Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Pierwiastki - 7-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Pojęcie pierwiastka

Pierwiastkiem kwadratowym z nieujemnej liczby a nazywamy taką nieujemną liczbę b, której kwadrat jest równy liczbie a.

Pierwiastek kwadratowy możemy nazwać również pierwiastkiem drugiego stopnia

Symbolicznie możemy zapisać to: 

`sqrt{a}=b, \ \ \ "bo" \ \ \ b^2=a`  


Pierwiastkiem sześciennym z liczby a nazywamy taką liczbę b, której sześcian (trzecia potęga) jest równy liczbie a.

Pierwiastek sześcienny możemy nazwać także pierwiastkiem trzeciego stopnia.  

Symbolicznie możemy zapisać to: 

`root{3}{a}=b,  \ \ \ "bo" \ \ \ b^3=a`  


Przykłady

  • `sqrt{25}=5, \ \ \ "bo" \ \ \ 5^2=25` 
     
  • `sqrt{81}=9, \ \ \ "bo" \ \ \ 9^2=81`    

  • `root{3}{27}=3, \ \ \ "bo" \ \ \ 3^3=27`  

  • `root{3}{64}=4, \ \ \ "bo" \ \ \ 4^3=64` 



Wykonując działania na pierwiastkach warto pamiętać o kilku własnościach:

  1. Dla `a>=0` mamy: 

    `sqrt{a^2}=a`   

    `(sqrt{a})^2=a` 

    `sqrt{a}*sqrt{a}=a` 

  2. Dla dowolnej liczby `a`  mamy: 

    `root{3}{a^3}=a` 

    `(root{3}{a})^3=a`   

    `root{3}{a}*root{3}{a}*root{3}{a}=a`  

 

Działania na pierwiastkach

 

Własności pierwiastkowania: 

  1. Pierwiastek z iloczynu jest równy iloczynowi pierwiastków z tych liczb.


    Dla `a>=0 \ "i" \ b>=0` 

    `sqrt{a*b}=sqrt{a}*sqrt{b}`  


    Dla dowolnych liczb `a \ "i" \ b` mamy:

    `root{3}{a*b}=root{3}{a}*root{3}{b}` 


  2. Pierwiastek z ilorazu jest równy ilorazowi pierwiastków z tych liczb.


    Dla `a>=0 \ "i" \ b>0` mamy: 

    `sqrt{a/b}=sqrt{a}/sqrt{b}` 


    Dla dowolnej liczby `a \ "i" \ b!=0` mamy:   

    `root{3}{a/b}=root{3}{a}/root{3}{b}`  

 

Przykłady:

  • `sqrt{3600}=sqrt{36*100}=sqrt{36}*sqrt{100}=6*10=60` 

  • `root{3}{-64 \ 000}=root{3}{-64*1000}=root{3}{-64}*root{3}{1000}=-4*10=-40`   

  • `sqrt{121/49}=sqrt{121}/sqrt{49}=11/7=1 4/7` 

  • `root{3}{216/512}=root{3}{216}/root{3}{512}=6/8`   

Obliczanie wartości pierwiastka z wykorzystaniem rozkładu na czynniki pierwsze

Obliczając wartość pierwiastka możemy skorzystać z rozkładu liczby podpierwiastkowej na czynniki pierwsze

Poniżej prezentujemy sposób wykonania takich obliczeń. 


Przykłady
                

`sqrt{576}=sqrt{2^2*2^2*2^2*3^2}=sqrt{2^2}*sqrt{2^2}*sqrt{2^2}*sqrt{3^2}=2*2*2*3=24` 

 

                

`sqrt{216}=sqrt{2^2*3^2*2*3}=sqrt{2^2}*sqrt{3^2}*sqrt{2*3}=2*3*sqrt{6}=6sqrt{6}`  

 

                

`root{3}{216}=root{3}{2^3*3^3}=root{3}{2^3}*root{3}{3^3}=2*3=6`  

 

                

`root{3}{648}=root{3}{2^3*3^3*3}=root{3}{2^3}*root{3}{3^3}*root{3}{3}=2*3*root{3}{3}=6root{3}{3}`   

Wyłączanie czynnika przed znak pierwiastka

Czasami nie da się obliczyć dokładnej wartości pierwiastka, gdyż większość pierwiastków to liczby niewymierne. 

Możemy wtedy wyłączyć pewien czynnik przed znak pierwiastka. 

