Potęgi - 7-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Potęga o wykładniku naturalnym

Potęga to wielokrotne pomnożenie przez siebie takiego samego czynnika.


Potęgę liczby a o wykładniku n oznaczamy symbolem `a^n`, gdzie a to podstawa potęgi, n to wykładnik potęgi.  

Powyższa potęga oznacza, że dokonamy n - krotnego mnożenie czynnika a.

`a^n=#underbrace(a*a*...*a)_("n czynników")` 

Przykłady:

  • `3^4=3*3*3*3=81` 

  • `2^3=2*2*2=8`  

Gdy liczbę dodatnią lub ujemną podnosimy do potęgi parzystej, wówczas wynikiem będzie zawsze liczba dodatnia.

Gdy wykładnikiem potęgi liczby ujemnej będzie liczba nieparzysta to wynik będzie zawsze ujemny.

Przykłady:

  • `(-3)^6=3^6` 

  • `(-6)^5=-6^5`  

  • `(-1/2)^4=(1/2)^4` 

  • `(-1/7)^3=-(1/7)^3` 

Gdy podnosimy ułamek zwykły do danej potęgi, to wykonujemy oddzielnie potęgowanie dla licznika i mianownika. 

Przykłady

  • `(2/3)^2=2^2/3^2=4/9` 

  •  `(1/2)^4=1^4/2^4=1/16`  


Zapamiętaj:

  • `a^0=1 \ \ \ "dla" \ \ \ a!=0`  

  • `a^1=a`    

Iloczyn i iloraz potęg o tych samych podstawach

Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach jest bardzo proste. Należy zapamiętać dwie proste zasady:

  1. Mnożenie - iloczynem dwóch potęg o tych samych podstawach jest potęga, której podstawa jest taka sama jak podstawy mnożonych potęg, a wykładnik jest sumą wykładników tych potęg.

    `a^m*a^n=a^(m+n)`  

  2. Dzielenie - ilorazem dwóch potęg o tych samych podstawach jest potęga, której podstawa jest taka sama jak podstawy dzielnej i dzielnika, a wykładnik jest różnicą wykładników tych potęg.

    `a^m:a^n=a^(m-n) \ \ \ \ "dla" \ \ \ a!=0` 
     

Przykłady:

  • `3^2*3^4=3^(2+4)=3^6` 

  • `(-5)^3*(-5)^2=(-5)^(3+2)=(-5)^5` 

  • `7^3:7=7^3:7^1=7^(3-1)=7^2`     

  • `4^8:4^5=4^(8-5)=4^3`   

Potęgowanie potęgi

Potęgując potęgę należy pamiętać, że podstawa pozostaje bez zmian, a wykładniki mnożymy. 

  • `(a^m)^n=a^(m*n)` 


Przykłady:

  • `(2^3)^4=2^(3*4)=2^12` 

  • `(9^7)^8=9^(7*8)=9^(56)`   



Uwaga

Jeśli mamy potęgę postaci `a^(m^n)`, to w pierwszej kolejności potęgujemy potęgi, czyli obliczamy ile wynosi `m^n`.

W wyniku otrzymujemy potęgę o tej samej podstawie (`a`) i wykładniku będącym potęgą potęg.   


Przykłady

  • `5^(2^3)=5^8 \ \ \ \ "bo" \ \ \ 2^3=8` 

  • `4^(3^4)=4^81 \ \ \ \ "bo" \ \ \ \ 3^4=81`   

Potęgowanie iloczynu i ilorazu

Potęgowanie iloczynu i ilorazu odbywa się według dwóch prostych zasad: 

  1. Potęga iloczynu jest równa iloczynowi potęg. 

    `(a*b)^n=a^n*b^n`  

  2. Potęga ilorazu jest równa ilorazowi potęg. 
  • `(a:b)^n=a^n:b^n \ \ \ \ "dla" \ \ \ b!=0`    

  • `(a/b)^n=a^n/b^n \ \ \ \ "dla" \ \ \ b!=0`  
     

Przykłady:

  • `(3*2)^2=3^2*2^2`
     
  • `(5*7)^4=5^4*7^4`   

  • `(9:4)^3=9^3:4^3`  

  • `(8/5)^6=8^6/5^6`  

Potęga o wykładniku całkowitym ujemnym

Aby obliczyć potęgę, której podstawą jest liczba `a!=0` a wykładnik jest liczbą całkowitą ujemną zamieniamy podstawę potęgi na liczbę do niej odwrotną a wykładnik potęgi na liczbę do niego przeciwną. 

  • `a^(-n)=(1/a)^n=1^n/a^n=1/a^n`  


Przykłady
:

  • `7^-9=1/7^9` 

  • `2^(-3)=1/2^3`  

  • `(1/2)^(-4)=(2/1)^4=2^4`  

Notacja wykładnicza

Notacja wykładnicza to przedstawienie danej liczby w postaci iloczynu liczby większej lub równej 1 i mniejszej od 10 oraz potęgi liczby 10.

Zapis liczby dodatniej w notacji wykładniczej:

`a*10^n,  \ \ \ \ "gdzie" \ \ \ 1  <=  a < 10, \ \ \ "n jest liczbą całkowitą"` 


Przykłady:

  • `38 \ 900=3,8900*10 \ 000=3,89*10^4` 

  • `789 \ 423=7,89423*100 \ 000=7,89423*10^3`   

  • `0,00934=934/(100 \ 000)=(9,34)/(1000)=(9,34)/10^3=9,34*1/10^3=9,34*10^-3`     

  •  `0,00001257=(1257)/(100 \ 000 \ 000)=(1,257)/(100 \ 000)=(1,257)/10^5=1,257*1/10^5=1,257*10^-5`   


Uwaga:

Na podstawie powyższych przykładów można zauważyć, że:

  • Jeżeli przecinek przesuwaliśmy w lewo, to wykładnik potęgi liczby 10 będzie liczbą dodatnią;
  • Jeżeli przecinek przesuwaliśmy w prawo, to wykładnik potęgi liczby 10 będzie liczbą ujemną.

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Oblicz w pamięci:

  1. $$ 4^2 $$
  2. $$ 3^2 $$
  3. $$ 2^4 $$
  4. $$ 3^4 $$
  5. $$ 1^{43} $$
  1. $$ 4^2=16 $$
  2. $$ 3^2=9 $$
  3. $$ 2^4=16 $$
  4. $$ 3^4=81 $$
  5. $$ 1^{43}=1 $$

Zadanie 2.

Odgadnij liczbę spełniającą równanie:

  1. $$ 3^3×3^5=3^x $$
  2. $$ 5^2×5^x=5^7 $$
  3. $$ 7^7÷7^x=7^5 $$
  1. $$ 3^3×3^5=3^8 -> x=8 $$
  2. $$ 5^2×5^5=5^7 -> x=5 $$
  3. $$ 7^7÷7^2=7^5 -> x=2 $$

Zadanie 3.

Przedstaw wartość wyrażenia w postaci potęgi liczby 3:

  1. $$ 3^5×9^3 $$
  2. $$ {27}^5÷3^2 $$
  3. $$ 3^2×9^1÷3^3 $$
  1. $$ 3^5×9^3=3^5×3^6=3^{11} $$
  2. $$ {27}^5÷3^2=3^{15}÷3^2=3^{13} $$
  3. $$ 3^2×9^1÷3^3=3^2×3^2÷3^3=3^4÷3^3=3 $$

Zadanie 4.

Oblicz:

  1. $$ 2^{-4} $$
  2. $$ 3^{-3} $$
  3. $$ {10}^{-5} $$
  1. $$ 2^{-4}=1/{2^4} =1/{16} $$
  2. $$ 3^(-3)=1/{3^3} =1/{27} $$
  3. $$ {10}^{-5}=1/{ {10}^5} =1/{100000} $$

Zadanie 5.

Zapisz w notacji wykładniczej:

  1. 125 mln
  2. 8276 mln
  3. 25,6 mld
  1. 125 mln$$=125 000 000=1,25×{10}^8 $$
  2. 8276 mln$$=8726 000 000=8,726×{10}^9 $$
  3. 25,6 mld$$=25 600 000 000=2,56×{10}^{10}$$

Zadanie 6.

Który znak należy wstawić $$ < $$ czy $$ > $$?

  1. $$4^8$$ i $$3^8$$
  2. $$2^8$$ i $$2^{10}$$
  3. $$6^{-3}$$ i $$6^{-4}$$
  1. $$ 4^8 > 3^8 $$
  2. $$ 2^8 < 2^{10} $$
  3. $$ 6^{-3} > 6^{-4} $$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Uzupełnij wyrażenia.

