Liczby - 7-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Liczby naturalne

Liczby naturalne to liczby 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ... .

Zbiór wszystkich liczb naturalnych oznaczamy symbolem N.

Możemy zapisać: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,...}.


Pojęcie liczby naturalnej pojawiło się w związku z liczeniem przedmiotów i ustalaniem kolejności.


W zbiorze liczb naturalnych wyróżniamy między innymi liczby parzyste i nieparzyste, a także liczby pierwsze i złożone.

  • Liczba parzysta – liczba podzielna przez 2 (inaczej mówiąc jest to wielokrotność liczby 2).

    Liczbami parzystymi są więc liczby: 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20...

    Każdą liczbę parzystą możemy przedstawić w postaci iloczynu liczby 2 i pewnej liczby naturalnej.

    Zatem jeśli n jest liczbą parzystą, to istnieje liczba naturalna k taka, że: `n = 2*k` 

  • Liczba nieparzysta – liczba naturalna, która nie jest parzysta.

    Liczbami nieparzystymi są więc liczby: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, …

    Każdą liczbę nieparzystą n możemy przedstawić w postaci `n = 2*k+1` , gdzie k jest liczbą naturalną.

  • Liczba pierwsza – liczba naturalna większa od 1, mająca tylko dwa dzielniki: 1 i samą siebie.

    Liczbami pierwszymi są liczby: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,...

  • Liczba złożona - liczba naturalna nie będąca liczbą pierwszą, czyli posiadająca więcej niż dwa dzielniki. 

    Liczbami złożonymi są: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18...


Uwaga

Liczby 0 i 1 nie są liczbami pierwszymi ani liczbami złożonymi.

Liczby całkowite

Liczby całkowite to liczby naturalne oraz liczby do nich przeciwne.

Liczby przeciwne to takie dwie liczby, których suma wynosi 0. Dla przykładu:

  • liczbą przeciwną do 4 jest -4,

  • liczbą przeciwną do -25 jest 25,

  • liczbą przeciwną do 0 jest 0.


Zbiór wszystkich liczb całkowitych
oznaczamy symbolem C.

Możemy zapisać: C = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}.

W zbiorze liczb całkowitych możemy wyróżnić liczby całkowite dodatnie C+ oraz liczby całkowite ujemne C-

Liczby całkowite dodatnie: C+ = {1, 2, 3, 4, 5, 6,...}

Liczby całkowite ujemne: C- = {..., -6, -5, -4, -3, -2, -1}


Uwaga

  1. Zero nie jest ani liczbą dodatnią, ani liczbą ujemną.

  2. Wszystkie liczby naturalne są liczbami całkowitymi. 

 

Liczby wymierne

Liczby wymierne to takie liczby, które możemy przedstawić w postaci ułamka `p/q`  , gdzie p i q są liczbami całkowitymi (co zapisujemy `p in C`  i  `q in C`) oraz `q!=0` .

Zbiór wszystkich liczb wymiernych oznaczamy symbolem W lub Q

Przykłady liczb wymiernych:  `23/45, \ \ 1/2, \ \ 2 1/2=5/2, \ \ -2 1/2=-5/2, \ \ 14=14/1, \ \ 0=0/1` 


Każda liczba wymierna posiada rozwinięcie dziesiętne skończone lub nieskończone okresowe, o których przeczytasz poniżej

[link]

Uwaga

Wszystkie liczby naturalne i całkowite są liczbami wymiernymi, ponieważ można przedstawić je w postaci ułamka zwykłego, np:

`14 = 14/1 \ \ , \ \ -2= (-2)/1 \ \ , \ \ 4 = 4/1 \ \ , \ \ -113 = (-113)/1 \ \ , \ \ 0 = 0/2 = 0/10 = 0/(-3)` 

 

Liczby niewymierne

Liczby niewymierne to liczby, których nie da się przedstawić w postaci ułamka `p/q` , gdzie p jest liczbą całkowitą a q jest liczbą całkowitą różną od 0.

Zbiór wszystkich liczb niewymiernych oznaczamy symbolem NW.
 

Przykłady liczb niewymiernych: `sqrt2 \ , \ -sqrt5 \ , \ pi \ , root(4)(17)`   


Każda liczba niewymierna posiada rozwinięcie dziesiętne nieskończone i nieokresowe.

Rozwinięcia dziesiętne liczb wymiernych

Rozwinięcie dziesiętne liczby wymiernej to przedstawienie tej liczby w postaci ułamka dziesiętnego.

  • Przypadek 1.

    Ułamek zwykły posiadający w mianowniku 10, 100, 1000, ...

    Ułamki takie zamieniamy na ułamek dziesiętny w następujący sposób: między cyframi liczby znajdującej się w liczniku danego ułamka zwykłego stawiamy przecinek tak, aby po przecinku było tyle cyfr, ile zer jest w liczbie występującej w mianowniku.

    Gdyby zabrakło cyfr przy stawianiu przecinka należy, pomiędzy przecinkiem a liczbą z licznika dopisać odpowiednią ilość zer.

    Jeżeli nasza liczba jest mniejsza od 1, to przed przecinkiem stawiamy cyfrę zero.

    Przykłady:

    • `3/10 = 0,3`  ← przepisujemy liczbę 3 z licznika i stawiamy przecinek tak, aby po przecinku była jedna cyfra (bo w mianowniku mamy jedno zero).

    • `64/100 = 0,64`  ← przepisujemy liczbę 64 z licznika i stawiamy przecinek tak, aby po przecinku były dwie cyfry.

    • `482/1000 = 0,482`  ← przepisujemy liczbę 482 z licznika i stawiamy przecinek tak, aby po przecinku były trzy cyfry.

    • `45/10 = 4,5`  ← przepisujemy liczbę 45 z licznika i stawiamy przecinek tak, aby po przecinku była jedna cyfra.

    • `2374/100 = 23,74`  ← przepisujemy liczbę 2374 z licznika i stawiamy przecinek tak, aby po przecinku były dwie cyfry.
       

  • Przypadek 2.

    Ułamek zwykły, który możemy rozszerzyć lub skrócić tak, aby otrzymać w mianowniku 10, 100, 1000, ...

    Ułamek najpierw rozszerzamy lub skracamy tak, aby otrzymać w mianowniku 10, 100, 1000, …. Następnie postępujemy jak w przypadku 1.

    Przykłady:

    • `1/2 = (1*5)/(2*5) = 5/10 = 0,5` 

    • `3/20 = (3*5)/(20*5) = 15/100 = 0,15` 

    • `80/400 = (80:40)/(400:40) = 2/10=0,2` 

       
  • Przypadek 3.

    Dowolny ułamek zwykły.

    Dzielimy licznik przez mianownik, postępując podobnie jak w przypadku dzielenia pisemnego liczb naturalnych.

    Przykłady:

    a. Zamień ułamek `1/3`  na ułamek dziesiętny, dzieląc licznik przez mianownik.

    dzialanie2

    `1/3=0,333... = 0,(3)` 
     

    b. Zamień ułamek `5/66`  na ułamek zwykły, dzieląc licznik przez mianownik.

    dzialanie3
     

    `5/66 = 0,07575... = 0,0(75)` 
     

    c. Zamień ułamek `4/35`  na ułamek dziesiętny, dzieląc licznik przez mianownik.

    dzialanie4
     

    `4/35=0,1142857... = 0,1(142857)`  
     


Rozwinięcie dziesiętne dowolnej liczby wymiernej może być:

  1. skończone,
  2. nieskończone okresowe.

Rozwinięcie dziesiętne skończone to postać dziesiętna ułamka zwykłego, w której po przecinku występuje skończona ilość cyfr.

Przykłady:

  • `1/2=0,5` 

  • `7/{16}= 0,4375` 

  • `3/20= 0,15` 

Rozwinięcie nieskończone okresowe to postać dziesiętna ułamka, w której po przecinku występuje nieskończona ilość cyfr, które od pewnego miejsca się powtarzają. Powtarzające się cyfry nazywamy okresem rozwinięcia dziesiętnego nieskończonego, który zapisujemy w nawiasie.

Przykłady:

  • `1/3= 0,3333...=0,(3)` 

  • `9/{11}= 0,8181...=0,(81)` 

  • `7/{15}= 0,466...=0,4(6)` 

  • `{33}/7= 4,714285714285…=4,(714285)` 
 

Zaokrąglenia liczb

W życiu codziennym posługujemy się zaokrągleniami.

