Równania - 6-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Równania

Dwa wyrażenia algebraiczne, z których przynajmniej jedno zawiera literę, połączone znakiem równości tworzą równanie.

Litera występująca w równaniu to niewiadoma.

Wyrażenie występujące po lewej stronie znaku równości to lewa strona równania, a wyrażenie występujące po prawej stronie to prawa strona równania.

lewa i prawa strona równania

Równanie pierwszego stopnia z jedną niewiadomą to dwa wyrażenia algebraiczne połączone znakiem równości, przy czym w równaniu tym występuje tylko jedna niewiadoma w pierwszej potędze.

Przykłady równań pierwszego stopnia z jedną niewiadomą:

  • $$7x − 11 = 17$$
  • $$8y = 16$$
  • $$3x + 7 = 10 + 2x$$

Rozwiązanie równania z jedną niewiadomą – to liczba, która podstawiona do równania w miejsce niewiadomej spełnia to równanie (czyli po podstawieniu tej liczby w miejsce niewiadomej, lewa strona równania będzie się równać prawej stronie).

Przykład 1.

Sprawdźmy czy liczba 2 spełnia równanie $$3x + 7 = 10 + 2x$$, czyli czy jest rozwiązaniem tego równania.
Podstawiamy liczbę 2 w miejsce niewiadomej x.

  • I sposób
    Obliczamy wartość lewej i prawej strony równania, podstawiając w miejsce x liczbę 2, a następnie porównujemy otrzymane wyniki:

    $$L = 3x + 7 = 3•2+ 7 = 6 + 7 = 13$$
    $$P = 10 + 2x = 10 + 2•2= 10 + 4 = 14$$
    $$13≠14$$, czyli $$L≠P$$

    czyli liczba 2 nie spełnia danego równania, zatem nie jest rozwiązaniem równania.

  • II sposób
    Podstawiamy 2 w miejsce x i sprawdzamy czy otrzymamy równość prawdziwą:

    $$3•2+7=10 + 2•2$$
    $$6 + 7 = 10 + 4$$
    $$13 = 14$$ ← otrzymaliśmy równość fałszywą

    zatem liczba 2 nie spełnia danego równania, zatem nie jest rozwiązaniem równania.

Przykład 2.

Sprawdźmy czy liczba 3 spełnia równanie $$3x + 7 = 10 + 2x$$, czyli czy jest rozwiązaniem tego równania.

  • Podstawiamy liczbę 3 w miejsce niewiadomej x.
    Obliczamy wartość lewej i prawej strony równania, podstawiając w miejsce x liczbę 2, a następnie porównujemy otrzymane wyniki:

    $$L = 3x + 7 = 3•3+ 7 = 9 + 7 = 16$$
    $$P = 10 + 2x = 10 + 2•3= 10 + 6 = 16$$
    $$L = P$$

    Zatem liczba 3 spełnia dane równanie, zatem jest jego rozwiązaniem.

Rozwiązywanie równań

Rozwiązać równanie to znaczy znaleźć wszystkie liczby, które je spełniają.

Rozwiązując równanie dążymy do tego, aby po jednej stronie równania znalazły się tylko niewiadome, a po drugiej tylko liczby.

Reguły postępowania przy rozwiązywaniu równań

  1. Do obu stron równania można dodać takie samo wyrażenie.

    Przykład:

    $$x−4=6$$ → aby przenieść (-4) na prawą stronę, musimy do obu stron dodać 4
    $$x=6+4$$
    $$x=10$$ → rozwiązaniem tego równania jest liczba 10.
     
  2. Od obu stron równania można odjąć takie samo wyrażenie.

    Przykład:

    $$x + 9 = 12$$ → aby przenieść 9 na prawą stronę, musimy odjąć od obu stron 9
    $$x = 12 − 9$$
    $$x = 3$$ → rozwiązaniem tego równania jest liczba 3.
     
  3. Obie strony równania można pomnożyć przez taką samą liczbę różną od zera.

    Przykład:

    $$x/5= 10$$
    $$1/5 x= 10$$ → aby zostawić po lewej stronie tylko x, musimy pomnożyć obie strony przez 5.
    $$x = 5•10$$
    $$x = 50$$ → rozwiązaniem tego równania jest liczba 50.
     
  4. Obie strony równania można podzielić przez taką samą liczbę różną od zera.

    Przykład:

    $$5×x = 15$$ → aby zostawić po lewej stronie tylko x, musimy podzielić obie strony przez 5
    $$x = 15÷5$$
    $$x = 3$$ → rozwiązaniem tego równania jest liczba 3.

