Elementy algebry - 6-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Wyrażenia algebraiczne

Wyrażenia algebraiczne to wyrażenia zbudowane z liczb, liter, znaków działań i nawiasów.

Przykłady:

  • $$x + 5$$
  • $$x^2-y^2$$
  • $$2+a$$
  • $$3x-5y$$
  • $$y^2$$
  • $$1/2 ah$$
  • $$- 3/4$$

  Uwaga

Wyrażenie 3•x oznacza to samo 3x (kropkę jako znak mnożenia opuszczamy).
Wyrażenie 3•(m+n)oznacza to samo 3(m+n).

Wyrażenie algebraiczne (zapis) Nazwa (sposób odczytywania)
$$3 + b$$ Suma liczb 3 i b
$$a + b$$ Suma liczb a i b
$$a - b$$ Różnica liczb a i b
$$x•y$$ Iloczyn liczb x i y
$$m÷2$$ Iloraz liczby m i 2 (iloraz liczby m przez 2)
2y Podwojona liczba y
Liczba dwa razy większa od y
(podwoić znaczy pomnożyć przez 2)
(jest to po prostu iloczyn liczb 2 i y)
3b Potrojona liczba b
Liczba trzy razy większa od b
(potroić znaczy pomnożyć przez 3)
(jest to prostu iloczyn liczb 3 i b)
$$1/2 a$$ Połowa liczby a
$$1/3 x$$ Trzecia część liczby x
$$x^2$$ Kwadrat liczby x
$$y^3$$ Sześcian liczby y
$$-2xy$$ Iloczyn liczb -2, x i y
$$x-12$$ Różnica liczb x i 12
Liczba o 12 mniejsza od x

  Uwaga

Nieznane liczby (niewiadome) zastępowane są w matematyce literami.

Obliczanie wartości wyrażeń algebraicznych

Aby obliczyć wartość liczbową wyrażenia algebraicznego należy w miejsce liter (czyli nieznanych liczb) podstawić konkretne liczby (tzn. daną wartość liczbową), a następnie wykonać działania, pamiętając o kolejności wykonywania działań.

Przykład:

  • Obliczyć wartość liczbową wyrażenia $$3a+9-2b$$ dla $$a=2$$ i $$b=-3$$.

    $$3a+9-2b=3•2+9-2•(-3)=6+9+6=21$$

Jednomiany i sumy algebraiczne

  1. Jednomiany

    Jednomian to wyrażenie algebraiczne, które jest pojedynczą literą, liczbą lub iloczynem liczb i liter.

    Przykłady wyrażeń algebraicznych, będących jednomianami: 3a, 4b, 8ac, 5, a, xy, $$1/2•x$$, $$3b^2$$.

    Przykłady wyrażeń algebraicznych, nie będących jednomianami: 3a + 5b, a + b, $$3b^2 + 1$$


    Jednomian zapisujemy w postaci uporządkowanej, tzn. najpierw liczba (współczynnik liczbowy), potem litery w kolejności alfabetycznej. Taki jednomian jest bardziej czytelny.

    Przykład:
    $$x•(-3)•y•2=-6xy$$ ← -6 to współczynnik liczbowy


    Zapisując jednomiany przyjmujemy następujące zasady:

    • Znaku mnożenia stojącego przed literą lub nawiasem nie piszemy, np. zamiast 3•x piszemy 3x, zamiast 3•(m+n)piszemy 3(m+n),
    • Współczynnik 1 również jest pomijany, np. 1•x zapisujemy jako x.
     

    Jednomiany podobne (wyrazy podobne) to jednomiany różniące się co najwyżej współczynnikiem liczbowym.

    Przykłady jednomianów podobnych: $$3x^3$$, $$-5x^3$$, 4,$$5x^3$$

     

    Dodawanie i odejmowanie jednomianów podobnych

    Na podstawie rozdzielności mnożenia względem dodawania (odejmowania) możemy dodawać i odejmować jednomiany podobne, wykonując rachunki na ich współczynnikach liczbowych.

    Przykład: $$3x^2 + 5x^2 = 8x^2$$
     

  2. Suma algebraiczna

    Suma algebraiczna – wyrażenie, które jest sumą lub różnicą kilku jednomianów. Jednomiany występujące w tej sumie nazywamy wyrazami sumy algebraicznej.

    Przykład sumy algebraicznej: $$7a+8c−9+k$$.

Redukcja wyrazów podobnych

Wyrazy podobne to wyrazy sumy algebraicznej różniące się tylko współczynnikiem liczbowym. Redukcja wyrazów podobnych to ich dodawanie lub odejmowanie.

Przykład redukcji wyrazów podobnych:

  • $$2xy+6z-10xy+z-k$$ -> wyrazy podobne: $$2xy$$, $$(-10xy)$$ oraz $$6z$$, $$z$$

    $$2xy+6z-10xy+z-k=2xy-10xy+6z+z-k=-10xy+7z-k $$
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Zapisz wyrażenia:

  1. suma liczby 2a i 9
  2. różnica b i a
  3. iloczyn x i y
  1. $$2a+9$$
  2. $$b-a$$
  3. $$x•y$$

Zadanie 2.

Wypisz wszystkie jednomiany, z których zbudowana jest suma $$3a^3+7-6b$$.

$$3a^3+7-6b$$ -> jednomiany: $$3a^3$$, $$7$$, $$-6b$$

Zadanie 3.

Zredukuj wyrazy podobne:

  1. $$ 2a-3a $$
  2. $$ 4bc-6x+7bc-10x $$
  1. $$ 2a-3a=-a $$
  2. $$ 4bc-6x+7bc-10x=11bc-16x $$

Zadanie 4.

Oblicz pole trójkąta prostokątnego, którego jedna z przyprostokątnych ma długość a cm, a druga jest o 3 cm krótsza.

$$a$$ -> jedna przyprostokątna

$$a-3$$ -> druga przyprostokątna

$$P=1/2•a•(a-3)={a^2-3a}/2 $$

Odp.: Pole tego trójkąta prostokątnego ma pole równe $${a^2-3a}/2$$ [$$j^2$$].

Zadanie 5.

Oblicz średnią arytmetyczną liczb $$3x+2$$; $$3x-1$$; $$3x+8$$.

$${3x+2+ 3x-1+ 3x+8}/3={9x+9}/3=3x+3$$

Odp.: Średnia arytmetyczna tych liczb jest równa $$3x+3$$.

Zadanie 6.

Uporządkuj jednomiany w wyrażeniu: $$2/5a • 2,5a •(-5)a$$.

$$2/5 a • 2,5a • (−5)a$$

W powyższym wyrażeniu współczynniki liczbowe są zapisane w formie ułamków zwykłych oraz dziesiętnych.
Zacznijmy od sprowadzenia ułamków do takiej samej postaci – zamienimy ułamek zwykły $$2/5$$ na ułamek dziesiętny:
$$2/5= 4/{10}= 0,4$$

Możemy zapisać:
$$2/5 a • 2,5a • (−5)a = 0,4a • 2,5a • (-5)a = - (0,4 • 2,5 •5)•(a•a•a)=-5•a^3=-5a^3$$

Odp.: Dane wyrażenie przyjmuje postać $$-5a^3$$.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Jola dodała do sosu ...

Jola dodała do sosu 3/4 półlitrowego słoika majonezu. Aby obliczyć, ile majonezu dodała Jola do sosu, musimy obliczyć 3/4 z 1/2.

`3/4*1/2=3/8\ [l]` 

Jola dodała 3/8 l majonezu do sosu.

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 

Jola dodała do sosu 3/4 butelki śmietany o pojemności 1/3 l. Aby obliczyć, ile śmietany dodała Jola do sosu, musimy obliczyć 3/4 z 1/3.

`strike3^1/4*1/strike3^1=1/4\ [l]`    

Jola dodała 1/4 l śmietany do sosu.

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 

Obliczmy, ile łącznie majonezu oraz śmietany dodała Jola do sosu:

`3/8+1/4=3/8+2/8=5/8\ [l]` 

Jola dodała do sosu 5/8 l majonezu oraz śmietany.

Odp: D

Oceń prawdziwość zdań. Zaznacz ...

1 godzina to 60 minut. 

Obliczamy ile minut to 2 1/4 godziny. 
`2 1/4*60=(2+1/4)*60=120+60/4=120+15=135` 

2 1/4 godziny to 135 minut. 
`ul(ul( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

1 kilometr to 1000 metrów. 

Obliczamy ile metrów to 0,1 kilometra. 
`0,1*1000=100` 

0,1 kilometra to 100 metrów.
`ul(ul( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 


Doba to 24 godziny. 

Obliczamy ile godzin to 1/4 doby. 
`1/4*24=6` 

1/4 doby to 6 godzin. 
`ul(ul( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 


1 kilogram to 100 dekagram. 

Obliczamy ile dekagram to 0,8 kg. 
`0,8*100=80` 

0,8 kg to 80 dekagram. 

 

2 ¼ godziny to 135 minut.

P

F

0,1 kg to 100 metrów.

P

F

¼ doby jest równa 6 godzin.

P

F

0,8 kg jest równe 20 dag.

 

F

Przy dzieleniu przez jaką ...

Szukamy liczby, która przy dzieleniu może dawać resztę 0, 1 lub resztę, która jest liczbą pierwszą.

Przypomnijmy, że liczba pierwsza jest to liczba, która jest podzielna tylko przez 1 i przez samą siebie, np: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 itd.

Wykonując poprzednie zadania mogliśmy zauważyć, że jeżeli np. dzielimy przez 5, to możliwe reszty to: 0, 1, 2, 3 lub 4;

dzieląc przez 7, możemy otrzymać reszty:0, 1, 2, 3, 4, 5 lub 6.

Jeżeli dzielimy przez dodatnią liczbę naturalną, to możliwe reszty jakie możemy uzyskać w wyniku tego dzielenia, są kolejnymi liczbami naturalnymi mniejszymi od liczby przez którą dzielimy.

Wracając do zadania, reszty jakie możemy otrzymać w wyniku dzielenia przez szukaną liczbę to:

`0,\ 1` 

lub

`0,\ 1,\ 2` 

lub

`0, \ 1,\ 2,\ 3` 

(Kolejne możliwości nie są zgodne z treścią zadania, gdyż reszty 0, 1, 2 ,3, 4 - zawierają liczbę 4, która nie jest liczbą pierwszą. 

Każda kolejna możliwość bedzie zawierała co najmniej reszty 0, 1, 2, 3 i 4.)

 

Powróćmy do wypisanych reszt: 0,1 lub 0,1,2 lub 0,1,2,3. Każda z wypisanych reszt spełnia warunki zadania (2,3 są liczbami pierwszymi).

Zastanówmy się przy dzieleniu przez jaką liczbę uzyskamy resztę: 0, 1. Przy dzieleniu przez 2. (W tresci zadania jest napisane, że resztą może być albo 0 albo 1 albo reszta, która jest liczbą pierwszą, może zajść więc przypadek gdy resztą jest tylko 0 i 1)

Przy dzieleniu przez jaką liczbę uzyskamy resztę: 0,1,2. Oczywiście przy dzieleniu przez 3.

Natomiast reszty 0,1,2,3 uzyskamy przy dzieleniu przez 4.

Zapisz równania odpowiadające...

Rysunek B: 

y+y=5+10

2y=15

Rysunek C:

z+z=z+5

2z=z+5

Różnica pomiędzy najdłuższą a najkrótszą

`360km-295km=65km`

W pewnej ankiecie internetowej zadano pytanie: Jak sądzisz, czy istnieją cywilizacje pozaziemskie? Wyniki

`"Z diagramu możemy odczytać, że odpowiedzi "na \ pewno \ nie" udzieliło" \ 10% \ "ankietowanych."`  

`"Z treści zadania wiemy, że było to" \ 88 \ "osób."`  

`"Liczba osób biorących udział w ankiecie to:"`   

`10%\ "to" \ 88`  

`100%=10*10%`  

`100%\ "to"\ 10*88=880`  

 

`"Z diagramu odczytujemy, że odpowiedzi "na  \ pewno \ tak" udzieliło" \ 20% \ "ankietowanych."`   

`"Liczba osób, które udzieliły odpowiedzi "na \ pewno \ tak" wynosi:"`   

`10%\ "to"\ 88` 

`20%=2*10%`   

`20%\ "to" \ 2*88=176`   

 

`"Z diagramu odczytujemy, że odpowiedzi "raczej  \ tak" udzieliło" \ 40% "ankietowanych."`  

`10%\ "to" \ 88`  

`40%=4*10%`  

`40%\ "to" \ 4*88=352` 


Odpowiedź
W ankiecie wzięło udział 880 osób, 176 odpowiedziało "na pewno tak", a 352 osoby wskazały odpowiedź "raczej tak".

Pan Kowalski planuje remont łazienki

`499+2470+635+187+98+2880\approx6800zl`

`499\approx500`

`2470\approx2500`

`635\approx700`

`187\approx200`

`98\approx100`

`2880\approx2900`

łączny koszt po zaokrągleniach`\approx6900zl`

Pani Monika i pani Karolina zaczęły pracę w tej samej firmie, ale na różnych stanowiskach.

Pensja pani Moniki w pierwszym miesiącu pracy wynosiła około 1100 zł

W piątym miesiącu pracy pensja pani Karoliny wynosiła 1500 zł

Pani Karolina zarabiała więcej niż pani Monika w 1, 2, 3 oraz 5 miesiącu pracy. 

Tylko w miesiącu 6 zarobki obu pań były takie same. 

Po roku pracy więcej o 200 zł zarobiła pani Monika

Dokończ zdanie - wybierz odpowiedź ...

Wymiary prostokątnej płyty to: 3 1/5 m na 1 7/8 m. 

Obliczamy ile wynosi pole tej płyty. 
`P=3 1/5 \ "m"*1 7/8 \ "m"=strike16^2/strike5^1 \ "m"*strike15^3/strike8^1 \ "m"=2 \ "m"*3 \ "m"=6 \ "m"^2` 

Pole prostokątnej płyty wynosi 6m2.

Poprawna odpowiedź to: D. 6m2

Narysuj kulę i zaznacz na niej kolorem największy okrąg i jego promień