Ułamki zwykłe i dziesiętne - 6-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Przypomnienie wiadomości o ułamkach zwykłych

Ułamek zwykły to wyrażenie postaci $$a/b$$, gdzie a, b to liczby naturalne oraz b jest różne od zera,

a – to licznik
b – to mianownik
 

  Ciekawostka

Współczesny sposób zapisu ułamków pochodzi od matematyków hinduskich, zapisywali oni licznik i mianownik, nie używając jednak kreski rozdzielającej. Dodanie kreski rozdzielającej zawdzięczamy Arabom tłumaczącym dzieła Hindusów. W Europie jako pierwszy w swoich pracach znane do dziś oznaczenie ułamków publikuje włoski matematyk Fibonacci.

Ułamki to inny zapis dzielenia liczb naturalnych.
Iloraz liczb naturalnych a : b możemy zapisać w postaci ułamka $$a/b$$. Dzielna a jest licznikiem ułamka, dzielnik b różny od zera jest mianownikiem, a kreska ułamkowa zastępuje znak dzielenia:
$$a : b = a/b$$ , gdzie b jest różne od zera (b≠0)

Przykład:

  • $$9/2= 9÷2$$

Odwrotność ułamka

Jeżeli dany jest ułamek $$a/b$$ to ułamek $$b/a$$ nazywamy odwrotnością ułamka $$a/b$$.

Przykłady:

  • $$3/4$$ jest odwrotnością ułamka $$4/3$$,
  • 4 jest odwrotnością ułamka $$1/4$$.

Rodzaje ułamków zwykłych

  1. Ułamek właściwy – ułamek, którego licznik jest mniejszy od mianownika. Ułamek właściwy ma zawsze wartość mniejszą od 1.

    Przykłady:

    • `3/8` 

    • `7/27` 

    •  `1/4` 

    • `0/5` 
       
  2. Ułamek niewłaściwy – ułamek, którego licznik jest większy od mianownika lub jest mu równy. Ułamek niewłaściwy ma zawsze wartość większą od 1 lub równą 1.

    Przykłady:

    • `15/7` 

    • `3/1` 

    • `129/5` 

    • `10/10` 
       
  3. Gdy z ułamków niewłaściwych wyciągniemy całości, powstają liczby mieszane.

    Liczba mieszana składa się z części całkowitej (jest nią liczba naturalna) oraz części ułamkowej (jest nią ułamek zwykły właściwy). 

    Przykłady:

    • `1 3/5` 

    • `5 7/15` 
       

Wyłączanie całości z ułamka niewłaściwego

Wyłączanie całości z ułamka niewłaściwego - krok po kroku

Dzielimy (być może z resztą) licznik przez mianownik (inaczej mówiąc sprawdzamy ile razy mianownik „zmieści się” w liczniku).

Otrzymujemy w ten sposób liczbę naturalną, będącą całością (tzw. część całkowita) oraz resztę, która jest ułamkiem właściwym (tzw. część ułamkowa).


W tym przypadku wykonujemy dokładnie odwrotne działania niż przy zamianie liczby mieszanej na ułamek niewłaściwy. 


Zamiana ułamka niewłaściwego `16/3`  na liczbę mieszaną:

  1. Najpierw dzielimy licznik przez mianownik, czyli `16:3=5 \ \ "r" \ 1 \ \ \ "bo" \ \ \ 5*3+1=15+1=16` 

  2. Otrzymujemy 5 całości. Pozostaje nam jeszcze 1 część. 

Mamy więc: 

`16/3=5 1/3` 


Przykłady:

  • `21/4=5 1/4` 

  • `35/6=5 5/6` 


Zamiana ułamka niewłaściwego na liczbę mieszaną lub liczbę naturalną nazywana jest wyłączaniem całości z ułamka

 

Zamiana liczby mieszanej na ułamek niewłaściwy

Licznik tego ułamka otrzymujemy w następujący sposób: 

  1. Mianownik części ułamkowej mnożymy razy część całkowitą liczby mieszanej.

  2. Do otrzymanego iloczynu dodajemy licznik części ułamkowej.

Mianownik szukanego ułamka niewłaściwego jest równy mianownikowi części ułamkowej liczby mieszanej.

