Potęgi - 7-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Potęgi - 7-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Potęga o wykładniku naturalnym

Potęga to wielokrotne pomnożenie przez siebie takiego samego czynnika.


Potęgę liczby a o wykładniku n oznaczamy symbolem `a^n`, gdzie a to podstawa potęgi, n to wykładnik potęgi.  

Powyższa potęga oznacza, że dokonamy n - krotnego mnożenie czynnika a.

`a^n=#underbrace(a*a*...*a)_("n czynników")` 

Przykłady:

  • `3^4=3*3*3*3=81` 

  • `2^3=2*2*2=8`  

Gdy liczbę dodatnią lub ujemną podnosimy do potęgi parzystej, wówczas wynikiem będzie zawsze liczba dodatnia.

Gdy wykładnikiem potęgi liczby ujemnej będzie liczba nieparzysta to wynik będzie zawsze ujemny.

Przykłady:

  • `(-3)^6=3^6` 

  • `(-6)^5=-6^5`  

  • `(-1/2)^4=(1/2)^4` 

  • `(-1/7)^3=-(1/7)^3` 

Gdy podnosimy ułamek zwykły do danej potęgi, to wykonujemy oddzielnie potęgowanie dla licznika i mianownika. 

Przykłady

  • `(2/3)^2=2^2/3^2=4/9` 

  •  `(1/2)^4=1^4/2^4=1/16`  


Zapamiętaj:

  • `a^0=1 \ \ \ "dla" \ \ \ a!=0`  

  • `a^1=a`    

Iloczyn i iloraz potęg o tych samych podstawach

Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach jest bardzo proste. Należy zapamiętać dwie proste zasady:

  1. Mnożenie - iloczynem dwóch potęg o tych samych podstawach jest potęga, której podstawa jest taka sama jak podstawy mnożonych potęg, a wykładnik jest sumą wykładników tych potęg.

    `a^m*a^n=a^(m+n)`  

  2. Dzielenie - ilorazem dwóch potęg o tych samych podstawach jest potęga, której podstawa jest taka sama jak podstawy dzielnej i dzielnika, a wykładnik jest różnicą wykładników tych potęg.

    `a^m:a^n=a^(m-n) \ \ \ \ "dla" \ \ \ a!=0` 
     

Przykłady:

  • `3^2*3^4=3^(2+4)=3^6` 

  • `(-5)^3*(-5)^2=(-5)^(3+2)=(-5)^5` 

  • `7^3:7=7^3:7^1=7^(3-1)=7^2`     

  • `4^8:4^5=4^(8-5)=4^3`   

Potęgowanie potęgi

Potęgując potęgę należy pamiętać, że podstawa pozostaje bez zmian, a wykładniki mnożymy. 

  • `(a^m)^n=a^(m*n)` 


Przykłady:

  • `(2^3)^4=2^(3*4)=2^12` 

  • `(9^7)^8=9^(7*8)=9^(56)`   



Uwaga

Jeśli mamy potęgę postaci `a^(m^n)`, to w pierwszej kolejności potęgujemy potęgi, czyli obliczamy ile wynosi `m^n`.

W wyniku otrzymujemy potęgę o tej samej podstawie (`a`) i wykładniku będącym potęgą potęg.   


Przykłady

  • `5^(2^3)=5^8 \ \ \ \ "bo" \ \ \ 2^3=8` 

  • `4^(3^4)=4^81 \ \ \ \ "bo" \ \ \ \ 3^4=81`   

Potęgowanie iloczynu i ilorazu

Potęgowanie iloczynu i ilorazu odbywa się według dwóch prostych zasad: 

  1. Potęga iloczynu jest równa iloczynowi potęg. 

    `(a*b)^n=a^n*b^n`  

  2. Potęga ilorazu jest równa ilorazowi potęg. 
  • `(a:b)^n=a^n:b^n \ \ \ \ "dla" \ \ \ b!=0`    

  • `(a/b)^n=a^n/b^n \ \ \ \ "dla" \ \ \ b!=0`  
     

Przykłady:

  • `(3*2)^2=3^2*2^2`
     
  • `(5*7)^4=5^4*7^4`   

  • `(9:4)^3=9^3:4^3`  

  • `(8/5)^6=8^6/5^6`  

Potęga o wykładniku całkowitym ujemnym

Aby obliczyć potęgę, której podstawą jest liczba `a!=0` a wykładnik jest liczbą całkowitą ujemną zamieniamy podstawę potęgi na liczbę do niej odwrotną a wykładnik potęgi na liczbę do niego przeciwną. 

  • `a^(-n)=(1/a)^n=1^n/a^n=1/a^n`  


Przykłady
:

  • `7^-9=1/7^9` 

  • `2^(-3)=1/2^3`  

  • `(1/2)^(-4)=(2/1)^4=2^4`  

Notacja wykładnicza

Notacja wykładnicza to przedstawienie danej liczby w postaci iloczynu liczby większej lub równej 1 i mniejszej od 10 oraz potęgi liczby 10.

Zapis liczby dodatniej w notacji wykładniczej:

`a*10^n,  \ \ \ \ "gdzie" \ \ \ 1  <=  a < 10, \ \ \ "n jest liczbą całkowitą"` 


Przykłady:

  • `38 \ 900=3,8900*10 \ 000=3,89*10^4` 

  • `789 \ 423=7,89423*100 \ 000=7,89423*10^3`   

  • `0,00934=934/(100 \ 000)=(9,34)/(1000)=(9,34)/10^3=9,34*1/10^3=9,34*10^-3`     

  •  `0,00001257=(1257)/(100 \ 000 \ 000)=(1,257)/(100 \ 000)=(1,257)/10^5=1,257*1/10^5=1,257*10^-5`   


Uwaga:

Na podstawie powyższych przykładów można zauważyć, że:

  • Jeżeli przecinek przesuwaliśmy w lewo, to wykładnik potęgi liczby 10 będzie liczbą dodatnią;
  • Jeżeli przecinek przesuwaliśmy w prawo, to wykładnik potęgi liczby 10 będzie liczbą ujemną.

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Oblicz w pamięci:

  1. $ 4^2 $
  2. $ 3^2 $
  3. $ 2^4 $
  4. $ 3^4 $
  5. $ 1^{43} $
  1. $ 4^2=16 $
  2. $ 3^2=9 $
  3. $ 2^4=16 $
  4. $ 3^4=81 $
  5. $ 1^{43}=1 $

Zadanie 2.

Odgadnij liczbę spełniającą równanie:

  1. $ 3^3×3^5=3^x $
  2. $ 5^2×5^x=5^7 $
  3. $ 7^7÷7^x=7^5 $
  1. $ 3^3×3^5=3^8 -> x=8 $
  2. $ 5^2×5^5=5^7 -> x=5 $
  3. $ 7^7÷7^2=7^5 -> x=2 $

Zadanie 3.

Przedstaw wartość wyrażenia w postaci potęgi liczby 3:

  1. $ 3^5×9^3 $
  2. $ {27}^5÷3^2 $
  3. $ 3^2×9^1÷3^3 $
  1. $ 3^5×9^3=3^5×3^6=3^{11} $
  2. $ {27}^5÷3^2=3^{15}÷3^2=3^{13} $
  3. $ 3^2×9^1÷3^3=3^2×3^2÷3^3=3^4÷3^3=3 $

Zadanie 4.

Oblicz:

  1. $ 2^{-4} $
  2. $ 3^{-3} $
  3. $ {10}^{-5} $
  1. $ 2^{-4}=1/{2^4} =1/{16} $
  2. $ 3^(-3)=1/{3^3} =1/{27} $
  3. $ {10}^{-5}=1/{ {10}^5} =1/{100000} $

Zadanie 5.

Zapisz w notacji wykładniczej:

  1. 125 mln
  2. 8276 mln
  3. 25,6 mld
  1. 125 mln$=125 000 000=1,25×{10}^8 $
  2. 8276 mln$=8726 000 000=8,726×{10}^9 $
  3. 25,6 mld$=25 600 000 000=2,56×{10}^{10}$

Zadanie 6.

