Bryły - 6-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Graniastosłup prosty

Graniastosłup prosty to graniastosłup, którego ściany boczne są prostopadłe do dwóch identycznych podstaw.

Podstawy graniastosłupa prostego to przystające wielokąty. Są do siebie równoległe. 

Każda ściana boczna graniastosłupa prostego jest prostokątem.

Krawędzie boczne graniastosłupa prostego mają jednakową długość.

Z dowolnego wierzchołka graniastosłupa prostego wychodzą trzy krawędzie. Jedna z nich jest krawędzią boczną, a pozostałe krawędziami podstawy.

Krawędź boczna jest prostopadła do każdej krawędzi podstawy.


Przykłady:

  • Prostopadłościan

  • Sześcian

  • Graniastosłup trójkątny (podstawą jest trójkąt)

  • Graniastosłup pięciokątny (podstawą jest pięciokąt), itd.


Wysokość graniastosłupa – to odcinek łączący podstawy graniastosłupa i prostopadły do każdej z nich.

W przypadku graniastosłupa prostego wysokością jest krawędź boczna.

Wysokość graniastosłupa oznaczamy literą H.

Pola powierzchni graniastosłupów prostych

Pole powierzchni całkowitej dowolnego graniastosłupa jest sumą pól dwóch jego podstaw i pola powierzchni bocznej.
Pole powierzchni bocznej to suma pól wszystkich ścian bocznych.

$$P_c = 2P_p + P_b$$

$$P_c$$ → pole powierzchni całkowitej
$$P_p$$ → pole podstawy
$$P_b$$ → pole powierzchni bocznej

Pole powierzchni prostopadłościanu możemy policzyć ze wzoru:
$$P_c = 2 (a•b+ a•c+ b•c)$$

Pole powierzchni sześcianu możemy policzyć ze wzoru:
$$P_c = 6a^2$$

 

Objętość graniastosłupa

Objętość graniastosłupa to iloczyn pola podstawy i wysokości tego graniastosłupa. 

`V=P_p*H` 

`V \ \ \ ->`   objętość graniastosłupa 

`P_p \ \ \ ->`   pole podstawy 

`H \ \ \ ->`    długość wysokości graniastosłupa    


Z powyższego wzoru możemy wyprowadzić wzór na objętość prostopadłościanu oraz sześcianu.

Prostopadłościan: 

`V=P_p*H` 

`P_p=a*b=ab` 

`H=c` 

Zatem: 

`V=ab*c=abc`     


Sześcian: 

`V=P_p*H`  

`P_p=a*a=a^2` 

`H=a` 

Zatem: 

`V=a^2*a=a^3`   

 

Ostrosłup

Ostrosłup to bryła (figura przestrzenna), której:

  • podstawą jest dowolny wielokąt; 
     

Ściany boczne są trójkątami o wspólnym wierzchołku, który nosi nazwę wierzchołka ostrosłupa. 


 

Ostrosłup, tak jak graniastosłup, przyjmuje swoją nazwę od wielokąta, który jest jego podstawą.

Wysokość ostrosłupa (H) to odcinek łączący wierzchołek ostrosłupa z płaszczyzną podstawy i do niej prostopadły. 

Punkt wspólny wysokości i płaszczyzny podstawy to spodek wysokości


Ostrosłup prawidłowy
to taki ostrosłup, którego podstawą jest wielokąt foremny, a krawędzie boczne mają jednakową długość.

Ściany boczne ostrosłupa prawidłowego są przystającymi trójkątami równoramiennymi.


Ostrosłup trójkątny nazywamy czworościanem

Ostrosłup, którego wszystkie ściany są trójkątami równobocznymi nazywamy czworościanem foremnym.

prawidlowy

Ciekawostka

Piramida Cheopsa jest największym na świecie ostrosłupem prawidłowym czworokątnym. Ma 146 m wysokości, a krawędź jej podstawy ma długość 230 m. Na zbudowanie tej piramidy zużyto 2 300 000 bloków granitowych o ciężarze od 2,5 t do 15 t. Gdyby z tego materiału zbudować mur o wysokości 3 m i grubości 25 cm to opasałby on całą Polskę.

Pole powierzchni ostrosłupa

Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa jest sumą pola jego podstawy i pola powierzchni bocznej.

