Elementy algebry - 6-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Elementy algebry - 6-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Wyrażenia algebraiczne

Wyrażenia algebraiczne to wyrażenia składające się z liczb, liter, znaków działań i nawiasów.

Przykłady:

  • `x+5` 

  • `x^2-y^2` 

  • `2+a` 

  • `3x-5y` 

  • `y^2` 

  • `1/2ah` 

  • `-3/4` 


Uwaga!

Wyrażenie `3*x` możemy zapisać prościej jako `3x`.

Wyrażenie `3*(m+n)` możemy zapisać prościej jako `3(m+n)` .


Uwaga!!

Jeśli w danym wyrażeniu po kropce oznaczającej znak mnożenia występuje liczba NIE WOLNO pominąć kropki. 

Wyrażenia  `3+x*5`  nie można zapisać jako `strike(3+x5)` . 

Wyrażenia `(3m+n)*7` nie można zapisać jako  `strike((3m+n)7)` . 


Przykładowe wyrażenia algebraiczne i sposób ich odczytywania.      

Wyrażenie algebraiczne (zapis) Nazwa (sposób odczytywania)
`3+b`  suma liczb 3 i b
`a+b`  suma liczb a i b
`a-b`  różnica liczb a i b
`x*y`  iloczyn liczb x i y
`m:2`  iloraz liczby m i 2 (iloraz liczby m przez 2)
`2y`  podwojona liczba y,
liczba dwa razy większa od y,
iloczyn liczb 2 i y
`3b`  potrojona liczba b,
liczba trzy razy większa od b,
iloczyn liczb 3 i b
`1/2a`  połowa liczby a
`1/3x`  trzecia część liczby x
`x^2`  kwadrat liczby x
`y^3`  sześcian liczby y
`-2xy`  iloczyn liczb -2, x i y
`x-12`  różnica liczb x i 12, 
liczba o 12 mniejsza od x

 

Obliczanie wartości wyrażeń algebraicznych

Aby obliczyć wartość liczbową wyrażenia algebraicznego należy w miejsce liter (czyli nieznanych liczb) podstawić konkretne liczby (tzn. daną wartość liczbową), a następnie wykonać działania, pamiętając o kolejności wykonywania działań.

Przykład:

  • Obliczyć wartość liczbową wyrażenia $3a+9-2b$ dla $a=2$ i $b=-3$.

    $3a+9-2b=3•2+9-2•(-3)=6+9+6=21$

Jednomiany i sumy algebraiczne

  1. Jednomiany

    Jednomian to wyrażenie algebraiczne, które jest pojedynczą literą, liczbą lub iloczynem liczb i liter.

    Przykłady wyrażeń algebraicznych, będących jednomianami: 3a, 4b, 8ac, 5, a, xy, $1/2•x$, $3b^2$.

    Przykłady wyrażeń algebraicznych, nie będących jednomianami: 3a + 5b, a + b, $3b^2 + 1$


    Jednomian zapisujemy w postaci uporządkowanej, tzn. najpierw liczba (współczynnik liczbowy), potem litery w kolejności alfabetycznej. Taki jednomian jest bardziej czytelny.

    Przykład:
    $x•(-3)•y•2=-6xy$ ← -6 to współczynnik liczbowy


    Zapisując jednomiany przyjmujemy następujące zasady:

    • Znaku mnożenia stojącego przed literą lub nawiasem nie piszemy, np. zamiast 3•x piszemy 3x, zamiast 3•(m+n)piszemy 3(m+n),
    • Współczynnik 1 również jest pomijany, np. 1•x zapisujemy jako x.
     

    Jednomiany podobne (wyrazy podobne) to jednomiany różniące się co najwyżej współczynnikiem liczbowym.

    Przykłady jednomianów podobnych: $3x^3$, $-5x^3$, 4,$5x^3$

     

    Dodawanie i odejmowanie jednomianów podobnych

    Na podstawie rozdzielności mnożenia względem dodawania (odejmowania) możemy dodawać i odejmować jednomiany podobne, wykonując rachunki na ich współczynnikach liczbowych.

    Przykład: $3x^2 + 5x^2 = 8x^2$
     

  2. Suma algebraiczna

    Suma algebraiczna – wyrażenie, które jest sumą lub różnicą kilku jednomianów. Jednomiany występujące w tej sumie nazywamy wyrazami sumy algebraicznej.

    Przykład sumy algebraicznej: $7a+8c−9+k$.

Redukcja wyrazów podobnych

Jednomiany podobne to wyrazy sumy algebraicznej (sumy jednomianów) różniące się tylko współczynnikiem liczbowym.


Redukcja wyrazów podobnych
polega na dodaniu wyrazów podobnych.


Przykłady redukcji wyrazów podobnych:

  • `ul(2xy)+ul(ul(6z))-ul(10xy)+ul(ul(z))-k=-8xy+7z-k`  

    Jednomiany podobne to: 2xy i -10xy oraz 6z i z. 

  • `ul(8x)+ul(ul(2y))+ul(ul(ul(9x^2)))+7-ul(x)-ul(ul(3y))-ul(ul(ul(x^2)))=8x^2+7x-y+7` 

    Jednomiany podobne to: 9x2 i -x2, 8x i -x, 2y i -3y    

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Zapisz wyrażenia:

  1. suma liczby 2a i 9
  2. różnica b i a
  3. iloczyn x i y
  1. $2a+9$
  2. $b-a$
  3. $x•y$

Zadanie 2.

Wypisz wszystkie jednomiany, z których zbudowana jest suma $3a^3+7-6b$.

$3a^3+7-6b$ -> jednomiany: $3a^3$, $7$, $-6b$

Zadanie 3.

Zredukuj wyrazy podobne:

  1. $ 2a-3a $
  2. $ 4bc-6x+7bc-10x $
  1. $ 2a-3a=-a $
  2. $ 4bc-6x+7bc-10x=11bc-16x $

Zadanie 4.

Oblicz pole trójkąta prostokątnego, którego jedna z przyprostokątnych ma długość a cm, a druga jest o 3 cm krótsza.

$a$ -> jedna przyprostokątna

$a-3$ -> druga przyprostokątna

$P=1/2•a•(a-3)={a^2-3a}/2 $

Odp.: Pole tego trójkąta prostokątnego ma pole równe ${a^2-3a}/2$ [$j^2$].

Zadanie 5.

Oblicz średnią arytmetyczną liczb $3x+2$; $3x-1$; $3x+8$.

${3x+2+ 3x-1+ 3x+8}/3={9x+9}/3=3x+3$

Odp.: Średnia arytmetyczna tych liczb jest równa $3x+3$.

Zadanie 6.

Uporządkuj jednomiany w wyrażeniu: $2/5a • 2,5a •(-5)a$.

$2/5 a • 2,5a • (−5)a$

W powyższym wyrażeniu współczynniki liczbowe są zapisane w formie ułamków zwykłych oraz dziesiętnych.
Zacznijmy od sprowadzenia ułamków do takiej samej postaci – zamienimy ułamek zwykły $2/5$ na ułamek dziesiętny:
$2/5= 4/{10}= 0,4$

Możemy zapisać:
$2/5 a • 2,5a • (−5)a = 0,4a • 2,5a • (-5)a = - (0,4 • 2,5 •5)•(a•a•a)=-5•a^3=-5a^3$

Odp.: Dane wyrażenie przyjmuje postać $-5a^3$.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Ile wody pozostało...

a)

Obliczmy, ile wody pozostało w naczyniu:

 

 

b)

  

{premium}

  

 

c)

 

 

d)

 

        

Popatrz na rysunek obok. Jaką miarę ma kąt zaznaczony...

Kąty wierzchołkowe, naprzemianległe i odpowiadające mają równe miary.

Suma miar kątów przyległych wynosi 180o

 

Kąt zaznaczony na niebiesko oraz kąt o mierze 60o to kąty naprzemianległe. Mają one równe miary. {premium}

Kąt oznaczony kolorem niebieskim ma miarę 60o


Kąt   oraz kąt oznaczony kolorem niebieskim to kąty przyległe. Suma ich miar wynosi 180o

Obliczamy ile wynosi miara kąta  . 

 


Na poniższym rysunku możemy zobaczyć, że kąt przyległy do kąta   na taką samą miarę jak kąt  , gdyż są to kąty odpowiadające. 

Miara kąta   wynosi więc: 

 


Z poniższego rysunku możemy także odczytać, że kąt o mierze 120o (kąt przyległy do kąta  ) oraz kąt   to kąty naprzemianległe. 

Mają one równe miary. 

 

 

Dane są trzy równania...

Wyznaczmy rozwiązania wszystkich równań:

  \ -7

 

  \:5

   

  

 

 

  / -14

 

{premium}

  \ :(-2)

 

  

 

 

 

  / -7

 

 

 

 

 

Odp.: Rozwiązaniem jednego z tych równań jest sumą dwóch pozostałych rozwiązań:

              

       

Połącz w pary liczby, które mają...

Wartość bezwzględna liczby jest to jej odległość od zera na osi liczbowej. Wartość bezwzględna liczb przeciwnych (o przeciwnych znakach) jest taka sama (ponieważ ich odległość od zera jest taka sama).

Aby wybrać pary licz, które mają tę samą wartość bezwzględną na początku wyznaczmy ich wartości bezwzględne:

{premium}

Następnie łączymy w pary liczby o tych samych wartościach bezwzględnych, czyli:

a) Dorysuj tyle kółek czerwonych, aby kółka ...

a) Kółek żółtych jest 7. Chcemy, aby stanowiły one 50% wszystkich kółek. 

50%, czyli połowa, wszystkich kółek to 7. 100% (2 razy więcej niż 50%) to 2٠7=14 kółek. 

Wszystkich kółek musi być 14, czyli {premium}należy narysować 7 (14-7=7) czerwonych kółek. 


b) Są 2 niebieskie trójkąty. Chcemy, aby stanowiły one 25% wszystkich trójkątów. 

25%, czyli jedna czwarta, wszystkich trójkątów to 2. 100% (4 razy więcej niż 25%) to 2٠4=8 trójkątów. 

Wszystkich trójkątów musi być 8, czyli należy narysować 6 (8-2=6) żółtych trójkątów. 

 

c) Jest 1 czerwony kwadrat. Chcemy, aby stanowił on 20% wszystkich kwadratów. 

20%, czyli jedna piąta, wszystkich kwadratów to 1. 100% (5 razy więcej niż 20%) to 5٠1=5 kwadratów. 

Wszystkich kwadratów musi być 5, czyli należy narysować 4 (5-1=4) niebieskich kwadratów.

 

Firma X potrzebuje na ułożenie...

a) Firma X w ciągu 2 godzin układa jeden pas trawy. W ciągu 6 godzin ułoży więc 3 razy więcej, czyli 3 pasy trawy


b) Firma Y w ciągu 3 godzin układa jeden pas trawy. W ciągu 6 godzin ułoży więc 2 razy więcej, czyli 2 pasy trawy


c) Wiemy, że w ciągu 6 godzin firma X ułoży 3 pasy trawy, a firma Y 2 pasy trawy. Łącznie, w ciągu 6 godzin ułożą 5 pasów trawy.

 

Aby obliczyć ile czasu będą potrzebować na ułożenie jednego pasa trawy musimy czas, w jakim ułożyli 5 pasów trawy podzielić przez ilość pasów, czyli przez 5

{premium}  

 

Obie firmy ułożą pas trawy czasie   godziny. Obliczmy ile to godzin i minut. Wiemy, że 1 godzina ma 60 minut.  godziny to:

 

 

Odpowiedź: Ułożenie pasa trawy przez obie firmy zajmie 1 godzinę i 12 minut 

Oto iloczyn 3-cyfrowej...

Nasz pożądany wynik różni się o 4 miejsca po przecinku względem wyniku obliczonego w treści zadania, musimy zatem przesunąć przecinek w liczbie o 4 miejsca w lewo.

 

W liczbie 3-cyfrowej:

0,0794

 

W liczbie 4-cyfrowej:

0,8327

 

{premium}

 

Nie musimy obliczać wyniku tego działania - wystarczy, że w wyniku już obliczonego działania przesuniemy przecinek o 3 miejsca w lewo (ponieważ w tym iloczynie mam 3 liczby po przecinku).

 

Sprawdźmy wyniki na kalkulatorze:

   

W każdej siatce pokoloruj ściany, które są równoległe...

{premium}

 

 

a) Oceń na oko, a następnie sprawdź za pomocą ...

a) Ustawiamy rozwartość cyrkla równą długości odcinka AB i sprawdzamy, które odcinki mają taką samą długość jak odcinek AB. 

Odcinki mające taką samą długość jak odcinek AB to: 

  • CD 
  • KL {premium}

b) Na prostej l zaznaczamy odcinek takiej samej długości jak odcinek PR w następujący sposób: 

1. Na prostej l zaznaczamy punkt P'. 
2. Ustawiamy rozwartość cyrkla równą długości odcika PR. 
3. Wbijamy nóżkę cyrkla w punkt P' i kreślimy łuk przecinający prostą l (po lewej lub prawej stronie punkty P'). 
4. Punkt przecięcia łuku z prostą oznaczamy literą R'. 
Odcinek P'R' ma taką samą długość jak odcinek PR. 

Kwadrat, którego obwód jest równy...

x - bok mniejszego (zielonego kwadratu)

3x - bok większego (pomarańczowego kwadratu)


Kwadrat, którego{premium} obwód jest równy 64 cm ma boki długości 64 cm:4=16 cm. Stąd:

 

 

 

 


Wówczas:

  


Szary prostokąt ma boki długości x i 3x, czyli 4 cm i 12 cm. Zatem jego obwód wynosi

 


Prawidłowa odpowiedź to C.