Pierwiastki - 7-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Pojęcie pierwiastka

Pierwiastkiem kwadratowym z nieujemnej liczby a nazywamy taką nieujemną liczbę b, której kwadrat jest równy liczbie a.

Pierwiastek kwadratowy możemy nazwać również pierwiastkiem drugiego stopnia

Symbolicznie możemy zapisać to: 

`sqrt{a}=b, \ \ \ "bo" \ \ \ b^2=a`  


Pierwiastkiem sześciennym z liczby a nazywamy taką liczbę b, której sześcian (trzecia potęga) jest równy liczbie a.

Pierwiastek sześcienny możemy nazwać także pierwiastkiem trzeciego stopnia.  

Symbolicznie możemy zapisać to: 

`root{3}{a}=b,  \ \ \ "bo" \ \ \ b^3=a`  


Przykłady

  • `sqrt{25}=5, \ \ \ "bo" \ \ \ 5^2=25` 
     
  • `sqrt{81}=9, \ \ \ "bo" \ \ \ 9^2=81`    

  • `root{3}{27}=3, \ \ \ "bo" \ \ \ 3^3=27`  

  • `root{3}{64}=4, \ \ \ "bo" \ \ \ 4^3=64` 



Wykonując działania na pierwiastkach warto pamiętać o kilku własnościach:

  1. Dla `a>=0` mamy: 

    `sqrt{a^2}=a`   

    `(sqrt{a})^2=a` 

    `sqrt{a}*sqrt{a}=a` 

  2. Dla dowolnej liczby `a`  mamy: 

    `root{3}{a^3}=a` 

    `(root{3}{a})^3=a`   

    `root{3}{a}*root{3}{a}*root{3}{a}=a`  

 

Działania na pierwiastkach

 

Własności pierwiastkowania: 

  1. Pierwiastek z iloczynu jest równy iloczynowi pierwiastków z tych liczb.


    Dla `a>=0 \ "i" \ b>=0` 

    `sqrt{a*b}=sqrt{a}*sqrt{b}`  


    Dla dowolnych liczb `a \ "i" \ b` mamy:

    `root{3}{a*b}=root{3}{a}*root{3}{b}` 


  2. Pierwiastek z ilorazu jest równy ilorazowi pierwiastków z tych liczb.


    Dla `a>=0 \ "i" \ b>0` mamy: 

    `sqrt{a/b}=sqrt{a}/sqrt{b}` 


    Dla dowolnej liczby `a \ "i" \ b!=0` mamy:   

    `root{3}{a/b}=root{3}{a}/root{3}{b}`  

 

Przykłady:

  • `sqrt{3600}=sqrt{36*100}=sqrt{36}*sqrt{100}=6*10=60` 

  • `root{3}{-64 \ 000}=root{3}{-64*1000}=root{3}{-64}*root{3}{1000}=-4*10=-40`   

  • `sqrt{121/49}=sqrt{121}/sqrt{49}=11/7=1 4/7` 

  • `root{3}{216/512}=root{3}{216}/root{3}{512}=6/8`   

Obliczanie wartości pierwiastka z wykorzystaniem rozkładu na czynniki pierwsze

Obliczając wartość pierwiastka możemy skorzystać z rozkładu liczby podpierwiastkowej na czynniki pierwsze

Poniżej prezentujemy sposób wykonania takich obliczeń. 


Przykłady
                

`sqrt{576}=sqrt{2^2*2^2*2^2*3^2}=sqrt{2^2}*sqrt{2^2}*sqrt{2^2}*sqrt{3^2}=2*2*2*3=24` 

 

                

`sqrt{216}=sqrt{2^2*3^2*2*3}=sqrt{2^2}*sqrt{3^2}*sqrt{2*3}=2*3*sqrt{6}=6sqrt{6}`  

 

                

`root{3}{216}=root{3}{2^3*3^3}=root{3}{2^3}*root{3}{3^3}=2*3=6`  

 

                

`root{3}{648}=root{3}{2^3*3^3*3}=root{3}{2^3}*root{3}{3^3}*root{3}{3}=2*3*root{3}{3}=6root{3}{3}`   

Wyłączanie czynnika przed znak pierwiastka

Czasami nie da się obliczyć dokładnej wartości pierwiastka, gdyż większość pierwiastków to liczby niewymierne. 

Możemy wtedy wyłączyć pewien czynnik przed znak pierwiastka. 

Gdy liczbę podpierwiastkową możemy zapisać w postaci iloczynu liczby, z której da się obliczyć pierwiastek oraz liczby z której nie jest to możliwe, wówczas możemy wyłączyć odpowiedni czynnik przed znak pierwiastka


Przykłady
:

  • `sqrt{75}=sqrt{25*3}=sqrt{5^2*3}=sqrt{5^2}*sqrt{3}=5*sqrt{3}=5sqrt{3}`  

  • `root{3}{16}=root{3}{8*2}=root{3}{8}*root{3}{2}=2*root{3}{2}=2root{3}{2}`  

Włączanie czynnika pod znak pierwiastka

Możemy również włączyć dany czynnik pod znak pierwiastka

Poniższe przykłady prezentują jak należy to zrobić. 


