Bryły - 6-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Bryły - 6-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Graniastosłup prosty

Graniastosłup prosty to graniastosłup, którego ściany boczne są prostopadłe do dwóch identycznych podstaw.

Podstawy graniastosłupa prostego to przystające wielokąty. Są do siebie równoległe. 

Każda ściana boczna graniastosłupa prostego jest prostokątem.

Krawędzie boczne graniastosłupa prostego mają jednakową długość.

Z dowolnego wierzchołka graniastosłupa prostego wychodzą trzy krawędzie. Jedna z nich jest krawędzią boczną, a pozostałe krawędziami podstawy.

Krawędź boczna jest prostopadła do każdej krawędzi podstawy.


Przykłady:

  • Prostopadłościan

  • Sześcian

  • Graniastosłup trójkątny (podstawą jest trójkąt)

  • Graniastosłup pięciokątny (podstawą jest pięciokąt), itd.


Wysokość graniastosłupa – to odcinek łączący podstawy graniastosłupa i prostopadły do każdej z nich.

W przypadku graniastosłupa prostego wysokością jest krawędź boczna.

Wysokość graniastosłupa oznaczamy literą H.

Pola powierzchni graniastosłupów prostych

Pole powierzchni całkowitej dowolnego graniastosłupa jest sumą pól dwóch jego podstaw i pola powierzchni bocznej.
Pole powierzchni bocznej to suma pól wszystkich ścian bocznych.

$P_c = 2P_p + P_b$

$P_c$ → pole powierzchni całkowitej
$P_p$ → pole podstawy
$P_b$ → pole powierzchni bocznej

Pole powierzchni prostopadłościanu możemy policzyć ze wzoru:
$P_c = 2 (a•b+ a•c+ b•c)$

Pole powierzchni sześcianu możemy policzyć ze wzoru:
$P_c = 6a^2$

 

Objętość graniastosłupa

Objętość graniastosłupa to iloczyn pola podstawy i wysokości tego graniastosłupa. 

`V=P_p*H` 

`V \ \ \ ->`   objętość graniastosłupa 

`P_p \ \ \ ->`   pole podstawy 

`H \ \ \ ->`    długość wysokości graniastosłupa    


Z powyższego wzoru możemy wyprowadzić wzór na objętość prostopadłościanu oraz sześcianu.

Prostopadłościan: 

`V=P_p*H` 

`P_p=a*b=ab` 

`H=c` 

Zatem: 

`V=ab*c=abc`     


Sześcian: 

`V=P_p*H`  

`P_p=a*a=a^2` 

`H=a` 

Zatem: 

`V=a^2*a=a^3`   

 

Ostrosłup

Ostrosłup to bryła (figura przestrzenna), której:

  • podstawą jest dowolny wielokąt; 
     

Ściany boczne są trójkątami o wspólnym wierzchołku, który nosi nazwę wierzchołka ostrosłupa. 


 

Ostrosłup, tak jak graniastosłup, przyjmuje swoją nazwę od wielokąta, który jest jego podstawą.

Wysokość ostrosłupa (H) to odcinek łączący wierzchołek ostrosłupa z płaszczyzną podstawy i do niej prostopadły. 

Punkt wspólny wysokości i płaszczyzny podstawy to spodek wysokości


Ostrosłup prawidłowy
to taki ostrosłup, którego podstawą jest wielokąt foremny, a krawędzie boczne mają jednakową długość.

Ściany boczne ostrosłupa prawidłowego są przystającymi trójkątami równoramiennymi.


Ostrosłup trójkątny nazywamy czworościanem

Ostrosłup, którego wszystkie ściany są trójkątami równobocznymi nazywamy czworościanem foremnym.

prawidlowy

Ciekawostka

Piramida Cheopsa jest największym na świecie ostrosłupem prawidłowym czworokątnym. Ma 146 m wysokości, a krawędź jej podstawy ma długość 230 m. Na zbudowanie tej piramidy zużyto 2 300 000 bloków granitowych o ciężarze od 2,5 t do 15 t. Gdyby z tego materiału zbudować mur o wysokości 3 m i grubości 25 cm to opasałby on całą Polskę.

Pole powierzchni ostrosłupa

Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa jest sumą pola jego podstawy i pola powierzchni bocznej.

Pole powierzchni bocznej ostrosłupa to suma pól ścian bocznych.

 

`P_c=P_p+P_b` 

`P_c \ \ ->`   pole powierzchni całkowitej 

`P_p \ \ ->`   pole podstawy 

`P_b \ \ ->`   pole powierzchni bocznej 

Objętość ostrosłupa

Wzór na objętość ostrosłupa:
$V = 1/3 P_p H$

V → objętość ostrosłupa
$P_p$ → pole podstawy
H → wysokość
 

Walec, stożek, kula

  1. Walec

    Walec powstaje w wyniku obrotu prostokąta dookoła prostej zwanej osią obrotu.

      Zobacz w programie GeoGebra

    Walec
  2. Stożek

    Stożek powstaje w wyniku obrotu trójkąta wokół osi obrotu, stanowiącej jego wysokość.

      Zobacz w programie GeoGebra

    Stożek
  3. Kula

    Kula powstaje w wyniku obrotu półkola dookoła prostej zawierającej średnicę tego półkola. Pole powierzchni kuli nazywane jest sferą.

      Zobacz w programie GeoGebra
    Kula
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Napisz, jak nazywamy graniastosłup, który w podstawie ma:

  1. trójkąt równoboczny
  2. kwadrat
  3. pięciokąt
  1. graniastosłup prawidłowy trójkątny
  2. graniastosłup prawidłowy czworokątny
  3. graniastosłup pięciokątny

Zadanie 2.

Suma długości krawędzi graniastosłupa prawidłowego czworokątnego wynosi 108 cm. Wszystkie jego krawędzie mają równe długości. Podaj inną nazwę tego graniastosłupa i oblicz długość jednej krawędzi.

wszystkie krawędzie równej długości, w podstawie kwadraty -> jest to sześcian

12 -> ilość wszystkich krawędzi

x -> długość jednej krawędzi

$ 12x=108 cm $ | $÷12$

$ x=9 cm $

Odp.: Inna nazwa tego graniastosłupa to sześcian. Długość jednej krawędzi wynosi 9 cm.

Zadanie 3.

Oblicz pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy $a=5 cm$ i wysokości $H=8 cm$.

2 podstawy -> $P_p=2×a^2$ -> $P_p=2×25=50 cm^2$

4 ściany boczne -> $P_b=4×a×H=4×40=160 cm^2$

$P_c=160+50=210 cm^2$

Odp.: Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa wynosi $210 cm^2$.

Zadanie 4.

Graniastosłup prawidłowy trójkątny ma objętość równą objętości sześcianu o krawędzi 4 cm. Podaj pole podstawy tego graniastosłupa, jeżeli jego wysokość ma długość 2 cm.

$ V=a^3=4^3=64 cm^3$

$V=P_p×H$

$64=P_p×2$ -> $P_p=32 cm^2$

Odp.: Pole podstawy tego graniastosłupa jest równe $32 cm^2$.

Zadanie 5.

Ile ścian ma ostrosłup, który w podstawie ma dziesięciokąt?

dziesięciokąt -> dziesięć ścian bocznych

$10+1=11$ -> w sumie 11 ścian

Odp.: Ten ostrosłup ma w sumie 11 ścian.

Zadanie 6.

Suma długości wszystkich krawędzi czworościanu foremnego jest równa 84 cm. Jaką długość ma jedna krawędź?

6 -> ilość wszystkich krawędzi w czworościanie foremnym

x -> długość jednej krawędzi

$ 6x=84 cm $ |$÷6$

$ x=14 cm $

Odp.: Jedna krawędź tego czworościanu ma długość $ 14 cm $.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Ile wody pozostało...

a)

Obliczmy, ile wody pozostało w naczyniu:

 

 

b)

  

{premium}

  

 

c)

 

 

d)

 

        

Popatrz na rysunek obok. Jaką miarę ma kąt zaznaczony...

Kąty wierzchołkowe, naprzemianległe i odpowiadające mają równe miary.

Suma miar kątów przyległych wynosi 180o

 

Kąt zaznaczony na niebiesko oraz kąt o mierze 60o to kąty naprzemianległe. Mają one równe miary. {premium}

Kąt oznaczony kolorem niebieskim ma miarę 60o


Kąt   oraz kąt oznaczony kolorem niebieskim to kąty przyległe. Suma ich miar wynosi 180o

Obliczamy ile wynosi miara kąta  . 

 


Na poniższym rysunku możemy zobaczyć, że kąt przyległy do kąta   na taką samą miarę jak kąt  , gdyż są to kąty odpowiadające. 

Miara kąta   wynosi więc: 

 


Z poniższego rysunku możemy także odczytać, że kąt o mierze 120o (kąt przyległy do kąta  ) oraz kąt   to kąty naprzemianległe. 

Mają one równe miary. 

 

 

Dane są trzy równania...

Wyznaczmy rozwiązania wszystkich równań:

  \ -7

 

  \:5

   

  

 

 

  / -14

 

{premium}

  \ :(-2)

 

  

 

 

 

  / -7

 

 

 

 

 

Odp.: Rozwiązaniem jednego z tych równań jest sumą dwóch pozostałych rozwiązań:

              

       

Połącz w pary liczby, które mają...

Wartość bezwzględna liczby jest to jej odległość od zera na osi liczbowej. Wartość bezwzględna liczb przeciwnych (o przeciwnych znakach) jest taka sama (ponieważ ich odległość od zera jest taka sama).

Aby wybrać pary licz, które mają tę samą wartość bezwzględną na początku wyznaczmy ich wartości bezwzględne:

{premium}

Następnie łączymy w pary liczby o tych samych wartościach bezwzględnych, czyli:

a) Dorysuj tyle kółek czerwonych, aby kółka ...

a) Kółek żółtych jest 7. Chcemy, aby stanowiły one 50% wszystkich kółek. 

50%, czyli połowa, wszystkich kółek to 7. 100% (2 razy więcej niż 50%) to 2٠7=14 kółek. 

Wszystkich kółek musi być 14, czyli {premium}należy narysować 7 (14-7=7) czerwonych kółek. 


b) Są 2 niebieskie trójkąty. Chcemy, aby stanowiły one 25% wszystkich trójkątów. 

25%, czyli jedna czwarta, wszystkich trójkątów to 2. 100% (4 razy więcej niż 25%) to 2٠4=8 trójkątów. 

Wszystkich trójkątów musi być 8, czyli należy narysować 6 (8-2=6) żółtych trójkątów. 

 

c) Jest 1 czerwony kwadrat. Chcemy, aby stanowił on 20% wszystkich kwadratów. 

20%, czyli jedna piąta, wszystkich kwadratów to 1. 100% (5 razy więcej niż 20%) to 5٠1=5 kwadratów. 

Wszystkich kwadratów musi być 5, czyli należy narysować 4 (5-1=4) niebieskich kwadratów.

 

Firma X potrzebuje na ułożenie...

a) Firma X w ciągu 2 godzin układa jeden pas trawy. W ciągu 6 godzin ułoży więc 3 razy więcej, czyli 3 pasy trawy


b) Firma Y w ciągu 3 godzin układa jeden pas trawy. W ciągu 6 godzin ułoży więc 2 razy więcej, czyli 2 pasy trawy


c) Wiemy, że w ciągu 6 godzin firma X ułoży 3 pasy trawy, a firma Y 2 pasy trawy. Łącznie, w ciągu 6 godzin ułożą 5 pasów trawy.

 

Aby obliczyć ile czasu będą potrzebować na ułożenie jednego pasa trawy musimy czas, w jakim ułożyli 5 pasów trawy podzielić przez ilość pasów, czyli przez 5

{premium}  

 

Obie firmy ułożą pas trawy czasie   godziny. Obliczmy ile to godzin i minut. Wiemy, że 1 godzina ma 60 minut.  godziny to:

 

 

Odpowiedź: Ułożenie pasa trawy przez obie firmy zajmie 1 godzinę i 12 minut 

Oto iloczyn 3-cyfrowej...

Nasz pożądany wynik różni się o 4 miejsca po przecinku względem wyniku obliczonego w treści zadania, musimy zatem przesunąć przecinek w liczbie o 4 miejsca w lewo.

 

W liczbie 3-cyfrowej:

0,0794

 

W liczbie 4-cyfrowej:

0,8327

 

{premium}

 

Nie musimy obliczać wyniku tego działania - wystarczy, że w wyniku już obliczonego działania przesuniemy przecinek o 3 miejsca w lewo (ponieważ w tym iloczynie mam 3 liczby po przecinku).

 

Sprawdźmy wyniki na kalkulatorze:

   

W każdej siatce pokoloruj ściany, które są równoległe...

{premium}

 

 

a) Oceń na oko, a następnie sprawdź za pomocą ...

a) Ustawiamy rozwartość cyrkla równą długości odcinka AB i sprawdzamy, które odcinki mają taką samą długość jak odcinek AB. 

Odcinki mające taką samą długość jak odcinek AB to: 

  • CD 
  • KL {premium}

b) Na prostej l zaznaczamy odcinek takiej samej długości jak odcinek PR w następujący sposób: 

1. Na prostej l zaznaczamy punkt P'. 
2. Ustawiamy rozwartość cyrkla równą długości odcika PR. 
3. Wbijamy nóżkę cyrkla w punkt P' i kreślimy łuk przecinający prostą l (po lewej lub prawej stronie punkty P'). 
4. Punkt przecięcia łuku z prostą oznaczamy literą R'. 
Odcinek P'R' ma taką samą długość jak odcinek PR. 

Kwadrat, którego obwód jest równy...

x - bok mniejszego (zielonego kwadratu)

3x - bok większego (pomarańczowego kwadratu)


Kwadrat, którego{premium} obwód jest równy 64 cm ma boki długości 64 cm:4=16 cm. Stąd:

 

 

 

 


Wówczas:

  


Szary prostokąt ma boki długości x i 3x, czyli 4 cm i 12 cm. Zatem jego obwód wynosi

 


Prawidłowa odpowiedź to C.