Równania - 6-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Równania

Dwa wyrażenia algebraiczne, z których przynajmniej jedno zawiera literę, połączone znakiem równości tworzą równanie.

Litera występująca w równaniu to niewiadoma.

Wyrażenie występujące po lewej stronie znaku równości to lewa strona równania, a wyrażenie występujące po prawej stronie to prawa strona równania.

lewa i prawa strona równania

Równanie pierwszego stopnia z jedną niewiadomą to dwa wyrażenia algebraiczne połączone znakiem równości, przy czym w równaniu tym występuje tylko jedna niewiadoma w pierwszej potędze.

Przykłady równań pierwszego stopnia z jedną niewiadomą:

  • $$7x − 11 = 17$$
  • $$8y = 16$$
  • $$3x + 7 = 10 + 2x$$

Rozwiązanie równania z jedną niewiadomą – to liczba, która podstawiona do równania w miejsce niewiadomej spełnia to równanie (czyli po podstawieniu tej liczby w miejsce niewiadomej, lewa strona równania będzie się równać prawej stronie).

Przykład 1.

Sprawdźmy czy liczba 2 spełnia równanie $$3x + 7 = 10 + 2x$$, czyli czy jest rozwiązaniem tego równania.
Podstawiamy liczbę 2 w miejsce niewiadomej x.

  • I sposób
    Obliczamy wartość lewej i prawej strony równania, podstawiając w miejsce x liczbę 2, a następnie porównujemy otrzymane wyniki:

    $$L = 3x + 7 = 3•2+ 7 = 6 + 7 = 13$$
    $$P = 10 + 2x = 10 + 2•2= 10 + 4 = 14$$
    $$13≠14$$, czyli $$L≠P$$

    czyli liczba 2 nie spełnia danego równania, zatem nie jest rozwiązaniem równania.

  • II sposób
    Podstawiamy 2 w miejsce x i sprawdzamy czy otrzymamy równość prawdziwą:

    $$3•2+7=10 + 2•2$$
    $$6 + 7 = 10 + 4$$
    $$13 = 14$$ ← otrzymaliśmy równość fałszywą

    zatem liczba 2 nie spełnia danego równania, zatem nie jest rozwiązaniem równania.

Przykład 2.

Sprawdźmy czy liczba 3 spełnia równanie $$3x + 7 = 10 + 2x$$, czyli czy jest rozwiązaniem tego równania.

  • Podstawiamy liczbę 3 w miejsce niewiadomej x.
    Obliczamy wartość lewej i prawej strony równania, podstawiając w miejsce x liczbę 2, a następnie porównujemy otrzymane wyniki:

    $$L = 3x + 7 = 3•3+ 7 = 9 + 7 = 16$$
    $$P = 10 + 2x = 10 + 2•3= 10 + 6 = 16$$
    $$L = P$$

    Zatem liczba 3 spełnia dane równanie, zatem jest jego rozwiązaniem.

Rozwiązywanie równań

Rozwiązać równanie to znaczy znaleźć wszystkie liczby, które je spełniają.

Rozwiązując równanie dążymy do tego, aby po jednej stronie równania znalazły się tylko niewiadome, a po drugiej tylko liczby.

Reguły postępowania przy rozwiązywaniu równań

  1. Do obu stron równania można dodać takie samo wyrażenie.

    Przykład:

    $$x−4=6$$ → aby przenieść (-4) na prawą stronę, musimy do obu stron dodać 4
    $$x=6+4$$
    $$x=10$$ → rozwiązaniem tego równania jest liczba 10.
     
  2. Od obu stron równania można odjąć takie samo wyrażenie.

    Przykład:

    $$x + 9 = 12$$ → aby przenieść 9 na prawą stronę, musimy odjąć od obu stron 9
    $$x = 12 − 9$$
    $$x = 3$$ → rozwiązaniem tego równania jest liczba 3.
     
  3. Obie strony równania można pomnożyć przez taką samą liczbę różną od zera.

    Przykład:

    $$x/5= 10$$
    $$1/5 x= 10$$ → aby zostawić po lewej stronie tylko x, musimy pomnożyć obie strony przez 5.
    $$x = 5•10$$
    $$x = 50$$ → rozwiązaniem tego równania jest liczba 50.
     
  4. Obie strony równania można podzielić przez taką samą liczbę różną od zera.

    Przykład:

    $$5×x = 15$$ → aby zostawić po lewej stronie tylko x, musimy podzielić obie strony przez 5
    $$x = 15÷5$$
    $$x = 3$$ → rozwiązaniem tego równania jest liczba 3.

Rodzaje równań

Ze względu na ilość rozwiązań równania pierwszego stopnia z jedną niewiadomą dzielimy na:

  • Równanie oznaczone – równanie, które ma jedno rozwiązanie.
    Przykład:

    $$x+9=12$$ $$|-9$$
    $$x=12−9$$
    $$x=3$$ → rozwiązaniem tego równania jest liczba 3
     
  • Równanie nieoznaczone (równanie tożsamościowe) – równanie, które ma nieskończenie wiele rozwiązań.
    Przykład:

    $$x + 2 = x + 2$$ $$|- x$$
    $$2 = 2$$ $$|-2$$
    $$0 = 0$$
     
  • Równanie sprzeczne – równanie, które nie ma rozwiązań
    Przykład:

    $$x+2=x+3$$ $$|-x$$
    $$2=3$$
    $$2≠3$$

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Zapisz podane zdania w formie równania:

  1. suma liczby a i 5 jest równa 45
  2. iloczyn liczby b i 7 jest równy 21
  3. połowa liczby y jest równa 11
  1. $$a+5=45$$
  2. $$b×7=21$$
  3. $$1/2 y=11$$

Zadanie 2.

Podaj liczbę spełniającą równanie:

  1. $$ 2y-3=15 $$
  2. $$ x+5=14 $$
  3. $$ 3y=12 $$
  1. $$ 2y-3=15 $$

    $$ 2y=18 $$

    $$ y=9 $$
  2. $$ x+5=14$$

    $$x=9$$
  3. $$3y=12$$ $$|÷3$$

    $$ y=4 $$

Zadanie 3.

Suma dwóch liczb jest równa 51. Jakie to liczby, jeżeli jedna z nich jest dwa razy większa od drugiej.

$$x$$ -> jedna liczba

$$2x$$ -> druga liczba

$$2x+x=51$$

$$3x=51$$

$$x=17$$ -> $$2x=34$$

Odp.: Jedna z tych liczb to 17, a druga to 34.

Zadanie 4.

Suma trzech kolejnych liczb nieparzystych jest równa 69. Jakie to liczby?

$$2x+1$$ -> liczba nieparzysta

$$2x+1$$, $$2x+3$$, $$2x+5$$ -> kolejne liczby nieparzyste

$$2x+1+2x+3+2x+5=69$$

$$6x+9=69$$ $$|-9$$

$$6x=60$$ $$| ÷6$$

$$x=10$$ -> $$2x+1=21,2x+3=23,2x+5=25$$

Odp.: Te liczby to 21, 23 i 25.

Zadanie 5.

Oblicz miary kątów trójkąta, w którym jeden jest o $$6°$$ większy od drugiego i o $$6°$$ mniejszy od trzeciego.

$$x$$ -> pierwszy kąt

$$x-6$$° -> drugi kąt

$$x+6°$$ -> trzeci kąt

$$x+(x-6°)+(x+6°)=180°$$

$$3x=180°$$ $$|÷3$$

$$x=60°$$ -> $$x-6°=54°,x+6°=66°$$

Odp.: Kąty w tym trójkącie mają miary $$60°$$, $$66°$$, $$54°$$.

Zadanie 6.

Suma długości wszystkich krawędzi czworościanu foremnego jest równa 84 cm. Jaką długość ma jedna krawędź?

czworoscian

6 -> ilość wszystkich krawędzi w czworościanie foremnym

x -> długość jednej krawędzi

$$ 6x=84 cm $$ $$|÷6$$

$$ x=14 cm $$

Odp.: Jedna krawędź tego czworościanu ma długość $$ 14 cm $$.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Bartek jest wyższy od Zosi o

`1,59\ m - 1,48\ m = 0,11\ m`

`0,11\ m =0,11*100\ m= 11\ cm` 

Na rysunku jest 20 kwiatków. Jaki procent wszystkich kwiatków: a) ma kolor żółty?

a) Żółtych kwiatków jest 6. Wszystkich kwiatków jest 20. Zatem: 

`6/20=30/100=30%`

 

b) Czerwonych kwiatków jest 8. Wszystkich kwiatków jest 20. Zatem:

`8/20=40/100=40%` 

Narysuj dowolny kąt ostry alfa oraz dwa odcinki a i b różnej długości

a.

1. Rysujemy dowolną prostą, na której zaznaczamy odcinek AC o długości a

2. Wyznaczamy środek odcinak AC o punkcie O

3. Konstruujemy przy narysowanej prostej kąt o wierzchowku O równy α 

Przedłużamy ramie kąta tak, aby otrzyma dwa kąty wierzchołkowe o mierze α 

4. Od punktu O odkładamy na ramionach kąta odcinki długości AO

b.

1. Rysujemy dowolną prostą, na której zaznaczamy odcinek AC o długości a

2. Wyznaczamy środek odcinka AC w punkcie O

3. Konstruujemy przy narysowanej prostej kąt o wierzchołku O równy `alpha`

Przedłużamy ramię kąta, tak aby otrzymać dwa kąty wierzchołkowe o mierze `alpha`

Przedłużamy ramię kąta oznaczamy jako prostą I

4. Od punktu O odkładamy na prostej I w oby kierunkach odkładamy odcinek równy połowie b (uzyskany np. przez wyznaczenie środka odcinka b i odmierzenie cyrklem połowy)

c.

1. Rysujemy dowolną prostą p, na której zaznaczamy odcinek AD o długości a 

2. Konstruujemy przy narysowanej prostej p kąt o wierzchołku A równy `alpha`

Na tym ramieniu odkładamy odcinek AB o długości a

3. Wyznaczamy prostą równoległą m do prostej p, przechodzący przez punkt B

4. Na prostej m odkładamy odcinek CD o długości b

Kształt jakiej bryły mają "komórki", w których pszczoły przechowują miód

Nazwa tej bryły to graniastosłup prawidłowy sześciokątny.

Podstawą tej bryły jest sześciokąt foremny (sześciokąt, którego wszystkie boki są równe; składa się on z 6 trójkątów równobocznych)

Piotrek narysował prostą równoległą do osi y przechodzącą przez punkt (-3,7)

Współrzędne pięciu punktów leżących na tej prostej :

 A=(-3,5), B=(-3,3) , C=(-3,1) , D=(-3,-1), E=(-3,-3)

 

Zamień procenty na ułamki zwykłe nieskracalne.

`a) \ 40%=40/100 \ stackrel(::20)= \ 2/5` 

`b) \ 85%=85/100 \ stackrel (::5)= \ 17/20` 

`c) \ 160%=160/100 \ stackrel(::20)= \ 8/5`      


`d) \ 16%=16/100 \ stackrel(::4)= \ 4/25` 


`e) \ 46%=46/100 \ stackrel(::2)= \ 23/50` 


`f) \ 105%=105/100 \ stackrel(::5)= \ 21/20` 


`g) \ 60%= 60/100 \ stackrel(::20)= \ 3/5` 


`h) \ 8%=8/100 \ stackrel(::4)= \ 2/25` 


`i) \ 120%=120/100 \ stackrel(::20)= \ 6/5`          

Jesienią w owczarni było n owiec i jeden baran

`n+1+ 1/2n*2+ 1/2n*1= n+1+n+1/2n= 2 1/2 n+1`

Odpowiedź:

Na wiosnę, stado liczyło 2,5n+1 sztuk

Kwadrans to ¹/₄ ...

Wiemy, że kwadrans to 1/4 godziny.

 

a) Aby obliczyć, ile kwadransów trwa lekcja, musimy podzielić długość lekcji przez 1/4:

`3/4:1/4=3/strike4^1*strike4^1/1=3` 

Lekcja trwa trzy kwadranse.

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

b) Aby obliczyć, ile kwadransów trwają zajęcia teatralne, musimy podzielić długość zajęć przez 1/4:

`1 3/4:1/4=7/strike4^1*strike4^1/1=7` 

Zajęcia teatralne trwają siedem kwadransów.

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

c) Aby obliczyć, ile kwadransów trwa seans filmowy, musimy podzielić długość seansu przez 1/4:

`2 1/4:1/4=9/strike4^1*strike4^1/1=9` 

Seans filmowy trwa dziewięć kwadransów.

Jarek wykonał plany swojego osiedla w różnych skalach.

 

Odległość domu

Jarka od domu

Olka 300 m

Adriana 360 m

Michała 180 m

Plan wykonany

w skali

1 : 10 000

1 : 9 000

1 : 4 500

Odległość na planie

3 cm

4 cm

4 cm

`300m:10000=0,03m=3cm` 

`360m:9000=0,04m=4cm` 

`180m:4500=0,04m=4cm` 

 

Odległość domu

Jarka od domu

Marka 75 m

Krzysia 240 m

Franka 25 m

Odległość na planie

3 cm

2 cm

5 cm

Plan wykonany

w skali

1 : 2 500

1 : 12 000

1 : 500

`75:0,03=2500` 

`240:0,02=12000` 

`25:0,05=500` 

Jeżeli zdanie jest prawdziwe, w kratkę wpisz literę P, jeżeli fałszywe - F.

a) FAŁSZ (powierzchnia jezior Głuszyńskiego to około 600 ha, a powierzchnia jeziora Karsińskiego to około 700 ha)

b) FAŁSZ (2154-1364=790)

c) PRAWDA (1400:700=2)

d) FAŁSZ (2200+1400+600+700+500=5400)