Elementy algebry - 6-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Elementy algebry - 6-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Wyrażenia algebraiczne

Wyrażenia algebraiczne to wyrażenia składające się z liczb, liter, znaków działań i nawiasów.

Przykłady:

  • `x+5` 

  • `x^2-y^2` 

  • `2+a` 

  • `3x-5y` 

  • `y^2` 

  • `1/2ah` 

  • `-3/4` 


Uwaga!

Wyrażenie `3*x` możemy zapisać prościej jako `3x`.

Wyrażenie `3*(m+n)` możemy zapisać prościej jako `3(m+n)` .


Uwaga!!

Jeśli w danym wyrażeniu po kropce oznaczającej znak mnożenia występuje liczba NIE WOLNO pominąć kropki. 

Wyrażenia  `3+x*5`  nie można zapisać jako `strike(3+x5)` . 

Wyrażenia `(3m+n)*7` nie można zapisać jako  `strike((3m+n)7)` . 


Przykładowe wyrażenia algebraiczne i sposób ich odczytywania.      

Wyrażenie algebraiczne (zapis) Nazwa (sposób odczytywania)
`3+b`  suma liczb 3 i b
`a+b`  suma liczb a i b
`a-b`  różnica liczb a i b
`x*y`  iloczyn liczb x i y
`m:2`  iloraz liczby m i 2 (iloraz liczby m przez 2)
`2y`  podwojona liczba y,
liczba dwa razy większa od y,
iloczyn liczb 2 i y
`3b`  potrojona liczba b,
liczba trzy razy większa od b,
iloczyn liczb 3 i b
`1/2a`  połowa liczby a
`1/3x`  trzecia część liczby x
`x^2`  kwadrat liczby x
`y^3`  sześcian liczby y
`-2xy`  iloczyn liczb -2, x i y
`x-12`  różnica liczb x i 12, 
liczba o 12 mniejsza od x

 

Obliczanie wartości wyrażeń algebraicznych

Aby obliczyć wartość liczbową wyrażenia algebraicznego należy w miejsce liter (czyli nieznanych liczb) podstawić konkretne liczby (tzn. daną wartość liczbową), a następnie wykonać działania, pamiętając o kolejności wykonywania działań.

Przykład:

  • Obliczyć wartość liczbową wyrażenia $3a+9-2b$ dla $a=2$ i $b=-3$.

    $3a+9-2b=3•2+9-2•(-3)=6+9+6=21$

Jednomiany i sumy algebraiczne

  1. Jednomiany

    Jednomian to wyrażenie algebraiczne, które jest pojedynczą literą, liczbą lub iloczynem liczb i liter.

    Przykłady wyrażeń algebraicznych, będących jednomianami: 3a, 4b, 8ac, 5, a, xy, $1/2•x$, $3b^2$.

    Przykłady wyrażeń algebraicznych, nie będących jednomianami: 3a + 5b, a + b, $3b^2 + 1$


    Jednomian zapisujemy w postaci uporządkowanej, tzn. najpierw liczba (współczynnik liczbowy), potem litery w kolejności alfabetycznej. Taki jednomian jest bardziej czytelny.

    Przykład:
    $x•(-3)•y•2=-6xy$ ← -6 to współczynnik liczbowy


    Zapisując jednomiany przyjmujemy następujące zasady:

    • Znaku mnożenia stojącego przed literą lub nawiasem nie piszemy, np. zamiast 3•x piszemy 3x, zamiast 3•(m+n)piszemy 3(m+n),
    • Współczynnik 1 również jest pomijany, np. 1•x zapisujemy jako x.
     

    Jednomiany podobne (wyrazy podobne) to jednomiany różniące się co najwyżej współczynnikiem liczbowym.

    Przykłady jednomianów podobnych: $3x^3$, $-5x^3$, 4,$5x^3$

     

    Dodawanie i odejmowanie jednomianów podobnych

    Na podstawie rozdzielności mnożenia względem dodawania (odejmowania) możemy dodawać i odejmować jednomiany podobne, wykonując rachunki na ich współczynnikach liczbowych.

    Przykład: $3x^2 + 5x^2 = 8x^2$
     

  2. Suma algebraiczna

    Suma algebraiczna – wyrażenie, które jest sumą lub różnicą kilku jednomianów. Jednomiany występujące w tej sumie nazywamy wyrazami sumy algebraicznej.

    Przykład sumy algebraicznej: $7a+8c−9+k$.

Redukcja wyrazów podobnych

Jednomiany podobne to wyrazy sumy algebraicznej (sumy jednomianów) różniące się tylko współczynnikiem liczbowym.


Redukcja wyrazów podobnych
polega na dodaniu wyrazów podobnych.


Przykłady redukcji wyrazów podobnych:

  • `ul(2xy)+ul(ul(6z))-ul(10xy)+ul(ul(z))-k=-8xy+7z-k`  

    Jednomiany podobne to: 2xy i -10xy oraz 6z i z. 

  • `ul(8x)+ul(ul(2y))+ul(ul(ul(9x^2)))+7-ul(x)-ul(ul(3y))-ul(ul(ul(x^2)))=8x^2+7x-y+7` 

    Jednomiany podobne to: 9x2 i -x2, 8x i -x, 2y i -3y    

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Zapisz wyrażenia:

  1. suma liczby 2a i 9
  2. różnica b i a
  3. iloczyn x i y
  1. $2a+9$
  2. $b-a$
  3. $x•y$

Zadanie 2.

Wypisz wszystkie jednomiany, z których zbudowana jest suma $3a^3+7-6b$.

$3a^3+7-6b$ -> jednomiany: $3a^3$, $7$, $-6b$

Zadanie 3.

Zredukuj wyrazy podobne:

  1. $ 2a-3a $
  2. $ 4bc-6x+7bc-10x $
  1. $ 2a-3a=-a $
  2. $ 4bc-6x+7bc-10x=11bc-16x $

Zadanie 4.

Oblicz pole trójkąta prostokątnego, którego jedna z przyprostokątnych ma długość a cm, a druga jest o 3 cm krótsza.

$a$ -> jedna przyprostokątna

$a-3$ -> druga przyprostokątna

$P=1/2•a•(a-3)={a^2-3a}/2 $

Odp.: Pole tego trójkąta prostokątnego ma pole równe ${a^2-3a}/2$ [$j^2$].

Zadanie 5.

Oblicz średnią arytmetyczną liczb $3x+2$; $3x-1$; $3x+8$.

${3x+2+ 3x-1+ 3x+8}/3={9x+9}/3=3x+3$

Odp.: Średnia arytmetyczna tych liczb jest równa $3x+3$.

Zadanie 6.

Uporządkuj jednomiany w wyrażeniu: $2/5a • 2,5a •(-5)a$.

$2/5 a • 2,5a • (−5)a$

W powyższym wyrażeniu współczynniki liczbowe są zapisane w formie ułamków zwykłych oraz dziesiętnych.
Zacznijmy od sprowadzenia ułamków do takiej samej postaci – zamienimy ułamek zwykły $2/5$ na ułamek dziesiętny:
$2/5= 4/{10}= 0,4$

Możemy zapisać:
$2/5 a • 2,5a • (−5)a = 0,4a • 2,5a • (-5)a = - (0,4 • 2,5 •5)•(a•a•a)=-5•a^3=-5a^3$

Odp.: Dane wyrażenie przyjmuje postać $-5a^3$.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Popatrz na rysunek obok. Jaką miarę ma kąt zaznaczony...

Kąty wierzchołkowe, naprzemianległe i odpowiadające mają równe miary.

Suma miar kątów przyległych wynosi 180o

 

Kąt zaznaczony na niebiesko oraz kąt o mierze 60o to kąty naprzemianległe. Mają one równe miary. {premium}

Kąt oznaczony kolorem niebieskim ma miarę 60o


Kąt   oraz kąt oznaczony kolorem niebieskim to kąty przyległe. Suma ich miar wynosi 180o

Obliczamy ile wynosi miara kąta  . 

 


Na poniższym rysunku możemy zobaczyć, że kąt przyległy do kąta   na taką samą miarę jak kąt  , gdyż są to kąty odpowiadające. 

Miara kąta   wynosi więc: 

 


Z poniższego rysunku możemy także odczytać, że kąt o mierze 120o (kąt przyległy do kąta  ) oraz kąt   to kąty naprzemianległe. 

Mają one równe miary. 

 

 

Na rysunku podano w centymetrach...

Na rysunku podane są wymiary zewnętrzne skrzynki. My mamy obliczyć ile ziemi należy dać do skrzynki - musimy więc obliczyć pojemność (objętość wewnątrz) skrzynki. Pamiętając o tym, że deski, z których zbudowana jest skrzynka mają grubość 15 mm (1,5 cm) obliczmy wymiary wewnątrz skrzynki. W tym celu wykonajmy rysunek pomocniczny:

{premium}

Jeżeli długość skrzynki, mierzona na zewnątrz, wynosi 120 cm, to wymiar ten wewnątrz skrzynki będzie mniejszy o 3 cm (grubość dwóch desek stanowiących boki skrzynki). To samo będzie się tyczyło szerokości skrzynki - jeżeli po zewnętrznej stronie wynosi ona 100 cm, to wymiar ten wewnątrz skrzynki również będzie mniejszy o 3 cm. Wysokość skrzynki wynosi 24 cm. Musimy pamiętać, że dno skrzynki również zbudowane jest z deski o grubości 1,5 cm - czyli wewnątrz skrzynka będzie niższa właśnie o 1,5 cm. 

Wymiary wewnętrzne skrzynki będą więc równe:

117 cm x 97 cm x 22,5 cm

Znając te wymiary możemy obliczyć pojemność skrzynki:

Pojemność skrzynki, przybliżona do tysiąca cm3 wynosi 255000 cm3

Do wypełnienia skrzynki potrzeba więc 255000 cm3 ziemi

Napisz przykład...

Mnożenie jest przemienne, więc jako przykład możemy wziąć dwie dowolne liczby, na przykład 4 oraz 7.

 

 

 

{premium}

Chcemy zapisać tę własność z wykorzystaniem wyrażeń algebraicznych. W takim razie za jeden czynnik mnożenia weźmy sobie x, a za drugi y. Wtedy będziemy mieć:

  

Oblicz pole strzałki na dwa sposoby ...

a)

Sposób 1: suma pól wielokątów


Pole jednego równoległoboku jest równe:

 


Mamy więc:

 

 

Sposób 2: różnica pól wielokątów {premium}


Pole prostokąta o wymiarach  jest równe:

 


Pole jednego trójkąta jest równe:

 


Mamy więc:

 


b)

Sposób 1: suma pól wielokątów


Pole trójkąta jest równe:

 


Pole prostokąta jest równe:

 


Mamy więc:

 

 

Sposób 2: różnica pól wielokątów



Pole prostokąta o wymiarach  jest równe:

 

Pole jednego trójkąta jest równe:

 


Pole jednego prostokąta jest równe:

 


Mamy więc:

 


c)

Sposób 1: suma pól wielokątów


Pole prostokąta jest równe:

 

Pole kwadratu jest równe:

 

Pole trójkąta jest równe:

 


Mamy więc:

 

 

Sposób 2: różnica pól wielokątów


Pole prostokąta o wymiarach  jest równe:

 


Pole jednego prostokąta jest równe:

 

Pole jednego trójkąta jest równe:

 


Mamy więc:

 


d)

Sposób 1: suma pól wielokątów


Pole większego trójkąta jest równe:

 

Pole jednego mniejszego trójkąta jest równe:

 


Pole kwadratu o boku długości 2 jest równe:

 


Mamy więc:

 

 

Sposób 2: różnica pól wielokątów


Pole trójkąta o podstawie długości 8 i wysokości 4 jest równe:

 


Pole jednego trójkąta jest równe:

 


Mamy więc:

 

Znajdź liczbę, która ma dokładnie 4 dzielniki...

Jednym z dzielników jest 25. Dzielnikami{premium} liczby 251 i 5, więc trzy spośród czterech dzielników to: 1, 5, 25. Najmniejsza liczba podzielna przez 1, 5, 25 to 1٠5٠25=125


Sprawdzamy, że suma dzielników jest równa 156 (czwartym dzielnikiem jest oczywiście 125):

 


Odp. Szukana liczba to 125.

Wpisz takie znaki działań, żeby ...

Należy tak wstawić znaki działań dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia aby otrzymać podane wyniki. 


 
{premium}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Prostokąt podzielono na 6 ...

Boku kwadratu, którego pole jest równe 16 ma długość 4, a bok kwadratu, którego pole jest równe 25 ma długość 5.

Uzupełniamy długości boków poszczególnych kwadratów.{premium}

Obliczamy obwód prostokąta.

 

Poniższe zdania dotyczą...

Prawidłowa odpowiedź to A, ponieważ{premium} gdyby kąty ostre miały miary po 45°, to trójkąt byłby równoramienny.

Dane są liczby..

a) Sprawdzamy, czy liczba 80 spełnia równanie:

 

 

 

Liczba 80 nie spełnia równania.


Sprawdzamy, czy liczba -139 spełnia równanie:

 

 

 

Liczba -139 nie spełnia równania.


Sprawdzamy, czy liczba -105 spełnia równanie:

 

 

 

Liczba -105 nie spełnia równania.


Sprawdzamy, czy liczba -16 spełnia równanie:

{premium}  

 

 

Liczba -16 spełnia równanie.



b) Sprawdzamy, czy liczba 80 spełnia równanie:

 

 

 

Liczba 80 spełnia równanie.


Sprawdzamy, czy liczba -139 spełnia równanie:

 

 

 

Liczba -139 nie spełnia równania.


Sprawdzamy, czy liczba -105 spełnia równanie:

 

 

 

Liczba -105 nie spełnia równania.


Sprawdzamy, czy liczba -16 spełnia równanie:

 

 

 

Liczba -16 nie spełnia równania.



c) Sprawdzamy, czy liczba 80 spełnia równanie:

 

 

 

Liczba 80 nie spełnia równania.


Sprawdzamy, czy liczba -139 spełnia równanie:

 

 

 

Liczba -139 spełnia równanie.


Sprawdzamy, czy liczba -105 spełnia równanie:

 

 

 

Liczba -105 nie spełnia równania.


Sprawdzamy, czy liczba -16 spełnia równanie:

 

 

 

Liczba -16 nie spełnia równania.



d) Sprawdzamy, czy liczba 80 spełnia równanie:

 

 

 

Liczba 80 nie spełnia równania.


Sprawdzamy, czy liczba -139 spełnia równanie:

 

 

 

Liczba -139 nie spełnia równania.


Sprawdzamy, czy liczba -105 spełnia równanie:

 

 

 

Liczba -105 spełnia równanie.


Sprawdzamy, czy liczba -16 spełnia równanie:

 

 

 

Liczba -16 nie spełnia równania.

Popatrz na dom, w którym mieszkasz...

Bb