Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Potęgi - 7-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Potęga o wykładniku naturalnym

Potęga to wielokrotne pomnożenie przez siebie takiego samego czynnika.


Potęgę liczby a o wykładniku n oznaczamy symbolem `a^n`, gdzie a to podstawa potęgi, n to wykładnik potęgi.  

Powyższa potęga oznacza, że dokonamy n - krotnego mnożenie czynnika a.

`a^n=#underbrace(a*a*...*a)_("n czynników")` 

Przykłady:

  • `3^4=3*3*3*3=81` 

  • `2^3=2*2*2=8`  

Gdy liczbę dodatnią lub ujemną podnosimy do potęgi parzystej, wówczas wynikiem będzie zawsze liczba dodatnia.

Gdy wykładnikiem potęgi liczby ujemnej będzie liczba nieparzysta to wynik będzie zawsze ujemny.

Przykłady:

  • `(-3)^6=3^6` 

  • `(-6)^5=-6^5`  

  • `(-1/2)^4=(1/2)^4` 

  • `(-1/7)^3=-(1/7)^3` 

Gdy podnosimy ułamek zwykły do danej potęgi, to wykonujemy oddzielnie potęgowanie dla licznika i mianownika. 

Przykłady

  • `(2/3)^2=2^2/3^2=4/9` 

  •  `(1/2)^4=1^4/2^4=1/16`  


Zapamiętaj:

  • `a^0=1 \ \ \ "dla" \ \ \ a!=0`  

  • `a^1=a`    

Iloczyn i iloraz potęg o tych samych podstawach

Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach jest bardzo proste. Należy zapamiętać dwie proste zasady:

  1. Mnożenie - iloczynem dwóch potęg o tych samych podstawach jest potęga, której podstawa jest taka sama jak podstawy mnożonych potęg, a wykładnik jest sumą wykładników tych potęg.

    `a^m*a^n=a^(m+n)`  

  2. Dzielenie - ilorazem dwóch potęg o tych samych podstawach jest potęga, której podstawa jest taka sama jak podstawy dzielnej i dzielnika, a wykładnik jest różnicą wykładników tych potęg.

    `a^m:a^n=a^(m-n) \ \ \ \ "dla" \ \ \ a!=0` 
     

Przykłady:

  • `3^2*3^4=3^(2+4)=3^6` 

  • `(-5)^3*(-5)^2=(-5)^(3+2)=(-5)^5` 

  • `7^3:7=7^3:7^1=7^(3-1)=7^2`     

  • `4^8:4^5=4^(8-5)=4^3`   

Potęgowanie potęgi

Potęgując potęgę należy pamiętać, że podstawa pozostaje bez zmian, a wykładniki mnożymy. 

  • `(a^m)^n=a^(m*n)` 


Przykłady:

  • `(2^3)^4=2^(3*4)=2^12` 

  • `(9^7)^8=9^(7*8)=9^(56)`   



Uwaga

Jeśli mamy potęgę postaci `a^(m^n)`, to w pierwszej kolejności potęgujemy potęgi, czyli obliczamy ile wynosi `m^n`.

W wyniku otrzymujemy potęgę o tej samej podstawie (`a`) i wykładniku będącym potęgą potęg.   


Przykłady

  • `5^(2^3)=5^8 \ \ \ \ "bo" \ \ \ 2^3=8` 

  • `4^(3^4)=4^81 \ \ \ \ "bo" \ \ \ \ 3^4=81`   

Potęgowanie iloczynu i ilorazu

Potęgowanie iloczynu i ilorazu odbywa się według dwóch prostych zasad: 

  1. Potęga iloczynu jest równa iloczynowi potęg. 

    `(a*b)^n=a^n*b^n`  

  2. Potęga ilorazu jest równa ilorazowi potęg. 
  • `(a:b)^n=a^n:b^n \ \ \ \ "dla" \ \ \ b!=0`    

  • `(a/b)^n=a^n/b^n \ \ \ \ "dla" \ \ \ b!=0`  
     

Przykłady:

  • `(3*2)^2=3^2*2^2`
     
  • `(5*7)^4=5^4*7^4`   

  • `(9:4)^3=9^3:4^3`  

  • `(8/5)^6=8^6/5^6`  

Potęga o wykładniku całkowitym ujemnym

Aby obliczyć potęgę, której podstawą jest liczba `a!=0` a wykładnik jest liczbą całkowitą ujemną zamieniamy podstawę potęgi na liczbę do niej odwrotną a wykładnik potęgi na liczbę do niego przeciwną. 