Nie zawsze trzeba znać dokładną wartość działania lub wskazać pewne wielkości z dużą dokładnością. Można podać przybliżoną ich wartość. 

Gdy przybliżenie liczby jest mniejsze od danej liczby, to mówimy o przybliżeniu z niedomiarem.

Gdy przybliżenie liczby jest większe od danej liczby, to mówimy o przybliżeniu z nadmiarem.


Jeżeli zaokrąglamy liczbę do rzędu części dziesiątych, części setnych itd., to odrzucamy wszystkie cyfry znajdujące się na prawo od miejsca, do którego zaokrąglamy.

Jeśli zaokrąglamy liczbę do jedności, dziesiątek, setek, itd., to wszystkie cyfry znajdujące się na prawo od miejsca, do którego zaokrąglamy zastępujemy cyframi 0 (cyfr znajdujących się po przecinku nie musimy zamieniać na cyfry 0, wystarczy je odrzucić). 


Reguły zaokrąglania: 

  • jeżeli pierwsza z odrzuconych cyfr jest mniejsza od 5 (czyli równa 0, 1, 2, 3, 4), to ostatnią cyfrę naszego przybliżenia zostawiamy bez zmian (jest to tak zwane zaokrąglenie w dół lub zaokrąglenie z niedomiarem); 

  • jeżeli pierwsza z odrzuconych cyfr jest większa lub równa 5 (czyli 5, 6, 7, 8, 9), to ostatnią cyfrę naszego przybliżenia zwiększamy o 1 (jest to tak zwane zaokrąglenie w górę lub zaokrąglenie z nadmiarem). 



Przykłady zaokrągleń liczb całkowitych do dziesiątek
:

  • 123 ~ 120 ← cyfrą dziesiątek danej liczby jest 2; cyfrę stojącą w niższym rzędzie (czyli na miejscu jedności) zastępujemy zerem, a cyfrę dziesiątek pozostawiamy bez zmian, gdyż pierwsza z odrzuconych cyfr (3) jest mniejsza od 5, 

  • 145 ~ 150 ← cyfrą dziesiątek danej liczby jest 4; cyfrę stojącą w niższym rzędzie (czyli na miejscu jedności) zastępujemy zerem, a cyfrę dziesiątek zwiększamy o jeden, gdyż pierwsza z odrzuconych cyfr (5) jest równa 5, 

  • 168 ~ 170 ← cyfrą dziesiątek danej liczby jest 6; cyfrę stojącą w niższym rzędzie (czyli na miejscu jedności) zastępujemy zerem, a cyfrę dziesiątek zwiększamy o jeden, gdyż pierwsza z odrzuconych cyfr (8) jest większaod 5.


Przykłady zaokrągleń liczb całkowitych do setek
:

  • 1123 ~ 1100 ← cyfrą setek danej liczby jest 1; cyfry stojące w niższych rzędach (czyli na miejscu dziesiątek i jedności) zastępujemy zerami, a cyfrę setek pozostawiamy bez zmian, gdyż pierwsza z odrzuconych cyfr (2) jest mniejsza od 5,

  • 340 ~ 300 ← cyfrą setek danej liczby jest 3; cyfry stojące w niższych rzędach (czyli na miejscu dziesiątek i jedności) zastępujemy zerami, a cyfrę setek pozostawiamy bez zmian, gdyż pierwsza z odrzuconych cyfr (4) jest mniejsza od 5,

  • 789 ~ 800 ← cyfrą setek danej liczby jest 7; cyfry stojące w niższych rzędach (czyli na miejscu dziesiątek i jedności) zastępujemy zerami, a cyfrę setek zwiększamy o jeden, gdyż pierwsza z odrzuconych cyfr (8) jest większa od 5.

Przykłady zaokrągleń liczb całkowitych do tysięcy:

  • 1507 ~ 2000 ← cyfrą tysięcy danej liczby jest 1; cyfry stojące w niższych rzędach (czyli na miejscu setek, dziesiątek i jedności) zastępujemy zerami, a cyfrę tysięcy zwiększamy o jeden, pierwsza z odrzuconych cyfr (5) jest większa lub równa 5;

  • 5346 ~ 5000 ← cyfrą tysięcy danej liczby jest 5; cyfry stojące w niższych rzędach (czyli na miejscu setek, dziesiątek i jedności) zastępujemy zerami, a cyfrę tysięcy zostawiamy bez zmian, gdyż pierwsza z odrzuconych cyfr (3) jest mniejsza od 5,

  • 45 700 ~ 46 000 ← cyfrą tysięcy danej liczby jest 5; cyfry stojące w niższych rzędach (czyli na miejscu setek, dziesiątek i jedności) zastępujemy zerami, a cyfrę tysięcy zwiększamy o jeden, gdyż pierwsza z odrzuconych cyfr (7) jest większa od 5.

Przykłady zaokrągleń ułamków dziesiętnych do jedności:

  • 164,3 ~ 164 ← cyfrą jedności danej liczby jest 4; cyfry stojące w niższych rzędach (czyli cyfrę części dziesiątych) odrzucamy, a cyfrę jedności zostawiamy bez zmian, gdyż pierwsza z odrzuconych cyfr (3) jest mniejsza od 5,

  • 178,9 ~ 179 ← cyfrą jedności danej liczby jest 8; cyfry stojące w niższych rzędach (czyli cyfrę części dziesiątych) odrzucamy, a cyfrę jedności zwiększamy o jeden, gdyż pierwsza z odrzuconych cyfr (9) jest większa od 5,

  • 43,36 ~ 43 ← cyfrą jedności danej liczby jest 3; cyfry stojące w niższych rzędach (czyli cyfrę części dziesiątych i cyfrę części setnych) odrzucamy a cyfrę jedności zostawiamy bez zmian, gdyż pierwsza z odrzuconych cyfr (3) jest mniejsza od 5.

Przykłady zaokrągleń ułamków dziesiętnych do części dziesiątych, czyli do pierwszego miejsca po przecinku:

  • 157,67 ~ 157,7 ← cyfrą części dziesiątych jest 6; cyfry stojące w niższych rzędach (czyli cyfrę części setnych, cyfra stojąca na drugim miejscu po przecinku) odrzucamy, a cyfrę części dziesiątych zwiększamy o jeden, gdyż pierwsza z odrzuconych cyfr (7) jest większa od 5,

  • 78,567 ~ 78,6 ← cyfrą części dziesiątych jest 5; cyfry stojące w niższych rzędach (czyli cyfrę części setnych oraz cyfrę części tysięcznych) odrzucamy, a cyfrę części dziesiątych zwiększamy o jeden, gdyż pierwsza z odrzuconych cyfr (6) jest większa od 5,

  • 89,31 ~ 89,3 ← cyfrą części dziesiątych jest 3; cyfry stojące w niższych rzędach (czyli cyfrę części setnych) odrzucamy, a cyfrę części dziesiątych zostawiamy bez zmian, gdyż pierwsza z odrzuconych cyfr (1) jest mniejsza od 5.

 

Dodawanie i odejmowanie ułamków

Dodawanie i odejmowanie ułamków zwykłych

Dodawanie lub odejmowanie ułamków mających jednakowe mianowniki – dodajemy lub odejmujemy liczniki, a mianownik pozostawiamy bez zmian.

Przykłady: 

  • `4/7+6/7=10/7=1 3/7` 

  • `1 3/7+2/7=1 5/7`   

  • `1 3/5+4 2/5=5 5/5=6` 

  •  `5/6-2/3=3/6=1/2` 

  • `1 -4/9=9/9-4/9=5/9`   

  • `3 1/6-1 5/6=2 7/6-1 5/6=1 2/6=1 1/3`  


Dodawaniu i odejmowaniu ułamków o różnych mianownikach - ułamki sprowadzamy do wspólnego mianownika.

Przykłady:

  • `3/7+1/3=9/21+7/21=16/21` 

  • `2 1/5+3/6=2 6/30+15/30=2 21/30`   

  • `1 1/4+3 2/5=1 5/20+3 8/20=4 13/20` 

  • `4/5-2/3=12/15-10/15=2/15` 

  • `2 1/3-1/9=2 3/9-1/9=2 2/9`   

  • `2 5/8-1 3/5=2 25/40-1 24/40=1 1/40`  

 

Dodawanie i odejmowanie ułamków dziesiętnych 

Aby dodać lub odjąć dwa ułamki dziesiętne należy chwilowo pominąć przecinek i wykonać działania na liczbach naturalnych. 

