Figury geometryczne - 7-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

​proste i odcinki

Najprostszymi figurami geometrycznymi na płaszczyźnie są proste, półproste i odcinki.

  • Prosta

    prosta
  • Półprosta

    polprosta
  • Odcinek

    odcinek

Gdy dwie proste przecinają się pod kątem prostym mówimy że to proste prostopadłe.

Gdy proste nie przecinają się mówimy że to proste równoległe.
 

Kąty

Dwie półproste, które wychodzą z jednego wierzchołka tworzą kąt. Półproste te nazywamy ramionami kąta. Miary kątów podajemy w stopniach (°). Wyróżniamy kilka rodzajów kątów:

  Zobacz w programie GeoGebra
  1. Kąt prosty- ma miarę 90°.

    prosty
  2. Kąt półpełny- ma miarę 180°.

    pólpełny
  3. Kąt pełny- ma miarę 360°.

    pelny
  4. Kąt ostry- ma miarę mniejszą od 90°.

    ostry
  5. Kąt rozwarty- ma miarę większą od 90° i mniejszą od 180°.

    rozwarty
  6. Kąt wklęsły- ma miarę większą od 180° i mniejsza niż 360°.

    wklesly

Istnieje również kilka zależności między dwoma kątami:

  1. kąty przyległe- suma ich miar wynosi 180°

    przylegle
  2. kąty wierzchołkowe- mają takie same miary.

    wierzcholkowe
  3. kąty odpowiadające- mają takie same miary.°

    odpowiadajace
  4. kąty naprzemianległe- mają takie same miary.

    naprzemianlegle

Trójkąty

Trójkąty dzielimy na: ostrokątne, prostokątne, rozwartokątne, równoboczne i równoramienne.

  Zobacz w programie GeoGebra
  • Suma kątów w dowolnym trójkącie jest równa 180°.

  • Boki dowolnego trójkąta muszą spełniać poniższe równości:

    1. $$ c < a+b  $$
    2. $$ b < a+c $$
    3. $$ a < b+c $$
    trojkat
  • W trójkącie równoramiennym boki przy podstawie mają równe miary.

    anxyhr

  • Wzór na pole trójkąta: $$ P=1/2×a×h $$.

    pole-trojkata

Przystawanie trójkątów

Trójkąty są przystające:

  1. Jeżeli długości wszystkich boków jednego trójkąta są takie same jak drugiego. (taką cechę nazywamy bbb (bok, bok, bok)
  2. Jeżeli długości dwóch boków jednego trójkąt i kąt miedzy nimi jest taki sam jak w drugim trójkącie. (taką cechę nazywamy bkb (bok, kąt, bok)
  3. Jeżeli długość boku jednego trójkąta i dwa kąty przy tym boku są takie same jak w drugim trójkącie. (taką cechę nazywamy kbk (kąt, bok, kąt)

Trapez

Trapez – czworokąt mający przynajmniej jedną parę równoległych boków nazywanych podstawami, pozostałe noszą nazwę ramion; odległość między podstawami to wysokość.

  Zobacz w programie GeoGebra

Suma miar kątów przy jednym ramieniu wynosi 180°.

trapez
 

Wzór na pole trapezu: $$ P={(a+b)×h}/2$$ .

pole-trapezu

Równoległobok

Przekątne równoległoboku przecinają się w połowie. Suma miar kątów przy jednym boku wynosi 180°.

  Zobacz w programie GeoGebra

rownoleglobok

Wzór na pole równoległoboku: $$P=a×h$$.

Romb

Romb ma wszystkie boki równej długości. Przekątne przecinają się w połowie i pod kątem prostym. Suma miar kątów przy jednym boku wynosi 180°.

  Zobacz w programie GeoGebra

Wzory na pole rombu:

  1. $$P=a×h$$
  2. $$P=1/2×d_1×d_2 $$
romb
 

Prostokąt

Przekątne są równej długości i przecinają się w połowie. Każdy kąt wewnętrzny jest równy 90°.

  Zobacz w programie GeoGebra

Wzór na pole prostokąta $$P=a×b$$.

prostokat
 

Kwadrat

W kwadracie wszystkie boki są jednakowej długości. Wszystkie kąty wewnętrzne są równe 90°. Przekątne mają jednakowe długości, przecinają się w połowie i są prostopadłe.

