Elementy algebry - 6-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Wyrażenia algebraiczne

Wyrażenia algebraiczne to wyrażenia zbudowane z liczb, liter, znaków działań i nawiasów.

Przykłady:

  • $$x + 5$$
  • $$x^2-y^2$$
  • $$2+a$$
  • $$3x-5y$$
  • $$y^2$$
  • $$1/2 ah$$
  • $$- 3/4$$

  Uwaga

Wyrażenie 3•x oznacza to samo 3x (kropkę jako znak mnożenia opuszczamy).
Wyrażenie 3•(m+n)oznacza to samo 3(m+n).

Wyrażenie algebraiczne (zapis) Nazwa (sposób odczytywania)
$$3 + b$$ Suma liczb 3 i b
$$a + b$$ Suma liczb a i b
$$a - b$$ Różnica liczb a i b
$$x•y$$ Iloczyn liczb x i y
$$m÷2$$ Iloraz liczby m i 2 (iloraz liczby m przez 2)
2y Podwojona liczba y
Liczba dwa razy większa od y
(podwoić znaczy pomnożyć przez 2)
(jest to po prostu iloczyn liczb 2 i y)
3b Potrojona liczba b
Liczba trzy razy większa od b
(potroić znaczy pomnożyć przez 3)
(jest to prostu iloczyn liczb 3 i b)
$$1/2 a$$ Połowa liczby a
$$1/3 x$$ Trzecia część liczby x
$$x^2$$ Kwadrat liczby x
$$y^3$$ Sześcian liczby y
$$-2xy$$ Iloczyn liczb -2, x i y
$$x-12$$ Różnica liczb x i 12
Liczba o 12 mniejsza od x

  Uwaga

Nieznane liczby (niewiadome) zastępowane są w matematyce literami.

Obliczanie wartości wyrażeń algebraicznych

Aby obliczyć wartość liczbową wyrażenia algebraicznego należy w miejsce liter (czyli nieznanych liczb) podstawić konkretne liczby (tzn. daną wartość liczbową), a następnie wykonać działania, pamiętając o kolejności wykonywania działań.

Przykład:

  • Obliczyć wartość liczbową wyrażenia $$3a+9-2b$$ dla $$a=2$$ i $$b=-3$$.

    $$3a+9-2b=3•2+9-2•(-3)=6+9+6=21$$

Jednomiany i sumy algebraiczne

  1. Jednomiany

    Jednomian to wyrażenie algebraiczne, które jest pojedynczą literą, liczbą lub iloczynem liczb i liter.

    Przykłady wyrażeń algebraicznych, będących jednomianami: 3a, 4b, 8ac, 5, a, xy, $$1/2•x$$, $$3b^2$$.

    Przykłady wyrażeń algebraicznych, nie będących jednomianami: 3a + 5b, a + b, $$3b^2 + 1$$


    Jednomian zapisujemy w postaci uporządkowanej, tzn. najpierw liczba (współczynnik liczbowy), potem litery w kolejności alfabetycznej. Taki jednomian jest bardziej czytelny.

    Przykład:
    $$x•(-3)•y•2=-6xy$$ ← -6 to współczynnik liczbowy


    Zapisując jednomiany przyjmujemy następujące zasady:

    • Znaku mnożenia stojącego przed literą lub nawiasem nie piszemy, np. zamiast 3•x piszemy 3x, zamiast 3•(m+n)piszemy 3(m+n),
    • Współczynnik 1 również jest pomijany, np. 1•x zapisujemy jako x.
     

    Jednomiany podobne (wyrazy podobne) to jednomiany różniące się co najwyżej współczynnikiem liczbowym.

    Przykłady jednomianów podobnych: $$3x^3$$, $$-5x^3$$, 4,$$5x^3$$

     

    Dodawanie i odejmowanie jednomianów podobnych

    Na podstawie rozdzielności mnożenia względem dodawania (odejmowania) możemy dodawać i odejmować jednomiany podobne, wykonując rachunki na ich współczynnikach liczbowych.

    Przykład: $$3x^2 + 5x^2 = 8x^2$$
     

  2. Suma algebraiczna

    Suma algebraiczna – wyrażenie, które jest sumą lub różnicą kilku jednomianów. Jednomiany występujące w tej sumie nazywamy wyrazami sumy algebraicznej.

    Przykład sumy algebraicznej: $$7a+8c−9+k$$.

Redukcja wyrazów podobnych

Wyrazy podobne to wyrazy sumy algebraicznej różniące się tylko współczynnikiem liczbowym. Redukcja wyrazów podobnych to ich dodawanie lub odejmowanie.

Przykład redukcji wyrazów podobnych:

  • $$2xy+6z-10xy+z-k$$ -> wyrazy podobne: $$2xy$$, $$(-10xy)$$ oraz $$6z$$, $$z$$

    $$2xy+6z-10xy+z-k=2xy-10xy+6z+z-k=-10xy+7z-k $$
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Zapisz wyrażenia:

  1. suma liczby 2a i 9
  2. różnica b i a
  3. iloczyn x i y
  1. $$2a+9$$
  2. $$b-a$$
  3. $$x•y$$

Zadanie 2.

Wypisz wszystkie jednomiany, z których zbudowana jest suma $$3a^3+7-6b$$.

$$3a^3+7-6b$$ -> jednomiany: $$3a^3$$, $$7$$, $$-6b$$

Zadanie 3.

Zredukuj wyrazy podobne:

  1. $$ 2a-3a $$
  2. $$ 4bc-6x+7bc-10x $$
  1. $$ 2a-3a=-a $$
  2. $$ 4bc-6x+7bc-10x=11bc-16x $$

Zadanie 4.

Oblicz pole trójkąta prostokątnego, którego jedna z przyprostokątnych ma długość a cm, a druga jest o 3 cm krótsza.

$$a$$ -> jedna przyprostokątna

$$a-3$$ -> druga przyprostokątna

$$P=1/2•a•(a-3)={a^2-3a}/2 $$

Odp.: Pole tego trójkąta prostokątnego ma pole równe $${a^2-3a}/2$$ [$$j^2$$].

Zadanie 5.

Oblicz średnią arytmetyczną liczb $$3x+2$$; $$3x-1$$; $$3x+8$$.

$${3x+2+ 3x-1+ 3x+8}/3={9x+9}/3=3x+3$$

Odp.: Średnia arytmetyczna tych liczb jest równa $$3x+3$$.

Zadanie 6.

Uporządkuj jednomiany w wyrażeniu: $$2/5a • 2,5a •(-5)a$$.

$$2/5 a • 2,5a • (−5)a$$

W powyższym wyrażeniu współczynniki liczbowe są zapisane w formie ułamków zwykłych oraz dziesiętnych.
Zacznijmy od sprowadzenia ułamków do takiej samej postaci – zamienimy ułamek zwykły $$2/5$$ na ułamek dziesiętny:
$$2/5= 4/{10}= 0,4$$

Możemy zapisać:
$$2/5 a • 2,5a • (−5)a = 0,4a • 2,5a • (-5)a = - (0,4 • 2,5 •5)•(a•a•a)=-5•a^3=-5a^3$$

Odp.: Dane wyrażenie przyjmuje postać $$-5a^3$$.

Spis treści

Rozwiązane zadania
W czasie powodzi w 1998 roku podano w komunikacie

`128\ l=128\ dm^3` 

`1\ m^2=10\ dm*10\ dm=100\ dm^2` 

 


`128\ dm^3:100\ dm^2=128:100\ dm=1,28\ dm=1,28*10\ cm=12,8\ cm` 

Jak obliczyć, na ile sposobów...

Aby obliczyć na ile sposobów można ustawić 32 liery alfabetu tak, aby każda litera występowała tylko raz musimy rozważyć jak to się będzie odbywać:

Jedną z 32 liter możemy umieścić na 32 sposoby. Zostanie nam 31 liter, które możemy rozmieścić na 31 sposobów. Później zostanie nam 30 liter, które możemy rozmieścić na 30 sposobów itp. 

Aby więc obliczyć na ile sposobów możemy te litery rozmieścić musimy wykonać następujące działanie:

`32*31*30*29*...*3*2*1` 

Oblicz sprytnie:

(-1)+(-2)+(-3)+(-4)+(-5)+(-6)+(-7)+(-8)+(-9)+(-100)=(-1-9)+(-2-8)+(-3-7)+(-4-6)+(-5)+(-100)=-10-10-10-10-5-100=-145

W pewnym trójkącie prostokątnym miara jednego z kątów ostrych

`x,\ \ 2x`  -  miary kątów ostrych tego trójkąta prostokątnego

 

`90^o +x+2x=180^o` 

`90^o +3x=180^o\ \ \ |-90^o` 

`3x=90^o\ \ \ |:3` 

`x=30^o` 

`2x=2*30^o=60^o` 

 

Pole powierzchni sześcianu jest równe 150 cm²

Obliczam długość krwędzi sześcianu : 

a - długość krawędzi sześcianu 

`6*a^2 = 150` |`: 6`

`a^2 = 25` | `sqrt.` 

`a = 5[cm]`  

 

Obliczam objętość sześcianu : 

`V=5cm*5cm*5cm = 25cm^2*5cm = 125cm^3` 

Odp : Objętość tego sześcianu wynosi 125 cm³

Droga przez labirynt prowadzi przez wszystkie komnaty. Wykonaj działanie zapisane w każdej komnacie (...)

Wykonujemy działania zapisane w każdej komnacie:

-3-5=-8

5-9=-4

-2-(-6)=-2+6=4

7+(-2)=7-2=5

1-(-7)=1+7=8

-3-(-2)=-3+2=-1

9-23=9-9-14=0-14=-14

 

a) Podstawą graniastosłupa prostego o wysokości 12 cm jest równoległobok (...)

a)

Obliczam pole powierzchni bocznej graniastosłupa prostego o wysokości 12 cm, którego podstawą jest równoległobok o bokach 5,5 cm i 3 cm.

`P = 2 * 5,5\ "cm" *12\ "cm" + 2 * 3\ "cm" * 12\ "cm"`

`P = 132\ "cm"^2+ 72\ "cm"^2`

`P = 204\ "cm"^2`

 

b)

Obliczam pole powierzchni bocznej graniastosłupa prostego o wysokości 3,5 cm, którego podstawa ma obwód 10 cm.

`P = 3,5 * 10`

`P = 35\ "cm"^2`

 

c)

Obliczam pole powierzchni bocznej graniastosłupa prostego o wysokości 5 cm, obwodzie podstawy 20 cm.

Wiemy że podstawą graniastosłupa będzie prostokąt, przyjmujemy że boki prostokąta to a i b a wysokość granistosłupa do c.

`2ab+2ac+2bc=120\ "cm"^2 - " wyciągamy 2 przed nawias"`

`2(ab+ac+bc)=120\ \ \ |:2` 

`ab+ac+bc=60 -" wiemy że c = 5 cm "` 

`ab+5a+5b=60 - "wyciągamy 5 przed nawias"` 

`ab+5(a+b)=60- " wiemy że obwód jednej podstawy wynosi 10 cm "` 

`ab+5*10\ "cm"=60` 

`ab+50=60\ \ \ |-50`  

`ab=10` 

`"Pole podstawy wynosi"\ 10\ "cm"^2`

Spójrz na te trzy serie działań. W jaki sposób je utworzono

Te serie działań utworzono przesuwając przecinek w odpowiednich liczbach o odpowiednią liczbę miejsc 

Uczniowie szkoły podstawowej właczyli się

klasy 1do 3 zebrały `720zl*23/40=414zl` 

Klasy 4 do 6 zebrały `414zl-135zl=279zl` 

6 klasa zebrała `1/6*279zl=46,5zl` 

Góra złota zebrała `720zl-414zl-279zl=27 zl`

 

 

 

Narysuj siatkę prostopadłościanu o wymiarach 3 dm, 1 dm i 5 dm...

Skala 1:10 oznacza, że długość każdej z krawędzi będzie 10 razy mniejsza, zatem skoro prostopadłościan w skali 1:1 miał wymiary 3 dm, 1 dm i 5 dm to skali 1:10 będzie miał wymiary 3 cm, 1 cm i 5 cm.