Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Ułamki zwykłe i dziesiętne - 6-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Przypomnienie wiadomości o ułamkach zwykłych

Ułamek zwykły to wyrażenie postaci $$a/b$$, gdzie a, b to liczby naturalne oraz b jest różne od zera,

a – to licznik
b – to mianownik
 

  Ciekawostka

Współczesny sposób zapisu ułamków pochodzi od matematyków hinduskich, zapisywali oni licznik i mianownik, nie używając jednak kreski rozdzielającej. Dodanie kreski rozdzielającej zawdzięczamy Arabom tłumaczącym dzieła Hindusów. W Europie jako pierwszy w swoich pracach znane do dziś oznaczenie ułamków publikuje włoski matematyk Fibonacci.

Ułamki to inny zapis dzielenia liczb naturalnych.
Iloraz liczb naturalnych a : b możemy zapisać w postaci ułamka $$a/b$$. Dzielna a jest licznikiem ułamka, dzielnik b różny od zera jest mianownikiem, a kreska ułamkowa zastępuje znak dzielenia:
$$a : b = a/b$$ , gdzie b jest różne od zera (b≠0)

Przykład:

  • $$9/2= 9÷2$$

Odwrotność ułamka

Jeżeli dany jest ułamek $$a/b$$ to ułamek $$b/a$$ nazywamy odwrotnością ułamka $$a/b$$.

Przykłady:

  • $$3/4$$ jest odwrotnością ułamka $$4/3$$,
  • 4 jest odwrotnością ułamka $$1/4$$.

Rodzaje ułamków zwykłych

  1. Ułamek właściwy – ułamek, którego licznik jest mniejszy od mianownika. Ułamek właściwy ma zawsze wartość mniejszą od 1.

    Przykłady:

    • $$3/8$$,
    • $${23}/{36}$$,
    • $$1/4$$,
    • $$0/5$$.
       
  2. Ułamek niewłaściwy – ułamek, którego mianownik jest równy lub mniejszy od licznika. Ułamek niewłaściwy ma zawsze wartość większą od 1.

    Przykłady:

    • $${15}/7$$,
    • $$3/1$$,
    • $${129}/5$$,
    • $${10}/5$$.
       
  3. Gdy z ułamków niewłaściwych wyciągniemy całości, powstają liczby mieszane. Liczba mieszana jest to suma dwóch składników, z których jeden jest liczbą naturalną (składnik całkowity), a drugi ułamkiem zwykłym właściwym (składnik ułamkowy).
    $$4 1/9= 4 + 1/9$$ ← liczbę mieszana zwykle zapisujemy bez użycia znaku dodawania +.

    Przykłady:

    • $$8/5=1 3/5$$,
    • $${13}/4= 3 1/4$$.
       

Wyłącznie całości z ułamka niewłaściwego

Wyłącznie całości z ułamka niewłaściwego - krok po kroku.

Dzielimy (być może z resztą) licznik przez mianownik (inaczej mówiąc sprawdzamy ile razy mianownik „zmieści się” w liczniku) i otrzymujemy w ten sposób liczbę naturalną, będącą całością (tzw. składnik całkowity) oraz resztę, która jest ułamkiem właściwym (tzw. składnik ułamkowy).

Przykład: $$9/4= 2 1/4$$

Dzielimy 9 przez 4, czyli sprawdzamy ile razy 4 zmieści się w 9. Liczba 4 zmieści się 2 razy w liczbie 9, czyli otrzymujemy 2 i resztę 1 (bo 2•4= 8, czyli do 9 brakuje 1, i ona jest naszą resztą).

Możemy zapisać jako działanie:

9÷4 = 2 reszty 1
2 - całości (składnik całkowity)
$$1/4$$ - ułamek właściwy (składnik ułamkowy)
 

Zamiana liczby mieszanej na ułamek niewłaściwy

Zamiana liczby mieszanej na ułamek niewłaściwy – krok po kroku.

Licznik tego ułamka otrzymujemy w następujący sposób: mianownik składnika ułamkowego mnożymy przez składnik całkowity i tego iloczynu dodajemy licznik składnika ułamkowego; mianownik natomiast jest równy mianownikowi składnika ułamkowego.

Przykład:

  • $$3 1/4= {3•4+1}/4= {13}/4$$

Rozszerzanie ułamków

Rozszerzanie ułamków - krok po kroku.

Rozszerzanie ułamków - mnożymy licznik i mianownik przez tą sama liczbę różną od zera; ułamek otrzymamy w ten sposób jest równy ułamkowi wyjściowemu. Pamiętajmy jednak, że każdy ułamek można rozszerzyć, jednak nie każdy ułamek można skrócić. Ułamki, których nie da się już skrócić nazywamy ułamkami nieskracalnymi.

Przykład:

  • Rozszerz ułamek $$3/5$$ przez 3. Licznik i mianownik należy pomnożyć przez 3:

    $$3/5={9}/{15}$$

Skracanie ułamków

Skracanie ułamków - krok po kroku.

Dzielimy licznik i mianownik przez tą samą liczbę różną od zera. Otrzymany w ten sposób ułamek, który jest równy ułamkowi wyjściowemu.

Przykład:

  • Skróć ułamek $$8/{16}$$ przez 2. Licznik i mianownik należy podzielić przez 2.

    $$8/{16}=4/8=2/4=1/2$$

Sprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika

Ułamki o różnych mianownikach można sprowadzić do postaci o jednakowych mianownikach. W tym celu wystarczy rozszerzyć lub skrócić te ułamki (lub jeden z nich) tak, aby w mianowniku otrzymać taka samą liczbę (czyli właśnie ułamki o takich samych mianownikach). Wspólnym mianownikiem może być wspólna wielokrotność dwóch liczb, będących mianownikami danych ułamków, lub najmniejsza wspólna wielokrotność danych mianowników.

Przykład: Sprowadźmy do wspólnego mianownika ułamki $$1/{12}$$ i $$3/{16}$$

  • I sposób

    Wspólnym mianownikiem może być wspólna wielokrotność liczb, będących mianownikami danych ułamków, czyli liczba 12•16= 192.
    W tym przypadku rozszerzamy pierwszy ułamek przez 16, a drugi przez 12, tak aby oba ułamki miały ten sam mianownik (równy 12•16).

    Rozszerzamy oba ułamki:
    $$1/{12}= {1•16}/{12•16}= {16}/{192}$$
    $$3/{16}= {3•12}/{16•12}= {36}/{192}$$
     

  • II sposób

    wspólnym mianownikiem może być najmniejsza wspólna wielokrotność dwóch liczb, będących mianownikami danych ułamków, czyli NWW (12, 16).

      Wyznaczanie najmniejszej wspólnej wielokrotności

    nww
    $$NWW(12,16)=2•2•2•2•3= 48$$

    Wspólnym mianownikiem danych ułamków będzie liczba 48.

    $$1/{12}={48÷12•1}/{48}= 4/{48}$$ $$3/{16}={48÷16•3}/{48}= 9/{48}$$
     

Porównywanie ułamków

Porównywanie dwóch ułamków polega na stwierdzeniu, który z nich jest mniejszy, który większy.

  1. Porównywanie ułamków o takich samych mianownikach.

    Jeżeli ułamki zwykłe mają takie same mianowniki, to ten jest większy, który ma większy licznik.

    Przykład:

    • $$3/8$$ < $$5/8$$
       
  2. Porównywanie ułamków o takich samych licznikach.

    Jeżeli ułamki zwykłe mają takie same liczniki, to ten jest większy, który ma mniejszy mianownik.

    Przykład:

    • $$4/5$$ > $$4/9$$
       
  3. Porównywanie ułamków o różnych mianownikach.

    Aby porównać ułamki o różnych mianownikach, najpierw sprowadzamy je do wspólnego mianownika, a następnie porównujemy ich liczniki. Z dwóch ułamków o jednakowych mianownikach większy jest, który ma większy licznik.

    Przykład:

    • Porównajmy ułamki $$2/3$$ i $$3/4$$
      $$2/3$$ ? $$3/4$$

      $${2•4}/{3•4}$$ ? $${3•3}/{4•3}$$ ← sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika (rozszerzamy ułamki tak aby w mianownikach otrzymać takie same liczby)

      $$8/{12}$$ < $$9/{12}$$

 

Zaokrąglanie ułamków dziesiętnych

Ułamek dziesiętny możemy zaokrąglać, w miarę potrzeb, do pewnego rzędu, czyli podawać go z dokładnością do określonej liczby miejsc po przecinku - do jedności, do części dziesiątych, części setnych itd. Jeżeli zaokrąglamy ułamek do pewnego miejsca po przecinku (czyli do danego rzędu) wtedy odrzucamy wszystkie cyfry znajdujące się na prawo od miejsca do którego zaokrąglamy i:

  • Jeżeli pierwsza z odrzuconych cyfr jest mniejsza od 5, to ostatnią cyfrę naszego przybliżenia zostawiamy bez zmian (jest to tak zwane zaokrąglenie w dół lub zaokrąglenie z niedomiarem). Jeżeli odrzucone cyfry były położone przed przecinkiem, należy na ich pozycjach wpisać zera,
  • Jeżeli pierwsza z odrzuconych cyfr jest większa lub równa 5, to ostatnią cyfrę naszego przybliżenia zwiększamy o 1 (jest to tak zwane zaokrąglenie w górę lub zaokrąglenie z nadmiarem). Jeżeli odrzucone cyfry były położone przed przecinkiem, należy na ich pozycjach wpisać zera.

Przykłady:

  • Zaokrąglenie liczby 2,871 do części setnych:

    $$2,871 ≈ 2,87$$, bo 1 < 5
     
  • Zaokrąglenie liczby 8,899 do części dziesiątych:

    $$8,899 ≈ 8,9$$, bo 9 > 5

Działania na ułamkach zwykłych i dziesiętnych

Przy rozwiązywaniu działań, w których występują ułamki zwykłe i dziesiętne, należy najpierw przedstawić je tej samej postaci – ułamka zwykłego lub ułamka dziesiętnego.

Następnie wykonujemy obliczenia jak zawsze, pamiętając o kolejności wykonywania działań:

  1. działania w nawiasach,
  2. potęgowanie i pierwiastkowanie,
  3. mnożenie i dzilenie,
  4. dodawanie i odejmowanie.

Przykład: Wykonaj działanie $$0,8 - 2/5$$.

  • I sposób
    Zamienimy ułamek dziesiętny na zwykły:
    $$0,8 = 8/{10}=4/5$$

    Możemy wykonać działanie:
    $$0,8 - 2/5= 4/5- 2/5= 2/5$$

  • II sposób
    Zamieniamy ułamek zwykły na dziesiętny:
    $$2/5= 4/{10}= 0,4$$

    Możemy wykonać działanie:
    $$0,8 - 2/5= 0,8 – 0,4 = 0,4$$

Przykład:

  • $$0,6 +2/3=6/{10}+2/3=3/5+2/3=9/{15}+{10}/{15}={19}/{15}$$
     

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Do sumy liczb $$15 1/6$$ i $$9 7/8$$ dodaj ich różnicę.

$$15 1/6+9 7/8+(15 1/6-9 7/8)=15 4/24 + 9 21/24+(15 4/24 - 9 21/24)=24 25/24+5 7/24=29 32/24=30 8/24=30 1/3 $$

Odp.: Wartość tego wyrażenia wynosi $$30 1/3$$.

Zadanie 2.

Wykonaj działania na ułamkach dziesiętnych:

  1. $$ 5,6+28,42+12,9-8,342 $$
  2. $$ (31,9-9,92)+18,12-6,8 $$
  1. $$ 5,6+28,42+12,9-8,342=34,02+12,9-8,342=46,92-8,342=38,578 $$
  2. $$ (31,9-9,92)+18,12-6,8=21,98+18,12-6,8=40,1-6,8=33,3 $$

Zadanie 3.

Oblicz $$3/5$$ z liczby 85.

$$3/5 •85={3•85}/5={255}/5=51$$

Zadanie 4.

Oblicz jakim ułamkiem liczby 49 jest liczba 7.

$$7/{49}=1/7$$

Odp: Liczba 7 jest $$1/7$$ liczby 49.

Zadanie 5.

Na obozie wioślarskim dziewczęta stanowiły $$3/8$$ wszystkich uczestników. Chłopców było o 12 więcej niż dziewcząt. Ile dziewcząt i ilu chłopców było na tym obozie?

dziewczęta -> $$3/8$$ wszystkich uczestników

chłopcy -> $$1- 3/8=5/8$$ wszystkich uczestników

Chłopców jest o $$2/8$$ wszystkich uczestników więcej. -> $$12= 2/8 x$$, gdzie x oznacza ilość wszystkich uczestników.

$$12= 2/8 x$$

$$x=48$$ -> na obozie jest 48 uczestników

dziewczęta -> $$48• 3/8=18$$

chłopcy -> $$48-18=30$$

Odp.: Na tym obozie jest 18 dziewcząt i 30 chłopców.

Zadanie 6.

Podziel:

  1. $$ 36,5÷5 $$
  2. $$ 179,2÷32 $$
  3. $$ 2,5÷0,625 $$
  1. $$ 36,5÷5=7,3 $$
  2. $$ 179,2÷32=5,6 $$
  3. $$ 2,5÷0,625=4 $$

Zadanie 7.

Mama kupiła 6 litrów miodu. Chciała przelać go 1,5 litrowych słoików. Ile jest ich potrzebnych? A ile jest potrzebnych słoików o pojemności $$1/4$$.

Aby policzyć ilość słoików musimy podzielić ilość wszystkich litrów miodu przez pojemność słoika:

$$6 ÷ 1,5 = 60 ÷ 15 = 4$$
Odp.: Mama potrzebuje 4 słoiki o pojemności 1,5 litra

$$6 ÷ 1/4= 6•4= 24$$
Odp.: Mama potrzebuje 24 słoiki o pojemności $$1/4$$ litra

Spis treści

Rozwiązane zadania
Liczbę -16 przedstawcie w postaci kilku różnych iloczynów trzech liczb

`a)`

`2*2*(-4)=4*(-4)=-16`

`(-2)*(-2)*(-4)=4*(-4)=-16`

`1*8*(-2)=8*(-2)=-16`

`(-1)*(-8)*(-2)=8*(-2)=8*(-2)=-16`

 

wśród czynników może być jedna lub 3 liczby ujemne

 

`2*2*4=4*4=16`

`(-2)*(-2)*4=4*4=16`

`(-2)*2*(-4)=(-4)*(-4)=16`

`1*(-2)*(-8)=(-2)*(-8)=16`

`1*2*8=2*8=16`

wśród czynników mogą być dwie lub zero liczb ujemnych.

b) 

`1*3*4*2=3*8=24`

`(-1)*(-3)*4*2=3*8=24`

`(-1)*(-3)*(-3)*(-2)=3*8=24`

Może być zero, dwie lub cztery liczby ujemne.

`(-1)*3*4*2=(-3)*8=-24`

`(-1)*3*(-4)*(-2)=(-3)*8=-24`

Może być jedna lub trzy liczby ujemne

c) 

Żeby uzyskać wynik ujemny liczba czynników ujemnych musi być nieparzysta 

Żeby uzyskać wynik dodatni liczba czynników ujemnych musi być równa zero lub musi być parzysta. 

Kijki do nordic walkingu ...

a) Osoba niewysportowana ma 160 cm wzrostu. Długość kijka do nordic walkingu powinna stanowić 0,66 jej wzrostu. Obliczmy jaką długość powinny mieć kijki dla tej osoby.

`0,66*160\ cm=105,6\ cm` 

Można kupić kijki o długościach od 100 cm do 130 cm (pośrednie kijki mają długości co 5 cm).

