Ułamki zwykłe i dziesiętne - 6-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Przypomnienie wiadomości o ułamkach zwykłych

Ułamek zwykły to wyrażenie postaci $$a/b$$, gdzie a, b to liczby naturalne oraz b jest różne od zera,

a – to licznik
b – to mianownik
 

  Ciekawostka

Współczesny sposób zapisu ułamków pochodzi od matematyków hinduskich, zapisywali oni licznik i mianownik, nie używając jednak kreski rozdzielającej. Dodanie kreski rozdzielającej zawdzięczamy Arabom tłumaczącym dzieła Hindusów. W Europie jako pierwszy w swoich pracach znane do dziś oznaczenie ułamków publikuje włoski matematyk Fibonacci.

Ułamki to inny zapis dzielenia liczb naturalnych.
Iloraz liczb naturalnych a : b możemy zapisać w postaci ułamka $$a/b$$. Dzielna a jest licznikiem ułamka, dzielnik b różny od zera jest mianownikiem, a kreska ułamkowa zastępuje znak dzielenia:
$$a : b = a/b$$ , gdzie b jest różne od zera (b≠0)

Przykład:

  • $$9/2= 9÷2$$

Odwrotność ułamka

Jeżeli dany jest ułamek $$a/b$$ to ułamek $$b/a$$ nazywamy odwrotnością ułamka $$a/b$$.

Przykłady:

  • $$3/4$$ jest odwrotnością ułamka $$4/3$$,
  • 4 jest odwrotnością ułamka $$1/4$$.

Rodzaje ułamków zwykłych

  1. Ułamek właściwy – ułamek, którego licznik jest mniejszy od mianownika. Ułamek właściwy ma zawsze wartość mniejszą od 1.

    Przykłady:

    • $$3/8$$,
    • $${23}/{36}$$,
    • $$1/4$$,
    • $$0/5$$.
       
  2. Ułamek niewłaściwy – ułamek, którego mianownik jest równy lub mniejszy od licznika. Ułamek niewłaściwy ma zawsze wartość większą od 1.

    Przykłady:

    • $${15}/7$$,
    • $$3/1$$,
    • $${129}/5$$,
    • $${10}/5$$.
       
  3. Gdy z ułamków niewłaściwych wyciągniemy całości, powstają liczby mieszane. Liczba mieszana jest to suma dwóch składników, z których jeden jest liczbą naturalną (składnik całkowity), a drugi ułamkiem zwykłym właściwym (składnik ułamkowy).
    $$4 1/9= 4 + 1/9$$ ← liczbę mieszana zwykle zapisujemy bez użycia znaku dodawania +.

    Przykłady:

    • $$8/5=1 3/5$$,
    • $${13}/4= 3 1/4$$.
       

Wyłącznie całości z ułamka niewłaściwego

Wyłącznie całości z ułamka niewłaściwego - krok po kroku.

Dzielimy (być może z resztą) licznik przez mianownik (inaczej mówiąc sprawdzamy ile razy mianownik „zmieści się” w liczniku) i otrzymujemy w ten sposób liczbę naturalną, będącą całością (tzw. składnik całkowity) oraz resztę, która jest ułamkiem właściwym (tzw. składnik ułamkowy).

Przykład: $$9/4= 2 1/4$$

Dzielimy 9 przez 4, czyli sprawdzamy ile razy 4 zmieści się w 9. Liczba 4 zmieści się 2 razy w liczbie 9, czyli otrzymujemy 2 i resztę 1 (bo 2•4= 8, czyli do 9 brakuje 1, i ona jest naszą resztą).

Możemy zapisać jako działanie:

9÷4 = 2 reszty 1
2 - całości (składnik całkowity)
$$1/4$$ - ułamek właściwy (składnik ułamkowy)
 

Zamiana liczby mieszanej na ułamek niewłaściwy

Zamiana liczby mieszanej na ułamek niewłaściwy – krok po kroku.

Licznik tego ułamka otrzymujemy w następujący sposób: mianownik składnika ułamkowego mnożymy przez składnik całkowity i tego iloczynu dodajemy licznik składnika ułamkowego; mianownik natomiast jest równy mianownikowi składnika ułamkowego.

