Graniastosłupy - 7-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Prostopadłościan i sześcian

Prostopadłościan to figura przestrzenna, której kształt przypomina pudełko lub akwarium.

Prostopadłościan

  • Każda ściana prostopadłościanu jest prostokątem.

  • Każdy prostopadłościan ma 6 ścian, 8 wierzchołków i 12 krawędzi.

  • Dwie ściany mające wspólną krawędź nazywamy prostopadłymi.

  • Dwie ściany, które nie mają wspólnej krawędzi, nazywamy równoległymi.

  • Każda ściana jest prostopadła do czterech ścian oraz równoległa do jednej ściany.


Z każdego wierzchołka wychodzą trzy krawędzie – jedną nazywamy długością, drugą – szerokością, trzecią – wysokością prostopadłościanu i oznaczamy je odpowiednio literami a, b, c.

Długości tych krawędzi nazywamy wymiarami prostopadłościanu.

a – długość prostopadłościanu, b – szerokość prostopadłościanu, c - wysokość prostopadłościanu.


Prostopadłościan, którego wszystkie ściany są jednakowymi kwadratami nazywamy sześcianem.

Wszystkie krawędzie sześcianu mają jednakową długość.

kwadrat

a - długość krawędzi sześcianu

Graniastosłup prosty

Graniastosłup prosty to graniastosłup, którego ściany boczne są prostopadłe do dwóch identycznych podstaw.

Podstawy graniastosłupa prostego to przystające wielokąty. Są do siebie równoległe. 

Każda ściana boczna graniastosłupa prostego jest prostokątem.

Krawędzie boczne graniastosłupa prostego mają jednakową długość.

Z dowolnego wierzchołka graniastosłupa prostego wychodzą trzy krawędzie. Jedna z nich jest krawędzią boczną, a pozostałe krawędziami podstawy.

Krawędź boczna jest prostopadła do każdej krawędzi podstawy.


Przykłady:

  • Prostopadłościan

  • Sześcian

  • Graniastosłup trójkątny (podstawą jest trójkąt)

  • Graniastosłup pięciokątny (podstawą jest pięciokąt), itd.


Wysokość graniastosłupa – to odcinek łączący podstawy graniastosłupa i prostopadły do każdej z nich.

W przypadku graniastosłupa prostego wysokością jest krawędź boczna.

Wysokość graniastosłupa oznaczamy literą H.

Graniastosłup prawidłowy

Graniastosłup prawidłowy to graniastosłup prosty, którego podstawą jest wielokąt foremny.


Przypomnienie:

Wielokąt foremny to wielokąt, którego wszystkie kąty wewnętrzne mają równe miary i wszystkie boki mają taką samą długość, np. kwadrat, trójkąt równoboczny, pięciokąt foremny. 


W graniastosłupie prawidłowym: 

  • podstawy to przystające wielokąty 

  • ściany boczne to przystające prostokąty

Graniastosłup przyjmuje swoją nazwę od wielokąta, który jest jego podstawą.
 

Przykłady: 

Siatki graniastosłupów prostych

Po rozcięciu wzdłuż kilku krawędzi powierzchni dowolnego graniastosłupa i rozłożeniu go na powierzchnię płaską powstanie jego siatka.

Jest to wielokąt złożony z mniejszych wielokątów – ścian graniastosłupa.

Ten sam graniastosłup może mieć kilka siatek.
 

Przykłady:

 Siatka graniastosłupa

Pole powierzchni graniastosłupa

Pole powierzchni graniastosłupa to suma pól wszystkich jego ścian.

Pole powierzchni składa się z pola powierzchni bocznej czyli sumy pól wszystkich ścian bocznych oraz z dwóch pól powierzchni identycznych podstaw. 

`P_c=2P_p+P_b`  

`P_c \ \ \ ->`    pole powierzchni całkowitej graniastosłupa 

`P_p \ \ \ ->`    pole podstawy graniastosłupa 

`P_b \ \ \ ->`    pole powierzchni bocznej graniastosłupa


Z powyższego wzoru możemy wyprowadzić wzór na pole powierzchni prostopadłościanu oraz sześcianu. 

Prostopadłościan:

`P_c=2P_p+P_b` 

`P_p=a*b=ab` 

`P_b=2*a*c+2*b*c=2ac+2bc` 

Zatem: 

`P_c=2ab+2ac+2bc=2(ab+ac+bc)`  


Sześcian: 

Wszystkie krawędzie sześcianu mają jednakową długość.

Wszystkie ściany są przystającymi kwadratami. Jest ich 6. 

`P_c=2P_p+P_b`

`P_p=a*a=a^2`  

`P_b=4*a*a=4a^2` 

Zatem:

`P_c=2a^2+4a^2=6a^2` 

Jednostki objętości

Objętość podaje się w jednostkach sześciennych.

Podstawowe jednostki objętości to:

  • milimetr sześcienny (`"mm"^3`),

  • centymetr sześcienny (`"cm"^3`),

  • decymetr sześcienny (`"dm"^3`),

  • metr sześcienny (`"m"^3`). 


Objętość różnego rodzaju płynów wyraża się w: 

  • mililitrach,  `1 \ "ml"=1 \ "cm"^3` 

  • litrach,   `1 \ "l"=1 \ "dm"^3`   

    `1 \ "l"=1000 \ "ml"`  

  • hektolitrach,  `1 \ "hl"=100 \ "l"`  

 

Przeliczanie jednostek:

`1 \ "cm"=10 \ "mm"` 

Czyli: 

`1 \ "cm"^3=1 \ "cm"*1 \ "cm"*1 \ "cm"=10 \ "mm"*10 \ "mm"*10 \ "mm"=1000 \ "mm"^3` 
  

`1 \ "dm"=10 \ "cm"` 

Czyli: 

`1 \ "dm"^3=1 \ "dm"*1 \ "dm"*1 \ "dm"=10 \ "cm"*10 \ "cm"*10 \ "cm"=1000 \ "cm"^3`    


`1 \ "m"=100 \ "cm"` 

Czyli: 

`1 \ "m"^3=1 \ "m"*1 \ "m"*1 \ "m"=100 \ "cm"*100 \ "cm"*100 \ "cm"=1 \ 000 \ 000 \ "cm"^3`   


`1 \ "l"=1 \ "dm"^3=1000 \ "cm"^3=1000 \ "ml"`  


Analogicznie jak powyżej możemy przeliczyć również inne jednostki. 

Objętość graniastosłupa

Objętość graniastosłupa to iloczyn pola podstawy i wysokości tego graniastosłupa. 

`V=P_p*H` 

`V \ \ \ ->`   objętość graniastosłupa 

`P_p \ \ \ ->`   pole podstawy 

`H \ \ \ ->`    długość wysokości graniastosłupa    


Z powyższego wzoru możemy wyprowadzić wzór na objętość prostopadłościanu oraz sześcianu.

Prostopadłościan: 

`V=P_p*H` 

`P_p=a*b=ab` 

`H=c` 

Zatem: 

`V=ab*c=abc`     


Sześcian: 

`V=P_p*H`  

`P_p=a*a=a^2` 

`H=a` 

Zatem: 

`V=a^2*a=a^3`   

 

Odcinki w graniastosłupach

W graniastosłupach rozróżniamy 3 różne odcinki:

  • przekątną podstawy

  • przekątną ściany bocznej

  • przekątną graniastosłupa - odcinek łączący dwa wierzchołki graniastosłupa i niezawierający się w żadnej ścianie


Uwaga!!!

Graniastosłup trójkątny nie ma przekątnej podstawy i przekątnej graniastosłupa. Posiada on tylko przekątną ściany bocznej. 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Staś ma s lat...