Następnie w wyniku wstawiamy przecinek w takim miejscu, aby po przecinku było tyle samo cyfr, ile występuje w każdym z ułamków. 

Przykłady:

  • `57,879+3,32=57,879+3,320=61,199`  
    [57 879+3320=61 199, więc 57,879+3,320=61,199, gdyż w każdym ułamku mamy po trzy cyfry po przecinku, więc w wyniku również muszą być trzy cyfry po przecinku]
     
  • `3,45-2,34=1,11` 
    [345-234=111, więc 3,45-2,31=1,11 gdyż w każdym ułamku mamy po dwie cyfry po przecinku, więc w wyniku również muszą być dwie cyfry po przecinku]


Dodawanie i odejmowanie ułamków zwykłych oraz dziesiętnych

Gdy dodajemy lub odejmujemy ułamek dziesiętny i ułamek zwykły wystarczy doprowadzić je do wspólnej postaci. 

Przykłady:

  • `3/4+2,2=0,75+2,20=2,95` 

  • `2,5-3/4=2 1/2-3/4=2 2/4-3/4=1 6/4-3/4=1 3/4`   

Mnożenie i dzielenie ułamków

Mnożenie i dzielenie to po dodawaniu i odejmowaniu najbardziej popularne działania stosowane we wszystkich dziedzinach nauki.


Mnożenie i dzielenie ułamków zwykłych

Aby pomnożyć dwa ułamki zwykłe należy obliczyć iloczyn ich liczników oraz mianowników. 

Aby podzielić dwa ułamki zwykłe należy dzielną pomnożyć razy odwrotność dzielnika.  

Przykłady:

  • `4/5*3/7=(4*3)/(5*7)=12/35` 

  • `1 2/5*4/9=7/5*4/9=28/45` 

  •  `4/7:5/8=4/7*8/5=32/35` 

  • `2 4/5: 3/7=14/5:3/7=14/5*7/3=98/15=6 8/15`     


Mnożenie i dzielenie ułamków dziesiętnych 

Aby pomnożyć dwa ułamki dziesiętne chwilowo pomijamy przecinki i wykonujemy działanie na liczbach naturalnych.

Następnie obliczamy ile łącznie cyfr znajduje się po przecinku w obu czynnikach. Tyle samo cyfr musi znaleźć się po przecinku w otrzymanym wyniku. 

Aby podzielić dwa ułamki dziesiętne należy w dzielnej i dzielniku przesunąć przecinek o tyle miejsc w prawo, aby dzielnik był liczbą naturalną. 

Przykłady:

  • `3,4*1,21=4,114` 

  • `5,7*1,42=8,094`  

  • `3,2:0,8=32:8=4`  

  • `3,55:0,5=35,5:5=7,1`  

Wyrażenia arytmetyczne

Najważniejszą rzeczą przy obliczaniu wartości wyrażeń arytmetycznych jest właściwa kolejność wykonywania działań.

Kolejność wykonywania działań:

  1. Działania w nawiasach

  2. Potęgowanie i pierwiastkowanie

  3. Mnożenie i dzielenie od lewej do prawej

  4. Dodawanie i odejmowanie od lewej do prawej


Przykłady:

  • `(45-9*3)-4=(45-27)-4=18-4=14` 

  • `4+7*6:2=4+42:2=4+21=25` 

  • `2^3:2-3=8:2-3=4-3=1` 

  • `sqrt{9}-2:2=3-2:2=3-1=2`    

Działania na liczbach dodatnich i ujemnych

Działania takie jak dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie wykonywane na liczbach ujemnych są bardzo podobne do tych, które były wykonywane na liczbach dodatnich.

Należy tylko pamiętać o kilku podstawowych zasadach!


