Liczby całkowite - 6-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Liczby całkowite - 6-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Liczby dodatnie i ujemne

  Przypomnienie

Oś liczbowa to prosta, na której każdemu punktowi jest przypisana dana wartość liczbowa, zwana jego współrzędną.

Liczby naturalne to liczby 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,..
Zbiór wszystkich liczb naturalnych oznaczamy symbolem N.
Możemy zapisać: N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,...}

 

Liczby dodatnie są to liczby większe od zera, czyli na osi liczbowej leżą po prawej stronie zera.
Liczby dodatnie zapisujemy ze znakiem + (plus), np. +2, +5 lub bez znaku, np. 2, 5.
Czym liczba dodatnia leży bliżej zera, tym jest mniejsza, np. 1 < 5.

 

Liczby ujemne są to liczby mniejsze od zera, czyli na osi liczbowej leżą po lewej stronie zera.
Liczby ujemne zapisujemy ze znakiem – (minus), np. -2, -7.
Czym liczba ujemna jest bliżej zera, tym jest większa, np. −44 < −5.

 

Liczby całkowite to liczby naturalne oraz liczby do nich przeciwne.
Zbiór wszystkich liczb całkowitych oznaczamy symbolem C.
Możemy zapisać: C = { ..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,...}

  Uwaga

Każda liczba dodatnia jest większa od każdej liczby ujemnej, np. 5 > -5, 7 > -92.
Zero jest większe od każdej liczby ujemnej, np. 0 > -8, 0 > -1743.
Zero nie jest ani liczbą dodatnią, ani ujemną.

Liczby przeciwne są to takie dwie liczby, których suma wynosi 0.

Przykłady:

  • Liczbą przeciwną do 4 jest -4.
  • Liczbą przeciwną do -25 jest 25.
  • Liczbą przeciwną do 0 jest 0.
przeciwne

  Ciekawostka

W starożytności ani rachmistrze babilońscy czy egipscy, ani greccy myśliciele oraz Arabowie nie mieli ogólnej idei liczb ujemnych. Pierwszymi, którzy stosowali liczby ujemne, byli matematycy indyjscy. W VI i VII w. n. e. używali ich dla potrzeb rachunkowych, mianowicie długi zapisywano jako wartości ujemne. Na zachodzie liczby ujemne pojawiły się dopiero w XV wieku jako osobne byty numeryczne, którym jednak odmawiano istnienia w postaci liczb. Otrzymały nazwę numeri absurdi i nie były uważane za możliwe rozwiązanie równania. Dopiero w XVII wieku angielski matematyk John Wallis zastosował współrzędne ujemne do punktów krzywej.

Wartość bezwzględna liczby

Wartość bezwzględna dowolnej liczby (moduł liczby) jest dodatnia lub równa zero. Wartość bezwzględna usuwa minus liczbie ujemnej, natomiast liczbę dodatnią i zero pozostawia bez zmian.

Wartość bezwzględną liczy a oznaczamy |a|.

  Ciekawostka

Zapis wartości bezwzględnej wprowadził w 1841 r. niemiecki matematyk Karl Weierstrass w swoim eseju Zur Theorie der Potenzreihen.

Przykłady:

  • $|3|=3$
  • $|−5|=5$
  • $|0| = 0$

Wartość bezwzględna jest zawsze dodatnia lub równa zero.

Interpretacja geometryczna wartości bezwzględnej.

wartosc-bezwzgledna

Wartość bezwzględna liczby to odległość tej liczby na osi liczbowej od zera, czyli długość odcinka, którego końce to dana liczba i 0
  • $|3| = 3$
  • $|-2| = 2$

Dodawanie liczb całkowitych

  1. Dodawanie dwóch liczb dodatnich – suma jest liczbą dodatnią

    Przykład: $24 + 37 = 61$

  2. Dodawanie dwóch liczb ujemnych – suma jest liczbą ujemną (dodajemy liczby pomijając znaki minus, zapisujemy wynik, dopisując znak „-”).

    Przykład: $(-24) + (-37) = (-61)$

  3. Dodawanie dwóch liczb, z których jedna jest dodatnia, a druga ujemna – suma ma znak tego składnika, który na osi liczbowej znajduje się dalej od zera.

    Jeżeli do liczby dodatniej dodajemy liczbę ujemną, to tak naprawdę od liczby dodatniej odejmujemy liczbę przeciwną do danej liczby ujemnej.

    Przykłady:

    • $3 + (−4) = 3 − 4 = −1$
    • $(−3) + 7 = 7 + (−3) = 7 − 3 = 4$
    • $(−8) + 10 = 10 + (−8) = 10 − 8 = 2$
  4. Dodawanie dwóch liczb przeciwnych – suma jest równa 0.

    Przykład: $(-5) + 5 = 0$

Odejmowanie liczb całkowitych

Każde odejmowanie liczb całkowitych można zastąpić odpowiednim dodawaniem.

Przykłady:

  • $3 − (−9) = 3 + 9 = 12$
  • $(−4) − 5 = (-4) + (-5) = −9$
  • $(−8) − (−11) = (−8) + 11 = 11 + (−8) = 11 − 8 = 3$

Mnożenie liczb całkowitych

  • Iloczyn liczb o takich samych znakach (czyli iloczyn dwóch liczb dodatnich lub dwóch liczb ujemnych) jest liczbą dodatnią.

    Przykład:

    $(−4)•(−2) = 4•2 = 8$
    $4•2 = 8$
     
  • Iloczyn liczb o różnych znakach (czyli iloczyn liczb, z których jedna jest dodatnia, a druga ujemna) jest liczbą ujemną.

    Przykład:

    $5•(−3) = −( 5•3 ) = (−15) = −15$
     
  • Iloczyn dowolnej liczby n oraz liczby -1 jest zawsze liczbą przeciwną do n.

    Przykład:

    • $5•(−1) = −5$
    • $−5•(−1) = 5$
       
  • Iloczyn dowolnej liczby n oraz 0 jest zawsze równy 0.

    Przykład:

    • $5 • 0 = 0$
    • $−5 • 0 = 0$
 

Jeżeli w iloczynie jest parzysta ilość znaków „-” to wynik jest dodatni.

Przykład:

$(-1) • (-1) • (-1) • (-1) = 1$
 

Jeżeli w iloczynie jest nieparzysta ilość znaków „-” to wynik jest ujemny.

Przykład:

$(-1) • (-1) • (-1) = -1$

Dzielenie liczb całkowitych

Dzieląc liczby całkowite należy pamiętać, że:

  1. Iloraz dwóch liczb o jednakowych znakach jest liczbą dodatnią,
  2. Iloraz dwóch liczb o przeciwnych znakach jest liczbą ujemną.

Przykłady:

  • $(−20) ÷ (−5) = 4$
  • $15 ÷ (−3) = (−5) = −5$
  • $4 ÷ (−1) = (−4) = −4$

Reguły odnoszące się do znaków + i -

  • $(+a) = +a = a$
  • $-(-a) = +a = a$
  • $-(+a) = -a$
  • $+(-a) = -a$
  • $(+a)•(+b)=+(a•b)=a•b$
  • $(-a)•(-b)=+(a•b)=a•b$
  • $(-a)•(+b)=-a•b$
  • $(+a)•(-b)=-a•b$

Ogólnie:

  • znak „+” nie zmienia wartości wyrażenia
  • parzysta ilość znaków „-” daje „+”
  • nieparzysta ilość znaków „-” daje „-”

Potęgowanie liczb całkowitych

Iloczyn jednakowych czynników można przedstawić w postaci potęgi.

potegowanie1

Symbol $a^n$ oznacza n-krotne mnożenie liczby a przez siebie; czyta się go a podniesione do n-tej potęgi, a do n-tej potęgi, a do potęgi n-tej.

potegowanie2
 

Przykłady:

  • $3•3= 3^2$ ← czytamy: 3 do potęgi drugiej lub druga potęga liczby 3,
  • $5•5•5= 5^3$ ← czytamy: 5 do potęgi trzeciej lub trzecia potęga liczby 5,
  • $(-1)•(-1)•(-1)•(-1)= (-1)^4$ ← czytamy: -1 do potęgi czwartej lub czwarta potęga liczby -1.


Dowolna liczba podniesiona do potęgi pierwszej to ta sama liczba → $a^1 = a$,

Zerowa potęga dowolnej liczby jest zawsze liczbą 1 → $a^0 = 1$.

  Uwaga

Zero podniesione do zerowej potęgi jest nieokreślone (jest niewykonalne).

Przykłady:

  • $5^0 = 1$
  • $(-8)^0 = 1$
  • $0^2 = 0$
  • $(-12)^1 = -12$

Drugą potęgę liczby a nazywamy także kwadratem liczby a i zapisujemy $a^2$

Trzecią potęgę liczby a nazywamy także sześcianem liczby a i zapisujemy $a^3$
 

  • Dowolna liczba (dodatnia lub ujemna) podniesiona do parzystej potęgi będzie zawsze liczbą dodatnią.

    Przykłady:

    • $(−3)^4 = 81$
    • $2^2 = 4$
  • Liczba ujemna podniesiona do potęgi nieparzystej będzie zawsze liczba ujemną.

    Przykład:

    • $(−2)^3 = (−8)$

Działania na liczbach całkowitych

Jeżeli w wyrażeniu potęgowanie występuje z innym działaniami (z mnożeniem, dzieleniem, dodawaniem i odejmowaniem), to potęgowanie wykonujemy w pierwszej kolejności.

Pamiętajmy, że jeżeli w wyrażeniu pojawiają się nawiasy, to najpierw wykonujemy działania w nawiasach, zaczynając od tego znajdującego się najgłębiej (czyli nie posiadającego innych nawiasów). W nawiasach też obowiązuje zasada kolejności wykonywania działań.

Kolejność wykonywania działań:

  1. Działania w nawiasach
  2. Potęgowanie i pierwiastkowanie
  3. Mnożenie i dzielenie
  4. Dodawanie i odejmowanie

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Znajdź liczbę x w równaniu $5+x=3$.

$5 + x = 3$ $|-5$ ← niewiadomą x zostawiamy na lewej stronie, a liczbę przenosimy na prawą
$x = 3 − 5$
$x = −2$

Odp.: Liczba x w tym równaniu wynosi $-2$.

Zadanie 2.

Podaj przykład liczby większej od -6 i mniejszej od 3.

Odp.: Liczba -4 jest większa od -6 i mniejsza od 3.

Zadanie 3.

Oblicz:

  1. $ |10-2| $
  2. $ |-12-4| $
  3. $ |-7| $
  1. $ |10-2|=|8|=8 $
  2. $ |-12-4|=|-16|=16 $
  3. $ |-7|=7 $

Zadanie 4.

Wykonaj obliczenia:

  1. $ 5•(-9) $
  2. $ -7•(-3) $
  3. $ 3•(-4) $
  1. $ 5•(-9)=(-45) $
  2. $ -7•(-3)=21 $
  3. $ 3•(-4)=(-12) $

Zadanie 5.

Zapisz w postaci potęgi:

  1. $ (-6)•(-6)•(-6)•(-6) $
  2. $ 3•3•3 $
  1. $ (-6)•(-6)•(-6)•(-6)=(-6)^4 $
  2. $ 3•3•3=3^3 $

Zadanie 6.

Oblicz: $(-3)^2•2+5-6•2$.

$(-3)^2•2+5-6•2=3•3•2+5-12=18+5-12=23-12=11$

Odp.: Wartość tego wyrażenia wynosi 11.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Narysuj proste a i b, które przecinają...

Po wykonaniu rysunku otrzymujemy następującą sytuację:{premium}


Kąty CAE oraz BAD to kąty wierzchołkowe. Stąd:

 


Kąty DAC i BAD oraz EAB i BAD to kąty przyległe. Stąd:

 


Z sumy kątów trójkąta dla trójkątów ADB oraz AEC:

 

 


Z sumy kątów dla czworokąta ACFD:

 


Mamy więc:

Oceń prawdziwość każdego zdania...

I. P

II. F {premium}

Wartość bezwzględna zarówno dla liczby dodatniej jak i liczby ujemnej jest taka sama

III. P

IV. F

Wartość bezwzględna z liczby ujemnej jest liczbą dodatnią, więc będzie ona miała tą samą wartość co liczba dodatnia

V. P

VI. P

1. Jaką łączną wartość mają wszystkie ...

1. Obliczamy ile wynosi łączna wartość monet przedstawionych na rysunku. 

 
{premium}


2. Monety w kolejności od najmniejszej do największej średnicy to: 

15,5 < 16,5 < 17,5 < 18,5 < 19,5 < 20,5 < 21,5 < 23 < 24

 1 gr,   10 gr,   2 gr,    20 gr,   5 gr,   50 gr,    2 zł,   1 zł,   5 zł


3. Średnica monety o nominale 5 zł ma długość 24 mm. 

Średnica rdzenia wykonanego z brązu ma długość 16 mm. 

Obliczamy jaką częścią średnicy całej monety jest średnica rdzenia. 

 


4. Moneta o nominale 1 gr waży 1,64 g. Dwie takie monety ważą: 

 

Moneta o nominale 20 gr waży 3,22 g. 

3,28 g > 3,22 g

Dwie jednogroszówki ważą więcej niż dwudziestogroszówka. 


5. Moneta o nominale 10 gr ma grubość 1,6 mm. 

Układamy stos ze 100 takich monet. Jego wysokość będzie wynosić: 

 

Stos będzie miał wysokość 16 cm. 


6. 100 zł = 10 000 gr

Kwotę 10 000 gr wypłacono w monetach o nominale 10 gr. Obliczamy ile było tych monet. 

10 000 : 10 = 1000 

Było 1000 monet o nominale 10 gr. 

Jedna moneta waży 2,51 g. Obliczamy ile waży 1000 takich monet. 

 

Monety ważyły 2,51 kg. 


7. Jedna moneta o nominale 1 zł waży 5 g. 

Obliczamy ile takich monet waży 1 kg = 1000 g.

1000 : 5 = 200

200 monet o nominale 1 zł waży 1 kg. 

Ich wartość to: 

 

1 kg monet o nominale 1 zł ma wartość 200 zł. 

W trójkącie równoramiennym o obwodzie 19 cm...

Wykonajmy rysunek pomocniczy:

Wiemy, że obwód wynosi 19 cm.

 

Możemy więc obliczyć długość podstawy:

{premium}

  

 

 

Odp.: Długość podstawy w tym trójkącie wynosi 5 cm.

Rozwiąż równania. Zacznij od uproszczenia ...

     [upraszczamy lewą stronę równania]

     [obie strony równania dzielimy przez -2]

  

{premium}

      [upraszczamy lewą stronę równania]

      [od obu stron równania odejmujemy 1]

     

 

 

  

 

  

 

 

 

 

     

 

 

 

 

 

 

 

 

 

        

Podaj wszystkie liczby pierwsze...

 - od obu stron nierówności odejmijmy 7

 

 - obie strony podzielmy przez 3

{premium}

    

   

 

A więc szukamy liczb pierwszych, które są mniejsze od liczby 31.

Takie liczby to: 29, 23, 19, 17, 13, 11, 7, 5, 3 oraz 2. 

 

 

       

O ile mniejszy jest iloczyn...

Odpowiedź: D

{premium}

Iloczyn liczb 361.45 jest mniejszy od iloczynku 361.55 o wartość 361.10 czyli 3610. Wynika to z faktu, iż drugi z czynników iloczynu jest o 10 mniejszy w pierwszym działaniu niż w drugim. 

Na podstawie podanych informacji ...

a) 26 km = 26 000 m = 2 600 000 cm

1 cm na mapie odpowiada 2 600 000 cm w terenie. 

Skala mapy wynosi więc: {premium}

 


b) 0,7 km = 700 m = 70 000 cm

1 cm na mapie odpowiada 70 000 cm w terenie. 

Skala mapy wynosi więc: 

 


c) 650 m = 65 000 cm 

1 cm na mapie odpowiada 65 000 cm w terenie. 

Skala mapy wynosi więc: 

 


d) 50 m = 5000 cm 

1 cm na mapie odpowiada 5000 cm w terenie 

Skala mapy wynosi więc: 

 

Niektóre gatunki bambusa rosną 90 cm...

1 cm = 10 mm.

 

Obliczmy, ile milimetrów rośnie bambus w ciągu doby:

 

 

{premium}

W ciągu doby bambus rośnie o 900 mm.

Doba to 24 godziny - obliczmy zatem, o ile rośnie w ciągu jednej godziny:

 

 

 

Odp.: W ciągu godziny bambus rośnie 37,5 mm (czyli 3,75 cm).  

Do każdej ściany sześcianu doklejono ostrosłup o takiej samej podstawie jak ściana sześcianu ...

Sześcian ma sześć jednakowych ścian w kształcie kwadratu.

Ostrosłup z podstawą czworokątną ma cztery ściany boczne. {premium}

Do każdej ściany sześcianu przyklejano sześć ostrosłupów, w których widoczne są tylko ściany boczne (podstawy sklejono ze ścianami bocznymi sześciokąta).

Widocznych ścian jest więc:

6 ∙ 4 = 24

Otrzymana bryła ma 24 ściany


Widok z góry: