Bryły - 6-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Bryły - 6-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Graniastosłup prosty

Graniastosłup prosty to graniastosłup, którego ściany boczne są prostopadłe do dwóch identycznych podstaw.

Podstawy graniastosłupa prostego to przystające wielokąty. Są do siebie równoległe. 

Każda ściana boczna graniastosłupa prostego jest prostokątem.

Krawędzie boczne graniastosłupa prostego mają jednakową długość.

Z dowolnego wierzchołka graniastosłupa prostego wychodzą trzy krawędzie. Jedna z nich jest krawędzią boczną, a pozostałe krawędziami podstawy.

Krawędź boczna jest prostopadła do każdej krawędzi podstawy.


Przykłady:

  • Prostopadłościan

  • Sześcian

  • Graniastosłup trójkątny (podstawą jest trójkąt)

  • Graniastosłup pięciokątny (podstawą jest pięciokąt), itd.


Wysokość graniastosłupa – to odcinek łączący podstawy graniastosłupa i prostopadły do każdej z nich.

W przypadku graniastosłupa prostego wysokością jest krawędź boczna.

Wysokość graniastosłupa oznaczamy literą H.

Pola powierzchni graniastosłupów prostych

Pole powierzchni całkowitej dowolnego graniastosłupa jest sumą pól dwóch jego podstaw i pola powierzchni bocznej.
Pole powierzchni bocznej to suma pól wszystkich ścian bocznych.

$P_c = 2P_p + P_b$

$P_c$ → pole powierzchni całkowitej
$P_p$ → pole podstawy
$P_b$ → pole powierzchni bocznej

Pole powierzchni prostopadłościanu możemy policzyć ze wzoru:
$P_c = 2 (a•b+ a•c+ b•c)$

Pole powierzchni sześcianu możemy policzyć ze wzoru:
$P_c = 6a^2$

 

Objętość graniastosłupa

Objętość graniastosłupa to iloczyn pola podstawy i wysokości tego graniastosłupa. 

`V=P_p*H` 

`V \ \ \ ->`   objętość graniastosłupa 

`P_p \ \ \ ->`   pole podstawy 

`H \ \ \ ->`    długość wysokości graniastosłupa    


Z powyższego wzoru możemy wyprowadzić wzór na objętość prostopadłościanu oraz sześcianu.

Prostopadłościan: 

`V=P_p*H` 

`P_p=a*b=ab` 

`H=c` 

Zatem: 

`V=ab*c=abc`     


Sześcian: 

`V=P_p*H`  

`P_p=a*a=a^2` 

`H=a` 

Zatem: 

`V=a^2*a=a^3`   

 

Ostrosłup

Ostrosłup to bryła (figura przestrzenna), której:

  • podstawą jest dowolny wielokąt; 
     

Ściany boczne są trójkątami o wspólnym wierzchołku, który nosi nazwę wierzchołka ostrosłupa. 


 

Ostrosłup, tak jak graniastosłup, przyjmuje swoją nazwę od wielokąta, który jest jego podstawą.

Wysokość ostrosłupa (H) to odcinek łączący wierzchołek ostrosłupa z płaszczyzną podstawy i do niej prostopadły. 

Punkt wspólny wysokości i płaszczyzny podstawy to spodek wysokości


Ostrosłup prawidłowy
to taki ostrosłup, którego podstawą jest wielokąt foremny, a krawędzie boczne mają jednakową długość.

Ściany boczne ostrosłupa prawidłowego są przystającymi trójkątami równoramiennymi.


Ostrosłup trójkątny nazywamy czworościanem

Ostrosłup, którego wszystkie ściany są trójkątami równobocznymi nazywamy czworościanem foremnym.

prawidlowy

Ciekawostka

Piramida Cheopsa jest największym na świecie ostrosłupem prawidłowym czworokątnym. Ma 146 m wysokości, a krawędź jej podstawy ma długość 230 m. Na zbudowanie tej piramidy zużyto 2 300 000 bloków granitowych o ciężarze od 2,5 t do 15 t. Gdyby z tego materiału zbudować mur o wysokości 3 m i grubości 25 cm to opasałby on całą Polskę.

Pole powierzchni ostrosłupa

Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa jest sumą pola jego podstawy i pola powierzchni bocznej.

Pole powierzchni bocznej ostrosłupa to suma pól ścian bocznych.

 

`P_c=P_p+P_b` 

`P_c \ \ ->`   pole powierzchni całkowitej 

`P_p \ \ ->`   pole podstawy 

`P_b \ \ ->`   pole powierzchni bocznej 

Objętość ostrosłupa

Wzór na objętość ostrosłupa:
$V = 1/3 P_p H$

V → objętość ostrosłupa
$P_p$ → pole podstawy
H → wysokość
 

Walec, stożek, kula

  1. Walec

    Walec powstaje w wyniku obrotu prostokąta dookoła prostej zwanej osią obrotu.

      Zobacz w programie GeoGebra

    Walec
  2. Stożek

    Stożek powstaje w wyniku obrotu trójkąta wokół osi obrotu, stanowiącej jego wysokość.

      Zobacz w programie GeoGebra

    Stożek
  3. Kula

    Kula powstaje w wyniku obrotu półkola dookoła prostej zawierającej średnicę tego półkola. Pole powierzchni kuli nazywane jest sferą.

      Zobacz w programie GeoGebra
    Kula
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Napisz, jak nazywamy graniastosłup, który w podstawie ma:

  1. trójkąt równoboczny
  2. kwadrat
  3. pięciokąt
  1. graniastosłup prawidłowy trójkątny
  2. graniastosłup prawidłowy czworokątny
  3. graniastosłup pięciokątny

Zadanie 2.

Suma długości krawędzi graniastosłupa prawidłowego czworokątnego wynosi 108 cm. Wszystkie jego krawędzie mają równe długości. Podaj inną nazwę tego graniastosłupa i oblicz długość jednej krawędzi.

wszystkie krawędzie równej długości, w podstawie kwadraty -> jest to sześcian

12 -> ilość wszystkich krawędzi

x -> długość jednej krawędzi

$ 12x=108 cm $ | $÷12$

$ x=9 cm $

Odp.: Inna nazwa tego graniastosłupa to sześcian. Długość jednej krawędzi wynosi 9 cm.

Zadanie 3.

Oblicz pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy $a=5 cm$ i wysokości $H=8 cm$.

2 podstawy -> $P_p=2×a^2$ -> $P_p=2×25=50 cm^2$

4 ściany boczne -> $P_b=4×a×H=4×40=160 cm^2$

$P_c=160+50=210 cm^2$

Odp.: Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa wynosi $210 cm^2$.

Zadanie 4.

Graniastosłup prawidłowy trójkątny ma objętość równą objętości sześcianu o krawędzi 4 cm. Podaj pole podstawy tego graniastosłupa, jeżeli jego wysokość ma długość 2 cm.

$ V=a^3=4^3=64 cm^3$

$V=P_p×H$

$64=P_p×2$ -> $P_p=32 cm^2$

Odp.: Pole podstawy tego graniastosłupa jest równe $32 cm^2$.

Zadanie 5.

Ile ścian ma ostrosłup, który w podstawie ma dziesięciokąt?

dziesięciokąt -> dziesięć ścian bocznych

$10+1=11$ -> w sumie 11 ścian

Odp.: Ten ostrosłup ma w sumie 11 ścian.

Zadanie 6.

Suma długości wszystkich krawędzi czworościanu foremnego jest równa 84 cm. Jaką długość ma jedna krawędź?

6 -> ilość wszystkich krawędzi w czworościanie foremnym

x -> długość jednej krawędzi

$ 6x=84 cm $ |$÷6$

$ x=14 cm $

Odp.: Jedna krawędź tego czworościanu ma długość $ 14 cm $.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Zegar elektroniczny pokazuje dokładny czas-godziny, minuty, sekundy

a) 20 godz 16 min 44 sek + 3 min 2 sek = 20 godz 19 min 46 sek {premium}    20:19:46

b) 20 godz 16 min 44 sek + 4 godz 42 min = 24 godz 58 min 44 sek       00:58:44   (bo 24 to północ)

c) 20 godz 16 min 44 sek - 2 godz 15 min=18 godz 1 min 44 sek      18:01:44

d) 20 godz 16 min 44 sek - 15 min 43 sek = 20 godz 1 min 1 sek    20:01:01

Oblicz w pamięci:

 


 
{premium}


 


 



 


 

Marcin i jego koledzy płynęli...

Kajaki płynęły w górę rzeki, więc ich prędkość była różnicą prędkości własnej kajaków i prądu rzeki:{premium}

 


Obliczamy, ile czasu zajęło chłopcom przepłyniecie 6 km:

 


Prawidłowa odpowiedź to D.

Najwyższym znanym człowiekiem świata...

Obliczamy, o ile Amerykanin był wyższy od Chinki:{premium}

 

Obliczamy rozpiętość ramion Amerykanina:

 


Amerykanin miał 2,72 m wzrostu. Chinka była o 0,24 m niższa od Amerykanina. Rozpiętość ramion Amerykanina była o 0,16 m większa od jego wzrostu i wynosiła 288 cm.

Pomnóż lub podziel wyrażenia algebraiczne przez liczby.