Dodawanie i odejmowanie:

  • dodawanie dowolnej liczby ujemnej można zamienić na odejmowanie liczby do niej przeciwnej

    • `36+(-12)=36-12=24`  

  • odejmowanie dowolnej liczby ujemnej można zamienić na dodawanie liczby do niej przeciwnej

    • `78-(-48)=78+48=126`  


Mnożenie i dzielenie:

  • iloczyn (wynik mnożenia) liczby ujemnej i liczby dodatniej będzie zawsze liczbą ujemną

    • `(-12)*3=(-36)`   

  • iloczyn (wynik mnożenia) dwóch liczb ujemnych będzie zawsze liczbą dodatnią

    • `(-16)*(-2)=32` 
       
  • iloraz (wynik dzielenia) liczby ujemnej i liczby dodatniej będzie zawsze liczbą ujemną
     
    • `81:(-9)=-9` 

    • `(-45):9=(-5)`  

  • iloraz (wynik dzielenia) dwóch liczb ujemnych jest zawsze liczbą dodatnią 

    • `(-48):(-4)=12` 



Tabela przedstawiająca znaki iloczynu i ilorazu dwóch liczb

System rzymski

System rzymski jest systemem zapisywania liczb, który w przeciwieństwie do zapisu pozycyjnego, pozwala zapisać liczby przy pomocy znaków o zawsze ustalonej wartości.


W systemie rzymskim do zapisania liczby używamy zdecydowanie mniej znaków niż w systemie dziesiątkowym.

Za pomocą 7 znaków (liter) : I, V, X, L, C, D i M jesteśmy w stanie ułożyć każdą liczbę naturalną od 1 do 3999.

Do każdego znaku przypisano inną wartość. 

Wyróżniamy cyfry podstawowe:

  • I = 1
  • X = 10
  • C = 100
  • M = 1000 

oraz cyfry pomocnicze:

  • V = 5
  • L = 50 
  • D = 500


Zasady zapisywania liczb w systemie rzymskim
:

  1. Możemy zapisać maksymalnie 3 takie same cyfry podstawowe (czyli I, X, C, M) obok siebie.

    Cyfry pomocnicze (czyli V, L, D) nie mogą występować obok siebie.

    Przykłady:

    • VIII  `->`   `5+1+1+1=8` 

    • MMCCC  `->`   `1000+1000+100+100+100=2300` 

  2. W celu uproszczenia wielu zapisów dopuszcza się umieszczenie cyfry podstawowej o mniejszej wartości przed cyfrą o większej wartości.

    W takim jednak przypadku od wartości większej liczby odejmujemy wartość mniejszej liczby.

    Przykłady:

    • IX  `->`   `10-1=9` 

    • CD  `->`   `500-100=400` 

  3. Gdy liczby (znaki) są ustawione od największej do najmniejszej to wówczas dodajemy ich wartości.

    Przykłady:

    • MMDCLVII  `->`   `1000+1000+500+100+50+5+1+1=2657`   

    • CXXVII  `->`   `100+10+10+5+1+1=127`   

 

Ciekawostka

System rzymski pochodzi od wysoko rozwiniętej cywilizacji Etrusków (ok. 500 r. p.n.e.).

Początkowo zapisywano liczby za pomocą pionowych kresek I, II, III, IIII, IIIII, ... .

Rzymianie przejęli cyfry od Etrusków i poddali je pewnym modyfikacjom oraz udoskonaleniom, co dało początki dzisiaj znanemu systemowi rzymskiemu.

Cyfr rzymskich używano na terenie imperium aż do jego upadku w V w. n.e.

W średniowieczu stały się standardowym systemem liczbowym całej łacińskiej Europy. Pod koniec tej epoki zaczęto coraz częściej używać cyfr arabskich, prostszych i wygodniejszych do obliczeń oraz zapisywania dużych liczb.

System rzymski stopniowo wychodził z codziennego użycia, chociaż do dziś jest powszechnie znany w Europie i stosowany do wielu celów.

Osie liczbowe

Oś liczbowa służy do przedstawienia danej nierówności w postaci graficznej. Wystarczy odczytać z nierówności, w jakim przedziale liczb znajduje się szukana niewiadoma.

Przykład:
  • $$7>x≥3$$
    os_liczbowa

Zamalowana kropka nad pozycją w układzie współrzędnym oznacza że dana liczba jeszcze znajduje się w tym przedziale liczb (np. $$x≤3$$ ). Natomiast pusta kropka oznacza, że dana liczba nie znajduje się już w tym przedziale (np. $$x < 7$$).

 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Znajdź trzy liczby, które są większe od $$2/5$$ i mniejsze od $$5/7$$.

$$2/5 < x < 5/7$$

$${14}/{35} < x < {25}/{35} $$

Odp.: Szukane liczby to np.: $${16}/{35}$$, $${21}/{35}$$, $${24}/{35}$$.