  Zobacz w programie GeoGebra

Wzory na pole kwadratu:

  1. $$P=a×a=a^2$$
  2. $$P=1/2×d×d={d^2}/2 $$
a - bok kwadratu
d - przekątna kwadratu

kwadrat

Jednostki pola

Pola powierzchni figur na płaszczyźnie podaje się w jednostkach kwadratowych. Podstawowe jednostki to: milimetr kwadratowy ($$ mm^2$$ ), centymetr kwadratowy ($$ cm^2$$ ), decymetr kwadratowy ($$dm^2$$), metr kwadratowy ($$ m^2$$ ), ar (a), hektar (ha) i kilometr kwadratowy ($$ km^2$$ ).


Przeliczanie jednostek:
$$ 1 cm^2 = 0,000 1 m^2$$
$$ 1 dm^2 = 0,01 m^2$$
$$ 1 m^2 = 10000 cm^2 = 0,01 a $$
$$ 1 a = 100 m^2$$
$$ 1 ha = 100 a = 10 000 m^2$$
$$ 1 km^2 = 1 000 000 m^2$$


 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Czy boki trójkąta mogą mieć podane niżej długości?

  1. 2 cm, 3 cm i 4 cm
  2. 1 cm, 2 cm i 3 cm
  3. 2 cm, 2 cm i 3 cm

Aby trójkąt mógł istnieć, długości jego boków muszą spełniać nierówności: $$a+b$$ > $$c$$.

  1. mogą być, bo spełniają nierówności
  2. nie mogą być, bo nie spełniają nierówności
  3. mogą być, bo spełniają nierówności

Zadanie 2.

Czy kąty w trójkącie mogą mieć podane niżej miary?

  1. $$ 12°, 15°$$ i $$153° $$
  2. $$ 35°, 55°$$ i $$75° $$
  3. $$ 1°, 1°$$ i $$178° $$

Suma miar kątów w trójkącie musi wynosić 180°.

  1. $$ 12°+15°+153°=180° $$ -> mogą być takie miary kątów
  2. $$ 35°+55°+75°=165°$$ -> nie mogą być takie miary kątów
  3. $$ 1°+1°+178°=180°$$ -> mogą być takie miary kątów

Zadanie 3.

Odpowiedz na pytania:

  1. Czy dwa wielokąty, których odpowiednie kąty mają takie same miary, muszą być przystające?
  2. Czy dwa wielokąty, których odpowiednie boki mają zawsze takie same długości, muszą być przystające?
  1. Nie muszą, ponieważ mogą mieć inne długości odpowiednich boków.
  2. Nie, ponieważ wielokąt wklęsły i wypukły mogą mieć takie same długości, ale nie będą wtedy przystające.

Zadanie 4.

Podstawami piramid Cheopsa w Egipcie i piramidy słońca w Meksyku są kwadraty o bokach długości odpowiednio 230 m i 225 m. Oblicz różnicę pól powierzchni zajmowanych przez te piramidy.

Pole 1 -> $$ 230^2=52900 m^2 $$

Pole 2 -> $$ 225^2=50625 m^2 $$

Różnica -> $$ 52900-50625=2275 m^2 $$

Odp.: Różnica pól powierzchni zajmowanych przez te piramidy wynosi $$ 2275 m^2 $$ .

Zadanie 5.

Trzy boki trapezu równoramiennego mają długość 10 cm, wysokość trapezu wynosi 8 cm, a jego pole wynosi 128 $$cm^2$$. Oblicz obwód tego trapezu.

Jeżeli trzy boki mają 10 cm to dwa z nich muszą być ramionami, a trzeci będzie jedną podstawą.

$$ {(a+b)h}/2=128 cm^2$$

$${(a+10)×8}/2=128 $$

$$ a+10=32 $$

$$a=22$$ cm -> $$Obw=22 cm+10 cm+10 cm+10 cm=52 cm $$

Odp.: Obwód tego trapezu jest równy $$52$$ cm.

Zadanie 6.

Pole równoległoboku jest równe 120cm2. Jeden z boków ma długość 5 cm, a jedna z wysokości długość 4cm. Oblicz długości pozostałych boków i wysokości tego równoległoboku.

Każdy równoległobok ma dwie pary takich samych boków i dwie pary wysokości o równych długościach. Pole równoległoboku oblicza się ze wzoru $$P=ah $$.

Jedna para boków ($$a_1$$) i wysokości na nie padające ($$h_1$$):

$$P=a_1 h_1$$

$$120=5×h_1$$

$$h_1=24 cm$$

Druga para boków ($$a_2$$) i wysokości na nie padające ($$h_2$$):

$$P=a_2 h_2 $$

$$120=a_2×4 $$

$$a_2=30$$ cm

Odp: Długości boków równoległoboku to 5 cm i 30 cm, a wysokości to 4 cm i 24 cm.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Zmieszano 20 g 30-procentowego roztworu...

Obliczmy ile jest soli w pierwszym roztworze.