  • `a^(-n)=(1/a)^n=1^n/a^n=1/a^n`  


Przykłady
:

  • `7^-9=1/7^9` 

  • `2^(-3)=1/2^3`  

  • `(1/2)^(-4)=(2/1)^4=2^4`  

Notacja wykładnicza

Notacja wykładnicza to przedstawienie danej liczby w postaci iloczynu liczby większej lub równej 1 i mniejszej od 10 oraz potęgi liczby 10.

Zapis liczby dodatniej w notacji wykładniczej:

`a*10^n,  \ \ \ \ "gdzie" \ \ \ 1  <=  a < 10, \ \ \ "n jest liczbą całkowitą"` 


Przykłady:

  • `38 \ 900=3,8900*10 \ 000=3,89*10^4` 

  • `789 \ 423=7,89423*100 \ 000=7,89423*10^3`   

  • `0,00934=934/(100 \ 000)=(9,34)/(1000)=(9,34)/10^3=9,34*1/10^3=9,34*10^-3`     

  •  `0,00001257=(1257)/(100 \ 000 \ 000)=(1,257)/(100 \ 000)=(1,257)/10^5=1,257*1/10^5=1,257*10^-5`   


Uwaga:

Na podstawie powyższych przykładów można zauważyć, że:

  • Jeżeli przecinek przesuwaliśmy w lewo, to wykładnik potęgi liczby 10 będzie liczbą dodatnią;
  • Jeżeli przecinek przesuwaliśmy w prawo, to wykładnik potęgi liczby 10 będzie liczbą ujemną.

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Oblicz w pamięci:

  1. $$ 4^2 $$
  2. $$ 3^2 $$
  3. $$ 2^4 $$
  4. $$ 3^4 $$
  5. $$ 1^{43} $$
  1. $$ 4^2=16 $$
  2. $$ 3^2=9 $$
  3. $$ 2^4=16 $$
  4. $$ 3^4=81 $$
  5. $$ 1^{43}=1 $$

Zadanie 2.

Odgadnij liczbę spełniającą równanie:

  1. $$ 3^3×3^5=3^x $$
  2. $$ 5^2×5^x=5^7 $$
  3. $$ 7^7÷7^x=7^5 $$
  1. $$ 3^3×3^5=3^8 -> x=8 $$
  2. $$ 5^2×5^5=5^7 -> x=5 $$
  3. $$ 7^7÷7^2=7^5 -> x=2 $$

Zadanie 3.

Przedstaw wartość wyrażenia w postaci potęgi liczby 3:

  1. $$ 3^5×9^3 $$
  2. $$ {27}^5÷3^2 $$
  3. $$ 3^2×9^1÷3^3 $$
  1. $$ 3^5×9^3=3^5×3^6=3^{11} $$
  2. $$ {27}^5÷3^2=3^{15}÷3^2=3^{13} $$
  3. $$ 3^2×9^1÷3^3=3^2×3^2÷3^3=3^4÷3^3=3 $$

Zadanie 4.

Oblicz:

  1. $$ 2^{-4} $$
  2. $$ 3^{-3} $$
  3. $$ {10}^{-5} $$
  1. $$ 2^{-4}=1/{2^4} =1/{16} $$
  2. $$ 3^(-3)=1/{3^3} =1/{27} $$
  3. $$ {10}^{-5}=1/{ {10}^5} =1/{100000} $$

Zadanie 5.

Zapisz w notacji wykładniczej:

  1. 125 mln
  2. 8276 mln
  3. 25,6 mld
  1. 125 mln$$=125 000 000=1,25×{10}^8 $$
  2. 8276 mln$$=8726 000 000=8,726×{10}^9 $$
  3. 25,6 mld$$=25 600 000 000=2,56×{10}^{10}$$

Zadanie 6.