Najbliższa 105,6 cm długość kijka to 105 cm.

Odp: Osoba niewysportowana o wzroście 160 cm powinna kupić kijki o długości 105 cm.

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

b) Osoba wysportowana ma 180 cm wzrostu. Długość kijka do nordic walkingu powinna stanowić 0,68 jej wzrostu. Obliczmy jaką długość powinny mieć kijki dla tej osoby.

`0,68*180\ cm=122,4\ cm`  

Można kupić kijki o długościach od 100 cm do 130 cm (pośrednie kijki mają długości co 5 cm).

Najbliższa 122,4 cm długość kijka to 120 cm.

Odp: Osoba wysportowana o wzroście 180 cm powinna kupić kijki o długości 120 cm.

 

Obliczenia do zadania:

W jakiej skali wykonany jest

1cm na rysunku odpowiada 50m=5000cm

Skala wynosi 1:5000

Odp. D

Oblicz w pamięci obwody czworokątów i wpisz wyniki pod rysunkiem.

`"I czworokąt:"`

`Obw = 2*12 cm + 2*2 dm = 24 dm + 4 dm = 28 dm`

`"II czworokąt :"` 

`Obw = 4*3 m = 12 m`

`"III czworokąt :"` 

`Obw = 2 * 4 dm + 5 dm + 7 dm = 8 dm + 12 dm = 20 dm`

Najniżej położone miejsce w Polsce...

Najwyżej położony punkt w Polsce - 2499 m n.p.m. - czyli 2499 m

Najniżej położony punkt w Polsce - 2 m p.p.m. - czyli -2 m

Aby obliczyć różnicę wysokości pomiędzy tymi punktami od wartości większej (czyli wysokości wierzchołka Rysów) odejmujemy wartość mniejszą (czyli wysokość Raczków Elbląskich):

`2499m-(-2m)=2499m+2m=2501m `

 

Różnica wysokości na terenie Polski wynosi 2501 m

Oblicz: a) ile kosztuje kilogram masła

`a)\ 1\ kg=1000\ g` 

`1000\ g:200\ g=5`  - tyle kostek masła trzeba na 1 kilogram

`5*3,15=5*3+5*0,1+5*0,05=15+0,5+0,25=15,75` 

 

`b)\ (6,6)/22=66/220=6/20=30/100=0,3\ kg` 

 

`c)\ 10/(13,50)=100/135~~0,74\ kg` 

Wpisz w miejscu kropek takie liczby, aby nierówności były prawdziwe.

Przykładowe rozwiązanie:

`-3 < -2 3/4 < -2 1/2 < 2 1/4 <-2 < -1,75 <-1,5< - 1,25 <-1< -0,5 <0` 

Zadanie które pisze że jest premium :) Teraz już dostępne :))

Pisze co z czym bo nie mogłam wkleić zdjecia :)
[-5]   z   [5]

[7]   z   [-7]

[4]   z   [-4]

[-100]   z   [+100]

Jeśli popełniłam gdzieś błąd prosze pisać :*

[18]   z   [-18]

Ania wybrała pewną liczbę, po czym zsumowała połowę

x - szukana liczba 

`1/2x` - połowa szukanej liczby 

`1/4x` - jedna czwarta szukanej liczby 

`1/8x` - jedna ósma szukanej liczby 

 

`1/2x + 1/4x + 1/8x = 21` 

`4/8x + 2/8x + 1/8x = 21` 

`7/8x = 21` | : `7/8` 

`x = 21 : 7/8`  

`x = strike21^3 * 8/strike7^1` 

`x = 3*8` 

`x = 24`

Odp : Ania wybrała liczbę 24

Wpisz w okienko znak = lub ≠ (nie jest równe).

`a")"\ #underbrace(7+5)_(12)ne11`  


`b)\ 3*5=7+8`    

`c)\ 3*5+2=17` 

`d")"\ #underbrace(2+3*4)_(14)ne20`  

`e")"\ #underbrace(18-8:2)_(14)ne5`  

`f)\ 10+5*2=20`