Graniastosłupy - 7-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Graniastosłupy - 7-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Prostopadłościan i sześcian

Prostopadłościan to figura przestrzenna, której kształt przypomina pudełko lub akwarium.

Prostopadłościan

  • Każda ściana prostopadłościanu jest prostokątem.

  • Każdy prostopadłościan ma 6 ścian, 8 wierzchołków i 12 krawędzi.

  • Dwie ściany mające wspólną krawędź nazywamy prostopadłymi.

  • Dwie ściany, które nie mają wspólnej krawędzi, nazywamy równoległymi.

  • Każda ściana jest prostopadła do czterech ścian oraz równoległa do jednej ściany.


Z każdego wierzchołka wychodzą trzy krawędzie – jedną nazywamy długością, drugą – szerokością, trzecią – wysokością prostopadłościanu i oznaczamy je odpowiednio literami a, b, c.

Długości tych krawędzi nazywamy wymiarami prostopadłościanu.

a – długość prostopadłościanu, b – szerokość prostopadłościanu, c - wysokość prostopadłościanu.


Prostopadłościan, którego wszystkie ściany są jednakowymi kwadratami nazywamy sześcianem.

Wszystkie krawędzie sześcianu mają jednakową długość.

kwadrat

a - długość krawędzi sześcianu

Graniastosłup prosty

Graniastosłup prosty to graniastosłup, którego ściany boczne są prostopadłe do dwóch identycznych podstaw.

Podstawy graniastosłupa prostego to przystające wielokąty. Są do siebie równoległe. 

Każda ściana boczna graniastosłupa prostego jest prostokątem.

Krawędzie boczne graniastosłupa prostego mają jednakową długość.

Z dowolnego wierzchołka graniastosłupa prostego wychodzą trzy krawędzie. Jedna z nich jest krawędzią boczną, a pozostałe krawędziami podstawy.

Krawędź boczna jest prostopadła do każdej krawędzi podstawy.


Przykłady:

  • Prostopadłościan

  • Sześcian

  • Graniastosłup trójkątny (podstawą jest trójkąt)

  • Graniastosłup pięciokątny (podstawą jest pięciokąt), itd.


Wysokość graniastosłupa – to odcinek łączący podstawy graniastosłupa i prostopadły do każdej z nich.

W przypadku graniastosłupa prostego wysokością jest krawędź boczna.

Wysokość graniastosłupa oznaczamy literą H.

Graniastosłup prawidłowy

Graniastosłup prawidłowy to graniastosłup prosty, którego podstawą jest wielokąt foremny.


Przypomnienie:

Wielokąt foremny to wielokąt, którego wszystkie kąty wewnętrzne mają równe miary i wszystkie boki mają taką samą długość, np. kwadrat, trójkąt równoboczny, pięciokąt foremny. 


W graniastosłupie prawidłowym: 

  • podstawy to przystające wielokąty 

  • ściany boczne to przystające prostokąty

Graniastosłup przyjmuje swoją nazwę od wielokąta, który jest jego podstawą.
 

Przykłady: 

Siatki graniastosłupów prostych

Po rozcięciu wzdłuż kilku krawędzi powierzchni dowolnego graniastosłupa i rozłożeniu go na powierzchnię płaską powstanie jego siatka.

Jest to wielokąt złożony z mniejszych wielokątów – ścian graniastosłupa.

Ten sam graniastosłup może mieć kilka siatek.
 

Przykłady:

 Siatka graniastosłupa

Pole powierzchni graniastosłupa

Pole powierzchni graniastosłupa to suma pól wszystkich jego ścian.

Pole powierzchni składa się z pola powierzchni bocznej czyli sumy pól wszystkich ścian bocznych oraz z dwóch pól powierzchni identycznych podstaw. 

`P_c=2P_p+P_b`  

`P_c \ \ \ ->`    pole powierzchni całkowitej graniastosłupa 

`P_p \ \ \ ->`    pole podstawy graniastosłupa 

`P_b \ \ \ ->`    pole powierzchni bocznej graniastosłupa


Z powyższego wzoru możemy wyprowadzić wzór na pole powierzchni prostopadłościanu oraz sześcianu. 

