Ułamki zwykłe i dziesiętne - 6-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Przypomnienie wiadomości o ułamkach zwykłych

Ułamek zwykły to wyrażenie postaci $$a/b$$, gdzie a, b to liczby naturalne oraz b jest różne od zera,

a – to licznik
b – to mianownik
 

  Ciekawostka

Współczesny sposób zapisu ułamków pochodzi od matematyków hinduskich, zapisywali oni licznik i mianownik, nie używając jednak kreski rozdzielającej. Dodanie kreski rozdzielającej zawdzięczamy Arabom tłumaczącym dzieła Hindusów. W Europie jako pierwszy w swoich pracach znane do dziś oznaczenie ułamków publikuje włoski matematyk Fibonacci.

Ułamki to inny zapis dzielenia liczb naturalnych.
Iloraz liczb naturalnych a : b możemy zapisać w postaci ułamka $$a/b$$. Dzielna a jest licznikiem ułamka, dzielnik b różny od zera jest mianownikiem, a kreska ułamkowa zastępuje znak dzielenia:
$$a : b = a/b$$ , gdzie b jest różne od zera (b≠0)

Przykład:

  • $$9/2= 9÷2$$

Odwrotność ułamka

Jeżeli dany jest ułamek $$a/b$$ to ułamek $$b/a$$ nazywamy odwrotnością ułamka $$a/b$$.

Przykłady:

  • $$3/4$$ jest odwrotnością ułamka $$4/3$$,
  • 4 jest odwrotnością ułamka $$1/4$$.

Rodzaje ułamków zwykłych

  1. Ułamek właściwy – ułamek, którego licznik jest mniejszy od mianownika. Ułamek właściwy ma zawsze wartość mniejszą od 1.

    Przykłady:

    • $$3/8$$,
    • $${23}/{36}$$,
    • $$1/4$$,
    • $$0/5$$.
       
  2. Ułamek niewłaściwy – ułamek, którego mianownik jest równy lub mniejszy od licznika. Ułamek niewłaściwy ma zawsze wartość większą od 1.

    Przykłady:

    • $${15}/7$$,
    • $$3/1$$,
    • $${129}/5$$,
    • $${10}/5$$.
       
  3. Gdy z ułamków niewłaściwych wyciągniemy całości, powstają liczby mieszane. Liczba mieszana jest to suma dwóch składników, z których jeden jest liczbą naturalną (składnik całkowity), a drugi ułamkiem zwykłym właściwym (składnik ułamkowy).
    $$4 1/9= 4 + 1/9$$ ← liczbę mieszana zwykle zapisujemy bez użycia znaku dodawania +.

    Przykłady:

    • $$8/5=1 3/5$$,
    • $${13}/4= 3 1/4$$.
       

Wyłącznie całości z ułamka niewłaściwego

Wyłącznie całości z ułamka niewłaściwego - krok po kroku.

Dzielimy (być może z resztą) licznik przez mianownik (inaczej mówiąc sprawdzamy ile razy mianownik „zmieści się” w liczniku) i otrzymujemy w ten sposób liczbę naturalną, będącą całością (tzw. składnik całkowity) oraz resztę, która jest ułamkiem właściwym (tzw. składnik ułamkowy).

Przykład: $$9/4= 2 1/4$$

Dzielimy 9 przez 4, czyli sprawdzamy ile razy 4 zmieści się w 9. Liczba 4 zmieści się 2 razy w liczbie 9, czyli otrzymujemy 2 i resztę 1 (bo 2•4= 8, czyli do 9 brakuje 1, i ona jest naszą resztą).

Możemy zapisać jako działanie:

9÷4 = 2 reszty 1
2 - całości (składnik całkowity)
$$1/4$$ - ułamek właściwy (składnik ułamkowy)
 

Zamiana liczby mieszanej na ułamek niewłaściwy

Zamiana liczby mieszanej na ułamek niewłaściwy – krok po kroku.

Licznik tego ułamka otrzymujemy w następujący sposób: mianownik składnika ułamkowego mnożymy przez składnik całkowity i tego iloczynu dodajemy licznik składnika ułamkowego; mianownik natomiast jest równy mianownikowi składnika ułamkowego.

Przykład:

  • $$3 1/4= {3•4+1}/4= {13}/4$$

Rozszerzanie ułamków

Rozszerzanie ułamków - krok po kroku.

Rozszerzanie ułamków - mnożymy licznik i mianownik przez tą sama liczbę różną od zera; ułamek otrzymamy w ten sposób jest równy ułamkowi wyjściowemu. Pamiętajmy jednak, że każdy ułamek można rozszerzyć, jednak nie każdy ułamek można skrócić. Ułamki, których nie da się już skrócić nazywamy ułamkami nieskracalnymi.

