Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Pierwiastki - 7-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Pojęcie pierwiastka

Pierwiastkiem kwadratowym z nieujemnej liczby a nazywamy taką nieujemną liczbę b, której kwadrat jest równy liczbie a.

Pierwiastek kwadratowy możemy nazwać również pierwiastkiem drugiego stopnia

Symbolicznie możemy zapisać to: 

`sqrt{a}=b, \ \ \ "bo" \ \ \ b^2=a`  


Pierwiastkiem sześciennym z liczby a nazywamy taką liczbę b, której sześcian (trzecia potęga) jest równy liczbie a.

Pierwiastek sześcienny możemy nazwać także pierwiastkiem trzeciego stopnia.  

Symbolicznie możemy zapisać to: 

`root{3}{a}=b,  \ \ \ "bo" \ \ \ b^3=a`  


Przykłady

  • `sqrt{25}=5, \ \ \ "bo" \ \ \ 5^2=25` 
     
  • `sqrt{81}=9, \ \ \ "bo" \ \ \ 9^2=81`    

  • `root{3}{27}=3, \ \ \ "bo" \ \ \ 3^3=27`  

  • `root{3}{64}=4, \ \ \ "bo" \ \ \ 4^3=64` 



Wykonując działania na pierwiastkach warto pamiętać o kilku własnościach:

  1. Dla `a>=0` mamy: 

    `sqrt{a^2}=a`   

    `(sqrt{a})^2=a` 

    `sqrt{a}*sqrt{a}=a` 

  2. Dla dowolnej liczby `a`  mamy: 

    `root{3}{a^3}=a` 

    `(root{3}{a})^3=a`   

    `root{3}{a}*root{3}{a}*root{3}{a}=a`  

 

Działania na pierwiastkach

 

Własności pierwiastkowania: 

  1. Pierwiastek z iloczynu jest równy iloczynowi pierwiastków z tych liczb.


    Dla `a>=0 \ "i" \ b>=0` 

    `sqrt{a*b}=sqrt{a}*sqrt{b}`  


    Dla dowolnych liczb `a \ "i" \ b` mamy:

    `root{3}{a*b}=root{3}{a}*root{3}{b}` 


  2. Pierwiastek z ilorazu jest równy ilorazowi pierwiastków z tych liczb.


    Dla `a>=0 \ "i" \ b>0` mamy: 

    `sqrt{a/b}=sqrt{a}/sqrt{b}` 


    Dla dowolnej liczby `a \ "i" \ b!=0` mamy:   

    `root{3}{a/b}=root{3}{a}/root{3}{b}`  

 

Przykłady:

  • `sqrt{3600}=sqrt{36*100}=sqrt{36}*sqrt{100}=6*10=60` 

  • `root{3}{-64 \ 000}=root{3}{-64*1000}=root{3}{-64}*root{3}{1000}=-4*10=-40`   

  • `sqrt{121/49}=sqrt{121}/sqrt{49}=11/7=1 4/7` 

  • `root{3}{216/512}=root{3}{216}/root{3}{512}=6/8`   

Obliczanie wartości pierwiastka z wykorzystaniem rozkładu na czynniki pierwsze

Obliczając wartość pierwiastka możemy skorzystać z rozkładu liczby podpierwiastkowej na czynniki pierwsze

Poniżej prezentujemy sposób wykonania takich obliczeń. 


Przykłady
                

`sqrt{576}=sqrt{2^2*2^2*2^2*3^2}=sqrt{2^2}*sqrt{2^2}*sqrt{2^2}*sqrt{3^2}=2*2*2*3=24` 

 

                

`sqrt{216}=sqrt{2^2*3^2*2*3}=sqrt{2^2}*sqrt{3^2}*sqrt{2*3}=2*3*sqrt{6}=6sqrt{6}`  

 

                

`root{3}{216}=root{3}{2^3*3^3}=root{3}{2^3}*root{3}{3^3}=2*3=6`  

 

                

`root{3}{648}=root{3}{2^3*3^3*3}=root{3}{2^3}*root{3}{3^3}*root{3}{3}=2*3*root{3}{3}=6root{3}{3}`   

Wyłączanie czynnika przed znak pierwiastka

Czasami nie da się obliczyć dokładnej wartości pierwiastka, gdyż większość pierwiastków to liczby niewymierne. 