Który znak należy wstawić $$ < $$ czy $$ > $$?

  1. $$4^8$$ i $$3^8$$
  2. $$2^8$$ i $$2^{10}$$
  3. $$6^{-3}$$ i $$6^{-4}$$
  1. $$ 4^8 > 3^8 $$
  2. $$ 2^8 < 2^{10} $$
  3. $$ 6^{-3} > 6^{-4} $$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wyznacz okres następujących...

`5/9=5:9=0,555"..."=0,(5)` 

`1 1/6=7/6=1,1666"..."=1,1(6)` 

`6 2/11=68/11=6,181818...=6,(18)` 

`4 2/3=14/3=4,666"..."=4,(6)` 

Statystyczny mieszkaniec Polski zużywa na dobę ...

Mieszkaniec Polski zużywa około 0,203 m3 wody na dobę:

`0,203\ "m"^3=0,203*1000\ "dm"^3=203\ "dm"^3=203\ "l"` 

Obliczamy, ile litrów wody zużywa na dobę czteroosobowa rodzina:

`203\ "l"*4=812\ "l"`  

 

Przeciętna wanna ma pojemność równą około 150 litrów.

Obliczamy, ile wanien wody zużywają dziennie cztery osoby:

`812\ "l":150\ "l"=812:150=5,41333...~~5`  

 

Odp: Czteroosobowa rodzina zużywa codziennie około 5 wanien wody.

Oblicz miary kątów ...

`alpha=360^@-120^@=240^@`

Kąt `alpha` jest kątem wklęsłym.

{premium}

`beta=360^@-320^@=40^@`

Kąt `beta` jest kątem ostrym.

 

`gamma=360^@-90^@=270^@`

Kąt `gamma`  jest kątem wklęsłym.

 

`delta=180^@-(35^@+25^@)=180^@-60^@=120^@`

Kąt `delta`  jest kątem rozwartym.

Jakie liczby odpowiadają punktom A,B,C,D,E,F,G.?

`A=-2 1/3`{premium}

`B=-1 2/3`

`C=-1/3`

`D=2/3`

`E=2 2/3`

`F=3 2/3`

`G=4`

 

Księgarnia językowa oferuje x książek w języku...

Książki w języku angielskim: `x`  

Książki w języku francuskim: `y`  

Książki w języku hiszpańskim: `x-20`  

Książki w języku niemieckim: `y+12`  

Razem:

`x+y+x-20+y-12=2x+2y-8` 

Odp. Księgarnia oferuje `2x+2y-8` książek w podanych językach. 

 

Oblicz objętość graniastosłupa prostego, którego ...

Wysokość graniastosłupa jest równa 10 cm:

`H=10\ "cm"` 

 

Obliczamy pole podstawy, którą jest trójkąt prostokątny o bokach długości 5 cm, 12 cm oraz 13 cm

(przyprostokątne stanowią wysokość oraz podstawę tego trójkąta; przyprostokątne mają długości 5 cm i 12 cm):

`P_p=(5*strike12^6)/strike2^1=30\ ["cm"^2]`   

Obliczamy objętość graniastosłupa:

`V=P_p*H=30*10=300\ ["cm"^3]`    

Liczby x i y są dodatnie. Uzasadnij...

Udowodnimy najpierw, że równość nie zachodzi dla dowolnych liczb dodatnich `x, y,` 

a następnie pokażemy kontrprzykład dla konkretnych liczb. {premium}

`sqrtx+sqrty=sqrt(x+y)` 

Podniesiemy obie strony powyższej równości do kwadratu [możemy tak zrobić, bo liczby po obu

stronach równości są nieujemne]. Po lewej stronie skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia

na kwadrat sumy, czyli `(a+b)^2=a^2+2ab+b^2.` 

Mamy zatem:

`(sqrtx+sqrty)^2=(sqrt(x+y))^2` 

`(sqrtx)^2+2sqrtx*sqrty+(sqrty)^2=x+y`  

`strikex+2sqrt(xy)+strikey=strikex+strikey` 

`2sqrt(xy)=0\ "/":2` 

`sqrt(xy)=0` 

Teraz zastanówmy się, pierwiastek z jakiej liczby jest równy `0.` Wobec tego:

`xy=0` 

Jeżeli iloczyn dwóch liczb jest równy zero, to przynajmniej jedna z tych liczb musi być równa zero.