Przykład:

  • Rozszerz ułamek $$3/5$$ przez 3. Licznik i mianownik należy pomnożyć przez 3:

    $$3/5={9}/{15}$$

Skracanie ułamków

Skracanie ułamków - krok po kroku.

Dzielimy licznik i mianownik przez tą samą liczbę różną od zera. Otrzymany w ten sposób ułamek, który jest równy ułamkowi wyjściowemu.

Przykład:

  • Skróć ułamek $$8/{16}$$ przez 2. Licznik i mianownik należy podzielić przez 2.

    $$8/{16}=4/8=2/4=1/2$$

Sprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika

Ułamki o różnych mianownikach można sprowadzić do postaci o jednakowych mianownikach. W tym celu wystarczy rozszerzyć lub skrócić te ułamki (lub jeden z nich) tak, aby w mianowniku otrzymać taka samą liczbę (czyli właśnie ułamki o takich samych mianownikach). Wspólnym mianownikiem może być wspólna wielokrotność dwóch liczb, będących mianownikami danych ułamków, lub najmniejsza wspólna wielokrotność danych mianowników.

Przykład: Sprowadźmy do wspólnego mianownika ułamki $$1/{12}$$ i $$3/{16}$$

  • I sposób

    Wspólnym mianownikiem może być wspólna wielokrotność liczb, będących mianownikami danych ułamków, czyli liczba 12•16= 192.
    W tym przypadku rozszerzamy pierwszy ułamek przez 16, a drugi przez 12, tak aby oba ułamki miały ten sam mianownik (równy 12•16).

    Rozszerzamy oba ułamki:
    $$1/{12}= {1•16}/{12•16}= {16}/{192}$$
    $$3/{16}= {3•12}/{16•12}= {36}/{192}$$
     

  • II sposób

    wspólnym mianownikiem może być najmniejsza wspólna wielokrotność dwóch liczb, będących mianownikami danych ułamków, czyli NWW (12, 16).

      Wyznaczanie najmniejszej wspólnej wielokrotności

    nww
    $$NWW(12,16)=2•2•2•2•3= 48$$

    Wspólnym mianownikiem danych ułamków będzie liczba 48.

    $$1/{12}={48÷12•1}/{48}= 4/{48}$$ $$3/{16}={48÷16•3}/{48}= 9/{48}$$
     

Porównywanie ułamków

Porównywanie dwóch ułamków polega na stwierdzeniu, który z nich jest mniejszy, który większy.

  1. Porównywanie ułamków o takich samych mianownikach.

    Jeżeli ułamki zwykłe mają takie same mianowniki, to ten jest większy, który ma większy licznik.

    Przykład:

    • $$3/8$$ < $$5/8$$
       
  2. Porównywanie ułamków o takich samych licznikach.

    Jeżeli ułamki zwykłe mają takie same liczniki, to ten jest większy, który ma mniejszy mianownik.

    Przykład:

    • $$4/5$$ > $$4/9$$
       
  3. Porównywanie ułamków o różnych mianownikach.

    Aby porównać ułamki o różnych mianownikach, najpierw sprowadzamy je do wspólnego mianownika, a następnie porównujemy ich liczniki. Z dwóch ułamków o jednakowych mianownikach większy jest, który ma większy licznik.

    Przykład:

    • Porównajmy ułamki $$2/3$$ i $$3/4$$
      $$2/3$$ ? $$3/4$$

      $${2•4}/{3•4}$$ ? $${3•3}/{4•3}$$ ← sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika (rozszerzamy ułamki tak aby w mianownikach otrzymać takie same liczby)

      $$8/{12}$$ < $$9/{12}$$

  Działania na ułamkach zwykłych

  Przypomnienie wiadomości o ułamkach dziesiętnych

  Działania na ułamkach dziesiętnych

Zaokrąglanie ułamków dziesiętnych

Ułamek dziesiętny możemy zaokrąglać, w miarę potrzeb, do pewnego rzędu, czyli podawać go z dokładnością do określonej liczby miejsc po przecinku - do jedności, do części dziesiątych, części setnych itd. Jeżeli zaokrąglamy ułamek do pewnego miejsca po przecinku (czyli do danego rzędu) wtedy odrzucamy wszystkie cyfry znajdujące się na prawo od miejsca do którego zaokrąglamy i:

  • Jeżeli pierwsza z odrzuconych cyfr jest mniejsza od 5, to ostatnią cyfrę naszego przybliżenia zostawiamy bez zmian (jest to tak zwane zaokrąglenie w dół lub zaokrąglenie z niedomiarem). Jeżeli odrzucone cyfry były położone przed przecinkiem, należy na ich pozycjach wpisać zera,
  • Jeżeli pierwsza z odrzuconych cyfr jest większa lub równa 5, to ostatnią cyfrę naszego przybliżenia zwiększamy o 1 (jest to tak zwane zaokrąglenie w górę lub zaokrąglenie z nadmiarem). Jeżeli odrzucone cyfry były położone przed przecinkiem, należy na ich pozycjach wpisać zera.

Przykłady:

  • Zaokrąglenie liczby 2,871 do części setnych:

    $$2,871 ≈ 2,87$$, bo 1 < 5
     
  • Zaokrąglenie liczby 8,899 do części dziesiątych:

    $$8,899 ≈ 8,9$$, bo 9 > 5

Działania na ułamkach zwykłych i dziesiętnych

Przy rozwiązywaniu działań, w których występują ułamki zwykłe i dziesiętne, należy najpierw przedstawić je tej samej postaci – ułamka zwykłego lub ułamka dziesiętnego.

Następnie wykonujemy obliczenia jak zawsze, pamiętając o kolejności wykonywania działań:

  1. działania w nawiasach,
  2. potęgowanie i pierwiastkowanie,
  3. mnożenie i dzilenie,
  4. dodawanie i odejmowanie.

Przykład: Wykonaj działanie $$0,8 - 2/5$$.

  • I sposób
    Zamienimy ułamek dziesiętny na zwykły:
    $$0,8 = 8/{10}=4/5$$

    Możemy wykonać działanie:
    $$0,8 - 2/5= 4/5- 2/5= 2/5$$

  • II sposób
    Zamieniamy ułamek zwykły na dziesiętny:
    $$2/5= 4/{10}= 0,4$$

    Możemy wykonać działanie:
    $$0,8 - 2/5= 0,8 – 0,4 = 0,4$$

Przykład:

  • $$0,6 +2/3=6/{10}+2/3=3/5+2/3=9/{15}+{10}/{15}={19}/{15}$$
     

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Do sumy liczb $$15 1/6$$ i $$9 7/8$$ dodaj ich różnicę.

$$15 1/6+9 7/8+(15 1/6-9 7/8)=15 4/24 + 9 21/24+(15 4/24 - 9 21/24)=24 25/24+5 7/24=29 32/24=30 8/24=30 1/3 $$

Odp.: Wartość tego wyrażenia wynosi $$30 1/3$$.

Zadanie 2.

Wykonaj działania na ułamkach dziesiętnych:

  1. $$ 5,6+28,42+12,9-8,342 $$
  2. $$ (31,9-9,92)+18,12-6,8 $$
  1. $$ 5,6+28,42+12,9-8,342=34,02+12,9-8,342=46,92-8,342=38,578 $$
  2. $$ (31,9-9,92)+18,12-6,8=21,98+18,12-6,8=40,1-6,8=33,3 $$

Zadanie 3.

Oblicz $$3/5$$ z liczby 85.

$$3/5 •85={3•85}/5={255}/5=51$$

Zadanie 4.

Oblicz jakim ułamkiem liczby 49 jest liczba 7.

$$7/{49}=1/7$$

Odp: Liczba 7 jest $$1/7$$ liczby 49.

Zadanie 5.

Na obozie wioślarskim dziewczęta stanowiły $$3/8$$ wszystkich uczestników. Chłopców było o 12 więcej niż dziewcząt. Ile dziewcząt i ilu chłopców było na tym obozie?

dziewczęta -> $$3/8$$ wszystkich uczestników

chłopcy -> $$1- 3/8=5/8$$ wszystkich uczestników

Chłopców jest o $$2/8$$ wszystkich uczestników więcej. -> $$12= 2/8 x$$, gdzie x oznacza ilość wszystkich uczestników.

$$12= 2/8 x$$

$$x=48$$ -> na obozie jest 48 uczestników

dziewczęta -> $$48• 3/8=18$$

chłopcy -> $$48-18=30$$

Odp.: Na tym obozie jest 18 dziewcząt i 30 chłopców.

Zadanie 6.

Podziel:

  1. $$ 36,5÷5 $$
  2. $$ 179,2÷32 $$
  3. $$ 2,5÷0,625 $$
  1. $$ 36,5÷5=7,3 $$
  2. $$ 179,2÷32=5,6 $$
  3. $$ 2,5÷0,625=4 $$

Zadanie 7.

Mama kupiła 6 litrów miodu. Chciała przelać go 1,5 litrowych słoików. Ile jest ich potrzebnych? A ile jest potrzebnych słoików o pojemności $$1/4$$.

Aby policzyć ilość słoików musimy podzielić ilość wszystkich litrów miodu przez pojemność słoika:

$$6 ÷ 1,5 = 60 ÷ 15 = 4$$
Odp.: Mama potrzebuje 4 słoiki o pojemności 1,5 litra

$$6 ÷ 1/4= 6•4= 24$$
Odp.: Mama potrzebuje 24 słoiki o pojemności $$1/4$$ litra

Spis treści

Rozwiązane zadania
Do trzykrotności liczby a...

Trzykrotność liczby `a` to po prostu `3^a` . DO trzykrotności liczby `a` dodajemy 7. Możemy więc zapisać:

`3a+7\ \ "lub"\ \ 7+3a` 

 

Odpowiedź: A oraz C

strona 11 zadanie 22 oblicz a) 1 4/5 liczby 15

`a)`

`1 4/5*15=(1*5+4)/5*15=9/5*15=27`

`b)`

`7/12*3/28=1/16`

`c)`

`5/6*2 2 2/5=5/6*(2*5+2)/5=5/6*12/5=2`

`d)`

`3 1/3* 2 2/5=(3*3+1)/3*(2*5+2)/5=10/3*12/5=8`

` `

Spróbuj przewidzieć, jaka liczba pojawi się w okienku kalkulatora po wykonaniu podanych instrukcji i sprawdź swoje przewidywania.

a) `100*5/100=5`

b) `200*5/100=10`

c) `120*20/100=24`

d) `99*30/100=99*3/10=297/10=29,7`

Prostokąt ma wymiary 4cm na 6cm

a) Skala 1:2 oznacza, że zmniejszamy wymiary dwukrotnie, czyli

4cm:2=2cm

6cm:2=3cm

Odp. Rysunek będzie miał wymiary 2cm na 3cm

 

b) Skala 3:1 oznacza, że zwiększamy wymiary trzykrotnie, czyli

4cm*3=12cm

6cm*3=18cm

Odp. Rysunek będzie miał wymiary 12cm na 18cm

Skala Fahrenheita to skala...

a)

`t_"Fahrenheita"=t_"Celcjusza":5*9+32^oC `

Aby wyznaczyć temperaturę w skali Fahrenheita w miejsce tCelcjusza wstawiamy wartość -30oC

`t_"Fahrenheita"=(-30^oC):5*9+32^oC=(-6^oC)*9+32^oC=(-54^oC)+32^oC=(-22)^oF `

-30oC to -22oF

b)

`t_"Celcjusza"=(t_"Fahrenheita"-32^o):9*5 `

Aby wyznaczyć temperaturę w skali Celcjusza w miejsce tFahrenheita wstawiamy wartość -4oF

`t_"Celcjusza"=(-4^oF-32^o):9*5=(-36^oF):9*5=(-4^oF)*5=-20^oC `

-4oF to -20oC

Oblicz. a) 6·5:15·2, (...)

`a) 6*5:15*2=30:15*2=2*2=4`

`b) 36:3*2+5*2-7=12*2+10-7=24+10-7=34-7=27`

`c) (0,2+2*1 3/4)/0,37=(0,2+2*7/4):0,37=(2/10+7/2):37/100=(2/10+35/10)*100/37=37/10*100/37=1/10*100/1=100/10=10`

`d) (1/3*3^2*(1/3)^2)/(1/3)=(1/3*9*1/9):1/3=(1/3*1)*3/1=1/3*3/1=1`

W sklepie papierniczym Maja kupiła...

Zapisanie informacji:

`18-` cena piórnika

Ułożenie i rozwiązanie równania:

`18+2x=27\ |-18` 

`2x=9\ |:2` 

`x=4,5` 

Sprawdzenie poprawności rozwiązania:    

`18+2*4,5=18+9=27` 

Zapisanie odpowiedzi:

Odp. Długopis kosztował `4,5\ "zł".`    

Prasa podała liczbę widzów na meczach piłki nożnej, zaokrąglając

Anglia - Brazylia: 

`123\ 524~~124\ 000=ul( \ 124 \ )\ "tys."`
  


Atletico - Barcelona:

`75\ 927~~76\ 000=ul( \ 76 \ )\ "tys."`  


Polonia - Wisła: 

`4197~~4000=ul( \ 4 \ )\ "tys."` 

Ułamki zamień na ułamki dziesiętne

`3/4=75/100=0,75`

`1/8=125/1000=0,125`

`26/25=104/100=1,04`

`21/50=42/100=0,42`

`65/125=13/25=52/100=0,52`

Uzupełnij tabelę.
100% 10%
(100%:10)
1%
(10%:10)
5%
(10%:2)
15%
(5%٠3)
16%
(15%+1%)
20%
(10%٠2)
21%
(20%+1%)
95%
(100%-5%)
800 zł 80 zł 8 zł 40 zł 120 zł 128 zł 160 zł 168 zł 760 zł
40 kg 4 kg 0,4 kg 2 kg 6 kg 6,4 kg 8 kg 8,4 kg 38 kg
24 km 2,4 km 0,24 km 1,2 km 3,6 km 3,84 km 4,8 km 5,04 km 22,8 km
0,2 t  0,02 t 0,002 t 0,01 t 0,03 t 0,032 t 0,04 t 0,042 t 0,19 t