Procenty - 7-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Procenty - 7-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Pojęcie procentu i promila

Procent (symbol %) oznacza setną część danej wielkości, czyli procent to inny sposób zapisania ułamka o mianowniku 100.


Warto zapamiętać:

`100% = 1`  (całość)

`75%=3/4`   (trzy czwarte) 

`50%=1/2`   (połowa)

`25%=1/4`   (ćwierć)

`20%=1/5`   (jedna piąta)   

`10%=1/10`   (jedna dziesiąta)

`150%=1 1/2`   (półtora) 


Zapamiętaj!!!

W praktyce procent nigdy nie występuje samodzielnie, jest on zawsze ułamkiem pewnej konkretnej wielkości.



Promil (symbol `permille`) oznacza tysięczną część danej wielkości, czyli promil to inny sposób zapisania ułamka o mianowniku 1000. 

`n \ permille=n/1000` 


Przykłady:

`1 \ permille=1/1000`    

`2,5 \ permille=2,5/1000=25/(10 \ 000)` 

`36 \ permille=36/1000` 



Uwaga!!!
Zauważmy, że `1 \ permille = 1/1000`, a  `1%=1/100` . Oznacza to, że `1 \ permille` to 10 razy mniej niż `1%`.  

Zamiana procentu na ułamek

Procent można przedstawić w postaci ułamka mającego w liczniku daną liczbę (dany procent), a w mianowniku liczbę 100.

Zamiana procentu na ułamek polega na podzieleniu procentu przez 100 i usunięciu znaku %.

Procenty możemy przedstawiać zarówno w postaci ułamków zwykłych, jak i dziesiętnych.


Przykłady
:

  • `1%=1/100=0,01` 

  • `13%=13/100=0,13` 

  • `86,3%=(86,3)/100=(863)/1000=0,863`   

Zamiana liczby na procent

Aby zamienić liczbę na procent należy pomnożyć ją razy 100%.


Przykłady
:

  • `1=1*100%=100%` 

  • `3=3*100%=300%`   

  • `0,3=0,3*100%=30%`  

  • `1/4=1/strike4^1*strike100^25%=25%` 

  • `1 1/5=6/5=6/strike5^1*strike100^20%=6*20%=120%` 

Jaki to procent?

Aby dowiedzieć się jakim procentem jednej z liczb jest druga liczba wystarczy przedstawić te liczby w postaci ułamka zwykłego a następnie pomnożyć razy 100%. 

Należy pamiętać, że w mianowniku musi znaleźć się ta liczba, do której porównujemy daną liczbę. 


Przykłady:

  • Jakim procentem liczby 264 jest liczba 165?  [Liczbę 165 porównujemy z liczbą 264, więc liczba 264 musi znaleźć się w mianowniku.] 

    `165/264*100% = 55/88 * 100% = 5/strike8^2*strike100^25% = 5/2*25% = 125/2% = 62,5%` 

  • Jakim procentem liczby 150 jest liczba 30?  [Liczbę 30 porównujemy z liczbą 150, więc liczba 150 musi znaleźć się w mianowniku.]

    `30/150*100% = 1/5*100% = 20%`

Obliczanie procentu danej liczby

Aby dowiedzieć się jaka liczba jest pewnym procentem danej liczby wystarczy zamienić procent na ułamek zwykły i pomnożyć go razy tę daną liczbę.


Przykłady:

  • Ile to jest 43% liczby 300?

    `43%*300 = 43/strike100^1*strike300^3 = 43*3 = 129` 

  • Ile to jest 18% liczby 150?

    `18% *150 = 18/strike100^2 *strike150^3 = 18/2*3 = 9*3 = 27`

Obliczanie liczby, gdy dany jest jej procent

Gdy wiemy, że pewna liczba jest danym procentem drugiej liczby łatwo możemy znaleźć tą drugą liczbę.

Przykład: 

  • 70% pewnej liczby to 140.  

    10% tej liczby to 20 (10% to 7 razy mniej niż 70%, czyli wynosi 7 razy mniej niż 140). 

    100% tej liczby to 200 (100% to 10 razy więcej niż 10%, czyli wynosi 10 razy więcej niż 20). 

    Szukana liczba to 200. 

Czasami jednak musimy rozwiązać trudniejsze zadania. Wtedy warto użyć równania.


