Równania - 6-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Równania - 6-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Równania

Dwa wyrażenia algebraiczne, z których przynajmniej jedno zawiera literę, połączone znakiem równości tworzą równanie.

Litera występująca w równaniu to niewiadoma.

Wyrażenie występujące po lewej stronie znaku równości to lewa strona równania, a wyrażenie występujące po prawej stronie to prawa strona równania.

lewa i prawa strona równania

Równanie pierwszego stopnia z jedną niewiadomą to dwa wyrażenia algebraiczne połączone znakiem równości, przy czym w równaniu tym występuje tylko jedna niewiadoma w pierwszej potędze.

Przykłady równań pierwszego stopnia z jedną niewiadomą:

  • $7x − 11 = 17$
  • $8y = 16$
  • $3x + 7 = 10 + 2x$

Rozwiązanie równania z jedną niewiadomą – to liczba, która podstawiona do równania w miejsce niewiadomej spełnia to równanie (czyli po podstawieniu tej liczby w miejsce niewiadomej, lewa strona równania będzie się równać prawej stronie).

Przykład 1.

Sprawdźmy czy liczba 2 spełnia równanie $3x + 7 = 10 + 2x$, czyli czy jest rozwiązaniem tego równania.
Podstawiamy liczbę 2 w miejsce niewiadomej x.

  • I sposób
    Obliczamy wartość lewej i prawej strony równania, podstawiając w miejsce x liczbę 2, a następnie porównujemy otrzymane wyniki:

    $L = 3x + 7 = 3•2+ 7 = 6 + 7 = 13$
    $P = 10 + 2x = 10 + 2•2= 10 + 4 = 14$
    $13≠14$, czyli $L≠P$

    czyli liczba 2 nie spełnia danego równania, zatem nie jest rozwiązaniem równania.

  • II sposób
    Podstawiamy 2 w miejsce x i sprawdzamy czy otrzymamy równość prawdziwą:

    $3•2+7=10 + 2•2$
    $6 + 7 = 10 + 4$
    $13 = 14$ ← otrzymaliśmy równość fałszywą

    zatem liczba 2 nie spełnia danego równania, zatem nie jest rozwiązaniem równania.

Przykład 2.

Sprawdźmy czy liczba 3 spełnia równanie $3x + 7 = 10 + 2x$, czyli czy jest rozwiązaniem tego równania.

  • Podstawiamy liczbę 3 w miejsce niewiadomej x.
    Obliczamy wartość lewej i prawej strony równania, podstawiając w miejsce x liczbę 2, a następnie porównujemy otrzymane wyniki:

    $L = 3x + 7 = 3•3+ 7 = 9 + 7 = 16$
    $P = 10 + 2x = 10 + 2•3= 10 + 6 = 16$
    $L = P$

    Zatem liczba 3 spełnia dane równanie, zatem jest jego rozwiązaniem.

Rozwiązywanie równań

Rozwiązać równanie to znaczy znaleźć wszystkie liczby, które je spełniają.

Rozwiązując równanie dążymy do tego, aby po jednej stronie równania znalazły się tylko niewiadome, a po drugiej tylko liczby.

Reguły postępowania przy rozwiązywaniu równań

  1. Do obu stron równania można dodać takie samo wyrażenie.

    Przykład:

    $x−4=6$ → aby przenieść (-4) na prawą stronę, musimy do obu stron dodać 4
    $x=6+4$
    $x=10$ → rozwiązaniem tego równania jest liczba 10.
     
  2. Od obu stron równania można odjąć takie samo wyrażenie.

    Przykład:

    $x + 9 = 12$ → aby przenieść 9 na prawą stronę, musimy odjąć od obu stron 9
    $x = 12 − 9$
    $x = 3$ → rozwiązaniem tego równania jest liczba 3.
     
  3. Obie strony równania można pomnożyć przez taką samą liczbę różną od zera.

    Przykład:

    $x/5= 10$
    $1/5 x= 10$ → aby zostawić po lewej stronie tylko x, musimy pomnożyć obie strony przez 5.
    $x = 5•10$
    $x = 50$ → rozwiązaniem tego równania jest liczba 50.
     
  4. Obie strony równania można podzielić przez taką samą liczbę różną od zera.

    Przykład:

    $5×x = 15$ → aby zostawić po lewej stronie tylko x, musimy podzielić obie strony przez 5
    $x = 15÷5$
    $x = 3$ → rozwiązaniem tego równania jest liczba 3.

Rodzaje równań

Ze względu na ilość rozwiązań równania pierwszego stopnia z jedną niewiadomą dzielimy na:

  • Równanie oznaczone – równanie, które ma jedno rozwiązanie.
    Przykład:

    $x+9=12$ $|-9$
    $x=12−9$
    $x=3$ → rozwiązaniem tego równania jest liczba 3
     
  • Równanie nieoznaczone (równanie tożsamościowe) – równanie, które ma nieskończenie wiele rozwiązań.
    Przykład:

    $x + 2 = x + 2$ $|- x$
    $2 = 2$ $|-2$
    $0 = 0$
     
  • Równanie sprzeczne – równanie, które nie ma rozwiązań
    Przykład:

    $x+2=x+3$ $|-x$
    $2=3$
    $2≠3$

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Zapisz podane zdania w formie równania:

  1. suma liczby a i 5 jest równa 45
  2. iloczyn liczby b i 7 jest równy 21
  3. połowa liczby y jest równa 11
  1. $a+5=45$
  2. $b×7=21$
  3. $1/2 y=11$

Zadanie 2.

Podaj liczbę spełniającą równanie:

  1. $ 2y-3=15 $
  2. $ x+5=14 $
  3. $ 3y=12 $
  1. $ 2y-3=15 $

    $ 2y=18 $

    $ y=9 $
  2. $ x+5=14$

    $x=9$
  3. $3y=12$ $|÷3$

    $ y=4 $

Zadanie 3.

Suma dwóch liczb jest równa 51. Jakie to liczby, jeżeli jedna z nich jest dwa razy większa od drugiej.

$x$ -> jedna liczba

$2x$ -> druga liczba

$2x+x=51$

$3x=51$

$x=17$ -> $2x=34$

Odp.: Jedna z tych liczb to 17, a druga to 34.

Zadanie 4.

Suma trzech kolejnych liczb nieparzystych jest równa 69. Jakie to liczby?

$2x+1$ -> liczba nieparzysta

$2x+1$, $2x+3$, $2x+5$ -> kolejne liczby nieparzyste

$2x+1+2x+3+2x+5=69$

$6x+9=69$ $|-9$

$6x=60$ $| ÷6$

$x=10$ -> $2x+1=21,2x+3=23,2x+5=25$

Odp.: Te liczby to 21, 23 i 25.

Zadanie 5.

Oblicz miary kątów trójkąta, w którym jeden jest o $6°$ większy od drugiego i o $6°$ mniejszy od trzeciego.

$x$ -> pierwszy kąt

$x-6$° -> drugi kąt

$x+6°$ -> trzeci kąt

$x+(x-6°)+(x+6°)=180°$

$3x=180°$ $|÷3$

$x=60°$ -> $x-6°=54°,x+6°=66°$

Odp.: Kąty w tym trójkącie mają miary $60°$, $66°$, $54°$.

Zadanie 6.

Suma długości wszystkich krawędzi czworościanu foremnego jest równa 84 cm. Jaką długość ma jedna krawędź?

czworoscian

6 -> ilość wszystkich krawędzi w czworościanie foremnym

x -> długość jednej krawędzi

$ 6x=84 cm $ $|÷6$

$ x=14 cm $

Odp.: Jedna krawędź tego czworościanu ma długość $ 14 cm $.

Spis treści

Rozwiązane zadania
W tabelce podano powierzchnię największych jezior województwa

a) 

b) 

Dodaj sprytnie wszystkie liczby z chmurki

Dodaje sprytnie: {premium}`-57+157+13-3+2+18-130=`   

Górna warstwa gleby grubości 30 cm jest bardzo bogata

 a) 

Bakterie : 

 

Dżdżownice : 

 

Pierwotniaki : 

 

Glony : 

 

Owady : 

 

b) 

Bakterie : 

 

Dżdżownice : 

 

Pierwotniaki : 

 

Glony : 

 

Owady : 

 

c) 

Bakterie : 

 

Dżdżownice : 

 

Pierwotniaki : 

 

Glony : 

 

Owady : 

Zapisz wyrażenie pozwalające obliczyć liczbę: a) dwa razy większą od 5612 (...)

 {premium}

 

 

 

W butelce jest 0,33 l soku...

W butelce znajduje się 0,33 l soku. Obliczmy ile to mililitrów:

W butelce znajduje się więc 330 ml soku. Kiedy nalejemu soku do szklanki o pojemności 220 ml, to w butelce pozostanie:

 

W butelce pozostanie 110 ml soku

Pszczoły z jednego ula w ciągu roku produkują najwięcej

Korzystając z tabeli na stronie 33 wiemy, że w ciągu jednego roku pszczoły z jednego ula produkują najwięcej miodu.


Odp. B

W sklepiku szkolnym Michał kupił trzy zeszyty i dwa ołówki, a Franek...

x zł- cena jednego zeszytu
y zł - cena jednego długopisu

Zakupy Michała:

  •  trzy zeszyty po x zł każdy, czyli 3x zł- kwotą, którą chłopiec zapłaci za zeszyty
  •  dwa ołówki po y zł każdy, czyli 2y zł- kwota, którą chłopiec zapłaci za ołówki

Michał zapłaci za zakupy:
3x+2y [zł]



Zakupy Franka:

  •  pięć zeszytów po x zł każdy, czyli 5x zł- kwotą, którą chłopiec zapłaci za zeszyty
  •  cztery ołówki po y zł każdy, czyli 4y zł- kwota, którą chłopiec zapłaci za ołówki

Franek zapłaci za zakupy:
5x+4y [zł]

 

Lata przed nasza erą można zapisać za pomocą liczb ujemnych

Tales z MIletu

Pitogras

Archimedes

Jaka jest długość krawędzi sześcianu o objętości

 a) 

  

Odp. Długość krawędzi tego sześcianu wynosi 1cm 

b) 

 

Odp: Długość krawędzi tego sześcianu wynosi 2cm 

c) 

 

Odp  : Długość krawędzi tego sześcianu wynosi 4m 

d) 

 

Odp : Długość krawędzi tego sześcianu wynoi 10cm 

e) 

 

Odp : Długość krawędzi tego sześcianu wynosi 

Odp : Długość krawędzi tego sześcianu wynosi 

Pole prostokąta jest równe...

Wiemy, że pole pewnego prostokąta jest równe 85 cm2. Wiemy, że jeden z boków prostokąta jest o 12 cm krótszy od drugiego. Jeżeli więc długość jednego z boków zapiszemy jako  , to długość drugiego boku wyniesie  . Aby obliczyć pole tego prostokąta musimy więc zapisać następujące działanie:

 

Do rozwiązania tego zadania posłużymy się tabelką. Wypiszemy w niej liczby, które prawdopodobnie będą spełniać to równanie i każdą z nich sprawdzimy (metoda prób i błędów). 

Z zapisanego powyżej działania widzimy, że iloczyn tych dwóch liczb nie może być liczbą ujemną ani 0, co oznacza, że liczba otrzymana z działania w nawiasie musi być większa od 0. Oznacza to jednocześnie, że  musi być większy od 12

 

czyli

 

W tabelce wypiszemy więc liczby całkowite, większe od 12

 

Liczba x

           

Wartość wyrażenia

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Wniosek

za mało za mało za mało za mało dobrze za dużo

Szukanymi liczbami są więc 17 i 5

 

Odpowiedź: Prostokąt ma wymiary 17 cm x 5 cm