Przykłady: 

`3 1/4=(3*4+1)/4=13/4` 


`5 2/7=(5*7+2)/7=37/7` 

Rozszerzanie ułamków

Rozszerzanie ułamków - krok po kroku.

Rozszerzanie ułamków - mnożymy licznik i mianownik przez tą sama liczbę różną od zera; ułamek otrzymamy w ten sposób jest równy ułamkowi wyjściowemu. Pamiętajmy jednak, że każdy ułamek można rozszerzyć, jednak nie każdy ułamek można skrócić. Ułamki, których nie da się już skrócić nazywamy ułamkami nieskracalnymi.

Przykład:

  • Rozszerz ułamek $$3/5$$ przez 3. Licznik i mianownik należy pomnożyć przez 3:

    $$3/5={9}/{15}$$

Skracanie ułamków

Skracanie ułamków - krok po kroku.

Dzielimy licznik i mianownik przez tą samą liczbę różną od zera. Otrzymany w ten sposób ułamek, który jest równy ułamkowi wyjściowemu.

Przykład:

  • Skróć ułamek $$8/{16}$$ przez 2. Licznik i mianownik należy podzielić przez 2.

    $$8/{16}=4/8=2/4=1/2$$

Sprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika

Ułamki o różnych mianownikach można sprowadzić do postaci o jednakowych mianownikach. W tym celu wystarczy rozszerzyć lub skrócić te ułamki (lub jeden z nich) tak, aby w mianowniku otrzymać taka samą liczbę (czyli właśnie ułamki o takich samych mianownikach). Wspólnym mianownikiem może być wspólna wielokrotność dwóch liczb, będących mianownikami danych ułamków, lub najmniejsza wspólna wielokrotność danych mianowników.

Przykład: Sprowadźmy do wspólnego mianownika ułamki $$1/{12}$$ i $$3/{16}$$

  • I sposób

    Wspólnym mianownikiem może być wspólna wielokrotność liczb, będących mianownikami danych ułamków, czyli liczba 12•16= 192.
    W tym przypadku rozszerzamy pierwszy ułamek przez 16, a drugi przez 12, tak aby oba ułamki miały ten sam mianownik (równy 12•16).

    Rozszerzamy oba ułamki:
    $$1/{12}= {1•16}/{12•16}= {16}/{192}$$
    $$3/{16}= {3•12}/{16•12}= {36}/{192}$$
     

  • II sposób

    wspólnym mianownikiem może być najmniejsza wspólna wielokrotność dwóch liczb, będących mianownikami danych ułamków, czyli NWW (12, 16).

      Wyznaczanie najmniejszej wspólnej wielokrotności

    nww
    $$NWW(12,16)=2•2•2•2•3= 48$$

    Wspólnym mianownikiem danych ułamków będzie liczba 48.

    $$1/{12}={48÷12•1}/{48}= 4/{48}$$ $$3/{16}={48÷16•3}/{48}= 9/{48}$$
     

Porównywanie ułamków

Porównywanie dwóch ułamków polega na stwierdzeniu, który z nich jest mniejszy, który większy.

  1. Porównywanie ułamków o takich samych mianownikach.

    Jeżeli ułamki zwykłe mają takie same mianowniki, to ten jest większy, który ma większy licznik.

    Przykład:

    • $$3/8$$ < $$5/8$$
       
  2. Porównywanie ułamków o takich samych licznikach.

    Jeżeli ułamki zwykłe mają takie same liczniki, to ten jest większy, który ma mniejszy mianownik.

    Przykład:

    • $$4/5$$ > $$4/9$$
       
  3. Porównywanie ułamków o różnych mianownikach.

    Aby porównać ułamki o różnych mianownikach, najpierw sprowadzamy je do wspólnego mianownika, a następnie porównujemy ich liczniki. Z dwóch ułamków o jednakowych mianownikach większy jest, który ma większy licznik.

