Równania - 6-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Równania - 6-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Równania

Dwa wyrażenia algebraiczne, z których przynajmniej jedno zawiera literę, połączone znakiem równości tworzą równanie.

Litera występująca w równaniu to niewiadoma.

Wyrażenie występujące po lewej stronie znaku równości to lewa strona równania, a wyrażenie występujące po prawej stronie to prawa strona równania.

lewa i prawa strona równania

Równanie pierwszego stopnia z jedną niewiadomą to dwa wyrażenia algebraiczne połączone znakiem równości, przy czym w równaniu tym występuje tylko jedna niewiadoma w pierwszej potędze.

Przykłady równań pierwszego stopnia z jedną niewiadomą:

  • $7x − 11 = 17$
  • $8y = 16$
  • $3x + 7 = 10 + 2x$

Rozwiązanie równania z jedną niewiadomą – to liczba, która podstawiona do równania w miejsce niewiadomej spełnia to równanie (czyli po podstawieniu tej liczby w miejsce niewiadomej, lewa strona równania będzie się równać prawej stronie).

Przykład 1.

Sprawdźmy czy liczba 2 spełnia równanie $3x + 7 = 10 + 2x$, czyli czy jest rozwiązaniem tego równania.
Podstawiamy liczbę 2 w miejsce niewiadomej x.

  • I sposób
    Obliczamy wartość lewej i prawej strony równania, podstawiając w miejsce x liczbę 2, a następnie porównujemy otrzymane wyniki:

    $L = 3x + 7 = 3•2+ 7 = 6 + 7 = 13$
    $P = 10 + 2x = 10 + 2•2= 10 + 4 = 14$
    $13≠14$, czyli $L≠P$

    czyli liczba 2 nie spełnia danego równania, zatem nie jest rozwiązaniem równania.

  • II sposób
    Podstawiamy 2 w miejsce x i sprawdzamy czy otrzymamy równość prawdziwą:

    $3•2+7=10 + 2•2$
    $6 + 7 = 10 + 4$
    $13 = 14$ ← otrzymaliśmy równość fałszywą

    zatem liczba 2 nie spełnia danego równania, zatem nie jest rozwiązaniem równania.

Przykład 2.

Sprawdźmy czy liczba 3 spełnia równanie $3x + 7 = 10 + 2x$, czyli czy jest rozwiązaniem tego równania.

  • Podstawiamy liczbę 3 w miejsce niewiadomej x.
    Obliczamy wartość lewej i prawej strony równania, podstawiając w miejsce x liczbę 2, a następnie porównujemy otrzymane wyniki:

    $L = 3x + 7 = 3•3+ 7 = 9 + 7 = 16$
    $P = 10 + 2x = 10 + 2•3= 10 + 6 = 16$
    $L = P$

    Zatem liczba 3 spełnia dane równanie, zatem jest jego rozwiązaniem.

Rozwiązywanie równań

Rozwiązać równanie to znaczy znaleźć wszystkie liczby, które je spełniają.

Rozwiązując równanie dążymy do tego, aby po jednej stronie równania znalazły się tylko niewiadome, a po drugiej tylko liczby.

Reguły postępowania przy rozwiązywaniu równań

  1. Do obu stron równania można dodać takie samo wyrażenie.

    Przykład:

    $x−4=6$ → aby przenieść (-4) na prawą stronę, musimy do obu stron dodać 4
    $x=6+4$
    $x=10$ → rozwiązaniem tego równania jest liczba 10.
     
  2. Od obu stron równania można odjąć takie samo wyrażenie.

    Przykład:

    $x + 9 = 12$ → aby przenieść 9 na prawą stronę, musimy odjąć od obu stron 9
    $x = 12 − 9$
    $x = 3$ → rozwiązaniem tego równania jest liczba 3.
     
  3. Obie strony równania można pomnożyć przez taką samą liczbę różną od zera.

    Przykład:

    $x/5= 10$
    $1/5 x= 10$ → aby zostawić po lewej stronie tylko x, musimy pomnożyć obie strony przez 5.
    $x = 5•10$
    $x = 50$ → rozwiązaniem tego równania jest liczba 50.
     
  4. Obie strony równania można podzielić przez taką samą liczbę różną od zera.

    Przykład:

    $5×x = 15$ → aby zostawić po lewej stronie tylko x, musimy podzielić obie strony przez 5
    $x = 15÷5$
    $x = 3$ → rozwiązaniem tego równania jest liczba 3.

Rodzaje równań

Ze względu na ilość rozwiązań równania pierwszego stopnia z jedną niewiadomą dzielimy na:

  • Równanie oznaczone – równanie, które ma jedno rozwiązanie.
    Przykład:

    $x+9=12$ $|-9$
    $x=12−9$
    $x=3$ → rozwiązaniem tego równania jest liczba 3
     
  • Równanie nieoznaczone (równanie tożsamościowe) – równanie, które ma nieskończenie wiele rozwiązań.
    Przykład:

    $x + 2 = x + 2$ $|- x$
    $2 = 2$ $|-2$
    $0 = 0$
     
  • Równanie sprzeczne – równanie, które nie ma rozwiązań
    Przykład:

    $x+2=x+3$ $|-x$
    $2=3$
    $2≠3$

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Zapisz podane zdania w formie równania:

  1. suma liczby a i 5 jest równa 45
  2. iloczyn liczby b i 7 jest równy 21
  3. połowa liczby y jest równa 11
  1. $a+5=45$
  2. $b×7=21$
  3. $1/2 y=11$

Zadanie 2.

Podaj liczbę spełniającą równanie:

  1. $ 2y-3=15 $
  2. $ x+5=14 $
  3. $ 3y=12 $
  1. $ 2y-3=15 $

    $ 2y=18 $

    $ y=9 $
  2. $ x+5=14$

    $x=9$
  3. $3y=12$ $|÷3$

    $ y=4 $

Zadanie 3.

Suma dwóch liczb jest równa 51. Jakie to liczby, jeżeli jedna z nich jest dwa razy większa od drugiej.

$x$ -> jedna liczba

$2x$ -> druga liczba

$2x+x=51$

$3x=51$

$x=17$ -> $2x=34$

Odp.: Jedna z tych liczb to 17, a druga to 34.

Zadanie 4.

Suma trzech kolejnych liczb nieparzystych jest równa 69. Jakie to liczby?

$2x+1$ -> liczba nieparzysta

$2x+1$, $2x+3$, $2x+5$ -> kolejne liczby nieparzyste

$2x+1+2x+3+2x+5=69$

$6x+9=69$ $|-9$

$6x=60$ $| ÷6$

$x=10$ -> $2x+1=21,2x+3=23,2x+5=25$

Odp.: Te liczby to 21, 23 i 25.

Zadanie 5.

Oblicz miary kątów trójkąta, w którym jeden jest o $6°$ większy od drugiego i o $6°$ mniejszy od trzeciego.

$x$ -> pierwszy kąt

$x-6$° -> drugi kąt

$x+6°$ -> trzeci kąt

$x+(x-6°)+(x+6°)=180°$

$3x=180°$ $|÷3$

$x=60°$ -> $x-6°=54°,x+6°=66°$

Odp.: Kąty w tym trójkącie mają miary $60°$, $66°$, $54°$.

Zadanie 6.

Suma długości wszystkich krawędzi czworościanu foremnego jest równa 84 cm. Jaką długość ma jedna krawędź?

czworoscian

6 -> ilość wszystkich krawędzi w czworościanie foremnym

x -> długość jednej krawędzi

$ 6x=84 cm $ $|÷6$

$ x=14 cm $

Odp.: Jedna krawędź tego czworościanu ma długość $ 14 cm $.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Chęć uczestnictwa w wycieczce wyraziło...

72 - liczba szóstoklasistów, która wyraziła chęć udziału w wycieczce 

  - o tyle mniej uczniów klas szóstych wyraziło chęć wzięcia udziału w wycieczce 

 

Obliczmy, jaka część uczniów brała udział w wycieczce

 

 

Skoro  uczniów to 72 osoby, to  uczniów to:

{premium}

 

 

Skoro  uczniów to 36 osób, to szóstoklasistów było łącznie:

        

 

Odp. W klasach szóstych uczy się 108 osób.

Korzystając z rysunku wpisz do tabelki odpowiednie nazwy planet.

Aby uszeregować odległości planet od Słońca należy uszeregować liczby od najmniejszej do największej, a następnie odczytać z rysunku kolejność występowania planet.  {premium}

 

 

Działka pana Karola ma powierzchnię 25 arów, a stojąca ...

25 a - powierzchnia działki 

100 m2 = 1 a - powierzchnia zajmowana przez altanę 


Obliczamy jaką część działki zajmuje altana. {premium}

 

Zamieniamy ten ułamek na procent.

 


Odpowiedź: Altana zajmuje 4% powierzchni działki. 

Która z liczb zapisanych w ramce ...

 

Od jakiej liczby należy odjąć 1, aby otrzymać 7? 

8-1=7

Szukana liczba to 8. Zatem: {premium}

 

Rozwiązaniem równania jest liczba 8

 

 

Jaką liczbę należy odjąć od 2, aby otrzymać 1? 

2-1=1

Szukana liczba to 1. Zatem: 

 

Rozwiązaniem równania jest liczba 1

 

 

Do jakiej liczby należy dodać 8, aby otrzymać 2? 

-6+8=8-6=2

Jest to liczba -6, więc: 

 

Jaką liczbę należy pomnożyć razy 3, aby otrzymać -6? 

 

Szukana liczba to -2. Zatem: 

 

Rozwiązaniem równania jest liczba -2

 

 

Jaką liczbę należy odjąć od 5, aby otrzymać 3? 

5-2=3

Jest to liczba 2, więc: 

 

Jaką liczbę należy pomnożyć razy 2, aby otrzymać 2? 

 

Szukana liczba to 1. Zatem: 

 

Rozwiązaniem równania jest liczba 1

Pod każdym kątem zapisz ...

Pierwszy (górny) rząd kątów, od lewej mamy:

  • kąt ostry 

  • kąt wklęsły 
    {premium}
  • kąt pełny 


Drugi (dolny) rząd kątów, od lewej mamy: 

  • kąt półpełny

  • kąt rozwarty 

  • kąt prosty 
Oblicz:

 

   {premium}

 

 

  


 

    

 

 


 

 

 

    

Rozwiąż równanie i sprawdź rozwiązanie.

a)

 

  \ -7

 

 \ :5

 

 

 

Sprawdzenie:

 

 

    

 

b)

 

  \ +4{premium}

 

  \ :4

 

 

 

 

 

    

 

c)

 

  \ +7

 

  \ :7

 

 

 

 

 

    

 

d)

 

  \ -12

 

  \ :2

                          

 

 

 

    

Uzupełnij schemat.

 
{premium}


 

1 kg = 100 dag

1 dag = 10 g, więc 100 dag = 100 ٠ 10 g = 1000 g 


 

1 t = 1000 kg 

1 kg = 100 dag, więc 1000 kg = 1000 ٠100 dag = 100 000 dag 

1 dag = 10 g, więc 100 000 dag = 100 000 ٠ 10 g = 1 000 000 g

Zapisz ułamek 7/12 jako sumę...

Liczbę 7 możemy{premium} przedstawić w postaci sumy jako:

7=1+6

7=1+2+4

7=2+5 (tę możliwość odrzucamy, ponieważ 5 nie jest dzielnikiem 12 i nie uzyskamy wówczas 1 w liczniku)

7=3+4


Zatem:

 

 

 

Spróbuj się domyślić, jakie są ...

 

 

Ponieważ     [jeśli licznik jest równy mianownikowi, to ułamek jest równy 1]   

{premium}

 

 
Ponieważ     [iloczyn dowolnej liczby i liczby 1 jest równy tej liczbie]



 

 

Ponieważ      [iloczyn dowolnej liczby i liczby 0 jest równy 0]



 

 

Ponieważ     [iloczyn dowolnej liczby i jej odwrotności jest równy 1]