Pierwiastki - 7-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Pierwiastki - 7-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Pojęcie pierwiastka

Pierwiastkiem kwadratowym z nieujemnej liczby a nazywamy taką nieujemną liczbę b, której kwadrat jest równy liczbie a.

Pierwiastek kwadratowy możemy nazwać również pierwiastkiem drugiego stopnia

Symbolicznie możemy zapisać to: 

`sqrt{a}=b, \ \ \ "bo" \ \ \ b^2=a`  


Pierwiastkiem sześciennym z liczby a nazywamy taką liczbę b, której sześcian (trzecia potęga) jest równy liczbie a.

Pierwiastek sześcienny możemy nazwać także pierwiastkiem trzeciego stopnia.  

Symbolicznie możemy zapisać to: 

`root{3}{a}=b,  \ \ \ "bo" \ \ \ b^3=a`  


Przykłady

  • `sqrt{25}=5, \ \ \ "bo" \ \ \ 5^2=25` 
     
  • `sqrt{81}=9, \ \ \ "bo" \ \ \ 9^2=81`    

  • `root{3}{27}=3, \ \ \ "bo" \ \ \ 3^3=27`  

  • `root{3}{64}=4, \ \ \ "bo" \ \ \ 4^3=64` 



Wykonując działania na pierwiastkach warto pamiętać o kilku własnościach:

  1. Dla `a>=0` mamy: 

    `sqrt{a^2}=a`   

    `(sqrt{a})^2=a` 

    `sqrt{a}*sqrt{a}=a` 

  2. Dla dowolnej liczby `a`  mamy: 

    `root{3}{a^3}=a` 

    `(root{3}{a})^3=a`   

    `root{3}{a}*root{3}{a}*root{3}{a}=a`  

 

Działania na pierwiastkach

 

Własności pierwiastkowania: 

  1. Pierwiastek z iloczynu jest równy iloczynowi pierwiastków z tych liczb.


    Dla `a>=0 \ "i" \ b>=0` 

    `sqrt{a*b}=sqrt{a}*sqrt{b}`  


    Dla dowolnych liczb `a \ "i" \ b` mamy:

    `root{3}{a*b}=root{3}{a}*root{3}{b}` 


  2. Pierwiastek z ilorazu jest równy ilorazowi pierwiastków z tych liczb.


    Dla `a>=0 \ "i" \ b>0` mamy: 

    `sqrt{a/b}=sqrt{a}/sqrt{b}` 


    Dla dowolnej liczby `a \ "i" \ b!=0` mamy:   

    `root{3}{a/b}=root{3}{a}/root{3}{b}`  

 

Przykłady:

  • `sqrt{3600}=sqrt{36*100}=sqrt{36}*sqrt{100}=6*10=60` 

  • `root{3}{-64 \ 000}=root{3}{-64*1000}=root{3}{-64}*root{3}{1000}=-4*10=-40`   

  • `sqrt{121/49}=sqrt{121}/sqrt{49}=11/7=1 4/7` 

  • `root{3}{216/512}=root{3}{216}/root{3}{512}=6/8`   

Obliczanie wartości pierwiastka z wykorzystaniem rozkładu na czynniki pierwsze

Obliczając wartość pierwiastka możemy skorzystać z rozkładu liczby podpierwiastkowej na czynniki pierwsze

Poniżej prezentujemy sposób wykonania takich obliczeń. 


Przykłady
                

`sqrt{576}=sqrt{2^2*2^2*2^2*3^2}=sqrt{2^2}*sqrt{2^2}*sqrt{2^2}*sqrt{3^2}=2*2*2*3=24` 

 

                

`sqrt{216}=sqrt{2^2*3^2*2*3}=sqrt{2^2}*sqrt{3^2}*sqrt{2*3}=2*3*sqrt{6}=6sqrt{6}`  

 

                

`root{3}{216}=root{3}{2^3*3^3}=root{3}{2^3}*root{3}{3^3}=2*3=6`  

 

                

`root{3}{648}=root{3}{2^3*3^3*3}=root{3}{2^3}*root{3}{3^3}*root{3}{3}=2*3*root{3}{3}=6root{3}{3}`   

Wyłączanie czynnika przed znak pierwiastka

Czasami nie da się obliczyć dokładnej wartości pierwiastka, gdyż większość pierwiastków to liczby niewymierne. 

Możemy wtedy wyłączyć pewien czynnik przed znak pierwiastka. 

Gdy liczbę podpierwiastkową możemy zapisać w postaci iloczynu liczby, z której da się obliczyć pierwiastek oraz liczby z której nie jest to możliwe, wówczas możemy wyłączyć odpowiedni czynnik przed znak pierwiastka


Przykłady
:

  • `sqrt{75}=sqrt{25*3}=sqrt{5^2*3}=sqrt{5^2}*sqrt{3}=5*sqrt{3}=5sqrt{3}`  

  • `root{3}{16}=root{3}{8*2}=root{3}{8}*root{3}{2}=2*root{3}{2}=2root{3}{2}`  

Włączanie czynnika pod znak pierwiastka

Możemy również włączyć dany czynnik pod znak pierwiastka

Poniższe przykłady prezentują jak należy to zrobić. 


