Graniastosłupy - 7-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Prostopadłościan i sześcian

Prostopadłościan to figura przestrzenna, której kształt przypomina pudełko lub akwarium.

Prostopadłościan

  • Każda ściana prostopadłościanu jest prostokątem.

  • Każdy prostopadłościan ma 6 ścian, 8 wierzchołków i 12 krawędzi.

  • Dwie ściany mające wspólną krawędź nazywamy prostopadłymi.

  • Dwie ściany, które nie mają wspólnej krawędzi, nazywamy równoległymi.

  • Każda ściana jest prostopadła do czterech ścian oraz równoległa do jednej ściany.


Z każdego wierzchołka wychodzą trzy krawędzie – jedną nazywamy długością, drugą – szerokością, trzecią – wysokością prostopadłościanu i oznaczamy je odpowiednio literami a, b, c.

Długości tych krawędzi nazywamy wymiarami prostopadłościanu.

a – długość prostopadłościanu, b – szerokość prostopadłościanu, c - wysokość prostopadłościanu.


Prostopadłościan, którego wszystkie ściany są jednakowymi kwadratami nazywamy sześcianem.

Wszystkie krawędzie sześcianu mają jednakową długość.

kwadrat

a - długość krawędzi sześcianu

Graniastosłup prosty

Graniastosłup prosty to graniastosłup, którego ściany boczne są prostopadłe do dwóch identycznych podstaw.

Podstawy graniastosłupa prostego to przystające wielokąty. Są do siebie równoległe. 

Każda ściana boczna graniastosłupa prostego jest prostokątem.

Krawędzie boczne graniastosłupa prostego mają jednakową długość.

Z dowolnego wierzchołka graniastosłupa prostego wychodzą trzy krawędzie. Jedna z nich jest krawędzią boczną, a pozostałe krawędziami podstawy.

Krawędź boczna jest prostopadła do każdej krawędzi podstawy.


Przykłady:

  • Prostopadłościan

  • Sześcian

  • Graniastosłup trójkątny (podstawą jest trójkąt)

  • Graniastosłup pięciokątny (podstawą jest pięciokąt), itd.


Wysokość graniastosłupa – to odcinek łączący podstawy graniastosłupa i prostopadły do każdej z nich.

W przypadku graniastosłupa prostego wysokością jest krawędź boczna.

Wysokość graniastosłupa oznaczamy literą H.

Graniastosłup prawidłowy

Graniastosłup prawidłowy to graniastosłup prosty, którego podstawą jest wielokąt foremny.


Przypomnienie:

Wielokąt foremny to wielokąt, którego wszystkie kąty wewnętrzne mają równe miary i wszystkie boki mają taką samą długość, np. kwadrat, trójkąt równoboczny, pięciokąt foremny. 


W graniastosłupie prawidłowym: 

  • podstawy to przystające wielokąty 

  • ściany boczne to przystające prostokąty

Graniastosłup przyjmuje swoją nazwę od wielokąta, który jest jego podstawą.
 

Przykłady: 

Siatki graniastosłupów prostych

Po rozcięciu wzdłuż kilku krawędzi powierzchni dowolnego graniastosłupa i rozłożeniu go na powierzchnię płaską powstanie jego siatka.

Jest to wielokąt złożony z mniejszych wielokątów – ścian graniastosłupa.

Ten sam graniastosłup może mieć kilka siatek.
 

Przykłady:

 Siatka graniastosłupa

Pole powierzchni graniastosłupa

Pole powierzchni graniastosłupa to suma pól wszystkich jego ścian.

Pole powierzchni składa się z pola powierzchni bocznej czyli sumy pól wszystkich ścian bocznych oraz z dwóch pól powierzchni identycznych podstaw. 

`P_c=2P_p+P_b`  

`P_c \ \ \ ->`    pole powierzchni całkowitej graniastosłupa 

`P_p \ \ \ ->`    pole podstawy graniastosłupa 

`P_b \ \ \ ->`    pole powierzchni bocznej graniastosłupa


Z powyższego wzoru możemy wyprowadzić wzór na pole powierzchni prostopadłościanu oraz sześcianu. 

Prostopadłościan:

`P_c=2P_p+P_b` 

`P_p=a*b=ab` 

`P_b=2*a*c+2*b*c=2ac+2bc` 

Zatem: 

`P_c=2ab+2ac+2bc=2(ab+ac+bc)`  


Sześcian: 

Wszystkie krawędzie sześcianu mają jednakową długość.

Wszystkie ściany są przystającymi kwadratami. Jest ich 6. 

`P_c=2P_p+P_b`

`P_p=a*a=a^2`  

`P_b=4*a*a=4a^2` 

Zatem:

`P_c=2a^2+4a^2=6a^2` 

Jednostki objętości

Objętość podaje się w jednostkach sześciennych.

Podstawowe jednostki objętości to:

  • milimetr sześcienny (`"mm"^3`),

  • centymetr sześcienny (`"cm"^3`),

  • decymetr sześcienny (`"dm"^3`),

  • metr sześcienny (`"m"^3`). 


Objętość różnego rodzaju płynów wyraża się w: 

  • mililitrach,  `1 \ "ml"=1 \ "cm"^3` 

  • litrach,   `1 \ "l"=1 \ "dm"^3`   

    `1 \ "l"=1000 \ "ml"`  

  • hektolitrach,  `1 \ "hl"=100 \ "l"`  

 

Przeliczanie jednostek:

`1 \ "cm"=10 \ "mm"` 

Czyli: 

`1 \ "cm"^3=1 \ "cm"*1 \ "cm"*1 \ "cm"=10 \ "mm"*10 \ "mm"*10 \ "mm"=1000 \ "mm"^3` 
  

`1 \ "dm"=10 \ "cm"` 

Czyli: 

`1 \ "dm"^3=1 \ "dm"*1 \ "dm"*1 \ "dm"=10 \ "cm"*10 \ "cm"*10 \ "cm"=1000 \ "cm"^3`    


`1 \ "m"=100 \ "cm"` 

Czyli: 

`1 \ "m"^3=1 \ "m"*1 \ "m"*1 \ "m"=100 \ "cm"*100 \ "cm"*100 \ "cm"=1 \ 000 \ 000 \ "cm"^3`   


`1 \ "l"=1 \ "dm"^3=1000 \ "cm"^3=1000 \ "ml"`  


Analogicznie jak powyżej możemy przeliczyć również inne jednostki. 

Objętość graniastosłupa

Objętość graniastosłupa to iloczyn pola podstawy i wysokości tego graniastosłupa. 

`V=P_p*H` 

`V \ \ \ ->`   objętość graniastosłupa 

`P_p \ \ \ ->`   pole podstawy 

`H \ \ \ ->`    długość wysokości graniastosłupa    


Z powyższego wzoru możemy wyprowadzić wzór na objętość prostopadłościanu oraz sześcianu.

Prostopadłościan: 

`V=P_p*H` 

`P_p=a*b=ab` 

`H=c` 

Zatem: 

`V=ab*c=abc`     


Sześcian: 

`V=P_p*H`  

`P_p=a*a=a^2` 

`H=a` 

Zatem: 

`V=a^2*a=a^3`   

 

Odcinki w graniastosłupach

W graniastosłupach rozróżniamy 3 różne odcinki:

  • przekątną podstawy

  • przekątną ściany bocznej

  • przekątną graniastosłupa - odcinek łączący dwa wierzchołki graniastosłupa i niezawierający się w żadnej ścianie


Uwaga!!!

Graniastosłup trójkątny nie ma przekątnej podstawy i przekątnej graniastosłupa. Posiada on tylko przekątną ściany bocznej. 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Obwód trójkąta jest równy 50 cm...

Oznaczmy boki trójkąta jak na rysunku poniżej.

{premium}

Wiemy, że  

Przyjmijmy, że bok oznaczony jako  jest tym bokiem, którego długość stanowi  obwodu.

Wówczas  ma długość:

      

Wiedząc, że długość drugiego boku stanowi  obwodu, możemy ustalić, że długość trzeciego boku to

 

Czyli najdłuższy bok to  

Odp. Najdłuższy bok ma długość      

Objętość sześcianu...

 

 

 

 

Odp. Długość krawędzi tego sześcianu wynosi 4 cm.

Kąt przy podstawie trapezu równoramiennego, który nie jest ...

 

Dany jest trapez równoramienny ABCD oraz kąt przy podstawie AB o mierze 50°.

Wiemy także, że {premium}przekątna DB tworzy z ramieniem AD kąt o mierze 90°.

 

a) Korzystamy z faktu, że suma miar kątów w trójkącie jest równa 180 stopni.

W trójkącie ABD wyznaczamy miarę kąta α:

  

 

b) Trapez jest równoramienny, więc kąty leżące przy podstawie AB muszą mieć równą miarę wynoszącą 50°.

 

   

W trapezie kąt przy wierzchołku D ma miarę ...

ODP: C

 

Rysunek pomocniczy:

Przyjmujemy takie oznaczenia, jak na rysunku.

Kąty zewnętrzne trójkąta DCE zostały zaznaczone kolorem czerwonym.

Zauważmy że kąt  oraz kąt o mierze  są kątami wierzchołkowymi, czyli ich miary są równe:

 

Podobnie kąt  oraz kąt  są wierzchołkowe, czyli:

 

Wyznaczamy miary kątów w trójkącie DCE.

Kąt  oraz  są przyległe, więc suma ich miar wynosi , stąd:

 

Kąt  oraz kąt  są kątami przyległymi, więc:

 

Suma miar kątów wewnętrznych w trójkącie wynosi , więc:

 

 

 

             

Wyznaczamy miarę kąta zewnętrznego  :

 

Miary kątów zewnętrznych trójkąta DCE wynoszą , oraz .     



Po wyznaczeniu miar kątów zewnętrznych  oraz  możemy skorzystać z faktu, że

suma miar kątów zewnętrznych trójkąta jest równa  , wówczas:

 

Zastąp symbole możliwie największymi liczbami ...

 

 

Jeżeli w miejsce symbolu wpiszemy 6, to wynik odejmowania będzie{premium} liczba ujemną, czyli mniejszą od 0.

Gdybyśmy wstawili kolejną, większą liczbę całkowitą, czyli 7, to wynik odejmowania byłby już liczbą dodatnia.

 

 

 

 

 

Jeżeli w miejsce symbolu wpiszemy 3, to wynik odejmowania będzie liczba dodatnią, czyli większą od 0.

Gdybyśmy wstawili kolejną, większą liczbę całkowitą, czyli 4, to wynik odejmowania byłby już liczbą ujemną.

 

 

 

 

Jeżeli w miejsce symbolu wpiszemy 4, to wynik odejmowania będzie liczba ujemną, czyli mniejszą od 0.

Gdybyśmy wstawili kolejną, większą liczbę całkowitą, czyli 5, to wynik odejmowania byłby już liczbą dodatnią.

 

  

Gdybyśmy w miejsce symbolu wpisali liczbę dodatnią, to otrzymalibyśmy w wyniku także liczbę dodatnią.

Musimy więc wpisać liczbę ujemna.

Jeżeli w miejsce symbolu wpiszemy -8, to wynik odejmowania będzie liczba ujemną, czyli mniejszą od 0.

Gdybyśmy wstawili kolejną, większą liczbę całkowitą, czyli -7, to wynik odejmowania byłby już liczbą dodatnią.

Oblicz.

 

 

 

      

 

 

 

 

          

Oblicz.

 

 

 

 

 

   

Zapisz iloczyn w postaci potęgi.

 {premium}

 

    

 

 

 

Oblicz 20% wartości m

Najpierw obliczymy wartość m:

 

Teraz obliczamy 20% wartości m:

Najniższą, zanotowaną na stacji Wostok na Antarktydzie

Różnicę temperatur obliczamy odejmując od większej temperatury mniejszą temperaturę. 

`57,8-(-89,2)=57,8+89,2=147`


Odp. Różnica tych temperatur wynosiła 147 ºC.