Prostopadłościan:

`P_c=2P_p+P_b` 

`P_p=a*b=ab` 

`P_b=2*a*c+2*b*c=2ac+2bc` 

Zatem: 

`P_c=2ab+2ac+2bc=2(ab+ac+bc)`  


Sześcian: 

Wszystkie krawędzie sześcianu mają jednakową długość.

Wszystkie ściany są przystającymi kwadratami. Jest ich 6. 

`P_c=2P_p+P_b`

`P_p=a*a=a^2`  

`P_b=4*a*a=4a^2` 

Zatem:

`P_c=2a^2+4a^2=6a^2` 

Jednostki objętości

Objętość podaje się w jednostkach sześciennych.

Podstawowe jednostki objętości to:

  • milimetr sześcienny (`"mm"^3`),

  • centymetr sześcienny (`"cm"^3`),

  • decymetr sześcienny (`"dm"^3`),

  • metr sześcienny (`"m"^3`). 


Objętość różnego rodzaju płynów wyraża się w: 

  • mililitrach,  `1 \ "ml"=1 \ "cm"^3` 

  • litrach,   `1 \ "l"=1 \ "dm"^3`   

    `1 \ "l"=1000 \ "ml"`  

  • hektolitrach,  `1 \ "hl"=100 \ "l"`  

 

Przeliczanie jednostek:

`1 \ "cm"=10 \ "mm"` 

Czyli: 

`1 \ "cm"^3=1 \ "cm"*1 \ "cm"*1 \ "cm"=10 \ "mm"*10 \ "mm"*10 \ "mm"=1000 \ "mm"^3` 
  

`1 \ "dm"=10 \ "cm"` 

Czyli: 

`1 \ "dm"^3=1 \ "dm"*1 \ "dm"*1 \ "dm"=10 \ "cm"*10 \ "cm"*10 \ "cm"=1000 \ "cm"^3`    


`1 \ "m"=100 \ "cm"` 

Czyli: 

`1 \ "m"^3=1 \ "m"*1 \ "m"*1 \ "m"=100 \ "cm"*100 \ "cm"*100 \ "cm"=1 \ 000 \ 000 \ "cm"^3`   


`1 \ "l"=1 \ "dm"^3=1000 \ "cm"^3=1000 \ "ml"`  


Analogicznie jak powyżej możemy przeliczyć również inne jednostki. 

Objętość graniastosłupa

Objętość graniastosłupa to iloczyn pola podstawy i wysokości tego graniastosłupa. 

`V=P_p*H` 

`V \ \ \ ->`   objętość graniastosłupa 

`P_p \ \ \ ->`   pole podstawy 

`H \ \ \ ->`    długość wysokości graniastosłupa    


Z powyższego wzoru możemy wyprowadzić wzór na objętość prostopadłościanu oraz sześcianu.

Prostopadłościan: 

`V=P_p*H` 

`P_p=a*b=ab` 

`H=c` 

Zatem: 

`V=ab*c=abc`     


Sześcian: 

`V=P_p*H`  

`P_p=a*a=a^2` 

`H=a` 

Zatem: 

`V=a^2*a=a^3`   

 

Odcinki w graniastosłupach

W graniastosłupach rozróżniamy 3 różne odcinki:

  • przekątną podstawy

  • przekątną ściany bocznej

  • przekątną graniastosłupa - odcinek łączący dwa wierzchołki graniastosłupa i niezawierający się w żadnej ścianie


Uwaga!!!

Graniastosłup trójkątny nie ma przekątnej podstawy i przekątnej graniastosłupa. Posiada on tylko przekątną ściany bocznej. 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Kierowca, gdy wyjeżdżał samochodem z Warszawy, miał ...

Kierowca przejechał 180 km i zużył 16,2 l benzyny.

Obliczamy, ile kilometrów przejechał kierowca na 1 litrze benzyny:{premium}

 

Kierowca zużywając 1 litr benzyny przejeżdża 11 1/9 km.