Przykład:

  • $$3 1/4= {3•4+1}/4= {13}/4$$

Rozszerzanie ułamków

Rozszerzanie ułamków - krok po kroku.

Rozszerzanie ułamków - mnożymy licznik i mianownik przez tą sama liczbę różną od zera; ułamek otrzymamy w ten sposób jest równy ułamkowi wyjściowemu. Pamiętajmy jednak, że każdy ułamek można rozszerzyć, jednak nie każdy ułamek można skrócić. Ułamki, których nie da się już skrócić nazywamy ułamkami nieskracalnymi.

Przykład:

  • Rozszerz ułamek $$3/5$$ przez 3. Licznik i mianownik należy pomnożyć przez 3:

    $$3/5={9}/{15}$$

Skracanie ułamków

Skracanie ułamków - krok po kroku.

Dzielimy licznik i mianownik przez tą samą liczbę różną od zera. Otrzymany w ten sposób ułamek, który jest równy ułamkowi wyjściowemu.

Przykład:

  • Skróć ułamek $$8/{16}$$ przez 2. Licznik i mianownik należy podzielić przez 2.

    $$8/{16}=4/8=2/4=1/2$$

Sprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika

Ułamki o różnych mianownikach można sprowadzić do postaci o jednakowych mianownikach. W tym celu wystarczy rozszerzyć lub skrócić te ułamki (lub jeden z nich) tak, aby w mianowniku otrzymać taka samą liczbę (czyli właśnie ułamki o takich samych mianownikach). Wspólnym mianownikiem może być wspólna wielokrotność dwóch liczb, będących mianownikami danych ułamków, lub najmniejsza wspólna wielokrotność danych mianowników.

Przykład: Sprowadźmy do wspólnego mianownika ułamki $$1/{12}$$ i $$3/{16}$$

  • I sposób

    Wspólnym mianownikiem może być wspólna wielokrotność liczb, będących mianownikami danych ułamków, czyli liczba 12•16= 192.
    W tym przypadku rozszerzamy pierwszy ułamek przez 16, a drugi przez 12, tak aby oba ułamki miały ten sam mianownik (równy 12•16).

    Rozszerzamy oba ułamki:
    $$1/{12}= {1•16}/{12•16}= {16}/{192}$$
    $$3/{16}= {3•12}/{16•12}= {36}/{192}$$
     

  • II sposób

    wspólnym mianownikiem może być najmniejsza wspólna wielokrotność dwóch liczb, będących mianownikami danych ułamków, czyli NWW (12, 16).

      Wyznaczanie najmniejszej wspólnej wielokrotności

    nww
    $$NWW(12,16)=2•2•2•2•3= 48$$

    Wspólnym mianownikiem danych ułamków będzie liczba 48.

    $$1/{12}={48÷12•1}/{48}= 4/{48}$$ $$3/{16}={48÷16•3}/{48}= 9/{48}$$
     

Porównywanie ułamków

Porównywanie dwóch ułamków polega na stwierdzeniu, który z nich jest mniejszy, który większy.

  1. Porównywanie ułamków o takich samych mianownikach.

    Jeżeli ułamki zwykłe mają takie same mianowniki, to ten jest większy, który ma większy licznik.

    Przykład:

    • $$3/8$$ < $$5/8$$
       
  2. Porównywanie ułamków o takich samych licznikach.

    Jeżeli ułamki zwykłe mają takie same liczniki, to ten jest większy, który ma mniejszy mianownik.

    Przykład:

    • $$4/5$$ > $$4/9$$
       
  3. Porównywanie ułamków o różnych mianownikach.

    Aby porównać ułamki o różnych mianownikach, najpierw sprowadzamy je do wspólnego mianownika, a następnie porównujemy ich liczniki. Z dwóch ułamków o jednakowych mianownikach większy jest, który ma większy licznik.

