Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Potęgi - 7-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Potęga o wykładniku naturalnym

Potęga to wielokrotne pomnożenie przez siebie takiego samego czynnika.


Potęgę liczby a o wykładniku n oznaczamy symbolem `a^n`, gdzie a to podstawa potęgi, n to wykładnik potęgi.  

Powyższa potęga oznacza, że dokonamy n - krotnego mnożenie czynnika a.

`a^n=#underbrace(a*a*...*a)_("n czynników")` 

Przykłady:

  • `3^4=3*3*3*3=81` 

  • `2^3=2*2*2=8`  

Gdy liczbę dodatnią lub ujemną podnosimy do potęgi parzystej, wówczas wynikiem będzie zawsze liczba dodatnia.

Gdy wykładnikiem potęgi liczby ujemnej będzie liczba nieparzysta to wynik będzie zawsze ujemny.

Przykłady:

  • `(-3)^6=3^6` 

  • `(-6)^5=-6^5`  

  • `(-1/2)^4=(1/2)^4` 

  • `(-1/7)^3=-(1/7)^3` 

Gdy podnosimy ułamek zwykły do danej potęgi, to wykonujemy oddzielnie potęgowanie dla licznika i mianownika. 

Przykłady

  • `(2/3)^2=2^2/3^2=4/9` 

  •  `(1/2)^4=1^4/2^4=1/16`  


Zapamiętaj:

  • `a^0=1 \ \ \ "dla" \ \ \ a!=0`  

  • `a^1=a`    

Iloczyn i iloraz potęg o tych samych podstawach

Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach jest bardzo proste. Należy zapamiętać dwie proste zasady:

  1. Mnożenie - iloczynem dwóch potęg o tych samych podstawach jest potęga, której podstawa jest taka sama jak podstawy mnożonych potęg, a wykładnik jest sumą wykładników tych potęg.

    `a^m*a^n=a^(m+n)`  

  2. Dzielenie - ilorazem dwóch potęg o tych samych podstawach jest potęga, której podstawa jest taka sama jak podstawy dzielnej i dzielnika, a wykładnik jest różnicą wykładników tych potęg.

    `a^m:a^n=a^(m-n) \ \ \ \ "dla" \ \ \ a!=0` 
     

Przykłady:

  • `3^2*3^4=3^(2+4)=3^6` 

  • `(-5)^3*(-5)^2=(-5)^(3+2)=(-5)^5` 

  • `7^3:7=7^3:7^1=7^(3-1)=7^2`     

  • `4^8:4^5=4^(8-5)=4^3`   

Potęgowanie potęgi

Potęgując potęgę należy pamiętać, że podstawa pozostaje bez zmian, a wykładniki mnożymy. 

  • `(a^m)^n=a^(m*n)` 


Przykłady:

  • `(2^3)^4=2^(3*4)=2^12` 

  • `(9^7)^8=9^(7*8)=9^(56)`   



Uwaga

Jeśli mamy potęgę postaci `a^(m^n)`, to w pierwszej kolejności potęgujemy potęgi, czyli obliczamy ile wynosi `m^n`.

W wyniku otrzymujemy potęgę o tej samej podstawie (`a`) i wykładniku będącym potęgą potęg.   


Przykłady

  • `5^(2^3)=5^8 \ \ \ \ "bo" \ \ \ 2^3=8` 

  • `4^(3^4)=4^81 \ \ \ \ "bo" \ \ \ \ 3^4=81`   

Potęgowanie iloczynu i ilorazu

Potęgowanie iloczynu i ilorazu odbywa się według dwóch prostych zasad: 

  1. Potęga iloczynu jest równa iloczynowi potęg. 

    `(a*b)^n=a^n*b^n`  

  2. Potęga ilorazu jest równa ilorazowi potęg. 
  • `(a:b)^n=a^n:b^n \ \ \ \ "dla" \ \ \ b!=0`    

  • `(a/b)^n=a^n/b^n \ \ \ \ "dla" \ \ \ b!=0`  
     

Przykłady:

