Ułamki zwykłe - 5-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Ułamki zwykłe - 5-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Ułamki zwykłe

Ułamek składa się z licznika, mianownika oraz kreski ułamkowej.

ułamek

Wyrażenie postaci `a/b` , gdzie a i b to liczby naturalne oraz b jest różne od zera, nazywamy ułamkiem zwykłym.

Ciekawostka

Współczesny sposób zapisu ułamków pochodzi od matematyków hinduskich, którzy zapisywali licznik i mianownik nie używając kreski rozdzielającej. Dodanie kreski rozdzielającej zawdzięczamy Arabom tłumaczącym dzieła Hindusów. W Europie znane do dziś oznaczenie ułamków jako pierwszy w swoich pracach publikuje włoski matematyk Fibonacci.


Ułamki to inny zapis dzielenia liczb naturalnych.
Iloraz liczb naturalnych `a:b` możemy zapisać w postaci ułamka `a/b` . Dzielna `a`  jest licznikiem ułamka, dzielnik `b`  różny od zera jest mianownikiem, a kreska ułamkowa zastępuje znak dzielenia: `a:b=a/b` , gdzie b jest różne od zera ($b≠0$).

Przykłady:

  • `9/2=9:2`  

  • `2/3=2:3`  

Odwrotność ułamka

Jeżeli dany jest ułamek `a/b`, to ułamek `b/a` nazywamy odwrotnością ułamka `a/b` , gdzie `a!=0 \ "i" \ b!=0` .

Przykłady: 

  • odwrotnością liczby  `3/4` jest ułamek `4/3` ;  

  • odwrotnością liczby `4=4/1`  jest ułamek `1/4`,

  • odwrotnością ułamka  `1/9` jest liczba `9/1=9`


Ułamek w życiu codziennym

W życiu codziennym ułamek jest stosowany bardzo często, głównie oznacza część (kawałek) jakiejś całości.

Przykład:

  • Gdy podzielimy pizzę na 7 kawałków i zabierzemy 3 kawałki, to będziemy mieli `3/7`  („trzy siódme”) pizzy.

    Ogólnie:

    `a/b`   → jeśli mamy jakiś przedmiot (np. jabłko, tort, pizzę, czekoladę), to mianownik `b`  mówi na ile części go dzielimy, a licznik `a`  – ile takich części zabieramy.

Rodzaje ułamków zwykłych

    1. Ułamek właściwy – ułamek, którego licznik jest mniejszy od mianownika. Ułamek właściwy ma zawsze wartość mniejszą od 1.

      Przykłady:

      • `3/8` 

      • `7/27` 

      •  `1/4` 

      • `0/5` 
         
    2. Ułamek niewłaściwy – ułamek, którego licznik jest większy od mianownika lub jest mu równy. Ułamek niewłaściwy ma zawsze wartość większą od 1 lub równą 1.

      Przykłady:

      • `15/7` 

      • `3/1` 

      • `129/5` 

      • `10/10` 
         
    3. Gdy z ułamków niewłaściwych wyciągniemy całości, powstają liczby mieszane.

      Liczba mieszana składa się z części całkowitej (jest nią liczba naturalna) oraz części ułamkowej (jest nią ułamek zwykły właściwy). 


      Przykłady:

      • `1 3/5` 

      • `5 7/15` 
         

Wyłączanie całości z ułamka niewłaściwego

Wyłączanie całości z ułamka niewłaściwego - krok po kroku

Dzielimy (być może z resztą) licznik przez mianownik (inaczej mówiąc sprawdzamy ile razy mianownik „zmieści się” w liczniku).

Otrzymujemy w ten sposób liczbę naturalną, będącą całością (tzw. część całkowita) oraz resztę, która jest ułamkiem właściwym (tzw. część ułamkowa).


W tym przypadku wykonujemy dokładnie odwrotne działania niż przy zamianie liczby mieszanej na ułamek niewłaściwy. 