Gdy liczbę podpierwiastkową możemy zapisać w postaci iloczynu liczby, z której da się obliczyć pierwiastek oraz liczby z której nie jest to możliwe, wówczas możemy wyłączyć odpowiedni czynnik przed znak pierwiastka


Przykłady
:

  • `sqrt{75}=sqrt{25*3}=sqrt{5^2*3}=sqrt{5^2}*sqrt{3}=5*sqrt{3}=5sqrt{3}`  

  • `root{3}{16}=root{3}{8*2}=root{3}{8}*root{3}{2}=2*root{3}{2}=2root{3}{2}`  

Włączanie czynnika pod znak pierwiastka

Możemy również włączyć dany czynnik pod znak pierwiastka

Poniższe przykłady prezentują jak należy to zrobić. 


Przykłady

  • `2sqrt{3}=#underbrace(sqrt{4})_(2=sqrt{4})*sqrt{3}=sqrt{4*3}=sqrt{12}`  

  • `6sqrt{3}=#underbrace(sqrt{36})_(6=sqrt{36})*sqrt{3}=sqrt{36*3}=sqrt{108}` 

  • `5root{3}{4}=#underbrace(root{3}{125})_(5=root{3}{125})*root{3}{4}=root{3}{125*4}=root{3}{500}` 

  •  `7root{3}{5}=#underbrace(root{3}{343})_(7=root{3}{343})*root{3}{5}=root{3}{343*5}=root{3}{1715}`     

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Oblicz:

  1. $$ √81 $$
  2. $$ √10000 $$
  3. $$ √0,04 $$
  1. $$ √{81}=9 $$
  2. $$ √{10000}=100 $$
  3. $$ √{0,04}=0,2 $$

Zadanie 2.

Jaką długość ma bok kwadratu, którego pole jest równe:

  1. $$ 40 000 m^2 $$
  2. $$ 0,0001 m^2 $$
  3. $$ 10^{-16} m^2 $$
  1. $$ √{40 000}=200 m $$
  2. $$ √{1/{10 000} }={1}/{100} m $$
  3. $$ √{10^{-16} }=√{1/{10^{16} } }=1/{10^8} =1/{100000000} m $$

Zadanie 3.

Włącz czynnik pod znak pierwiastka:

  1. $$ 5√3 $$
  2. $$ 6√1,5 $$
  3. $$ 2∛10 $$
  1. $$ 5√3=√{5×5×3}=√75 $$
  2. $$ 6√1,5=√{6×6×1,5}=√54 $$
  3. $$ 2∛10=∛{2×2×2×10}=∛80 $$

Zadanie 4.

Oblicz:

  1. $$ √{8^2} $$
  2. $$ {√6}^4 $$
  3. $$ √{4^6} $$
  1. $$ √{8^2} =8 $$
  2. $$ {√6}^4={√6}^2×{√6}^2=6×6=36 $$
  3. $$ √{4^6}=√{2^12}=2^6 $$

Zadanie 5.

Usuń niewymierność z mianownika:

  1. $$ 1/{√7} $$
  2. $$ 2/{√2} $$
  3. $$ {10}/{2√5} $$
  1. $$ 1/{√7}={√7}/7 $$
  2. $$ 2/{√2}={2√2}/2=√2 $$
  3. $$ {10}/{2√5}={20√5}/{10}=√5 $$

Zadanie 6.

Oblicz pole kwadratu o boku:

  1. $$ √8$$ $$m $$
  2. $$ 3√2$$ $$m $$
  3. $$ 10√5$$ $$m $$
  1. $$ {√8}^2=8$$ $$m^2 $$
  2. $$ {3√2}^2=9×2=18$$ $$m^2 $$
  3. $$ {10√5}^2=100×5=500$$ $$m^2 $$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Pan Y zarabiał o 25% więcej niż pan X. Obaj panowie ...

Przyjmijmy, że pan X zarabia x złotych.

Pan Y zarabia o 25% więcej od pana X, czyli zarabia:

`125%*x=1,25x`  

 

a) Obliczmy, jaka jest pensja pana Y po podwyżce (pensja wzrosła o 20%): 

`120%*1,25x=1,2*1,25x=1,5x` 

Obliczmy, jaka jest pensja pana X po podwyżce (pensja wzrosła o 50%): 

`150%*x=1,5*x=1,5x` 

Pensje obu panów po podwyżkach wyrównały się. 

 

b) Obliczmy, jaka byłaby pensja pana Y po podwyżce (o 25%): 

`125%*1,25x=1,25*1,25x=1,5625x` 

Obliczmy, jaka byłaby pensja pana X po podwyżce (o 49%): 

`149%*x=1,49*x=1,49x` 

Zauważmy, że:

`1,5625x>1,49x`  

Zatem pan Y zarabiałby więcej.