Przykład
:

  • 40% pewnej liczby (x - szukana liczba) to 70. Jaka to liczba?

    `40%*x=70` 

    `0,4*x=70` 

    `x=70:0,4` 

    `x=175` 

    Szukana liczba to 175.     

O ile procent dana liczba jest większa lub mniejsza od drugiej liczby

Słysząc, że jedna cena jest większa od drugiej o dany procent na myśl przychodzi nam, że jest to bardzo trudne do rozwiązania.

W praktyce jest to o wiele prostsze.

Procent o jaki jedna cena jest większa/mniejsza od drugiej to ułamek, w którym licznik jest różnicą cen tych produktów a mianownik ceną tego produktu, do którego porównujemy daną cenę, pomnożony razy 100%. 

    1. Produkt 1 jest o 20% droższy od produktu 2. 

      `("cena produktu 1 " - " cena produktu 2")/("cena produktu 2") *100% = 20%`  

    2. Produkt 2 jest o 20% tańszy od produktu 1. 

      `("cena produktu 1 " - " cena produktu 2")/("cena produktu 1") *100% = 20%` 


Przykład:

Telefon kosztuje 100 zł a piłka 80 zł. O ile procent więcej kosztuje telefon? O ile procent mniej kosztuje piłka?

  • `(100-80)/80*100% = 20/80*100% = 1/4*100% = 25% \ \ \ "Telefon jest o 25% droższy od piłki."`  

  • `(100-80)/100*100% = 20/100*100% = 1/5*100% =  20% \ \ \ "Piłka jest o 20% tańsza od telefonu."` 

Podwyżki i obniżki

Podwyżki i obniżki to najczęściej słyszane zwroty głównie w centrach handlowych.

Na co dzień możemy dostrzec np. reklamy informujące nas, że jest obniżka (lub podwyżka) o 10% na dany produkt. Jak mamy to rozumieć?


Podwyżki:

Gdy mówimy, że występuje podwyżka ceny pewnego produktu o 20%, to wówczas kosztuje on 120% (100%+20%) swojej początkowej ceny.

Aby obliczyć jego aktualną cenę wystarczy pomnożyć cenę początkową razy 120%.


Przykład
:

  • Piłka kosztowała 80 zł. Nastąpiła podwyżka jej ceny o 20%. Ile teraz kosztuje piłka?

    Podwyżka o 20% spowodowała, że piłka kosztuje teraz 120% (100%+20%) swojej początkowej ceny. 

    `120%*80 = 120/100*80 = 12/strike10^1*strike80^8 = 12*8 = 96 \ \ \ ["zł"]`  


Obniżki:

Gdy mówimy, że jest obniżka ceny pewnego produktu o 20%, to wówczas kosztuje on 80% (100%-20%) swojej początkowej ceny.

Aby obliczyć jego aktualną cenę wystarczy pomnożyć cenę początkową razy 80%.


Przykład
:

  • Telefon kosztował 210 zł. Nastąpiła obniżka jego ceny o 10%. Ile teraz kosztuje telefon?

    Obniżka o 10% spowodowała, że telefon kosztuje teraz 90% (100%-10%) swojej początkowej ceny. 

    `90%*210 = 90/100*210 = 9/strike10^1*strike210^21 = 9*21 = 189 \ \ \ ["zł"]`  

Diagramy procentowe

Aby przedstawić dane liczbowe zapisane w procentach najlepiej jest posługiwać się diagramami procentowymi.

Diagram kołowy i słupkowy to dwa najbardziej popularne rodzaje diagramów.

  • Diagram kołowy

    diagram_kolowy


    Z przykładowego diagramu powyżej można odczytać ile osób głosowało na poszczególnych kandydatów.
    Widzimy, że na pana A głosowało 59% osób. Można więc powiedzieć, że gdyby w głosowaniu brało udział 100 osób to 59 z nich głosowałoby na pana A.
    Dalej widzimy że na panów B, C i D głosowało odpowiednio 23%, 10% i 9%.

  • Diagram słupkowy

    diagram_slupkowy

    Z powyższego diagramu można odczytać jaki procent osób danego miasta stanowią kobiety a jaki mężczyźni. 
    W mieście A mężczyźni stanowią 57% mieszkańców a kobiety 43% mieszkańców. Można więc powiedzieć, że jeśli w mieście A jest 100 mieszkańców, to 57 z nich to mężczyźni a 43 to kobiety.
    Ta sama zasada odnosi się do miast B i C.

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Zamień procenty na ułamki dziesiętne:

  1. `17%` 
  2. `3%` 
  3. `30,2%` 
  4. `180%` 
  1. ```17% = 17/100 = 0,17`  
  2. `3% = 3/100= 0,03` 
  3. `30,2% = (30,2)/100 = 0,302` 
  4. `180% = 180/100 = 1,8` 

Zadanie 2.

Oblicz. Wynik podaj w zaokrągleniu do części dziesiątych procenta:

  1. 1 min - jaki to procent godziny?
  2. 1 godz. - jaki to procent doby?
  3. 1 doba - jaki to procent tygodnia
  1. `(1 \ "min")/(1 \ "h") = (1 \ "min")/(60 \ "min") * 100% = 100/60 % = 5/3 % = 1 2/3 %` 
  2. `(1 \ "h")/(1 \ "dzień") = (1 \ "h")/(24 \ "h") * 100% = 100/24 % = 25/6 % = 4 1/6 %` 
  3. `(1 \ "dzień")/(1 \ "tydzień") = (1 \ "dzień")/(7 \ "dni") *100% = 100/7% =14 2/7 %` 

Zadanie 3.

W szkole jest 375 uczniów, z których 32% stanowią uczniowie klas 2. Spośród drugoklasistów 20% stanowią uczniowie z klasy 2c. Ilu uczniów liczy ta klasa?

`32%*375= 32/100*375 = 32/4*15 = 8*15 = 120`  -> tylu jest uczniów z wszystkich drugich klas

`20%*120 = 20/100*120 = 1/5*120 = 24`  -> tylu jest uczniów z klasy 2c

Odp.: Klasa 2c liczy 24 uczniów.

Zadanie 4.

Pan Kowalski sprzedaje lody. Jego zysk stanowi 5% ceny sprzedanych lodów. Oblicz, za ile złotych musi sprzedać lody, aby zyskać:

  1. $100$
  2. $230$
  3. $460$
  1. `(100 \ "zł" *100%)/(5%) = (10000)/5 \ "zł" = 2000 \ "zł"` 
  2. `(230 \ "zł" * 100%)/(5%) = (23000)/5 "zł" = 4600 \ "zł"` 
  3. `(460 \ "zł" * 100%)/(5%) = (46000)/5 "zł" = 9200 \ "zł"` 

Zadanie 5.

Piętnastu chłopców stanowi 62,5% klasy. O ile procent więcej jest chłopców niż dziewcząt?

`(15*100%)/(62,5%) = 1500/(62,5) = 15000/625 = 24`  -> tyle osób liczy klasa

`24 - 15 = 9`  -> tyle jest dziewcząt w klasie

`(15-9)/9 *100% = 6/9*100% = 2/3*100% = 200/3% = 66 2/3%` 

Odp.: W tej klasie jest o `66 2/3 %`  więcej chłopców niż dziewcząt.

Zadanie 6.

Staszek i Kacper mieli po 50 zł oszczędności. Oszczędności Staszka zwiększyły się o 20%, a potem jeszcze o 20%. Oszczędności Kacpra zwiększyły się raz, ale o 40%. Oblicz, ile pieniędzy ma każdy z nich. Kto ma więcej?

Staszek: `50*120% * 120% = 50*120/100*120/100 = 50*144/100 = 144/2 = 72 \ ["zł"]`  

Kacper: `50*140% = 50*140/100 =140/2 = 70 \ ["zł"]` 

Odp.: Staszek ma więcej pieniędzy. Ma 72 zł, a Kacper tylko 70 zł.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Rozwiąż równanie.

 
  
 
 
 


 
 
 
 
{premium}  


 
  
 
 
 
 


 
 
 
Równanie tożsamościowe.
 


 
 
 
Równość jest nieprawdziwa. Równanie sprzeczne.
 


 
 
 
 
 
 


 
 
 
 
 
 
 


 
 
 
 
 

   
 


 
 
 
             

Oceń prawdziwość podanych zdań...

Każdy wielokąt o parzystej liczbie boków jest wypukły - FAŁSZ

Przykład czworokąta wklęsłego:

 

{premium}

Każdy wielokąt, który ma nieparzystą liczbę boków, może być wklęsły - FAŁSZ

Trójką ma nieparzystą liczbę boków, ale nie może być wklęsły.

 

Aby wielokąt był wklęsły, musi mieć co najmniej 5 boków - FAŁSZ

Istnieją również czworokąty wklęsłe.

 

Istnieje czworokąt wklęsły, który nie ma osi symetrii - PRAWDA

Przykład:

 

Każdy wielokąt o parzystej liczbie boków jest wypukły. P F
Każdy wielokąt, który ma nieparzystą liczbę boków, może być wklęsły P F
Aby wielokąt był wklęsły, musi mieć co najmniej 5 boków. P F
Istnieje wielokąt wklęsły, który nie ma osi symetrii. P F

 

Oblicz.

 {premium}


 


      

   

 

  

   

Dokończ zdanie, Wybierz właściwą...

 

 

   - taki wzór mamy w odpowiedzi A.  

 

{premium}

 

 

  - taki wzór mamy w odpowiedzi C. 

 

 

 

 

 

 

 

  - taki wzór mamy w odpowiedzi D.

 

 

 

  - widzimy więc, że wzór w odpowiedzi jest błędny,

 

Odp.: B.  

 

 

  

 

 

 

Które wyrażenie ma największą ...

Obliczamy ile wynosi wartość każdego z podanych wyrażeń. 


 
{premium}


 


 


 


Największą wartość ma wyrażenie zapisane w przykładzie A. 

Poprawna odpowiedź: A. 

Agnieszka za 2 lata będzie miała trzy razy tyle lat co 8 lat temu.

a) 

Wiek Agnieszki 8 lat temu

Wiek Agnieszki obecnie

Wiek Agnieszki za 2 lata

 

 

 
lub
 

{premium}

Porównujemy wiek Agnieszki za 2 lata zapisany dwoma sposobami. 

Równanie ma postać:
 

Rozwiązujemy równanie. 
 
 
 
 

Agnieszka ma 13 lat. 
 


b) 

 

Obecny wiek

Wiek za 5 lat

Romek

 

 

Tomek

 

 

lub

 

Porównujemy wiek Tomka za 5 lat zapisany dwoma sposobami. 

Równanie ma postać:
  

Rozwiązujemy równanie. 
 
 

 

Romek ma 8 lat, Tomek ma 11 lat. 
 


c) 

 

Obecny wiek

Wiek 4 lata temu

Basia

 

 

Kasia

 

 

lub

 

Porównujemy wiek Kasi 4 lata temu zapisany dwoma sposobami. 

Równanie ma postać:
 

Rozwiązujemy równanie. 
 
 
 

 

Basia ma 8 lat, Kasia ma 16 lat. 

Rozlewamy 42 l soku do butelek o pojemności ...

Rozlewamy sok do butelek o pojemności 3/4 l, wypełniając 7/8 objętości butelki.

Obliczamy, ile {premium}soku znajdzie się w jednej butelce: 

Do jednej butelki wlewamy więc 21/32 l soku.

 

Do rozlania mamy 42 litry soku.

Obliczamy, ile butelek należy przygotować: 

 

Odp: Należy przygotować 64 butelki.

Wartość wyrażenia 2x+3y dla pewnych...

Wiemy, że dla pewnych x i y wartość wyrażenia 2x + 3y wynosi 8. Możemy więc napisać: 

 


Wyrażenie 10x + 15y możemy zapisać: {premium}

 

Wartość wyrażeni 10x + 15y dla tych samych x i y jest więc równa 40. 

Na rysunku przedstawiono ostrosłup prawidłowy ...

Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat. 

Przekątna podstawy ma długość 24 cm. 

Obliczamy ile wynosi długość krawędzi podstawy (a). {premium}

  

Pole postawy wynosi więc: 

 


Połowa przekątnej podstawy, wysokość ostrosłupa oraz krawędź boczna tworzą trójkąt prostokątny.

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczamy ile wynosi długość wysokości ostrosłupa (H). 

 

   

 


Obliczamy ile wynosi objętość ostrosłupa. 

 

 


Odpowiedź: Objętość ostrosłupa wynosi 480 cm3

Sprawdź, czy podana liczba spełnia równanie.

a)

 

 

 

Równanie jest spełnione.

 

{premium}

b)

 

 

 

Równanie nie jest spełnione.