Bryły - 6-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Bryły - 6-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Graniastosłup prosty

Graniastosłup prosty to graniastosłup, którego ściany boczne są prostopadłe do dwóch identycznych podstaw.

Podstawy graniastosłupa prostego to przystające wielokąty. Są do siebie równoległe. 

Każda ściana boczna graniastosłupa prostego jest prostokątem.

Krawędzie boczne graniastosłupa prostego mają jednakową długość.

Z dowolnego wierzchołka graniastosłupa prostego wychodzą trzy krawędzie. Jedna z nich jest krawędzią boczną, a pozostałe krawędziami podstawy.

Krawędź boczna jest prostopadła do każdej krawędzi podstawy.


Przykłady:

  • Prostopadłościan

  • Sześcian

  • Graniastosłup trójkątny (podstawą jest trójkąt)

  • Graniastosłup pięciokątny (podstawą jest pięciokąt), itd.


Wysokość graniastosłupa – to odcinek łączący podstawy graniastosłupa i prostopadły do każdej z nich.

W przypadku graniastosłupa prostego wysokością jest krawędź boczna.

Wysokość graniastosłupa oznaczamy literą H.

Pola powierzchni graniastosłupów prostych

Pole powierzchni całkowitej dowolnego graniastosłupa jest sumą pól dwóch jego podstaw i pola powierzchni bocznej.
Pole powierzchni bocznej to suma pól wszystkich ścian bocznych.

$P_c = 2P_p + P_b$

$P_c$ → pole powierzchni całkowitej
$P_p$ → pole podstawy
$P_b$ → pole powierzchni bocznej

Pole powierzchni prostopadłościanu możemy policzyć ze wzoru:
$P_c = 2 (a•b+ a•c+ b•c)$

Pole powierzchni sześcianu możemy policzyć ze wzoru:
$P_c = 6a^2$

 

Objętość graniastosłupa

Objętość graniastosłupa to iloczyn pola podstawy i wysokości tego graniastosłupa. 

`V=P_p*H` 

`V \ \ \ ->`   objętość graniastosłupa 

`P_p \ \ \ ->`   pole podstawy 

`H \ \ \ ->`    długość wysokości graniastosłupa    


Z powyższego wzoru możemy wyprowadzić wzór na objętość prostopadłościanu oraz sześcianu.

Prostopadłościan: 

`V=P_p*H` 

`P_p=a*b=ab` 

`H=c` 

Zatem: 

`V=ab*c=abc`     


Sześcian: 

`V=P_p*H`  

`P_p=a*a=a^2` 

`H=a` 

Zatem: 

`V=a^2*a=a^3`   

 

Ostrosłup

Ostrosłup to bryła (figura przestrzenna), której:

  • podstawą jest dowolny wielokąt; 
     

Ściany boczne są trójkątami o wspólnym wierzchołku, który nosi nazwę wierzchołka ostrosłupa. 


 

Ostrosłup, tak jak graniastosłup, przyjmuje swoją nazwę od wielokąta, który jest jego podstawą.

Wysokość ostrosłupa (H) to odcinek łączący wierzchołek ostrosłupa z płaszczyzną podstawy i do niej prostopadły. 

Punkt wspólny wysokości i płaszczyzny podstawy to spodek wysokości


Ostrosłup prawidłowy
to taki ostrosłup, którego podstawą jest wielokąt foremny, a krawędzie boczne mają jednakową długość.

Ściany boczne ostrosłupa prawidłowego są przystającymi trójkątami równoramiennymi.


Ostrosłup trójkątny nazywamy czworościanem

Ostrosłup, którego wszystkie ściany są trójkątami równobocznymi nazywamy czworościanem foremnym.

prawidlowy

Ciekawostka

Piramida Cheopsa jest największym na świecie ostrosłupem prawidłowym czworokątnym. Ma 146 m wysokości, a krawędź jej podstawy ma długość 230 m. Na zbudowanie tej piramidy zużyto 2 300 000 bloków granitowych o ciężarze od 2,5 t do 15 t. Gdyby z tego materiału zbudować mur o wysokości 3 m i grubości 25 cm to opasałby on całą Polskę.

Pole powierzchni ostrosłupa

Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa jest sumą pola jego podstawy i pola powierzchni bocznej.

Pole powierzchni bocznej ostrosłupa to suma pól ścian bocznych.

 

`P_c=P_p+P_b` 

`P_c \ \ ->`   pole powierzchni całkowitej 

`P_p \ \ ->`   pole podstawy 

`P_b \ \ ->`   pole powierzchni bocznej 

Objętość ostrosłupa

Wzór na objętość ostrosłupa:
$V = 1/3 P_p H$

V → objętość ostrosłupa
$P_p$ → pole podstawy
H → wysokość
 

Walec, stożek, kula

  1. Walec

    Walec powstaje w wyniku obrotu prostokąta dookoła prostej zwanej osią obrotu.

      Zobacz w programie GeoGebra

    Walec
  2. Stożek

    Stożek powstaje w wyniku obrotu trójkąta wokół osi obrotu, stanowiącej jego wysokość.

      Zobacz w programie GeoGebra

    Stożek
  3. Kula

    Kula powstaje w wyniku obrotu półkola dookoła prostej zawierającej średnicę tego półkola. Pole powierzchni kuli nazywane jest sferą.

      Zobacz w programie GeoGebra
    Kula
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Napisz, jak nazywamy graniastosłup, który w podstawie ma:

  1. trójkąt równoboczny
  2. kwadrat
  3. pięciokąt
  1. graniastosłup prawidłowy trójkątny
  2. graniastosłup prawidłowy czworokątny
  3. graniastosłup pięciokątny

Zadanie 2.

