min). 

Równanie ma postać:
`x+x+30+x-5=370` 

Rozwiązujemy równanie. 
`x+x+30+x-5=370` 
`3x+25=370 \ \ \ \ \ \ \ |-25` 
`3x=345 \ \ \ \ \ \ \ |:3` 
`x=115` 

Pierwsza część trwa 115 min.

`x+30=115+30=145`

Druga część trwa 145 min.

`x-5=115-5=110`

Trzecia część trwa 110 min. 
`ul(ul( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 


c)  
  

Równanie ma postać:
`x+x+2+2x=14` 

Rozwiązujemy równanie. 
`x+x+2+2x=14` 
`4x+2=14 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |-2` 
`4x=12 \ \ \ \ \ \ \ \ \ |:4` 
`x=3` 

Przejazd między pierwszym, a drugim przystankiem trwa 3 minuty. 

Z zapisu k٠a٠k٠a٠o=k٠a٠w٠a wyznacz zmienną o...

`k*a*k*a*o=k*a*w*a`

`a^2k^2o=a^2kw\ \ \ \ |:a^2ne0\ \ \ \ ("czyli"\ \ ane0)`

`k^2o=kw\ \ \ \ |:k^2ne0\ \ \ \ ("czyli"\ \ kne0)`

`o=(kw)/k^2`

`o=w/k`

 

 

Czy podane zdania...

a) Obliczmy 30% liczby 60.

`30%*60=30/100*60=strike30^3/strike100^10*60=3/10*60=3/strike10^1*strike60^6=3/1*6=18` 

Odp. Zdanie I jest prawdziwe.

 

b) Obliczmy 180% liczby 10.

`180%*10=180/100*10=strike180^18/strike100^10*10=18/10*10=18/strike10^1*strike10^1=18/1*1=18`

Odp. Zdanie II jest prawdziwe. 

 

Wykonaj potęgowanie potęgi.

a) zrobione w książce

b) zrobione w książce

c) `[(-0,4)^3]^8=(-0,4)^(3*8)=(-0,4)^24` 

Wskaż równania, których rozwiązaniem jest liczba 0


`-2x=0` 

`x=0`

 

`5y+5=5` 

`5y=5-5` 

`y=0`

 

`2z-7=7` 

`2z=7+7` 

`z=7`

 

`7t+9t=0` 

`16t=0` 

`t=0`

 

`0=3+11d` 

`11d=-3` 

`d=-3/11`

`"Odp. -2x=0, 5y+5=5, 7t+9t=0."`

Poniżej podano kilka interesujących danych ...

Proponowane zaokrąglenia: 

długość równika `40\ 000\ "km"` 
odległość Ziemi od Księżyca `384\ 000\ "km"` 
Odległość Ziemi od Słońca `150\ 000\ 000\ "km"` 
Prędkość światła `300\ 000\ 000\ "m"/"s"` 
prędkość dźwięku   `300\ "m"/"s"` 
powierzchnia Polski `300\ 000\ "km"^2` 
powierzchni Chin `9\ 600\ 000\ "km"^2` 
powierzchnia Europy `11\ 000\ 000\ "km"^2` 
powierzchnia Afryki `30\ 000\ 000\ "km"^2` 

 

`"a)"\ 30\ 000\ 000\ "km"^2:11\ 000\ 000\ "km"^2=30/11=2 8/11~~3` 

`"b)"\ 300\ 000\ 000\ "m"/"s":300\ "m"/"s"=1\ 000\ 000` 

`"c)"\ 384\ 000\ "km":40\ 000\ "km"=384:40~~380/40=38/4=19/2=9 1/2`  

`"d)"\ 9\ 600\ 000\ "km"^2:300\ 000\ "km"^2=96:3=32` 

`"e)"\ v=s/t\ \ \ =>\ \ \ vt=s\ \ \ =>\ \ \ t=s/v` 

`\ \ \ 384\ 000\ "km"=384\ 000\ 000\ "m"` 

`\ \ \ t=(384\ 000\ 000)/(300\ 000\ 000)=384/300=1,28~1\ ["s"]` 

`\ \ \ "prawda"` 

`"f)"\ 150\ 000\ 000\ "km"=150\ 000\ 000\ 000\ "m"` 

`\ \ \ t=(150\ 000\ 000\ 000)/(300\ 000\ 000)=1500/3=500\ ["s"]=500/60\ "min"=50/6\ "min"=8 2/6\ "min"~~8\ "min"`

`\ \ \ "prawda"`   

Oblicz:

a) `7*10^(-2)=7*0,01=0,07` 

b) `4,8*10^(-3)=4,8*0,001=0,0048` 

c) `2*10^(-5)=2*0,00001=0,00002`