Równania - 6-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Równania

Dwa wyrażenia algebraiczne, z których przynajmniej jedno zawiera literę, połączone znakiem równości tworzą równanie.

Litera występująca w równaniu to niewiadoma.

Wyrażenie występujące po lewej stronie znaku równości to lewa strona równania, a wyrażenie występujące po prawej stronie to prawa strona równania.

lewa i prawa strona równania

Równanie pierwszego stopnia z jedną niewiadomą to dwa wyrażenia algebraiczne połączone znakiem równości, przy czym w równaniu tym występuje tylko jedna niewiadoma w pierwszej potędze.

Przykłady równań pierwszego stopnia z jedną niewiadomą:

  • $$7x − 11 = 17$$
  • $$8y = 16$$
  • $$3x + 7 = 10 + 2x$$

Rozwiązanie równania z jedną niewiadomą – to liczba, która podstawiona do równania w miejsce niewiadomej spełnia to równanie (czyli po podstawieniu tej liczby w miejsce niewiadomej, lewa strona równania będzie się równać prawej stronie).

Przykład 1.

Sprawdźmy czy liczba 2 spełnia równanie $$3x + 7 = 10 + 2x$$, czyli czy jest rozwiązaniem tego równania.
Podstawiamy liczbę 2 w miejsce niewiadomej x.

  • I sposób
    Obliczamy wartość lewej i prawej strony równania, podstawiając w miejsce x liczbę 2, a następnie porównujemy otrzymane wyniki:

    $$L = 3x + 7 = 3•2+ 7 = 6 + 7 = 13$$
    $$P = 10 + 2x = 10 + 2•2= 10 + 4 = 14$$
    $$13≠14$$, czyli $$L≠P$$

    czyli liczba 2 nie spełnia danego równania, zatem nie jest rozwiązaniem równania.

  • II sposób
    Podstawiamy 2 w miejsce x i sprawdzamy czy otrzymamy równość prawdziwą:

    $$3•2+7=10 + 2•2$$
    $$6 + 7 = 10 + 4$$
    $$13 = 14$$ ← otrzymaliśmy równość fałszywą

    zatem liczba 2 nie spełnia danego równania, zatem nie jest rozwiązaniem równania.

Przykład 2.

Sprawdźmy czy liczba 3 spełnia równanie $$3x + 7 = 10 + 2x$$, czyli czy jest rozwiązaniem tego równania.

  • Podstawiamy liczbę 3 w miejsce niewiadomej x.
    Obliczamy wartość lewej i prawej strony równania, podstawiając w miejsce x liczbę 2, a następnie porównujemy otrzymane wyniki:

    $$L = 3x + 7 = 3•3+ 7 = 9 + 7 = 16$$
    $$P = 10 + 2x = 10 + 2•3= 10 + 6 = 16$$
    $$L = P$$

    Zatem liczba 3 spełnia dane równanie, zatem jest jego rozwiązaniem.

Rozwiązywanie równań

Rozwiązać równanie to znaczy znaleźć wszystkie liczby, które je spełniają.

Rozwiązując równanie dążymy do tego, aby po jednej stronie równania znalazły się tylko niewiadome, a po drugiej tylko liczby.

Reguły postępowania przy rozwiązywaniu równań

  1. Do obu stron równania można dodać takie samo wyrażenie.

    Przykład:

    $$x−4=6$$ → aby przenieść (-4) na prawą stronę, musimy do obu stron dodać 4
    $$x=6+4$$
    $$x=10$$ → rozwiązaniem tego równania jest liczba 10.
     
  2. Od obu stron równania można odjąć takie samo wyrażenie.

    Przykład:

    $$x + 9 = 12$$ → aby przenieść 9 na prawą stronę, musimy odjąć od obu stron 9
    $$x = 12 − 9$$
    $$x = 3$$ → rozwiązaniem tego równania jest liczba 3.
     
  3. Obie strony równania można pomnożyć przez taką samą liczbę różną od zera.

    Przykład:

    $$x/5= 10$$
    $$1/5 x= 10$$ → aby zostawić po lewej stronie tylko x, musimy pomnożyć obie strony przez 5.
    $$x = 5•10$$
    $$x = 50$$ → rozwiązaniem tego równania jest liczba 50.
     
  4. Obie strony równania można podzielić przez taką samą liczbę różną od zera.

    Przykład:

    $$5×x = 15$$ → aby zostawić po lewej stronie tylko x, musimy podzielić obie strony przez 5
    $$x = 15÷5$$
    $$x = 3$$ → rozwiązaniem tego równania jest liczba 3.

Rodzaje równań

Ze względu na ilość rozwiązań równania pierwszego stopnia z jedną niewiadomą dzielimy na:

  • Równanie oznaczone – równanie, które ma jedno rozwiązanie.
    Przykład:

    $$x+9=12$$ $$|-9$$
    $$x=12−9$$
    $$x=3$$ → rozwiązaniem tego równania jest liczba 3
     
  • Równanie nieoznaczone (równanie tożsamościowe) – równanie, które ma nieskończenie wiele rozwiązań.
    Przykład:

    $$x + 2 = x + 2$$ $$|- x$$
    $$2 = 2$$ $$|-2$$
    $$0 = 0$$
     
  • Równanie sprzeczne – równanie, które nie ma rozwiązań
    Przykład:

    $$x+2=x+3$$ $$|-x$$
    $$2=3$$
    $$2≠3$$

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Zapisz podane zdania w formie równania:

  1. suma liczby a i 5 jest równa 45
  2. iloczyn liczby b i 7 jest równy 21
  3. połowa liczby y jest równa 11
  1. $$a+5=45$$
  2. $$b×7=21$$
  3. $$1/2 y=11$$

Zadanie 2.

Podaj liczbę spełniającą równanie:

  1. $$ 2y-3=15 $$
  2. $$ x+5=14 $$
  3. $$ 3y=12 $$
  1. $$ 2y-3=15 $$

    $$ 2y=18 $$

    $$ y=9 $$
  2. $$ x+5=14$$

    $$x=9$$
  3. $$3y=12$$ $$|÷3$$

    $$ y=4 $$

Zadanie 3.

Suma dwóch liczb jest równa 51. Jakie to liczby, jeżeli jedna z nich jest dwa razy większa od drugiej.

$$x$$ -> jedna liczba

$$2x$$ -> druga liczba

$$2x+x=51$$

$$3x=51$$

$$x=17$$ -> $$2x=34$$

Odp.: Jedna z tych liczb to 17, a druga to 34.

Zadanie 4.

Suma trzech kolejnych liczb nieparzystych jest równa 69. Jakie to liczby?

$$2x+1$$ -> liczba nieparzysta

$$2x+1$$, $$2x+3$$, $$2x+5$$ -> kolejne liczby nieparzyste

$$2x+1+2x+3+2x+5=69$$

$$6x+9=69$$ $$|-9$$

$$6x=60$$ $$| ÷6$$

$$x=10$$ -> $$2x+1=21,2x+3=23,2x+5=25$$

Odp.: Te liczby to 21, 23 i 25.

Zadanie 5.

Oblicz miary kątów trójkąta, w którym jeden jest o $$6°$$ większy od drugiego i o $$6°$$ mniejszy od trzeciego.

$$x$$ -> pierwszy kąt

$$x-6$$° -> drugi kąt

$$x+6°$$ -> trzeci kąt

$$x+(x-6°)+(x+6°)=180°$$

$$3x=180°$$ $$|÷3$$

$$x=60°$$ -> $$x-6°=54°,x+6°=66°$$

Odp.: Kąty w tym trójkącie mają miary $$60°$$, $$66°$$, $$54°$$.

Zadanie 6.

Suma długości wszystkich krawędzi czworościanu foremnego jest równa 84 cm. Jaką długość ma jedna krawędź?

czworoscian

6 -> ilość wszystkich krawędzi w czworościanie foremnym

x -> długość jednej krawędzi

$$ 6x=84 cm $$ $$|÷6$$

$$ x=14 cm $$

Odp.: Jedna krawędź tego czworościanu ma długość $$ 14 cm $$.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Uzupełnij:

Rozwiązanie przedstawiono na rysunku: {premium}

Jakie liczby zaznaczono kropkami na osiach liczbowych?

Odległość między liczbami 7,8 a 7,9 wynosi 7,9- 7,8 = 0,1 , jest to 10 jednostek na osi , więc jednostka naszej osi liczbowej , to 0,1 : 10 = 0,01.

A 7,63

B 7,73{premium}

C 7,86

D 8,00

Odległość między liczbami 5,8 , a 5,9 wynosi 5,9 - 5,8 = 0,1  , są to 2 jednostki osi , więc jednostka naszej osi liczbowej , to 0,1 : 2= 0,05 

E 5,6

F 5,75

G 5,85

H 6

Pomyśl sobie pewną liczbę, pomnóż ją przez 4, wynik ...

Wybieramy dowolną liczbę np. 2 i wykonujemy kolejne działania. 

1) Wybraną liczbę mnożymy razy 4.
   

2) Wynik tego mnożenia, czyli 8, mnożymy razy 5. 
 

3) Wynik poprzedniego mnożenia, czyli 40, mnożymy razy 0,1 (dzielimy przez 10). 
 

Zauważmy, że w kolejnych krokach mnożyliśmy uzyskane wyniki, czyli takie liczby, które wpisalibyśmy w miejsca z pytajnikami. 

Liczba jaką uzyskaliśmy na końcu jest 2 razy większa od wybranej liczby (4 jest 2 razy większe od 2), czyli początkową liczbę należy pomnożyć razy 2 aby otrzymać uzyksany wynik. 


Wybieramy inną liczbę, np. 5 i wykonujemy kolejne działania. 

1) Wybraną liczbę mnożymy razy 4.
    

2) Wynik tego mnożenia, czyli 20, mnożymy razy 5. 
  

3) Wynik poprzedniego mnożenia, czyli 100, mnożymy razy 0,1 (dzielimy przez 10). 
   

Zauważmy, że w kolejnych krokach mnożyliśmy uzyskane wyniki, czyli takie liczby, które wpisalibyśmy w miejsca z pytajnikami. 

Liczba jaką uzyskaliśmy na końcu jest 2 razy większa od wybranej liczby (10 jest 2 razy większe od 5), czyli początkową liczbę należy pomnożyć razy 2 aby otrzymać uzyksany wynik. 


Uzasadnienie:

Przez krateczkę oznaczmy wybraną liczbę. 

Najpierw liczbę tę możymy razy 4, czyli:
 

Uzyskany wynik mnożymy razy 5, czyli:
 

W kolejnym kroku wykonujemy mnożenie przez 0,1, czyli dzielenie przez 10, czyli:
 

Zastanówmy jak zmienia się początkowo wybrana liczba. 

Najpierw mnożymy ją razy 4, następnie wynik mnożymy razy 5, czyli tak jakbyśmy wyjściową liczbę mnożyli razy 20 (4∙5). 
       
W kolejnym kroku wynik mnożymy razy 0,1, czyli dzielimy przez 10. 
 

Oznacza to, że wybraną liczbę możemy pomnożyć razy 2 i również otrzymamy ten sam wynik, który otrzymaliśmy wykonując kolejne mnożenia.    


Brakującą liczbą, którą należy wpisać w prostokącik, jest liczba 2

Zapisz, jaki wynik pojawi się na wyświetlaczu, a jaki znajdzie się w pamięci (...)

Klawisze:                Wyświetlacz:                Pamięć:

MC                               0                             0

2 X 5=                         10                            0

M+                              10                            10

C                                 0                             10

12÷4=                           3                            10

M+                               3                             13

MR                               13                           13 

 

Przeczytaj własności umieszczone na kolorowych karteczkach.

W każdym prostokącie 3,4,5{premium}

W każdym kwadracie 1,2,3,4,5

W każdym równoległoboku  3,4

W każdym rombie 1,2,3,4

Licząc na kalkulatorze, również można się pomylić. Aby tego uniknąć, (...)

    

oblicz w pamięci

a)`20+79=99` 

`435-215=220`{premium}

b)`4*21=84` 

c)`24*100=2400` 

Wypisz sześć trapezów, które nie są równoramienne i które wierzchołkami są cztery spośród zaznaczonych punktów.

AEFG{premium}

BDFG

ACFH

ADFG

CEFG

CDFH

Uzupełnij:

 


 {premium}

 



 


 

 


Podpisz liczby na osi.

Rozwiązanie przedstawiono na rysunku: {premium}