Przykłady

  • `2sqrt{3}=#underbrace(sqrt{4})_(2=sqrt{4})*sqrt{3}=sqrt{4*3}=sqrt{12}`  

  • `6sqrt{3}=#underbrace(sqrt{36})_(6=sqrt{36})*sqrt{3}=sqrt{36*3}=sqrt{108}` 

  • `5root{3}{4}=#underbrace(root{3}{125})_(5=root{3}{125})*root{3}{4}=root{3}{125*4}=root{3}{500}` 

  •  `7root{3}{5}=#underbrace(root{3}{343})_(7=root{3}{343})*root{3}{5}=root{3}{343*5}=root{3}{1715}`     

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Oblicz:

  1. $ √81 $
  2. $ √10000 $
  3. $ √0,04 $
  1. $ √{81}=9 $
  2. $ √{10000}=100 $
  3. $ √{0,04}=0,2 $

Zadanie 2.

Jaką długość ma bok kwadratu, którego pole jest równe:

  1. $ 40 000 m^2 $
  2. $ 0,0001 m^2 $
  3. $ 10^{-16} m^2 $
  1. $ √{40 000}=200 m $
  2. $ √{1/{10 000} }={1}/{100} m $
  3. $ √{10^{-16} }=√{1/{10^{16} } }=1/{10^8} =1/{100000000} m $

Zadanie 3.

Włącz czynnik pod znak pierwiastka:

  1. $ 5√3 $
  2. $ 6√1,5 $
  3. $ 2∛10 $
  1. $ 5√3=√{5×5×3}=√75 $
  2. $ 6√1,5=√{6×6×1,5}=√54 $
  3. $ 2∛10=∛{2×2×2×10}=∛80 $

Zadanie 4.

Oblicz:

  1. $ √{8^2} $
  2. $ {√6}^4 $
  3. $ √{4^6} $
  1. $ √{8^2} =8 $
  2. $ {√6}^4={√6}^2×{√6}^2=6×6=36 $
  3. $ √{4^6}=√{2^12}=2^6 $

Zadanie 5.

Usuń niewymierność z mianownika:

  1. $ 1/{√7} $
  2. $ 2/{√2} $
  3. $ {10}/{2√5} $
  1. $ 1/{√7}={√7}/7 $
  2. $ 2/{√2}={2√2}/2=√2 $
  3. $ {10}/{2√5}={20√5}/{10}=√5 $

Zadanie 6.

Oblicz pole kwadratu o boku:

  1. $ √8$ $m $
  2. $ 3√2$ $m $
  3. $ 10√5$ $m $
  1. $ {√8}^2=8$ $m^2 $
  2. $ {3√2}^2=9×2=18$ $m^2 $
  3. $ {10√5}^2=100×5=500$ $m^2 $

Spis treści

Rozwiązane zadania
W wysokich górach, gdzie ciśnienie ...

Wzór, z jakiego będziemy korzystać w zadaniu ma postać: 

 

t - temperatura w stopniach Celsjusza 

h - wysokość n.p.m. w metrach 



a) Obliczamy, w jakiej temperaturze wrze woda w schronisku na Turbaczu. 

 

Mamy więc: {premium}

 

 

 

Odpowiedź: W schronisku na Turbaczu woda wrze w temperaturze około 96oC.   


b) Ze wzoru wyznaczamy h. 

 

 

 

 

      

 


c) Obliczamy, na jakiej wysokości woda wrze w temperaturze 85oC, czyli t=85. 

 

  

 

Woda wrze w temperaturze 85oC na wysokości około 4545 m n.p.m. 

Góry o zbliżonej wysokości to np.: Weisshorn (4506 m n.p.m., Szwajcaria), Signalkuppe (4554 m n.p.pm, Szwajcaria / Włochy)

Obliczamy, na jakiej wysokości woda wrze w temperaturze 80oC, czyli t=805. 

 

  

  

Woda wrze w temperaturze 80oC na wysokości około 6061 m n.p.m. 

Góry o zbliżonej wysokości to: Huayna Potosi (6088 m n. p. m / Boliwia), McKinley (Denali (nowa nazwa), 6190 m n.p.m., Stany Zjednoczone)

Pan Wojciech i pani Emilia ...

Działka pana Wojciecha ma 25 arów. 

Zamieniamy ary na metry kwadratowe [1 a=100 m2]. 
 {premium}

Działka pana Wojciecha ma 2500 m2
Ma ona kształt kwadratu. 

Obliczamy ile wynosi długość boku (x) tej działki
[korzystając ze wzoru na pole kwadratu: P=a2, gdzie a to długość boku kwadratu].
 
 

Bok działki pana Wojciecha ma długość 50 m. 

Obliczamy ile metrów ogrodzenia potrzebuje pan Wojciech aby ogrodzić swoją działkę. 
Ilość potrzebnych metrów ogrodzenia jest równa obwodowi działki.
Należy jeszcze uwzględnić, że w jednym miejscu będzie brama długości 3 m, czyli potrzeba o 3 m mniej ogrodzenia. 

Długość potrzebnego ogrodzenia wynosi:
 

Pan Wojciech potrzebuje 197 m ogrodzenia. 
 


Pierwsza z działek pani Emilii ma 16 arów. 

Zamieniamy ary na metry kwadratowe [1 a=100 m2]. 
  

Działka pani Emilii ma 1600 m2
Ma ona kształt kwadratu. 

Obliczamy ile wynosi długość boku (y) tej działki 
[korzystając ze wzoru na pole kwadratu: P=a2, gdzie a to długość boku kwadratu].
 
    

Bok działki pani Emilii ma długość 40 m. 

Obliczamy ile metrów ogrodzenia potrzebuje pani Emilia aby ogrodzić swoją działkę. 
Ilość potrzebnych metrów ogrodzenia jest równa obwodowi działki. 
Należy jeszcze uwzględnić, że w jednym miejscu będzie brama długości 3 m, czyli potrzeba o 3 m mniej ogrodzenia. 

Długość potrzebnego ogrodzenia wynosi:
 

Na pierwszą z działek pani Emilia potrzebuje 157 m ogrodzenia.


Druga działka pani Emilii ma 9 arów. 

Zamieniamy ary na metry kwadratowe [1 a=100 m2]. 
   

Działka pani Emilii ma 900 m2
Ma ona kształt kwadratu. 

Obliczamy ile wynosi długość boku (z) tej działki 
[korzystając ze wzoru na pole kwadratu: P=a2, gdzie a to długość boku kwadratu].
 
     

Bok działki pani Emilii ma długość 30 m. 

Obliczamy ile metrów ogrodzenia potrzebuje pani Emilia aby ogrodzić swoją działkę. 
Ilość potrzebnych metrów ogrodzenia jest równa obwodowi działki. 
Należy jeszcze uwzględnić, że w jednym miejscu będzie brama długości 3 m, czyli potrzeba o 3 m mniej ogrodzenia. 

Długość potrzebnego ogrodzenia wynosi:
  

 

Na drugą z działek pani Emilia potrzebuje 117 m ogrodzenia.


Obliczamy ile łącznie ogrodzenia potrzebuje pani Emilia.
  

Pani Emilia potrzebuje 274 m ogrodzenia. 

Połącz liczby w pary tak, aby w każdej parze różnica liczb wynosiła 1,5.

{premium}

Przedstaw liczbę 128 jako iloczyn trzech potęg...

 


 {premium}

 

 

 

 

 

 

 

Zaznacz w układzie współrzędnych...

Jeśli dziś jest środa, to jaki dzień...

Dzielimy ilość dni przez liczbę dni tygodnia, czyli przez  Następnie do

środy dodajemy resztę z dzielenia, otrzymując odpowiedź.{premium}

 

Odp. Za  dni będzie sobota.

   

Odp. Za  dni będzie piątek.   

  

Odp. Za  dni będzie niedziela. 

Na którym rysunku zamalowano więcej niż 60% ...

{premium}

 

 

ODP: C

Z każdego z podanych wzorów...

a)  

 


b)  

 

 

 

 


c)  

 

 


d)  

 


e)  

 

 

 

 

 

 


f)  

 

 

 

 

 

Rozwinięcie dziesiętne ułamka...

 

Widzimy, że{premium}

  • na drugim, piątym, ósmym, itd. miejscu po przecinku znajduje się cyfra    
  • na trzecim, szóstym, dziewiątym, itd. miejscu po przecinku znajduje się cyfra   
  • na czwartym, siódmym, dziesiątym, itd. miejscu po przecinku znajduje się cyfra  

Czyli cyfry zmieniają się co  miejsca, zaczynając od miejsca drugiego (bo na pierwszym

miejscu po przecinku stoi jedynka).

Zatem podzielmy

 

Wynik interpretujemy następująco - na pięćdziesięciu pierwszych miejscach po przecinku

zmieściło się  pełnych okresów (czyli  cyfra po przecinku to ) oraz jedna cyfra (reszta równa )

z kolejnego okresu, czyli następną (pięćdziesiątą cyfrą) jest Prawidłowa odpowiedź to   

 

Zapisz liczby cyframi arabskimi i oblicz...

  

 

   

   

{premium}