Pole powierzchni bocznej ostrosłupa to suma pól ścian bocznych.

 

`P_c=P_p+P_b` 

`P_c \ \ ->`   pole powierzchni całkowitej 

`P_p \ \ ->`   pole podstawy 

`P_b \ \ ->`   pole powierzchni bocznej 

Objętość ostrosłupa

Wzór na objętość ostrosłupa:
$$V = 1/3 P_p H$$

V → objętość ostrosłupa
$$P_p$$ → pole podstawy
H → wysokość
 

Walec, stożek, kula

  1. Walec

    Walec powstaje w wyniku obrotu prostokąta dookoła prostej zwanej osią obrotu.

      Zobacz w programie GeoGebra

    Walec
  2. Stożek

    Stożek powstaje w wyniku obrotu trójkąta wokół osi obrotu, stanowiącej jego wysokość.

      Zobacz w programie GeoGebra

    Stożek
  3. Kula

    Kula powstaje w wyniku obrotu półkola dookoła prostej zawierającej średnicę tego półkola. Pole powierzchni kuli nazywane jest sferą.

      Zobacz w programie GeoGebra
    Kula
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Napisz, jak nazywamy graniastosłup, który w podstawie ma:

  1. trójkąt równoboczny
  2. kwadrat
  3. pięciokąt
  1. graniastosłup prawidłowy trójkątny
  2. graniastosłup prawidłowy czworokątny
  3. graniastosłup pięciokątny

Zadanie 2.

Suma długości krawędzi graniastosłupa prawidłowego czworokątnego wynosi 108 cm. Wszystkie jego krawędzie mają równe długości. Podaj inną nazwę tego graniastosłupa i oblicz długość jednej krawędzi.

wszystkie krawędzie równej długości, w podstawie kwadraty -> jest to sześcian

12 -> ilość wszystkich krawędzi

x -> długość jednej krawędzi

$$ 12x=108 cm $$ | $$÷12$$

$$ x=9 cm $$

Odp.: Inna nazwa tego graniastosłupa to sześcian. Długość jednej krawędzi wynosi 9 cm.

Zadanie 3.

Oblicz pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy $$a=5 cm$$ i wysokości $$H=8 cm$$.

2 podstawy -> $$P_p=2×a^2$$ -> $$P_p=2×25=50 cm^2$$

4 ściany boczne -> $$P_b=4×a×H=4×40=160 cm^2$$

$$P_c=160+50=210 cm^2$$

Odp.: Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa wynosi $$210 cm^2$$.

Zadanie 4.

Graniastosłup prawidłowy trójkątny ma objętość równą objętości sześcianu o krawędzi 4 cm. Podaj pole podstawy tego graniastosłupa, jeżeli jego wysokość ma długość 2 cm.

$$ V=a^3=4^3=64 cm^3$$

$$V=P_p×H$$

$$64=P_p×2$$ -> $$P_p=32 cm^2$$

Odp.: Pole podstawy tego graniastosłupa jest równe $$32 cm^2$$.

Zadanie 5.

Ile ścian ma ostrosłup, który w podstawie ma dziesięciokąt?

dziesięciokąt -> dziesięć ścian bocznych

$$10+1=11$$ -> w sumie 11 ścian

Odp.: Ten ostrosłup ma w sumie 11 ścian.

Zadanie 6.

Suma długości wszystkich krawędzi czworościanu foremnego jest równa 84 cm. Jaką długość ma jedna krawędź?

6 -> ilość wszystkich krawędzi w czworościanie foremnym

x -> długość jednej krawędzi

$$ 6x=84 cm $$ |$$÷6$$

$$ x=14 cm $$

Odp.: Jedna krawędź tego czworościanu ma długość $$ 14 cm $$.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Uzupełnij:

Rozwiązanie przedstawiono na rysunku: {premium}

Jakie liczby zaznaczono kropkami na osiach liczbowych?

Odległość między liczbami 7,8 a 7,9 wynosi 7,9- 7,8 = 0,1 , jest to 10 jednostek na osi , więc jednostka naszej osi liczbowej , to 0,1 : 10 = 0,01.

A 7,63

B 7,73{premium}

C 7,86

D 8,00

Odległość między liczbami 5,8 , a 5,9 wynosi 5,9 - 5,8 = 0,1  , są to 2 jednostki osi , więc jednostka naszej osi liczbowej , to 0,1 : 2= 0,05 

E 5,6

F 5,75

G 5,85

H 6

Pomyśl sobie pewną liczbę, pomnóż ją przez 4, wynik ...