Możemy wtedy wyłączyć pewien czynnik przed znak pierwiastka. 

Gdy liczbę podpierwiastkową możemy zapisać w postaci iloczynu liczby, z której da się obliczyć pierwiastek oraz liczby z której nie jest to możliwe, wówczas możemy wyłączyć odpowiedni czynnik przed znak pierwiastka


Przykłady
:

  • `sqrt{75}=sqrt{25*3}=sqrt{5^2*3}=sqrt{5^2}*sqrt{3}=5*sqrt{3}=5sqrt{3}`  

  • `root{3}{16}=root{3}{8*2}=root{3}{8}*root{3}{2}=2*root{3}{2}=2root{3}{2}`  

Włączanie czynnika pod znak pierwiastka

Możemy również włączyć dany czynnik pod znak pierwiastka

Poniższe przykłady prezentują jak należy to zrobić. 


Przykłady

  • `2sqrt{3}=#underbrace(sqrt{4})_(2=sqrt{4})*sqrt{3}=sqrt{4*3}=sqrt{12}`  

  • `6sqrt{3}=#underbrace(sqrt{36})_(6=sqrt{36})*sqrt{3}=sqrt{36*3}=sqrt{108}` 

  • `5root{3}{4}=#underbrace(root{3}{125})_(5=root{3}{125})*root{3}{4}=root{3}{125*4}=root{3}{500}` 

  •  `7root{3}{5}=#underbrace(root{3}{343})_(7=root{3}{343})*root{3}{5}=root{3}{343*5}=root{3}{1715}`     

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Oblicz:

  1. $$ √81 $$
  2. $$ √10000 $$
  3. $$ √0,04 $$
  1. $$ √{81}=9 $$
  2. $$ √{10000}=100 $$
  3. $$ √{0,04}=0,2 $$

Zadanie 2.

Jaką długość ma bok kwadratu, którego pole jest równe:

  1. $$ 40 000 m^2 $$
  2. $$ 0,0001 m^2 $$
  3. $$ 10^{-16} m^2 $$
  1. $$ √{40 000}=200 m $$
  2. $$ √{1/{10 000} }={1}/{100} m $$
  3. $$ √{10^{-16} }=√{1/{10^{16} } }=1/{10^8} =1/{100000000} m $$

Zadanie 3.

Włącz czynnik pod znak pierwiastka:

  1. $$ 5√3 $$
  2. $$ 6√1,5 $$
  3. $$ 2∛10 $$
  1. $$ 5√3=√{5×5×3}=√75 $$
  2. $$ 6√1,5=√{6×6×1,5}=√54 $$
  3. $$ 2∛10=∛{2×2×2×10}=∛80 $$

Zadanie 4.

Oblicz:

  1. $$ √{8^2} $$
  2. $$ {√6}^4 $$
  3. $$ √{4^6} $$
  1. $$ √{8^2} =8 $$
  2. $$ {√6}^4={√6}^2×{√6}^2=6×6=36 $$
  3. $$ √{4^6}=√{2^12}=2^6 $$

Zadanie 5.

Usuń niewymierność z mianownika:

  1. $$ 1/{√7} $$
  2. $$ 2/{√2} $$
  3. $$ {10}/{2√5} $$
  1. $$ 1/{√7}={√7}/7 $$
  2. $$ 2/{√2}={2√2}/2=√2 $$
  3. $$ {10}/{2√5}={20√5}/{10}=√5 $$

Zadanie 6.

