Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Procenty - 7-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Pojęcie procentu i promila

Procent (symbol %) oznacza setną część danej wielkości, czyli procent to inny sposób zapisania ułamka o mianowniku 100.


Warto zapamiętać:

`100% = 1`  (całość)

`75%=3/4`   (trzy czwarte) 

`50%=1/2`   (połowa)

`25%=1/4`   (ćwierć)

`20%=1/5`   (jedna piąta)   

`10%=1/10`   (jedna dziesiąta)

`150%=1 1/2`   (półtora) 


Zapamiętaj!!!

W praktyce procent nigdy nie występuje samodzielnie, jest on zawsze ułamkiem pewnej konkretnej wielkości.



Promil (symbol `permille`) oznacza tysięczną część danej wielkości, czyli promil to inny sposób zapisania ułamka o mianowniku 1000. 

`n \ permille=n/1000` 


Przykłady:

`1 \ permille=1/1000`    

`2,5 \ permille=2,5/1000=25/(10 \ 000)` 

`36 \ permille=36/1000` 



Uwaga!!!
Zauważmy, że `1 \ permille = 1/1000`, a  `1%=1/100` . Oznacza to, że `1 \ permille` to 10 razy mniej niż `1%`.  

Zamiana procentu na ułamek

Procent można przedstawić w postaci ułamka mającego w liczniku daną liczbę (dany procent), a w mianowniku liczbę 100.

Zamiana procentu na ułamek polega na podzieleniu procentu przez 100 i usunięciu znaku %.

Procenty możemy przedstawiać zarówno w postaci ułamków zwykłych, jak i dziesiętnych.


Przykłady
:

  • `1%=1/100=0,01` 

  • `13%=13/100=0,13` 

  • `86,3%=(86,3)/100=(863)/1000=0,863`   

Zamiana liczby na procent

Aby zamienić liczbę na procent należy pomnożyć ją razy 100%.


Przykłady
:

  • `1=1*100%=100%` 

  • `3=3*100%=300%`   

  • `0,3=0,3*100%=30%`  

  • `1/4=1/strike4^1*strike100^25%=25%` 

  • `1 1/5=6/5=6/strike5^1*strike100^20%=6*20%=120%` 

Jaki to procent?

Aby dowiedzieć się jakim procentem jednej z liczb jest druga liczba wystarczy przedstawić te liczby w postaci ułamka zwykłego a następnie pomnożyć razy 100%. 

Należy pamiętać, że w mianowniku musi znaleźć się ta liczba, do której porównujemy daną liczbę. 


Przykłady:

  • Jakim procentem liczby 264 jest liczba 165?  [Liczbę 165 porównujemy z liczbą 264, więc liczba 264 musi znaleźć się w mianowniku.] 

    `165/264*100% = 55/88 * 100% = 5/strike8^2*strike100^25% = 5/2*25% = 125/2% = 62,5%` 

  • Jakim procentem liczby 150 jest liczba 30?  [Liczbę 30 porównujemy z liczbą 150, więc liczba 150 musi znaleźć się w mianowniku.]

    `30/150*100% = 1/5*100% = 20%`

Obliczanie procentu danej liczby

Aby dowiedzieć się jaka liczba jest pewnym procentem danej liczby wystarczy zamienić procent na ułamek zwykły i pomnożyć go razy tę daną liczbę.


Przykłady:

  • Ile to jest 43% liczby 300?

    `43%*300 = 43/strike100^1*strike300^3 = 43*3 = 129` 

  • Ile to jest 18% liczby 150?

    `18% *150 = 18/strike100^2 *strike150^3 = 18/2*3 = 9*3 = 27`

Obliczanie liczby, gdy dany jest jej procent

Gdy wiemy, że pewna liczba jest danym procentem drugiej liczby łatwo możemy znaleźć tą drugą liczbę.

Przykład: 

  • 70% pewnej liczby to 140.  

    10% tej liczby to 20 (10% to 7 razy mniej niż 70%, czyli wynosi 7 razy mniej niż 140). 

