Pierwiastki - 7-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Pierwiastki - 7-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Pojęcie pierwiastka

Pierwiastkiem kwadratowym z nieujemnej liczby a nazywamy taką nieujemną liczbę b, której kwadrat jest równy liczbie a.

Pierwiastek kwadratowy możemy nazwać również pierwiastkiem drugiego stopnia

Symbolicznie możemy zapisać to: 

`sqrt{a}=b, \ \ \ "bo" \ \ \ b^2=a`  


Pierwiastkiem sześciennym z liczby a nazywamy taką liczbę b, której sześcian (trzecia potęga) jest równy liczbie a.

Pierwiastek sześcienny możemy nazwać także pierwiastkiem trzeciego stopnia.  

Symbolicznie możemy zapisać to: 

`root{3}{a}=b,  \ \ \ "bo" \ \ \ b^3=a`  


Przykłady

  • `sqrt{25}=5, \ \ \ "bo" \ \ \ 5^2=25` 
     
  • `sqrt{81}=9, \ \ \ "bo" \ \ \ 9^2=81`    

  • `root{3}{27}=3, \ \ \ "bo" \ \ \ 3^3=27`  

  • `root{3}{64}=4, \ \ \ "bo" \ \ \ 4^3=64` 



Wykonując działania na pierwiastkach warto pamiętać o kilku własnościach:

  1. Dla `a>=0` mamy: 

    `sqrt{a^2}=a`   

    `(sqrt{a})^2=a` 

    `sqrt{a}*sqrt{a}=a` 

  2. Dla dowolnej liczby `a`  mamy: 

    `root{3}{a^3}=a` 

    `(root{3}{a})^3=a`   

    `root{3}{a}*root{3}{a}*root{3}{a}=a`  

 

Działania na pierwiastkach

 

Własności pierwiastkowania: 

  1. Pierwiastek z iloczynu jest równy iloczynowi pierwiastków z tych liczb.


    Dla `a>=0 \ "i" \ b>=0` 

    `sqrt{a*b}=sqrt{a}*sqrt{b}`  


    Dla dowolnych liczb `a \ "i" \ b` mamy:

    `root{3}{a*b}=root{3}{a}*root{3}{b}` 


  2. Pierwiastek z ilorazu jest równy ilorazowi pierwiastków z tych liczb.


    Dla `a>=0 \ "i" \ b>0` mamy: 

    `sqrt{a/b}=sqrt{a}/sqrt{b}` 


    Dla dowolnej liczby `a \ "i" \ b!=0` mamy:   

    `root{3}{a/b}=root{3}{a}/root{3}{b}`  

 

Przykłady:

  • `sqrt{3600}=sqrt{36*100}=sqrt{36}*sqrt{100}=6*10=60` 

  • `root{3}{-64 \ 000}=root{3}{-64*1000}=root{3}{-64}*root{3}{1000}=-4*10=-40`   

  • `sqrt{121/49}=sqrt{121}/sqrt{49}=11/7=1 4/7` 

  • `root{3}{216/512}=root{3}{216}/root{3}{512}=6/8`   

Obliczanie wartości pierwiastka z wykorzystaniem rozkładu na czynniki pierwsze

Obliczając wartość pierwiastka możemy skorzystać z rozkładu liczby podpierwiastkowej na czynniki pierwsze

Poniżej prezentujemy sposób wykonania takich obliczeń. 


Przykłady
                

`sqrt{576}=sqrt{2^2*2^2*2^2*3^2}=sqrt{2^2}*sqrt{2^2}*sqrt{2^2}*sqrt{3^2}=2*2*2*3=24` 

 

                

`sqrt{216}=sqrt{2^2*3^2*2*3}=sqrt{2^2}*sqrt{3^2}*sqrt{2*3}=2*3*sqrt{6}=6sqrt{6}`  

 

                

`root{3}{216}=root{3}{2^3*3^3}=root{3}{2^3}*root{3}{3^3}=2*3=6`  

 

                

`root{3}{648}=root{3}{2^3*3^3*3}=root{3}{2^3}*root{3}{3^3}*root{3}{3}=2*3*root{3}{3}=6root{3}{3}`   

Wyłączanie czynnika przed znak pierwiastka

Czasami nie da się obliczyć dokładnej wartości pierwiastka, gdyż większość pierwiastków to liczby niewymierne. 

Możemy wtedy wyłączyć pewien czynnik przed znak pierwiastka. 

Gdy liczbę podpierwiastkową możemy zapisać w postaci iloczynu liczby, z której da się obliczyć pierwiastek oraz liczby z której nie jest to możliwe, wówczas możemy wyłączyć odpowiedni czynnik przed znak pierwiastka


Przykłady
:

  • `sqrt{75}=sqrt{25*3}=sqrt{5^2*3}=sqrt{5^2}*sqrt{3}=5*sqrt{3}=5sqrt{3}`  

  • `root{3}{16}=root{3}{8*2}=root{3}{8}*root{3}{2}=2*root{3}{2}=2root{3}{2}`  

Włączanie czynnika pod znak pierwiastka

Możemy również włączyć dany czynnik pod znak pierwiastka

Poniższe przykłady prezentują jak należy to zrobić. 


