Pierwiastki - 7-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Pierwiastki - 7-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Pojęcie pierwiastka

Pierwiastkiem kwadratowym z nieujemnej liczby a nazywamy taką nieujemną liczbę b, której kwadrat jest równy liczbie a.

Pierwiastek kwadratowy możemy nazwać również pierwiastkiem drugiego stopnia

Symbolicznie możemy zapisać to: 

`sqrt{a}=b, \ \ \ "bo" \ \ \ b^2=a`  


Pierwiastkiem sześciennym z liczby a nazywamy taką liczbę b, której sześcian (trzecia potęga) jest równy liczbie a.

Pierwiastek sześcienny możemy nazwać także pierwiastkiem trzeciego stopnia.  

Symbolicznie możemy zapisać to: 

`root{3}{a}=b,  \ \ \ "bo" \ \ \ b^3=a`  


Przykłady

  • `sqrt{25}=5, \ \ \ "bo" \ \ \ 5^2=25` 
     
  • `sqrt{81}=9, \ \ \ "bo" \ \ \ 9^2=81`    

  • `root{3}{27}=3, \ \ \ "bo" \ \ \ 3^3=27`  

  • `root{3}{64}=4, \ \ \ "bo" \ \ \ 4^3=64` 



Wykonując działania na pierwiastkach warto pamiętać o kilku własnościach:

  1. Dla `a>=0` mamy: 

    `sqrt{a^2}=a`   

    `(sqrt{a})^2=a` 

    `sqrt{a}*sqrt{a}=a` 

  2. Dla dowolnej liczby `a`  mamy: 

    `root{3}{a^3}=a` 

    `(root{3}{a})^3=a`   

    `root{3}{a}*root{3}{a}*root{3}{a}=a`  

 

Działania na pierwiastkach

 

Własności pierwiastkowania: 

  1. Pierwiastek z iloczynu jest równy iloczynowi pierwiastków z tych liczb.


    Dla `a>=0 \ "i" \ b>=0` 

    `sqrt{a*b}=sqrt{a}*sqrt{b}`  


    Dla dowolnych liczb `a \ "i" \ b` mamy:

    `root{3}{a*b}=root{3}{a}*root{3}{b}` 


  2. Pierwiastek z ilorazu jest równy ilorazowi pierwiastków z tych liczb.


    Dla `a>=0 \ "i" \ b>0` mamy: 

    `sqrt{a/b}=sqrt{a}/sqrt{b}` 


    Dla dowolnej liczby `a \ "i" \ b!=0` mamy:   

    `root{3}{a/b}=root{3}{a}/root{3}{b}`  

 

Przykłady:

  • `sqrt{3600}=sqrt{36*100}=sqrt{36}*sqrt{100}=6*10=60` 

  • `root{3}{-64 \ 000}=root{3}{-64*1000}=root{3}{-64}*root{3}{1000}=-4*10=-40`   

  • `sqrt{121/49}=sqrt{121}/sqrt{49}=11/7=1 4/7` 

  • `root{3}{216/512}=root{3}{216}/root{3}{512}=6/8`   

Obliczanie wartości pierwiastka z wykorzystaniem rozkładu na czynniki pierwsze

Obliczając wartość pierwiastka możemy skorzystać z rozkładu liczby podpierwiastkowej na czynniki pierwsze

Poniżej prezentujemy sposób wykonania takich obliczeń. 


Przykłady
                

`sqrt{576}=sqrt{2^2*2^2*2^2*3^2}=sqrt{2^2}*sqrt{2^2}*sqrt{2^2}*sqrt{3^2}=2*2*2*3=24` 

 

                

`sqrt{216}=sqrt{2^2*3^2*2*3}=sqrt{2^2}*sqrt{3^2}*sqrt{2*3}=2*3*sqrt{6}=6sqrt{6}`  

 

                

`root{3}{216}=root{3}{2^3*3^3}=root{3}{2^3}*root{3}{3^3}=2*3=6`  

 

                

`root{3}{648}=root{3}{2^3*3^3*3}=root{3}{2^3}*root{3}{3^3}*root{3}{3}=2*3*root{3}{3}=6root{3}{3}`   

Wyłączanie czynnika przed znak pierwiastka

Czasami nie da się obliczyć dokładnej wartości pierwiastka, gdyż większość pierwiastków to liczby niewymierne. 

Możemy wtedy wyłączyć pewien czynnik przed znak pierwiastka. 

Gdy liczbę podpierwiastkową możemy zapisać w postaci iloczynu liczby, z której da się obliczyć pierwiastek oraz liczby z której nie jest to możliwe, wówczas możemy wyłączyć odpowiedni czynnik przed znak pierwiastka


Przykłady
:

  • `sqrt{75}=sqrt{25*3}=sqrt{5^2*3}=sqrt{5^2}*sqrt{3}=5*sqrt{3}=5sqrt{3}`  

  • `root{3}{16}=root{3}{8*2}=root{3}{8}*root{3}{2}=2*root{3}{2}=2root{3}{2}`  

Włączanie czynnika pod znak pierwiastka

Możemy również włączyć dany czynnik pod znak pierwiastka

Poniższe przykłady prezentują jak należy to zrobić. 


Przykłady

  • `2sqrt{3}=#underbrace(sqrt{4})_(2=sqrt{4})*sqrt{3}=sqrt{4*3}=sqrt{12}`  

  • `6sqrt{3}=#underbrace(sqrt{36})_(6=sqrt{36})*sqrt{3}=sqrt{36*3}=sqrt{108}` 

  • `5root{3}{4}=#underbrace(root{3}{125})_(5=root{3}{125})*root{3}{4}=root{3}{125*4}=root{3}{500}` 

  •  `7root{3}{5}=#underbrace(root{3}{343})_(7=root{3}{343})*root{3}{5}=root{3}{343*5}=root{3}{1715}`     

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Oblicz:

  1. $ √81 $
  2. $ √10000 $
  3. $ √0,04 $
  1. $ √{81}=9 $
  2. $ √{10000}=100 $
  3. $ √{0,04}=0,2 $

Zadanie 2.

Jaką długość ma bok kwadratu, którego pole jest równe:

  1. $ 40 000 m^2 $
  2. $ 0,0001 m^2 $
  3. $ 10^{-16} m^2 $
  1. $ √{40 000}=200 m $
  2. $ √{1/{10 000} }={1}/{100} m $
  3. $ √{10^{-16} }=√{1/{10^{16} } }=1/{10^8} =1/{100000000} m $

Zadanie 3.

Włącz czynnik pod znak pierwiastka:

  1. $ 5√3 $
  2. $ 6√1,5 $
  3. $ 2∛10 $
  1. $ 5√3=√{5×5×3}=√75 $
  2. $ 6√1,5=√{6×6×1,5}=√54 $
  3. $ 2∛10=∛{2×2×2×10}=∛80 $

Zadanie 4.

Oblicz:

  1. $ √{8^2} $
  2. $ {√6}^4 $
  3. $ √{4^6} $
  1. $ √{8^2} =8 $
  2. $ {√6}^4={√6}^2×{√6}^2=6×6=36 $
  3. $ √{4^6}=√{2^12}=2^6 $

Zadanie 5.

Usuń niewymierność z mianownika:

  1. $ 1/{√7} $
  2. $ 2/{√2} $
  3. $ {10}/{2√5} $
  1. $ 1/{√7}={√7}/7 $
  2. $ 2/{√2}={2√2}/2=√2 $
  3. $ {10}/{2√5}={20√5}/{10}=√5 $

Zadanie 6.

Oblicz pole kwadratu o boku:

  1. $ √8$ $m $
  2. $ 3√2$ $m $
  3. $ 10√5$ $m $
  1. $ {√8}^2=8$ $m^2 $
  2. $ {3√2}^2=9×2=18$ $m^2 $
  3. $ {10√5}^2=100×5=500$ $m^2 $

Spis treści

Rozwiązane zadania
Zapisz, a następnie oblicz potęgę:

 {premium}


   

Zamień ułamki...

  

 

{premium}

  

 

 

 

  

a) W klubie sportowym trenują ...

a)   - suma wzrostów zawodników trenujących w pierwszej drużynie [w cm]

  - ilość zawodników w pierwszej drużynie

   - średni wzrost zawodników w pierwszej drużynie [w cm]   

Zatem: {premium}

 

 

Suma wzrostów tych zawodników wynosi 2112 cm. 


  - suma wzrostów zawodników trenujących w drugiej drużynie [w cm]

  - ilość zawodników trenujących w drugiej drużynie 

  - średni wzrost zawodników w drugiej drużynie [w cm]

Zatem: 

 

 

Suma wzrostów tych zawodników wynosi 1683 cm. 


Obliczamy ile wynosi średni wzrost wszystkich koszykarzy. 

 


Odpowiedź: Średni wzrost koszykarzy wynosi 189,75 cm.   

 

b) Klatka A:

  - suma lat mieszkańców tej kamienicy

  - ilość mieszkańców tej kamienicy 

  - średni wiek mieszkańców kamienicy 

Zatem: 

 

 


Klatka B:  

  - suma lat mieszkańców tej kamienicy

  - ilość mieszkańców tej kamienicy 

  - średni wiek mieszkańców kamienicy 

Zatem: 

 

 


Klatka C:  

  - suma lat mieszkańców tej kamienicy

  - ilość mieszkańców tej kamienicy 

  - średni wiek mieszkańców kamienicy 

Zatem: 

 

 


Obliczamy ile wynosi średni wiek mieszkańców całego domu. 

 


Odpowiedź: Średni wiek mieszkańców całego domu wynosi 36,5 lat.

Zapisz wyrażenia bez nawiasów i oblicz ich wartość

{premium}

Ściany i sufit pokoju trzeba ...

ODP:{premium} B

 

Sufit ma takie same wymiary, jak podłoga, czyli 3,5 m x 4 m. 

Obliczamy pole powierzchni sufitu:

 

Wysokość pokoju wynosi 2,5 m.

Dwie ściany mają wymiary 3,5 m x 2,5 m. Wymiary pozostałych dwóch ścian to 4 m x 2,5 m.

Obliczamy pole powierzchni ścian:

 

Od powierzchni ścian odejmujemy powierzchnię, którą zajmują okna i drzwi:

 

 

Powierzchni, którą należy pomalować wynosi:

 

Wiemy, że 1 l farby wystarcza na pomalowanie 10 m2 powierzchni.

Aby pomalować 48,5 m2 powierzchni potrzebujemy 4,85 l farby.

Należy więc zakupić 5 litrów farby.

W trójkącie równoramiennym wysokość opuszczona na ...

Korzystając ze wzoru na pole trójkąta sporządźmy równanie, które pozwoli nam obliczyć długość podstawy (a), na którą opuszczona jest wysokość o długości 82.

  

 

  

Podstawa ma długość 8 cm. {premium}


W trójkącie równoramiennym wysokość opuszczona z wierzchołka znajdującego się między ramionami dzieli ten trójkąt na dwa przystające trójkąty prostokątne (dzieli podstawę na dwie równe części). 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczamy długość ramienia trójkąta (b). 

 

 

 

 

 

Ramię trójkąta ma długość 12 cm. 


Obliczamy, ile wynosi obwód tego trójkąta. 

  


Odpowiedź: Obwód trójkąta wynosi 32 cm. 

Obecnie na rynku są dostępne telewizory 90-calowe.

a) Według zaleceń specjalistów miejsce, z którego oglądamy telewizję powinno znajdować się w trzykrotnie większej odległości od telewizora niż długość przekątnej jego ekranu.

Obliczamy, z jakiej odległości powinniśmy oglądać ten telewizor. {premium}

 

Odpowiedź: Telewizor powinniśmy oglądać z odległości około 6,86 m. 

 

b) Wyraźmy długość przekątnej tego telewizora w metrach:

   


Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczamy, jaką długość ma drugi wymiar (x) tego telewizora.

 

 

 

 


Musimy oszacować, czy drugi wymiar telewizora jest większy, czy mniejszy od szerokości szafki (2 m).

 

Szerokość telewizora wynosi więcej niż 2 m.     

Odpowiedź: Telewizor ten nie zmieści się w szafce RTV o szerokości 2 m.

Oblicz pole równoległoboku.

Pole równoległoboku obliczamy ze wzoru:

 

gdzie a - bok równoległoboku, h - wysokość poprowadzona na bok a.

 

a) Podstawa równoległoboku ma długość 6 (1+5=6).

Wysokość opuszczona na podstawę ma długość 7.

Obliczamy pole równoległoboku:{premium}

 

 

b) Podstawa równoległoboku ma długość 5 .

Wysokość opuszczona na tę podstawę ma długość 6.

Obliczamy pole równoległoboku:

{premium}   

 

c) Rysunek pomocniczy:

Przyjmujemy oznaczenia takie jak na rysunku.

Czworokąt ABDE jest równoległobokiem, więc proste AE i BD są równoległe.

Stąd kąty  i kąt  są kątami odpowiadającymi, czyli ich miary są równe:

 

Korzystając z twierdzenia o sumie miar kątów w trójkącie wyznaczamy miarę kąta  w trójkącie BCD:

 

 

 

 

Trójkąt BCD jest trójkątem równoramiennym ,więc odcinki BC i CD mają równą długość:

 

W równoległoboku ABDE, wysokość h poprowadzona z wierzchołka E na bok AB ma taką samą długość,

jak bok CD, stąd:

 

Obliczamy pole równoległoboku:

       

Po zamianie 2,5% na ułamek ...

{premium}

ODP: C

Liczba XIX zapisana w systemie dziesiętnym...

Prawidłowa odpowiedź to : {premium}

XIX= 10+10-1=10+9=19

Odp. B