Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Ułamki zwykłe i dziesiętne - 6-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Przypomnienie wiadomości o ułamkach zwykłych

Ułamek zwykły to wyrażenie postaci $$a/b$$, gdzie a, b to liczby naturalne oraz b jest różne od zera,

a – to licznik
b – to mianownik
 

  Ciekawostka

Współczesny sposób zapisu ułamków pochodzi od matematyków hinduskich, zapisywali oni licznik i mianownik, nie używając jednak kreski rozdzielającej. Dodanie kreski rozdzielającej zawdzięczamy Arabom tłumaczącym dzieła Hindusów. W Europie jako pierwszy w swoich pracach znane do dziś oznaczenie ułamków publikuje włoski matematyk Fibonacci.

Ułamki to inny zapis dzielenia liczb naturalnych.
Iloraz liczb naturalnych a : b możemy zapisać w postaci ułamka $$a/b$$. Dzielna a jest licznikiem ułamka, dzielnik b różny od zera jest mianownikiem, a kreska ułamkowa zastępuje znak dzielenia:
$$a : b = a/b$$ , gdzie b jest różne od zera (b≠0)

Przykład:

  • $$9/2= 9÷2$$

Odwrotność ułamka

Jeżeli dany jest ułamek $$a/b$$ to ułamek $$b/a$$ nazywamy odwrotnością ułamka $$a/b$$.

Przykłady:

  • $$3/4$$ jest odwrotnością ułamka $$4/3$$,
  • 4 jest odwrotnością ułamka $$1/4$$.

Rodzaje ułamków zwykłych

  1. Ułamek właściwy – ułamek, którego licznik jest mniejszy od mianownika. Ułamek właściwy ma zawsze wartość mniejszą od 1.

    Przykłady:

    • `3/8` 

    • `7/27` 

    •  `1/4` 

    • `0/5` 
       
  2. Ułamek niewłaściwy – ułamek, którego licznik jest większy od mianownika lub jest mu równy. Ułamek niewłaściwy ma zawsze wartość większą od 1 lub równą 1.

    Przykłady:

    • `15/7` 

    • `3/1` 

    • `129/5` 

    • `10/10` 
       
  3. Gdy z ułamków niewłaściwych wyciągniemy całości, powstają liczby mieszane.

    Liczba mieszana składa się z części całkowitej (jest nią liczba naturalna) oraz części ułamkowej (jest nią ułamek zwykły właściwy). 

    Przykłady:

    • `1 3/5` 

    • `5 7/15` 
       

Wyłączanie całości z ułamka niewłaściwego

Wyłączanie całości z ułamka niewłaściwego - krok po kroku

Dzielimy (być może z resztą) licznik przez mianownik (inaczej mówiąc sprawdzamy ile razy mianownik „zmieści się” w liczniku).

Otrzymujemy w ten sposób liczbę naturalną, będącą całością (tzw. część całkowita) oraz resztę, która jest ułamkiem właściwym (tzw. część ułamkowa).


W tym przypadku wykonujemy dokładnie odwrotne działania niż przy zamianie liczby mieszanej na ułamek niewłaściwy. 


Zamiana ułamka niewłaściwego `16/3`  na liczbę mieszaną:

  1. Najpierw dzielimy licznik przez mianownik, czyli `16:3=5 \ \ "r" \ 1 \ \ \ "bo" \ \ \ 5*3+1=15+1=16` 

  2. Otrzymujemy 5 całości. Pozostaje nam jeszcze 1 część. 

Mamy więc: 

`16/3=5 1/3` 


Przykłady:

  • `21/4=5 1/4` 

  • `35/6=5 5/6` 


Zamiana ułamka niewłaściwego na liczbę mieszaną lub liczbę naturalną nazywana jest wyłączaniem całości z ułamka

 

Zamiana liczby mieszanej na ułamek niewłaściwy

Licznik tego ułamka otrzymujemy w następujący sposób: 

  1. Mianownik części ułamkowej mnożymy razy część całkowitą liczby mieszanej.

  2. Do otrzymanego iloczynu dodajemy licznik części ułamkowej.

Mianownik szukanego ułamka niewłaściwego jest równy mianownikowi części ułamkowej liczby mieszanej.

Przykłady: 

`3 1/4=(3*4+1)/4=13/4` 


`5 2/7=(5*7+2)/7=37/7` 

Rozszerzanie ułamków

Rozszerzanie ułamków - krok po kroku.

Rozszerzanie ułamków - mnożymy licznik i mianownik przez tą sama liczbę różną od zera; ułamek otrzymamy w ten sposób jest równy ułamkowi wyjściowemu. Pamiętajmy jednak, że każdy ułamek można rozszerzyć, jednak nie każdy ułamek można skrócić. Ułamki, których nie da się już skrócić nazywamy ułamkami nieskracalnymi.

Przykład:

  • Rozszerz ułamek $$3/5$$ przez 3. Licznik i mianownik należy pomnożyć przez 3:

    $$3/5={9}/{15}$$

Skracanie ułamków

Skracanie ułamków - krok po kroku.

Dzielimy licznik i mianownik przez tą samą liczbę różną od zera. Otrzymany w ten sposób ułamek, który jest równy ułamkowi wyjściowemu.

Przykład:

  • Skróć ułamek $$8/{16}$$ przez 2. Licznik i mianownik należy podzielić przez 2.

    $$8/{16}=4/8=2/4=1/2$$

Sprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika

Ułamki o różnych mianownikach można sprowadzić do postaci o jednakowych mianownikach. W tym celu wystarczy rozszerzyć lub skrócić te ułamki (lub jeden z nich) tak, aby w mianowniku otrzymać taka samą liczbę (czyli właśnie ułamki o takich samych mianownikach). Wspólnym mianownikiem może być wspólna wielokrotność dwóch liczb, będących mianownikami danych ułamków, lub najmniejsza wspólna wielokrotność danych mianowników.

Przykład: Sprowadźmy do wspólnego mianownika ułamki $$1/{12}$$ i $$3/{16}$$

  • I sposób

    Wspólnym mianownikiem może być wspólna wielokrotność liczb, będących mianownikami danych ułamków, czyli liczba 12•16= 192.
    W tym przypadku rozszerzamy pierwszy ułamek przez 16, a drugi przez 12, tak aby oba ułamki miały ten sam mianownik (równy 12•16).

    Rozszerzamy oba ułamki:
    $$1/{12}= {1•16}/{12•16}= {16}/{192}$$
    $$3/{16}= {3•12}/{16•12}= {36}/{192}$$
     

  • II sposób

    wspólnym mianownikiem może być najmniejsza wspólna wielokrotność dwóch liczb, będących mianownikami danych ułamków, czyli NWW (12, 16).

      Wyznaczanie najmniejszej wspólnej wielokrotności

    nww
    $$NWW(12,16)=2•2•2•2•3= 48$$

    Wspólnym mianownikiem danych ułamków będzie liczba 48.

    $$1/{12}={48÷12•1}/{48}= 4/{48}$$ $$3/{16}={48÷16•3}/{48}= 9/{48}$$
     

Porównywanie ułamków

Porównywanie dwóch ułamków polega na stwierdzeniu, który z nich jest mniejszy, który większy.

  1. Porównywanie ułamków o takich samych mianownikach.

    Jeżeli ułamki zwykłe mają takie same mianowniki, to ten jest większy, który ma większy licznik.

    Przykład:

    • $$3/8$$ < $$5/8$$
       
  2. Porównywanie ułamków o takich samych licznikach.

    Jeżeli ułamki zwykłe mają takie same liczniki, to ten jest większy, który ma mniejszy mianownik.

