Równania - 6-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Równania - 6-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Równania

Dwa wyrażenia algebraiczne, z których przynajmniej jedno zawiera literę, połączone znakiem równości tworzą równanie.

Litera występująca w równaniu to niewiadoma.

Wyrażenie występujące po lewej stronie znaku równości to lewa strona równania, a wyrażenie występujące po prawej stronie to prawa strona równania.

lewa i prawa strona równania

Równanie pierwszego stopnia z jedną niewiadomą to dwa wyrażenia algebraiczne połączone znakiem równości, przy czym w równaniu tym występuje tylko jedna niewiadoma w pierwszej potędze.

Przykłady równań pierwszego stopnia z jedną niewiadomą:

  • $7x − 11 = 17$
  • $8y = 16$
  • $3x + 7 = 10 + 2x$

Rozwiązanie równania z jedną niewiadomą – to liczba, która podstawiona do równania w miejsce niewiadomej spełnia to równanie (czyli po podstawieniu tej liczby w miejsce niewiadomej, lewa strona równania będzie się równać prawej stronie).

Przykład 1.

Sprawdźmy czy liczba 2 spełnia równanie $3x + 7 = 10 + 2x$, czyli czy jest rozwiązaniem tego równania.
Podstawiamy liczbę 2 w miejsce niewiadomej x.

  • I sposób
    Obliczamy wartość lewej i prawej strony równania, podstawiając w miejsce x liczbę 2, a następnie porównujemy otrzymane wyniki:

    $L = 3x + 7 = 3•2+ 7 = 6 + 7 = 13$
    $P = 10 + 2x = 10 + 2•2= 10 + 4 = 14$
    $13≠14$, czyli $L≠P$

    czyli liczba 2 nie spełnia danego równania, zatem nie jest rozwiązaniem równania.

  • II sposób
    Podstawiamy 2 w miejsce x i sprawdzamy czy otrzymamy równość prawdziwą:

    $3•2+7=10 + 2•2$
    $6 + 7 = 10 + 4$
    $13 = 14$ ← otrzymaliśmy równość fałszywą

    zatem liczba 2 nie spełnia danego równania, zatem nie jest rozwiązaniem równania.

Przykład 2.

Sprawdźmy czy liczba 3 spełnia równanie $3x + 7 = 10 + 2x$, czyli czy jest rozwiązaniem tego równania.

  • Podstawiamy liczbę 3 w miejsce niewiadomej x.
    Obliczamy wartość lewej i prawej strony równania, podstawiając w miejsce x liczbę 2, a następnie porównujemy otrzymane wyniki:

    $L = 3x + 7 = 3•3+ 7 = 9 + 7 = 16$
    $P = 10 + 2x = 10 + 2•3= 10 + 6 = 16$
    $L = P$

    Zatem liczba 3 spełnia dane równanie, zatem jest jego rozwiązaniem.

Rozwiązywanie równań

Rozwiązać równanie to znaczy znaleźć wszystkie liczby, które je spełniają.

Rozwiązując równanie dążymy do tego, aby po jednej stronie równania znalazły się tylko niewiadome, a po drugiej tylko liczby.

Reguły postępowania przy rozwiązywaniu równań

  1. Do obu stron równania można dodać takie samo wyrażenie.

    Przykład:

    $x−4=6$ → aby przenieść (-4) na prawą stronę, musimy do obu stron dodać 4
    $x=6+4$
    $x=10$ → rozwiązaniem tego równania jest liczba 10.
     
  2. Od obu stron równania można odjąć takie samo wyrażenie.

    Przykład:

    $x + 9 = 12$ → aby przenieść 9 na prawą stronę, musimy odjąć od obu stron 9
    $x = 12 − 9$
    $x = 3$ → rozwiązaniem tego równania jest liczba 3.
     
  3. Obie strony równania można pomnożyć przez taką samą liczbę różną od zera.

    Przykład:

    $x/5= 10$
    $1/5 x= 10$ → aby zostawić po lewej stronie tylko x, musimy pomnożyć obie strony przez 5.
    $x = 5•10$
    $x = 50$ → rozwiązaniem tego równania jest liczba 50.
     
  4. Obie strony równania można podzielić przez taką samą liczbę różną od zera.

    Przykład:

    $5×x = 15$ → aby zostawić po lewej stronie tylko x, musimy podzielić obie strony przez 5
    $x = 15÷5$
    $x = 3$ → rozwiązaniem tego równania jest liczba 3.

Rodzaje równań

Ze względu na ilość rozwiązań równania pierwszego stopnia z jedną niewiadomą dzielimy na:

  • Równanie oznaczone – równanie, które ma jedno rozwiązanie.
    Przykład:

    $x+9=12$ $|-9$
    $x=12−9$
    $x=3$ → rozwiązaniem tego równania jest liczba 3
     
  • Równanie nieoznaczone (równanie tożsamościowe) – równanie, które ma nieskończenie wiele rozwiązań.
    Przykład:

    $x + 2 = x + 2$ $|- x$
    $2 = 2$ $|-2$
    $0 = 0$
     
  • Równanie sprzeczne – równanie, które nie ma rozwiązań
    Przykład:

    $x+2=x+3$ $|-x$
    $2=3$
    $2≠3$

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Zapisz podane zdania w formie równania:

  1. suma liczby a i 5 jest równa 45
  2. iloczyn liczby b i 7 jest równy 21
  3. połowa liczby y jest równa 11
  1. $a+5=45$
  2. $b×7=21$
  3. $1/2 y=11$

Zadanie 2.

Podaj liczbę spełniającą równanie:

  1. $ 2y-3=15 $
  2. $ x+5=14 $
  3. $ 3y=12 $
  1. $ 2y-3=15 $

    $ 2y=18 $

    $ y=9 $
  2. $ x+5=14$

    $x=9$
  3. $3y=12$ $|÷3$

    $ y=4 $

Zadanie 3.

Suma dwóch liczb jest równa 51. Jakie to liczby, jeżeli jedna z nich jest dwa razy większa od drugiej.

$x$ -> jedna liczba

$2x$ -> druga liczba

$2x+x=51$

$3x=51$

$x=17$ -> $2x=34$

Odp.: Jedna z tych liczb to 17, a druga to 34.

Zadanie 4.

Suma trzech kolejnych liczb nieparzystych jest równa 69. Jakie to liczby?

$2x+1$ -> liczba nieparzysta

$2x+1$, $2x+3$, $2x+5$ -> kolejne liczby nieparzyste

$2x+1+2x+3+2x+5=69$

$6x+9=69$ $|-9$

$6x=60$ $| ÷6$

$x=10$ -> $2x+1=21,2x+3=23,2x+5=25$

Odp.: Te liczby to 21, 23 i 25.

Zadanie 5.

Oblicz miary kątów trójkąta, w którym jeden jest o $6°$ większy od drugiego i o $6°$ mniejszy od trzeciego.

$x$ -> pierwszy kąt

$x-6$° -> drugi kąt

$x+6°$ -> trzeci kąt

$x+(x-6°)+(x+6°)=180°$

$3x=180°$ $|÷3$

$x=60°$ -> $x-6°=54°,x+6°=66°$

Odp.: Kąty w tym trójkącie mają miary $60°$, $66°$, $54°$.

Zadanie 6.

Suma długości wszystkich krawędzi czworościanu foremnego jest równa 84 cm. Jaką długość ma jedna krawędź?

czworoscian

6 -> ilość wszystkich krawędzi w czworościanie foremnym

x -> długość jednej krawędzi

$ 6x=84 cm $ $|÷6$

$ x=14 cm $

Odp.: Jedna krawędź tego czworościanu ma długość $ 14 cm $.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Dane są liczby: A. 35 B. 100 ...

 

    {premium}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Która liczba jest NWD(108, 270)? A B C
Która liczba jest NWD(105, 245)? A B C
Która liczba jest NWW(2, 27)? A B C
Która liczba jest NWW(20, 25)? A B C

 

Przyjrzyj się rysunkom.

a)

Te figury mają zacienione wnętrza - czyli ich wnętrza również są częściami tych figur - czyli są to koła (nie są to okręgi, ponieważ do okręgu nie należą punkty wewnątrz okręgu).

 

b)

{premium}

{premium}

Jaką największą liczbę całkowitą można wpisać ...

 
{premium}

Uzasadnienie:

   - zbyt dużo 

   - otrzymujemy liczbę trochę mniejszą niż 0

 

 

Uzasadnienie:

 

   - zbyt dużo 

 

 

Uzasadnienie: 

  - zbyt mało

 

 

 

Uzasadnienie: 

  - zbyt mało 

  

Dokończ poniższe zdanie - wybierz odpowiedź...

Obliczamy wartość podanego wyrażenia. 

{premium}

 

Wartość wyrażenia to 2 1/4.      


Poprawna odpowiedź to: B. 2 1/4

Wykonaj działania.

Zadanie zostało rozwiązane w podręczniku.

Znajdź potrzebne informacje w odpowiednich...

a)

140 t - waga płetwala

7 t - waga tyranozaura

 

A zatem cięższy jest płetwal błękitny.

Obliczmy, ile raz cięższy:

 

 

Odp.: Płetwal błękitny jest 20 razy cięższy od tyranozaura.

 

b)

 7 m - długość słonia

27 m - długość diplodoka

 

{premium}

A więc dłuższy jest diplodok.

Obliczmy, ile razy dłuższy jest diplodok od słonia: 

 

 

Odp.: Diplodok jest dłuższy ok. 3,9 razy

 

c)

3 cm - długość świnionosa malutkiego

60 cm - długość archeopteryksa

 

Obliczmy, ile razy archeopteryks jest dłuższy od świnionosa"

 

 

Odp.: Archeopteryks jest 20 razy dłuższy niż świnionos

 

 

d)

2 g - masa ryjówki

10 kg = 10 000 g waga heterodontozaura

 

Obliczmy, ile razy heterodontozaur był cięższy:

 

 

Odp.: Heterodontozaur był 5000 razy cięższy od ryjówki.  

Przeczytaj ciekawostkę. ...

a) Szerokość flagi powinna stanowi  jej długości. 

Obliczamy ile powinna wynosić szerokość flagi, jeśli jej długość wynosi 56 cm. {premium}

  

Szerokość flagi powinna wynosić 35 cm. 


Obliczamy ile powinna wynosić szerokość flagi, jeśli jej długość wynosi 3 m. 

 

Szerokość flagi powinna wynosić 1,875 m. 

 

 

b) Flaga Polski o długości 72 mm ma szerokość: 

  


Szerokość flagi Indonezji ma stanowić  jej długości. 

Flaga Indonezji o długości 66 mm ma szerokość: 

 


Rysujemy flagi tych państw. 

 

Uporządkuj malejąco liczby...

 

Zatem:{premium}

 

Przypatrz się parom kartoników...

Pierwszy ruch:

Zatem kartę zdobył Marcin.

 

Drugi ruch:

Zatem ponownie kartę zdobył Marcin.

 

Trzeci ruch:

 

Zatem kartę zdobyła Ewa.

 

 

Odp.: Więcej kart zdobył Marcin.  

 

   

Oblicz.

 

 {premium}