Przykłady

  • `2sqrt{3}=#underbrace(sqrt{4})_(2=sqrt{4})*sqrt{3}=sqrt{4*3}=sqrt{12}`  

  • `6sqrt{3}=#underbrace(sqrt{36})_(6=sqrt{36})*sqrt{3}=sqrt{36*3}=sqrt{108}` 

  • `5root{3}{4}=#underbrace(root{3}{125})_(5=root{3}{125})*root{3}{4}=root{3}{125*4}=root{3}{500}` 

  •  `7root{3}{5}=#underbrace(root{3}{343})_(7=root{3}{343})*root{3}{5}=root{3}{343*5}=root{3}{1715}`     

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Oblicz:

  1. $$ √81 $$
  2. $$ √10000 $$
  3. $$ √0,04 $$
  1. $$ √{81}=9 $$
  2. $$ √{10000}=100 $$
  3. $$ √{0,04}=0,2 $$

Zadanie 2.

Jaką długość ma bok kwadratu, którego pole jest równe:

  1. $$ 40 000 m^2 $$
  2. $$ 0,0001 m^2 $$
  3. $$ 10^{-16} m^2 $$
  1. $$ √{40 000}=200 m $$
  2. $$ √{1/{10 000} }={1}/{100} m $$
  3. $$ √{10^{-16} }=√{1/{10^{16} } }=1/{10^8} =1/{100000000} m $$

Zadanie 3.

Włącz czynnik pod znak pierwiastka:

  1. $$ 5√3 $$
  2. $$ 6√1,5 $$
  3. $$ 2∛10 $$
  1. $$ 5√3=√{5×5×3}=√75 $$
  2. $$ 6√1,5=√{6×6×1,5}=√54 $$
  3. $$ 2∛10=∛{2×2×2×10}=∛80 $$

Zadanie 4.

Oblicz:

  1. $$ √{8^2} $$
  2. $$ {√6}^4 $$
  3. $$ √{4^6} $$
  1. $$ √{8^2} =8 $$
  2. $$ {√6}^4={√6}^2×{√6}^2=6×6=36 $$
  3. $$ √{4^6}=√{2^12}=2^6 $$

Zadanie 5.

Usuń niewymierność z mianownika:

  1. $$ 1/{√7} $$
  2. $$ 2/{√2} $$
  3. $$ {10}/{2√5} $$
  1. $$ 1/{√7}={√7}/7 $$
  2. $$ 2/{√2}={2√2}/2=√2 $$
  3. $$ {10}/{2√5}={20√5}/{10}=√5 $$

Zadanie 6.

Oblicz pole kwadratu o boku:

  1. $$ √8$$ $$m $$
  2. $$ 3√2$$ $$m $$
  3. $$ 10√5$$ $$m $$
  1. $$ {√8}^2=8$$ $$m^2 $$
  2. $$ {3√2}^2=9×2=18$$ $$m^2 $$
  3. $$ {10√5}^2=100×5=500$$ $$m^2 $$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Suma długości krawędzi prostopadłościanu jest równa m

Oznaczmy długość wysokości tego prostopadłościanu jako h. Prostopadłościan ma po 4 krawędzie każdej długości, wiemy, że suma tych długości jest równa m, więc możemy zapisać: 

 

Z powyższego wzoru musimy wyznaczyć h. 

 

Odpowiedzi na poniższe pytania...

a)  {premium}

b)  

c)  

 

Po wyłączeniu przed nawias wspólnego czynnika ...

 {premium} 

Wspólnym czynnikiem jest liczba 4. Wyłączamy ją przed nawias. 


Poprawna odpowiedź: C. 4(3x+4y-3) 

Która z liczb jest większa ...

Korzystamy z własności potęgowania:

 



 




 

 

zatem:

 


Odp. Liczba b jest większa od liczby a.

Ułamki uporządkowane od najmniejszego do największego to

  

 

 

 


Odp. D

O ile maksymalnie może się różnić

{premium}

 

Ta różnica może być równa maksymalnie 0,05 

 

 

 

Ta różnica może być równa maksymalnie 0,005. 

 

 

 

Ta różnica może być równa maksymalnie 0,0005. 

Oblicz ((-4,5)^3:5^3):9^3

 {premium} 

Oblicz (zwróć uwagę na prawidłową kolejność działań).

 

 

    

Odcinek podzielono na dwa mniejsze odcinki...

Jeśli odcinek podzielono na dwie części w stosunku 3:7, to krótsza część{premium} składa się z 3 kawałków, a dłuższa składa się z 7 takich samych kawałków.
Cały odcinek składał się więc z 3+7=10 takich kawałków.
Dłuższa część to 7 z 10 kawałków, czyli stanowi  początkowego odcinka. 

Podaj zaokrąglenia liczb oznaczonych na osi liczbowej ...