Ułamki zwykłe i dziesiętne - 6-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Przypomnienie wiadomości o ułamkach zwykłych

Ułamek zwykły to wyrażenie postaci $$a/b$$, gdzie a, b to liczby naturalne oraz b jest różne od zera,

a – to licznik
b – to mianownik
 

  Ciekawostka

Współczesny sposób zapisu ułamków pochodzi od matematyków hinduskich, zapisywali oni licznik i mianownik, nie używając jednak kreski rozdzielającej. Dodanie kreski rozdzielającej zawdzięczamy Arabom tłumaczącym dzieła Hindusów. W Europie jako pierwszy w swoich pracach znane do dziś oznaczenie ułamków publikuje włoski matematyk Fibonacci.

Ułamki to inny zapis dzielenia liczb naturalnych.
Iloraz liczb naturalnych a : b możemy zapisać w postaci ułamka $$a/b$$. Dzielna a jest licznikiem ułamka, dzielnik b różny od zera jest mianownikiem, a kreska ułamkowa zastępuje znak dzielenia:
$$a : b = a/b$$ , gdzie b jest różne od zera (b≠0)

Przykład:

  • $$9/2= 9÷2$$

Odwrotność ułamka

Jeżeli dany jest ułamek $$a/b$$ to ułamek $$b/a$$ nazywamy odwrotnością ułamka $$a/b$$.

Przykłady:

  • $$3/4$$ jest odwrotnością ułamka $$4/3$$,
  • 4 jest odwrotnością ułamka $$1/4$$.

Rodzaje ułamków zwykłych

  1. Ułamek właściwy – ułamek, którego licznik jest mniejszy od mianownika. Ułamek właściwy ma zawsze wartość mniejszą od 1.

    Przykłady:

    • $$3/8$$,
    • $${23}/{36}$$,
    • $$1/4$$,
    • $$0/5$$.
       
  2. Ułamek niewłaściwy – ułamek, którego mianownik jest równy lub mniejszy od licznika. Ułamek niewłaściwy ma zawsze wartość większą od 1.

    Przykłady:

    • $${15}/7$$,
    • $$3/1$$,
    • $${129}/5$$,
    • $${10}/5$$.
       
  3. Gdy z ułamków niewłaściwych wyciągniemy całości, powstają liczby mieszane. Liczba mieszana jest to suma dwóch składników, z których jeden jest liczbą naturalną (składnik całkowity), a drugi ułamkiem zwykłym właściwym (składnik ułamkowy).
    $$4 1/9= 4 + 1/9$$ ← liczbę mieszana zwykle zapisujemy bez użycia znaku dodawania +.

    Przykłady:

    • $$8/5=1 3/5$$,
    • $${13}/4= 3 1/4$$.
       

Wyłącznie całości z ułamka niewłaściwego

Wyłącznie całości z ułamka niewłaściwego - krok po kroku.

Dzielimy (być może z resztą) licznik przez mianownik (inaczej mówiąc sprawdzamy ile razy mianownik „zmieści się” w liczniku) i otrzymujemy w ten sposób liczbę naturalną, będącą całością (tzw. składnik całkowity) oraz resztę, która jest ułamkiem właściwym (tzw. składnik ułamkowy).

Przykład: $$9/4= 2 1/4$$

Dzielimy 9 przez 4, czyli sprawdzamy ile razy 4 zmieści się w 9. Liczba 4 zmieści się 2 razy w liczbie 9, czyli otrzymujemy 2 i resztę 1 (bo 2•4= 8, czyli do 9 brakuje 1, i ona jest naszą resztą).

Możemy zapisać jako działanie:

9÷4 = 2 reszty 1
2 - całości (składnik całkowity)
$$1/4$$ - ułamek właściwy (składnik ułamkowy)
 

Zamiana liczby mieszanej na ułamek niewłaściwy

Zamiana liczby mieszanej na ułamek niewłaściwy – krok po kroku.

Licznik tego ułamka otrzymujemy w następujący sposób: mianownik składnika ułamkowego mnożymy przez składnik całkowity i tego iloczynu dodajemy licznik składnika ułamkowego; mianownik natomiast jest równy mianownikowi składnika ułamkowego.

Przykład:

  • $$3 1/4= {3•4+1}/4= {13}/4$$

Rozszerzanie ułamków

Rozszerzanie ułamków - krok po kroku.

Rozszerzanie ułamków - mnożymy licznik i mianownik przez tą sama liczbę różną od zera; ułamek otrzymamy w ten sposób jest równy ułamkowi wyjściowemu. Pamiętajmy jednak, że każdy ułamek można rozszerzyć, jednak nie każdy ułamek można skrócić. Ułamki, których nie da się już skrócić nazywamy ułamkami nieskracalnymi.

Przykład:

  • Rozszerz ułamek $$3/5$$ przez 3. Licznik i mianownik należy pomnożyć przez 3:

    $$3/5={9}/{15}$$

Skracanie ułamków

Skracanie ułamków - krok po kroku.

Dzielimy licznik i mianownik przez tą samą liczbę różną od zera. Otrzymany w ten sposób ułamek, który jest równy ułamkowi wyjściowemu.

Przykład:

  • Skróć ułamek $$8/{16}$$ przez 2. Licznik i mianownik należy podzielić przez 2.

    $$8/{16}=4/8=2/4=1/2$$

Sprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika

Ułamki o różnych mianownikach można sprowadzić do postaci o jednakowych mianownikach. W tym celu wystarczy rozszerzyć lub skrócić te ułamki (lub jeden z nich) tak, aby w mianowniku otrzymać taka samą liczbę (czyli właśnie ułamki o takich samych mianownikach). Wspólnym mianownikiem może być wspólna wielokrotność dwóch liczb, będących mianownikami danych ułamków, lub najmniejsza wspólna wielokrotność danych mianowników.

Przykład: Sprowadźmy do wspólnego mianownika ułamki $$1/{12}$$ i $$3/{16}$$

  • I sposób

    Wspólnym mianownikiem może być wspólna wielokrotność liczb, będących mianownikami danych ułamków, czyli liczba 12•16= 192.
    W tym przypadku rozszerzamy pierwszy ułamek przez 16, a drugi przez 12, tak aby oba ułamki miały ten sam mianownik (równy 12•16).

    Rozszerzamy oba ułamki:
    $$1/{12}= {1•16}/{12•16}= {16}/{192}$$
    $$3/{16}= {3•12}/{16•12}= {36}/{192}$$
     

  • II sposób

    wspólnym mianownikiem może być najmniejsza wspólna wielokrotność dwóch liczb, będących mianownikami danych ułamków, czyli NWW (12, 16).

      Wyznaczanie najmniejszej wspólnej wielokrotności

    nww
    $$NWW(12,16)=2•2•2•2•3= 48$$

    Wspólnym mianownikiem danych ułamków będzie liczba 48.

    $$1/{12}={48÷12•1}/{48}= 4/{48}$$ $$3/{16}={48÷16•3}/{48}= 9/{48}$$
     

Porównywanie ułamków

Porównywanie dwóch ułamków polega na stwierdzeniu, który z nich jest mniejszy, który większy.

  1. Porównywanie ułamków o takich samych mianownikach.

    Jeżeli ułamki zwykłe mają takie same mianowniki, to ten jest większy, który ma większy licznik.

    Przykład:

    • $$3/8$$ < $$5/8$$
       
  2. Porównywanie ułamków o takich samych licznikach.

    Jeżeli ułamki zwykłe mają takie same liczniki, to ten jest większy, który ma mniejszy mianownik.

    Przykład:

    • $$4/5$$ > $$4/9$$
       
  3. Porównywanie ułamków o różnych mianownikach.

    Aby porównać ułamki o różnych mianownikach, najpierw sprowadzamy je do wspólnego mianownika, a następnie porównujemy ich liczniki. Z dwóch ułamków o jednakowych mianownikach większy jest, który ma większy licznik.

    Przykład:

    • Porównajmy ułamki $$2/3$$ i $$3/4$$
      $$2/3$$ ? $$3/4$$

      $${2•4}/{3•4}$$ ? $${3•3}/{4•3}$$ ← sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika (rozszerzamy ułamki tak aby w mianownikach otrzymać takie same liczby)

      $$8/{12}$$ < $$9/{12}$$

  Działania na ułamkach zwykłych

  Przypomnienie wiadomości o ułamkach dziesiętnych

  Działania na ułamkach dziesiętnych

Zaokrąglanie ułamków dziesiętnych

Ułamek dziesiętny możemy zaokrąglać, w miarę potrzeb, do pewnego rzędu, czyli podawać go z dokładnością do określonej liczby miejsc po przecinku - do jedności, do części dziesiątych, części setnych itd. Jeżeli zaokrąglamy ułamek do pewnego miejsca po przecinku (czyli do danego rzędu) wtedy odrzucamy wszystkie cyfry znajdujące się na prawo od miejsca do którego zaokrąglamy i:

  • Jeżeli pierwsza z odrzuconych cyfr jest mniejsza od 5, to ostatnią cyfrę naszego przybliżenia zostawiamy bez zmian (jest to tak zwane zaokrąglenie w dół lub zaokrąglenie z niedomiarem). Jeżeli odrzucone cyfry były położone przed przecinkiem, należy na ich pozycjach wpisać zera,
  • Jeżeli pierwsza z odrzuconych cyfr jest większa lub równa 5, to ostatnią cyfrę naszego przybliżenia zwiększamy o 1 (jest to tak zwane zaokrąglenie w górę lub zaokrąglenie z nadmiarem). Jeżeli odrzucone cyfry były położone przed przecinkiem, należy na ich pozycjach wpisać zera.

Przykłady:

  • Zaokrąglenie liczby 2,871 do części setnych:

    $$2,871 ≈ 2,87$$, bo 1 < 5
     
  • Zaokrąglenie liczby 8,899 do części dziesiątych:

    $$8,899 ≈ 8,9$$, bo 9 > 5

Działania na ułamkach zwykłych i dziesiętnych

Przy rozwiązywaniu działań, w których występują ułamki zwykłe i dziesiętne, należy najpierw przedstawić je tej samej postaci – ułamka zwykłego lub ułamka dziesiętnego.

Następnie wykonujemy obliczenia jak zawsze, pamiętając o kolejności wykonywania działań:

  1. działania w nawiasach,
  2. potęgowanie i pierwiastkowanie,
  3. mnożenie i dzilenie,
  4. dodawanie i odejmowanie.

Przykład: Wykonaj działanie $$0,8 - 2/5$$.

  • I sposób
    Zamienimy ułamek dziesiętny na zwykły:
    $$0,8 = 8/{10}=4/5$$

    Możemy wykonać działanie:
    $$0,8 - 2/5= 4/5- 2/5= 2/5$$

  • II sposób
    Zamieniamy ułamek zwykły na dziesiętny:
    $$2/5= 4/{10}= 0,4$$

    Możemy wykonać działanie:
    $$0,8 - 2/5= 0,8 – 0,4 = 0,4$$

Przykład:

  • $$0,6 +2/3=6/{10}+2/3=3/5+2/3=9/{15}+{10}/{15}={19}/{15}$$
     

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Do sumy liczb $$15 1/6$$ i $$9 7/8$$ dodaj ich różnicę.

$$15 1/6+9 7/8+(15 1/6-9 7/8)=15 4/24 + 9 21/24+(15 4/24 - 9 21/24)=24 25/24+5 7/24=29 32/24=30 8/24=30 1/3 $$

Odp.: Wartość tego wyrażenia wynosi $$30 1/3$$.

Zadanie 2.

Wykonaj działania na ułamkach dziesiętnych:

  1. $$ 5,6+28,42+12,9-8,342 $$
  2. $$ (31,9-9,92)+18,12-6,8 $$
  1. $$ 5,6+28,42+12,9-8,342=34,02+12,9-8,342=46,92-8,342=38,578 $$
  2. $$ (31,9-9,92)+18,12-6,8=21,98+18,12-6,8=40,1-6,8=33,3 $$

Zadanie 3.

Oblicz $$3/5$$ z liczby 85.

$$3/5 •85={3•85}/5={255}/5=51$$

Zadanie 4.

Oblicz jakim ułamkiem liczby 49 jest liczba 7.

$$7/{49}=1/7$$

Odp: Liczba 7 jest $$1/7$$ liczby 49.

Zadanie 5.

Na obozie wioślarskim dziewczęta stanowiły $$3/8$$ wszystkich uczestników. Chłopców było o 12 więcej niż dziewcząt. Ile dziewcząt i ilu chłopców było na tym obozie?

dziewczęta -> $$3/8$$ wszystkich uczestników

chłopcy -> $$1- 3/8=5/8$$ wszystkich uczestników

Chłopców jest o $$2/8$$ wszystkich uczestników więcej. -> $$12= 2/8 x$$, gdzie x oznacza ilość wszystkich uczestników.

$$12= 2/8 x$$

$$x=48$$ -> na obozie jest 48 uczestników

dziewczęta -> $$48• 3/8=18$$

chłopcy -> $$48-18=30$$

Odp.: Na tym obozie jest 18 dziewcząt i 30 chłopców.

Zadanie 6.

Podziel:

  1. $$ 36,5÷5 $$
  2. $$ 179,2÷32 $$
  3. $$ 2,5÷0,625 $$
  1. $$ 36,5÷5=7,3 $$
  2. $$ 179,2÷32=5,6 $$
  3. $$ 2,5÷0,625=4 $$

Zadanie 7.

Mama kupiła 6 litrów miodu. Chciała przelać go 1,5 litrowych słoików. Ile jest ich potrzebnych? A ile jest potrzebnych słoików o pojemności $$1/4$$.

Aby policzyć ilość słoików musimy podzielić ilość wszystkich litrów miodu przez pojemność słoika:

$$6 ÷ 1,5 = 60 ÷ 15 = 4$$
Odp.: Mama potrzebuje 4 słoiki o pojemności 1,5 litra

$$6 ÷ 1/4= 6•4= 24$$
Odp.: Mama potrzebuje 24 słoiki o pojemności $$1/4$$ litra

Spis treści

Rozwiązane zadania
Które ulice nie są równoległe?

Ulice Narutowicza i Śródmiejska nie są równoległe.

a) Który z kontynentów ma najmniejszą rozpiętość...

a) 

Australia 50,7° C-(-23° C)=73,7° C

b)

Ameryka Północna 56,7° C-(-66,1° C)=122,8° C

Stu dwudziestu uczniów zapytano...

Wszystkich pytanych uczniów było 120. 60 z nich wskazało kolor czarny. Obliczmy jaki to procent:

`(60)/(120)*100%=50% `

Oznacza to, że połowa wszystkich uczniów wskazała jako ulubiony kolor czarny. 

Kolejne 30 osób wskazało jako ulubiony kolor granatowy. Wyznaczmy jaki to procent:

`(30)/(120)*100%=25% `

Oznacza to, że jedna czwarta wszystkich uczniów wskazała jako ulubiony kolor granatowy.

12 uczniów z 120 wskazało jako ulubiony kolor czerwony. Obliczmy ile to jest procent:

`(12)/(120)*100%=10% `

Pozostali uczniowie, wskazali inne kolory. Obliczmy ilu jest pozostałych uczniów:

`120-60-30-12=18 `

Oraz jaki procent z całości oni stanowią:

`(18)/(120)*100%=15% `

Uzyskane wyniki następnie przedstawiamy na diagramie kołowym. Możemy zauważyć, że koło to jest podzielone na 20 pól - czyli 20 pól to 100% koła.

Uczniowie, którzy wybrali kolor czarny stanowią 50% - czyli na czarno zamalowujemy 50% (połowę) koła. Połowa z 20 pól to 10 - na kolor czarny malujemy więc 10 pól. 

Uczniowie, którzy wybrali kolor granatowy stanowią 25% - czyli na granatowo zamalowujemy 25% (1/4) koła. 1/4 z 20 pól to:

`1/strike(4)^1*strike(20)^5=5` 

Na granatowo zamalowujemy więc 5 pól. 

Uczniowie, którzy wybrali kolor czerwony stanowią 10% - czyli na czerwono zamalowujemy 10% koła. 10% z 20 to:

`1/strike(10)*strike(20)^2=2 `

Na czerwono zamalowujemy więc 2 pola.

Pozostałą część koła zamalowujemy innym kolorem - tą część będą stanowili uczniowie, którzy wybrali inne kolory. 

 

Bracia Wojtek i Maciek mają...

Wojtek i Maciek mają razem 30 lat. Wiemy, że Wojtek jest o 4 lata starszy od Maćka.

Możemy więc zapisać, że:

`"Maciek"+"Wojtek"=30` 

czyli:

`"Maciek"+"Maciek"+4=30` 

Kiedy od wspólnego wieku chłopaków odejmiemy 4 lata otrzymamy podwojony wiek Maćka

`2*"Maciek"=30-4` 

`2*"Maciek"=26` 

Obliczmy wiek Maćka:

`"Maciek"=26:2=13` 

Maciek ma 13 lat. Wojtek jest 4 lata starszy, ma więc:

`"Wojtek"=13+4=17` 

 

Odpowiedź: Maciek ma 13 lat a Wojtek 17 lat. 

Dwóch zawodników uzyskało po 1 punkcie, chociaż każdy rozwiązał inną liczbę zadań.

`2*4+7*(-1)+1*0=8-7+0=1` 

`1*4+3*(-1)+6*0=4-3+0=1`   

Cena roweru.

Cena roweru - ? 

25%×=257,50zł 

0,25×=257,50zł 

×=257,50zł ÷0,25

×=1030zł 

Daną liczbę zapisz za pomocą...

`a)\ XXI\ \ ->\ \ 21` 

`b)\ XXIX\ \ ->\ \ 29` 

`c)\ XVI\ \ ->\ \ 16` 

`d)\ XXIV\ \ ->\ \ 24` 

 

Pod każdą z metek zapisz na trzy sposoby ...

 

Bluzka

Procent

Ułamek dziesiętny

Ułamek zwykły

niebieska

65%

0,65

`65/100=13/20` 

czerwona

80%

0,8

`80/100=4/5` 

błękitna

3%

0,03

`3/100` 
Na rysunku zapisano pola trzech prostokątów

`1\ cm*3\ cm=3\ cm^2\ \ \ \ \ \ 1\ cm\ xx\ 3\ cm`

`1\ cm*6\ cm=6\ cm^2\ \ \ \ \ \ 1\ cm\ xx \ 6\ cm`

`2\ cm*6\ cm=12\ cm^2\ \ \ \ \ 2\ cm\ xx \ 6\ cm`

 

 

Wymiary ostatniego prostokąta: 

`2\ cm\ xx\ 3\ cm`

`P=2\ cm*3\ cm=6\ cm^2\ \ \ \ \ C`

 

 

Zamień na procenty.

`a)\ 2/5 *100%=ul(40%)`

`b)\ 24/50 *100%=ul(48%)`

`c)\ 1/4 *100%=100/4 %=ul(25%)`

`d)\ 1/8* 100%=100/8 %=ul(12,5%)`

`e)\ 19/25*100%=1900/25%=ul(76%)`