Oblicz pole kwadratu o boku:

  1. $$ √8$$ $$m $$
  2. $$ 3√2$$ $$m $$
  3. $$ 10√5$$ $$m $$
  1. $$ {√8}^2=8$$ $$m^2 $$
  2. $$ {3√2}^2=9×2=18$$ $$m^2 $$
  3. $$ {10√5}^2=100×5=500$$ $$m^2 $$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Liczba trzycyfrowa, w której cyfrą dziesiątek

Najpierw zauważmy, że wartość liczby trzycyfrowej postaci xyz jest równa 100x+10y+z (np 234=2∙100+3∙10+4). 

 

W zadaniu mamy następujące informacje:

  • cyfra dziesiątek to x
  • cyfra jedności to 2x (dwa razy większa od cyfry dziesiątek)
  • cyfra setek to 2x-1 (o 1 mniejsza od cyfry jedności)

 

Zatem wartość tej liczby jest równa: 

`100*(2x-1)+10*x+2x=`

`=200x-100+10x+2x=212x-100\ \ \ \ \ odp.\ D`

W 100 g topionego sera jest 0,54 g wapnia. Ile wapnia ...

Wiemy, że 100 gram sera zawiera 0,54 g wapnia.

---> Chcemy obliczyć, ile wapnia zawiera 1 g sera.

Zauważmy, że ilość serka {premium}zmniejszyliśmy 100 razy (100 g :100=1 g), więc ilość wapnia także zmniejszy się 100 razy:

`0,54\ "g":100=0,0054\ "g"` 

(przecinek przesuwamy o dwa miejsca w lewo, gdyż liczba 100 ma dwa zera).

 

---> Chcemy obliczyć, ile wapnia zawiera 1 kg sera.

Ilość serka zwiększamy 10 razy (100 g 10=1000 g = 1 kg), więc ilość wapnia także zwiększy się 10 razy:

`0,54\ "g"*10=5,4\ "g"`  

(przecinek przesuwamy o jedno miejsce w prawo, gdyż liczba 10 ma jedno zero).

 

---> Chcemy obliczyć, ile wapnia zawiera 1 dag sera.

Zauważmy, że ilość serka zmniejszyliśmy 10 razy (100 g:10=10 g=1 dag), więc ilość wapnia także zmniejszy się 10 razy:

`0,54\ "g":10=0,054\ "g"`  

(przecinek przesuwamy o jedno miejsce w lewo, gdyż liczba 10 ma jedno zero).

 

Wśród podanych liczb wskaż liczby pierwsze.

Liczby pierwsze to liczby naturalne większe {premium}od `1,`które dzielą się wyłącznie przez `1` i samą siebie.


Wśród podanych liczbami pierwszymi są liczby: `29, \ 31, \ 37, \ 43.`   

Oblicz wartość wyrażenia...

a) `y(2x-3y)-(y^2-xy)-2y^2=2xy-3y^2-y^2+xy-2y^2=3xy-6y^2` 

`3xy-6y^2=3*(-0,3)*1 2/3-6*(1 2/3)^2=3*(-3/10)*5/3-6*(5/3)^2=-45/30-6*25/9=-45/30-150/9=-9/6-50/3=-9/6-100/6=-109/6=-18 1/6` {premium}

b) `2x^2-x(x-y)+y(x-3)=2x^2-x^2+xy+yx-3y=1x^2+2xy-3y` 

`x^2+2xy-3y=(1/2)^2+2*1/2*(-2,5)-3*(-2,5)=1/4-2,5+7,5=0,25-2,5+7,5=5,25` 

a) Wśród podanych ułamków wskaże te, które ...

a) Zamieniamy podane ułamki na procenty:

`33/200=(16,5)/100=16,5%~~17%` 

`7/37*100%=700/37%=18 34/37%~~19%`  

`9/51*100%=900/51%=17 33/51%~~18%`  {premium}

`9/52*100%=900/52%=17 16/52%~~17%` 

`7/41*100%=700/41%=17 3/41%~~17%` 

Ułamki, które po zamianie na procenty i przybliżeniu ich do pełnych procentów dają wynik 17%, to:

`33/200,\ \ 9/52,\ \ 7/41` 

 

b) Najmniejszy procent, który w zaokrągleniu do pełnych procentów daje w wyniku 17%, to 16,5%.

Z podpunktu a) wiemy, że:

`16,5%=33/200` 

Skróćmy ułamek 33/200  przez 33 (mianownik i licznik nie mają wspólnych dzielników, ale dążymy do uzyskania,

jak najmniejszego mianownik, więc skracamy ułamek przez liczbę z licznika):

`33/200\ stackrel(":"33)=1/(200:33)=1/(6 2/33)`   

Szukamy ułamka, który w mianowniku ma liczbę naturalną! Pierwszy ułamek, którego mianownik jest liczbą

naturalną i jest on większy od wyznaczonego powyżej ułamka to 1/6:

`1/(6 2/33)< 1/6`  

Jest to ułamek o najmniejszym mianowniku, spełniający własności opisane w podpunkcie a).

Ułamek, który miałby mniejszy mianownik od wyznaczonego, to ułamek 1/5 .

On jednak nie może być, gdyż:

`1/5=20/100=20%` 

 

Odp: Ułamek spełniający własności opisane w podpunkcie a) i posiadający najmniejszy mianownik to 1/6.

Połącz ułamek zwykły z jego rozwinięciem...

`2,25=2 25/100=2 1/4` 

`1,1=1 1/10` 

`3,85=3 85/100=3 17/20` 

`1,2=1 2/10=1 1/5` 

`0,05=5/100=1/20` 


`"Należy połączyć:"` 

`2,25 \ "i" \ 2 1/4` 

`1,1\ "i" \ 1 1/10` 

`3,85 \ "i" \ 3 17/20` 

`1,2\ "i" \ 1 1/5` 

`0,05 \ "i" \ 1/20` 

Narysuj co najmniej pięć trójkątów przystających do narysowanego trójkąta...

Rozwiązanie przedstawiono na rysunku:{premium}

Na diagramie przedstawiono podstawowe składniki miodu ...

`"a) W składzie miodu pszczelego dominuje"\  ul(ul("cukier"))".`  

 

`"b) Obliczamy, ile kilogramów wody zawiera 1 kg miodu:"` 

`20%*1\ "kg"=2/100*1\ "kg"=2/100\ "kg"=0,2\ "kg"` 

`"Obliczamy, ile kilogramów cukru zawiera 1 kg miodu:"` 

`70%*1\ "kg"=7/100*1\ "kg"=7/100\ "kg"=0,7\ "kg"` 

Odp: 1 kilogram miodu pszczelego zawiera 0,2 kg wody oraz 0,7 kg cukru.

Uzasadnij, że czworokąt ABCD jest trapezem równoramiennym,...




Z twierdzenia Pitagorasa wiemy, że:

`|CF|^2+|FB|^2=|CB|^2` 

`6^2+2^2=|CB|^2` 

`36+4=|CB|^2` 

`|CB|^2=40` 


oraz, że


`|DH|^2+|HA|^2=|DA|^2` 

`6^2+2^2=|DA|^2` 

`36+4=|DA|^2` 

`|DA|^2=40` 


Skoro kwadraty długości boków trapezu są równe to długości tych boków również są równe, zatem jest to trapez równoramienny.


Na osi liczbowej zaznaczono kropkami cztery...

`a` jest mniejsze od `b` o `2` jednostki.{premium} `d` jest większe od `c` o jedną jednostkę. 

Oznacza to, że `a+d` jest mniejsze od `b+c` o `1` jednostkę. 

Zatem `a+d < b+c.` 

`b+c < 0,`więc `a+d< 0.`