Zadanie 2.

Porównaj ułamki $$5/6$$ i $${11}/{13}$$ na dwa sposoby:

  1. Oblicz na kalkulatorze ich rozwinięcia dziesiętne i porównaj je.
  2. Sprowadź je do wspólnego mianownika i porównaj je.

$$ 5/6={65}/{78}=0,8(3) $$ $$ {11}/{13}={66}/{78}=0,(846153) $$

  1. rozwinięcia dziesiętne:
    $$ 0,8(3) < 0,(846153)$$
  2. po sprowadzeniu do wspólnego mianownika:
    $$ {65}/{78} < {66}/{78} $$

Zadanie 3.

  1. Podaj najmniejszą liczbę naturalną, która po zaokrągleniu do dziesiątek ma wartość 2840.
  2. Jaka jest największa liczba naturalna, która po zaokrągleniu do setek wynosi 1900?
  1. Najmniejsza taka liczba to 2835 bo $$2835≈2840$$, a $$2834≈2830$$.
     
  2. Największa taka liczba to 1949 bo $$1949≈1900$$, a $$1950≈2000. $$

Zadanie 4.

Liczbę 2 przedstaw jako:

  1. sumę dwóch różnych liczb dodatnich,
  2. sumę trzech różnych liczb dodatnich,
  3. iloczyn dwóch różnych liczb dodatnich,
  4. iloczyn dziesięciu różnych liczb dodatnich
  1. $$ 2=1+1 $$
  2. $$ 2=0,5+0,5+1 $$
  3. $$ 2=0,2×10 $$
  4. $$ 2=0,8×0,5×0,5×0,00001×10×10×10×10×10×10 $$

Zadanie 5.

Oblicz:

  1. $$2/3$$ godziny - ile to minut?
  2. $$7/{50}$$ kilometra - ile to metrów?
  3. $$0,02$$ kilograma - ile to gramów?
  1. $$ 2/3 h= 2/3×60 min=40 min $$
  2. $$ 7/{50} km=7/{50}×1000 m=140 m $$
  3. $$ 0,02 kg=0,02×1000 g=20 g $$

Zadanie 6.

Zawartość 24 butelek o pojemności 0,3 litra i 18 butelek o pojemności 0,25 litra przelano do zbiornika o pojemności 13,5 litra. Zawartość ilu butelek o pojemności 0,3 litra zmieści się jeszcze do zbiornika?

$$ 13,5-(24×0,3+18×0,25)=13,5-(7,2+4,5)=13,5-11,7=1,8 l $$ -> tyle zostało jeszcze miejsca w zbiorniku

$$ {1,8}/{0,3}=6 $$ -> zawartość tylu butelek zmieści się jeszcze w zbiorniku

Odp.: Zawartość 6 butelek o pojemności 0,3 litra zmieści się jeszcze w tym zbiorniku.
 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Uporządkuj jednomian.

`a)\ 3t*2s=3*2*s*t=6st`

`b)\ 9a*(-b)*4 1/2a=9*(-1)*4 1/2*a*a*b=-9*9/2*a^2b=-81/2a^2b`

`c)\ tat*ar*ak=a*a*a*k*r*t*t=a^3krt^2`

`d)\ -0,5s*m*1,6m=-0,5*1,6*m*m*s=-0,8m^2s`

Zapisz w zeszycie współrzędne punktów...

Współrzędne punktów R, S, T i U to:

`R=(-2, -3)` 

`S=(2,-3)` 

`T=(3, 2)` 

`U=(-3, 2)` 

Uprość wyrażenie a) 6(a+2b)-3(2a-3b)

a)   `7(b + c)-3(b + 2c)=7b+7c-3b-6c = 4b + c`

b)   `5(a + 3) + 2b-3(a + b) = 5a + 15 + 2b-3a-3b = 2a-b + 15`

c)   `6(3 +z)-4(2z +4) + 2(8 + z) = 18+6z-8z-16+16+2z = 18`

d)   `-4(2x-7-3y)-12(-y-x) = -8x+ 28 + 12y+ 12y + 12x = 4x+24y+28`

Spośród podanych liczb najbardziej oddalona na osi liczbowej...

Obliczamy odległości podanych liczb od liczby 2,5 na osi liczbowej. Aby obliczyć odległość między liczbami na osi liczbowej, wystarczy od większej liczby odjąć mniejszą liczbę.