Zamiana ułamka niewłaściwego `9/4`  na liczbę mieszaną:

  1. Najpierw dzielimy licznik przez mianownik, czyli `9:4=2 \ \ "r" \ 1 \ \ \ "bo" \ \ \ 2*4+1=8+1=9` 

  2. Otrzymujemy 2 całości. Pozostaje nam jeszcze 1 część. 



Mamy więc: 

`16/3=5 1/3` 

 

Przykłady:

  • `21/4=5 1/4` 

  • `35/6=5 5/6` 


Zamiana ułamka niewłaściwego na liczbę mieszaną lub liczbę naturalną nazywana jest wyłączaniem całości z ułamka

Zamiana liczby mieszanej na ułamek niewłaściwy

Licznik tego ułamka otrzymujemy w następujący sposób: 

  1. Mianownik części ułamkowej mnożymy razy część całkowitą liczby mieszanej.

  2. Do otrzymanego iloczynu dodajemy licznik części ułamkowej.

Mianownik szukanego ułamka niewłaściwego jest równy mianownikowi części ułamkowej liczby mieszanej.

Przykłady: 

`3 1/4=(3*4+1)/4=13/4` 


`5 2/7=(5*7+2)/7=37/7` 

Rozszerzanie i skracanie ułamków

  1. Rozszerzanie ułamków - mnożymy licznik i mianownik przez tą sama liczbę różną od zera; ułamek otrzymamy w ten sposób jest równy ułamkowi wyjściowemu.
    Pamiętajmy jednak, że każdy ułamek można rozszerzyć, jednak nie każdy ułamek można skrócić. Ułamki, których nie da się już skrócić nazywamy ułamkami nieskracalnymi.

    Przykład:
    Rozszerzmy ułamek $3/5$ przez 3, czyli licznik i mianownik mnożymy przez 3:
    $3/5=9/{15}={27}/{45}=...$

  2. Skracanie ułamków - dzielimy licznik i mianownik przez tą samą liczbę różną od zera; ułamek otrzymany w ten sposób jest równy ułamkowi wyjściowemu.

    Przykład:
    Skróćmy ułamek $8/{16}$ przez 2, czyli licznik i mianownik dzielimy przez 2:
    $8/{16}=4/8=2/4=1/2$

Sprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika

Ułamki o różnych mianownikach można sprowadzić do postaci o jednakowych mianownikach.
W tym celu wystarczy rozszerzyć lub skrócić te ułamki (lub jeden z nich) tak, aby w mianowniku otrzymać taka samą liczbę (czyli właśnie ułamki o takich samych mianownikach).

Wspólnym mianownikiem może być wspólna wielokrotność dwóch liczb, będących mianownikami danych ułamków, lub najmniejsza wspólna wielokrotność danych mianowników.
Przykład: Sprowadźmy do wspólnego mianownika ułamki $1/{12}$ i $3/{16}$.

  1. I sposób
    Wspólnym mianownikiem może być wspólna wielokrotność liczb, będących mianownikami danych ułamków, czyli liczba $12•16= 192$.

    W tym przypadku rozszerzamy pierwszy ułamek przez 16, a drugi przez 12, tak aby oba ułamki miały ten sam mianownik (równy $12•16$).
    Następnie rozszerzamy ułamki przez 16 oraz 12:
    $1/{12}= {1•16}/{12•16}= {16}/{192}$
    $3/{16}= {3•12}/{16•12}= {36}/{192}$

  2. II sposób
    Wspólnym mianownikiem może być najmniejsza wspólna wielokrotność dwóch liczb, będących mianownikami danych ułamków, czyli NWW (12, 16).

    nww

    Wspólnym mianownikiem danych ułamków będzie liczba 48.
    $1/{12}= {48÷12•1}/{48}= 4/{48}$
    $3/{16}= {48÷16•3}/{48}= 9/{48}$

    Lub inaczej: pierwszy ułamek rozszerzamy przez 4 (bo $12•4=48$), a drugi przez 3 (bo $16•3=48$).
    $1/{12}={1•4}/{12•4}= 4/{48}$
    $3/{16}={3•3}/{16•3}=9/{48}$

Porównywanie ułamków

Porównywanie dwóch ułamków polega na stwierdzeniu, który z nich jest mniejszy, który większy.

