Potęgi - 7-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Potęgi - 7-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Potęga o wykładniku naturalnym

Potęga to wielokrotne pomnożenie przez siebie takiego samego czynnika.


Potęgę liczby a o wykładniku n oznaczamy symbolem `a^n`, gdzie a to podstawa potęgi, n to wykładnik potęgi.  

Powyższa potęga oznacza, że dokonamy n - krotnego mnożenie czynnika a.

`a^n=#underbrace(a*a*...*a)_("n czynników")` 

Przykłady:

  • `3^4=3*3*3*3=81` 

  • `2^3=2*2*2=8`  

Gdy liczbę dodatnią lub ujemną podnosimy do potęgi parzystej, wówczas wynikiem będzie zawsze liczba dodatnia.

Gdy wykładnikiem potęgi liczby ujemnej będzie liczba nieparzysta to wynik będzie zawsze ujemny.

Przykłady:

  • `(-3)^6=3^6` 

  • `(-6)^5=-6^5`  

  • `(-1/2)^4=(1/2)^4` 

  • `(-1/7)^3=-(1/7)^3` 

Gdy podnosimy ułamek zwykły do danej potęgi, to wykonujemy oddzielnie potęgowanie dla licznika i mianownika. 

Przykłady

  • `(2/3)^2=2^2/3^2=4/9` 

  •  `(1/2)^4=1^4/2^4=1/16`  


Zapamiętaj:

  • `a^0=1 \ \ \ "dla" \ \ \ a!=0`  

  • `a^1=a`    

Iloczyn i iloraz potęg o tych samych podstawach

Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach jest bardzo proste. Należy zapamiętać dwie proste zasady:

  1. Mnożenie - iloczynem dwóch potęg o tych samych podstawach jest potęga, której podstawa jest taka sama jak podstawy mnożonych potęg, a wykładnik jest sumą wykładników tych potęg.

    `a^m*a^n=a^(m+n)`  

  2. Dzielenie - ilorazem dwóch potęg o tych samych podstawach jest potęga, której podstawa jest taka sama jak podstawy dzielnej i dzielnika, a wykładnik jest różnicą wykładników tych potęg.

    `a^m:a^n=a^(m-n) \ \ \ \ "dla" \ \ \ a!=0` 
     

Przykłady:

  • `3^2*3^4=3^(2+4)=3^6` 

  • `(-5)^3*(-5)^2=(-5)^(3+2)=(-5)^5` 

  • `7^3:7=7^3:7^1=7^(3-1)=7^2`     

  • `4^8:4^5=4^(8-5)=4^3`   

Potęgowanie potęgi

Potęgując potęgę należy pamiętać, że podstawa pozostaje bez zmian, a wykładniki mnożymy. 

  • `(a^m)^n=a^(m*n)` 


Przykłady:

  • `(2^3)^4=2^(3*4)=2^12` 

  • `(9^7)^8=9^(7*8)=9^(56)`   



Uwaga

Jeśli mamy potęgę postaci `a^(m^n)`, to w pierwszej kolejności potęgujemy potęgi, czyli obliczamy ile wynosi `m^n`.

W wyniku otrzymujemy potęgę o tej samej podstawie (`a`) i wykładniku będącym potęgą potęg.   


Przykłady

  • `5^(2^3)=5^8 \ \ \ \ "bo" \ \ \ 2^3=8` 

  • `4^(3^4)=4^81 \ \ \ \ "bo" \ \ \ \ 3^4=81`   

Potęgowanie iloczynu i ilorazu

Potęgowanie iloczynu i ilorazu odbywa się według dwóch prostych zasad: 

  1. Potęga iloczynu jest równa iloczynowi potęg. 

    `(a*b)^n=a^n*b^n`  

  2. Potęga ilorazu jest równa ilorazowi potęg. 
  • `(a:b)^n=a^n:b^n \ \ \ \ "dla" \ \ \ b!=0`    

  • `(a/b)^n=a^n/b^n \ \ \ \ "dla" \ \ \ b!=0`  
     

Przykłady:

  • `(3*2)^2=3^2*2^2`
     
  • `(5*7)^4=5^4*7^4`   

  • `(9:4)^3=9^3:4^3`  

  • `(8/5)^6=8^6/5^6`  

Potęga o wykładniku całkowitym ujemnym

Aby obliczyć potęgę, której podstawą jest liczba `a!=0` a wykładnik jest liczbą całkowitą ujemną zamieniamy podstawę potęgi na liczbę do niej odwrotną a wykładnik potęgi na liczbę do niego przeciwną. 