  • `(3*2)^2=3^2*2^2`
     
  • `(5*7)^4=5^4*7^4`   

  • `(9:4)^3=9^3:4^3`  

  • `(8/5)^6=8^6/5^6`  

Potęga o wykładniku całkowitym ujemnym

Aby obliczyć potęgę, której podstawą jest liczba `a!=0` a wykładnik jest liczbą całkowitą ujemną zamieniamy podstawę potęgi na liczbę do niej odwrotną a wykładnik potęgi na liczbę do niego przeciwną. 

  • `a^(-n)=(1/a)^n=1^n/a^n=1/a^n`  


Przykłady
:

  • `7^-9=1/7^9` 

  • `2^(-3)=1/2^3`  

  • `(1/2)^(-4)=(2/1)^4=2^4`  

Notacja wykładnicza

Notacja wykładnicza to przedstawienie danej liczby w postaci iloczynu liczby większej lub równej 1 i mniejszej od 10 oraz potęgi liczby 10.

Zapis liczby dodatniej w notacji wykładniczej:

`a*10^n,  \ \ \ \ "gdzie" \ \ \ 1  <=  a < 10, \ \ \ "n jest liczbą całkowitą"` 


Przykłady:

  • `38 \ 900=3,8900*10 \ 000=3,89*10^4` 

  • `789 \ 423=7,89423*100 \ 000=7,89423*10^3`   

  • `0,00934=934/(100 \ 000)=(9,34)/(1000)=(9,34)/10^3=9,34*1/10^3=9,34*10^-3`     

  •  `0,00001257=(1257)/(100 \ 000 \ 000)=(1,257)/(100 \ 000)=(1,257)/10^5=1,257*1/10^5=1,257*10^-5`   


Uwaga:

Na podstawie powyższych przykładów można zauważyć, że:

  • Jeżeli przecinek przesuwaliśmy w lewo, to wykładnik potęgi liczby 10 będzie liczbą dodatnią;
  • Jeżeli przecinek przesuwaliśmy w prawo, to wykładnik potęgi liczby 10 będzie liczbą ujemną.

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Oblicz w pamięci:

  1. $$ 4^2 $$
  2. $$ 3^2 $$
  3. $$ 2^4 $$
  4. $$ 3^4 $$
  5. $$ 1^{43} $$
  1. $$ 4^2=16 $$
  2. $$ 3^2=9 $$
  3. $$ 2^4=16 $$
  4. $$ 3^4=81 $$
  5. $$ 1^{43}=1 $$

Zadanie 2.

Odgadnij liczbę spełniającą równanie:

  1. $$ 3^3×3^5=3^x $$
  2. $$ 5^2×5^x=5^7 $$
  3. $$ 7^7÷7^x=7^5 $$
  1. $$ 3^3×3^5=3^8 -> x=8 $$
  2. $$ 5^2×5^5=5^7 -> x=5 $$
  3. $$ 7^7÷7^2=7^5 -> x=2 $$

Zadanie 3.

Przedstaw wartość wyrażenia w postaci potęgi liczby 3:

  1. $$ 3^5×9^3 $$
  2. $$ {27}^5÷3^2 $$
  3. $$ 3^2×9^1÷3^3 $$
  1. $$ 3^5×9^3=3^5×3^6=3^{11} $$
  2. $$ {27}^5÷3^2=3^{15}÷3^2=3^{13} $$
  3. $$ 3^2×9^1÷3^3=3^2×3^2÷3^3=3^4÷3^3=3 $$

Zadanie 4.

Oblicz:

  1. $$ 2^{-4} $$
  2. $$ 3^{-3} $$
  3. $$ {10}^{-5} $$
  1. $$ 2^{-4}=1/{2^4} =1/{16} $$
  2. $$ 3^(-3)=1/{3^3} =1/{27} $$
  3. $$ {10}^{-5}=1/{ {10}^5} =1/{100000} $$

Zadanie 5.

