Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Graniastosłupy - 7-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Prostopadłościan i sześcian

Prostopadłościan to figura przestrzenna, której kształt przypomina pudełko lub akwarium.

Prostopadłościan

  • Każda ściana prostopadłościanu jest prostokątem.

  • Każdy prostopadłościan ma 6 ścian, 8 wierzchołków i 12 krawędzi.

  • Dwie ściany mające wspólną krawędź nazywamy prostopadłymi.

  • Dwie ściany, które nie mają wspólnej krawędzi, nazywamy równoległymi.

  • Każda ściana jest prostopadła do czterech ścian oraz równoległa do jednej ściany.


Z każdego wierzchołka wychodzą trzy krawędzie – jedną nazywamy długością, drugą – szerokością, trzecią – wysokością prostopadłościanu i oznaczamy je odpowiednio literami a, b, c.

Długości tych krawędzi nazywamy wymiarami prostopadłościanu.

a – długość prostopadłościanu, b – szerokość prostopadłościanu, c - wysokość prostopadłościanu.


Prostopadłościan, którego wszystkie ściany są jednakowymi kwadratami nazywamy sześcianem.

Wszystkie krawędzie sześcianu mają jednakową długość.

kwadrat

a - długość krawędzi sześcianu

Graniastosłup prosty

Graniastosłup prosty to graniastosłup, którego ściany boczne są prostopadłe do dwóch identycznych podstaw.

Podstawy graniastosłupa prostego to przystające wielokąty. Są do siebie równoległe. 

Każda ściana boczna graniastosłupa prostego jest prostokątem.

Krawędzie boczne graniastosłupa prostego mają jednakową długość.

Z dowolnego wierzchołka graniastosłupa prostego wychodzą trzy krawędzie. Jedna z nich jest krawędzią boczną, a pozostałe krawędziami podstawy.

Krawędź boczna jest prostopadła do każdej krawędzi podstawy.


Przykłady:

  • Prostopadłościan

  • Sześcian

  • Graniastosłup trójkątny (podstawą jest trójkąt)

  • Graniastosłup pięciokątny (podstawą jest pięciokąt), itd.


Wysokość graniastosłupa – to odcinek łączący podstawy graniastosłupa i prostopadły do każdej z nich.

W przypadku graniastosłupa prostego wysokością jest krawędź boczna.

Wysokość graniastosłupa oznaczamy literą H.

Graniastosłup prawidłowy

Graniastosłup prawidłowy to graniastosłup prosty, którego podstawą jest wielokąt foremny.


Przypomnienie:

Wielokąt foremny to wielokąt, którego wszystkie kąty wewnętrzne mają równe miary i wszystkie boki mają taką samą długość, np. kwadrat, trójkąt równoboczny, pięciokąt foremny. 


W graniastosłupie prawidłowym: 

  • podstawy to przystające wielokąty 

  • ściany boczne to przystające prostokąty

Graniastosłup przyjmuje swoją nazwę od wielokąta, który jest jego podstawą.
 

Przykłady: 

Siatki graniastosłupów prostych

Po rozcięciu wzdłuż kilku krawędzi powierzchni dowolnego graniastosłupa i rozłożeniu go na powierzchnię płaską powstanie jego siatka.

Jest to wielokąt złożony z mniejszych wielokątów – ścian graniastosłupa.

Ten sam graniastosłup może mieć kilka siatek.
 

Przykłady:

 Siatka graniastosłupa

Pole powierzchni graniastosłupa

Pole powierzchni graniastosłupa to suma pól wszystkich jego ścian.

Pole powierzchni składa się z pola powierzchni bocznej czyli sumy pól wszystkich ścian bocznych oraz z dwóch pól powierzchni identycznych podstaw. 

`P_c=2P_p+P_b`  

`P_c \ \ \ ->`    pole powierzchni całkowitej graniastosłupa 

`P_p \ \ \ ->`    pole podstawy graniastosłupa 

`P_b \ \ \ ->`    pole powierzchni bocznej graniastosłupa


Z powyższego wzoru możemy wyprowadzić wzór na pole powierzchni prostopadłościanu oraz sześcianu. 

Prostopadłościan:

`P_c=2P_p+P_b` 

`P_p=a*b=ab` 

`P_b=2*a*c+2*b*c=2ac+2bc` 

Zatem: 

`P_c=2ab+2ac+2bc=2(ab+ac+bc)`  


Sześcian: 

Wszystkie krawędzie sześcianu mają jednakową długość.

Wszystkie ściany są przystającymi kwadratami. Jest ich 6. 

`P_c=2P_p+P_b`

`P_p=a*a=a^2`  

`P_b=4*a*a=4a^2` 

Zatem:

`P_c=2a^2+4^2=6a^2` 

Jednostki objętości

Objętość podaje się w jednostkach sześciennych.

Podstawowe jednostki objętości to:

  • milimetr sześcienny (`"mm"^3`),

  • centymetr sześcienny (`"cm"^3`),

  • decymetr sześcienny (`"dm"^3`),

  • metr sześcienny (`"m"^3`). 


Objętość różnego rodzaju płynów wyraża się w: 

  • mililitrach,  `1 \ "ml"=1 \ "cm"^3` 

  • litrach,   `1 \ "l"=1 \ "dm"^3`   

    `1 \ "l"=1000 \ "ml"`  

  • hektolitrach,  `1 \ "hl"=100 \ "l"`  

 

Przeliczanie jednostek:

`1 \ "cm"=10 \ "mm"` 

Czyli: 

`1 \ "cm"^3=1 \ "cm"*1 \ "cm"*1 \ "cm"=10 \ "mm"*10 \ "mm"*10 \ "mm"=1000 \ "mm"^3` 
  

`1 \ "dm"=10 \ "cm"` 

Czyli: 

`1 \ "dm"^3=1 \ "dm"*1 \ "dm"*1 \ "dm"=10 \ "cm"*10 \ "cm"*10 \ "cm"=1000 \ "cm"^3`    


`1 \ "m"=100 \ "cm"` 

Czyli: 

`1 \ "m"^3=1 \ "m"*1 \ "m"*1 \ "m"=100 \ "cm"*100 \ "cm"*100 \ "cm"=1 \ 000 \ 000 \ "cm"^3`   


`1 \ "l"=1 \ "dm"^3=1000 \ "cm"^3=1000 \ "ml"`  


Analogicznie jak powyżej możemy przeliczyć również inne jednostki. 

Objętość graniastosłupa

Objętość graniastosłupa to iloczyn pola podstawy i wysokości tego graniastosłupa. 

`V=P_p*H` 

`V \ \ \ ->`   objętość graniastosłupa 

`P_p \ \ \ ->`   pole podstawy 

`H \ \ \ ->`    długość wysokości graniastosłupa    


Z powyższego wzoru możemy wyprowadzić wzór na objętość prostopadłościanu oraz sześcianu.

Prostopadłościan: 

`V=P_p*H` 

`P_p=a*b=ab` 

`H=c` 

Zatem: 

`V=ab*c=abc`     


Sześcian: 

`V=P_p*H`  

`P_p=a*a=a^2` 

`H=a` 

Zatem: 

`V=a^2*a=a^3`   

 

Odcinki w graniastosłupach

W graniastosłupach rozróżniamy 3 różne odcinki:

  • przekątną podstawy

  • przekątną ściany bocznej

  • przekątną graniastosłupa - odcinek łączący dwa wierzchołki graniastosłupa i niezawierający się w żadnej ścianie


Uwaga!!!

Graniastosłup trójkątny nie ma przekątnej podstawy i przekątnej graniastosłupa. Posiada on tylko przekątną ściany bocznej. 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Średnia wieku rodziców i dwojga dzieci wynosi 20 lat. Jeżeli do rodziny...

Skoro średnia wieku rodziców i dwójki dzieci wynosi 20 to znaczy, że w sumie te cztery osoby mają 80 lat (20٠4=80)

zatem rodzice dzieci i dziadkowie maja w sumie:

`80+130=210`  lat

czyli średnia wieku tych sześciu osób wynosi:

`210/6=35` 

obliczmy, o ile średnia wieku tych sześciu osób jest większa od średniej wieku rodziców i dzieci:

`35-20=15` 



Odp. C

Jaka jest ostatnia cyfra liczby

`a)`

Zapiszmy kilka kolejnych potęg trójki:

`3^1=ul(ul(3))`

`3^2=3*3=ul(ul(9))`

`3^3=3*3*3=9*3=2ul(ul(7))`

`3^4=3*3*3*3=27*3=8ul(ul(1))`

`3^5=3*3*3*3*3=81*3=24ul(ul(3))`

`3^6=3*3*3*3*3*3=243*3=72ul(ul(9))`

 

Ogólnie warto zauważyć, że ostatnie cyfry to kolejno 3, 9, 7, 1, 3, 9, ... - mamy cztery możliwe "końcówki":

  • ostatnia cyfra to 3, gdy wykładnik potęgi jest równy 1, 5, 9, 13, itd, czyli gdy wykładnik potęgi przy dzieleniu przez 4 daje resztę 1
  • ostatnia cyfra to 9, gdy wykładnik potęgi jest równy 2, 6, 10, 14, itd, czyli gdy wykładnik potęgi przy dzieleniu przez 4 daje resztę 2
  • ostatnia cyfra to 7, gdy wykładnik potęgi jest równy 3, 7, 11, 15, itd, czyli gdy wykładnik potęgi przy dzieleniu przez 4 daje resztę 3
  • ostatnia cyfra to 1, gdy wykładnik potęgi jest równy 4, 8, 12, 16 itd, czyli gdy wykładnik potęgi jest liczbą podzielną przez 4

U nas wykładnikiem jest liczba 23, podzielmy ją przez 4:

`23:4=5\ r.\ 3`

Mając resztę korzystamy z tego, co zauważyliśmy i mamy odpowiedź:

`"Ostatnia cyfra liczby "3^23 " jest równa 7."`

 

 

`b)`

Podobnie jak poprzednio zapiszmy kilka kolejnych potęg czwórki:

`4^1=ul(ul(4))`

`4^2=4*4=1ul(ul(6))`

`4^3=4*4*4=16*4=6ul(ul(4))`

`4^4=4*4*4*4=64*4=25ul(ul(6))`

 

Tym razem widać, że jeśli wykładnik potęgi jest nieparzysty, to ostatnią cyfrą jest 4, natomiast jeśli wykładnik potęgi jest parzysty, to ostatnią cyfrą jest 6. Liczba 16 jest parzysta, zatem mamy odpowiedź:

`"Ostatnia cyfra liczby "4^16 " jest równa 6."`

 

`c)` 

Zapiszmy kilka kolejnych potęg dwójki:

`2^1=ul(ul(2))`

`2^2=2*2=ul(ul(4))`

`2^3=2*2*2=4*2=ul(ul(8))`

`2^4=2*2*2*2=8*2=1ul(ul(6))`

`2^5=2*2*2*2*2=16*2=3ul(ul(2))`

`2^6=2*2*2*2*2*2=32*2=6ul(ul(4))`

Ostatnie cyfry pojawiają się w kolejności 2, 4, 8, 6, 2, 4, itd. Zatem:

  • ostatnia cyfra to 2, gdy wykładnik potęgi jest równy 1, 5, 9, 13, itd, czyli gdy wykładnik potęgi przy dzieleniu przez 4 daje resztę 1 
  • ostatnia cyfra to 4, gdy wykładnik potęgi jest równy 2, 6, 10, 14, itd, czyli gdy wykładnik potęgi przy dzieleniu przez 4 daje resztę 2
  • ostatnia cyfra to 8, gdy wykładnik potęgi jest równy 3, 7, 11, 15, itd, czyli gdy wykładnik potęgi przy dzieleniu przez 4 daje resztę 3
  • ostatnia cyfra to 6, gdy wykładnik potęgi jest równy 4, 8, 12, 16 itd, czyli gdy wykładnik potęgi jest liczbą podzielną przez 4

 

U nas wykładnikiem jest liczba 127, podzielmy ją przez 4:

`127:4=31\ r.\ 3`

Mając resztę korzystamy z tego, co zauważyliśmy i mamy odpowiedź:

`"Ostatnia cyfra liczby "2^127 " jest równa 8."`

 

 

`d)` 

Zapiszmy kilka kolejnych potęg siódemki:

`7^1=ul(ul(7))`

`7^2=7*7=4ul(ul(9))`

`7^3=7*7*7=49*7=34ul(ul(3))`

`7^4=7*7*7*7=343*7=240ul(ul(1))`

`7^5=7*7*7*7*7=2401*7=1680ul(ul(7))`

`7^6=7*7*7*7*7*7=16807*7=11764ul(ul(9))`

Ostatnie cyfry pojawiają się w kolejności 7, 9, 3, 1, 7, itd. Zatem:

  • ostatnia cyfra to 7, gdy wykładnik potęgi jest równy 1, 5, 9, 13, itd, czyli gdy wykładnik potęgi przy dzieleniu przez 4 daje resztę 1 
  • ostatnia cyfra to 9, gdy wykładnik potęgi jest równy 2, 6, 10, 14, itd, czyli gdy wykładnik potęgi przy dzieleniu przez 4 daje resztę 2
  • ostatnia cyfra to 3, gdy wykładnik potęgi jest równy 3, 7, 11, 15, itd, czyli gdy wykładnik potęgi przy dzieleniu przez 4 daje resztę 3
  • ostatnia cyfra to 1, gdy wykładnik potęgi jest równy 4, 8, 12, 16 itd, czyli gdy wykładnik potęgi jest liczbą podzielną przez 4

 

U nas wykładnikiem jest liczba 50, podzielmy ją przez 4:

`50:4=12\ r.\ 2`

Mając resztę korzystamy z tego, co zauważyliśmy i mamy odpowiedź:

`"Ostatnia cyfra liczby "7^50 " jest równa 9."`

Załogę promu kosmicznego tworzy...

Niech y suma lat wszystkich z wyjątkiem kapitana, i x wiek kapitana. Mamy, że:

 

`y/5=36`

czyli:

 

`y=36*5`

`y=180`

Średnia wliczając kapitana to:

 

`(180+x)/6=37|*6`

`180+x=222|-180`

`x=222-180`

`x=42`


Odp. Kapitan ma 42 lata.

Pani Katarzyna wpłaciła łączną kwotę 17800 zł na dwie roczne lokaty...

`x` [zł]- kwota, którą pani Katarzyna wpłaciła na pierwszą lokatę (o oprocentowaniu `4%`)

`17800-x` [zł]- kwota, którą pani Katarzyna wpłaciła na drugą lokatę (o oprocentowaniu `5%` 

wiemy, że po roku po doliczeniu odsetek i odliczeniu podatku pani Katarzyna dysponowała kwotą `18448` [zł], zatem:

`x+x*4%-x*4%*19%+(17800-x)+(17800-x)*5%-(17800-x)*5%*19%=18448` 

`x+x*0,04-x*0,04*0,19+(17800-x)+(17800-x)*0,05-(17800-x)*0,05*0,19=18448` 

`1,04x-0,0076x+1,05(17800-x)-0,0095(17800-x)=18448` 

`1,0324x+1,0405(17800-x)=18448` 

`1,0324x+18520,9-1,0405x=18448` 

`-0,0081x+18520,9=18448 \ \ \ |-18520,9` 

`-0,0081x=-72,9 \ \ |*(-1)` 

`0,0081x=72,9 \ \ \ |*10000` 

`81x=729000 \ \ |:81` 

`x=9000` [zł]

`17800-9000=8800` [zł]

Odp. Pani Katarzyna wpłaciła na pierwszą lokatę 9000 zł, a na drugą 8800 zł.

Oblicz.

a) `root(3)(10000)/root(3)(10)=root(3)(10000/10)=root(3)(1000)=10` {premium}

b) `root(3)(320)*root(3)(0,2)=root(3)(320*0,2)=root(3)(64)=4` 

c) `root(3)(27)+root(3)(64)=3+4=7` 

d) `sqrt(root(3)(64))=sqrt4=2` 

W kantorze wisi poniższa informacja...

`4\ "dolary"\ \ \ \ \ -\ \ \ 3\ "euro"`

`x\ "dolarów"\ \ \ -\ \ \ 18\ "euro"`

 

`4/x=3/18`

`4/x=1/6`

`x=4*6=24`

Odp.: Za 18 euro można kupić 24 dolary. 

Przedstaw w postaci sumy algebraicznej.

`"a)"\ (a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3-strike(a^2b)+strike(ab^2)+strike(a^2b)-strike(ab^2)+b^3=a^3+b^3` 

`"b)"\ (a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3+strike(a^2b)+strike(ab^2)-strike(a^2b)-strike(ab^2)-b^3=a^3-b^3` 

`"c)"\ (a+b+c)^2=(a+b+c)(a+b+c)=a^2+ul(ab)+ul(ul(ac))+ul(ab)+b^2+ul(ul(ul(bc)))+ul(ul(ac))+ul(ul(ul(bc)))+c^2=` 

`\ \ \ =a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc` 

`"d)"\ (a+b)^3=(a+b)(a+b)(a+b)=(a^2+ab+ab+b^2)(a+b)=(a^2+2ab+b^2)(a+b)=` 

`\ \ \ =a^3+ul(a^2b)+ul(2a^2b)+ul(ul(2ab^2))+ul(ul(ab^2))+b^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3`       

Z dwóch sąsiednich wierzchołków ośmiokąta foremnego...

Rysunek pomocniczy:

Zauważmy, że przekątne ośmiokąta foremnego dzielą kąt pełny na `8` kątów o równej mierze. 

Obliczamy miarę jednego z nich: 

`alpha=360^@:8=45^@`    

Prawidłowa odpowiedź to `"C."` 

Ile jest liczb naturalnych:

a) Liczby naturalne dwucyfrowe

  • 10, 11, ..., 18, 19 - 10 liczb
  • 20, 21, ..., 28, 29 - 10 liczb
    .
    .
    .
  • 80, 81, ..., 88, 89 - 10 liczb
  • 90, 91, ..., 98, 99 - 10 liczb

Mamy 9 grup po 10 liczb, więc jest 9∙10=90 liczb natruralnych dwucyfrowych

 

{premium}

b) Liczby naturalne trzycyfrowe

  • 100, 101, ..., 198, 199 - 100 liczb
  • 200, 201, ..., 298, 299 - 100 liczb
    .
    .
    .
  • 800, 801, ..., 898, 899 - 100 liczb
  • 900, 901, ..., 998, 999 - 100 liczb

Mamy 9 grup po 100 liczb, więc jest 9∙100=900 liczb naturalnych trzycyfrowych

 

 

c) Liczby większe od 300 i jednocześnie mniejsze od 1000

Z podpunktu b) wiemy, że wszystkich liczb trzycyfrowych jest 900.

Wśród nich liczb niewiększych od 300 (czyli mniejszych albo równych 300) jest 201 (liczby od 100 do 299 - 200 liczb i jeszcze 300, razem 201 liczb). 

Zatem liczb większych od 300 i jednocześnie mniejszych od 1000 jest 900-201=699. 

Jest 699 liczb większych od 300 i jednocześnie mniejszych od 1000.

 

 

d) Liczby parzyste mniejsze od 333

  • 0, 2, 4, ..., 94, 96, 98 - 50 liczb 
  • 100, 102, ..., 194, 196, 198 - 50 liczb
  • 200, 202, ..., 294, 296, 298 - 50 liczb
  • 300, 302, ..., 17 liczb

Razem: 50+50+50+17=167 liczb

Jest 167 liczb parzystych mniejszych od 333.

 

 

e) Liczby trzycyfrowe podzielne przez 5:

  • 100, 105, 110, ..., 190, 195 - 20 liczb
  • 200, 205, ..., 290, 295 - 20 liczb
    .
    .
    .
  • 800, 805, ..., 890, 895 - 20 liczb
  • 900, 905, ..., 990, 995 - 20 liczb

Mamy 9 grup po 20 liczb, razem 9∙20=180 liczb.

Jest 180 liczb trzycyfrowych podzielnych przez 5.

Oblicz.

a) `sqrt2*sqrt8=sqrt92*8)=sqrt16=4` 

b) `sqrt(4,9)*sqrt10=sqrt(4,9*10)=sqrt(49)=7` 

c) `sqrt(225-144)=sqrt81=9` 

d) `(sqrt54)/(sqrt6)=sqrt(54/6)=sqrt9=3` {premium}

e) `sqrt12:sqrt(3/4)=sqrt(12:3/4)=sqrt(12*4/3)=sqrt(strike12^4*4/strike3^1)=sqrt(4*4)=sqrt16=4` 

f) `sqrt(0,09+0,16)=sqrt(0,25)=sqrt(25/100)=5/10=1/2` 

g) `sqrt(64*25)=sqrt64*sqrt25=8*5=40` 

h) `sqrt(0,36/0,81)=(sqrt0,36)/(sqrt0,81)=0,6/0,9=6/9=2/3`