Wybieramy dowolną liczbę np. 2 i wykonujemy kolejne działania. 

1) Wybraną liczbę mnożymy razy 4.
rownanie matematyczne   

2) Wynik tego mnożenia, czyli 8, mnożymy razy 5. 
rownanie matematyczne 

3) Wynik poprzedniego mnożenia, czyli 40, mnożymy razy 0,1 (dzielimy przez 10). 
rownanie matematyczne 

Zauważmy, że w kolejnych krokach mnożyliśmy uzyskane wyniki, czyli takie liczby, które wpisalibyśmy w miejsca z pytajnikami. 

Liczba jaką uzyskaliśmy na końcu jest 2 razy większa od wybranej liczby (4 jest 2 razy większe od 2), czyli początkową liczbę należy pomnożyć razy 2 aby otrzymać uzyksany wynik. 


Wybieramy inną liczbę, np. 5 i wykonujemy kolejne działania. 

1) Wybraną liczbę mnożymy razy 4.
rownanie matematyczne    

2) Wynik tego mnożenia, czyli 20, mnożymy razy 5. 
rownanie matematyczne  

3) Wynik poprzedniego mnożenia, czyli 100, mnożymy razy 0,1 (dzielimy przez 10). 
rownanie matematyczne   

Zauważmy, że w kolejnych krokach mnożyliśmy uzyskane wyniki, czyli takie liczby, które wpisalibyśmy w miejsca z pytajnikami. 

Liczba jaką uzyskaliśmy na końcu jest 2 razy większa od wybranej liczby (10 jest 2 razy większe od 5), czyli początkową liczbę należy pomnożyć razy 2 aby otrzymać uzyksany wynik. 


Uzasadnienie:

Przez krateczkę oznaczmy wybraną liczbę. 

Najpierw liczbę tę możymy razy 4, czyli:
rownanie matematyczne 

Uzyskany wynik mnożymy razy 5, czyli:
rownanie matematyczne 

W kolejnym kroku wykonujemy mnożenie przez 0,1, czyli dzielenie przez 10, czyli:
rownanie matematyczne 

Zastanówmy jak zmienia się początkowo wybrana liczba. 

Najpierw mnożymy ją razy 4, następnie wynik mnożymy razy 5, czyli tak jakbyśmy wyjściową liczbę mnożyli razy 20 (4∙5). 
rownanie matematyczne       
W kolejnym kroku wynik mnożymy razy 0,1, czyli dzielimy przez 10. 
rownanie matematyczne 

Oznacza to, że wybraną liczbę możemy pomnożyć razy 2 i również otrzymamy ten sam wynik, który otrzymaliśmy wykonując kolejne mnożenia.    


Brakującą liczbą, którą należy wpisać w prostokącik, jest liczba 2

Zapisz, jaki wynik pojawi się na wyświetlaczu, a jaki znajdzie się w pamięci (...)

Klawisze:                Wyświetlacz:                Pamięć:

MC                               0                             0

2 X 5=                         10                            0

M+                              10                            10

C                                 0                             10

12÷4=                           3                            10

M+                               3                             13

MR                               13                           13 

 

Licząc na kalkulatorze, również można się pomylić. Aby tego uniknąć, (...)

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne     

oblicz w pamięci

a)`20+79=99` 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

`435-215=220`{premium}

b)`4*21=84` 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

c)`24*100=2400` 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

Uzupełnij:

rownanie matematyczne 


rownanie matematyczne {premium}

rownanie matematyczne 


rownanie matematyczne


rownanie matematyczne 


rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 


rownanie matematyczne

Podpisz liczby na osi.

Rozwiązanie przedstawiono na rysunku: {premium}

Oblicz. Pamiętaj o kolejności wykonywania działań.

rownanie matematyczne (słowo powstałe po odwróceniu: hihi){premium}

rownanie matematyczne (słowo powstałe po odwróceniu: lis)

rownanie matematyczne (słowo powstałe po odwróceniu: sol)

 

 

Podpisz liczby na osi. Używaj ułamków dziesiętnych.

Rozwiązanie przedstawiono na rysunku: {premium}