Liczby całkowite - 6-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Liczby dodatnie i ujemne

  Przypomnienie

Oś liczbowa to prosta, na której każdemu punktowi jest przypisana dana wartość liczbowa, zwana jego współrzędną.

Liczby naturalne to liczby 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,..
Zbiór wszystkich liczb naturalnych oznaczamy symbolem N.
Możemy zapisać: N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,...}

 

Liczby dodatnie są to liczby większe od zera, czyli na osi liczbowej leżą po prawej stronie zera.
Liczby dodatnie zapisujemy ze znakiem + (plus), np. +2, +5 lub bez znaku, np. 2, 5.
Czym liczba dodatnia leży bliżej zera, tym jest mniejsza, np. 1 < 5.

 

Liczby ujemne są to liczby mniejsze od zera, czyli na osi liczbowej leżą po lewej stronie zera.
Liczby ujemne zapisujemy ze znakiem – (minus), np. -2, -7.
Czym liczba ujemna jest bliżej zera, tym jest większa, np. −44 < −5.

 

Liczby całkowite to liczby naturalne oraz liczby do nich przeciwne.
Zbiór wszystkich liczb całkowitych oznaczamy symbolem C.
Możemy zapisać: C = { ..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,...}

  Uwaga

Każda liczba dodatnia jest większa od każdej liczby ujemnej, np. 5 > -5, 7 > -92.
Zero jest większe od każdej liczby ujemnej, np. 0 > -8, 0 > -1743.
Zero nie jest ani liczbą dodatnią, ani ujemną.

Liczby przeciwne są to takie dwie liczby, których suma wynosi 0.

Przykłady:

  • Liczbą przeciwną do 4 jest -4.
  • Liczbą przeciwną do -25 jest 25.
  • Liczbą przeciwną do 0 jest 0.
przeciwne

  Ciekawostka

W starożytności ani rachmistrze babilońscy czy egipscy, ani greccy myśliciele oraz Arabowie nie mieli ogólnej idei liczb ujemnych. Pierwszymi, którzy stosowali liczby ujemne, byli matematycy indyjscy. W VI i VII w. n. e. używali ich dla potrzeb rachunkowych, mianowicie długi zapisywano jako wartości ujemne. Na zachodzie liczby ujemne pojawiły się dopiero w XV wieku jako osobne byty numeryczne, którym jednak odmawiano istnienia w postaci liczb. Otrzymały nazwę numeri absurdi i nie były uważane za możliwe rozwiązanie równania. Dopiero w XVII wieku angielski matematyk John Wallis zastosował współrzędne ujemne do punktów krzywej.

Wartość bezwzględna liczby

Wartość bezwzględna dowolnej liczby (moduł liczby) jest dodatnia lub równa zero. Wartość bezwzględna usuwa minus liczbie ujemnej, natomiast liczbę dodatnią i zero pozostawia bez zmian.

Wartość bezwzględną liczy a oznaczamy |a|.

  Ciekawostka

Zapis wartości bezwzględnej wprowadził w 1841 r. niemiecki matematyk Karl Weierstrass w swoim eseju Zur Theorie der Potenzreihen.

Przykłady:

  • $$|3|=3$$
  • $$|−5|=5$$
  • $$|0| = 0$$

Wartość bezwzględna jest zawsze dodatnia lub równa zero.

Interpretacja geometryczna wartości bezwzględnej.

wartosc-bezwzgledna

Wartość bezwzględna liczby to odległość tej liczby na osi liczbowej od zera, czyli długość odcinka, którego końce to dana liczba i 0
  • $$|3| = 3$$
  • $$|-2| = 2$$

Dodawanie liczb całkowitych

  1. Dodawanie dwóch liczb dodatnich – suma jest liczbą dodatnią

    Przykład: $$24 + 37 = 61$$

  2. Dodawanie dwóch liczb ujemnych – suma jest liczbą ujemną (dodajemy liczby pomijając znaki minus, zapisujemy wynik, dopisując znak „-”).

    Przykład: $$(-24) + (-37) = (-61)$$

  3. Dodawanie dwóch liczb, z których jedna jest dodatnia, a druga ujemna – suma ma znak tego składnika, który na osi liczbowej znajduje się dalej od zera.