    Przykład:

    • Porównajmy ułamki $$2/3$$ i $$3/4$$
      $$2/3$$ ? $$3/4$$

      $${2•4}/{3•4}$$ ? $${3•3}/{4•3}$$ ← sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika (rozszerzamy ułamki tak aby w mianownikach otrzymać takie same liczby)

      $$8/{12}$$ < $$9/{12}$$

  Działania na ułamkach zwykłych

  Przypomnienie wiadomości o ułamkach dziesiętnych

  Działania na ułamkach dziesiętnych

Zaokrąglanie ułamków dziesiętnych

Ułamek dziesiętny możemy zaokrąglać, w miarę potrzeb, do pewnego rzędu, czyli podawać go z dokładnością do określonej liczby miejsc po przecinku - do jedności, do części dziesiątych, części setnych itd. Jeżeli zaokrąglamy ułamek do pewnego miejsca po przecinku (czyli do danego rzędu) wtedy odrzucamy wszystkie cyfry znajdujące się na prawo od miejsca do którego zaokrąglamy i:

  • Jeżeli pierwsza z odrzuconych cyfr jest mniejsza od 5, to ostatnią cyfrę naszego przybliżenia zostawiamy bez zmian (jest to tak zwane zaokrąglenie w dół lub zaokrąglenie z niedomiarem). Jeżeli odrzucone cyfry były położone przed przecinkiem, należy na ich pozycjach wpisać zera,
  • Jeżeli pierwsza z odrzuconych cyfr jest większa lub równa 5, to ostatnią cyfrę naszego przybliżenia zwiększamy o 1 (jest to tak zwane zaokrąglenie w górę lub zaokrąglenie z nadmiarem). Jeżeli odrzucone cyfry były położone przed przecinkiem, należy na ich pozycjach wpisać zera.

Przykłady:

  • Zaokrąglenie liczby 2,871 do części setnych:

    $$2,871 ≈ 2,87$$, bo 1 < 5
     
  • Zaokrąglenie liczby 8,899 do części dziesiątych:

    $$8,899 ≈ 8,9$$, bo 9 > 5

Działania na ułamkach zwykłych i dziesiętnych

Przy rozwiązywaniu działań, w których występują ułamki zwykłe i dziesiętne, należy najpierw przedstawić je tej samej postaci – ułamka zwykłego lub ułamka dziesiętnego.

Następnie wykonujemy obliczenia jak zawsze, pamiętając o kolejności wykonywania działań:

  1. działania w nawiasach,
  2. potęgowanie i pierwiastkowanie,
  3. mnożenie i dzilenie,
  4. dodawanie i odejmowanie.

Przykład: Wykonaj działanie $$0,8 - 2/5$$.

  • I sposób
    Zamienimy ułamek dziesiętny na zwykły:
    $$0,8 = 8/{10}=4/5$$

    Możemy wykonać działanie:
    $$0,8 - 2/5= 4/5- 2/5= 2/5$$

  • II sposób
    Zamieniamy ułamek zwykły na dziesiętny:
    $$2/5= 4/{10}= 0,4$$

    Możemy wykonać działanie:
    $$0,8 - 2/5= 0,8 – 0,4 = 0,4$$

Przykład:

  • $$0,6 +2/3=6/{10}+2/3=3/5+2/3=9/{15}+{10}/{15}={19}/{15}$$
     

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Do sumy liczb $$15 1/6$$ i $$9 7/8$$ dodaj ich różnicę.

$$15 1/6+9 7/8+(15 1/6-9 7/8)=15 4/24 + 9 21/24+(15 4/24 - 9 21/24)=24 25/24+5 7/24=29 32/24=30 8/24=30 1/3 $$

Odp.: Wartość tego wyrażenia wynosi $$30 1/3$$.

Zadanie 2.

Wykonaj działania na ułamkach dziesiętnych:

  1. $$ 5,6+28,42+12,9-8,342 $$
  2. $$ (31,9-9,92)+18,12-6,8 $$
  1. $$ 5,6+28,42+12,9-8,342=34,02+12,9-8,342=46,92-8,342=38,578 $$
  2. $$ (31,9-9,92)+18,12-6,8=21,98+18,12-6,8=40,1-6,8=33,3 $$

Zadanie 3.

