Figury geometryczne - 7-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

​proste i odcinki

Najprostszymi figurami geometrycznymi na płaszczyźnie są proste, półproste i odcinki.

  • Prosta

    prosta
  • Półprosta

    polprosta
  • Odcinek

    odcinek

Gdy dwie proste przecinają się pod kątem prostym mówimy że to proste prostopadłe.

Gdy proste nie przecinają się mówimy że to proste równoległe.
 

Kąty

Dwie półproste, które wychodzą z jednego wierzchołka tworzą kąt. Półproste te nazywamy ramionami kąta. Miary kątów podajemy w stopniach (°). Wyróżniamy kilka rodzajów kątów:

  Zobacz w programie GeoGebra
  1. Kąt prosty- ma miarę 90°.

    prosty
  2. Kąt półpełny- ma miarę 180°.

    pólpełny
  3. Kąt pełny- ma miarę 360°.

    pelny
  4. Kąt ostry- ma miarę mniejszą od 90°.

    ostry
  5. Kąt rozwarty- ma miarę większą od 90° i mniejszą od 180°.

    rozwarty
  6. Kąt wklęsły- ma miarę większą od 180° i mniejsza niż 360°.

    wklesly

Istnieje również kilka zależności między dwoma kątami:

  1. kąty przyległe- suma ich miar wynosi 180°

    przylegle
  2. kąty wierzchołkowe- mają takie same miary.

    wierzcholkowe
  3. kąty odpowiadające- mają takie same miary.°

    odpowiadajace
  4. kąty naprzemianległe- mają takie same miary.

    naprzemianlegle

Trójkąty

Trójkąty dzielimy na: ostrokątne, prostokątne, rozwartokątne, równoboczne i równoramienne.

  Zobacz w programie GeoGebra
  • Suma kątów w dowolnym trójkącie jest równa 180°.

  • Boki dowolnego trójkąta muszą spełniać poniższe równości:

    1. $$ c < a+b  $$
    2. $$ b < a+c $$
    3. $$ a < b+c $$
    trojkat
  • W trójkącie równoramiennym boki przy podstawie mają równe miary.

    anxyhr

  • Wzór na pole trójkąta: $$ P=1/2×a×h $$.

    pole-trojkata

Przystawanie trójkątów

Trójkąty są przystające:

  1. Jeżeli długości wszystkich boków jednego trójkąta są takie same jak drugiego. (taką cechę nazywamy bbb (bok, bok, bok)
  2. Jeżeli długości dwóch boków jednego trójkąt i kąt miedzy nimi jest taki sam jak w drugim trójkącie. (taką cechę nazywamy bkb (bok, kąt, bok)
  3. Jeżeli długość boku jednego trójkąta i dwa kąty przy tym boku są takie same jak w drugim trójkącie. (taką cechę nazywamy kbk (kąt, bok, kąt)

Trapez

Trapez – czworokąt mający przynajmniej jedną parę równoległych boków nazywanych podstawami, pozostałe noszą nazwę ramion; odległość między podstawami to wysokość.

  Zobacz w programie GeoGebra

Suma miar kątów przy jednym ramieniu wynosi 180°.

trapez
 

Wzór na pole trapezu: $$ P={(a+b)×h}/2$$ .

pole-trapezu

Równoległobok

Przekątne równoległoboku przecinają się w połowie. Suma miar kątów przy jednym boku wynosi 180°.

  Zobacz w programie GeoGebra

rownoleglobok

Wzór na pole równoległoboku: $$P=a×h$$.

Romb

Romb ma wszystkie boki równej długości. Przekątne przecinają się w połowie i pod kątem prostym. Suma miar kątów przy jednym boku wynosi 180°.

  Zobacz w programie GeoGebra

Wzory na pole rombu:

  1. $$P=a×h$$
  2. $$P=1/2×d_1×d_2 $$
romb
 

Prostokąt

Przekątne są równej długości i przecinają się w połowie. Każdy kąt wewnętrzny jest równy 90°.

  Zobacz w programie GeoGebra

Wzór na pole prostokąta $$P=a×b$$.

prostokat
 

Kwadrat

W kwadracie wszystkie boki są jednakowej długości. Wszystkie kąty wewnętrzne są równe 90°. Przekątne mają jednakowe długości, przecinają się w połowie i są prostopadłe.

