Graniastosłupy - 7-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Graniastosłupy - 7-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Prostopadłościan i sześcian

Prostopadłościan to figura przestrzenna, której kształt przypomina pudełko lub akwarium.

Prostopadłościan

  • Każda ściana prostopadłościanu jest prostokątem.

  • Każdy prostopadłościan ma 6 ścian, 8 wierzchołków i 12 krawędzi.

  • Dwie ściany mające wspólną krawędź nazywamy prostopadłymi.

  • Dwie ściany, które nie mają wspólnej krawędzi, nazywamy równoległymi.

  • Każda ściana jest prostopadła do czterech ścian oraz równoległa do jednej ściany.


Z każdego wierzchołka wychodzą trzy krawędzie – jedną nazywamy długością, drugą – szerokością, trzecią – wysokością prostopadłościanu i oznaczamy je odpowiednio literami a, b, c.

Długości tych krawędzi nazywamy wymiarami prostopadłościanu.

a – długość prostopadłościanu, b – szerokość prostopadłościanu, c - wysokość prostopadłościanu.


Prostopadłościan, którego wszystkie ściany są jednakowymi kwadratami nazywamy sześcianem.

Wszystkie krawędzie sześcianu mają jednakową długość.

kwadrat

a - długość krawędzi sześcianu

Graniastosłup prosty

Graniastosłup prosty to graniastosłup, którego ściany boczne są prostopadłe do dwóch identycznych podstaw.

Podstawy graniastosłupa prostego to przystające wielokąty. Są do siebie równoległe. 

Każda ściana boczna graniastosłupa prostego jest prostokątem.

Krawędzie boczne graniastosłupa prostego mają jednakową długość.

Z dowolnego wierzchołka graniastosłupa prostego wychodzą trzy krawędzie. Jedna z nich jest krawędzią boczną, a pozostałe krawędziami podstawy.

Krawędź boczna jest prostopadła do każdej krawędzi podstawy.


Przykłady:

  • Prostopadłościan

  • Sześcian

  • Graniastosłup trójkątny (podstawą jest trójkąt)

  • Graniastosłup pięciokątny (podstawą jest pięciokąt), itd.


Wysokość graniastosłupa – to odcinek łączący podstawy graniastosłupa i prostopadły do każdej z nich.

W przypadku graniastosłupa prostego wysokością jest krawędź boczna.

Wysokość graniastosłupa oznaczamy literą H.

Graniastosłup prawidłowy

Graniastosłup prawidłowy to graniastosłup prosty, którego podstawą jest wielokąt foremny.


Przypomnienie:

Wielokąt foremny to wielokąt, którego wszystkie kąty wewnętrzne mają równe miary i wszystkie boki mają taką samą długość, np. kwadrat, trójkąt równoboczny, pięciokąt foremny. 


W graniastosłupie prawidłowym: 

  • podstawy to przystające wielokąty 

  • ściany boczne to przystające prostokąty

Graniastosłup przyjmuje swoją nazwę od wielokąta, który jest jego podstawą.
 

Przykłady: 

Siatki graniastosłupów prostych

Po rozcięciu wzdłuż kilku krawędzi powierzchni dowolnego graniastosłupa i rozłożeniu go na powierzchnię płaską powstanie jego siatka.

Jest to wielokąt złożony z mniejszych wielokątów – ścian graniastosłupa.

Ten sam graniastosłup może mieć kilka siatek.
 

Przykłady:

 Siatka graniastosłupa

Pole powierzchni graniastosłupa

Pole powierzchni graniastosłupa to suma pól wszystkich jego ścian.

Pole powierzchni składa się z pola powierzchni bocznej czyli sumy pól wszystkich ścian bocznych oraz z dwóch pól powierzchni identycznych podstaw. 

`P_c=2P_p+P_b`  

`P_c \ \ \ ->`    pole powierzchni całkowitej graniastosłupa 

`P_p \ \ \ ->`    pole podstawy graniastosłupa 

`P_b \ \ \ ->`    pole powierzchni bocznej graniastosłupa


Z powyższego wzoru możemy wyprowadzić wzór na pole powierzchni prostopadłościanu oraz sześcianu. 