 

 

 


 

 

 

 



 

 

 


 

 

 


 



 

 

 


 
 

 


 
 
 
 


 


 

Oblicz 5+(-4)

Niemowlę po urodzeniu ważyło 3 kg...

Obliczam o ile zwiększyła się masa niemowlaka: {premium}`3*40%=3*0,40=3*40/100=3*2/5=6/5=1 1/5= 1,2 \ "[kg]"` 



 

Filip miał 10 zł i chciał kupić 5 jednakowych...

Za  zeszytów Filip musiałby zapłacić więcej niż  czyli{premium}

jeden zeszyt kosztował więcej niż  

 wystarczyło na kupno  zeszytów, więc jeden zeszyt

kosztował co najwyżej  

Zatem Kasia za   zeszyty zapłaciła co najwyżej  pierwsze zdanie jest prawdziwe.

Adrian za  zeszytów zapłaci więcej niż drugie zdanie jest fałszywe.     

Na rysunku zaznaczono wierzchołki dwóch ...

Pierwszy równoległobok: ACGH

Drugi równoległobok: BFDE

 

Na prostokątnym diagramie procentowym przedstawiono ...

Kwadrat składa się ze 100 kwadracików. Cały kwadrat odpowiada 100%.

Stąd 1 kwadracik oznacza 1%.

 

a) PRAWDA

Ocenę dostateczną reprezentuje 50 kwadracików, więc liczba uczniów, którzy

otrzymali ocenę dostateczną wynosi 50%. {premium}

 

b) PRAWDA

Aby uzyskać promocję z przedmiotu należy mieć ocenę co najmniej dopuszczającą.

Zauważmy, że tylko 1% uczniów otrzymał ocenę niedostateczną, więc pozostała część,

czyli 99% otrzymało oceny dopuszczające i wyższe, czyli otrzymało promocję.

 

c) FAŁSZ

Z podpunktu a) wiemy, że 50% uczniów otrzymało oceny dostateczne, więc

pozostała część uczniów, czyli także 50% otrzymała inne oceny.

Nie prawdą więc jest, że PONAD połowa uczniów otrzymała oceny różne od dostatecznej.

 

d) PRAWDA

Ocenę dobrą, bardzo dobrą i celującą reprezentuje 40 kwadracików, więc liczba uczniów, którzy

otrzymali ocenę wyższą niż dobrą wynosi 40%. 

40% to więcej niż 1/3:

 

 

e) FAŁSZ

Uczniowie z ocenami dobrymi i bardzo dobrymi stanowią 35%. 

Uczniowie z ocenami dostatecznymi i dopuszczającymi stanowią 59%.

Dwa razy mniej niż 59% wynosi 29,5%.

Połącz strzałkami kolejne etapy rozwiązania równania i uzupełnij...

Oblicz, zamieniając...

a) zrobione w książce

b)  

Wskaż, które ze zdań są fałszywe.

Zdania fałszywe to:   

Jakie wynagrodzenie otrzymywał pracownik przed ...

a) Pensja pracownika wzrosła o 10% i wynosi obecnie 1760 zł.

Nowa pensja stanowi więc 110% początkowej kwoty.

Szukamy takiej liczby, której 110% wynosi 1760 zł.

10% tej kwoty (czyli 11 razy mniej niż 110%) jest równe:

 

100% tej kwoty (10 razy więcej niż 10%) jest równe:

     

 

b) Pensja pracownika wzrosła o 15% i wynosi obecnie 2415 zł.

Nowa pensja stanowi więc 115% początkowej kwoty.

Szukamy takiej liczby, której 115% wynosi 2415 zł.

5% tej kwoty (czyli 23 razy mniej niż 115%) jest równe:

 

100% tej kwoty (czyli 20 razy więcej niż 5%) jest równe:

  

 

c) Pensja pracownika wzrosła o 35% i wynosi obecnie 5535 zł.

Szukamy takiej liczby, której 135% wynosi 5535 zł.

5% tej kwoty (czyli 27 razy mniej niż 135%) jest równe:

 

100% tej kwoty (czyli 20 razy więcej niż 5%) jest równe:

  

 

d) Pensja pracownika wzrosła o 45% i wynosi obecnie 9062,50 zł.

Szukamy takiej liczby, której 145% wynosi 9062,50 zł.

5% tej kwoty (czyli 29 razy mniej niż 145%) jest równe:

 

100% tej kwoty (czyli 20 razy więcej niż 5%) jest równe: