Pierwiastki - 7-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Pojęcie pierwiastka

Pierwiastkiem kwadratowym z nieujemnej liczby a nazywamy taką nieujemną liczbę b, której kwadrat jest równy liczbie a.

Pierwiastek kwadratowy możemy nazwać również pierwiastkiem drugiego stopnia

Symbolicznie możemy zapisać to: 

`sqrt{a}=b, \ \ \ "bo" \ \ \ b^2=a`  


Pierwiastkiem sześciennym z liczby a nazywamy taką liczbę b, której sześcian (trzecia potęga) jest równy liczbie a.

Pierwiastek sześcienny możemy nazwać także pierwiastkiem trzeciego stopnia.  

Symbolicznie możemy zapisać to: 

`root{3}{a}=b,  \ \ \ "bo" \ \ \ b^3=a`  


Przykłady

  • `sqrt{25}=5, \ \ \ "bo" \ \ \ 5^2=25` 
     
  • `sqrt{81}=9, \ \ \ "bo" \ \ \ 9^2=81`    

  • `root{3}{27}=3, \ \ \ "bo" \ \ \ 3^3=27`  

  • `root{3}{64}=4, \ \ \ "bo" \ \ \ 4^3=64` 



Wykonując działania na pierwiastkach warto pamiętać o kilku własnościach:

  1. Dla `a>=0` mamy: 

    `sqrt{a^2}=a`   

    `(sqrt{a})^2=a` 

    `sqrt{a}*sqrt{a}=a` 

  2. Dla dowolnej liczby `a`  mamy: 

    `root{3}{a^3}=a` 

    `(root{3}{a})^3=a`   

    `root{3}{a}*root{3}{a}*root{3}{a}=a`  

 

Działania na pierwiastkach

 

Własności pierwiastkowania: 

  1. Pierwiastek z iloczynu jest równy iloczynowi pierwiastków z tych liczb.


    Dla `a>=0 \ "i" \ b>=0` 

    `sqrt{a*b}=sqrt{a}*sqrt{b}`  


    Dla dowolnych liczb `a \ "i" \ b` mamy:

    `root{3}{a*b}=root{3}{a}*root{3}{b}` 


  2. Pierwiastek z ilorazu jest równy ilorazowi pierwiastków z tych liczb.


    Dla `a>=0 \ "i" \ b>0` mamy: 

    `sqrt{a/b}=sqrt{a}/sqrt{b}` 


    Dla dowolnej liczby `a \ "i" \ b!=0` mamy:   

    `root{3}{a/b}=root{3}{a}/root{3}{b}`  

 

Przykłady:

  • `sqrt{3600}=sqrt{36*100}=sqrt{36}*sqrt{100}=6*10=60` 

  • `root{3}{-64 \ 000}=root{3}{-64*1000}=root{3}{-64}*root{3}{1000}=-4*10=-40`   

  • `sqrt{121/49}=sqrt{121}/sqrt{49}=11/7=1 4/7` 

  • `root{3}{216/512}=root{3}{216}/root{3}{512}=6/8`   

Obliczanie wartości pierwiastka z wykorzystaniem rozkładu na czynniki pierwsze

Obliczając wartość pierwiastka możemy skorzystać z rozkładu liczby podpierwiastkowej na czynniki pierwsze

Poniżej prezentujemy sposób wykonania takich obliczeń. 


Przykłady
                

`sqrt{576}=sqrt{2^2*2^2*2^2*3^2}=sqrt{2^2}*sqrt{2^2}*sqrt{2^2}*sqrt{3^2}=2*2*2*3=24` 

 

                

`sqrt{216}=sqrt{2^2*3^2*2*3}=sqrt{2^2}*sqrt{3^2}*sqrt{2*3}=2*3*sqrt{6}=6sqrt{6}`  

 

                

`root{3}{216}=root{3}{2^3*3^3}=root{3}{2^3}*root{3}{3^3}=2*3=6`  

 

                

`root{3}{648}=root{3}{2^3*3^3*3}=root{3}{2^3}*root{3}{3^3}*root{3}{3}=2*3*root{3}{3}=6root{3}{3}`   

Wyłączanie czynnika przed znak pierwiastka

Czasami nie da się obliczyć dokładnej wartości pierwiastka, gdyż większość pierwiastków to liczby niewymierne. 