Wobec powyższego podana równość zachodzi tylko wtedy, gdy `x` lub `y` jest równe `0.` 

Czyli równość nie jest prawdziwa dla dowolnych `x, y,` co należało dowieść.            

 

Kontrprzykład:

Weźmy np. liczby `x=1,\ y=4.` Wtedy:

`sqrtx=sqrt1=1` 

`sqrty=sqrt4=2` 

`sqrtx+sqrty=1+2=3` 

`sqrt(x+y)=sqrt(1+4)=sqrt5 < sqrt9=3` 

Widzimy, że wyrażenie po lewej stronie równości ma wartość `3` dla tak przyjętych `x, y,` 

a wyrażenie po prawej stronie równości na wartość mniejszą od `3.`

Wobec powyższego podana równość nie zachodzi.

 

 

   

Obwód narysowanego obok trójkąta jest równy 45 cm.

Obwód to suma długości wszystkich boków. Obwód trójkąta jest równy 45 cm. 

Boki trójkąta mają długości 2x+3, x+4, 3x-1. 

Równanie opisujące obwód ma postać:
`2x+3+x+4+3x-1=45` 

Rozwiązujemy równanie. 
`6x+6=45 \ \ \ \ \ \ \ \ |-6` 
`6x=39 \ \ \ \ \ \ \ \ |:6`  
`x=6,5` 


Obliczamy długości boków. 
`2x+3=2*6,5+3=13+3=16`  

`x+4=6,5+4=10,5`

`3x-1=3*6,5-1=19,5-1=18,5`


Najdłuższy bok ma 18,5 cm długości. Najkrótszy ma 10,5 cm długości.
Różnica długości między najdłuższym a najkrótszym bokiem wynosi:
`18,5cm-10,5cm=8cm` 

Na 129. miejscu po przecinku w rozwinięciu ...

ODP:A

 

Szukamy rozwinięcia dziesiętnego ułamka 5/13.

 

`5/13=0,(384615)`

 

Patrzymy na cyfry znajdujące się po przecinku.

-> Na pierwszym, siódmym, trzynastym itd. miejscu znajduje się 3 - numer miejsca to liczba dająca resztę 1 przy dzieleniu przez 6 (6 to długość okresu)

-> Na drugim, ósmym, czternastym itd. miejscu znajduje się 8 - numer miejsca to liczba dająca resztę 2 przy dzieleniu przez 6

-> Na trzecim, dziewiątym, piętnastym itd. miejscu znajduje się 4 - numer miejsca to liczba dająca resztę 3 przy dzieleniu przez 6

-> Na czwartym, dziesiątym, szesnastym itd. miejscu znajduje się 6 - numer miejsca to liczba dająca resztę 4 przy dzieleniu przez 6

-> Na piątym, jedenastym, siedemnastym itd. miejscu znajduje się 1 - numer miejsca to liczba dająca resztę 5 przy dzieleniu przez 6

-> Na szóstym, dwunastym, osiemnastym itd. miejscu znajduje się 5 - numer miejsca to liczba podzielna przez 6

Wyznaczamy resztę z dzielenia liczby 129 przez 6:

`129:6=21\ "reszta"\ 3`

Na miejscu 129. znajduje się więc cyfra 4.

Emil miał na świadectwie pięć ocen dobrych, ...

`x`  - ilość ocen bardzo dobrych


Mamy więc: 

`(6*3+5*4+x*5)/(6+5+x)=4` 

`(38+5x)/(11+x)=4 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |*(11+x)` 

`38+5x=4*(11+x)`    

`38+5x=44+4x \ \ \ \ \ \ \ \ \ |-38` 

`5x=6+4x \ \ \ \ \ \ \ \ \ |-4x` 

`x=6` 


Odpowiedź: Emil miał 6 ocen bardzo dobrych.