Rodzaje równań

Ze względu na ilość rozwiązań równania pierwszego stopnia z jedną niewiadomą dzielimy na:

  • Równanie oznaczone – równanie, które ma jedno rozwiązanie.
    Przykład:

    $$x+9=12$$ $$|-9$$
    $$x=12−9$$
    $$x=3$$ → rozwiązaniem tego równania jest liczba 3
     
  • Równanie nieoznaczone (równanie tożsamościowe) – równanie, które ma nieskończenie wiele rozwiązań.
    Przykład:

    $$x + 2 = x + 2$$ $$|- x$$
    $$2 = 2$$ $$|-2$$
    $$0 = 0$$
     
  • Równanie sprzeczne – równanie, które nie ma rozwiązań
    Przykład:

    $$x+2=x+3$$ $$|-x$$
    $$2=3$$
    $$2≠3$$

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Zapisz podane zdania w formie równania:

  1. suma liczby a i 5 jest równa 45
  2. iloczyn liczby b i 7 jest równy 21
  3. połowa liczby y jest równa 11
  1. $$a+5=45$$
  2. $$b×7=21$$
  3. $$1/2 y=11$$

Zadanie 2.

Podaj liczbę spełniającą równanie:

  1. $$ 2y-3=15 $$
  2. $$ x+5=14 $$
  3. $$ 3y=12 $$
  1. $$ 2y-3=15 $$

    $$ 2y=18 $$

    $$ y=9 $$
  2. $$ x+5=14$$

    $$x=9$$
  3. $$3y=12$$ $$|÷3$$

    $$ y=4 $$

Zadanie 3.

Suma dwóch liczb jest równa 51. Jakie to liczby, jeżeli jedna z nich jest dwa razy większa od drugiej.

$$x$$ -> jedna liczba

$$2x$$ -> druga liczba

$$2x+x=51$$

$$3x=51$$

$$x=17$$ -> $$2x=34$$

Odp.: Jedna z tych liczb to 17, a druga to 34.

Zadanie 4.

Suma trzech kolejnych liczb nieparzystych jest równa 69. Jakie to liczby?

$$2x+1$$ -> liczba nieparzysta

$$2x+1$$, $$2x+3$$, $$2x+5$$ -> kolejne liczby nieparzyste

$$2x+1+2x+3+2x+5=69$$

$$6x+9=69$$ $$|-9$$

$$6x=60$$ $$| ÷6$$

$$x=10$$ -> $$2x+1=21,2x+3=23,2x+5=25$$

Odp.: Te liczby to 21, 23 i 25.

Zadanie 5.

Oblicz miary kątów trójkąta, w którym jeden jest o $$6°$$ większy od drugiego i o $$6°$$ mniejszy od trzeciego.

$$x$$ -> pierwszy kąt

$$x-6$$° -> drugi kąt

$$x+6°$$ -> trzeci kąt

$$x+(x-6°)+(x+6°)=180°$$

$$3x=180°$$ $$|÷3$$

$$x=60°$$ -> $$x-6°=54°,x+6°=66°$$

Odp.: Kąty w tym trójkącie mają miary $$60°$$, $$66°$$, $$54°$$.

Zadanie 6.

Suma długości wszystkich krawędzi czworościanu foremnego jest równa 84 cm. Jaką długość ma jedna krawędź?

czworoscian

6 -> ilość wszystkich krawędzi w czworościanie foremnym

x -> długość jednej krawędzi

$$ 6x=84 cm $$ $$|÷6$$

$$ x=14 cm $$

Odp.: Jedna krawędź tego czworościanu ma długość $$ 14 cm $$.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wybierz poprawne dokończenia zdań spośród A i B oraz C i D.

`1928+17=1945`

Fleming otrzymał Nagrodę Nobla w 1945 roku.

Fleming odkrył penicylinę w XX wieku.

Skonstruuj romb o przekątnych ...

Wyobraź sobie, że rzucamy dwiema...

a) Mamy ułożyć liczbę dwucyfrową wybierając spośród 10 mogących się powtarzać cyfr. Możemy więc stworzyć:

`10^2=100` 

Możemy utworzyć 100 różnych liczb

 

b) Prawdopodobieństwo wyrzucenia 1 na pierwszej kostce wynosi `1/10` , podobnie jak prawdopodobieństwo wyrzucenia 3 na drugiej kostce. Tak więc prawdopodobieństwo wyrzucenia 13 wynosi:

`1/10*1/10=1/100` 

Identycznie wygląda to dla wyrzucenia liczby 77, dla której prawdopodobieństwo również wynosi `1/100` 

 

c) Prawdopodobieństwo wyrzucenia każdej z liczb jednocyfrowych wynosi `1/100` . Prawdopodobieństwo wyrzucenia każdej z liczb dwycyfrowych wynosi również `1/100` 

W klasie szóstej na pierwszy semestr z matematyki był 1 stopień celulujący

`6+6*5+8*4+8*3=6+30+32+24=92`

`92:23=4`

Minutowa wskazówka zegara

`360^circ:60min=6(^circ)/min`

`2min*6(^circ)/min=12^circ`

Pewną liczbę zmniejszono o 3, wynik podzielono przez 7 (...)

`(x-3):7=5\ \ \ |*7`

`x-3=35\ \ \|+3`

`x=38`

Jeśli poprawnie rozwiążesz przykłady a), b) i c) z jednego poziomu (...)

Poziom A

`a)3/100=0,03`

`b) 817/(10\ 000)=0,0817`

`c) 0,012=12/1000`

`d) 8/10=0,8`

`e) 32/(10\ 000)=0,0032`

`f) 0,0015=15/(10\ 000)`

`g) 783/1000=0,783`

`h) 0,031=31/1000`

`i)0,045=45/1000`

 

Poziom B

`a) 20/180=2/18=1/9`

`b) 10/15=2/3`

`c)14/21=2/3`

`d) 6/16=3/8`

`e) 36/100=18/50=9/25`

`f) 35/40=7/8`

`g) 30/1200=3/120=1/40`

`h) 20/80=2/8=1/4`

`i) 7/28=1/4`

 

Poziom C

`a) 2,8=2 8/10=2 4/5`

`b) 7,004=7 4/1000=7 2/500=7 1/250`

`c) 83,08=83 8/100=83 4/50=83 2/25`

`d) 6,14=6 14/100=6 7/50`

`e) 9,05=9 5/100=9 1/20`

`f) 13,002=13 2/1000=13 1/500`

`g) 12,75=12 75/100=12 15/20=12 3/4`

`h) 15,06=15 6/100=15 3/50`

 

Poziom D

`a) 2 3/7=(2*7+3)/7=17/7`

`b) 29/3=(27+2)/3=9 2/3`

`c) 4 1/2=(4*2+1)/2=9/2`

`d) 1 5/6=11/6`

`e) 4 2/9=38/9`

`f) 25/4=6 1/4`

`g) 39/5=7 4/5`

`h) 29/6=4 5/6`

 

Poziom E

`a) 3 2/5=3 4/10=3,4`

`b) 4 1/20=4 5/100=4,05`

`c) 5 7/8=5 875/1000=5,875`

`d) 3/4=75/100=0,75`

`e) 2 3/50=2 6/100=2,06`

`f) 5 1/8=5 125/100=5,125`

`g) 8 3/200=8 15/1000=8,015`

`h) 4 1/2=4 5/10=4,5`

 

MISTRZ

Warto przypomnieć sobie, że kreska ułamkowa oznacza dzielenie:) - przykłady a oraz c

 

`a) 3/16=3:16=0,1875`

`b) 7/125=(7*8)/(125*8)=56/1000=0,056`

`c) 11/625=11:625=0,0176`

`d) 28/35=4/5=8/10=0,8`

`e) 3/150=1/50=2/100=0,02`

`f) 21/75=7/25=28/100=0,28`

 

 

 

    

 

Julka, Marta i Wiola mają łącznie...

Jeżeli liczbę figurek Julki oznaczymy jako `J` , liczbę figurek Wioli jako `W` a liczbę figurek Marty jako `M`  to możemy zapisać nastęujące zależności:

`J+M+W=55` 

`J=W+2` 

`J=M-6` 

Czyli:

`W=J-2` 

`M=J+6` 

A więc:

`J+J-2+J+6=55`

Oznacza to, że w zadaniu literą x oznaczono liczbę figurek Julkim a liczbę figurek Marty opisuje wyrażenie x+6

 

Odpowiedź: A, C

Rozwiąż równanie i sprawdź

`POZIOM\ A`

`a)\ x-5=4\ \ \ |+5`

`\ \ \ x=4+5=9`

`\ \ \ spr.\ 9-5=4`

 

`b)\ a-2=11\ \ \ |+2`

`\ \ \ a=11+2=13`

`\ \ \ spr.\ 13-2=11`

 

`c)\ 5+x=76\ \ \ |-5`

`\ \ \ x=76-5=71`

`\ \ \ spr.\ 5+71=76`

 

`d)\ m-4=8\ \ \ |+4`

`\ \ \ m=8+4=12`

`\ \ \ spr.\ 12-4=8`

 

`e)\ x+7=11\ \ \ |-7`

`\ \ \ x=11-7=4`

`\ \ \ spr.\ 4+7=11`

 

`f)\ y+4=9\ \ \ |-4`

`\ \ \ y=9-4=5`

`\ \ \ spr.\ 5+4=9`

 

`g)\ x-2=8\ \ \ |+2`

`\ \ \ x=8+2=10`

`\ \ \ spr.\ 10-2=8`

 

`h)\ x-10=13\ \ \ |+10`

`\ \ \ c=13+10=23`

`\ \ \ spr.\ 23-10=13`

 

`i)\ x+7=9\ \ \ |-7`

`\ \ \ x=9-7=2`

`\ \ \ spr.\ 2+7=9`

 

`j)\ s-9=6\ \ \ |+9`

`\ \ \ s=6+9=15`

`\ \ \ spr.\ 15-9=6`

 

`k)\ 7+x=15\ \ \ |-7`

`\ \ \ x=15-7=8`

`\ \ \ spr.\ 7+8=15`

 

`l)\ k+3=7\ \ \ |-3`

`\ \ \ k=7-3=4`

`\ \ \ spr.\ 4+3=7`

 

 

`POZIOM\ B`

`a)\ 8*x=24\ \ \ |:8`

`\ \ \ x=24:8=3`

`\ \ \ spr.\ 8*3=24`

 

`b)\ a*2=11\ \ \ |:2`

`\ \ \ a=11:2=5,5`

`\ \ \ spr.\ 5,5*2=5*2+0,5*2=10+1=11`

 

`c)\ 5*x=25\ \ \ |:5`

`\ \ \ x=25:5=5`

`\ \ \ spr.\ 5*5=25`

 

`d)\ m*4=8\ \ \ |:4`

`\ \ \ m=8:4=2`

`\ \ \ spr.\ 2*4=8`

 

`e)\ x*7=21\ \ \ |:7`

`\ \ \ x=21:7=3`

`\ \ \ spr.\ 3*7=21`

 

`f)\ 3*f=9\ \ \ |:3`

`\ \ \ f=9:3=3`

`\ \ \ spr.\ 3*3=9`

 

`g)\ x*2=8\ \ \ |:2`

`\ \ \ x=8:2=4`

`\ \ \ spr.\ 4*2=8`

 

`h)\ 10*t=130\ \ \ |:10`

`\ \ \ t=130:10=13`

`\ \ \ spr.\ 10*13=130`

 

`i)\ 15*x=90\ \ \ |:15`

`\ \ \ x=90:15=90/15=30/5=6`

`\ \ \ spr.\ 15*6=10*6+5*6=60+30=90`

 

`j)\ s*9=36\ \ \ |:9`

`\ \ \ s=36:9=4`

`\ \ \ spr.\ 4*9=36`

 

`k)\ 6*x=54\ \ \ |:6`

`\ \ \ x=54:6=9`

`\ \ \ spr.\ 6*9=54`

 

`l)\ k*3=27\ \ \ |:3`

`\ \ \ k=27:3=9`

`\ \ \ spr.\ 9*3=27`

 

 

`POZIOM\ C`

`a)\ 2*x-5=3\ \ \ |+5`

`\ \ \ 2*x=8\ \ \ |:2`

`\ \ \ x=4`

`\ \ \ spr.\ 2*4-5=8-5=3`

 

`b)\ 7*a-3=11\ \ \ |+3`

`\ \ \ 7*a=14\ \ \ |:7`

`\ \ \ a=2`

`\ \ \ spr.\ 7*2-3=14-3=11`

 

`c)\ 5+6*x=23\ \ \ |-5`

`\ \ \ 6*x=18\ \ \ |:6`

`\ \ \ x=3`

`\ \ \ spr.\ 5+6*3=5+18=23`

 

`d)\ 2*m-4=8\ \ \ |+4`

`\ \ \ 2*m=12\ \ \ |:2`

`\ \ \ m=6`

`\ \ \ spr.\ 2*6-4=12-4=8`

 

`e)\ 8*x+7=15\ \ \ |-7`

`\ \ \ 8*x=8\ \ \ |:8`

`\ \ \ x=1`

`\ \ \ spr.\ 8*1+7=8+7=15`

 

`f)\ 4*h+5=29\ \ \ |-5`

`\ \ \ 4*h=24\ \ \ |:4`

`\ \ \ h=6`

`\ \ \ spr.\ 4*6+5=24+5=29`

 

`g)\ 3*x-2=19\ \ \ |+2`

`\ \ \ 3*x=21\ \ \ |:3`

`\ \ \ x=7`

`\ \ \ spr.\ 3*7-2=21-2=19`

 

`h)\ 4*c-10=14\ \ \ |+10`

`\ \ \ 4*c=24\ \ \ |:4 `

`\ \ \ c=6`

`\ \ \ spr.\ 4*6-10=24-10=14`

 

`i)\ 8*x+3=43\ \ \ |-3`

`\ \ \ 8*x=40\ \ \ |:8`

`\ \ \ x=5`

`\ \ \ spr.\ 8*5+3=40+3=43`

 

`j)\ 5*s-9=6\ \ \ |+9`

`\ \ \ 5*s=15\ \ \ |:5`

`\ \ \ s=3`

`\ \ \ spr.\ 5*3-9=15-9=6`

 

`k)\ 7+2*x=15\ \ \ |-7`

`\ \ \ 2*x=8\ \ \ |:2`

`\ \ \ x=4`

`\ \ \ spr.\ 7+2*4=7+8=15`

 

`l)\ 6*k+3=33\ \ \ |-3`

`\ \ \ 6*k=30\ \ \ |:6`

`\ \ \ k=5`

`\ \ \ spr. \ 6*5+3=30+3=33`

 

 

`MISTRZ`

`a)\ 7*x-5=4\ \ \ |+5`

`\ \ \ 7*x=9\ \ \ |:7`

`\ \ \ x=9/7=1 2/7`

`\ \ \ spr.\ 7*1 2/7-5=7*9/7-5=9-5=4`

 

`b)\ 2*a-0,2=11\ \ \ |+0,2`

`\ \ \ 2*a=11,2\ \ \ |:2`

`\ \ \ a=11,2:2=(10+1,2):2=10:2+1,2:2=5+0,6=5,6`

`\ \ \ spr.\ 2*5,6-0,2=11,2-0,2=11`

 

`c)\ 3/5+6*x=7,6`

`\ \ \ 0,6+6*x=7,6\ \ \ |-0,6`

`\ \ \ 6*x=7\ \ \ |:6`

`\ \ \ x=7/6=1 1/6`

`\ \ \ spr.\ 3/5+6*1 1/6=0,6+6*7/6=0,6+7=7,6`

 

`d)\ 3*m-4=18\ \ \ |+4`

`\ \ \ 3*m=22\ \ \ |:3`

`\ \ \ m=22/3=7 1/3`

`\ \ \ spr.\ 3*7 1/3-4=3*22/3-4=22-4=18`

 

`e)\ 0,1*x+7=11\ \ \ |-7`

`\ \ \ 0,1*x=4\ \ \ |:0,1`

`\ \ \ x=4:0,1=40:1=40`

`\ \ \ spr.\ 0,1*40+7=4+7=11`

 

`f)\ 1/3*y+4=9\ \ \ |-4`

`\ \ \ 1/3*y=5\ \ \ |*3`

`\ \ \ y=15`

`\ \ \ spr.\ 1/3*15+4=5+4=9`

 

 

Wśród podanych wyrażeń otocz pętlą...

Jeśli dzielimy przez siebie dwie liczby dodatnie, to wynik dzielenia zawsze będzie dodatni. Jeśli dzielimy przez siebie liczbę dodatnią i ujemną, to wynik dzielenia będzie ujemny. Gdy dzielimy przez siebie dwie liczby ujemne to wynik będzie dodatni.

Wyznaczamy wartości podanych wyrażeń:

`18:(-6)=-3` 

`-12:4=-3` 

`15:5=3` 

`9:(-3)=-3` 

`-6:(-2)=3` 

`(-21):7=-3` 

`-3:1=-3` 

``Następnie otaczamy kółkiem wyrażenia, których wynik wynosi -3.