Przykłady

  • `2sqrt{3}=#underbrace(sqrt{4})_(2=sqrt{4})*sqrt{3}=sqrt{4*3}=sqrt{12}`  

  • `6sqrt{3}=#underbrace(sqrt{36})_(6=sqrt{36})*sqrt{3}=sqrt{36*3}=sqrt{108}` 

  • `5root{3}{4}=#underbrace(root{3}{125})_(5=root{3}{125})*root{3}{4}=root{3}{125*4}=root{3}{500}` 

  •  `7root{3}{5}=#underbrace(root{3}{343})_(7=root{3}{343})*root{3}{5}=root{3}{343*5}=root{3}{1715}`     

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Oblicz:

  1. $ √81 $
  2. $ √10000 $
  3. $ √0,04 $
  1. $ √{81}=9 $
  2. $ √{10000}=100 $
  3. $ √{0,04}=0,2 $

Zadanie 2.

Jaką długość ma bok kwadratu, którego pole jest równe:

  1. $ 40 000 m^2 $
  2. $ 0,0001 m^2 $
  3. $ 10^{-16} m^2 $
  1. $ √{40 000}=200 m $
  2. $ √{1/{10 000} }={1}/{100} m $
  3. $ √{10^{-16} }=√{1/{10^{16} } }=1/{10^8} =1/{100000000} m $

Zadanie 3.

Włącz czynnik pod znak pierwiastka:

  1. $ 5√3 $
  2. $ 6√1,5 $
  3. $ 2∛10 $
  1. $ 5√3=√{5×5×3}=√75 $
  2. $ 6√1,5=√{6×6×1,5}=√54 $
  3. $ 2∛10=∛{2×2×2×10}=∛80 $

Zadanie 4.

Oblicz:

  1. $ √{8^2} $
  2. $ {√6}^4 $
  3. $ √{4^6} $
  1. $ √{8^2} =8 $
  2. $ {√6}^4={√6}^2×{√6}^2=6×6=36 $
  3. $ √{4^6}=√{2^12}=2^6 $

Zadanie 5.

Usuń niewymierność z mianownika:

  1. $ 1/{√7} $
  2. $ 2/{√2} $
  3. $ {10}/{2√5} $
  1. $ 1/{√7}={√7}/7 $
  2. $ 2/{√2}={2√2}/2=√2 $
  3. $ {10}/{2√5}={20√5}/{10}=√5 $

Zadanie 6.

Oblicz pole kwadratu o boku:

  1. $ √8$ $m $
  2. $ 3√2$ $m $
  3. $ 10√5$ $m $
  1. $ {√8}^2=8$ $m^2 $
  2. $ {3√2}^2=9×2=18$ $m^2 $
  3. $ {10√5}^2=100×5=500$ $m^2 $

Spis treści

Rozwiązane zadania
Ze wzoru...

Wyznaczamy x:

{premium}

 

Podstawiamy:

 

Wykonaj obliczenia

{premium}

 

HASŁO: LAMBDA

Oblicz w zeszycie wartości...

a)  

b)  {premium}  

c)  

d)  

e)  

Skróć ułamek i przedstaw go jako liczbę ...

 

{premium}

 

  

Punkt S jest środkiem odcinka AB...

Punkt  jest środkiem odcinka  więc jego odległość

od punktów  i  jest taka sama. Punkt  leży na prawo

od punktu więc, {premium}aby obliczyć odległość między tymi punktami,

od współrzędnej punktu  odejmiemy współrzędną punktu  

Punkt  leży na lewo od punktu  dlatego w tym przypadku,

aby obliczyć odległość między punktami, będziemy odejmować

od współrzędnej punktu  współrzędną punktu  Zobaczmy,

jak wygląda to na przykładach w naszym zadaniu:    

  

 Mamy obliczyć współrzędną końca odcinka  czyli współrzędną punktu  

Z powyższych rozważań wynika, że w tym celu wykonujemy odejmowanie:   

 

Zatem odległość między punktami  i  wynosi  jednostki na osi liczbowej.

Odległość punktu  od punktu  jest taka sama, więc teraz wykonujemy dodawanie:

 

Zatem punkt  ma współrzędną   

 

 Mamy obliczyć współrzędną punktu  więc obliczamy najpierw odległość punktów  i  

 

A następnie odejmujemy od współrzędnej punktu  otrzymany wynik:

 

Czyli punkt  ma współrzędną           

          

Rozłóż podane liczby na czynniki pierwsze.

{premium}  
 
 

Oblicz :a) 2^5

a)

{premium}

b) 

 

c) 

 

Oblicz pole kwadratu o boku ...

{premium}

 

 

Na szkolnej wycieczce stosunek liczby dziewcząt do liczby chłopców

Oznaczmy liczbę chłopców jako y. Wiemy, że liczba dziewcząt na wycieczce wyniosła 40 oraz że stosunek liczby dziewcząt do liczby chłopców był równy 5:3.{premium}

 

Wiemy już, że na wycieczce było 24 chłopców. 

Obliczamy jeszcze, ile osób liczyła ta wycieczka:

Zapisz liczby: -0,33; -0,(3); ...

Dane są liczby:

  

Zapiszmy liczby w postaci ułamków dziesiętnych:{premium}

 

Zapisujemy liczby w kolejności od największej do najmniejszej.

Pamiętajmy, że porządkujemy liczby ujemne!

 

Ostatecznie otrzymujemy: