Ułamki zwykłe i dziesiętne - 6-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Ułamki zwykłe i dziesiętne - 6-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Przypomnienie wiadomości o ułamkach zwykłych

Ułamek zwykły to wyrażenie postaci $a/b$, gdzie a, b to liczby naturalne oraz b jest różne od zera,

a – to licznik
b – to mianownik
 

  Ciekawostka

Współczesny sposób zapisu ułamków pochodzi od matematyków hinduskich, zapisywali oni licznik i mianownik, nie używając jednak kreski rozdzielającej. Dodanie kreski rozdzielającej zawdzięczamy Arabom tłumaczącym dzieła Hindusów. W Europie jako pierwszy w swoich pracach znane do dziś oznaczenie ułamków publikuje włoski matematyk Fibonacci.

Ułamki to inny zapis dzielenia liczb naturalnych.
Iloraz liczb naturalnych a : b możemy zapisać w postaci ułamka $a/b$. Dzielna a jest licznikiem ułamka, dzielnik b różny od zera jest mianownikiem, a kreska ułamkowa zastępuje znak dzielenia:
$a : b = a/b$ , gdzie b jest różne od zera (b≠0)

Przykład:

  • $9/2= 9÷2$

Odwrotność ułamka

Jeżeli dany jest ułamek $a/b$ to ułamek $b/a$ nazywamy odwrotnością ułamka $a/b$.

Przykłady:

  • $3/4$ jest odwrotnością ułamka $4/3$,
  • 4 jest odwrotnością ułamka $1/4$.

Rodzaje ułamków zwykłych

  1. Ułamek właściwy – ułamek, którego licznik jest mniejszy od mianownika. Ułamek właściwy ma zawsze wartość mniejszą od 1.

    Przykłady:

    • `3/8` 

    • `7/27` 

    •  `1/4` 

    • `0/5` 
       
  2. Ułamek niewłaściwy – ułamek, którego licznik jest większy od mianownika lub jest mu równy. Ułamek niewłaściwy ma zawsze wartość większą od 1 lub równą 1.

    Przykłady:

    • `15/7` 

    • `3/1` 

    • `129/5` 

    • `10/10` 
       
  3. Gdy z ułamków niewłaściwych wyciągniemy całości, powstają liczby mieszane.

    Liczba mieszana składa się z części całkowitej (jest nią liczba naturalna) oraz części ułamkowej (jest nią ułamek zwykły właściwy). 

    Przykłady:

    • `1 3/5` 

    • `5 7/15` 
       

Wyłączanie całości z ułamka niewłaściwego

Wyłączanie całości z ułamka niewłaściwego - krok po kroku

Dzielimy (być może z resztą) licznik przez mianownik (inaczej mówiąc sprawdzamy ile razy mianownik „zmieści się” w liczniku).

Otrzymujemy w ten sposób liczbę naturalną, będącą całością (tzw. część całkowita) oraz resztę, która jest ułamkiem właściwym (tzw. część ułamkowa).


W tym przypadku wykonujemy dokładnie odwrotne działania niż przy zamianie liczby mieszanej na ułamek niewłaściwy. 


Zamiana ułamka niewłaściwego `16/3`  na liczbę mieszaną:

  1. Najpierw dzielimy licznik przez mianownik, czyli `16:3=5 \ \ "r" \ 1 \ \ \ "bo" \ \ \ 5*3+1=15+1=16` 

  2. Otrzymujemy 5 całości. Pozostaje nam jeszcze 1 część. 

Mamy więc: 

`16/3=5 1/3` 


Przykłady:

  • `21/4=5 1/4` 

  • `35/6=5 5/6` 


Zamiana ułamka niewłaściwego na liczbę mieszaną lub liczbę naturalną nazywana jest wyłączaniem całości z ułamka

 

Zamiana liczby mieszanej na ułamek niewłaściwy

Licznik tego ułamka otrzymujemy w następujący sposób: 

  1. Mianownik części ułamkowej mnożymy razy część całkowitą liczby mieszanej.

  2. Do otrzymanego iloczynu dodajemy licznik części ułamkowej.

Mianownik szukanego ułamka niewłaściwego jest równy mianownikowi części ułamkowej liczby mieszanej.

Przykłady: 

`3 1/4=(3*4+1)/4=13/4` 


`5 2/7=(5*7+2)/7=37/7` 

Rozszerzanie ułamków

Rozszerzanie ułamków - krok po kroku.

Rozszerzanie ułamków - mnożymy licznik i mianownik przez tą sama liczbę różną od zera; ułamek otrzymamy w ten sposób jest równy ułamkowi wyjściowemu. Pamiętajmy jednak, że każdy ułamek można rozszerzyć, jednak nie każdy ułamek można skrócić. Ułamki, których nie da się już skrócić nazywamy ułamkami nieskracalnymi.

Przykład:

  • Rozszerz ułamek $3/5$ przez 3. Licznik i mianownik należy pomnożyć przez 3:

    $3/5={9}/{15}$

Skracanie ułamków

Skracanie ułamków - krok po kroku.

Dzielimy licznik i mianownik przez tą samą liczbę różną od zera. Otrzymany w ten sposób ułamek, który jest równy ułamkowi wyjściowemu.

Przykład:

  • Skróć ułamek $8/{16}$ przez 2. Licznik i mianownik należy podzielić przez 2.

    $8/{16}=4/8=2/4=1/2$

Sprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika

Ułamki o różnych mianownikach można sprowadzić do postaci o jednakowych mianownikach. W tym celu wystarczy rozszerzyć lub skrócić te ułamki (lub jeden z nich) tak, aby w mianowniku otrzymać taka samą liczbę (czyli właśnie ułamki o takich samych mianownikach). Wspólnym mianownikiem może być wspólna wielokrotność dwóch liczb, będących mianownikami danych ułamków, lub najmniejsza wspólna wielokrotność danych mianowników.

Przykład: Sprowadźmy do wspólnego mianownika ułamki $1/{12}$ i $3/{16}$

  • I sposób

    Wspólnym mianownikiem może być wspólna wielokrotność liczb, będących mianownikami danych ułamków, czyli liczba 12•16= 192.
    W tym przypadku rozszerzamy pierwszy ułamek przez 16, a drugi przez 12, tak aby oba ułamki miały ten sam mianownik (równy 12•16).

    Rozszerzamy oba ułamki:
    $1/{12}= {1•16}/{12•16}= {16}/{192}$
    $3/{16}= {3•12}/{16•12}= {36}/{192}$
     

  • II sposób

    wspólnym mianownikiem może być najmniejsza wspólna wielokrotność dwóch liczb, będących mianownikami danych ułamków, czyli NWW (12, 16).

      Wyznaczanie najmniejszej wspólnej wielokrotności

    nww
    $NWW(12,16)=2•2•2•2•3= 48$

    Wspólnym mianownikiem danych ułamków będzie liczba 48.

    $1/{12}={48÷12•1}/{48}= 4/{48}$ $3/{16}={48÷16•3}/{48}= 9/{48}$
     

Porównywanie ułamków

Porównywanie dwóch ułamków polega na stwierdzeniu, który z nich jest mniejszy, który większy.

  1. Porównywanie ułamków o takich samych mianownikach.

    Jeżeli ułamki zwykłe mają takie same mianowniki, to ten jest większy, który ma większy licznik.

    Przykład:

    • $3/8$ < $5/8$
       
  2. Porównywanie ułamków o takich samych licznikach.

    Jeżeli ułamki zwykłe mają takie same liczniki, to ten jest większy, który ma mniejszy mianownik.

    Przykład:

    • $4/5$ > $4/9$
       
  3. Porównywanie ułamków o różnych mianownikach.

    Aby porównać ułamki o różnych mianownikach, najpierw sprowadzamy je do wspólnego mianownika, a następnie porównujemy ich liczniki. Z dwóch ułamków o jednakowych mianownikach większy jest, który ma większy licznik.

    Przykład:

    • Porównajmy ułamki $2/3$ i $3/4$
      $2/3$ ? $3/4$

      ${2•4}/{3•4}$ ? ${3•3}/{4•3}$ ← sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika (rozszerzamy ułamki tak aby w mianownikach otrzymać takie same liczby)

      $8/{12}$ < $9/{12}$

 

Zaokrąglanie ułamków dziesiętnych

Ułamek dziesiętny możemy zaokrąglać, w miarę potrzeb, do pewnego rzędu, czyli podawać go z dokładnością do określonej liczby miejsc po przecinku - do jedności, do części dziesiątych, części setnych itd. Jeżeli zaokrąglamy ułamek do pewnego miejsca po przecinku (czyli do danego rzędu) wtedy odrzucamy wszystkie cyfry znajdujące się na prawo od miejsca do którego zaokrąglamy i:

  • Jeżeli pierwsza z odrzuconych cyfr jest mniejsza od 5, to ostatnią cyfrę naszego przybliżenia zostawiamy bez zmian (jest to tak zwane zaokrąglenie w dół lub zaokrąglenie z niedomiarem). Jeżeli odrzucone cyfry były położone przed przecinkiem, należy na ich pozycjach wpisać zera,
  • Jeżeli pierwsza z odrzuconych cyfr jest większa lub równa 5, to ostatnią cyfrę naszego przybliżenia zwiększamy o 1 (jest to tak zwane zaokrąglenie w górę lub zaokrąglenie z nadmiarem). Jeżeli odrzucone cyfry były położone przed przecinkiem, należy na ich pozycjach wpisać zera.