 

`A.\ 2,5-(-3,6)=2,5+3,6=6,1`

`B.\ 2,5-(-3,4)=2,5+3,4=5,9`

`C.\ 3,7-2,5=1,2`

`D.\ 6,2-2,5=3,7`

 

 

`"Odp. A"`

Pan Wojciech miał pole o powierzchni 16 ha i 5 a...

`1 "ha"=10000 \ m^2` 

`1 \ "a"=100\ m^2` 

`"powierzchnia pola pana Wojciecha wynosi:"` 

`16 \ "ha" \ 5 \ "a"=160000 \ m^2 +500 \ m^2=160500=16,05 *10^4 \ m^2` 


`"obliczmy jaka powierzchnia pola została panu Wojciechowi po sprzedaży:"` 

`16,05*10^4-5,28*10^4=(16,05-5,28)*10^4=10,77*10^4 \ [m^2]=1077 \ [a]=10,77 \ [ha]` 




`"Odp. Po sprzedaży pole pana Wojciecha ma powierzchnię 1077 arów czyli 10,77 hektary."` 

W miejsce kropek wpisz ...

a)

Liczba sto razy większa ... 1014

`10^12*100=10^12*10^2=10^14`

Liczba milion razy mniejsza ... 1019

`10^25:1000000=10^25:10^6=10^19`

Tysięczna część liczby ... 107

`1/1000*10^10=1/(10^3)*10^10=(10^10)/(10^3)=10^7`

Połowa liczby 2106 to ... 2105

`1/2*2^106=2^106/2^1=2^105`

Jedna czwarta liczby ... 214

`1/4*2^16=1/2^2*2^16=2^16/2^2=2^14`

 

 

b)

1% liczby 109 to ... 107

`1%*10^9=1/100*10^9=1/10^2*10^9=10^9/10^2=10^7`

10% liczby 1017 to ... 1016

`10%*10^17=strike10^1/strike100^10*10^17=10^17/10=10^16`

1‰ liczby 1020 to ... 1017

`1%_0*10^20=1/1000*10^20=1/10^3*10^20=10^20/10^3=10^17`

50% liczby 2to ... 28

` ``50%*2^9=strike50^1/strike100^2*2^9=2^9/2=2^8`  

25% liczby 225 to ... 223

`25%*2^25=strike25^1/strike100^4*2^25=1/2^2*2^25=2^25/2^2=2^23`

Ile razy objętość sześcianu o krawędzi ...

Objętość sześcianu I o krawędzi długości 3a to:
`V_I=(3a)^3=3^3*a^3=27*a^3=27a^3` 


Objętość sześcianu II o krawędzi długości 3/2a to:
`V_(II)=(3/2a)^3=(3/2)^3*a^3=3^3/2^3*a^3=27/8*a^3=27/8a^3` 


Obliczamy, ile razy objętość sześcianu I jest większa od objętości sześcianu II. 
`V_I/V_(II)=(27strike(a^3))/(27/8strike(a^3))=27/(27/8)=strike27^1*8/strike27^1=8` 


Odpowiedź:
Objętość sześcianu I jest 8 razy większa od objętości sześcianu II.  

Napisz pięć różnych jednomianów mających współczynnik...

`"a)"\ -7xy,\ -7x^2, -7kmn,\ -7y^3z,\ -7g` 

`"b)"\ xyz,\ x^2y,\ x,\ ab^2c,\ 1` 

`"c)"\ 3/4x,\ 3/4xy^2,\ 3/4asd,\ 3/4p^2q^2,\ 3/4gh` 

`"d)"\ 0,85cd,\ 0,85k^2mn^2,\ 0,85ty,\ 0,85xz^4,\ 0,85we^6`      

Która z podanych liczb jest...

`a=sqrt(17^2)=17` 

`b=(2sqrt5)^2=2^2*(sqrt5)^2=4*5=20` 

`c=sqrt11*sqrt11=11` 

`d=sqrt(15*3*5)=sqrt(15*15)=15` 

 

Odp. C

Pokój ma wymiary 3,52 m x 3,97 m...

`3,52*3,97=13,9744\ "[m"^2]~~14,0\ "[m"^2]=14 \ "[m"^2]`