Możemy wtedy wyłączyć pewien czynnik przed znak pierwiastka. 

Gdy liczbę podpierwiastkową możemy zapisać w postaci iloczynu liczby, z której da się obliczyć pierwiastek oraz liczby z której nie jest to możliwe, wówczas możemy wyłączyć odpowiedni czynnik przed znak pierwiastka


Przykłady
:

  • `sqrt{75}=sqrt{25*3}=sqrt{5^2*3}=sqrt{5^2}*sqrt{3}=5*sqrt{3}=5sqrt{3}`  

  • `root{3}{16}=root{3}{8*2}=root{3}{8}*root{3}{2}=2*root{3}{2}=2root{3}{2}`  

Włączanie czynnika pod znak pierwiastka

Możemy również włączyć dany czynnik pod znak pierwiastka

Poniższe przykłady prezentują jak należy to zrobić. 


Przykłady

  • `2sqrt{3}=#underbrace(sqrt{4})_(2=sqrt{4})*sqrt{3}=sqrt{4*3}=sqrt{12}`  

  • `6sqrt{3}=#underbrace(sqrt{36})_(6=sqrt{36})*sqrt{3}=sqrt{36*3}=sqrt{108}` 

  • `5root{3}{4}=#underbrace(root{3}{125})_(5=root{3}{125})*root{3}{4}=root{3}{125*4}=root{3}{500}` 

  •  `7root{3}{5}=#underbrace(root{3}{343})_(7=root{3}{343})*root{3}{5}=root{3}{343*5}=root{3}{1715}`     

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Oblicz:

  1. $$ √81 $$
  2. $$ √10000 $$
  3. $$ √0,04 $$
  1. $$ √{81}=9 $$
  2. $$ √{10000}=100 $$
  3. $$ √{0,04}=0,2 $$

Zadanie 2.

Jaką długość ma bok kwadratu, którego pole jest równe:

  1. $$ 40 000 m^2 $$
  2. $$ 0,0001 m^2 $$
  3. $$ 10^{-16} m^2 $$
  1. $$ √{40 000}=200 m $$
  2. $$ √{1/{10 000} }={1}/{100} m $$
  3. $$ √{10^{-16} }=√{1/{10^{16} } }=1/{10^8} =1/{100000000} m $$

Zadanie 3.

Włącz czynnik pod znak pierwiastka:

  1. $$ 5√3 $$
  2. $$ 6√1,5 $$
  3. $$ 2∛10 $$
  1. $$ 5√3=√{5×5×3}=√75 $$
  2. $$ 6√1,5=√{6×6×1,5}=√54 $$
  3. $$ 2∛10=∛{2×2×2×10}=∛80 $$

Zadanie 4.

Oblicz:

  1. $$ √{8^2} $$
  2. $$ {√6}^4 $$
  3. $$ √{4^6} $$
  1. $$ √{8^2} =8 $$
  2. $$ {√6}^4={√6}^2×{√6}^2=6×6=36 $$
  3. $$ √{4^6}=√{2^12}=2^6 $$

Zadanie 5.

Usuń niewymierność z mianownika:

  1. $$ 1/{√7} $$
  2. $$ 2/{√2} $$
  3. $$ {10}/{2√5} $$
  1. $$ 1/{√7}={√7}/7 $$
  2. $$ 2/{√2}={2√2}/2=√2 $$
  3. $$ {10}/{2√5}={20√5}/{10}=√5 $$

Zadanie 6.