Prostopadłościan:

`P_c=2P_p+P_b` 

`P_p=a*b=ab` 

`P_b=2*a*c+2*b*c=2ac+2bc` 

Zatem: 

`P_c=2ab+2ac+2bc=2(ab+ac+bc)`  


Sześcian: 

Wszystkie krawędzie sześcianu mają jednakową długość.

Wszystkie ściany są przystającymi kwadratami. Jest ich 6. 

`P_c=2P_p+P_b`

`P_p=a*a=a^2`  

`P_b=4*a*a=4a^2` 

Zatem:

`P_c=2a^2+4a^2=6a^2` 

Jednostki objętości

Objętość podaje się w jednostkach sześciennych.

Podstawowe jednostki objętości to:

  • milimetr sześcienny (`"mm"^3`),

  • centymetr sześcienny (`"cm"^3`),

  • decymetr sześcienny (`"dm"^3`),

  • metr sześcienny (`"m"^3`). 


Objętość różnego rodzaju płynów wyraża się w: 

  • mililitrach,  `1 \ "ml"=1 \ "cm"^3` 

  • litrach,   `1 \ "l"=1 \ "dm"^3`   

    `1 \ "l"=1000 \ "ml"`  

  • hektolitrach,  `1 \ "hl"=100 \ "l"`  

 

Przeliczanie jednostek:

`1 \ "cm"=10 \ "mm"` 

Czyli: 

`1 \ "cm"^3=1 \ "cm"*1 \ "cm"*1 \ "cm"=10 \ "mm"*10 \ "mm"*10 \ "mm"=1000 \ "mm"^3` 
  

`1 \ "dm"=10 \ "cm"` 

Czyli: 

`1 \ "dm"^3=1 \ "dm"*1 \ "dm"*1 \ "dm"=10 \ "cm"*10 \ "cm"*10 \ "cm"=1000 \ "cm"^3`    


`1 \ "m"=100 \ "cm"` 

Czyli: 

`1 \ "m"^3=1 \ "m"*1 \ "m"*1 \ "m"=100 \ "cm"*100 \ "cm"*100 \ "cm"=1 \ 000 \ 000 \ "cm"^3`   


`1 \ "l"=1 \ "dm"^3=1000 \ "cm"^3=1000 \ "ml"`  


Analogicznie jak powyżej możemy przeliczyć również inne jednostki. 

Objętość graniastosłupa

Objętość graniastosłupa to iloczyn pola podstawy i wysokości tego graniastosłupa. 

`V=P_p*H` 

`V \ \ \ ->`   objętość graniastosłupa 

`P_p \ \ \ ->`   pole podstawy 

`H \ \ \ ->`    długość wysokości graniastosłupa    


Z powyższego wzoru możemy wyprowadzić wzór na objętość prostopadłościanu oraz sześcianu.

Prostopadłościan: 

`V=P_p*H` 

`P_p=a*b=ab` 

`H=c` 

Zatem: 

`V=ab*c=abc`     


Sześcian: 

`V=P_p*H`  

`P_p=a*a=a^2` 

`H=a` 

Zatem: 

`V=a^2*a=a^3`   

 

Odcinki w graniastosłupach

W graniastosłupach rozróżniamy 3 różne odcinki:

  • przekątną podstawy

  • przekątną ściany bocznej

  • przekątną graniastosłupa - odcinek łączący dwa wierzchołki graniastosłupa i niezawierający się w żadnej ścianie


Uwaga!!!

Graniastosłup trójkątny nie ma przekątnej podstawy i przekątnej graniastosłupa. Posiada on tylko przekątną ściany bocznej. 

Spis treści

Rozwiązane zadania
W trójkącie ostrokątnym ABC, w którym ...

