Figury geometryczne - 7-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Proste i odcinki

Podstawowymi figurami geometrycznymi na płaszczyźnie są prosta, półprosta i odcinek.

  • Prosta

  • Półprosta

  • Odcinek



Dwie proste mogą się przecinać lub nie mieć punktów wspólnych. 

Gdy dwie proste przecinają się pod kątem prostym mówimy, że są to proste prostopadłe.

Gdy proste nie mają punktów wspólnych (nie przecinają się) mówimy, że są to proste równoległe.




Uwaga!!! 

Prosta jest równoległa sama do siebie. 

Kąty

Dwie półproste, które mają wspólny początek dzielą płaszczyznę na dwie części. Półproste te z każdą z tych części tworzą kąt.

Półproste nazywamy ramionami kąta. Miary kątów podajemy w stopniach (°).


Wyróżniamy kilka rodzajów kątów:

  1. Kąt prosty - ma miarę 90°

    prosty
  2. Kąt półpełny - ma miarę 180°

  3. Kąt pełny - ma miarę 360°

  4. Kąt ostry - ma miarę mniejszą niż 90°

    ostry
  5. Kąt rozwarty - ma miarę większą niż 90° i mniejszą niż 180°

    rozwarty
  6. Kąt wklęsły - ma miarę większą niż 180° i mniejszą niż 360°

    wklesly



Istnieje również kilka zależności między dwoma kątami:

  1. Kąty przyległe - suma ich miar wynosi 180°

    przylegle
  2. Kąty wierzchołkowe - mają takie same miary

    wierzcholkowe
  3. Kąty odpowiadające - mają takie same miary

    odpowiadajace
  4. Kąty naprzemianległe - mają takie same miary

    naprzemianlegle

Trójkąty

Trójkąty dzielimy na:

  • ostrokątne (wszystkie kąty trójkąta są kątami ostrymi),

  • prostokątne (jeden z kątów trójkąta jest kątem prostym),

  • rozwartokątne (jeden z kątów trójkąta jest kątem rozwartym),

  • równoboczne (wszystkie boki trójkąta mają taką samą długość),

  • równoramienne (dwa boki - ramiona, mają taką samą długość), 

  • różnoboczne (każdy bok trójkąta ma inną długość).


Suma miar kątów w dowolnym trójkącie jest równa 180°.

Nierówność trójkąta:

Boki dowolnego trójkąta muszą spełniać poniższe nierówności:

  1. `a+b \ > \ c` 

  2. `a+c \ > \ b` 

  3. `b+c \ > \ a`   

trojkat

Aby stwierdzić, czy z trzech odcinków można zbudować trójkąt wystarczy sprawdzić, czy suma długości dwóch krótszych odcinków jest większa od długości najdłuższego odcinka.


Trójkąt równoramienny

W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie mają równe miary, a ramiona mają taką samą długość. 


Trójkąt równoboczny: 

W trójkącie równobocznym wszystkie kąty mają równe miary wynoszące 60o, a boki mają równe długości. 


Trójkąt prostokątny: 

 

Pole trójkąta: 

Pole trójkąta obliczamy ze wzoru:

`P=(a*h)/2` 

`a`   - długość boku

`h`   - długość wysokości opuszczonej na ten bok

Przystawanie trójkątów

Trójkąty są przystające:

  1. Jeżeli boki jednego trójkąta mają takie same długości jak odpowiednie boki drugiego trójkąta.
    Taką cechę nazywamy bbb (bok, bok, bok). 
  2. Jeżeli dwa boki jednego trójkąta mają takie same długości jak odpowiednie boki drugiego trójkąta oraz kąty między tymi bokami mają równe miary.
    Taką cechę nazywamy bkb (bok, kąt, bok). 


  3. Jeżeli długość boku jednego trójkąta jest taka sama jak długość boku drugiego trójkąta oraz kąty leżące przy tych bokach mają równe miary. 
    Taką cechę nazywamy kbk (kąt, bok, kąt). 