    Jeżeli do liczby dodatniej dodajemy liczbę ujemną, to tak naprawdę od liczby dodatniej odejmujemy liczbę przeciwną do danej liczby ujemnej.

    Przykłady:

    • $$3 + (−4) = 3 − 4 = −1$$
    • $$(−3) + 7 = 7 + (−3) = 7 − 3 = 4$$
    • $$(−8) + 10 = 10 + (−8) = 10 − 8 = 2$$
  4. Dodawanie dwóch liczb przeciwnych – suma jest równa 0.

    Przykład: $$(-5) + 5 = 0$$

Odejmowanie liczb całkowitych

Każde odejmowanie liczb całkowitych można zastąpić odpowiednim dodawaniem.

Przykłady:

  • $$3 − (−9) = 3 + 9 = 12$$
  • $$(−4) − 5 = (-4) + (-5) = −9$$
  • $$(−8) − (−11) = (−8) + 11 = 11 + (−8) = 11 − 8 = 3$$

Mnożenie liczb całkowitych

  • Iloczyn liczb o takich samych znakach (czyli iloczyn dwóch liczb dodatnich lub dwóch liczb ujemnych) jest liczbą dodatnią.

    Przykład:

    $$(−4)•(−2) = 4•2 = 8$$
    $$4•2 = 8$$
     
  • Iloczyn liczb o różnych znakach (czyli iloczyn liczb, z których jedna jest dodatnia, a druga ujemna) jest liczbą ujemną.

    Przykład:

    $$5•(−3) = −( 5•3 ) = (−15) = −15$$
     
  • Iloczyn dowolnej liczby n oraz liczby -1 jest zawsze liczbą przeciwną do n.

    Przykład:

    • $$5•(−1) = −5$$
    • $$−5•(−1) = 5$$
       
  • Iloczyn dowolnej liczby n oraz 0 jest zawsze równy 0.

    Przykład:

    • $$5 • 0 = 0$$
    • $$−5 • 0 = 0$$
 

Jeżeli w iloczynie jest parzysta ilość znaków „-” to wynik jest dodatni.

Przykład:

$$(-1) • (-1) • (-1) • (-1) = 1$$
 

Jeżeli w iloczynie jest nieparzysta ilość znaków „-” to wynik jest ujemny.

Przykład:

$$(-1) • (-1) • (-1) = -1$$

Dzielenie liczb całkowitych

Dzieląc liczby całkowite należy pamiętać, że:

  1. Iloraz dwóch liczb o jednakowych znakach jest liczbą dodatnią,
  2. Iloraz dwóch liczb o przeciwnych znakach jest liczbą ujemną.

Przykłady:

  • $$(−20) ÷ (−5) = 4$$
  • $$15 ÷ (−3) = (−5) = −5$$
  • $$4 ÷ (−1) = (−4) = −4$$

Reguły odnoszące się do znaków + i -

  • $$(+a) = +a = a$$
  • $$-(-a) = +a = a$$
  • $$-(+a) = -a$$
  • $$+(-a) = -a$$
  • $$(+a)•(+b)=+(a•b)=a•b$$
  • $$(-a)•(-b)=+(a•b)=a•b$$
  • $$(-a)•(+b)=-a•b$$
  • $$(+a)•(-b)=-a•b$$

Ogólnie:

  • znak „+” nie zmienia wartości wyrażenia
  • parzysta ilość znaków „-” daje „+”
  • nieparzysta ilość znaków „-” daje „-”

Potęgowanie liczb całkowitych

Iloczyn jednakowych czynników można przedstawić w postaci potęgi.

potegowanie1

Symbol $$a^n$$ oznacza n-krotne mnożenie liczby a przez siebie; czyta się go a podniesione do n-tej potęgi, a do n-tej potęgi, a do potęgi n-tej.

potegowanie2
 

Przykłady:

  • $$3•3= 3^2$$ ← czytamy: 3 do potęgi drugiej lub druga potęga liczby 3,
  • $$5•5•5= 5^3$$ ← czytamy: 5 do potęgi trzeciej lub trzecia potęga liczby 5,
  • $$(-1)•(-1)•(-1)•(-1)= (-1)^4$$ ← czytamy: -1 do potęgi czwartej lub czwarta potęga liczby -1.


Dowolna liczba podniesiona do potęgi pierwszej to ta sama liczba → $$a^1 = a$$,

Zerowa potęga dowolnej liczby jest zawsze liczbą 1 → $$a^0 = 1$$.

  Uwaga

Zero podniesione do zerowej potęgi jest nieokreślone (jest niewykonalne).

Przykłady:

  • $$5^0 = 1$$
  • $$(-8)^0 = 1$$
  • $$0^2 = 0$$
  • $$(-12)^1 = -12$$

Drugą potęgę liczby a nazywamy także kwadratem liczby a i zapisujemy $$a^2$$

Trzecią potęgę liczby a nazywamy także sześcianem liczby a i zapisujemy $$a^3$$
 

  • Dowolna liczba (dodatnia lub ujemna) podniesiona do parzystej potęgi będzie zawsze liczbą dodatnią.

    Przykłady:

    • $$(−3)^4 = 81$$
    • $$2^2 = 4$$
  • Liczba ujemna podniesiona do potęgi nieparzystej będzie zawsze liczba ujemną.

    Przykład:

    • $$(−2)^3 = (−8)$$

Działania na liczbach całkowitych

Jeżeli w wyrażeniu potęgowanie występuje z innym działaniami (z mnożeniem, dzieleniem, dodawaniem i odejmowaniem), to potęgowanie wykonujemy w pierwszej kolejności.

Pamiętajmy, że jeżeli w wyrażeniu pojawiają się nawiasy, to najpierw wykonujemy działania w nawiasach, zaczynając od tego znajdującego się najgłębiej (czyli nie posiadającego innych nawiasów). W nawiasach też obowiązuje zasada kolejności wykonywania działań.

Kolejność wykonywania działań:

  1. Działania w nawiasach
  2. Potęgowanie i pierwiastkowanie
  3. Mnożenie i dzielenie
  4. Dodawanie i odejmowanie

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Znajdź liczbę x w równaniu $$5+x=3$$.

$$5 + x = 3$$ $$|-5$$ ← niewiadomą x zostawiamy na lewej stronie, a liczbę przenosimy na prawą
$$x = 3 − 5$$
$$x = −2$$

Odp.: Liczba x w tym równaniu wynosi $$-2$$.

Zadanie 2.

Podaj przykład liczby większej od -6 i mniejszej od 3.

Odp.: Liczba -4 jest większa od -6 i mniejsza od 3.

Zadanie 3.

Oblicz:

  1. $$ |10-2| $$
  2. $$ |-12-4| $$
  3. $$ |-7| $$
  1. $$ |10-2|=|8|=8 $$
  2. $$ |-12-4|=|-16|=16 $$
  3. $$ |-7|=7 $$

Zadanie 4.

Wykonaj obliczenia:

  1. $$ 5•(-9) $$
  2. $$ -7•(-3) $$
  3. $$ 3•(-4) $$
  1. $$ 5•(-9)=(-45) $$
  2. $$ -7•(-3)=21 $$
  3. $$ 3•(-4)=(-12) $$

Zadanie 5.

Zapisz w postaci potęgi:

  1. $$ (-6)•(-6)•(-6)•(-6) $$
  2. $$ 3•3•3 $$
  1. $$ (-6)•(-6)•(-6)•(-6)=(-6)^4 $$
  2. $$ 3•3•3=3^3 $$

Zadanie 6.

Oblicz: $$(-3)^2•2+5-6•2$$.

$$(-3)^2•2+5-6•2=3•3•2+5-12=18+5-12=23-12=11$$

Odp.: Wartość tego wyrażenia wynosi 11.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Na podstawie danych z tabeli uzupełnij ...


Najdłuższa granica to granica z Czechami  (23% długości granic, najwięcej procent). 


Szacujemy, ile wynosi długość granicy z Białorusią. 

 

Szacujemy, ile wynosi długość granicy z Czechami.

   

Granica z Białorusią: około 420 km, z Czechami: około 805 km

Prostopadłościenne akwarium...

Aby obliczyć ile litrów wody dolano do akwarium należy wyliczyć objętość prostopadłościany powstałego po dolaniu wody do akwarium. Prostopadłościan ten będzie miał wymiary 8 dm x 3 dm x 6 cm - 8 dm i 3 dm są to wymiary akwarium, natomiast 6 cm to wysokość dodanej do akwarium wody. Sprowadźmy wszystkie wymiary do jednej jednostki:

Wyznaczmy objętość dodanej wody:

Do akwarium dolano więc 14400 cm3 wody. Przedstawmy tą objętość w litrach:

 

Do akwarium dolano 14,4 l wody

Oceń prawdziwość podanych zdań.

Przeczytaj zadanie: Suma trzech liczb równa 101,

 

 

 

 

Rozwiąż równanie i sprawdź rozwiązanie

      

       


 

 

       

  

 

 

        

  

 

 

    

    

Spójrz na rysunek . Pokazują one początek obrazkowego rozwiązywania równania 4x-3=2x+5

a) Z prawej srony zostały odjęte trzy kulki i dołożone na prawą cześć wagi

b) 4x=2x+8

c) z lewej strony jak i z prawej strony równania dodać 3 

d)

4x=2x+8  |-2x

2x=8   |:2

x=4 

Na diagramie przedstawiono numery butów noszonych przez uczniów klasy VI a.

6 osób nosi buty o rozmiarze 33. 

6 osób nosi buty o rozmiarze 34.

8 osób nosi buty o rozmiarze 35.  

5 osób nosi buty o rozmiarze 36.

2 osóby noszą buty o rozmiarze 37.

3 osoby noszą buty o rozmiarze 38.



Łączna liczba uczniów w klasie to:
 

W klasie jest 30 uczniów.  
 


Liczba uczniów noszących buty o rozmiarze mniejszym niż 34, czyli noszących buty w rozmiarze 33 to 6
 


W tej klasie dominuje rozmiar 35
 


Rozmiar buta 38 nosi 3 uczniów
 


Liczba uczniów noszących buty o rozmiarze co najmniej 36, czyli 36, 37 oraz 38 to:
 

Buty w rozmiarze 36, 37 lub 38 nosi 10 uczniów

W sklepie można kupić dwa rodzaje piórników z wyposażeniem

 A. Liczba ołówków wynosi

  

 

 

B. Liczba długopisów wynosi

 

C. Liczba gumek wynosi

 

D. Liczba spinaczy wynosi

 

Oblicz.

a) 

b) 

c) 

Na diagramie przedstawiono procent...

a) W roku 2011 rónice w wyposażeniu dospodarstw domowych w komputery dla poszczególnych regionów Polski były znaczące. Najlepiej wyposażona w kompytery była Polska zachodnia, najgorzej - polska wschodnia. W kolejnych latach znaczący wzrost wyposażenia gospodarstw w komputery odnotowano dla Polski centralnej, która od roku 2012 przodowała. W ciągu kolejnych lat, aż do roku 2014 wszystkie części Polski odnotowały wzrost wyposażenia gospodarstw w komputery. Wzrost ten był na tyle duży dla niektórych rejonów (Polska wschodnia), że na 2014 rok były niewielkie różnice  w ilości gospodarstw wyposażonych w komputery. Przypuszczalnie około roku 2015 około 80% gospodarstw miało już komputery.

 

b) Na początku, w 2011 roku, różnice między Polską wchodnią i centralną były znaczące. Następnie stopniowo ta różnica się zmniejszała, aż w 2014 roku wynosiła niewiele ponad 1%. Przypuszczalnie w 2015 roku różnica ta była jeszcze mniejsza lub poziomy obu regionów się wyrównały

 

c) Różnice w regionach, oraz wyposażenie gospodarstw się w nich znajdujących, związane jest z ich położeniem. Początkowo najlepiej rozwinięta była Polska zachodnia i to ona posiadała najwięcej komputerów. Z czasem najlepiej rozwinięta stała się Polska centralna (związane to jest z rozwojem stolicy). Polska wschodnia również zaczęła się rozwijać, dzięki wpływom z zachodu.