Który znak należy wstawić $ < $ czy $ > $?

  1. $4^8$ i $3^8$
  2. $2^8$ i $2^{10}$
  3. $6^{-3}$ i $6^{-4}$
  1. $ 4^8 > 3^8 $
  2. $ 2^8 < 2^{10} $
  3. $ 6^{-3} > 6^{-4} $

Spis treści

Rozwiązane zadania
Dane są trzy wierzchołki równoległoboku ...

a) W układzie współrzędnych zaznaczamy punkty A, B i C. 

Prowadzimy odcinki AB i BC. {premium}

Zastanówmy się, jak poruszamy się z punktu B do punktu C?

W ten sam sposób musimy poruszać się z punktu A do punktu D, gdyż odcinki AD i BC są równoległe. 


b) W układzie współrzędnych zaznaczamy punkty A, B i C. 

Prowadzimy odcinki AB i BC. 

 

Zauważmy, że odcinek AB jest równoległy od osi y i ma długość 1. 

Odcinek CD również musi być równoległy do osi y i mieć długość 1, gdyż odcinki AB i CD to przeciwległe boki równoległoboku). 

 

c) W układzie współrzędnych zaznaczamy punkty A, B i C. 

Prowadzimy odcinki AB i BC. 

Zastanówmy się, jak poruszamy się z punktu B do punktu A?

W ten sam sposób musimy poruszać się z punktu C do punktu D, gdyż odcinki AB i CD są równoległe. 

Czy dowolna przekątna dzieli daną figurę na dwa ...

 

a) W kwadracie przekątne mają równe długości.

Przekątna dzieli kwadrat na dwa trójkąty o bokach x, x i y. 

Trójkąty te są przystające z cechy bok bok bok.

b) W prostokącie przekątne mają równe długości.

Przekątna dzieli prostokąt na dwa trójkąty o bokach x, y i z. 

Trójkąty te są przystające z cechy bok bok bok.

c) W rombie są dwie przekątne różnej długości (tylko w kwadracie są równej).

Jedna z przekątnych dzieli romb na dwa trójkąty o bokach x, x i y.

Trójkąty te są przystające z cechy bok bok bok.

W drugim przypadku - druga przekątna dzieli romb na dwa trójkąty o bokach x, x i z.

Trójkąty te są przystające z cechy bok bok bok.

d) W trapezie równoramiennym przekątne mają równe długości.

Dzieli ona trapez na dwa trójkąty, ale trójkąty te nie są przystające (inaczej jest w przypadku prostokątów).

Czarne porzeczki to bogate źródło witaminy ...

Witamina C stanowi 0,18% masy czarnej porzeczki.

Obliczamy, ile witaminy C znajduje się w 200 g czarnej porzeczki:{premium}

 

Odp: Jedząc 200 g czarnej porzeczki dostarczę organizmowi 0,36 g witaminy C. 

Oblicz pola figur przedstawionych na ...

Rysunek pomocniczy:

Przyjmujemy, że dwie kratki to 1 cm.

 

Figurę I możemy podzielić na {premium}trapez (kolor fioletowy) oraz kwadrat (kolor żółty).

Obliczamy pole trapezu:

  

Obliczamy pole kwadratu:

 

Obliczamy pole figury I:

   

  

Figurę II możemy podzielić na prostokąt (kolor fioletowy) oraz trójkąt (kolor żółty).

Obliczamy pole prostokąta:

 

Obliczamy pole trójkąta:

  

Obliczamy pole figury II:

  

 

Figurę III tworzą dwa przystające trapezy.

Obliczamy pole trapezu:

 

Obliczamy pole figury III:

 

 

Figurę IV możemy podzielić na dwa trapezy.

Obliczamy pole trapezu 1 (kolor fioletowy):

 

Obliczamy pole trapezu 2 (kolor żółty):

 

Obliczamy pole figury IV:

  

 

Zauważmy, że gdybyśmy przemieścili żółty kwadrat w puste miejsce w trapezie, to

otrzymalibyśmy cały trapez. Stąd pole figury V jest równe polu trapezu (łącznie z pustym okienkiem):

 

 

Figurę VI możemy podzielić na kwadrat (kolor fioletowy) oraz cztery przystające trójkąt (kolor żółty).

Obliczamy pole kwadratu:

 

Obliczamy pole trójkąta:

 

Obliczamy pole figury VI:

    

 

Figurę VII możemy podzielić na 5 trójkątów, jeden duży prostokąt oraz trzy małe prostokąty.

Obliczamy pole trójkąta:

 

Obliczamy pole dużego prostokąta:

 

Obliczamy pole małego prostokąta:

 

Obliczamy pole figury VII:

      

W liczbie dwucyfrowej cyfra jedności

Najpierw warto zauważyć, że wartość liczby dwucyfrowej, której cyfrą jedności jest y, a cyfrą dziesiątek jest x (czyli liczby postaci xy) jest równa 10x+y (np. 23=10∙2+3)

Analogicznie, wartość liczby trzycyfrowej postaci xyz jest równa 100x+10y+z (np. 234=100∙2+10∙3+4). 

Wiemy, że cyfra jedności jest o 3 mniejsza od cyfry dziesiątek:

  • cyfra dziesiątek to x
  • cyfra jedności to x-3

Zatem początkowa liczba ma wartość:

 

Jeśli zamienimy cyfrę jedności z cyfrą dziesiątek i wstawimy pomiędzy nie zero, to x-3 stanie się cyfrą setek, x stanie się cyfrą jedności, a cyfra dziesiątek będzie równa zero. Tak otrzymana liczba trzycyfrowa ma wartość: 

 

Wiemy, że otrzymana liczba jest o 153 większa od początkowej:

Zatem cyfra dziesiątek początkowej liczby dwucyfrowej jest równa 5, a cyfra jedności jest równa 2. 

Na rysunkach przedstawione są ...

a) Obliczamy pole podstawy będącej trójkątem prostokątnym o przyprostokątnych długości 6 i 8:

  {premium}

Obliczamy pole powierzchni bocznej (powierzchnia boczna składa się z trzech ścian będącymi prostokątami o bokach długości 8 i 6, 6 i 6, 10 i 6):

 

Obliczamy pole powierzchni całkowitej:

  

 

 

b) Obliczamy pole podstawy będącej kwadratem o boku długości 5:

   

Obliczamy pole powierzchni bocznej (powierzchnia boczna składa się z czterech ścian będącymi prostokątami o bokach długości 5 i 7):

   

Obliczamy pole powierzchni całkowitej:

 

 

 

 

c) Obliczamy pole podstawy będącej trapezem:

   

Obliczamy pole powierzchni bocznej (powierzchnia boczna składa się z czterech ścian będącymi prostokątami):

   

Obliczamy pole powierzchni całkowitej:

 

Uzasadnij, że czterocyfrowa liczba mająca postać abba

Wartość liczby postaci abba jest równa 1000a+100b+10b+a (np. wartość liczby 2332=2∙1000+3∙100+3∙10+2).{premium}


Zapiszmy to wyrażenie i przekształćmy: 


Jednym z czynników otrzymanego iloczynu jest 11, więc iloczyn 11(91a+10b) jest podzielny przez 11.

Liczba postaci abba jest podzielna przez 11. 

Sprawdź, które liczby całkowite dodatnie...

a)  

 

 

 

 

 

 

 

 

{premium}

 

 

 

 

 

b)  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c)  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d)  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Zapisz w prostszej postaci.

  {premium}


 


   

Stopiono dwie złote obrączki. Jedna ważyła ...

ODP: B

 

Obliczamy, ile czystego złota znajduje się w pierwszej obrączce:

Obliczamy, ile czystego złota znajduje się w drugiej obrączce: 

 

 

Obliczamy masę czystego złota w stopie: 

Obliczamy masę stopu:

 

Obliczamy, jaką część stopu stanowi czyste złoto):