Wiek Stasia: rownanie matematyczne {premium}

Wiek mamy: rownanie matematyczne 

Wiek taty: rownanie matematyczne 

 

Razem: rownanie matematyczne 

Wyznacz R z podanego wzoru.

Z każdego ze wzorów wyznaczamy R. 


`"a)" \ P=RI^2 \ \ \ \ \ \ \ \ |:I^2` 

rownanie matematyczne 
`ul(ul( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`  


`"b)" \ P=U^2/R \ \ \ \ \ \ \ |*R` 
`\ \ \ PR=U^2 \ \ \ \ \ \ \ \ |:P` 

`\ \ \ R=U^2/P` 
`ul(ul( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 


`"c)" \ F=(mv^2)/R \ \ \ \ \ \ \ \ |*R` 
`\ \ \ FR=mv^2 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |:F` 

rownanie matematyczne   

Podaj liczbę:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

{premium}


rownanie matematyczne 


rownanie matematyczne 

Złoto w wyrobach jubilerskich nie jest czyste ,ale z domieszką

x - wspólna miara każdej części stopu{premium}

1x - ilość miedzi

3x - ilość złota

x + 3x = 8

4x = 8

x = 2

 

rownanie matematyczne 2[g] - ilość miedzi 

rownanie matematyczne 6[g] - ilość złota

rownanie matematyczne 1: 3 - stosunek masy miedzi do masy złota 

 

Odp.: W pierścionku jest 6 g złota i 2 g miedzi.

Na podłodze wyłożonej kafelkami leży ...

Rysunek pomocniczy:

Przyjmijmy takie oznaczenia, jak na rysunku.

Niech prosta k symbolizuje{premium} kij.

Dorysowujemy prostą r równoległą do linii płytek oraz półprostą p prostopadłą do prostej r.

Kąt o mierze 28° oraz kąt ß są katami odpowiadającymi, więc mają równe miary:

rownanie matematyczne  

Kąty ß oraz γ są kątami wierzchołkowymi, więc ich miary także są równe:

rownanie matematyczne 

Zauważmy, że kąt α jest sumą kąta 90° oraz kąta γ.

Wyznaczamy miarę kąta α:

rownanie matematyczne 

 

ODP: D 

Podaj przybliżoną wartość...

Przybliżona wartość rownanie matematyczne wynosi :{premium}  

rownanie matematyczne   

Pani Maryla kupiła x kilogramów jabłek...

Obliczamy, ile pani Maryla zapłaciła za jabłka:

rownanie matematyczne 

Obliczamy, ile pani Maryla zapłaciła za gruszki:

rownanie matematyczne 

Obliczamy, ile pan Janusz zapłacił za jabłka:

rownanie matematyczne 

Obliczamy, ile pan Janusz zapłacił za gruszki:

rownanie matematyczne 

Obliczamy, ile pani Marysia zapłaciła w sumie:

rownanie matematyczne 

Obliczamy, ile pan Janusz zapłacił w sumie:

rownanie matematyczne 

Obliczamy, ile zapłacili razem:

rownanie matematyczne 

Obliczamy, o ile więcej zapłacił pan Janusz:

rownanie matematyczne  

Odp. Razem zapłacili rownanie matematycznePan Janusz zapłacił rownanie matematyczne więcej.  

 

Które z poniższych trójkątów mają takie same pola?

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne{premium}

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

 

 

Jednakowe pola mają trójkąty:

  • A, C oraz F
  • B i D
  • E i G oraz H 
Uzupełnij:

rownanie matematyczne 
     rownanie matematyczne 
     rownanie matematyczne {premium}
     rownanie matematyczne 
    rownanie matematyczne 


rownanie matematyczne 
     rownanie matematyczne 
     rownanie matematyczne 
      rownanie matematyczne 

Zamień ułamki zwykłe...

a) zrobione w książce

b) zrobione w książce

c) rownanie matematyczne 

d) rownanie matematyczne