Oblicz $$3/5$$ z liczby 85.

$$3/5 •85={3•85}/5={255}/5=51$$

Zadanie 4.

Oblicz jakim ułamkiem liczby 49 jest liczba 7.

$$7/{49}=1/7$$

Odp: Liczba 7 jest $$1/7$$ liczby 49.

Zadanie 5.

Na obozie wioślarskim dziewczęta stanowiły $$3/8$$ wszystkich uczestników. Chłopców było o 12 więcej niż dziewcząt. Ile dziewcząt i ilu chłopców było na tym obozie?

dziewczęta -> $$3/8$$ wszystkich uczestników

chłopcy -> $$1- 3/8=5/8$$ wszystkich uczestników

Chłopców jest o $$2/8$$ wszystkich uczestników więcej. -> $$12= 2/8 x$$, gdzie x oznacza ilość wszystkich uczestników.

$$12= 2/8 x$$

$$x=48$$ -> na obozie jest 48 uczestników

dziewczęta -> $$48• 3/8=18$$

chłopcy -> $$48-18=30$$

Odp.: Na tym obozie jest 18 dziewcząt i 30 chłopców.

Zadanie 6.

Podziel:

  1. $$ 36,5÷5 $$
  2. $$ 179,2÷32 $$
  3. $$ 2,5÷0,625 $$
  1. $$ 36,5÷5=7,3 $$
  2. $$ 179,2÷32=5,6 $$
  3. $$ 2,5÷0,625=4 $$

Zadanie 7.

Mama kupiła 6 litrów miodu. Chciała przelać go 1,5 litrowych słoików. Ile jest ich potrzebnych? A ile jest potrzebnych słoików o pojemności $$1/4$$.

Aby policzyć ilość słoików musimy podzielić ilość wszystkich litrów miodu przez pojemność słoika:

$$6 ÷ 1,5 = 60 ÷ 15 = 4$$
Odp.: Mama potrzebuje 4 słoiki o pojemności 1,5 litra

$$6 ÷ 1/4= 6•4= 24$$
Odp.: Mama potrzebuje 24 słoiki o pojemności $$1/4$$ litra

Spis treści

Rozwiązane zadania
Sprawdź jakie wyniki można otrzymać, wstawiając w różny sposób nawiasy

`a)`

`(1/2:3/4)*2=(1/2*4/3)*2=2/3*2=4/3=1 1/3`` `

`1/2:(3/4*2)=1/2:6/4=1/2: 3/2=1/2*2/3=1/3`

`b)`

`(1 1/2:2 1/4)*2=(3/2:9/4)*2=(3/2*4/9)*2=`

`2/3*2=4/3=1 1/3`

`c)`

`(2 2/3*1 1/6):5=((6+2)/3:(6+1)/6):5/1=`

`(8/3:7/6):5/1=(8/3*6/7)*1/5=16/7*1/5=`

`=16/35`

`2 2/3:(1 1/6:5)=(8/3:7/6):5/1=`

`(8/3*6/7)*1/5=16/7*1/5=16/35`

` `

` `

` `

Prostopadłościanem nie jest

C

Zapis w pozycyjnym systemie...

 

tryliard

1021


1 000 000 000 000 000 000 000

 

kwadrylion

1024


1 000 000 000 000 000 000 000 000

 

kwintylion

1030


1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

 

sekstylion

1036


1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

 

septylion

1042


1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

 

oktylion

1048


1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

 

nonylion

1054

10 i 54 zera


Liczba nonylion posiada 54 zera.

Dwanaście tuzinów to gros. Z ilu sztuk składa się gros?

`12*12=144=12^2=(2^2*3)^2=2^4*3^2`

Na każdym z tych czterech rysunków jedna figura jest odbiciem symetrycznym drugiej

I . Prosta b , ponieważ jest jednakowo odległa od prostokątów 

II. Prosta e , ponieważ odpowiednie wierzchołki trójkątów znajduje się w takiej samej odległości od tej prostej 

III. Prosta k , ponieważ odpowiednie wierzchołki trapezów znajdują się w takiej samej odległości od tej prostej 

IV. Prosta o , ponieważ odpowiednie wierzchołki figur znajdują się w takiej samej odłegłości  od tej prostej 

Wynagrodzenie pana Maćka za wykonanie projektu wyniosło 850 zł, a pana Bartka - 950 zł.

Pan Maciek - 850 zł

10%- 85 zł

a) 20% - 2 ∙ 85zł = 170 zł

b) 850 - 170 = 680zł

Pan Bartek 950zł

10% - 95zł

a) 20% -  2 ∙ 95zł =190zł

b) 950 - 190 = 760 zł 

Każdą z poniższych siatek sześcianu pokoloruj trzema różnymi kolorami tak, aby ściany , które po złożeniu będą równoległe, miały jednakowy kolor.

Jaki procent całej figury przedstawionej na ilustracji stanowią kratki:

Kwadrat jest podzielony na 25 jednakowych kwadracików


a) 5 kwadracików zamalowano na zielono 5 z 25 to 5/25=20/100=20%

b) 10 kwadracików zamalowano na czerwono 10 z 25 to 10/25=40/100=40%

c) 20 kwadracików zamalowano na biało i czerwono 20 z 25 to 20/25=80/100=80%

a) Romb o polu ...

a) Romb jest równoległobokiem. Pole rombu możemy obliczyć więc korzystając ze wzoru na pole równoległoboku. 

Pole rombu wynosi 24 cm2
`P=24 \ "cm"^2` 

Bok rombu ma długość 8 cm. 
`a=8 \ "cm"` 

Oznacza to, że wysokość tego rombu ma długość 3 cm, gdyż 8 cm ∙ 3 cm = 24 cm2
`h=3 \ "cm"` 

Odpowiedź: Wysokość rombu ma długość 3 cm



b) Boki równoległoboku mają długość 20 cm i 4 cm. 
`a=20 \ "cm"` 
`b=4 \ "cm"` 

Pole równoległoboku wynosi 60 cm2
`P=60 \ "cm"^2` 

Obliczamy, ile wynosi długość wysokości opuszczonej na bok długości 20 cm. 
`60 \ "cm"^2=20 \ "cm"*h_1` 

Wysokość ta ma długość 3 cm, gdyż 20 cm ∙ 3 cm = 60 cm2.
`h_1=3 \ "cm"` 


Obliczamy, ile wynosi długość wysokości opuszczonej na bok długości 4 cm. 
`60 \ "cm"^2=4 \ "cm"*h_2` 

Wysokość ta ma więc długość 15 cm, gdyż 4 cm ∙ 15 cm = 60 cm2
`h_2=15 \ "cm"` 

Odpowiedź: Wysokości tego równoległoboku mają długość 3 cm i 15 cm

Uzupełnij.

a) 1200 zł

  • o 15% mniej:

1200 zł - 0,15 · 1200 zł = 1200 zł - 180 zł = 1020 zł

0,85 · 1200 zł = 1020 zł     [100%-15%=85%=0,85] 

  • o 15% więcej

1200 zł + 0,15 · 1200 zł = 1200 zł + 180 zł = 1380 zł

1,15 · 1200 zł = 1380 zł     [100%+15%=115%=1,15]

 

b) 800 zł

  • o 63% mniej

800 zł - 0,63 · 800 zł = 800 zł - 504 zł = 296 zł

0,37 · 800 zł = 296 zł     [100%-63%=37%=0,37] 

  • o 37% więcej

800 zł + 0,37 · 800 zł = 800 zł + 296 zł = 1096 zł

1,37 · 800 zł = 1096 zł     [100%+37%=137%=1,37]

 

c) 45 zł

  • o 27% mniej

45 zł - 0,27 · 45 zł = 45 zł - 12,15 zł = 32,85 zł

0,73 · 45 zł = 32,85 zł     [100%-27%=73%=0,73] 

  • o 82% więcej

45 zł + 0,82 · 45 zł = 45 zł + 36,9 zł = 81,9 zł

1,82 · 45 zł = 81,9 zł     [100%+82%=182%=1,82]