    Przykład:

    • Porównajmy ułamki $$2/3$$ i $$3/4$$
      $$2/3$$ ? $$3/4$$

      $${2•4}/{3•4}$$ ? $${3•3}/{4•3}$$ ← sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika (rozszerzamy ułamki tak aby w mianownikach otrzymać takie same liczby)

      $$8/{12}$$ < $$9/{12}$$

 

Zaokrąglanie ułamków dziesiętnych

Ułamek dziesiętny możemy zaokrąglać, w miarę potrzeb, do pewnego rzędu, czyli podawać go z dokładnością do określonej liczby miejsc po przecinku - do jedności, do części dziesiątych, części setnych itd. Jeżeli zaokrąglamy ułamek do pewnego miejsca po przecinku (czyli do danego rzędu) wtedy odrzucamy wszystkie cyfry znajdujące się na prawo od miejsca do którego zaokrąglamy i:

  • Jeżeli pierwsza z odrzuconych cyfr jest mniejsza od 5, to ostatnią cyfrę naszego przybliżenia zostawiamy bez zmian (jest to tak zwane zaokrąglenie w dół lub zaokrąglenie z niedomiarem). Jeżeli odrzucone cyfry były położone przed przecinkiem, należy na ich pozycjach wpisać zera,
  • Jeżeli pierwsza z odrzuconych cyfr jest większa lub równa 5, to ostatnią cyfrę naszego przybliżenia zwiększamy o 1 (jest to tak zwane zaokrąglenie w górę lub zaokrąglenie z nadmiarem). Jeżeli odrzucone cyfry były położone przed przecinkiem, należy na ich pozycjach wpisać zera.

Przykłady:

  • Zaokrąglenie liczby 2,871 do części setnych:

    $$2,871 ≈ 2,87$$, bo 1 < 5
     
  • Zaokrąglenie liczby 8,899 do części dziesiątych:

    $$8,899 ≈ 8,9$$, bo 9 > 5

Działania na ułamkach zwykłych i dziesiętnych

Przy rozwiązywaniu działań, w których występują ułamki zwykłe i dziesiętne, należy najpierw przedstawić je tej samej postaci – ułamka zwykłego lub ułamka dziesiętnego.

Następnie wykonujemy obliczenia jak zawsze, pamiętając o kolejności wykonywania działań:

  1. działania w nawiasach,
  2. potęgowanie i pierwiastkowanie,
  3. mnożenie i dzilenie,
  4. dodawanie i odejmowanie.

Przykład: Wykonaj działanie $$0,8 - 2/5$$.

  • I sposób
    Zamienimy ułamek dziesiętny na zwykły:
    $$0,8 = 8/{10}=4/5$$

    Możemy wykonać działanie:
    $$0,8 - 2/5= 4/5- 2/5= 2/5$$

  • II sposób
    Zamieniamy ułamek zwykły na dziesiętny:
    $$2/5= 4/{10}= 0,4$$

    Możemy wykonać działanie:
    $$0,8 - 2/5= 0,8 – 0,4 = 0,4$$

Przykład:

  • $$0,6 +2/3=6/{10}+2/3=3/5+2/3=9/{15}+{10}/{15}={19}/{15}$$
     

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Do sumy liczb $$15 1/6$$ i $$9 7/8$$ dodaj ich różnicę.

$$15 1/6+9 7/8+(15 1/6-9 7/8)=15 4/24 + 9 21/24+(15 4/24 - 9 21/24)=24 25/24+5 7/24=29 32/24=30 8/24=30 1/3 $$

Odp.: Wartość tego wyrażenia wynosi $$30 1/3$$.

Zadanie 2.

Wykonaj działania na ułamkach dziesiętnych:

  1. $$ 5,6+28,42+12,9-8,342 $$
  2. $$ (31,9-9,92)+18,12-6,8 $$
  1. $$ 5,6+28,42+12,9-8,342=34,02+12,9-8,342=46,92-8,342=38,578 $$
  2. $$ (31,9-9,92)+18,12-6,8=21,98+18,12-6,8=40,1-6,8=33,3 $$

Zadanie 3.

Oblicz $$3/5$$ z liczby 85.

$$3/5 •85={3•85}/5={255}/5=51$$

Zadanie 4.

Oblicz jakim ułamkiem liczby 49 jest liczba 7.

$$7/{49}=1/7$$

Odp: Liczba 7 jest $$1/7$$ liczby 49.

