Elementy algebry - 6-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Wyrażenia algebraiczne

Wyrażenia algebraiczne to wyrażenia zbudowane z liczb, liter, znaków działań i nawiasów.

Przykłady:

  • $$x + 5$$
  • $$x^2-y^2$$
  • $$2+a$$
  • $$3x-5y$$
  • $$y^2$$
  • $$1/2 ah$$
  • $$- 3/4$$

  Uwaga

Wyrażenie 3•x oznacza to samo 3x (kropkę jako znak mnożenia opuszczamy).
Wyrażenie 3•(m+n)oznacza to samo 3(m+n).

Wyrażenie algebraiczne (zapis) Nazwa (sposób odczytywania)
$$3 + b$$ Suma liczb 3 i b
$$a + b$$ Suma liczb a i b
$$a - b$$ Różnica liczb a i b
$$x•y$$ Iloczyn liczb x i y
$$m÷2$$ Iloraz liczby m i 2 (iloraz liczby m przez 2)
2y Podwojona liczba y
Liczba dwa razy większa od y
(podwoić znaczy pomnożyć przez 2)
(jest to po prostu iloczyn liczb 2 i y)
3b Potrojona liczba b
Liczba trzy razy większa od b
(potroić znaczy pomnożyć przez 3)
(jest to prostu iloczyn liczb 3 i b)
$$1/2 a$$ Połowa liczby a
$$1/3 x$$ Trzecia część liczby x
$$x^2$$ Kwadrat liczby x
$$y^3$$ Sześcian liczby y
$$-2xy$$ Iloczyn liczb -2, x i y
$$x-12$$ Różnica liczb x i 12
Liczba o 12 mniejsza od x

  Uwaga

Nieznane liczby (niewiadome) zastępowane są w matematyce literami.

Obliczanie wartości wyrażeń algebraicznych

Aby obliczyć wartość liczbową wyrażenia algebraicznego należy w miejsce liter (czyli nieznanych liczb) podstawić konkretne liczby (tzn. daną wartość liczbową), a następnie wykonać działania, pamiętając o kolejności wykonywania działań.

Przykład:

  • Obliczyć wartość liczbową wyrażenia $$3a+9-2b$$ dla $$a=2$$ i $$b=-3$$.

    $$3a+9-2b=3•2+9-2•(-3)=6+9+6=21$$

Jednomiany i sumy algebraiczne

  1. Jednomiany

    Jednomian to wyrażenie algebraiczne, które jest pojedynczą literą, liczbą lub iloczynem liczb i liter.

    Przykłady wyrażeń algebraicznych, będących jednomianami: 3a, 4b, 8ac, 5, a, xy, $$1/2•x$$, $$3b^2$$.

    Przykłady wyrażeń algebraicznych, nie będących jednomianami: 3a + 5b, a + b, $$3b^2 + 1$$


    Jednomian zapisujemy w postaci uporządkowanej, tzn. najpierw liczba (współczynnik liczbowy), potem litery w kolejności alfabetycznej. Taki jednomian jest bardziej czytelny.

    Przykład:
    $$x•(-3)•y•2=-6xy$$ ← -6 to współczynnik liczbowy


    Zapisując jednomiany przyjmujemy następujące zasady:

    • Znaku mnożenia stojącego przed literą lub nawiasem nie piszemy, np. zamiast 3•x piszemy 3x, zamiast 3•(m+n)piszemy 3(m+n),
    • Współczynnik 1 również jest pomijany, np. 1•x zapisujemy jako x.
     

    Jednomiany podobne (wyrazy podobne) to jednomiany różniące się co najwyżej współczynnikiem liczbowym.

    Przykłady jednomianów podobnych: $$3x^3$$, $$-5x^3$$, 4,$$5x^3$$

     

    Dodawanie i odejmowanie jednomianów podobnych

    Na podstawie rozdzielności mnożenia względem dodawania (odejmowania) możemy dodawać i odejmować jednomiany podobne, wykonując rachunki na ich współczynnikach liczbowych.

    Przykład: $$3x^2 + 5x^2 = 8x^2$$
     

  2. Suma algebraiczna

    Suma algebraiczna – wyrażenie, które jest sumą lub różnicą kilku jednomianów. Jednomiany występujące w tej sumie nazywamy wyrazami sumy algebraicznej.

    Przykład sumy algebraicznej: $$7a+8c−9+k$$.

Redukcja wyrazów podobnych

Wyrazy podobne to wyrazy sumy algebraicznej różniące się tylko współczynnikiem liczbowym. Redukcja wyrazów podobnych to ich dodawanie lub odejmowanie.

Przykład redukcji wyrazów podobnych:

  • $$2xy+6z-10xy+z-k$$ -> wyrazy podobne: $$2xy$$, $$(-10xy)$$ oraz $$6z$$, $$z$$

    $$2xy+6z-10xy+z-k=2xy-10xy+6z+z-k=-10xy+7z-k $$
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Zapisz wyrażenia:

  1. suma liczby 2a i 9
  2. różnica b i a
  3. iloczyn x i y
  1. $$2a+9$$
  2. $$b-a$$
  3. $$x•y$$

Zadanie 2.

Wypisz wszystkie jednomiany, z których zbudowana jest suma $$3a^3+7-6b$$.

$$3a^3+7-6b$$ -> jednomiany: $$3a^3$$, $$7$$, $$-6b$$

Zadanie 3.

Zredukuj wyrazy podobne:

  1. $$ 2a-3a $$
  2. $$ 4bc-6x+7bc-10x $$
  1. $$ 2a-3a=-a $$
  2. $$ 4bc-6x+7bc-10x=11bc-16x $$

Zadanie 4.

Oblicz pole trójkąta prostokątnego, którego jedna z przyprostokątnych ma długość a cm, a druga jest o 3 cm krótsza.

$$a$$ -> jedna przyprostokątna

$$a-3$$ -> druga przyprostokątna

$$P=1/2•a•(a-3)={a^2-3a}/2 $$

Odp.: Pole tego trójkąta prostokątnego ma pole równe $${a^2-3a}/2$$ [$$j^2$$].

Zadanie 5.

Oblicz średnią arytmetyczną liczb $$3x+2$$; $$3x-1$$; $$3x+8$$.

$${3x+2+ 3x-1+ 3x+8}/3={9x+9}/3=3x+3$$

Odp.: Średnia arytmetyczna tych liczb jest równa $$3x+3$$.

Zadanie 6.

Uporządkuj jednomiany w wyrażeniu: $$2/5a • 2,5a •(-5)a$$.

$$2/5 a • 2,5a • (−5)a$$

W powyższym wyrażeniu współczynniki liczbowe są zapisane w formie ułamków zwykłych oraz dziesiętnych.
Zacznijmy od sprowadzenia ułamków do takiej samej postaci – zamienimy ułamek zwykły $$2/5$$ na ułamek dziesiętny:
$$2/5= 4/{10}= 0,4$$

Możemy zapisać:
$$2/5 a • 2,5a • (−5)a = 0,4a • 2,5a • (-5)a = - (0,4 • 2,5 •5)•(a•a•a)=-5•a^3=-5a^3$$

Odp.: Dane wyrażenie przyjmuje postać $$-5a^3$$.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Na podstawie danych z wykresu oblicz różnicę między...

Najniższa temperatura marca podana na wykresie to: -8 oC, a najwyższa temperatura marca to: 8 oC, różnica miedzy tymi tempraturami wynosi :
8-(-8)=8+8=16 [oC]

Wykonaj działania jak najprostszym sposobem...

`a)\ 105+(-7)+20+(-13)= (105+20)+(-7+(-13))=125+(-7-13)=125+(-20)=125-20=105` 
`b)\ -10-16+69+(-9)+66=-10 +(-16+66)+(69+(-9))=-10+50+60=100` 
`c)\ 2 4/5+(-5,7)+7 1/5+(-4,3)=(2 4/5+7 1/5)+(-5,7+(-4,3))=10+(-10)=0` 
`d)\ 4,5+(-3 3/7)+(-7,5)+4 3/7=(4,5+(-7,5))+(-3 3/7+4 3/7)=(-3)+1=-3+1=-2` 
`e)\ -3/4+6,8+(-1,3)+(-0,25)+(-8,9)=(-3/4+(-0,25))+(6,8+(-1,3)+(-8,9))=(-0,75-0,25)+(5,5-8,9)=-1- 3,4=-4,4` `f)\ -4 2/3+(-8,9)+3 1/6 +3 2/3+ (-2 1/6)= (-4 2/3+3 2/3)+(3 1/6+(-2 1/6))+(-8,9)=(-1)+1 +(-8,9)=-8,9`   

Dokończ rysunek tak, aby powstał prostokąt...

Od punktu J odmierzam wybraną długość cyrklem , powstaje punkt z przecięcia luku i okręgu wykonuje taka sama czynośc od nowego powstałęgo punktu do momentu uzyskania wsumie 4 punktów łącze punkty w prostokąt. 

Litera n oznacza liczbę naturalną

Wyrażenie 4n jest podzielne przez 2 (bo 4 dzieli się przez 2), więc na pewno będzie liczbą parzystą. 

oblicz ile cm ² papieru potrzeba

pole kopert`to21cm*16cm+{1/2*(15cm+16cm)*3,5cm+2*1/2(10cm+11cm)*1,5cm}=336cm^2+85,75cm^2=421,75cm^2`

Aby wyłonić zwycięzcę zawodów, dodan

Ania: 12,3s+1min3s+4min2s=5min17,3s

Basia: 13,1s+1min1s+4min21s=5min35,1s

Celina: 12,38s+59s+3min52s=3min123,38s=5min3,38s

Dorota: 13,05s+1min2s+4min5s=5min20,05s

Najkrótszy łączny czas miała Celina.

Odp. C

Zamaluj jednakowym kolorem działanie i jego wynik

`0,15+1 3/4=0,15+1,75=1,9` 

`(1,5)^2-9/20=2,25-45/100=2,25-0,45=1,8=1 4/5`

`2,25*2/3=2 1/4 * 2/3=9/4*2/3=6/4=3/2=1,5`

`1 1/6 : 0,7= 7/6 : 7/10=7/6*10/7=10/6=5/3=1 2/3`

`1/2 * 0,8 : 2 2/3= 1/2 * 8/10 : 8/3 = 1/2 * 8/10 * 3/8``= 1/2 * 3/10 = 3/20 = 15/100 = 0,15`

 
Jednakowym kolorem należy zamalować:

`0,15+1 3/4`   i   `1,9` 

`(1,5)^2-9/20`    i    `1 4/5` 

`2,25*2/3`     i   `1,5` 

`1 1/6 : 0,7`     i    `1 2/3` 

`1/2 * 0,8 : 2 2/3`     i     `0,15` 
 

Ukwiał można spotkać w głębinach morskich głębiej niż rozgwiazdę o

`10 770 m-9,99\ km=10\ 770\ m-9,99*1000\ m=10\ 770\ m-9990\ m=` 

`=10\ 770\ m-9000\ m-990\ m=` `1770\ m-900\ m-90\ m=870\ m-90\ m=780\ m` 

 

`780\ m=780/1000\ km=78/100\ km=39/50\ km` 

O ile większe dzienne średnie zapotrzebowanie na energię...

Chłopcy w wieku 10-12 lat mają zapotrzebowanie na energię równe 2500-2600 kcal, dziewczęta w wieku 10-12 lat mają zapotrzebowanie na energię równe 2100 kcal, zatem chłopcy w tym wieku mają o 400-500 kcal większe zapotrzebowanie na energię (2500-2100=400; 2600-2100=500).


Odp. Chłopcy w wieku 10-12 lat mają o 400-500 kcal większe zapotrzebowanie na energię od dziewcząt w tym samym wieku.

Kasia i Krzyś robili zakupy. Kasia kupiła 4 bułki po 50 gr (...)

Kasia:

`4*0,50+2*1,39=2+2,78=4,78`

 

Krzyś:

`3*1,25+8*0,35+2*1,89=3,75+2,8+3,78=10,33`