Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Równania - 6-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Równania

Dwa wyrażenia algebraiczne, z których przynajmniej jedno zawiera literę, połączone znakiem równości tworzą równanie.

Litera występująca w równaniu to niewiadoma.

Wyrażenie występujące po lewej stronie znaku równości to lewa strona równania, a wyrażenie występujące po prawej stronie to prawa strona równania.

lewa i prawa strona równania

Równanie pierwszego stopnia z jedną niewiadomą to dwa wyrażenia algebraiczne połączone znakiem równości, przy czym w równaniu tym występuje tylko jedna niewiadoma w pierwszej potędze.

Przykłady równań pierwszego stopnia z jedną niewiadomą:

  • $$7x − 11 = 17$$
  • $$8y = 16$$
  • $$3x + 7 = 10 + 2x$$

Rozwiązanie równania z jedną niewiadomą – to liczba, która podstawiona do równania w miejsce niewiadomej spełnia to równanie (czyli po podstawieniu tej liczby w miejsce niewiadomej, lewa strona równania będzie się równać prawej stronie).

Przykład 1.

Sprawdźmy czy liczba 2 spełnia równanie $$3x + 7 = 10 + 2x$$, czyli czy jest rozwiązaniem tego równania.
Podstawiamy liczbę 2 w miejsce niewiadomej x.

  • I sposób
    Obliczamy wartość lewej i prawej strony równania, podstawiając w miejsce x liczbę 2, a następnie porównujemy otrzymane wyniki:

    $$L = 3x + 7 = 3•2+ 7 = 6 + 7 = 13$$
    $$P = 10 + 2x = 10 + 2•2= 10 + 4 = 14$$
    $$13≠14$$, czyli $$L≠P$$

    czyli liczba 2 nie spełnia danego równania, zatem nie jest rozwiązaniem równania.

  • II sposób
    Podstawiamy 2 w miejsce x i sprawdzamy czy otrzymamy równość prawdziwą:

    $$3•2+7=10 + 2•2$$
    $$6 + 7 = 10 + 4$$
    $$13 = 14$$ ← otrzymaliśmy równość fałszywą

    zatem liczba 2 nie spełnia danego równania, zatem nie jest rozwiązaniem równania.

Przykład 2.

Sprawdźmy czy liczba 3 spełnia równanie $$3x + 7 = 10 + 2x$$, czyli czy jest rozwiązaniem tego równania.

  • Podstawiamy liczbę 3 w miejsce niewiadomej x.
    Obliczamy wartość lewej i prawej strony równania, podstawiając w miejsce x liczbę 2, a następnie porównujemy otrzymane wyniki:

    $$L = 3x + 7 = 3•3+ 7 = 9 + 7 = 16$$
    $$P = 10 + 2x = 10 + 2•3= 10 + 6 = 16$$
    $$L = P$$

    Zatem liczba 3 spełnia dane równanie, zatem jest jego rozwiązaniem.

Rozwiązywanie równań

Rozwiązać równanie to znaczy znaleźć wszystkie liczby, które je spełniają.

Rozwiązując równanie dążymy do tego, aby po jednej stronie równania znalazły się tylko niewiadome, a po drugiej tylko liczby.

Reguły postępowania przy rozwiązywaniu równań

  1. Do obu stron równania można dodać takie samo wyrażenie.

    Przykład:

    $$x−4=6$$ → aby przenieść (-4) na prawą stronę, musimy do obu stron dodać 4
    $$x=6+4$$
    $$x=10$$ → rozwiązaniem tego równania jest liczba 10.
     
  2. Od obu stron równania można odjąć takie samo wyrażenie.

    Przykład:

    $$x + 9 = 12$$ → aby przenieść 9 na prawą stronę, musimy odjąć od obu stron 9
    $$x = 12 − 9$$
    $$x = 3$$ → rozwiązaniem tego równania jest liczba 3.
     
  3. Obie strony równania można pomnożyć przez taką samą liczbę różną od zera.

    Przykład:

    $$x/5= 10$$
    $$1/5 x= 10$$ → aby zostawić po lewej stronie tylko x, musimy pomnożyć obie strony przez 5.
    $$x = 5•10$$
    $$x = 50$$ → rozwiązaniem tego równania jest liczba 50.
     
  4. Obie strony równania można podzielić przez taką samą liczbę różną od zera.

    Przykład:

    $$5×x = 15$$ → aby zostawić po lewej stronie tylko x, musimy podzielić obie strony przez 5
    $$x = 15÷5$$
    $$x = 3$$ → rozwiązaniem tego równania jest liczba 3.

Rodzaje równań

Ze względu na ilość rozwiązań równania pierwszego stopnia z jedną niewiadomą dzielimy na:

  • Równanie oznaczone – równanie, które ma jedno rozwiązanie.
    Przykład:

    $$x+9=12$$ $$|-9$$
    $$x=12−9$$
    $$x=3$$ → rozwiązaniem tego równania jest liczba 3
     
  • Równanie nieoznaczone (równanie tożsamościowe) – równanie, które ma nieskończenie wiele rozwiązań.
    Przykład:

    $$x + 2 = x + 2$$ $$|- x$$
    $$2 = 2$$ $$|-2$$
    $$0 = 0$$
     
  • Równanie sprzeczne – równanie, które nie ma rozwiązań
    Przykład:

    $$x+2=x+3$$ $$|-x$$
    $$2=3$$
    $$2≠3$$

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Zapisz podane zdania w formie równania:

  1. suma liczby a i 5 jest równa 45
  2. iloczyn liczby b i 7 jest równy 21
  3. połowa liczby y jest równa 11
  1. $$a+5=45$$
  2. $$b×7=21$$
  3. $$1/2 y=11$$

Zadanie 2.

Podaj liczbę spełniającą równanie:

  1. $$ 2y-3=15 $$
  2. $$ x+5=14 $$
  3. $$ 3y=12 $$
  1. $$ 2y-3=15 $$

    $$ 2y=18 $$

    $$ y=9 $$
  2. $$ x+5=14$$

    $$x=9$$
  3. $$3y=12$$ $$|÷3$$

    $$ y=4 $$

Zadanie 3.

Suma dwóch liczb jest równa 51. Jakie to liczby, jeżeli jedna z nich jest dwa razy większa od drugiej.

$$x$$ -> jedna liczba

$$2x$$ -> druga liczba

$$2x+x=51$$

$$3x=51$$

$$x=17$$ -> $$2x=34$$

Odp.: Jedna z tych liczb to 17, a druga to 34.

Zadanie 4.

Suma trzech kolejnych liczb nieparzystych jest równa 69. Jakie to liczby?

$$2x+1$$ -> liczba nieparzysta

$$2x+1$$, $$2x+3$$, $$2x+5$$ -> kolejne liczby nieparzyste

$$2x+1+2x+3+2x+5=69$$

$$6x+9=69$$ $$|-9$$

$$6x=60$$ $$| ÷6$$

$$x=10$$ -> $$2x+1=21,2x+3=23,2x+5=25$$

Odp.: Te liczby to 21, 23 i 25.

Zadanie 5.

Oblicz miary kątów trójkąta, w którym jeden jest o $$6°$$ większy od drugiego i o $$6°$$ mniejszy od trzeciego.

$$x$$ -> pierwszy kąt

$$x-6$$° -> drugi kąt

$$x+6°$$ -> trzeci kąt

$$x+(x-6°)+(x+6°)=180°$$

$$3x=180°$$ $$|÷3$$

$$x=60°$$ -> $$x-6°=54°,x+6°=66°$$

Odp.: Kąty w tym trójkącie mają miary $$60°$$, $$66°$$, $$54°$$.

Zadanie 6.

Suma długości wszystkich krawędzi czworościanu foremnego jest równa 84 cm. Jaką długość ma jedna krawędź?

czworoscian

6 -> ilość wszystkich krawędzi w czworościanie foremnym

x -> długość jednej krawędzi

$$ 6x=84 cm $$ $$|÷6$$

$$ x=14 cm $$

Odp.: Jedna krawędź tego czworościanu ma długość $$ 14 cm $$.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Dopasuj do każdego z podanych równań sposób znalezienia niewiadomej liczby i oblicz ją

A . II 

x = 20 : 2 

x = 10 

B. IV 

x = 30 : 5 

x = 6 

C. I . 

x = 32 : 8 

x = 4 

D. III 

x = 36 : 6 

x = 6 

 

Uczestnicy obozu byli zakwaterowani w 15 pokojach trzyosobowych

`#underbrace(15*3)_("liczba miejsc w pokojach 3-osobowych")+#underbrace(9*4)_("liczba miejsc w pokojach 4-osobowych")+#underbrace(3*2)_("liczba miejsc w pokojach dwuosobowych")=45+36+6=87` 


Poprawna odpowiedź: B. 87 osób, ponieważ II. w pokojach trzyosobowych mieszkało 45 osób, w czteroosobowych ...    

Kukułka w zegarze kuka raz o godzinie 1:00 i o 13:00,...

Kukułka kuka:

o godzinie 0:00 i 12:00 po 12 razy czyli razem 24 razy
o godzinie 1:00 i 13:00 po 1 razie czyli razem 2 razy
o godzinie 2:00 i 14:00 po 2 razy czyli razem 4 razy
o godzinie 3:00 i 15:00 po 3 razy czyli razem 6 razy
o godzinie 4:00 i 16:00 po 4 razy czyli razem 8 razy
o godzinie 5:00 i 17:00 po 5 razy czyli razem 10 razy
o godzinie 6:00 i 18:00 po 6 razy czyli razem 12 razy
o godzinie 7:00 i 19:00 po 7 razy czyli razem 14 razy
o godzinie 8:00 i 20:00 po 8 razy czyli razem 16 razy
o godzinie 9:00 i 21:00 po 9 razy czyli razem 18 razy
o godzinie 10:00 i 22:00 po 10 razy czyli razem 20 razy
o godzinie 11:00 i 23:00 po 11 razy czyli razem 22 razy

i w połowie każdej godziny jeden raz czyli razem 24

Zatem w ciągu doby kukułka kuka:

24+2+4+6+8+10+12+14+16+18+20+22+24=180

Odp. W ciągu doby kukułka kuka 180.

Oblicz obwód:

`"a)"` kwadrat o boku `7\ "m"`

Obwód`=4*7\ "m"=28\ "m,"` bo kwadrat ma cztery boki równej długości

`"b)"` romb o boku `12\ "mm"` 

Obwód`=4*12\ "mm"=48\ "mm,"` bo romb ma cztery boki równej długości

`"c)"` prostokąt o wymiarach `3,5\ "cm x "4,5\ "cm"` 

Obwód`=2*3,5\ "cm"+2*4,5\ "cm"=7\ "cm"+9\ "cm"=16\ "cm,"` bo prostokąt

ma dwa boki długości `3,5\ "cm"` i dwa boki długości `4,5\ "cm"`            

 

Zamień na dm³ . a) 3 m³

a) 3m³ =3000 dm³

b) 11m³ =11 000 dm³

c) 1,2m³ =1200 dm³

d) 0,4m³ =400 dm ³

Z sześcianu o krawędzi 3 cm wycięto sześcian...

Otrzymana bryła ma:

`9` ścian

`14` wierzchołków

`21` krawędzi

 

Pole powierzchni otrzymanej bryły jest takie samo jak pole powierzchni sześcianu o krawędzi `3\ "cm".` 

Obliczamy pole powierzchni jednej ściany sześcianu o krawędzi `3\ "cm":` 

`3\ "cm"*3\ "cm"=9\ "cm"^2` 

Obliczamy pole powierzchni sześcianu o krawędzi `3\ "cm":` 

`6*9\ "cm"^2=54\ "cm"^2` 

Zatem pole powierzchni otrzymanej bryły jest równe `54\ "cm"^2.` 

 

Objętość otrzymanej bryły będzie równa różnicy objętości większego sześcianu i mniejszego sześcianu.

Obliczamy objętość sześcianu o krawędzi `3\ "cm":` 

`V_1=3\ "cm"*3\ "cm"*3\ "cm"=27\ "cm"^3`   

Obliczamy objętość sześcianu o krawędzi `1\ "cm":` 

`V_2=1\ "cm"*1\ "cm"*1\ "cm"=1\ "cm"^3`   

Obliczamy objętość otrzymanej bryły:

`V=V_1-V_2=27\ "cm"^3-1\ "cm"^3=26\ "cm"^3` 

Czyli objętość otrzymanej bryły wynosi `26\ "cm"^3.`  

         

Skreśl zdania nieprawdziwe:

Należy skeślić zdania: 

  • Każdy prostokąt jest kwadratem. 

  • Każdy trapez jest równoległobokiem. 
Podaj liczbę o 70 większą od każdej z liczb: ...

Obliczamy ile wynosi liczba o 70 większa od każdej z podanych liczb. 

`(-18) + 70 = 70 - 18 = 52`

`15 + 70 = 85`

`(-23) + 70 = 70 - 23 = 47`

`(-4) + 70 = 70 - 4 = 66`

Oblicz sumę miar kątów

a)trójkąt`180^circ` 

czworokąt`360^circ` 

pięciokąt`540^circ` 

sześciokąt`720^circ` 

 ....

ośmiokąt`1080^circ` 

.......

dziesięciokąt`1440^circ`

 

 

 

 

a) Ile pełnych obrotów wykonuje wskazówka minutowa zegara (...)

a) Wskazówka godzinowa wykonuje pełny obrót w ciągu `12 "godzin"=`  `12*60\ "minut"=720\ "minut"` 

Wskazówka minutowa wykonuje pełny obrót w ciągu `60\ "minut`  

`720:60=72:6=12`

Wskazówka minutowa wykonuje w tym czasie 12 pełnych obrotów. 

 

b) Jeśli wskazówka minutowa obróciła się o kąt `60^o` , to pokonała `(60^o)/(360^o)=60/360=6/36=1/6` całego koła, czyli `1/6*60\ min=10\ min` . Obliczamy, o jaką część całego koła obróciła się w tym czasie wskazówka godzinowa: `(10\ min)/(720\ min)=10/720=1/72`  

Obliczamy, ile to stopni: `1/72*360^o=1/2*10^o=5 ^o`  

Wskazówka godzinowa obróciła się w tym czasie o `5^o` .

 

c) 20 minut później będzie godzina 12:20. O 12.20 duża wskazówka będzie na 4, a mała będzie w `1/3` drogi między 12 a 1 (bo 20 minut to `20/60=2/6=1/3` godziny)

Dzielimy każdą godzinę na 3 części - w ten sposób cały zegar został podzielony na 36 części. Zaznaczony kąt zajmuje 11 części z 36. Obliczamy, jaki to kąt:

`11/36*360^o=11/1*10^o=110^o`

 

d) Postępujemy tak jak w c). 

`2/36*360^o=2/1*10^o=20^o`

 

 

e) o 6:00 wskazówki tworzą kąt `180^o` .

o 6:20: `7/36*360^o=7*10^o=70^o`  

 

 

f) W tym przypadku każdą z godzin dzielimy na 4 równe części. O 8.45 mała wskazówka będzie w `3/4 ` drogi między 8 a 9 (45 minut z 60 to `45/60=3/4` ), natomiast o 9:15 mała wskazówka będzie w `1/4` drogi między 9 a 10.

o 8.45:`1/48*360^o=1/4*30^o=(30/4)^o=(7 2/4)^o=7,5^o` 

o 9.15: `23/48*360^o=23/4*30^o=(690/4)^o=(172 2/4)^o=172,5^o`