 

Zwróćmy także uwagę, że podpunkt b) można rozwiązać nie wykonując żadnych obliczeń.

Z podpunktu a) wiemy, że gdyby pan Y dostał podwyżkę 20%, a pan X podwyżkę 50%, to pensje obu panów byłyby równe.

Gdyby pan Y dostał podwyżkę 25% to zarabiałby więcej niż gdyby dostał podwyżkę 20%, natomiast gdyby pan X dostał

podwyżkę 49% to zarabiałby mniej, niż gdyby dostał podwyżkę 50%, więc wnioskujemy, że pan X zarabiałby mniej.

Oblicz , a) 3 1/3+(-4,8) b) -2,8+(-11¼)

a) `3 1/3+(-4,8)=3 1/3+(-4 4/5)=3 5/15-4 12/15=-1 7/15`

b) `-2,8+(-11 1/4)=-2,8-11,25=-14,05`

c) `sqrt(4/9)*sqrt(2 1/4)=2/3*sqrt(9/4)=2/3*3/2=1`

d) `5*3 1/5-0,5^2-sqrt(9/16)=5*16/5-0,25-3/4=16-1=15`

e) `root(3)(1/8)+(-2)^4-1/8=1/2+16-1/8=16 4/8-1/8=16 3/8`

f) `-(-7)^2+sqrt49=-49+7=-42`

g)  `-4^2:2^3+1/3root(3)(27)=-16:8+1/3*3=-2+1=-1`

h) `-2*(-3,3):(-2 1/5)+7 1/4=` `6,6:(-2,2)+7 1/4=-3+7 1/4=4 1/4`

Punkty (-1,2), (2,5) i (5,5) są kolejnymi wierzchołkami ...

Dane są punkty będące trzema kolejnymi wierzchołkami trapezu równoramiennego:

`(-1,2),\ \ (2,5),\ \ (5,5)`  

Wyznaczamy współrzędne czwartego wierzchołka.

Są trzy możliwości wyznaczenia tego punktu.

 

Możliwość I:

 

Możliwość II:

 

Możliwość III - zwróćmy uwagę, że równoległobok też jest trapezem:

 

Odp: Czwarty wierzchołek może mieć współrzędne: (8,2), (-1,-1) oraz (2,2).

Podaj liczbę, której 6% jest równe ...

Obliczamy wartość wyrażenia:

`2 1/13*(1,5+2 5/6):(2,4-1 4/5)=27/13*(1 1/2+2 5/6):(2,4-1,8)=27/13*(1 3/6+2 5/6):0,6=`

`27/13*3 8/6:6/10=27/13* 26/6:3/5=27/strike13^1*strike13^1/3*5/3=strike27^9/strike3^1*5/3=45/3=15`

 

Szukamy liczby, której 6% jest równe 15.

Oznaczamy tę liczbę jako x. Zapisujemy równanie:

`6%*x=15`

`6/100*x=15` 

`3/50*x=15\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |*50/3`   

`x=strike15^5*50/strike3^1=250`

 

Odp: Szukana liczba to 250.

Klient wziął z banku kredyt w wysokości ...

Oznaczamy wartość oprocentowania jako `x` .

Biorąc w banku kredyt w wysokości 4800 zł, należy po roku zapłacić 360 zł odsetek.

Zapisujemy równanie:

`x%*4800=360` 

`x/strike100^1*strike4800^48=360\ \ \ \ \ \ \ \ \ |:48`  

`x=360:48=strike360^15/strike48^2=15/2=7,5` 

 

Odp: Oprocentowanie kredytu wynosiło 7,5%.

Ola przeczytała opowiadanie

`x \ -\ "ilość stron przeczytanych pierwszego dnia"`

`3x\ -\ "ilość stron przeczytanych drugiego dnia"`

`x-3\ -\ "ilość stron przeczytanych trzeciego dnia"`

 

Wiemy, że razem Ola przeczytała 127 stron, więc możemy zapisać: 

`x+3x+(x-3)=127`

`x+3x+x-3=127`

`5x-3=127\ \ \ |+3`

`5x=130\ \ \ |:5`

`x=26`

`3x=3*26=78`

`x-3=26-3=23`

 

`"sprawdzenie:"`

`26+78+23=104+23=127`

Odp.: Ola pierwszego dnia przeczytała 26 stron, drugiego - 78 stron, a trzeciego - 23 strony.