 

Początkowo w baku było 36 l benzyny.

Obliczamy, ile benzyny pozostało po przejechaniu 180 km:

 

Obliczamy, ile kilometrów przejedzie z pozostałą ilością benzyny:  

 

Odp: Pozostała część benzyny wystarczy na przejechanie 220 km.

Połącz strzałkami we właściwej kolejności poszczególne ...

Zapisujemy kolejne kroki. W takiej kolejności jak podano poniżej należy je połączyć. 


 {premium}


 


    

Patrycja oszczędza na własny tablet. Ma już 200 zł. Mama ...

Patrycja ma 200 zł.

Mama dołożyła jej 20% kwoty, jaką posiada Patrycja.

Obliczamy, ile pieniędzy otrzymała Patrycja od mamy:

  

Obliczamy, ile pieniędzy ma łącznie Patrycja: 

  

 

Z treści zadania wiemy, że 240 zł stanowi 25% ceny tabletu.

oznaczmy cenę tabletu jako x. Wówczas:

 

 

 

    

Cena tabletu wynosi więc 960 zł.

Obliczmy, ile pieniędzy brakuje Patrycji: 

 

 

Dziadkowie podarują Patrycji połowę brakującej kwoty, czyli:

 

Drugą połowę musi uzbierać Patrycja.

 

Odp: Patrycja musi uzbierać jeszcze 360 zł.

Która z podanych powierzchni jest ...

Zamieniamy jednostki podanych powierzchni na m2:

{premium}

 

ODP: D

Oblicz pola poniższych wielokątów.





 {premium}

 

 

Kąt przy podstawie trapezu równoramiennego, który nie jest ...

 

Dany jest trapez równoramienny ABCD oraz kąt przy podstawie AB o mierze 50°.

Wiemy także, że {premium}przekątna DB tworzy z ramieniem AD kąt o mierze 90°.

 

a) Korzystamy z faktu, że suma miar kątów w trójkącie jest równa 180 stopni.

W trójkącie ABD wyznaczamy miarę kąta α:

  

 

b) Trapez jest równoramienny, więc kąty leżące przy podstawie AB muszą mieć równą miarę wynoszącą 50°.

 

   

Oblicz:

{premium}

Wyznacz miarę kąta alfa

a) Suma miar kątów wewnętrznych trójkąta wynosi .

 

Miara kąta  wynosi 19o.   

{premium}
b) Trójkąt ten jest trójkątem równoramiennym, gdyż dwa kąty mają taką samą miarę. 

 

Miara kąta  wynosi 74o.   


c) Suma miar kątów w trójkącie wynosi . Obliczamy, ile wynosi miara trzeciego kąta tego trójkąta. 

Kąt  oraz kąt o mierze  to kąty przyległe. Suma ich miar wynosi .    

Miara kąta  wynosi 132o.  


d) Obliczamy miarę kąta przyległego do kąta 119°:

 Korzystając z tego, że suma miar kątów w trójkącie wynosi 180° obliczamy miarę kąta  :

Miara kąta  wynosi 47o.  

Sprzedawczyni na straganie miała n jajek

{premium}


Obliczamy, ile jajek pozostało sprzedawczyni. 


Odpowiedź: Sprzedawczyni pozostało
1/2n-6 jajek.  

Spośród 3 kart czerwonych...

Liczba możliwych wyników - w puli znajdują się 3 karty czerwone, 3 karty niebieskie, 5 kart białych:

 

 

Liczba interesujących nas wyników:  

Prawdopodobieństwo zajścia wynosi:  

Prawdopodobieństwo wylosowania karty niebieskiej:

 

 

  

Prawdopodobieństwo wylosowania karty czerwonej:

 

 

 

PRAWDA

Prawdopodobieństwo wylosowania karty białej:

 

 

Zauważmy, że:

 

FAŁSZ

Prawdopodobieństwo wylosowania karty zielonej jest zerowe, ponieważ w puli nie ma kart zerowych, czyli:

 

PRAWDA