Równania - 6-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Równania

Dwa wyrażenia algebraiczne, z których przynajmniej jedno zawiera literę, połączone znakiem równości tworzą równanie.

Litera występująca w równaniu to niewiadoma.

Wyrażenie występujące po lewej stronie znaku równości to lewa strona równania, a wyrażenie występujące po prawej stronie to prawa strona równania.

lewa i prawa strona równania

Równanie pierwszego stopnia z jedną niewiadomą to dwa wyrażenia algebraiczne połączone znakiem równości, przy czym w równaniu tym występuje tylko jedna niewiadoma w pierwszej potędze.

Przykłady równań pierwszego stopnia z jedną niewiadomą:

  • $$7x − 11 = 17$$
  • $$8y = 16$$
  • $$3x + 7 = 10 + 2x$$

Rozwiązanie równania z jedną niewiadomą – to liczba, która podstawiona do równania w miejsce niewiadomej spełnia to równanie (czyli po podstawieniu tej liczby w miejsce niewiadomej, lewa strona równania będzie się równać prawej stronie).

Przykład 1.

Sprawdźmy czy liczba 2 spełnia równanie $$3x + 7 = 10 + 2x$$, czyli czy jest rozwiązaniem tego równania.
Podstawiamy liczbę 2 w miejsce niewiadomej x.

  • I sposób
    Obliczamy wartość lewej i prawej strony równania, podstawiając w miejsce x liczbę 2, a następnie porównujemy otrzymane wyniki:

    $$L = 3x + 7 = 3•2+ 7 = 6 + 7 = 13$$
    $$P = 10 + 2x = 10 + 2•2= 10 + 4 = 14$$
    $$13≠14$$, czyli $$L≠P$$

    czyli liczba 2 nie spełnia danego równania, zatem nie jest rozwiązaniem równania.

  • II sposób
    Podstawiamy 2 w miejsce x i sprawdzamy czy otrzymamy równość prawdziwą:

    $$3•2+7=10 + 2•2$$
    $$6 + 7 = 10 + 4$$
    $$13 = 14$$ ← otrzymaliśmy równość fałszywą

    zatem liczba 2 nie spełnia danego równania, zatem nie jest rozwiązaniem równania.

Przykład 2.

Sprawdźmy czy liczba 3 spełnia równanie $$3x + 7 = 10 + 2x$$, czyli czy jest rozwiązaniem tego równania.

  • Podstawiamy liczbę 3 w miejsce niewiadomej x.
    Obliczamy wartość lewej i prawej strony równania, podstawiając w miejsce x liczbę 2, a następnie porównujemy otrzymane wyniki:

    $$L = 3x + 7 = 3•3+ 7 = 9 + 7 = 16$$
    $$P = 10 + 2x = 10 + 2•3= 10 + 6 = 16$$
    $$L = P$$

    Zatem liczba 3 spełnia dane równanie, zatem jest jego rozwiązaniem.

Rozwiązywanie równań

Rozwiązać równanie to znaczy znaleźć wszystkie liczby, które je spełniają.

Rozwiązując równanie dążymy do tego, aby po jednej stronie równania znalazły się tylko niewiadome, a po drugiej tylko liczby.

Reguły postępowania przy rozwiązywaniu równań

  1. Do obu stron równania można dodać takie samo wyrażenie.

    Przykład:

    $$x−4=6$$ → aby przenieść (-4) na prawą stronę, musimy do obu stron dodać 4
    $$x=6+4$$
    $$x=10$$ → rozwiązaniem tego równania jest liczba 10.
     
  2. Od obu stron równania można odjąć takie samo wyrażenie.

    Przykład:

    $$x + 9 = 12$$ → aby przenieść 9 na prawą stronę, musimy odjąć od obu stron 9
    $$x = 12 − 9$$
    $$x = 3$$ → rozwiązaniem tego równania jest liczba 3.
     
  3. Obie strony równania można pomnożyć przez taką samą liczbę różną od zera.

    Przykład:

    $$x/5= 10$$
    $$1/5 x= 10$$ → aby zostawić po lewej stronie tylko x, musimy pomnożyć obie strony przez 5.
    $$x = 5•10$$
    $$x = 50$$ → rozwiązaniem tego równania jest liczba 50.
     
  4. Obie strony równania można podzielić przez taką samą liczbę różną od zera.

    Przykład:

    $$5×x = 15$$ → aby zostawić po lewej stronie tylko x, musimy podzielić obie strony przez 5
    $$x = 15÷5$$
    $$x = 3$$ → rozwiązaniem tego równania jest liczba 3.

Rodzaje równań

Ze względu na ilość rozwiązań równania pierwszego stopnia z jedną niewiadomą dzielimy na:

  • Równanie oznaczone – równanie, które ma jedno rozwiązanie.
    Przykład:

    $$x+9=12$$ $$|-9$$
    $$x=12−9$$
    $$x=3$$ → rozwiązaniem tego równania jest liczba 3
     
  • Równanie nieoznaczone (równanie tożsamościowe) – równanie, które ma nieskończenie wiele rozwiązań.
    Przykład:

    $$x + 2 = x + 2$$ $$|- x$$
    $$2 = 2$$ $$|-2$$
    $$0 = 0$$
     
  • Równanie sprzeczne – równanie, które nie ma rozwiązań
    Przykład:

    $$x+2=x+3$$ $$|-x$$
    $$2=3$$
    $$2≠3$$

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Zapisz podane zdania w formie równania:

  1. suma liczby a i 5 jest równa 45
  2. iloczyn liczby b i 7 jest równy 21
  3. połowa liczby y jest równa 11
  1. $$a+5=45$$
  2. $$b×7=21$$
  3. $$1/2 y=11$$

Zadanie 2.

Podaj liczbę spełniającą równanie:

  1. $$ 2y-3=15 $$
  2. $$ x+5=14 $$
  3. $$ 3y=12 $$
  1. $$ 2y-3=15 $$

    $$ 2y=18 $$

    $$ y=9 $$
  2. $$ x+5=14$$

    $$x=9$$
  3. $$3y=12$$ $$|÷3$$

    $$ y=4 $$

Zadanie 3.

Suma dwóch liczb jest równa 51. Jakie to liczby, jeżeli jedna z nich jest dwa razy większa od drugiej.

$$x$$ -> jedna liczba

$$2x$$ -> druga liczba

$$2x+x=51$$

$$3x=51$$

$$x=17$$ -> $$2x=34$$

Odp.: Jedna z tych liczb to 17, a druga to 34.

Zadanie 4.

Suma trzech kolejnych liczb nieparzystych jest równa 69. Jakie to liczby?

$$2x+1$$ -> liczba nieparzysta

$$2x+1$$, $$2x+3$$, $$2x+5$$ -> kolejne liczby nieparzyste

$$2x+1+2x+3+2x+5=69$$

$$6x+9=69$$ $$|-9$$

$$6x=60$$ $$| ÷6$$

$$x=10$$ -> $$2x+1=21,2x+3=23,2x+5=25$$

Odp.: Te liczby to 21, 23 i 25.

Zadanie 5.

Oblicz miary kątów trójkąta, w którym jeden jest o $$6°$$ większy od drugiego i o $$6°$$ mniejszy od trzeciego.

$$x$$ -> pierwszy kąt

$$x-6$$° -> drugi kąt

$$x+6°$$ -> trzeci kąt

$$x+(x-6°)+(x+6°)=180°$$

$$3x=180°$$ $$|÷3$$

$$x=60°$$ -> $$x-6°=54°,x+6°=66°$$

Odp.: Kąty w tym trójkącie mają miary $$60°$$, $$66°$$, $$54°$$.

Zadanie 6.

Suma długości wszystkich krawędzi czworościanu foremnego jest równa 84 cm. Jaką długość ma jedna krawędź?

czworoscian

6 -> ilość wszystkich krawędzi w czworościanie foremnym

x -> długość jednej krawędzi

$$ 6x=84 cm $$ $$|÷6$$

$$ x=14 cm $$

Odp.: Jedna krawędź tego czworościanu ma długość $$ 14 cm $$.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Magda kupiła 0,45 kg białego sera po 7,80 zł

`0,45*7,80zl + 5*0,35zl + 2*1,95zl = 3,51zl + 1,75zl + 3,90zl = 5,26zl + 3,90zl = 9,16zl` 

9,16 zl < 10zl 

odp : 10 zł wystarczy Magdzie na zakupy 

Zamień metry sześcienne na decymetry sześcienne.

`a)\ 4 m^3=4000dm^3`

`b) \ 21m^3=21000dm^3`

`c) \ 700m^3=700 000dm^3`

`d) \ 102m^3=102000dm^3`

`e) \ 3,5m^3=3500dm^3`

`f) \ 0,9m^3=900dm^3`

Ile trzeba zapłacić za

zeszyt kosztuje `2,50zl:2=1,25zl` 

`4*2,50zl+5*1,25zl=16,25zl`

Obok zamieszczono informacje...

a) Na początku obliczamy objętość świecy:

`V=5cm*7cm*21cm=735cm^3 `

Wiemy, że świeca o tej objętości pali się 75 godzin. Obliczmy ile świecy spali się w ciągu 1 godziny. W tym celu objętość świecy dzielimy przez liczbę godzin, przez które się ona pali:

`(735cm^3)/(75)=9,8cm^3 `

W ciągu godziny stopi się 9,8 cm3 wosku

 

b) Nasza świeca o objętości 735 cm3 spala się w ciągu 75 godzin. Aby świeca spalała się w ciągu 25 godzin, czyli w czasie 3 razy krótszym, musi mieć objętość trzy razy mniejszą. Obliczmy jaka to objętość i wynik ten przedstawmy w mm3

`(735cm^3)/3=245cm^3=245*1cm^3=245*1000mm^3=245000mm^3 `

Aby świeca spalała się 25 godzin musi mieć objętość 245000 mm3

Objętość świecy wyznaczamy z wzoru:

`V=a*b*c `

Aby ustalić przykładowe wymiary świecy musimy znaleźć trzy takie liczby, które pomnożone przez siebie dadzą wynik równy 245000 mm3

Zakładamy wymiar a=50mm

`245000mm^3=50mm*b*c `

Wymiar b niech będzie wynosił 70 mm (b=70mm)

`245000mm^3=50mm*70mm*c `

Szukamy takiej liczby c, która spełni warunek działania. W tym celu wyznaczamy iloczyn liczb a i b:

`245000mm^3=3500mm^2*c `

Aby wyznaczyć wartość liczby c, pojemność świecy dzielimy przez otrzyjmany iloczyn liczb a i b:

`c=(2450strike(00mm^3)^(mm))/(35strike(00mm^2))=(2450mm)/(35)=70mm `

 

Przykładowe wymiary świecy:

50 mm x 70 mm x 70 mm

Dwudziestu pięciu uczniów ustawiło się

a) (25-1):2=24:2=12

Na lewo od Janka stało 12 uczniów

b) 25-5=20

Na prawo od Ani stało 20 uczniów

c) 25-8-1=16

Na lewo stało 16 uczniów

d) 13 uczniów - Ela - 11 uczniów

Odp. Ela stała 14 licząc od lewej strony

e) 8 uczniów - Jurek - 16 uczniów

Odp. Jurek stał 9 licząc od lewej strony

a) Wielokąty foremne I, II, III zostały podzielone na trójkąty

a) 

I. Są to trójkąty równoboczne 

II. Są to trójkąty ostrokątne równoramienne 

III. Są to trójkąty ostrokątne równoramienne 

b) 

I. 360º : 6 = 60º  

II. 360º : 8 = 45º 

III. 360º : 9 = 40º 

c) 

Najszybciej można to obliczyć licząc sumę kątów przy podstawie każdego z trójkątów : 

I. 180º - 60º = 120º 

II. 180º - 45º = 135º

III. 180º - 40º = 140º

Ile funtów to 1 kg?

 

`(1\ kg) /( 40\ dag) = (100\ dag)/( 40\ dag) = 2,5 `

Oblicz w pamięci:

`"a)" \ 1,5+0,3=1,8` 

`\ \ \ 1,8+0,4=2,2` 

`\ \ \ 2,7+1,5=4,2` 

 

`"b)" \ 1,6-0,4=1,2` 

`\ \ \ \ 2-0,3=1,7` 

`\ \ \ \ 2,1-0,6=1,5` 

 

`"c)" \ 2,9+1,6=4,5` 

`\ \ \ \ 4-1,8=2,2` 

`\ \ \ \ 3,5-1,3=2,2`           

Czapka kosztowała 10 zł, ale jej cenę obniżono o 2 zł

Policzmy, ile czapka kosztuje teraz: 

`10-2=8`

 

Oznaczmy przez p procent, o jaki należy podnieść cenę czapki, aby znów kosztowała 10 zł: 

`8+8*p=10\ \ \ |-8`

`8*p=2\ \ \ |:8`

`p=2:8=2/8=1/4=25/100=25%`

Wyjaśnij co oznaczają zapisy 6s+20 i 5s+24

6s + 20 = 50s + 24 | -20 

6s = 5s + 24 - 20 

6s = 5s + 4  | -5s 

6s - 5s = 4 

s = 4 

Odp : Długość samochodu wynosi 4 metry