 

{premium}  

 

 

 

 

 

 

 

           

Pani Ala ma pracować w poniedziałki, wtorki, i środy po 8 godzin dziennie. ...

Obliczamy ile godzin tygodniowo ma pracować Pani Ala:

   


Cały etat to 5 dni pracy po 8 godzin, czyli: {premium}

  

Obliczamy jaką część całego etatu pracuje pani Ala.  

 


 


Odpowiedź: Pani Ala powinna być zadowolona, ponieważ pracując trzy dni w tygodniu mogłaby otrzymywać 0,60 pełnego wynagrodzenia. Pracodawca proponuje jej więcej.

Które rysunki nie przedstawiają...

Rysunek 2 - wysokość ścian bocznych jest za mała, aby siatka się skleiła {premium}

Rysunek 3 - dwie ściany nałożą się na siebie

Rysunek 5 - to nie jest siatka żadnej bryły

Rysunek 6 - w siatce jest za dużo o jedną ścianę boczną 

a) Oceń na oko, a następnie sprawdź za pomocą ...

a) Ustawiamy rozwartość cyrkla równą długości odcinka AB i sprawdzamy, które odcinki mają taką samą długość jak odcinek AB. 

Odcinki mające taką samą długość jak odcinek AB to: 

  • CD 
  • KL {premium}

b) Na prostej l zaznaczamy odcinek takiej samej długości jak odcinek PR w następujący sposób: 

1. Na prostej l zaznaczamy punkt P'. 
2. Ustawiamy rozwartość cyrkla równą długości odcika PR. 
3. Wbijamy nóżkę cyrkla w punkt P' i kreślimy łuk przecinający prostą l (po lewej lub prawej stronie punkty P'). 
4. Punkt przecięcia łuku z prostą oznaczamy literą R'. 
Odcinek P'R' ma taką samą długość jak odcinek PR. 

Oblicz podaną sumę...

a) 20+(-10)

Porównujemy wartości bezwzględne tych liczb

 

Zatem

 

b) 50+(-50)

Porównujemy wartości bezwzględne tych liczb

 

Zatem

{premium}  

c) 13+(-21)

Porównujemy wartości bezwzględne tych liczb

`|13|< |21|` 

Zatem

`13+(-21)=-(21-13)=-8`

d) 400+(-250)

Porównujemy wartości bezwzględne tych liczb

 

Zatem

`400+(-250)=+(400-250)=150`

e) (-16)+7

Porównujemy wartości bezwzględne tych liczb

 

Zatem

f) (-5)+9

Porównujemy wartości bezwzględne tych liczb

`|-5|< |9|` 

Zatem

 

g) (-59)+80

Porównujemy wartości bezwzględne tych liczb

`|-59|< |80|` 

Zatem

 

h) (-100)+59

Porównujemy wartości bezwzględne tych liczb

 

Zatem

 

1. Jaką łączną wartość mają wszystkie ...

1. Obliczamy ile wynosi łączna wartość monet przedstawionych na rysunku. 

 
{premium}


2. Monety w kolejności od najmniejszej do największej średnicy to: 

15,5 < 16,5 < 17,5 < 18,5 < 19,5 < 20,5 < 21,5 < 23 < 24

 1 gr,   10 gr,   2 gr,    20 gr,   5 gr,   50 gr,    2 zł,   1 zł,   5 zł


3. Średnica monety o nominale 5 zł ma długość 24 mm. 

Średnica rdzenia wykonanego z brązu ma długość 16 mm. 

Obliczamy jaką częścią średnicy całej monety jest średnica rdzenia. 

 


4. Moneta o nominale 1 gr waży 1,64 g. Dwie takie monety ważą: 

 

Moneta o nominale 20 gr waży 3,22 g. 

3,28 g > 3,22 g

Dwie jednogroszówki ważą więcej niż dwudziestogroszówka. 


5. Moneta o nominale 10 gr ma grubość 1,6 mm. 

Układamy stos ze 100 takich monet. Jego wysokość będzie wynosić: 

 

Stos będzie miał wysokość 16 cm. 


6. 100 zł = 10 000 gr

Kwotę 10 000 gr wypłacono w monetach o nominale 10 gr. Obliczamy ile było tych monet. 

10 000 : 10 = 1000 

Było 1000 monet o nominale 10 gr. 

Jedna moneta waży 2,51 g. Obliczamy ile waży 1000 takich monet. 

 

Monety ważyły 2,51 kg. 


7. Jedna moneta o nominale 1 zł waży 5 g. 

Obliczamy ile takich monet waży 1 kg = 1000 g.

1000 : 5 = 200

200 monet o nominale 1 zł waży 1 kg. 

Ich wartość to: 

 

1 kg monet o nominale 1 zł ma wartość 200 zł.