Zapisz w notacji wykładniczej:

  1. 125 mln
  2. 8276 mln
  3. 25,6 mld
  1. 125 mln$$=125 000 000=1,25×{10}^8 $$
  2. 8276 mln$$=8726 000 000=8,726×{10}^9 $$
  3. 25,6 mld$$=25 600 000 000=2,56×{10}^{10}$$

Zadanie 6.

Który znak należy wstawić $$ < $$ czy $$ > $$?

  1. $$4^8$$ i $$3^8$$
  2. $$2^8$$ i $$2^{10}$$
  3. $$6^{-3}$$ i $$6^{-4}$$
  1. $$ 4^8 > 3^8 $$
  2. $$ 2^8 < 2^{10} $$
  3. $$ 6^{-3} > 6^{-4} $$

Spis treści

Rozwiązane zadania
a) Zamień podane procenty na ułamki dziesiętne.

a) 37%=0,37
    9%=0,09
   2,64%=0,0264
    61%=0,61
    15,2%=0,152
    0,2%=0,002


b) 0,55=55%
     0,4=40%
     5,4=540%
    1,32=132%
    0,02=2%
    2,05=205%



* Aby zamienić procent na liczbę należy ten procent podzielić na 100.
** Aby liczbę zamienić na procent należy pomnożyć tą liczbę razy 100.

Zmieszano 25 g 25-procentowej solanki z 10 g soli...


`"Obliczamy, ile soli jest w 25 g solanki 25%:"` 

`25%*25\ g=0,25*25\ g=6,25\ g`

 


`"Obliczamy, ile soli jest w nowym roztworze (ilość soli dzielimy przez wagę roztworu)"` 

`(6,25+10)/(25+10)=(16,25)/35=1625/3500=325/700=65/140=13/28=0,4642857...~~0,4643=46,43%`

 

`"Odp. Stężenie procentowe otrzymanego roztworu wynosi 46,43%."` 

Na wykresie pokazano, jaka była temperatura ...
Temperatura  -4oC -3oC -2oC -1oC 0oC 1oC 2oC 3oC 4oC 6oC 8oC
Liczba dni 1 1 4 2 2 2 2 1 2 2 1


Obliczamy ile wynosi średnia arytmetyczna tych temperatur. 

`(-4+(-3)+4*(-2)+2*(-1)+2*0+2*1+2*2+3+2*4+2*6+8)/20=` 

`=(-4+(-3)+(-8)+(-2)+0+1+4+3+8+12+8)/20=19/20~~1` 

Średnia arytmetyczna temperatur wynosi około 1oC. 

Z centrum pewnej miejscowości wyruszyli jednocześnie...






Obliczmy długość trasy (a), którą pokonał Turysta I w ciągu 24 min jadąc z prędkością 25 km/h 

24 min= 24/60 h= 4/10 h=0,4 h


25= a/0,4

a= 25٠0,4=10 [km]



Obliczmy długość trasy (c), którą pokonał Turysta II w ciągu 24 min jadąc z prędkością 80 km/h 


24 min= 24/60 h= 4/10 h=0,4 h


80= c/0,4

c=
80٠0,4=32 [km]


Obliczmy długość trasy (b), którą pokonał Turysta III w ciągu 24 min jadąc z prędkością 16 2/3 m/s 


24 min= 24/60 h= 4/10 h=0,4 h


16 2/3 m/s= 50/3 m/s= 0,05/3 km/s= 0,05/3 ٠3600 km/h =180/3 km/h= 60 km/h


60= b/0,4

b= 60٠0,4=24 [km]



Obliczmy długość trasy (d), którą pokonał Turysta IV w ciągu 24 min jadąc z prędkością 60 km/h 