Przykłady:

  • Zaokrąglenie liczby 2,871 do części setnych:

    $2,871 ≈ 2,87$, bo 1 < 5
     
  • Zaokrąglenie liczby 8,899 do części dziesiątych:

    $8,899 ≈ 8,9$, bo 9 > 5

Działania na ułamkach zwykłych i dziesiętnych

Przy rozwiązywaniu działań, w których występują ułamki zwykłe i dziesiętne, należy najpierw przedstawić je tej samej postaci – ułamka zwykłego lub ułamka dziesiętnego.

Następnie wykonujemy obliczenia jak zawsze, pamiętając o kolejności wykonywania działań:

  1. działania w nawiasach,
  2. potęgowanie i pierwiastkowanie,
  3. mnożenie i dzilenie,
  4. dodawanie i odejmowanie.

Przykład: Wykonaj działanie $0,8 - 2/5$.

  • I sposób
    Zamienimy ułamek dziesiętny na zwykły:
    $0,8 = 8/{10}=4/5$

    Możemy wykonać działanie:
    $0,8 - 2/5= 4/5- 2/5= 2/5$

  • II sposób
    Zamieniamy ułamek zwykły na dziesiętny:
    $2/5= 4/{10}= 0,4$

    Możemy wykonać działanie:
    $0,8 - 2/5= 0,8 – 0,4 = 0,4$

Przykład:

  • $0,6 +2/3=6/{10}+2/3=3/5+2/3=9/{15}+{10}/{15}={19}/{15}$
     

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Do sumy liczb $15 1/6$ i $9 7/8$ dodaj ich różnicę.

$15 1/6+9 7/8+(15 1/6-9 7/8)=15 4/24 + 9 21/24+(15 4/24 - 9 21/24)=24 25/24+5 7/24=29 32/24=30 8/24=30 1/3 $

Odp.: Wartość tego wyrażenia wynosi $30 1/3$.

Zadanie 2.

Wykonaj działania na ułamkach dziesiętnych:

  1. $ 5,6+28,42+12,9-8,342 $
  2. $ (31,9-9,92)+18,12-6,8 $
  1. $ 5,6+28,42+12,9-8,342=34,02+12,9-8,342=46,92-8,342=38,578 $
  2. $ (31,9-9,92)+18,12-6,8=21,98+18,12-6,8=40,1-6,8=33,3 $

Zadanie 3.

Oblicz $3/5$ z liczby 85.

$3/5 •85={3•85}/5={255}/5=51$

Zadanie 4.

Oblicz jakim ułamkiem liczby 49 jest liczba 7.

$7/{49}=1/7$

Odp: Liczba 7 jest $1/7$ liczby 49.

Zadanie 5.

Na obozie wioślarskim dziewczęta stanowiły $3/8$ wszystkich uczestników. Chłopców było o 12 więcej niż dziewcząt. Ile dziewcząt i ilu chłopców było na tym obozie?

dziewczęta -> $3/8$ wszystkich uczestników

chłopcy -> $1- 3/8=5/8$ wszystkich uczestników

Chłopców jest o $2/8$ wszystkich uczestników więcej. -> $12= 2/8 x$, gdzie x oznacza ilość wszystkich uczestników.

$12= 2/8 x$

$x=48$ -> na obozie jest 48 uczestników

dziewczęta -> $48• 3/8=18$

chłopcy -> $48-18=30$

Odp.: Na tym obozie jest 18 dziewcząt i 30 chłopców.

Zadanie 6.

Podziel:

  1. $ 36,5÷5 $
  2. $ 179,2÷32 $
  3. $ 2,5÷0,625 $
  1. $ 36,5÷5=7,3 $
  2. $ 179,2÷32=5,6 $
  3. $ 2,5÷0,625=4 $

Zadanie 7.

Mama kupiła 6 litrów miodu. Chciała przelać go 1,5 litrowych słoików. Ile jest ich potrzebnych? A ile jest potrzebnych słoików o pojemności $1/4$.

Aby policzyć ilość słoików musimy podzielić ilość wszystkich litrów miodu przez pojemność słoika:

$6 ÷ 1,5 = 60 ÷ 15 = 4$
Odp.: Mama potrzebuje 4 słoiki o pojemności 1,5 litra

$6 ÷ 1/4= 6•4= 24$
Odp.: Mama potrzebuje 24 słoiki o pojemności $1/4$ litra

Spis treści

Rozwiązane zadania
Uporządkuj malejąco liczby: ...

 


Podane liczby zapisujemy w kolejności od największej do najmniejszej. {premium}

  


Obliczamy ile wynosi suma największej i najmniejszej z liczb. 

    

 

Na rysunkach przedstawiono siatki ...

Pierwszy wiersz w tabeli:

Rysunek I nie przedstawia siatki graniastosłupa. Nie jest to siatka żadnej z brył. {premium}


Drugi wiersz w tabeli

Rysunek II przedstawia siatkę ostrosłupa trójkątnego. Zarówno podstawa jak i ściany boczne są trójkątami. 


Trzeci wiersz w tabeli

Jest to siatka graniastosłupa sześciokątnego. Dwie ściany (podstawy) są identycznymi sześciokątami, a ściany boczne są prostokątami. 


Czwarty wiersz w tabeli

Jest to siatka graniastosłupa trójkątnego. Dwie ściany (podstawy) są identycznymi trójkątami, a ściany boczne są prostokątami. 

 

Siatka I jest siatką graniastosłupa trójkątnego. P F
Siatka II jest siatką ostrosłupa trójkątnego. P F
Siatka III jest siatką graniastosłupa sześciokątnego. P F
Siatka IV jest siatką graniastosłupa trójkątnego. P F

 

Narysuj dwa odcinki różnej długości ...

1. Rysujemy odcinki  oraz .

2. Rysujemy prostą .

{premium}

3. Ustawiamy rozwartość cyrkla równą długości odcinka  (dłuższy odcinek).

4. Wbijamy szpic cyrkla w dowolny punkt na prostej . Punkt ten nazwiemy .

5. Nie zmieniając rozwartości cyrkla, kreślimy łuk przecinający prostą .

6. Zaznaczamy punkt przecięcia łuku z prostą . Punkt ten nazwiemy .

7. Rysujemy odcinek 

8. Ustawiamy rozwartość cyrkla równą długości odcinka .

9. Wbijamy szpic cyrkla w punkt .

10. Nie zmieniając rozwartości cyrkla, kreślimy łuk przecinający prostą  (po tej samej stronie, co punkt ).

11. Zaznaczamy punkt przecięcia łuku z prostą . Punkt ten nazwiemy .

Długość odcinka  równa jest różnicy długości odcinków  i .

Rozwiąż równania:

 

[Najpierw należy uporządkować lewą stronę równania.]

  

 

 

[Porządkujemy lewą stronę równania.]

 

 

    

 

 

    

 

 

 

 

Małgosia ma w swojej kolekcji x znaczków, ...

x  - liczba znaczków Małgosi 

x + 5 - liczba znaczków Basi [bo ma o 5 znaczków więcej niż Małgosia] {premium}

x - 3 - liczba znaczków Kasi [bo ma o 3 znaczki mniej niż Małgosia]


Wyrażenie opisujące łączną liczbę znaczków dziewczynek to: 

x + x + 5 + x - 3 = 3x + 2 

Współrzędną którego z punktów...

Możemy zauważyć, że na osi liczbowej współrzędne zaznaczone są co 2 - oznacza to, że jedna jednostka na osi liczbowej wynosi 2. 

 

Wyrażenie I

{premium}  

Wartość ta odpowiada współrzędnej C

 

Wyrażenie II

Wartość ta odpowiada współrzędnej E

 

Wyrażenie III

 

Wartość ta odpowiada współrzędnej A

 

Wyrażenie IV

 

Wartość ta odpowiada współrzędnej F

Dokończ zdanie. Wartość wyrażenia ...

Obliczamy ile wynosi wartość podanego wyrażenia. 

Należy pamiętać o prawidłowej kolejności wykonywania działań. {premium}


 


Poprawna odpowiedź: B. -90

Który samochód poruszał się ...

Samochód ten pokonał drogę długości 300 km w czasie 4 godzin. 

Obliczamy z jaką prędkością poruszał się ten samochód. 

  
{premium}

II  Samochód ten pokonał drogę długości 240 km w czasie 3 godzin. 

Obliczamy z jaką prędkością poruszał się ten samochód. 

 


III  Samochód ten pokonał drogę długości 350 km w czasie 5 godzin. 

Obliczamy z jaką prędkością poruszał się ten samochód. 

 


Odpowiedź: Najszybciej poruszał się samochód B, a najwolniej samochód C. 

Oblicz.

a)

{premium}

b)

  

Przeanalizuj poniższe serie ...

W poprzednim zadaniu pokazaliśmy, że dzieląc daną liczbę przez ułamek oraz mnożąc tę liczbę przez odwrotność ułamka otrzymamy ten sam wynik. 


Seria III

 

   

 
Zamiast podzielić przez 2 możemy pomnożyć razy 1/2.  

{premium}     
  

Seria IV

 

     

  
Zamiast podzielić przez 2 możemy pomnożyć razy 1/2.  

    
  


Seria V

  

     

   
Zamiast podzielić przez 2 możemy pomnożyć razy 1/2.