    Przykład:

    • $$4/5$$ > $$4/9$$
       
  3. Porównywanie ułamków o różnych mianownikach.

    Aby porównać ułamki o różnych mianownikach, najpierw sprowadzamy je do wspólnego mianownika, a następnie porównujemy ich liczniki. Z dwóch ułamków o jednakowych mianownikach większy jest, który ma większy licznik.

    Przykład:

    • Porównajmy ułamki $$2/3$$ i $$3/4$$
      $$2/3$$ ? $$3/4$$

      $${2•4}/{3•4}$$ ? $${3•3}/{4•3}$$ ← sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika (rozszerzamy ułamki tak aby w mianownikach otrzymać takie same liczby)

      $$8/{12}$$ < $$9/{12}$$

 

Zaokrąglanie ułamków dziesiętnych

Ułamek dziesiętny możemy zaokrąglać, w miarę potrzeb, do pewnego rzędu, czyli podawać go z dokładnością do określonej liczby miejsc po przecinku - do jedności, do części dziesiątych, części setnych itd. Jeżeli zaokrąglamy ułamek do pewnego miejsca po przecinku (czyli do danego rzędu) wtedy odrzucamy wszystkie cyfry znajdujące się na prawo od miejsca do którego zaokrąglamy i:

  • Jeżeli pierwsza z odrzuconych cyfr jest mniejsza od 5, to ostatnią cyfrę naszego przybliżenia zostawiamy bez zmian (jest to tak zwane zaokrąglenie w dół lub zaokrąglenie z niedomiarem). Jeżeli odrzucone cyfry były położone przed przecinkiem, należy na ich pozycjach wpisać zera,
  • Jeżeli pierwsza z odrzuconych cyfr jest większa lub równa 5, to ostatnią cyfrę naszego przybliżenia zwiększamy o 1 (jest to tak zwane zaokrąglenie w górę lub zaokrąglenie z nadmiarem). Jeżeli odrzucone cyfry były położone przed przecinkiem, należy na ich pozycjach wpisać zera.

Przykłady:

  • Zaokrąglenie liczby 2,871 do części setnych:

    $$2,871 ≈ 2,87$$, bo 1 < 5
     
  • Zaokrąglenie liczby 8,899 do części dziesiątych:

    $$8,899 ≈ 8,9$$, bo 9 > 5

Działania na ułamkach zwykłych i dziesiętnych

Przy rozwiązywaniu działań, w których występują ułamki zwykłe i dziesiętne, należy najpierw przedstawić je tej samej postaci – ułamka zwykłego lub ułamka dziesiętnego.

Następnie wykonujemy obliczenia jak zawsze, pamiętając o kolejności wykonywania działań:

  1. działania w nawiasach,
  2. potęgowanie i pierwiastkowanie,
  3. mnożenie i dzilenie,
  4. dodawanie i odejmowanie.

Przykład: Wykonaj działanie $$0,8 - 2/5$$.

  • I sposób
    Zamienimy ułamek dziesiętny na zwykły:
    $$0,8 = 8/{10}=4/5$$

    Możemy wykonać działanie:
    $$0,8 - 2/5= 4/5- 2/5= 2/5$$

  • II sposób
    Zamieniamy ułamek zwykły na dziesiętny:
    $$2/5= 4/{10}= 0,4$$

    Możemy wykonać działanie:
    $$0,8 - 2/5= 0,8 – 0,4 = 0,4$$

Przykład:

  • $$0,6 +2/3=6/{10}+2/3=3/5+2/3=9/{15}+{10}/{15}={19}/{15}$$
     

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Do sumy liczb $$15 1/6$$ i $$9 7/8$$ dodaj ich różnicę.

$$15 1/6+9 7/8+(15 1/6-9 7/8)=15 4/24 + 9 21/24+(15 4/24 - 9 21/24)=24 25/24+5 7/24=29 32/24=30 8/24=30 1/3 $$

Odp.: Wartość tego wyrażenia wynosi $$30 1/3$$.

Zadanie 2.

Wykonaj działania na ułamkach dziesiętnych:

  1. $$ 5,6+28,42+12,9-8,342 $$
  2. $$ (31,9-9,92)+18,12-6,8 $$
  1. $$ 5,6+28,42+12,9-8,342=34,02+12,9-8,342=46,92-8,342=38,578 $$
  2. $$ (31,9-9,92)+18,12-6,8=21,98+18,12-6,8=40,1-6,8=33,3 $$

Zadanie 3.

Oblicz $$3/5$$ z liczby 85.

$$3/5 •85={3•85}/5={255}/5=51$$

Zadanie 4.

Oblicz jakim ułamkiem liczby 49 jest liczba 7.

$$7/{49}=1/7$$

Odp: Liczba 7 jest $$1/7$$ liczby 49.

Zadanie 5.

Na obozie wioślarskim dziewczęta stanowiły $$3/8$$ wszystkich uczestników. Chłopców było o 12 więcej niż dziewcząt. Ile dziewcząt i ilu chłopców było na tym obozie?

dziewczęta -> $$3/8$$ wszystkich uczestników

chłopcy -> $$1- 3/8=5/8$$ wszystkich uczestników

Chłopców jest o $$2/8$$ wszystkich uczestników więcej. -> $$12= 2/8 x$$, gdzie x oznacza ilość wszystkich uczestników.

$$12= 2/8 x$$

$$x=48$$ -> na obozie jest 48 uczestników

dziewczęta -> $$48• 3/8=18$$

chłopcy -> $$48-18=30$$

Odp.: Na tym obozie jest 18 dziewcząt i 30 chłopców.

Zadanie 6.

Podziel:

  1. $$ 36,5÷5 $$
  2. $$ 179,2÷32 $$
  3. $$ 2,5÷0,625 $$
  1. $$ 36,5÷5=7,3 $$
  2. $$ 179,2÷32=5,6 $$
  3. $$ 2,5÷0,625=4 $$

Zadanie 7.

Mama kupiła 6 litrów miodu. Chciała przelać go 1,5 litrowych słoików. Ile jest ich potrzebnych? A ile jest potrzebnych słoików o pojemności $$1/4$$.

Aby policzyć ilość słoików musimy podzielić ilość wszystkich litrów miodu przez pojemność słoika:

$$6 ÷ 1,5 = 60 ÷ 15 = 4$$
Odp.: Mama potrzebuje 4 słoiki o pojemności 1,5 litra

$$6 ÷ 1/4= 6•4= 24$$
Odp.: Mama potrzebuje 24 słoiki o pojemności $$1/4$$ litra

Spis treści

Rozwiązane zadania
Połącz w pary równe długości.

pół metra`=50\ "cm"` 

`1/4` metra`=250\ "mm"` 

`0,5\ "km"=500\ "m"` 

ćwierć kilometra`=250\ "m"` 

`3/4\ "km"=750\ "m"`        

Adidasy kosztowały 130 zł. Bartek kupił takie adidasy po obniżce, która wynosiła 20 % ceny początkowej.

`130"zł"-20%*130"zł"=130"zł"-0,2*130"zł"=130"zł"-26"zł"=104"zł"`

Znaki drogowe mogą mieść kształt np. trójkąta (A), prostokąta (B) lub koła (C). ...
1. Znaki ostrzegawcze A B C
2. Znaki zakazu A B C
3. Znaki informacyjne A B C


A - trójkąta

B - prostokąta

C - koła

Wypisz brakujące miary kątów w równoległobokach.

Przeciwległe kąty w równoległoboku mają równe miary. 

Suma miar kątów leżących przy jednym boku równoległoboku wynosi 180°. 

Ułóż zadanie, które można ...

Przykładowe zadania:

- Ile jabłek miała w koszyku mama, jeżeli jedną trzecią zawartości dała Kamilowi, jedną trzecią tego co zostało w koszyku oraz dwa jabłka dała Michałowi, a Bartkowi dała jedną trzecią pozostałych jabłek. Dla siebie zostawiła trzy jabłka.