24 min= 24/60 h= 4/10 h=0,4 h


60= d/0,4

d=
 60٠0,4=24 [km]



Odległość Turysty I od Turysty II wynosi po 24 minutach (a+c):

10 km+32 km=42 km


Odległość Turysty III od Turysty IV wynosi po 24 minutach (b+d):

24 km+24 km=48 km


Odległość Turysty I od Turysty III jest taka sama jak odległość Turysty I od Turysty IV (e=h), możemy ją obliczyć z twierdzenia Pitagorasa:

a2+b2=e2

102+242=e2

100+576=e2

e2=676

e=26 [km]

h=26 km


Odległość Turysty II od Turysty III jest taka sama jak odległość Turysty II od Turysty IV (f=g), możemy ją obliczyć z twierdzenia Pitagorasa:

c2+b2=f2

322+242=f2

1024+576=f2

f2=1600

f=40 [km]

g=40 km


Odp. Po upływie 24 minut największa odległość będzie między Turystą III, a Turystą IV wynosi ona 48 km.

Najdłuższa rzeka Europy - Wołga

Wiemy, że Wołga jest o 1330 km dłuższa od Dniepru, oznaczmy więc:

`x\ -\ "długość Dniepru"\ [km]`

`x+1330\ -\ "długość Wołgi"\ [km]`

 

Wiemy, że stosunek długości tych rzek wynosi około 1,604 (stosunek dłuższej do krótszej, ponieważ wynik jest większy od 1)

`(x+1330)/x=1,604\ \ \ |*x`

`x+1330=1,604x\ \ \ \ |-x`

`1330=0,604x\ \ \ \ |:0,604`

`x=1330:0,604=1\ 330\ 000:604~~2202`

 

Obliczamy, ile razy Dniepr jest dłuższy od Wisły:

`2202:1047~~2,1`

Krawędź sześcianu ma 3n cm...

Sześcian ma `12` krawędzi tej samej długości zatem:


a) skala `1:3` oznacza, że rzeczywiste wymiary sześcianu są trzykrotnie pomniejszone zatem:

krawędź sześcianu o długości `3n` ma w tej skali długość `n` 

suma długości krawędzi tego sześcianu wynosi:

`12*n=12n` 


b) skala `2:1` oznacza, że rzeczywiste wymiary sześcianu są dwukrotnie powiększone zatem:

krawędź sześcianu o długości `3n` ma w tej skali długość `6n` 

suma długości krawędzi tego sześcianu wynosi:

`12*6n=72n` 


c) skala `1:6` oznacza, że rzeczywiste wymiary sześcianu są sześciokrotnie pomniejszone zatem:

krawędź sześcianu o długości `3n` ma w tej skali długość `1/2n` 

suma długości krawędzi tego sześcianu wynosi:

`12*1/2n=6n` 

Liczba 2 jest wynikiem działania

ODP: D

 

`"A.\ 4,2:2 4/5=4,2:2,8ne2`

`"B".\ 1,6*2 4/5=16/10*14/10ne2`

`"C".\ 3,4:5 2/3=34/10:17/3=strike34^2/10*3/strike17^1ne2`

`"D".\ 10/23*4,6=46/23=2`

Pole każdego z narysowanych prostokątów jest ...

Rysunki pomocnicze:

Oznaczamy boki prostokąta jako a i b. Znamy pole prostokąta, więc możemy zapisać:

`a*b=6\ "cm"^2`

 

a) Zamalowana figura jest trójkątem o podstawie a i wysokości b, stąd:

`P=(a*b)/2=6/2=3\ ["cm"^2]`

 

b) Zamalowana figura tworzy dwa trójkąty.

Pierwszy z nich to trójkąt o podstawie x i wysokości b. Drugi to trójkąt o podstawie a-x i wysokości b.

Pole zamalowanej figury jest sumą pól trójkątów:

`P=(x*b)/2+((a-x)*b)/2=(x*b)/2+(a*b-x*b)/2=(x*b+a*b-x*b)/2=(a*b)/2=6/2=3\ ["cm"^2]`

 

c) Zamalowana figura tworzy dwa trójkąty.

Pierwszy z nich to trójkąt o podstawie b i wysokości a-x. Drugi to trójkąt o podstawie b i wysokości x.

Pole zamalowanej figury jest sumą pól trójkątów:

`P=(b*(a-x))/2+(b*x)/2=(b*a-b*x)/2+(b*x)/2=(b*a-b*x+b*x)/2=(b*a)/2=6/2=3\ ["cm"^2]`

Długości boków trójkąta ABC wynoszą:

`"a)"\ |AB|=4,3\ "cm",\ \ |BC|=78\ "mm",\ \ |CA|=0,64\ "dm"` 

Zapiszmy długości boków w dm:

`|AB|=4,3\ "cm"=0,43\ "dm"` 

`|BC|=78\ "mm"=0,78\ "dm"`   

Największy kąt znajduje się zawsze naprzeciwko boku o największej długości.

Bok o największej długości to bok BC, więc kąt o największej mierze to kąt BAC (CAB).

Najmniejszy kąt leży naprzeciwko boku o najmniejszej długości.

Najkrótszy bok to bok AB, więc kąt o najmniejszej mierze to kąt ACB (BCA).

Obliczamy obwód trójkąta ABC:

`"Obw"=0,43\ "dm"+0,78\ "dm"+0,64\ "dm"=1,85\ "dm"` 

 

`"b)"\ |AB|=0,08\ "m",\ \ |BC|=140\ "mm",\ \ |CA|=9\ "cm"` 

Zapiszmy długości boków w dm:

`|AB|=0,08\ "m"=0,8\ "dm"` 

`|BC|=140\ "mm"=1,4\ "dm"`  

`|CA|=9\ "cm"=0,9\ "dm"`   

Bok o największej długości to bok BC, więc kąt o największej mierze to kąt BAC (CAB).

Najkrótszy bok to bok AB, więc kąt o najmniejszej mierze to kąt ACB (BCA).

Obliczamy obwód trójkąta ABC:

`"Obw"=0,8\ "dm"+1,4\ "dm"+0,9\ "dm"=3,1\ "dm"` 

 

`"c)"\ |AB|=120\ "cm",\ \ |BC|=1,4\ "m",\ \ |CA|=1,6\ "m"` 

Zapiszmy długości boków w dm:

`|AB|=120\ "cm"=12\ "dm"` 

`|BC|=1,4\ "m"=14\ "dm"`  

`|CA|=1,6\ "m"=16\ "dm"`   

Bok o największej długości to bok CA, więc kąt o największej mierze to kąt CBA (ABC).

Najkrótszy bok to bok AB, więc kąt o najmniejszej mierze to kąt ACB (BCA).

Obliczamy obwód trójkąta ABC:

`"Obw"=12\ "dm"+14\ "dm"+16\ "dm"=42\ "dm"` 

Podaj przykład liczby ...

a)

`9 \ < \ sqrt{n} \ < \ 10`

`9^2 \ < \ n \ < \ 10^2`

`81 \ < \ n \ < \ 100`


Szukamy więc takich liczb naturalnych, które są większe od 81 i mniejsze od 100.

Takie liczby to: 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99

Liczb tych jest 18.  


Odpowiedź:
Przykładowa liczba naturalna n to 87. Można wymienić 18 takich liczb naturalnych n.

 

b)

`4 \ < \ root(3){n} \ < \ 5`

`4^3 \ < \ n \ < \ 5^3`

`64 \ < \ n \ < \ 125`

Szukamy więc takich liczb naturalnych, które są większe od 64 i mniejsze od 125.

Takie liczby to: 65, 66, 67, 68, 69, ... , 120, 121, 122, 123, 124

Liczb tych jest 60.