Suma długości krawędzi graniastosłupa prawidłowego czworokątnego wynosi 108 cm. Wszystkie jego krawędzie mają równe długości. Podaj inną nazwę tego graniastosłupa i oblicz długość jednej krawędzi.

wszystkie krawędzie równej długości, w podstawie kwadraty -> jest to sześcian

12 -> ilość wszystkich krawędzi

x -> długość jednej krawędzi

$ 12x=108 cm $ | $÷12$

$ x=9 cm $

Odp.: Inna nazwa tego graniastosłupa to sześcian. Długość jednej krawędzi wynosi 9 cm.

Zadanie 3.

Oblicz pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy $a=5 cm$ i wysokości $H=8 cm$.

2 podstawy -> $P_p=2×a^2$ -> $P_p=2×25=50 cm^2$

4 ściany boczne -> $P_b=4×a×H=4×40=160 cm^2$

$P_c=160+50=210 cm^2$

Odp.: Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa wynosi $210 cm^2$.

Zadanie 4.

Graniastosłup prawidłowy trójkątny ma objętość równą objętości sześcianu o krawędzi 4 cm. Podaj pole podstawy tego graniastosłupa, jeżeli jego wysokość ma długość 2 cm.

$ V=a^3=4^3=64 cm^3$

$V=P_p×H$

$64=P_p×2$ -> $P_p=32 cm^2$

Odp.: Pole podstawy tego graniastosłupa jest równe $32 cm^2$.

Zadanie 5.

Ile ścian ma ostrosłup, który w podstawie ma dziesięciokąt?

dziesięciokąt -> dziesięć ścian bocznych

$10+1=11$ -> w sumie 11 ścian

Odp.: Ten ostrosłup ma w sumie 11 ścian.

Zadanie 6.

Suma długości wszystkich krawędzi czworościanu foremnego jest równa 84 cm. Jaką długość ma jedna krawędź?

6 -> ilość wszystkich krawędzi w czworościanie foremnym

x -> długość jednej krawędzi

$ 6x=84 cm $ |$÷6$

$ x=14 cm $

Odp.: Jedna krawędź tego czworościanu ma długość $ 14 cm $.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Spójrz na rysunki figur przestrzennych...

  

    

 

 

 

 

 

       

Wykonaj dzielenie. Jeśli to możliwe, ...

Aby podzielić ułamek zwykły przez dodatnią liczbę naturalną, mnożymy ten ułamek przez odwrotność liczby naturalnej. 


 


 


 


 


 


 


 


 


              

Z posterunku policji wyruszył patrol. Wykres przedstawia, jak zmieniała

a) Patrol wyjechał o godz. 6 : 00.

b) Wrócił po czasie 2 godz. 30 min  (wrócił o 8:30).

c) O godz. 7 : 00 patrol był 6 km od posterunku. 

d) 3 razy odległość od posterunku wyniosła 4 km. 

    Było to w godzinach: 6 : 15 , 7 : 15 i 8 : 00.

W prostopadłościanie jedna z trzech krawędzi ...

Pierwsza krawędź ma długość 8 cm. 


Druga krawędź jest o 50% dłuższa od pierwszej krawędzi, czyli jej długość wynosi: 

 


Trzecia krawędź jest o 50% dłuższa od drugiej krawędzi, czyli jej długość wynosi: 

 


Krawędzie wychodzące z tego samego wierzchołka mają długość 8 cm, 12 cm i 18 cm. 


Obliczamy ile wynosi objętość prostopadłościanu. 


Odpowiedź: Objętość prostopadłościanu wynosi 1728
cm3

Każda latarnia morska wysyła inny sygnał świetlny, dzięki czemu na podstawie światła

a) Skoro żeglarz stwierdził, że latarnia Stilo znajduje się na południowy zachód od statku ("na dole po lewej"), to statek znajduje się na północny wschód od latarni ("na górze po prawej") - zielona linia

Skoro latarnia Rozewie znajduje się na południowy wschód od statku ("na dole po prawej"), to statek znajduje się na północny zachód od latarni ("na górze po lewej") - niebieska linia

Punkt przecięcia linii to miejsce położenia statku. 

UWAGA: Linie rysujemy pod kątem 45° od latarni.


b) Azymut to kąt między kierunkiem północnym a danym kierunkiem, kąt ten liczony jest zgodnie z ruchem wskazówek zegara począwszy od kierunku północy.

Przykład: Ze statku C latarnię w Rozewiu widać na azymut 140° , a ze statku D latarnię w Czołpinie widać na azymut 210° .

Warto zauważyć, że miary kątów zaznaczonych na pomarańczowo są takie same, jak azymuty, co wykorzystamy do rozwiązania tego zadania.





 

Zaznaczamy odpowiednie kąty (tak, jak kąty pomarańczowe w powyższym przykładzie), przedłużamy ramiona kątów (pomarańczowa i zielona linia) . Miejsce przecięcia przedłużeń to położenie statku. 








Sprawdzenie - zaznaczono azymuty (pogrubione)

 

 

 

Przeczytaj ciekawostkę ze strony 240 podręcznika. ...

Ile różnych liczb zapisano poniżej?

{premium}

 

Podaj współrzędne zaznaczonych punktów

{premium}

Wędrówka po górach trwała 3 godziny

 

 

 

  

Który rysunek przedstawia siatkę...

Poprawne siatki prostopadłościanów to takie, które po wycięciu da się złożyć tak, aby utworzyły prostopadłościan. 

Poprawne odpowiedzi: C oraz D