Trójkąt ABC jest trójkątem ostrokątnym równoramiennym, gdyż |AC|=|BC|. {premium}

Kąty leżące przy podstawie tego trójkąta mają równe miary, oznaczmy je .

 


Rozważmy teraz trójkąt ADB. 

Trójkąt ADB jest trójkątem prostokątnym, czyli jeden z jego kątów ma miarę 90o

Drugi kąt tego trójkąta ma miarę , gdyż jest to również kąt leżący przy podstawie trójkąta ABC.  

Trzeci kąt tego trójkąta ma więc miarę: 

  

Zauważmy, że w tym trójkącie przy boku AB leżą kąty o miarach  oraz .


Rozważmy teraz trójkąt BEA.

Trójkąt BEA jest trójkątem prostokątnym, czyli jeden z jego kątów ma miarę 90o

Drugi kąt tego trójkąta ma miarę , gdyż jest to również kąt leżący przy podstawie trójkąta ABC.  

Trzeci kąt tego trójkąta ma więc miarę: 

  

Zauważmy, że w tym trójkącie przy boku AB leżą kąty o miarach  oraz .


Zarówno w trójkącie ADB jak i w trójkącie BEA przy boku AB leżą kąty  oraz .

Na podstawie cechy kbk możemy stwierdzić, że trójkąty te są przystające.


Skoro trójkąty ADB i BEA są przystające, to ich odpowiednie boki mają równe długości.

Oznacza to, że  .    

Najniższy punkt na powierzchni Polski znajduje się w Raczkach...

a) 2499-(-2)=2499+2=2501{premium}

b) -408-(-2)=-408+2=-406

Dana jest siatka graniastosłupa prostego ...

Zauważmy, że wszystkie ściany są prostokątami o wymiarach 6 cm x 8 cm. {premium}

Każda z krawędzi podstaw ma długość 6 cm, ponieważ podstawą jest romb. Krawędzie boczne mają długość 8 cm. 


Obliczamy, ile wynosi pole powierzchni bocznej. 

 


Odpowiedź: Pole powierzchni bocznej wynosi 192 cm2.  

Podaj liczby odwrotne...

  

{premium}   

  

  

  

  

Pole trapezu równoramiennego ...

Podstawy trapezu mają długość 4 cm i 8 cm. Pole tego trapezu wynosi 36 cm2

Obliczamy, ile wynosi długość wysokości tego trapezu. {premium}

 

 

 

 

Wysokość trapezu ma długość 6 cm. 

   

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczamy, ile wynosi długość przeciwprostokątnej powstałego trójkąta prostokątnego. 

 

 

 

 

Ramię trapezu ma długość 2√10 cm. 

 

Ramię trapezu ma długość około 63 mm.  


Gdyby powstały trójkąt był trójkątem o kątach 30o, 60o i 90o to ramię trapezu miałoby długość .    

Długość ramienia trapezu nie wynosi 4 cm, czyli nie jest to trójkąt o kątach 30o, 60o i 90o.

Oznacza to, że miara kąta między ramieniem trapezu i dłuższa podstawą nie wynosi 60o

 

Kąt między ramieniem trapezu a jego dłuższą podstawą ma miarę 60o P F
Ramię trapezu ma długość 2√10 cm.  P F
Ramię trapezu ma długość około 63 mm. P F

 

Działkę o powierzchni 1500 m^2 podzielono na dwie części

Korzystając z informacji o stosunku pól powstałych części możemy oznaczyć pole pierwszej z nich jako 2x, natomiast pole drugiej z nich jako 3x. 

 

{premium}

 

Trzej bracia: Abel, Babel i Kabel...

Abel ma:  {premium}  

Babel ma:  

Kabel ma:  

Oszacuj wartość podanych liczb z dokładnością do jedności.

 

{premium}  

 

 

 

 

Wśród podanych jednomianów wskaż pary...

Jednomiany  i  są przeciwne, bo{premium}
    

Jednomiany  i  są przeciwne, bo

      

Zamień ułamek dziesiętny na ułamek zwykły nieskracalny...

{premium}