  • `a^(-n)=(1/a)^n=1^n/a^n=1/a^n`  


Przykłady
:

  • `7^-9=1/7^9` 

  • `2^(-3)=1/2^3`  

  • `(1/2)^(-4)=(2/1)^4=2^4`  

Notacja wykładnicza

Notacja wykładnicza to przedstawienie danej liczby w postaci iloczynu liczby większej lub równej 1 i mniejszej od 10 oraz potęgi liczby 10.

Zapis liczby dodatniej w notacji wykładniczej:

`a*10^n,  \ \ \ \ "gdzie" \ \ \ 1  <=  a < 10, \ \ \ "n jest liczbą całkowitą"` 


Przykłady:

  • `38 \ 900=3,8900*10 \ 000=3,89*10^4` 

  • `789 \ 423=7,89423*100 \ 000=7,89423*10^3`   

  • `0,00934=934/(100 \ 000)=(9,34)/(1000)=(9,34)/10^3=9,34*1/10^3=9,34*10^-3`     

  •  `0,00001257=(1257)/(100 \ 000 \ 000)=(1,257)/(100 \ 000)=(1,257)/10^5=1,257*1/10^5=1,257*10^-5`   


Uwaga:

Na podstawie powyższych przykładów można zauważyć, że:

  • Jeżeli przecinek przesuwaliśmy w lewo, to wykładnik potęgi liczby 10 będzie liczbą dodatnią;
  • Jeżeli przecinek przesuwaliśmy w prawo, to wykładnik potęgi liczby 10 będzie liczbą ujemną.

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Oblicz w pamięci:

  1. $ 4^2 $
  2. $ 3^2 $
  3. $ 2^4 $
  4. $ 3^4 $
  5. $ 1^{43} $
  1. $ 4^2=16 $
  2. $ 3^2=9 $
  3. $ 2^4=16 $
  4. $ 3^4=81 $
  5. $ 1^{43}=1 $

Zadanie 2.

Odgadnij liczbę spełniającą równanie:

  1. $ 3^3×3^5=3^x $
  2. $ 5^2×5^x=5^7 $
  3. $ 7^7÷7^x=7^5 $
  1. $ 3^3×3^5=3^8 -> x=8 $
  2. $ 5^2×5^5=5^7 -> x=5 $
  3. $ 7^7÷7^2=7^5 -> x=2 $

Zadanie 3.

Przedstaw wartość wyrażenia w postaci potęgi liczby 3:

  1. $ 3^5×9^3 $
  2. $ {27}^5÷3^2 $
  3. $ 3^2×9^1÷3^3 $
  1. $ 3^5×9^3=3^5×3^6=3^{11} $
  2. $ {27}^5÷3^2=3^{15}÷3^2=3^{13} $
  3. $ 3^2×9^1÷3^3=3^2×3^2÷3^3=3^4÷3^3=3 $

Zadanie 4.

Oblicz:

  1. $ 2^{-4} $
  2. $ 3^{-3} $
  3. $ {10}^{-5} $
  1. $ 2^{-4}=1/{2^4} =1/{16} $
  2. $ 3^(-3)=1/{3^3} =1/{27} $
  3. $ {10}^{-5}=1/{ {10}^5} =1/{100000} $

Zadanie 5.

Zapisz w notacji wykładniczej:

  1. 125 mln
  2. 8276 mln
  3. 25,6 mld
  1. 125 mln$=125 000 000=1,25×{10}^8 $
  2. 8276 mln$=8726 000 000=8,726×{10}^9 $
  3. 25,6 mld$=25 600 000 000=2,56×{10}^{10}$

Zadanie 6.

Który znak należy wstawić $ < $ czy $ > $?

  1. $4^8$ i $3^8$
  2. $2^8$ i $2^{10}$
  3. $6^{-3}$ i $6^{-4}$
  1. $ 4^8 > 3^8 $
  2. $ 2^8 < 2^{10} $
  3. $ 6^{-3} > 6^{-4} $

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wykonaj działania

{premium}

 

 

 

  

Obwód rombu jest równy 10 cm, a jeden ...

Rysunek pomocniczy:

Przyjmujemy takie oznaczenia, jak na rysunku.

Obwód rombu jest równy 10 cm.{premium}

Długości boków w rombie są równe, stąd:

 

Wiemy, że miara kąta ostrego wynosi .

Kąty znajdujące się naprzeciwko siebie mają równe miary, więc:

   

Obliczamy miarę kąta rozwartego:

 

 

Odp: Długość boku rombu wynosi 2,5 cm.

Miary pozostałych kątów w rombie wynoszą ,  oraz .  

Oba zdania są prawdziwe.

Wybierz prawidłowe dokończenie zdania.

ODP:{premium} B

 

Suma liczb ujemnej i dodatniej jest liczbą mniejszą od zera, jeżeli

wartość bezwzględna liczby ujemnej jest większa od liczby dodatniej.

 

 

A. Wybierzmy takie liczby, aby wartość bezwzględna liczby ujemnej była mniejsza od liczby dodatniej: 

  

Suma liczb wynosi:

 

Wynik jest liczbą dodatnią.   

 

C. Wybierzmy takie liczby, aby wynik odejmowania liczby ujemnej od liczby dodatniej był dodatni:

 

Różnica liczb wynosi:

 

Wynik jest liczbą dodatnią.

Wyznaczmy sumę wybranych liczb:

 

Suma jest liczbą dodatnią.  

 

D. Wybierzmy takie liczby, aby wynik odejmowania liczby dodatniej od liczby ujemnej był ujemny:

 

Różnica liczb wynosi:

 

Wynik jest liczbą ujemna.

Wyznaczamy sumę wybranych liczb:

 

Wynik jest liczbą dodatnią.

Suma długości wszystkich ...

Przyjmijmy oznaczenia: 

x - długość trzeciej krawędzi prostopadłościanu [w cm]


W prostopadłościanie mamy:  {premium}

  • 4 krawędzie długości x cm

  • 4 krawędzie długości 7 cm

  • 4 krawędzie długości 8 cm 


Suma długości wszystkich krawędzi wynosi 116 cm. 

Mamy więc: 

 

    


Odpowiedź: Trzecia krawędź tego prostopadłościanu ma długość 14 cm

Wykaż, że równanie ...

Sprawdzamy, czy liczba 5 jest rozwiązaniem równania 5 - 2x = 3x - 20. {premium}

  

  

 

Rozwiązaniem tego równania jest liczba 5. 

W 12 jednakowo wyglądających ...

Wszystkich kasetek jest 12. W 4 z nich jest po 200 zł, w 3 jest po 400 zł i w 2 jest po 500 zł. 

Zdarzenie A polega na wylosowaniu kasetki, w której jest co najmniej 200 zł. {premium}

  

Poprawna odpowiedź: A. 200 zł



Wszystkich kasetek jest 12.

Kasetek, w których jest mniej niż 300 zł, jest 4+3=7. 

Kasetek, w których jest więcej niż 300 zł, jest 3+2=5. 

Więcej jest kasetek, w których włożono mniej niż 300 zł, więc wylosowanie takiej kasetki jest bardziej prawdopodobne. 

Poprawna odpowiedź: D. większe

Między jakimi kolejnymi...

a) Szukamy liczby naturalnej mniejszej od 30, z której potrafimy obliczyć pierwiastek. 

Szukamy także liczby naturalnej większej od 30, z której potrafimy obliczyć pierwiastek. 

 

 {premium}

 

b)  

 

 

c)  

 

 

d)  

 

Ile decymetrów kwadratowych ma pole powierzchni

Musimy zamienić jednostki, w jakich wyrażono długości boków, na decymetry. 

 

 

 

{premium}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Rozlewamy 42 l soku do butelek o pojemności ...

Rozlewamy sok do butelek o pojemności 3/4 l, wypełniając 7/8 objętości butelki.

Obliczamy, ile {premium}soku znajdzie się w jednej butelce: 

Do jednej butelki wlewamy więc 21/32 l soku.

 

Do rozlania mamy 42 litry soku.

Obliczamy, ile butelek należy przygotować: 

 

Odp: Należy przygotować 64 butelki.

Oblicz długości odcinków zaznaczonych kolorem ...

a) Kolorem czerwonym została zaznaczona wysokość trójkąta.

Zauważmy, że wysokość ta {premium}poprowadzona jest na bok o długości 8.

Oznaczamy długość czerwonego odcinka jako h:

Czerwony odcinek ma długość 10. 

 

 

b) Dany jest trójkąt równoramienny. Wysokość w tym trójkącie jest równa 12.

Zauważmy, że wysokość w trójkącie równoramiennym wychodząca z wierzchołka łączącego ramiona,

dzieli podstawę, na dwa odcinki o równej długości.

Oznaczmy długość podstawy trójkąta jako a. Czerwony odcinek to połowa podstawy (ma więc długość 1/2a)

 

Podstawa ma długość 10. Obliczamy długość czerwonego odcinka:

  

Czerwony odcinek ma długość 5. 

 

 

c) Kolorem czerwonym została zaznaczona wysokość trójkąta.

Zauważmy, że wysokość ta poprowadzona jest na bok o długości 14 (10+4=14).

Oznaczamy długość czerwonego odcinka jako h:

Czerwony odcinek ma długość równą 9.