Trapez

W dowolnym czworokącie (trapez, równoległobok, romb, prostokąt, kwadrat) suma miar kątów wewnętrznych wynosi 360°


W trapezie: 

  • występuje co najmniej jedna para boków równoległych, nazywamy je podstawami; pozostałe boki to ramiona

  • suma miar kątów leżących przy jednym ramieniu wynosi 180°

trapez


Rodzaje trapezów: 

  • trapez równoramienny - ramiona mają jednakowe długości, kąty leżące przy danej podstawie mają równe miary

  • trapez prostokątny - co najmniej jeden z kątów wewnętrznych jest kątem prostym

     

Wzór na pole trapezu

`P=((a+b)*h)/2` 

`a, b`  - długości podstaw trapezu

`h` - długość wysokości trapezu  

Równoległobok

W równoległoboku: 

  • przeciwległe boki mają równe długości i są do siebie równoległe

  • przeciwległe kąty mają równe miary 

  • suma miar kątów leżących przy jednym boku wynosi 180°

  • przekątne przecinają się w połowie


Wzór na pole równoległoboku: 

`P=a*h` 

`a`  - długość boku równoległoboku

`h`  - długość wysokości opuszczonej na ten bok  

Romb

W rombie: 

  • wszystkie boki mają równe długości

  • przeciwległe kąty mają równe miary 

  • suma miar kątów przy jednym boku wynosi 180°

  • przekątne przecinają się w połowie i pod kątem prostym

Wzór na pole rombu:

`P=(e*f)/2` 

`e, f`  - długości przekątnych rombu 


Uwaga!

Każdy romb jest równoległobokiem.

Obliczając pole rombu może więc korzystać ze wzoru na pole równoległoboku. 

Prostokąt

W prostokącie: 

  • przeciwległe boki mają równe długości

  • wszystkie kąty wewnętrzne są kątami prostymi (mają miary wynoszące 90°)

  • przekątne mają jednakową długość i przecinają się w połowie 

 

Wzór na pole prostokąta

`P=a*b` 

`a, b` - długości sąsiednich boków prostokąta 

Kwadrat

W kwadracie: 

  • wszystkie boki mają jednakową długość

  • wszystkie kąty wewnętrzne są kątami prostymi (mają miary wynoszące 90°)

  • przekątne mają jednakowe długości, przecinają się w połowie i są prostopadłe

Wzór na pole kwadratu

`P=a*a=a^2` 

`a`  - długość boku kwadratu


Uwaga!

Każdy kwadrat jest prostokątem.

Jednostki pola

Pola powierzchni figur podaje się w jednostkach kwadratowych.

Najczęściej używane jednostki to:

  • milimetr kwadratowy (`"mm"^2`),

  • centymetr kwadratowy (`"cm"^2`),

  • decymetr kwadratowy (`"dm"^2`),

  • metr kwadratowy (`"m"^2`),

  • kilometr kwadratowy (`"km"^2`).


Przeliczanie jednostek
:

`1 \ "mm"=1/10 \ "cm"` 

Zatem: 

`1 \ "mm"^2=1 \ "mm"*1 \ "mm"=1/10 \ "cm"*1/10 \ "cm"=1/100 \ "cm"^2=0,01 \ "cm"^2` 
  

`1 \ "cm"=10 \ "mm"` 

Zatem: 

`1 \ "cm"^2=1 \ "cm"*1 \ "cm"=10 \ "mm"*10 \ "mm"=100 \ "mm"^2` 


`1 \ "cm"=1/100 \ "m"` 

Zatem: 

`1 \ "cm"^2=1 \ "cm"*1 \ "cm"=1/100 \ "m"*1/100 \ "m"=1/(10 \ 000) \ "m"^2=0,0001 \ "m"^2` 


`1 \ "m"=100 \ "cm"` 

Zatem: 

`1 \ "m"^2=1 \ "m"*1 \ "m"=100 \ "cm"*100 \ "cm"=10 \ 000 \ "cm"^2` 


Analogicznie jak powyżej możemy obliczyć, że: 

`1 \ "cm"^2=0,01 \ "dm"^2` 

`1 \ "dm"^2=100 \ "cm"^2` 

`1 \ "m"^2=0,000001 \ "km"^2`      

`1 \ "km"^2=1 \ 000 \ 000 \ "m"^2`  


Powierzchnię gruntów, działek, łąk itp. podaje się często w arach lub hektarach

`1 \ "a"=100 \ "m"^2` 

`1 \ "ha"=10 \ 000 \ "m"^2`

`1 \ "ha"=100 \ "a"`  

Wielokąty foremne

Wielokąt foremny to wielokąt, którego wszystkie boki mają jednakowe długości oraz wszystkie kąty wewnętrzne mają równe miary. 


Przykłady wielokątów foremnych:

  • Trójkąt równoboczny

    trojkatrownoboczny
  • Kwadrat

    kwadrat1
  • Pięciokąt foremny

    piecokat
  • Sześciokąt foremny

    szesciokat

Układ współrzędnych

Układ współrzędnych służy do określania położenia punktów na płaszczyźnie. Tworzą go dwie osie, które są do siebie prostopadłe. 

Oś x-ów (oś poziomą) nazywamy osią odciętych i oznaczamy symbolicznie OX

Oś y-ów (oś pionową) nazywamy osią rzędnych i oznaczamy symbolem OY. 

Punkt przecięcia osi nazywamy początkiem układu współrzędnych. 


Współrzędne punktu 
to dwie liczby, które określają położenie tego punktu na płaszczyźnie. 

Pierwsza liczba to współrzędna x (odcięta punktu), którą odczytujemy z osi poziomej (OX). 

Druga liczba to współrzędna y (rzędna punktu), którą odczytujemy z osi pionowej (OY). 


Osie układu dzielą płaszczyznę na cztery części, które nazywamy ćwiartkami układu współrzędnych

Uwaga!

Punkty, które leżą na osiach nie należą do żadnej ćwiartki. 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Czy boki trójkąta mogą mieć podane niżej długości?

  1. 2 cm, 3 cm i 4 cm
  2. 1 cm, 2 cm i 3 cm
  3. 2 cm, 2 cm i 3 cm

Aby trójkąt mógł istnieć, długości jego boków muszą spełniać nierówności: $$a+b$$ > $$c$$.

  1. mogą być, bo spełniają nierówności
  2. nie mogą być, bo nie spełniają nierówności
  3. mogą być, bo spełniają nierówności

Zadanie 2.

Czy kąty w trójkącie mogą mieć podane niżej miary?

  1. $$ 12°, 15°$$ i $$153° $$
  2. $$ 35°, 55°$$ i $$75° $$
  3. $$ 1°, 1°$$ i $$178° $$

Suma miar kątów w trójkącie musi wynosić 180°.

  1. $$ 12°+15°+153°=180° $$ -> mogą być takie miary kątów
  2. $$ 35°+55°+75°=165°$$ -> nie mogą być takie miary kątów
  3. $$ 1°+1°+178°=180°$$ -> mogą być takie miary kątów

Zadanie 3.

Odpowiedz na pytania:

  1. Czy dwa wielokąty, których odpowiednie kąty mają takie same miary, muszą być przystające?
  2. Czy dwa wielokąty, których odpowiednie boki mają zawsze takie same długości, muszą być przystające?
  1. Nie muszą, ponieważ mogą mieć inne długości odpowiednich boków.
  2. Nie, ponieważ wielokąt wklęsły i wypukły mogą mieć takie same długości, ale nie będą wtedy przystające.

Zadanie 4.

Podstawami piramid Cheopsa w Egipcie i piramidy słońca w Meksyku są kwadraty o bokach długości odpowiednio 230 m i 225 m. Oblicz różnicę pól powierzchni zajmowanych przez te piramidy.

Pole 1 -> $$ 230^2=52900 m^2 $$

Pole 2 -> $$ 225^2=50625 m^2 $$

Różnica -> $$ 52900-50625=2275 m^2 $$

Odp.: Różnica pól powierzchni zajmowanych przez te piramidy wynosi $$ 2275 m^2 $$ .

Zadanie 5.

Trzy boki trapezu równoramiennego mają długość 10 cm, wysokość trapezu wynosi 8 cm, a jego pole wynosi 128 $$cm^2$$. Oblicz obwód tego trapezu.

Jeżeli trzy boki mają 10 cm to dwa z nich muszą być ramionami, a trzeci będzie jedną podstawą.

$$ {(a+b)h}/2=128 cm^2$$

$${(a+10)×8}/2=128 $$

$$ a+10=32 $$

$$a=22$$ cm -> $$Obw=22 cm+10 cm+10 cm+10 cm=52 cm $$

Odp.: Obwód tego trapezu jest równy $$52$$ cm.

Zadanie 6.

Pole równoległoboku jest równe 120cm2. Jeden z boków ma długość 5 cm, a jedna z wysokości długość 4cm. Oblicz długości pozostałych boków i wysokości tego równoległoboku.

Każdy równoległobok ma dwie pary takich samych boków i dwie pary wysokości o równych długościach. Pole równoległoboku oblicza się ze wzoru $$P=ah $$.

Jedna para boków ($$a_1$$) i wysokości na nie padające ($$h_1$$):

$$P=a_1 h_1$$

$$120=5×h_1$$

$$h_1=24 cm$$

Druga para boków ($$a_2$$) i wysokości na nie padające ($$h_2$$):

$$P=a_2 h_2 $$

$$120=a_2×4 $$

$$a_2=30$$ cm

Odp: Długości boków równoległoboku to 5 cm i 30 cm, a wysokości to 4 cm i 24 cm.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Znajdź za pomocą równania liczbę ...

a) Suma cyfr liczby dwucyfrowej wynosi 10. 

Przyjmijmy oznaczenia: 

  - cyfra dziesiątek tej liczby 

  - cyfra jedności tej liczby  (bo suma jej cyfr musi wynosić 10)

Liczba ta ma więc postać (np. 36=3٠10+6, czyli cyfrę dziesiątek mnożymy razy 10 i dodajemy cyfrę jedności): 

  


Zamieniamy teraz cyfry tej liczby.{premium}

   - cyfra dziesiątek nowej liczby 

  - cyfra jedności nowej liczby 

Liczba ta ma postać: 

    

 

W zadaniu powiedziano, że nowa liczba jest o 36 mniejsza od początkowej liczby, czyli: 

 

 

 

 

Cyfra dziesiątek początkowej liczby wynosi 7. 


Obliczamy, ile wynosi cyfra jedności tej liczby. 

 

Cyfra jedności tej liczby wynosi 3.     


Odpowiedź
: Liczba o podanych własnościach to 73.



b) Suma cyfr pewnej liczby trzycyfrowej wynosi 9. 

Przyjmijmy oznaczenia: 

   - cyfra setek / cyfra dziesiątek tej liczby 

    - cyfra jedności tej liczby  (bo suma cyfr tej liczby wynosi 9)

Liczba ta ma więc postać: 

  


Przestawiamy teraz cyfrę jedności i cyfrę dziesiątek początkowej liczby.

  - cyfra setek nowej liczby 

   - cyfra dziesiątek nowej liczby 

  - cyfra jedności nowej liczby 

Liczba ta ma postać: 

     

Suma tych dwóch liczb jest równa 477, zatem:

Cyfra setek oraz cyfra dziesiątek początkowej liczby wynosi 2. 


Obliczamy, ile wynosi cyfra jedności tej liczby. 

  

Cyfra jedności tej liczby wynosi 5. 

Odpowiedź: Liczbą o podanych własnościach jest 225.

Na prostej l zaznaczono cztery rożne ...

Przykładowe półproste zawarte w prostej l:

- półprosta AB,

- półprosta BA,{premium}

- półprosta CD,

- półprosta AD,

- półprosta CB. 

 

Przykładowe półproste, do których należy punkt B:

- półprosta AB,

- półprosta BA,

- półprosta CB.

Ile złotych kosztuje najczęściej ...

Najczęściej sprzedawany lizak, bo aż {premium}154 razy, kosztuje 0,60 zł. 


Poprawna odpowiedź: D. 0,60 

O ilu uczniów odpowiedziało przecząco niż twierdząco na zadane pytanie?

W sondzie brało udział 200 osób zatem:


liczba osób, która odpowiedziała twierdząco na to pytanie wynosi:

 


liczba osób, która odpowiedziała przecząco na to pytanie wynosi:

 


obliczmy, o ilu więcej uczniów odpowiedziało przecząco, niż twierdząco na to pytanie:

 


Odp. D

Rozwiąż w zeszycie równania.

a)  

 

 

 


b)  

 

 

 

 

 


c)  

 

 

 

 

 

 


d)  

 

 

 

 

 

 

Podaj 5 ułamków zwykłych większych...

Są to na przykład:{premium}    

Darek, Jarek i Marek mają łącznie...

Niech oznacza wiek Marka.{premium}

Jarek jest lata młodszy od Marka, więc ma  lat.

Darek ma dwa razy więcej niż Jarek i Marek łącznie, czyli  

Wiedząc, że wszyscy trzej razem mają  lata, możemy zapisać następujące równanie:

 

 

 

 

 

 

        

Odp. Marek ma lat, Jarek  a Darek   

W klasach 7a i 7b uczy się ...

  - ilość uczniów w klasie 7a

  - ilość uczniów w klasie 7b  [bo w klasach 7a i 7b jest łącznie 67 osób]  {premium}


  - ilość uczniów biorących udział w zawodach z klasy 7a

  - ilość uczniów biorących udział w zawodach z klasy 7b 

  - łączna ilość uczniów biorących udział w zawodach z klas 7a i 7b 


Równanie opisujące tą sytuację ma postać: 

 

 

 

 

 

 

 

W klasie 7a było 35 uczniów. 


Obliczamy, ilu uczniów było w klasie 7b. 

 

W klasie 7b było 32 uczniów. 


Odpowiedź: W klasie 7a było 35 uczniów, a w klasie 7b było 32 uczniów.        

Rozwiązaniem równania...

Mamy dane następujące równanie:

 {premium}

Mnożymy na krzyż i wyznaczamy  

 

 

 

 

Prawidłowa odpowiedź to         

W układzie współrzędnych zaznaczone są punkty