  Zobacz w programie GeoGebra

Wzory na pole kwadratu:

  1. $$P=a×a=a^2$$
  2. $$P=1/2×d×d={d^2}/2 $$
a - bok kwadratu
d - przekątna kwadratu

kwadrat

Jednostki pola

Pola powierzchni figur na płaszczyźnie podaje się w jednostkach kwadratowych. Podstawowe jednostki to: milimetr kwadratowy ($$ mm^2$$ ), centymetr kwadratowy ($$ cm^2$$ ), decymetr kwadratowy ($$dm^2$$), metr kwadratowy ($$ m^2$$ ), ar (a), hektar (ha) i kilometr kwadratowy ($$ km^2$$ ).


Przeliczanie jednostek:
$$ 1 cm^2 = 0,000 1 m^2$$
$$ 1 dm^2 = 0,01 m^2$$
$$ 1 m^2 = 10000 cm^2 = 0,01 a $$
$$ 1 a = 100 m^2$$
$$ 1 ha = 100 a = 10 000 m^2$$
$$ 1 km^2 = 1 000 000 m^2$$


 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Czy boki trójkąta mogą mieć podane niżej długości?

  1. 2 cm, 3 cm i 4 cm
  2. 1 cm, 2 cm i 3 cm
  3. 2 cm, 2 cm i 3 cm

Aby trójkąt mógł istnieć, długości jego boków muszą spełniać nierówności: $$a+b$$ > $$c$$.

  1. mogą być, bo spełniają nierówności
  2. nie mogą być, bo nie spełniają nierówności
  3. mogą być, bo spełniają nierówności

Zadanie 2.

Czy kąty w trójkącie mogą mieć podane niżej miary?

  1. $$ 12°, 15°$$ i $$153° $$
  2. $$ 35°, 55°$$ i $$75° $$
  3. $$ 1°, 1°$$ i $$178° $$

Suma miar kątów w trójkącie musi wynosić 180°.

  1. $$ 12°+15°+153°=180° $$ -> mogą być takie miary kątów
  2. $$ 35°+55°+75°=165°$$ -> nie mogą być takie miary kątów
  3. $$ 1°+1°+178°=180°$$ -> mogą być takie miary kątów

Zadanie 3.

Odpowiedz na pytania:

  1. Czy dwa wielokąty, których odpowiednie kąty mają takie same miary, muszą być przystające?
  2. Czy dwa wielokąty, których odpowiednie boki mają zawsze takie same długości, muszą być przystające?
  1. Nie muszą, ponieważ mogą mieć inne długości odpowiednich boków.
  2. Nie, ponieważ wielokąt wklęsły i wypukły mogą mieć takie same długości, ale nie będą wtedy przystające.

Zadanie 4.

Podstawami piramid Cheopsa w Egipcie i piramidy słońca w Meksyku są kwadraty o bokach długości odpowiednio 230 m i 225 m. Oblicz różnicę pól powierzchni zajmowanych przez te piramidy.

Pole 1 -> $$ 230^2=52900 m^2 $$

Pole 2 -> $$ 225^2=50625 m^2 $$

Różnica -> $$ 52900-50625=2275 m^2 $$

Odp.: Różnica pól powierzchni zajmowanych przez te piramidy wynosi $$ 2275 m^2 $$ .

Zadanie 5.

Trzy boki trapezu równoramiennego mają długość 10 cm, wysokość trapezu wynosi 8 cm, a jego pole wynosi 128 $$cm^2$$. Oblicz obwód tego trapezu.

Jeżeli trzy boki mają 10 cm to dwa z nich muszą być ramionami, a trzeci będzie jedną podstawą.

$$ {(a+b)h}/2=128 cm^2$$

$${(a+10)×8}/2=128 $$

$$ a+10=32 $$

$$a=22$$ cm -> $$Obw=22 cm+10 cm+10 cm+10 cm=52 cm $$

Odp.: Obwód tego trapezu jest równy $$52$$ cm.

Zadanie 6.

Pole równoległoboku jest równe 120cm2. Jeden z boków ma długość 5 cm, a jedna z wysokości długość 4cm. Oblicz długości pozostałych boków i wysokości tego równoległoboku.

Każdy równoległobok ma dwie pary takich samych boków i dwie pary wysokości o równych długościach. Pole równoległoboku oblicza się ze wzoru $$P=ah $$.

Jedna para boków ($$a_1$$) i wysokości na nie padające ($$h_1$$):

$$P=a_1 h_1$$

$$120=5×h_1$$

$$h_1=24 cm$$

Druga para boków ($$a_2$$) i wysokości na nie padające ($$h_2$$):

$$P=a_2 h_2 $$

$$120=a_2×4 $$

$$a_2=30$$ cm

Odp: Długości boków równoległoboku to 5 cm i 30 cm, a wysokości to 4 cm i 24 cm.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Jaką figurę wyznaczają punkty płaszczyzny, ...

a) W układzie współrzędnych zaznaczamy kilka punktów, których współrzędne są jednakowe. 

Punkty te wyznaczają prostą

 

b) W układzie współrzędnych zaznaczamy kilka punktów, których współrzędne są liczbami przeciwnymi. 

Punkty te wyznaczają prostą

 

c) W układzie współrzędnych zaznaczamy kilka punktów, których druga współrzędna wynosi -5. 

Punkty te wyznaczą prostą równoległą do osi OX

 

d) W układzie współrzędnych zaznaczamy kilka punktów, których pierwsza współrzędna wynosi 4. 

Punkty te wyznaczają prostą równoległą do osi OY

Na ilustracji obok przedstawiono ceny czystych

Piotrek kupił x nośników po 3 zł oraz y nośników po 5 zł, więc zapłacił (w zł):

`3x+5y`

Zapisz podane liczby...

`a=57*10^8=5,7*10^9` 

`b=465*10^7=4,65*10^9` 

`c=26,5*10^9=2,65*10^10` 

`d=33,6*10^9=3,36*10^10` 

 

Odp. Największa liczba to d, a najmniejsza to b.

Udowodnij, że na osi między liczbami ...

`"Oszacujmy wartości liczb" \ sqrt89 \ "i" \ sqrt98`  

`sqrt81 < sqrt89 < sqrt100` 

`9 < sqrt89 < 10` 

`"Sprawdźmy ile wynosi kwadrat liczby 9,5: "` 

`9,5^2=90,25` 

`"Sprawdźmy ile wynosi kwadrat liczby 9,4:"` 

`9,4^2=88,36 \ "(ta liczba jest za mała)"` 



`9 < sqrt98 < 10` 

`"Sprawdźmy ile wynosi kwadrat liczby 9,9:"` 

`9,9^2=98,01 \ "(ta liczba jest za duża)"` 

`"Sprawdźmy ile wynosi kwadrat liczby 9,8:"` 

`9,8^2=96,04` 



`"Znaleźliśmy już dwie liczby wymierne większe od"\ sqrt89 \ "i mniejsze od" \ sqrt98 \ "są to 9,5 i 9,8 takich liczb jest jednak nieskończenie wiele"` 

`"Wszystkie liczby wymierne większe lub równe 9,5 i mniejsze lub równe 9,8 spełniają tą nierówność"` 


Znajdź:

a) Szukamy NWD poszczególnych par liczb.

Zadanie rozwiązujemy z wykorzystaniem rozkładu liczb na czynniki pierwsze.

W poszczególnych parach zostały podkreślone czynniki, które powtarzają się dla obu liczb.

Największy wspólny dzielnik jest iloczynem powtarzających się czynników.

`->\ "NWD"(48,60)=2*2*3=12` 

`->\ "NWD"(28,140)=2*2*7=28` 

`->\ "NWD"(120,144)=2*2*2*3=24`    

 

b) Szukamy NWW poszczególnych par liczb.

Zadanie rozwiązujemy z wykorzystaniem rozkładu liczb na czynniki pierwsze.

W poszczególnych parach zostały podkreślone czynniki, które powtarzają się dla obu liczb.

Najmniejsza wspólna wielokrotność jest iloczynem jednej z liczb i niepodkreślonych czynników drugiej liczby.

`->\ "NWW"(60,80)=60*2*2=240\ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ \ "NWW"(60,80)=80*3=240` 

`->\ "NWW"(157,157)=157` 

`->\ "NWW"(48,60)=48*5=240\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ \ \  \ \ "NWW"(48,60)=60*2*2=240`    

Czy wartość wyrażenia...

Prawidłowa odpowiedź to:

NIE, ponieważ `"A."` kwadrat dowolnej liczby jest liczbą nieujemną.  

Średnia masa piłek do tenisa ...

Piłki A

57 - średnia masa jednej piłki [w g]

10 - ilość piłek 

x - łączna masa tych piłek [w g]

Zatem: 

`x/10=57 \ \ \ \ \ \ \ \ |*10` 

`x=570`   


Piłki B

58 - średnia masa jednej piłki [w g]

15 - ilość piłek 

y - łączna masa tych piłek [w g]

Zatem: 

`y/15=58 \ \ \ \ \ \ \ \ |*15` 

`y=870`    



Obliczamy ile wynosiła średnia masa piłek tenisisty. 

`(570+870)/(10+15)=1440/25=57,6`  


Odpowiedź: Średnia masa piłek tenisisty wynosiła 57,6 g.  

Oblicz.

`"a)"\ 3^3*10^2=27*100=2700` 

`"b)"\ 5^2*2^4=25*16=400` 

`"c)"\ 8^2:2^3=64:8=8` 

`"d)"\ 10^5:5^2=100\ 000:25=4000` 

`"e)"\ (4^2*2^3)/8^2=(16*strike8)/(8^(strike2^1))=16/8=2` 

`"f)"\ (2^4*5^3)/(10^5)=(16*125)/(100\ 000)=2000/(100\ 000)=2/100=1/50`  

`"g)"\ 6^2/(2^4*3^3)=strike36^4/(16*strike27^3)=(strike4^1)/(strike16^4*3)=1/12`  

`"h)"\ 10^4*(4^2*5^3)=(10\ 000)/(16*125)=(10\ 000)/2000=5`           

Sprzedawczyni układa jajka rzędami . Gdy układa po 2 jajka w rzędzie, zostaje jej...

`"Wiadomo, że liczba jajek sprzedawczyni nie dzieli się przez 2, 3, 4, 5, 6,  i  jest mniejsza od 100, zatem jest to jedna z liczb:"` 


`1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 49, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 77, 79, 83, 89, 91, 97` 


`"Wiemy, że liczba jajek sprzedawczyni przy dzieleniu przez 5 daje resztę 4, zatem z tego możemy wnioskować, iż ostatnią cyfrą tej liczby jest 9-"` 
`"(liczba dzieli się przez 5 jeśli kończy się na 0 lub 5, zatem aby liczba dzieliła się przez 5 z resztą 4 musi być zakończona na 4 lub 9"` 
`"wiemy, że sprzedawczyni ma nieparzystą ilość jajek, zatem ostatnią cyfrą tej liczby jest 9)"` 

`"zatem jest to jedna z liczb:"` 

`19, 29, 49, 59, 79, 89` 

`"Wiemy również, że liczba ta przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2"` 
`"(liczby 19, 49 i 79 przy dzieleniu przez 3 dają resztę 1)"` 

`"zatem do sprawdzenia pozostają liczby:"` 

`29, 59, 89`  

`"Korzystając z tego, że liczba ta przy dzieleniu przez 4 daje resztę 3, wiemy że jest to liczba" \ bb(59)` 
`"(liczby 29 i 89 przy dzieleniu przez 4 dają resztę 1)"` 

Wykonaj mnożenie i redukuj wyrazy podobne.

`"a)"\ (-3c+2d)(2c-6)=-3c(2c-6)+2d(2c-6)=-6c^2+18c+4cd-12d` 

`"b)"\ (-10m+3n)(5n-4)=-10m(5n-4)+3n(5n-4)=-50mn+40m+15n^2-12n` 

`"c)"\ (9s-2t)(7t-s)=9s(7t-s)-2t(7t-s)=63st-9s^2-14t^2+2st=-9s^2+65st-14t^2` 

`"d)"\ (3a+5b)(2a+7b)=3a(2a+7b)+5b(2a+7b)=6a^2+21ab+10ab+35b^2=6a^2+31ab+35b^2`  

`"e)"\ (4m-3n)(5m-n)=4m(5m-n)-3n(5m-n)=20m^2-4mn-15mn+3n^2=20m^2-19mn+3n^2`  

`"f)"\ (-3x-5y)(2x+4y)=-3x(2x+4y)-5y(2x+4y)=-6x^2-12xy-10xy-20y^2=-6x^2-22xy-20y^2`