    100% tej liczby to 200 (100% to 10 razy więcej niż 10%, czyli wynosi 10 razy więcej niż 20). 

    Szukana liczba to 200. 

Czasami jednak musimy rozwiązać trudniejsze zadania. Wtedy warto użyć równania.


Przykład
:

  • 40% pewnej liczby (x - szukana liczba) to 70. Jaka to liczba?

    `40%*x=70` 

    `0,4*x=70` 

    `x=70:0,4` 

    `x=175` 

    Szukana liczba to 175.     

O ile procent dana liczba jest większa lub mniejsza od drugiej liczby

Słysząc, że jedna cena jest większa od drugiej o dany procent na myśl przychodzi nam, że jest to bardzo trudne do rozwiązania.

W praktyce jest to o wiele prostsze.

Procent o jaki jedna cena jest większa/mniejsza od drugiej to ułamek, w którym licznik jest różnicą cen tych produktów a mianownik ceną tego produktu, do którego porównujemy daną cenę, pomnożony razy 100%. 

    1. Produkt 1 jest o 20% droższy od produktu 2. 

      `("cena produktu 1 " - " cena produktu 2")/("cena produktu 2") *100% = 20%`  

    2. Produkt 2 jest o 20% tańszy od produktu 1. 

      `("cena produktu 1 " - " cena produktu 2")/("cena produktu 1") *100% = 20%` 


Przykład:

Telefon kosztuje 100 zł a piłka 80 zł. O ile procent więcej kosztuje telefon? O ile procent mniej kosztuje piłka?

  • `(100-80)/80*100% = 20/80*100% = 1/4*100% = 25% \ \ \ "Telefon jest o 25% droższy od piłki."`  

  • `(100-80)/100*100% = 20/100*100% = 1/5*100% =  20% \ \ \ "Piłka jest o 20% tańsza od telefonu."` 

Podwyżki i obniżki

Podwyżki i obniżki to najczęściej słyszane zwroty głównie w centrach handlowych.

Na co dzień możemy dostrzec np. reklamy informujące nas, że jest obniżka (lub podwyżka) o 10% na dany produkt. Jak mamy to rozumieć?


Podwyżki:

Gdy mówimy, że występuje podwyżka ceny pewnego produktu o 20%, to wówczas kosztuje on 120% (100%+20%) swojej początkowej ceny.

Aby obliczyć jego aktualną cenę wystarczy pomnożyć cenę początkową razy 120%.


Przykład
:

  • Piłka kosztowała 80 zł. Nastąpiła podwyżka jej ceny o 20%. Ile teraz kosztuje piłka?

    Podwyżka o 20% spowodowała, że piłka kosztuje teraz 120% (100%+20%) swojej początkowej ceny. 

    `120%*80 = 120/100*80 = 12/strike10^1*strike80^8 = 12*8 = 96 \ \ \ ["zł"]`  


Obniżki:

Gdy mówimy, że jest obniżka ceny pewnego produktu o 20%, to wówczas kosztuje on 80% (100%-20%) swojej początkowej ceny.

Aby obliczyć jego aktualną cenę wystarczy pomnożyć cenę początkową razy 80%.


Przykład
:

  • Telefon kosztował 210 zł. Nastąpiła obniżka jego ceny o 10%. Ile teraz kosztuje telefon?

    Obniżka o 10% spowodowała, że telefon kosztuje teraz 90% (100%-10%) swojej początkowej ceny. 

    `90%*210 = 90/100*210 = 9/strike10^1*strike210^21 = 9*21 = 189 \ \ \ ["zł"]`  

Diagramy procentowe

Aby przedstawić dane liczbowe zapisane w procentach najlepiej jest posługiwać się diagramami procentowymi.

Diagram kołowy i słupkowy to dwa najbardziej popularne rodzaje diagramów.

  • Diagram kołowy

    diagram_kolowy


    Z przykładowego diagramu powyżej można odczytać ile osób głosowało na poszczególnych kandydatów.
    Widzimy, że na pana A głosowało 59% osób. Można więc powiedzieć, że gdyby w głosowaniu brało udział 100 osób to 59 z nich głosowałoby na pana A.
    Dalej widzimy że na panów B, C i D głosowało odpowiednio 23%, 10% i 9%.

  • Diagram słupkowy

    diagram_slupkowy

    Z powyższego diagramu można odczytać jaki procent osób danego miasta stanowią kobiety a jaki mężczyźni. 
    W mieście A mężczyźni stanowią 57% mieszkańców a kobiety 43% mieszkańców. Można więc powiedzieć, że jeśli w mieście A jest 100 mieszkańców, to 57 z nich to mężczyźni a 43 to kobiety.
    Ta sama zasada odnosi się do miast B i C.

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Zamień procenty na ułamki dziesiętne:

  1. `17%` 
  2. `3%` 
  3. `30,2%` 
  4. `180%` 
  1. ```17% = 17/100 = 0,17`  
  2. `3% = 3/100= 0,03` 
  3. `30,2% = (30,2)/100 = 0,302` 
  4. `180% = 180/100 = 1,8` 

Zadanie 2.

Oblicz. Wynik podaj w zaokrągleniu do części dziesiątych procenta:

  1. 1 min - jaki to procent godziny?
  2. 1 godz. - jaki to procent doby?
  3. 1 doba - jaki to procent tygodnia
  1. `(1 \ "min")/(1 \ "h") = (1 \ "min")/(60 \ "min") * 100% = 100/60 % = 5/3 % = 1 2/3 %` 
  2. `(1 \ "h")/(1 \ "dzień") = (1 \ "h")/(24 \ "h") * 100% = 100/24 % = 25/6 % = 4 1/6 %` 
  3. `(1 \ "dzień")/(1 \ "tydzień") = (1 \ "dzień")/(7 \ "dni") *100% = 100/7% =14 2/7 %` 

Zadanie 3.

W szkole jest 375 uczniów, z których 32% stanowią uczniowie klas 2. Spośród drugoklasistów 20% stanowią uczniowie z klasy 2c. Ilu uczniów liczy ta klasa?

`32%*375= 32/100*375 = 32/4*15 = 8*15 = 120`  -> tylu jest uczniów z wszystkich drugich klas

`20%*120 = 20/100*120 = 1/5*120 = 24`  -> tylu jest uczniów z klasy 2c

Odp.: Klasa 2c liczy 24 uczniów.

Zadanie 4.

Pan Kowalski sprzedaje lody. Jego zysk stanowi 5% ceny sprzedanych lodów. Oblicz, za ile złotych musi sprzedać lody, aby zyskać:

  1. $$100$$
  2. $$230$$
  3. $$460$$
  1. `(100 \ "zł" *100%)/(5%) = (10000)/5 \ "zł" = 2000 \ "zł"` 
  2. `(230 \ "zł" * 100%)/(5%) = (23000)/5 "zł" = 4600 \ "zł"` 
  3. `(460 \ "zł" * 100%)/(5%) = (46000)/5 "zł" = 9200 \ "zł"` 

Zadanie 5.

Piętnastu chłopców stanowi 62,5% klasy. O ile procent więcej jest chłopców niż dziewcząt?

`(15*100%)/(62,5%) = 1500/(62,5) = 15000/625 = 24`  -> tyle osób liczy klasa

`24 - 15 = 9`  -> tyle jest dziewcząt w klasie

`(15-9)/9 *100% = 6/9*100% = 2/3*100% = 200/3% = 66 2/3%` 

Odp.: W tej klasie jest o `66 2/3 %`  więcej chłopców niż dziewcząt.

Zadanie 6.

Staszek i Kacper mieli po 50 zł oszczędności. Oszczędności Staszka zwiększyły się o 20%, a potem jeszcze o 20%. Oszczędności Kacpra zwiększyły się raz, ale o 40%. Oblicz, ile pieniędzy ma każdy z nich. Kto ma więcej?

Staszek: `50*120% * 120% = 50*120/100*120/100 = 50*144/100 = 144/2 = 72 \ ["zł"]`  

Kacper: `50*140% = 50*140/100 =140/2 = 70 \ ["zł"]` 

Odp.: Staszek ma więcej pieniędzy. Ma 72 zł, a Kacper tylko 70 zł.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Ania, Janek i Marek mają razem 670 zł oszczędności. ...

`x`  - oszczędności Janka [zł]

`x+30`  - oszczędności Ani [zł]  (bo ma o 30 zł więcej niż Janek)

`2x`  - oszczędności Marka [zł]  (bo ma 2 razy więcej niż Janek){premium}

Razem mają 670 zł. 


Równanie opisujące sumę oszczędności ma postać:  

`x+2x+x+30=670`

`4x+30=670 \ \ \ \ |-30`

`4x=640 \ \ \ \ \ |:4`

`x=160 \ "zł"`

Janek ma 160 zł oszczędności. 


Obliczamy, ile wynoszą oszczędności Ani i Marka. 

`2x=2*160 \ "zł"=320 \ "zł"`

`x+30=160 \ "zł"+30 \ "zł"=190 \ "zł"`


Odpowiedź: Janek ma 160 zł oszczędności, Marek ma 320 zł a Ania 190 zł. 

Uzupełnij zdania.

`"a) Liczba" \ (2^2)^11 \ "jest" \  2^3 \ "razy mniejsza od liczby" \ (2^5)^5, "ponieważ:"` 

`(2^5)^5:(2^2)^11=2^25:2^22=2^3` 


`b")" \ "Liczba" \ (8^5)^2 \ "jest" \ 8^2 \ "razy mniejsza od liczby" \ 8^12, "ponieważ:"` 

`(8^5)^2 *8^2=8^10*8^2=8^(10+2)=8^12` 


`c")" \ "Liczba" \ 3^46 \ "jest" \ 3^2 \ "razy mniejsza od liczby" \ (9^4)^6, "ponieważ:"` 

`(9^4)^6 :3^2=((3^2)^4)^6:3^2=3^48:3^2=3^46` 

Na diagramie przedstawiono...

Cel: `8%*25=8/100*25=8/strike100^4*strike25^1=8/4=2` 

Bdb: `24%*25=24/100*25=24/strike100^4*strike25^1=24/4=6` 

Db: `32%*25=32/100*25=32/strike100^4*strike25^1=32/4=8` 

Dst: `12%*25=12/100*25=12/strike100^4*strike25^1=12/4=3` 

Dop: `20%*25=20/100*25=20/strike100^4*strike25^1=20/4=5` 

Ndst: `4%*25=4/100*25=4/strike100^4*strike25^1=4/4=1` 

Na początku lekcji nieobecni stanowili 1/8 liczby wszystkich uczniów klasy

`x` - ilość uczniów

`1/8 x` - ilość nieobecnych uczniów na początku lekcji{premium}

`1/12x` - ilość nieobecnych uczniów po przyjściu jednego ucznia 

`1/8x+1=1/12x`

`1/8x-1/12x=1`

`3/24x-2/24x=1`

`1/24x=1|:1/24`

`x=24`

Odp.: W tej klasie jest 24 uczniów.

Stosunek cen trzech samochodów osobowych jest równy

`x` - wspólna jednostka

`5x`   - 1 samochód {premium}

`9x`  - 2 samochód

`13x`   - 3 samochód

 

`13x-5x = 40000`

`8x = 40000|:8`

`x = 5000`

 

`5 * 5000 = 25000`  - 1 samochód 

`9 * 5000 = 45000`  - 2 samochód 

`13 * 5000 = 65000`  - 3 samochód

 

`25000+45000+65000=135000`

Odp.: Kupując wszystkie samochody zapłacimy 135000 zł.

Połącz treść każdego zadania ...