Zadanie 5.

Na obozie wioślarskim dziewczęta stanowiły $$3/8$$ wszystkich uczestników. Chłopców było o 12 więcej niż dziewcząt. Ile dziewcząt i ilu chłopców było na tym obozie?

dziewczęta -> $$3/8$$ wszystkich uczestników

chłopcy -> $$1- 3/8=5/8$$ wszystkich uczestników

Chłopców jest o $$2/8$$ wszystkich uczestników więcej. -> $$12= 2/8 x$$, gdzie x oznacza ilość wszystkich uczestników.

$$12= 2/8 x$$

$$x=48$$ -> na obozie jest 48 uczestników

dziewczęta -> $$48• 3/8=18$$

chłopcy -> $$48-18=30$$

Odp.: Na tym obozie jest 18 dziewcząt i 30 chłopców.

Zadanie 6.

Podziel:

  1. $$ 36,5÷5 $$
  2. $$ 179,2÷32 $$
  3. $$ 2,5÷0,625 $$
  1. $$ 36,5÷5=7,3 $$
  2. $$ 179,2÷32=5,6 $$
  3. $$ 2,5÷0,625=4 $$

Zadanie 7.

Mama kupiła 6 litrów miodu. Chciała przelać go 1,5 litrowych słoików. Ile jest ich potrzebnych? A ile jest potrzebnych słoików o pojemności $$1/4$$.

Aby policzyć ilość słoików musimy podzielić ilość wszystkich litrów miodu przez pojemność słoika:

$$6 ÷ 1,5 = 60 ÷ 15 = 4$$
Odp.: Mama potrzebuje 4 słoiki o pojemności 1,5 litra

$$6 ÷ 1/4= 6•4= 24$$
Odp.: Mama potrzebuje 24 słoiki o pojemności $$1/4$$ litra

Spis treści

Rozwiązane zadania
Żeglarze wyrażają odległości w milach morskich

Obliczam , ile mil łącznie pokonali Jaś i jego tata : 

12,5 + 18,3 = 30,8 

Obliczam , ile kilimetrów łącznie pokonali Jaś i jego tata  : 

 

Odp : Jaś i jego tata pokonali łącznie 57,0416km

Jan ma trzy rodzaje sześciennych klocków

P

P - z sześciennych klocków o krawędzi 5 cm

 

Latawiec Romka ma kształt deltoidu. Przekątne latawca mają długości 10 dm i 18 dm

W klasie VI jest 28 uczniów

Odp. C

Rozszyfruj działanie. Jednakowe ...

 

Wiemy, że D w zapisie rzymski oznacza 500.

W omawianym przykładzie D{premium} jest liczbą 100 razy mniejszą, czyli:

  

(500:100=5)

 

Przepiszmy wyrażenie zamianiając literę D na 5:

 

Pamietajmy, że każda litera oznacza inna cyfrę.

Zajmiemy się prawą stroną równości (oznaczoną powyżej literą P):

  

Zapiszmy liczbe B,E5 w postaci liczby mieszanej:

 

CA jest liczbą dwucyfrową, więc mianownik 100 musiał zostać skrócony.

Zauważmy, że liczba z licznika E5 jest podzielna przez 5 (ponieważ jej ostatnia cyfra to 5).

Czyli ułamek E5/100 mógł zostać skrócony przez 5.

Skróćmy mianownik przez 5:

 

 

czyli CA oznacza liczbę 20, stąd mamy:

 

 

Skróćmy licznik przez 5:

  

Zwróćmy uwagę, na to, że szukamy takiej liczby dwucyfrowej, w której cyfra dziesiątek (E) jest taka sama jak cyfra jedności w liczbie otrzymanej po podzieleniu liczby E5 przez 5.

Sprawdźmy, jaka liczba spełnia ten warunek.

Litery A, B, C, D oraz E oznaczają różne cyfry. Wiemy już, że C=2 i A=0, więc E na pewno nie może byc 2 ani 0.

E nie może byc także 1, 3 ani 4, ponieważ otrzymujemy wówczas liczby (15, 35, 45), które po podzieleniu przez 5 dają w wyniku liczbę jednocyfrową, a BE jest liczbą dwucyfrową.