- Kasia podzieliła się cukierkami ze swoimi najlepszymi koleżankami. Jedną trzecią cukierków dała Madzi, jedną trzecią tego co jej zostało oraz dwa cukierki dała Ani, a Basi dała jedną trzecią pozostałych cukierków. Dla siebie zostawiła trzy cukierki. Ile cukierków na początku miała Kasia?

 

Do obu zadań prawidłowa odpowiedź to 99.

Oblicz. a) (2½)², (...)

`a) (2 1/2)^2=(5/2)^2=5/2*5/2=25/4=6 1/4`{premium}

`b) (1 2/3)^3=(5/3)^3=5/3*5/3*5/3=125/27=4 17/27`

Wirusy nie mają cech organizmów, bo nie wykazują czynności życiowych. ...

Wirus atakujący ludzi ma kształt kuli. 

Wirus atakujący rośliny ma kształt walca

Pączek waży 8,2 dag. Na podstawie danych z tabel na s. 99...

`a)`

Korzystając z tabeli na stronie 99 odczytujemy, że 100 g pączka dostarcza 426 kcal.

Więc 1 g pączka dostarcza 100 razy mniej kcal, czyli 4,26 kcal. 

 

`8,2\ dag=82\ g` 

`82*4,26\ kcal=349,32\ kcal` 

 

Odp: Ten pączek dostarcza 349,32 kcal. 

 

 

`b)`

Z tabeli na stronie 101 odczytujemy, że dzienne zapotrzebowanie na energię to 2500 kcal. 

`(349,32\ kcal)/(2500\ kcal)=(349,32)/2500=34932/250000=34932:250\ 000` `=0,139728~~0,14` 







Odp: Pączek zaspokaja około 0,14 dziennego zapotrzebowania na energię. 

 

`c)`

Z tabeli na stronie 100 odczytujemy, że pączek ważący 100 g zawiera 0,048 g wapnia, co oznacza, że wapń stanowi 0,00048 masy pączka (bo 7,6:100=0,076)

 `0,00048*8,2\ dag=` `0,00048*82\ g=`  `0,03936\ g` 

 

Odp: Pączek ważący 8,2 dag zawiera 0,03936 g wapnia. 

 

`d)`  

Z tabeli na stronie 101 odczytujemy, że dzienne zapotrzebowanie na wapń wynosi 1,2 g. 

`(0,03936\ g)/(1,2\ g)~~(0,03936)/(1,2)~~(0,04)/(1,2)=4/120=1/30`  

Odp: Pączek ważący 8,2 dag zaspokaja około `1/30` zapotrzebowania organizmu na wapń. 

 

Dopisz brakujące wykładniki.

`64=8^2=4^3=2^6` 

Uzasadnienie: 
`64=8*8=8^2` 
`64=4*4*4=4^3` 
`64=2*2*2*2*2*2=2^6`  

 

`81=9^2=3^4`  

Uzasadnienie: 
`81=9*9=9^2` 
`81=3*3*3*3=3^4` 

 

`625=25^2=5^4`  

Uzasadnienie: 
`625=25*25=25^2` 
`625=5*5*5*5=5^4`  

W Szkole podstawowej Nr-35 obowiązuje nieco inna skala ocen. Na koniec

Obliczamy, ile wynosi średnia ocen uzyskanych przez Grzesia. 

W tym celu sumę uzyskanych ocen dzielimy przez ich ilość. 

`(0+(-1)+1+2+2+(-1)+0+1+(-2)+(-2)+1+1)/12= 2/12 = 1/6` 

Średnia ocen Grzesia wynosiła 1/6.  


`1/6 \ < \ 2/3 \ \ \ \ \ \ [2/3=4/6]`   

Średnia ocen uzyskanych przez Grzesia wynosi mniej niż 2/3

Odpowiedź:
Świadectwo Grzesia nie powinno być  w groszki.