45% liczby a jest trzykrotnie większa od 15% liczby 30. Jaka to liczba? `\ \ =>`  `\ \ 1/3*0,45*a=0,15*30`     {premium}


45% liczby a jest o trzy większe od 15% liczby 30. Jaka to liczba? `\ \ =>`  `\ \ 0,45*a=0,15*30+3`   

45% liczby a jest trzykrotnie mniejsze od 15% liczby 30. Jaka to liczba? `\ \ =>`  `\ \ 0,45*a=1/3*0,15*30` 

45% liczby a jest o trzy większe od 15% liczby 30. Jaka to liczba? `\ \ =>`  `\ \ 0,45*a+3=0,15*30` 

Oblicz długości boków...

`L=40 \ "cm"` 

Niech jeden bok oznacza `x \ "cm, a drugi bok"` `3x \ "cm"` {premium}

`L=2*x \ "cm"+2*3x \ "cm"`

`L=2x \ "cm"+6x \ "cm"` 

`L=8x \ "cm"` 

`40 \ "cm"=8x \ "cm" \ \ \ \ \ \ |:8`

`5=x` 

 

Odp. Dwa boki mają długość 5 cm, a pozostałe dwa mają długość 15 cm.   

Dany jest równoległobok o bokach długości 4,5 cm i 7,5 cm

Obliczam wysokość h: 

{premium}

Obliczmy długość przekątnej prostopadłej do krótszego boku równoległoboku. Jest to jednocześnie wysokość tego równoległoboku poprowadzona do krótszego boku.

`(4,5 \ "cm")^2+h^2=(7,5 \ "cm")^2` 

`20,25 \ "cm"^2+h^2=56,25 \ "cm"^2 \ \ \ \ |-20,25 \ "cm"^2` 

`h^2=36 \ "cm"^2 \ \ \ \ \ |sqrt` 

`h=6 \ "cm"` 

Znając długość jednej wysokości i długość boku, na który jest opuszczona, możemy obliczyć pole tego równoległoboku.

`P=4,5 \ "cm"*6 \ "cm"=27 \ "cm"^2` 

Znając pole równoległoboku i długość dłuższego boku, możemy obliczyć długość wysokości opuszczonej na ten bok.

`27 \ "cm"^2=7,5 \ "cm"*h_2` 

`h_2=27/(7,5) \ "cm"=54/15 \ "cm"=18/5 \ "cm"=3 3/5 \ "cm"=3,6 \ "cm"`  

Odp. Pole tego równoległoboku wynosi 27 cm2, a długość jego wysokości poprowadzonej do dłuższego boku to 3,6 cm. 

Oblicz wartość wyrażenia:

`"a)"\ (x+5)(y-2)=(-2+5)(3-2)=3*1=3` 

`"b)"\ (2a-3)(5-3b)=(2*4-3)(5-3*2)=(8-3)(5-6)=5*(-1)=-5` 

`"c)"\ (3s+t)(5t-8)=(3*(-2)+2)(5*2-8)=(-6+2)(10-8)=-4*2=-8` 

`"d)"\ (5u-w)(2w+3u)=(5*(-1)-5)(2*5+3*(-1))=(-5-5)(10-3)=-10*7=-70`     

Wyraź podane długości w metrach ...

`"a)"\ 25\ mm=25 *1\ mm=25*1/1000\ m=25*1/10^3\ m=25*10^-3\ m=#underbrace(2,5*10)_(25)*10^-3\ m=2,5*10^-2\ m`   

1 mm=0,001 m=1/1000 m

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

`"b)"\ 0,3\ mm=0,3*1\ mm=3*10^-1*1/10^3\ m=3*10^-1*10^-3\ m=3*10^-4\ m`

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

`"c)"\ 500\ mm=500*1\ mm=5*10^2*10^-3=5*10^-1\ m` 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

`"d)"\ 28 mum=28*1\ mum=2,8*10*10^-6=2,8*10^-5\ m`   

μm=1/1000 mm=1/1000000 m