Ustal na podstawie podanych informacji, w której ...
  • Przyjmijmy, że `B=(b_1, b_2)`  oraz `C=(c_1,c_2)`

    Pierwsza współrzędna punktu D (`d_1`) jest 2 razy większa od drugiej współrzędnej punktu B, czyli `d_1=2b_2` . 
    Druga współrzędna punktu D (`d_2`) jest liczbą przeciwną do drugiej współrzędnej punktu C, czyli `d_2=-c_2`.
    Zatem `D=(2b_2, -c_2)`.     


  • Pierwsza współrzędna punktu A (`a_1`) jest równa sumie pierwszych współrzędnych punktów B i C, czyli `a_1=b_1+c_1`
    Druga współrzędna punktu A jest taka sama jak pierwsza. Zatem `A=(b_1+c_1, b_1+c_1)`


  • Pierwsza współrzędna punktu C (`c_1`) jest najmniejszą liczbą pierwszą, czyli `c_1=2`
    Druga współrzędna punktu C (`c_2`) jest odwrotnością pierwszej, czyli `c_2=1/2`.  
    Zatem `C=(2, 1/2)` . 


  • Druga współrzędna punktu B (`b_2`) jest sumą współrzędnych punktu C, czyli `b_2=2+1/2=2 1/2`.    
    Pierwsza współrzędna punktu B (`b_1`) jest o 5 mniejsza od drugiej współrzędnej, czyli `b_1=2 1/2-5=-2 1/2` . 
    Zatem `B=(-2 1/2, 2 1/2)` . 


Obliczamy, ile wynoszą współrzędne punktu A. 

`a_1=a_2=b_1+c_1` 

`a_1=a_2=-2 1/2+2=-1/2` 

Zatem `A=(-1/2, -1/2)` . 


Obliczamy, ile wynoszą współrzędne punktu D. 

`d_1=2b_2` 

`d_1=2*2 1/2=5` 

`d_2=-c_2` 

`d_2=-1/2` 

Zatem  `D=(5, -1/2)` 

 

Ustalamy, w której ćwiartce leży każdy z punktów. 

  • Obie współrzędne punktu A są liczbami ujemnymi, czyli punkt A leży w III ćwiartce.   

  • Odcięta punktu B jest liczbą ujemną, a rzędna to liczba dodatnia. Oznacza to, że punkt B leży w II ćwiartce

  • Obie współrzędne punktu C są liczbami dodatnimi, czyli punkt C leży w I ćwiartce.   

  • Odcięta punktu D jest liczbą dodatnią, a rzędna to liczba ujemna. Oznacza to, że punkt D leży w IV ćwiartce
Dla liczby naturalnej n wartość wyrażenia (...)

`-1^2+[(-1)^(8n-1)*(-1)]:[(-1)^(4n+3):(-1)^5]=-1+(-1)^(8n-1+1):(-1)^(4n+3-5)=-1+(-1)^(8n):(-1)^(4n-2)=-1+(-1)^(8n-(4n-2))=`

`-1+(-1)^(8n-4n+2)=-1+(-1)^(4n+2)=-1+1=0`



Odp. B

Dokończ zdanie tak, aby otrzymać ...

`0,#underbrace(00005)_("5 miejsc")=5*10^(-5)`   [przesuwamy przecinek o 5 miejsc w prawo]


Poprawna odpowiedź: B. 5٠10-5 

Wykonaj mnożenie.

`"a)"\ strike(0,6)^(0,1)*5/strike12^2=(0,5)/2=0,5:2=0,25`

`"b)"\ 4/strike7^1*strike(0,28)^(0,04)=0,16`

`"c)"\ strike(0,8)^(0,1)*5/strike16^2=(0,5)/2=0,25`

`"d)"\ 0,21*2 2/7=strike(0,21)^(0,03)*16/strike7^1=0,48`

`"e)"\ 4 2/3*0,0006=14/strike3^1*strike(0,0006)^(0,0002)=0,0028`

`"f)"\ 1 2/3*0,12=5/strike3^1*strike(0,12)^(0,04)=0,2`

`"g)"\ 5 3/5*1,5=28/strike5^1*strike(1,5)^(0,3)=8,4`

`"h)"\ 8,75*4 6/7=8 3/4*4 6/7=strike35^5/4*34/strike7^1=170/4=85/2=42 1/2`

`"i)"\ 4 3/8*1,6=35/8 * 1 6/10 = strike35^7/strike8^1 * strike16^2/strike10^2=7*strike2^1/strike2^1=7`