`30%*20=30/100*20=30/strike100^5*strike20^1=30/5*1=6` 

 

Obliczmy ile jest soli w drugim roztworze.

`50%*60=50/100*60=strike50^1/strike100^2*60=1/2*60=60/2=30` 

 

W pierwszym roztworze jest 6 g soli, a w drugim roztworze 30 g soli.

Po zmieszaniu otrzymujemy 36 g soli.

Pierwszy roztwór ma 20 g, a drugi roztwór ma 60 g.

Po zmieszaniu cały roztwór ma 80 g.

`36/80=strike36^9/strike80^20=9/20=45/100=45%` 

 

Odp. Otrzymana mieszanina ma stężenie 45%.

 

 

Liczba 2 jest wynikiem działania

ODP: D

 

`"A.\ 4,2:2 4/5=4,2:2,8ne2`

`"B".\ 1,6*2 4/5=16/10*14/10ne2`

`"C".\ 3,4:5 2/3=34/10:17/3=strike34^2/10*3/strike17^1ne2`

`"D".\ 10/23*4,6=46/23=2`

Wskaż zdania prawdziwe.

Zdania prawdziwe to A i B.


Zdanie C jest nieprawdziwe, gdyż półprosta ma początek i jest nim punkt, lecz nie ma końca.
Zdanie D jest nieprawdziwe, gdyż odcinki równoległe mogą leżeć na jednej prostej. 
Zdanie E jest nieprawdziwe, gdyż odcinki prostopadłe nie muszą się przecinać, najważniejsze by był pomiędzy nimi kąt prosty. 

Uzasadnij, że różnica...

Liczbę trzycyfrową możemy zapisać jako `100x+10y+z` , gdzie `x`  oznacza cyfrę setek, `y`  cyfrę dziesiątek, a `z`  cyfrę jedności.

Liczbę, którą otrzymamy po przestawieniu zapiszemy `100z+10y+x` 

Obliczmy różnicę tych liczb.

`100x+10y+z-(100z+10y+x)=100x+10y+z-100z-10y-x=99x-99z` 

`99x-99z=9(11x-11z)` 

 

Liczba ta jest podzielna przez 9, ponieważ możemy ją zapisać jako iloczyn 9 i innej liczby.

Na rysunku przedstawiono figury...

Figura `"I"` składa się z `21` kratek, a figura `"II"` z `20.` 

Większe pole ma figura `"A. I".`  

Obwód figur `"I"` wynosi `20,` a obwód figury `"II"` jest równy `26.` 

Obliczamy różnicę między obwodami:

`26-20=6` 

Różnica między obwodami tych figur wynosi `"C."\ 6.`     

Narysuj trzy proste k, l, m tak, aby ...

Rysujemy proste `k`, `l` oraz `m`, spełniające warunek:

`l_|_k\ \ \ "oraz"\ \ \ m_|_l` 

Możemy wywnioskować, że proste `m` i `k` są równoległe.

Krótsza przekątna deltoidu dzieli go na dwa ...

Rysunek pomocniczy:

Krótsza przekątna podzieliła deltoid na dwa trójkąty.

Jeden z tych trójkątów jest równoboczny, stąd:

`alpha=60^@`  

Miara najmniejszego z kątów deltoidu jest równa `34^@`.

Zauważmy, że kąt ten jest kątem pomiędzy ramionami w trójkącie równoramiennym. 

Wyznaczamy miary kątów przy podstawie, czyli kątów `beta` :

`beta=(180^@-34^@):2=146^@:2=73^@` 

Zauważmy, że kąty rozwarte leżące na przeciwko siebie mają taką samą miarę, więc:

`gamma=alpha+beta=60^@+73^@=133^@` 

 

Odp: Miary kątów wewnętrznych deltoidu są równe `34^@`, `60^@`, `133^@` oraz `133^@`.    

Które wyrażenia są równe?

A. `-(4-x-3)=-4+x+3=-1+x` 

B. `-(1+x+5)=-1-x-5=-6-x` 

C. `-(x-1-6)=-x+1+6=-x+7` 

D. `-(5+x-2)=-5-x+2=-3-x` 

 

I. C

II. B

III. A

IV. D

Narysuj dwie półproste tak, aby ich część wspólna ...

Określ dla jakich wartości...

a) Dla `y=0` , ponieważ dzielenie przez zero jest niewykonalne.

b) Dla `y=0` , ponieważ dzielenie przez zero jest niewykonalne.

c) Dla `y=5` , ponieważ mianownik ułamka nie może być równy zero. 

d) Dla `y=-3` , ponieważ mianownik ułamka nie może być równy zero.