Oblicz pole kwadratu o boku:

  1. $$ √8$$ $$m $$
  2. $$ 3√2$$ $$m $$
  3. $$ 10√5$$ $$m $$
  1. $$ {√8}^2=8$$ $$m^2 $$
  2. $$ {3√2}^2=9×2=18$$ $$m^2 $$
  3. $$ {10√5}^2=100×5=500$$ $$m^2 $$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Ustal ostatnią cyfrę...

a)  

Możemy zauważyć, że ostatnie cyfry to  i później już się powtarzają.

Powtarzają się co 4.

 

 ma taką samą ostatnią cyfrę jak  , czyli 6.

 ma ostatnią cyfrę równą 2.

 ma ostatnią cyfrę równą 4.

 ma ostatnią cyfrę równą 8.

{premium}

b)  

Możemy zauważyć, że ostatnie cyfry to  i później już się powtarzają.

Powtarzają się co 4.

 

 ma taką samą ostatnią cyfrę jak  , czyli 1.

 ma ostatnią cyfrę równą 3.

 ma ostatnią cyfrę równą 9.

 ma ostatnią cyfrę równą 7.

 

c)  

Możemy zauważyć, że parzysty wykładnik 4 ma ostatnią cyfrę równą 6, a nieparzysty wykładnik 4 ma ostatnią cyfrę równą 4.

 ma ostatnią cyfrę równą 6.

 

d)  

Możemy zauważyć, że ostatnie cyfry to  i później się powtarzają.

Powtarzają się co 4.

 

 ma taką samą ostatnią cyfrę jak  , czyli 1.

 

Czy bok trójkąta może mieć długość równą ...

Bok trójkąta NIE MOŻE mieć długości równej połowie obwodu tego trójkąta.

Gdyby tak było, to {premium}suma dwóch pozostałych boków także byłaby równa połowie obwodu tego trójkąta.

Tym samym suma długości dwóch boków byłaby równa długości trzeciego boku, a aby można było zbudować

trójkąt suma długości dwóch boków musi być większa od długości trzeciego boku.

Okno w domku letniskowym...

Górna krawędź  

Wysokość  {premium}

Dolna krawędź  

 

W skali 1:20

Górna krawędź  

 

Dolna krawędź  

 

Narysuj siatkę graniastosłupa mającego w podstawie trójkąt...

W którym mieście wzrost liczby mieszkań ...

Wzrost liczby sprzedawanych mieszkań był największy{premium} we Wrocławiu. 

Różnica wysokości między słupkami odpowiadającymi sprzedaży jest największa dla tego miasta (mówimy o wzroście, więc słupek dotyczący 2016 roku musi być wyższy od słupka odpowiadającego 2015 r.).

Poprawna odpowiedź: D. We Wrocławiu 

Wskaż punkt, w którym liczby zostały uporządkowane w kolejności rosnącej.

 {premium}

 

 

 

 



 

Zamień odpowiednie ułamki na procenty...

Soboty i niedziele to 9 z 30 dni września: 9/30=3/10=30%{premium}

Dni robocze stanowiły 100%-30%=70% dni września.

Soboty i niedziele stanowiły 30% dni września 2013 roku, a dni robocze 70% dni tego miesiąca.




Samochody zajęły 6 z 15 miejsc parkingowych: 6/15=2/5=4/10=0,4=40%

Wolnych pozostało 100%-40%=60% miejsc.

Samochody zajęły 40% miejsc parkingowych. Wolnych pozostało 60% miejsc.

Sprawdź, które z liczb...

a)  

 

 

 

 

 

 

{premium}

 

 

 

 

b)  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c)  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d)  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e)  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f)  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Zaznacz na osi liczbowej...

 {premium}

 

 

 

 

Jak należy ustawić...

a)  

Odp. Należy ustawić na 300%.{premium}

b)  

Odp. Należy ustawić na 25%.

c)  

Odp. Należy ustawić na 10%.