Sprawdźmy, czy E jest 6:

 

Nie, ponieważ cyfra dziesiątek nie jest taka sama jak cyfra jedności w otrzymanym wyniku.

Sprawdzamy, czy E jest 7:

 

Nie, ponieważ cyfra dziesiątek nie jest taka sama jak cyfra jedności w otrzymanym wyniku.

Sprawdzamy, czy E jest 8:

 

Nie, ponieważ cyfra dziesiątek nie jest taka sama jak cyfra jedności w otrzymanym wyniku.

Sprawdzamy, czy E jest 9:

 

Cyfra dziesiątek jest taka sama jak cyfra jedności, więc:

 

 

Mamy:

czyli:

 

Stąd także:

  

 

Otrzymaliśmy następujące rozwiązanie:

 

 

Sprawdźmy, czy jest ono poprawne:

 

 

 

Rozwiązanie jest poprawne.

Cenę roweru obniżono o 10%, a następnie jeszcze o 15%.

Rower kosztuje 1500 zł. 


Pierwsza obniżka jego ceny wynosiła 10%. 
Kwota po obniżce stanowi więc 90% kwoty początkowej (100%-10%=90%). 
 

Cena roweru po pierwszej obniżce wynosiła 1350 zł


Druga obniżka ceny wynosiła 15%. 
Kwota po drugiej obniżce stanowi więc 85% ceny, jaką rower miał po pierwszej obniżce [1350zł] (100%-15%=85%). 
 

Cena roweru po drugiej obniżce to 1147,5 zł.  


Odpowiedź:
Po dwóch obniżkach rower kosztował 1147,5 zł. 

Przedstaw podaną liczbę...

a) -20

np. 

b) -10

np.

Jakim wielokątem jest ściana boczna tej bryły

Jest to trójkąt równoramienny.

Uzupełnij tabelki:
Kwota 40 zł 500 zł 2000 zł

10% kwoty
(10 razy mniej
niż 100%) 

4 zł 
(40 zł:10=4 zł)
50 zł
(500 zł:10=50 zł)
200 zł
(2000 zł:10=200 zł){premium}

30% kwoty
(3 razy więcej
niż 10%)

12 zł 
(4 zł٠3=12 zł)
150 zł
(50 zł٠3=150 zł)
600 zł
(200 zł٠3=600 zł)

70% kwoty
(7 razy więcej
niż 10%)

28 zł 
(4 zł٠7=28 zł)
350 zł
(50 zł٠7=350 zł)

1400 zł
(200 zł٠7=1400 zł)


90% kwoty
(9 razy więcej
niż 10%)

36 zł 
(4 zł٠9=36 zł)
450 zł
(50 zł٠9=450 zł)
1800 zł
(200 zł٠9=1800 zł)

 

Kwota 5000 zł 600 zł 200 zł

10% kwoty

(10 razy mniej
niż 100%) 

500 zł
(5000 zł:10=500 zł)
60 zł
(600 zł:10=60 zł)
20 zł
(200 zł:10=20 zł)

5% kwoty 

(2 razy mniej
niż 10%)

250 zł
(500 zł:2=250 zł)
30 zł
(60 zł:2=30 zł)
10 zł
(20 zł:2=10 zł)

1% kwoty
 
(5 razy mniej
niż 5%)

50 zł
(250 zł:5=50 zł)

6 zł
(30 zł:5=6 zł)

2 zł
(10 zł:5=2 zł)

3% kwoty

(3 razy więcej
niż 1%)

150 zł
(50 zł٠3=150 zł)
18 zł
(6 zł٠3=18 zł)
6 zł
(2 zł٠3=6 zł)

 

 

Przeczytaj informacje podane w ciekawostce. Oblicz głębokość morza, jeśli dźwięk powrócił do echosondy

Dźwięk rozchodzi się w wodzie z prędkością 1500 m/s, co oznacza, że {premium}w ciągu 1 sekundy pokonuje 1500 m. 

 

 

Po 5 sekundach dźwięk powrócił do echosondy, czyli pokonał drogę tam i z powrotem. 

Głębokość morza jest więc równa: