Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Elementy algebry - 6-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Wyrażenia algebraiczne

Wyrażenia algebraiczne to wyrażenia składające się z liczb, liter, znaków działań i nawiasów.

Przykłady:

  • `x+5` 

  • `x^2-y^2` 

  • `2+a` 

  • `3x-5y` 

  • `y^2` 

  • `1/2ah` 

  • `-3/4` 


Uwaga!

Wyrażenie `3*x` możemy zapisać prościej jako `3x`.

Wyrażenie `3*(m+n)` możemy zapisać prościej jako `3(m+n)` .


Uwaga!!

Jeśli w danym wyrażeniu po kropce oznaczającej znak mnożenia występuje liczba NIE WOLNO pominąć kropki. 

Wyrażenia  `3+x*5`  nie można zapisać jako `strike(3+x5)` . 

Wyrażenia `(3m+n)*7` nie można zapisać jako  `strike((3m+n)7)` . 


Przykładowe wyrażenia algebraiczne i sposób ich odczytywania.      

Wyrażenie algebraiczne (zapis) Nazwa (sposób odczytywania)
`3+b`  suma liczb 3 i b
`a+b`  suma liczb a i b
`a-b`  różnica liczb a i b
`x*y`  iloczyn liczb x i y
`m:2`  iloraz liczby m i 2 (iloraz liczby m przez 2)
`2y`  podwojona liczba y,
liczba dwa razy większa od y,
iloczyn liczb 2 i y
`3b`  potrojona liczba b,
liczba trzy razy większa od b,
iloczyn liczb 3 i b
`1/2a`  połowa liczby a
`1/3x`  trzecia część liczby x
`x^2`  kwadrat liczby x
`y^3`  sześcian liczby y
`-2xy`  iloczyn liczb -2, x i y
`x-12`  różnica liczb x i 12, 
liczba o 12 mniejsza od x

 

Obliczanie wartości wyrażeń algebraicznych

Aby obliczyć wartość liczbową wyrażenia algebraicznego należy w miejsce liter (czyli nieznanych liczb) podstawić konkretne liczby (tzn. daną wartość liczbową), a następnie wykonać działania, pamiętając o kolejności wykonywania działań.

Przykład:

  • Obliczyć wartość liczbową wyrażenia $$3a+9-2b$$ dla $$a=2$$ i $$b=-3$$.

    $$3a+9-2b=3•2+9-2•(-3)=6+9+6=21$$

Jednomiany i sumy algebraiczne

  1. Jednomiany

    Jednomian to wyrażenie algebraiczne, które jest pojedynczą literą, liczbą lub iloczynem liczb i liter.

    Przykłady wyrażeń algebraicznych, będących jednomianami: 3a, 4b, 8ac, 5, a, xy, $$1/2•x$$, $$3b^2$$.

    Przykłady wyrażeń algebraicznych, nie będących jednomianami: 3a + 5b, a + b, $$3b^2 + 1$$


    Jednomian zapisujemy w postaci uporządkowanej, tzn. najpierw liczba (współczynnik liczbowy), potem litery w kolejności alfabetycznej. Taki jednomian jest bardziej czytelny.

    Przykład:
    $$x•(-3)•y•2=-6xy$$ ← -6 to współczynnik liczbowy


    Zapisując jednomiany przyjmujemy następujące zasady:

    • Znaku mnożenia stojącego przed literą lub nawiasem nie piszemy, np. zamiast 3•x piszemy 3x, zamiast 3•(m+n)piszemy 3(m+n),
    • Współczynnik 1 również jest pomijany, np. 1•x zapisujemy jako x.
     

    Jednomiany podobne (wyrazy podobne) to jednomiany różniące się co najwyżej współczynnikiem liczbowym.

    Przykłady jednomianów podobnych: $$3x^3$$, $$-5x^3$$, 4,$$5x^3$$

     

    Dodawanie i odejmowanie jednomianów podobnych

    Na podstawie rozdzielności mnożenia względem dodawania (odejmowania) możemy dodawać i odejmować jednomiany podobne, wykonując rachunki na ich współczynnikach liczbowych.

    Przykład: $$3x^2 + 5x^2 = 8x^2$$
     

  2. Suma algebraiczna

    Suma algebraiczna – wyrażenie, które jest sumą lub różnicą kilku jednomianów. Jednomiany występujące w tej sumie nazywamy wyrazami sumy algebraicznej.

    Przykład sumy algebraicznej: $$7a+8c−9+k$$.

Redukcja wyrazów podobnych

Jednomiany podobne to wyrazy sumy algebraicznej (sumy jednomianów) różniące się tylko współczynnikiem liczbowym.


Redukcja wyrazów podobnych
polega na dodaniu wyrazów podobnych.


Przykłady redukcji wyrazów podobnych:

  • `ul(2xy)+ul(ul(6z))-ul(10xy)+ul(ul(z))-k=-8xy+7z-k`  

    Jednomiany podobne to: 2xy i -10xy oraz 6z i z. 

  • `ul(8x)+ul(ul(2y))+ul(ul(ul(9x^2)))+7-ul(x)-ul(ul(3y))-ul(ul(ul(x^2)))=8x^2+7x-y+7` 

    Jednomiany podobne to: 9x2 i -x2, 8x i -x, 2y i -3y    

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Zapisz wyrażenia:

  1. suma liczby 2a i 9
  2. różnica b i a
  3. iloczyn x i y
  1. $$2a+9$$
  2. $$b-a$$
  3. $$x•y$$

Zadanie 2.

Wypisz wszystkie jednomiany, z których zbudowana jest suma $$3a^3+7-6b$$.

$$3a^3+7-6b$$ -> jednomiany: $$3a^3$$, $$7$$, $$-6b$$

Zadanie 3.

Zredukuj wyrazy podobne:

  1. $$ 2a-3a $$
  2. $$ 4bc-6x+7bc-10x $$
  1. $$ 2a-3a=-a $$
  2. $$ 4bc-6x+7bc-10x=11bc-16x $$

Zadanie 4.

Oblicz pole trójkąta prostokątnego, którego jedna z przyprostokątnych ma długość a cm, a druga jest o 3 cm krótsza.

$$a$$ -> jedna przyprostokątna

$$a-3$$ -> druga przyprostokątna

$$P=1/2•a•(a-3)={a^2-3a}/2 $$

Odp.: Pole tego trójkąta prostokątnego ma pole równe $${a^2-3a}/2$$ [$$j^2$$].

Zadanie 5.

Oblicz średnią arytmetyczną liczb $$3x+2$$; $$3x-1$$; $$3x+8$$.

$${3x+2+ 3x-1+ 3x+8}/3={9x+9}/3=3x+3$$

Odp.: Średnia arytmetyczna tych liczb jest równa $$3x+3$$.

Zadanie 6.

Uporządkuj jednomiany w wyrażeniu: $$2/5a • 2,5a •(-5)a$$.

$$2/5 a • 2,5a • (−5)a$$

W powyższym wyrażeniu współczynniki liczbowe są zapisane w formie ułamków zwykłych oraz dziesiętnych.
Zacznijmy od sprowadzenia ułamków do takiej samej postaci – zamienimy ułamek zwykły $$2/5$$ na ułamek dziesiętny:
$$2/5= 4/{10}= 0,4$$

Możemy zapisać:
$$2/5 a • 2,5a • (−5)a = 0,4a • 2,5a • (-5)a = - (0,4 • 2,5 •5)•(a•a•a)=-5•a^3=-5a^3$$

Odp.: Dane wyrażenie przyjmuje postać $$-5a^3$$.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Liczba 36 nie jest wynikiem działania

A.  `6*(-2)*(-3) =(-12)*(-3)=36`  

B.  `(-72) : (-2) = 36`

C.  `(-4)*3^2 = (-4)*9 = (-36)`  

D.  `(-21)-(-57)=-21+57=57-21=36`

Liczba 36 nie jest wynikiem działania (-4)٠32.


Poprawna odpowiedź: C. (-4)٠32

Podaj liczbę, która jest o 22 mniejsza od jej wartości bezwzględnej

Jeśli ta liczba ma być mniejsza od swojej wartości bezwzględnej to musi to być liczba ujemna (gdyby była dodatnia, to byłaby równa wartości bezwzględnej). 

Dla liczby ujemnej wartość bezwzględna to liczba przeciwna (czyli z minusem). 

Wiemy, że nasza liczba jest o 22 mniejsza od jej wartosci bezwzględnej, czyli jeśli od wartości bezwzględnej odejmiemy szukaną liczbę, to dostaniemy 22. 

Zapiszmy to: 

`|square|-square=22`

`-square-square=22`

`-2square=22\ \ \ \ |:(-2)`

`square=22:(-2)=-11`

 

Oblicz.

a) 

`(-1) + (-3) + (-8) = -(1+3+8) = -12`

`(-23) + (-17) + (-23) = -(23 + 17 + 23) = -(40 + 23) = -63``(-31)+(-47)+(-19)=-(31+47+19)=-97` 

 

b) 

`(-6) + (-7) + 5 = -(6 + 7) + 5 = (-13) + 5 =-13+5 = - 8` 

`(-56) + (-31) + 26 = -(56 + 31) + 26 = (-87) + 26 = -87+26 = -61`

`38 +(-18) + (-32) = 38 +[-(18+32)]=38+(-50)=38-50=-12`

 

c) 

`(-8) + 4 + (-7) + 14 = -(8 + 7) + 4 + 14 = (-15) + 18 = 18 - 15 = 3`

`(-11) + 7 + (-29) + 23 = -(11 + 29) + 7 + 23 = (-40) + 30 = -10`

`23 + (-36) + 19 + (-15) = 23 + 19 +[-(36 + 15)] = 42 + (-51) = -9`

Na podstawie klimatogramu Zakopanego...

Korzystając z tabeli sprawdzamy wartość opadów dla lutego. Wynosi ona 42 mm. Sprawdzamy, czy w którymś miesiącu opady były mniejsze niż w lutym - nie. Oznacza to, że opady w lutym były najmniejsze.

Następnie, korzystając z klimatogramu sprawdzamy, czy temperatura w lipcu była najwyższa - sprawdzamy, czy dla miesiąca oznaczonego jako VII punkt oznaczający temperaturę na wykresie liniowym (czerwonym) znajduje się najwyżej - tak. Oznacza to, że w lipcu było najcieplej.

 

Następnie, korzystając z klimatogramu sprawdzamy, czy temperatura w styczniu była najniższa - sprawdzamy, czy dla miesiąca oznaczonego jako I punkt oznaczający temperaturę na wykresie liniowym (czerwonym) znajduje się najniżej - tak. Oznacza to, że w styczniu było najzimniej.

Aby sprawdzić, czy rzeczywiście najmniej opadów jest w miesiącach najzimniejszych na początku odszukujemy na wykresie liniowym najzimniejsze miesiące - są to miesiące I, II, III oraz XII. Następnie porównujemy słupki oznaczające opady dla tych miesięcy, ze słupkami przedstawiającymi opady dla pozostałych miesięcy. Z wykresu widać, że rzeczywiście, w najzimniejszych miesiącach padało najmniej. 

Mama Antka kupiła...

`1 3/4 \ "kg"-0,6 \ "kg"=1,75 \ "kg"-0,6 \ "kg"=1,15 \ "kg"` 

Odp. Do zamrażarki trafiło `1,15 \ "kg"` jagód.  

Długość stopy Jacka wynosi 24 cm

a.

Obliczam, jaką drogę pokonał Jacek w ciągu 12 sekund:

`24*25=600cm`

Obliczam, z jaką prędkością poruszał się Jacek:{premium}

`600cm:12s= 50 (cm)/s = 0,5 m/s`

Jacek poruszał się z prędkością:  

`50 (cm)/s = 0,5 m/s` 

 

b.

Moja stopa ma długość 22cm

Obliczam jaką drogę pokonam przechodząc 25 tip-topów

22 ∙ 25=550cm

Obliczam z jaką prędkością pokonam dystans 600cm w ciągu 12s:

`{550cm}/{12s}=45,8 {cm}/s`  

Odpowiedź:

Moja prędkość to 45,8 cm/s

Narysuj na kratkach romb o przekątnych...

Najlepiej zacząć od narysowania przekątnych pod kątem prostym, które przecinają się w połowie.

Następnie łączymy końce przekątnych i otrzymujemy romb.

 

Przykładowe rysunki:

Na diagramach przedstawiono dane dotyczące...

a) Najwięcej jaj przeciętna kura znosiłą w 2014 roku (232 jajka)

b) Przeciętny mieszkaniec Polski zjadł najwięcej jaj w 2005 roku (2015 jaj)

c) Aby ustalić, w którym roku przeciętna kura "nie zaspokoiła" musimy porównać dane z obu diagramów i wybrać lata, w których produkcja jaj była mniejsza niż ich spożycie. Sytuacja taka miała miejsce w roku 2005 (wyprodukowano jaj 208 a spożywano 215)

Dokończ rysunek do zadania, a następnie

`"k - masa kota "` 

`"p - masa psa"` 

`p=79+k` 

`k+p=91` 

`k+79+k=91 " równanie "`

`k+79+k=91 \ \ |-79`

`2k=12\ \ |:2`

`k=6 kg`

`p=79+6=85 kg`

Pod każdym z graniastosłupów narysowano jego podstawę. Oblicz objętości tych graniastosłupów...




Objętość graniastosłupa obliczamy korzystając z wzoru:{premium}

V=Pp h      (Pp- oznacza pole podstawy graniastosłupa, a h- wysokość tego graniastosłupa)


  Pp=
1/2 7=2 7=14 [cm2]                                                     

   h=6 [cm]                                                                                                               

  V=14 6=84 [cm3]                                                                               



Pp=610=60[dm2]     

h=10 [dm] 

V=60 10=600 [dm3

 

Pp=7 7 +1/2 7 7=49+49/2=49+24 1/2=73 1/2 [cm2

h=15 [cm]

V= 73 1/2 15=147/2 15=2205/2=1102 1/2   [cm3]

* podstawę 3 graniastosłupa najlepiej podzielić na kwadrat 7 cm x 7 cm i trójkąt o podstawie 7cm i wysokości 7 cm.