Elementy algebry - 6-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Elementy algebry - 6-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Wyrażenia algebraiczne

Wyrażenia algebraiczne to wyrażenia składające się z liczb, liter, znaków działań i nawiasów.

Przykłady:

  • `x+5` 

  • `x^2-y^2` 

  • `2+a` 

  • `3x-5y` 

  • `y^2` 

  • `1/2ah` 

  • `-3/4` 


Uwaga!

Wyrażenie `3*x` możemy zapisać prościej jako `3x`.

Wyrażenie `3*(m+n)` możemy zapisać prościej jako `3(m+n)` .


Uwaga!!

Jeśli w danym wyrażeniu po kropce oznaczającej znak mnożenia występuje liczba NIE WOLNO pominąć kropki. 

Wyrażenia  `3+x*5`  nie można zapisać jako `strike(3+x5)` . 

Wyrażenia `(3m+n)*7` nie można zapisać jako  `strike((3m+n)7)` . 


Przykładowe wyrażenia algebraiczne i sposób ich odczytywania.      

Wyrażenie algebraiczne (zapis) Nazwa (sposób odczytywania)
`3+b`  suma liczb 3 i b
`a+b`  suma liczb a i b
`a-b`  różnica liczb a i b
`x*y`  iloczyn liczb x i y
`m:2`  iloraz liczby m i 2 (iloraz liczby m przez 2)
`2y`  podwojona liczba y,
liczba dwa razy większa od y,
iloczyn liczb 2 i y
`3b`  potrojona liczba b,
liczba trzy razy większa od b,
iloczyn liczb 3 i b
`1/2a`  połowa liczby a
`1/3x`  trzecia część liczby x
`x^2`  kwadrat liczby x
`y^3`  sześcian liczby y
`-2xy`  iloczyn liczb -2, x i y
`x-12`  różnica liczb x i 12, 
liczba o 12 mniejsza od x

 

Obliczanie wartości wyrażeń algebraicznych

Aby obliczyć wartość liczbową wyrażenia algebraicznego należy w miejsce liter (czyli nieznanych liczb) podstawić konkretne liczby (tzn. daną wartość liczbową), a następnie wykonać działania, pamiętając o kolejności wykonywania działań.

Przykład:

  • Obliczyć wartość liczbową wyrażenia $3a+9-2b$ dla $a=2$ i $b=-3$.

    $3a+9-2b=3•2+9-2•(-3)=6+9+6=21$

Jednomiany i sumy algebraiczne

  1. Jednomiany

    Jednomian to wyrażenie algebraiczne, które jest pojedynczą literą, liczbą lub iloczynem liczb i liter.

    Przykłady wyrażeń algebraicznych, będących jednomianami: 3a, 4b, 8ac, 5, a, xy, $1/2•x$, $3b^2$.

    Przykłady wyrażeń algebraicznych, nie będących jednomianami: 3a + 5b, a + b, $3b^2 + 1$


    Jednomian zapisujemy w postaci uporządkowanej, tzn. najpierw liczba (współczynnik liczbowy), potem litery w kolejności alfabetycznej. Taki jednomian jest bardziej czytelny.

    Przykład:
    $x•(-3)•y•2=-6xy$ ← -6 to współczynnik liczbowy


    Zapisując jednomiany przyjmujemy następujące zasady:

    • Znaku mnożenia stojącego przed literą lub nawiasem nie piszemy, np. zamiast 3•x piszemy 3x, zamiast 3•(m+n)piszemy 3(m+n),
    • Współczynnik 1 również jest pomijany, np. 1•x zapisujemy jako x.
     

    Jednomiany podobne (wyrazy podobne) to jednomiany różniące się co najwyżej współczynnikiem liczbowym.

    Przykłady jednomianów podobnych: $3x^3$, $-5x^3$, 4,$5x^3$

     

    Dodawanie i odejmowanie jednomianów podobnych

    Na podstawie rozdzielności mnożenia względem dodawania (odejmowania) możemy dodawać i odejmować jednomiany podobne, wykonując rachunki na ich współczynnikach liczbowych.

    Przykład: $3x^2 + 5x^2 = 8x^2$
     

  2. Suma algebraiczna

    Suma algebraiczna – wyrażenie, które jest sumą lub różnicą kilku jednomianów. Jednomiany występujące w tej sumie nazywamy wyrazami sumy algebraicznej.

    Przykład sumy algebraicznej: $7a+8c−9+k$.

Redukcja wyrazów podobnych

Jednomiany podobne to wyrazy sumy algebraicznej (sumy jednomianów) różniące się tylko współczynnikiem liczbowym.


Redukcja wyrazów podobnych
polega na dodaniu wyrazów podobnych.


Przykłady redukcji wyrazów podobnych:

  • `ul(2xy)+ul(ul(6z))-ul(10xy)+ul(ul(z))-k=-8xy+7z-k`  

    Jednomiany podobne to: 2xy i -10xy oraz 6z i z. 

  • `ul(8x)+ul(ul(2y))+ul(ul(ul(9x^2)))+7-ul(x)-ul(ul(3y))-ul(ul(ul(x^2)))=8x^2+7x-y+7` 

    Jednomiany podobne to: 9x2 i -x2, 8x i -x, 2y i -3y    

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Zapisz wyrażenia:

  1. suma liczby 2a i 9
  2. różnica b i a
  3. iloczyn x i y
  1. $2a+9$
  2. $b-a$
  3. $x•y$

Zadanie 2.

Wypisz wszystkie jednomiany, z których zbudowana jest suma $3a^3+7-6b$.

$3a^3+7-6b$ -> jednomiany: $3a^3$, $7$, $-6b$

Zadanie 3.

Zredukuj wyrazy podobne:

  1. $ 2a-3a $
  2. $ 4bc-6x+7bc-10x $
  1. $ 2a-3a=-a $
  2. $ 4bc-6x+7bc-10x=11bc-16x $

Zadanie 4.

Oblicz pole trójkąta prostokątnego, którego jedna z przyprostokątnych ma długość a cm, a druga jest o 3 cm krótsza.

$a$ -> jedna przyprostokątna

$a-3$ -> druga przyprostokątna

$P=1/2•a•(a-3)={a^2-3a}/2 $

Odp.: Pole tego trójkąta prostokątnego ma pole równe ${a^2-3a}/2$ [$j^2$].

Zadanie 5.

Oblicz średnią arytmetyczną liczb $3x+2$; $3x-1$; $3x+8$.

${3x+2+ 3x-1+ 3x+8}/3={9x+9}/3=3x+3$

Odp.: Średnia arytmetyczna tych liczb jest równa $3x+3$.

Zadanie 6.

Uporządkuj jednomiany w wyrażeniu: $2/5a • 2,5a •(-5)a$.

$2/5 a • 2,5a • (−5)a$

W powyższym wyrażeniu współczynniki liczbowe są zapisane w formie ułamków zwykłych oraz dziesiętnych.
Zacznijmy od sprowadzenia ułamków do takiej samej postaci – zamienimy ułamek zwykły $2/5$ na ułamek dziesiętny:
$2/5= 4/{10}= 0,4$

Możemy zapisać:
$2/5 a • 2,5a • (−5)a = 0,4a • 2,5a • (-5)a = - (0,4 • 2,5 •5)•(a•a•a)=-5•a^3=-5a^3$

Odp.: Dane wyrażenie przyjmuje postać $-5a^3$.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Sosnowa szyszka kształtem przypomina...

Słowo "cone" po angielsku oznacza szyszkę oraz {premium} stożek.

Które zdania właściwie opisują...

Obliczamy łączny wynik Stefana po czterech grach:{premium}

 

Obliczamy łączny wynik Tadeusza po czterech grach:

 


Prawidłowe odpowiedzi to B oraz D.

Wypisz liczby naturalne, których zaokrąglenie ...

Liczby naturalne, których zaokrąglenie do dziesiątek wynosi 330 to: {premium}

   

Pinezki są sprzedawane w kartonowych ...

x - liczba pinezek w plastikowym opakowaniu 

x+30 - liczba pinezek w kartonowym opakowaniu [bo jest ich o 30 więcej niż w plastikowym] {premium}


Łączna liczba pinezek w 1 opakowaniu kartonowym i 10 opakowaniach plastikowych to: 

 

Przerysuj figurę tak, aby niebieski...

a)

 

 

b)

{premium}

Którą liczbę z ramki można wpisać w miejscu ...

3x - 4 = ? 

Chcemy, aby rozwiązaniem równania była liczba 5, czyli {premium}x = 5. 

Obliczamy ile wynosi wartość powyższego wyrażenia dla podanej wartości x. 

 

Wartość wyrażenia wynosi 11. 

Oznacza to, że w miejsce pytajnika należy wpisać liczbę 11. 

Kasia posadziła kwiatki na kwadratowej ...

Rabata ma kształt kwadratu o boku długości 8 m. 

Obliczamy ile wynosi pole powierzchni rabaty. {premium}

 


Obliczamy ile wynosi łączna powierzchnia 4 trójkątów prostokątnych równoramiennych, czyli rogów rabaty wyłożonych kamieniami rzecznymi. 

 


Obliczamy ile wynosi powierzchnia zajmowana przez kwiaty. 

 


Odpowiedź: Kwiaty zajmują powierzchnię wynoszącą 62 m2

Klient wpłacił 25% zaliczki ...

a) 25% kosztu wczasów to 435 zł. 

100% to 4 razy więcej niż 25%, więc 100% kosztów to 4 razy więcej niż 435 zł. {premium}

 


b)
Obliczamy ile pieniędzy musi dopłacić jeszcze klient. 

 


Odpowiedź: Wczasy kosztują 1740 zł, więc klient musi dopłacić 1305 zł. 

Poniżej przedstawiono wykresy notowań giełdowych ...

a) 15 V cena akcji wynosiła 12 zł. 22 V cena akcji wynosiła 6 zł. 

 

Cena akcji Bimpexu spadła o{premium} 6 zł. 


b)



c) BIMPEX 

Data zakupu: 22 V 

Data sprzedaży: 12 VI

Zysk: 16 zł - 6 zł = 10 zł 


BUMPOL 

Data zakupu: 15 V 

Data sprzedaży: 5 VI

Zysk: 18 zł - 4 zł = 14 zł 


d)
Cena akcji Bumpolu 15 V wynosiła 4 zł. 

Cena akcji Bimpexu 15 V wynosiła 12 zł.  

 

Akcje Bumpolu były tańsze o 8 zł. 

 

e) Akcje Bumpolu były droższe od akcji Bimpexu w dniach: 8 V, 22 V, 29 V, 5 VI

Uzasadnij, że ułamek ...

Zauważmy, że: 

  


Mamy więc: {premium}

 

Uzasadnienie:

10 - 1 = 9

100 - 1 = 99 

1000 -1 = 999, itd. 

Zauważmy, że odejmując 1 od 10, 100, 1000 itd. liczba cyfr zmiesza się o 1 oraz otrzymujemy liczbę złożoną z samych cyfr 9. 

9 : 3 = 3 

99 : 3 = 33 

999 : 3 = 333, itd. 


Otrzymujemy liczbę równą 3 333 333 333, czyli liczbę naturalną.