  1. Porównywanie ułamków o takich samych mianownikach
    Jeżeli ułamki zwykłe mają takie same mianowniki, to ten jest większy, który ma większy licznik.

    Przykład:
    $3/8$ < $5/8$

  2. Porównywanie ułamków o takich samych licznikach
    Jeżeli ułamki zwykłe mają takie same liczniki, to ten jest większy, który ma mniejszy mianownik.

    Przykład:
    $4/5$ > $4/9$

  3. Porównywanie ułamków o różnych mianownikach
    Aby porównać ułamki o różnych mianownikach, najpierw sprowadzamy je do wspólnego mianownika, a następnie porównujemy ich liczniki. Z dwóch ułamków o jednakowych mianownikach większy jest, który ma większy licznik.

    Przykład:
    Porównajmy ułamki $2/3$ i $3/4$.
    $2/3$ ? $3/4$

    ${2•4}/{3•4}$ ? ${3•3}/{4•3}$ ← sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika (rozszerzamy ułamki, tak aby w mianownikach otrzymać takie same liczby).

    $8/{12}$ < $9/{12}$

Działania na ułamkach zwykłych

  1. Dodawanie ułamków właściwych o jednakowych mianownikach – dodajemy liczniki, a mianownik pozostawiamy bez zmian.

    Przykład:

    `4/7+6/7=(4+6)/7=10/7=(7+3)/7=7/7+3/7=1+3/7=1 3/7`    

  2. Dodawanie ułamków właściwych o różnych mianownikach – najpierw sprowadzamy je do wspólnego mianownika a następnie wykonujemy dodawanie.

    Przykład:

    `3/10+ 1/5=3/10+ (1*2)/(5*2)=3/10+2/10=(3+2)/10=5/10=(5:5)/(10:5)=1/2`  

    `1/12+3/16=?` 

    Zaczynamy od sprowadzenia ułamków do wspólnego mianownika.
    • I sposób

      Wspólnym mianownikiem może być wspólna wielokrotność liczb będących mianownikami danych ułamków, czyli liczba `12*16=192` . 

      `1/12=(1*16)/(12*16)=16/192` 

      `3/16=(3*12)/(16*12)=36/192`   

      Wykonajmy dodawanie ułamków:

      `1/12+3/16=16/192+36/192=(16+36)/192=52/192=(52:4)/(192:4)=13/48`  

    • II sposób

      Wspólnym mianownikiem może być najmniejsza wspólna wielokrotność dwóch liczb będących mianownikami danych ułamków, czyli NWW (12, 16).

      nww


      Wspólnym mianownikiem danych ułamków będzie liczba 48.

      `1/12=(1*4)/(12*4)=4/48` 

      `3/16=(3*3)/(16*3)=9/48`  

      Wykonajmy dodawanie ułamków:

      `1/12+3/16=4/48+9/48=(4+9)/48=13/48`  

       

  3. Dodawanie liczb mieszanych, których części ułamkowe mają takie same mianowniki.

    • I sposób

      Zamieniamy liczby mieszane na ułamki niewłaściwe, a następnie wykonujemy dodawanie ułamków o jednakowych mianownikach.

      Przykład:

      `2 1/3+1 1/3=(2*3+1)/3+(1*3+1)/3=(6+1)/3+(3+1)/3=7/3+4/3=(7+4)/3=11/3=(9+2)/3=9/3+2/3=3+2/3=3 2/3` 

    • II sposób

      Oddzielnie dodajemy części całkowite i oddzielnie części ułamkowe, które mają identyczne mianowniki.

      Przykład:

      `2 1/3+1 1/3=ul(2)+1/3+ul(1) +1/3=(ul(2+1))+(1/3+1/3)=3+2/3=3 2/3`  

  4. Dodawanie liczb mieszanych, których części ułamkowe mają różne mianowniki

    • I sposób

      Zamieniamy liczby mieszane na ułamki niewłaściwe, następnie sprowadzamy je do wspólnego mianowniku, a potem wykonujemy dodawanie.

      Przykład:

      `2 1/3+1 1/2=7/3+3/2=(7*2)/(3*2)+(3*3)/(2*3)=14/6+9/6=23/6=(18+5)/6=18/6+5/6=3+5/6=3 5/6` 

    • II sposób

      Oddzielnie dodajemy części całkowite i oddzielnie części ułamkowe, które musimy najpierw sprowadzić do wspólnego mianownika.

      Przykład:

      `2 1/3+1 1/2=2+1/3+1+1/2=(2+1)+(1/3+1/2)=3+(2/6+3/6)=3+5/6=3 5/6` 

  5. Odejmowanie ułamków właściwych o jednakowych mianownikach – odejmujemy liczniki, a mianownik pozostawiamy bez zmian.

    Przykład:

    `5/6-2/6=(5-2)/6=3/6=(3:3)/(6:3)=1/2`  

  6. Odejmowanie ułamków właściwych o różnych mianownikach – najpierw sprowadzamy je do wspólnego mianownika, następnie wykonujemy odejmowanie.

    Przykład:

    `3/10-1/5=3/10-(1*2)/(5*2)=3/10-2/10=(3-2)/10=1/10`  

  7. Odejmowanie liczb mieszanych, których części ułamkowe mają takie same mianowniki

    • I sposób

      Zamieniamy liczby mieszane na ułamki niewłaściwe, a następnie wykonujemy odejmowanie ułamków o jednakowych mianownikach.

      Przykład:

      `2 1/3-1 1/3=7/3-4/3=3/3=1`  

    • II sposób

      Oddzielnie odejmujemy części całkowite i oddzielnie części ułamkowe, które mają identyczne mianowniki

      Przykład:

      `2 1/3-1 1/3=(2-1)+(1/3-1/3)=1+0=1`  

  8. Odejmowanie liczb mieszanych, których części ułamkowe mają różne mianowniki.

    • I sposób

      Zamieniamy liczby mieszane na ułamki niewłaściwe, następnie sprowadzamy je do wspólnego mianownika, a potem wykonujemy odejmowanie.

      Przykład:

      `2 1/3-1 1/2=7/3-3/2=(7*2)/(3*2)-(3*3)/(2*3)=14/6-9/6=5/6`  

    • II sposób

      Oddzielnie odejmujemy części całkowite i oddzielnie części ułamkowe, które musimy najpierw sprowadzić do wspólnego mianownika.

      Przykład:

      `2 1/2-1 1/3=(2-1)+(1/2-1/3)=1+((1*3)/(2*3)-(1*2)/(3*2))=1+(3/6-2/6)=1+1/6=1 1/6` 

  9. Odejmowanie ułamka właściwego od liczby naturalnej.

    • I sposób

      Daną liczbę zamieniam na liczbę mieszaną (czyli pożyczam całość z danej liczby i zamieniam ją na ułamek o liczniku i mianowniku równych mianownikowi danego ułamka – patrz przykład), następnie wykonujemy odejmowanie.

      Przykład:

      `15-3/5=14 5/5-3/5=14+5/5-3/5=14+(5/5-3/5)=14+2/5=14 2/5` 

    • II sposób

      Zamieniamy daną liczbę na ułamek niewłaściwy o mianowniku równym mianownikowi danego ułamka, a następnie wykonujemy odejmowanie.

      Przykład:

      `15-3/5=(15*5)/5-3/5=75/5-3/5=72/5=(70+2)/5=70/5+2/5=14 2/5` 

  10. Odejmowanie liczby mieszanej od liczby naturalnej.

    • I sposób

      Daną liczbę zamieniam na liczbę mieszaną (czyli pożyczam całość z danej liczby i zamieniam ją na ułamek o liczniku i mianowniku równych mianownikowi danego ułamkowego – patrz przykład), następnie wykonujemy odejmowanie.

      Przykład:

      `10-2 1/4=9 4/4-2 1/4=(9-2)+(4/4-1/4)=7 +3/4=7 3/4`  

    • II sposób

      Zamieniamy daną liczbę na ułamek niewłaściwy o mianowniku równym mianownikowi części ułamkowej liczby mieszanej oraz liczbę mieszaną zamieniamy na ułamek niewłaściwy, a następnie wykonujemy odejmowanie.

      Przykład:

      `10-2 1/4=(10*4)/4-9/4=40/4-9/4=31/4=(28+3)/4=28/4+3/4=7+3/4=7 3/4` 

  11. Mnożenie ułamka właściwego przez liczbę naturalną – mnożymy licznik przez tę liczbę, a mianownik pozostawiamy bez zmian.

    Przykład:

    `5/7*6=(5*6)/7=30/7=4 2/7` 

  12. Mnożenie liczby mieszanej przez liczbę naturalną

    • I sposób

      Zamieniamy liczbę mieszaną na ułamek niewłaściwy (czyli włączamy całości), a następnie mnożymy licznik przez daną liczbę naturalną, a mianownik pozostawiamy bez zmian.

      Przykład:

      `1 2/5*4=7/5*4=(7*4)/5=28/5=5 3/5` 

    • II sposób

      Liczbę mieszaną przedstawiamy w postaci sumy, a następnie wykonujemy działania korzystając z własności rozdzielności dodawania względem mnożenia.

      Przykład:

      `1 2/5*4=(1+2/5)*4=1*4+2/5*4=4+8/5=4+1 3/5=5 3/5`  

  13. Mnożenie ułamka właściwego przez ułamek właściwy – mnożymy licznik przez licznik, a mianownik przez mianownik.

    Przykład:

    `1/4*3/7=(1*3)/(4*7)=3/28`  

  14. Mnożenie liczb mieszanych – zaczynamy od zamiany liczb mieszanych na ułamki niewłaściwe, a następnie mnożymy licznik przez licznik, a mianownik przez mianownik.

    Przykład:
    `2 4/5*3 1/3=14/strike5^1*strike10^2/3=14/1*2/3=14*2/3=(14*2)/3=28/3=9 1/3` 

  15. Dzielenie ułamków właściwych – aby podzielić ułamek przez ułamek mnożymy pierwszy z nich przez odwrotność drugiego.

    Przykład:
    `12/17:9/5=strike12^4/17*5/strike9^3=4/17*5/3=(4*5)/(17*3)=20/51`  

  16. Dzielenie liczb mieszanych – zaczynamy od zamiany liczb mieszanych na ułamki niewłaściwe, a następnie mnożymy pierwszy z nich przez odwrotność drugiego.

    Przykład:
    `2 4/5:3 1/3=14/5:10/3=strike14^7/5*3/strike10^5=7/5*3/5=(7*3)/(5*5)=21/25`  

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Zamień na ułamki niewłaściwe:

  1. $ 2 1/3 $
  2. $ 5 2/5 $
  3. $ 1 3/4 $
  1. $ 2 1/3=7/3 $
  2. $ 5 2/5={27}/5 $
  3. $ 1 3/4=7/4 $

Zadanie 2.

Podróżnicy mieli do pokonania 76 km. Pierwszego dnia przeszli 20 km, a drugiego 17 km. Jaką część całej trasy przeszli pierwszego dnia, jaką drugiego, a jaka część jeszcze im została?

pierwszy dzień -> ${20}/{76}={10}/{38}={5}/{19}$ całej trasy

drugi dzień -> ${17}/{76}$ całej trasy

pozostała część trasy -> $76-(20+17)=76-37=39 km$ - ${39}/{76}$ całej trasy

Zadanie 3.

Motor pani Oli spala 4 litry benzyny na 100 km. Zapisz za pomocą ułamka, ile litrów benzyny spala ten motor na 1 km.

${4l}/{100km}= {4l}/{100 km}={1}/{25} {l}/{km} $

Odp.: Motor pani Oli spala $1/25$ litra benzyny na 1 km.

Zadanie 4.

Znajdź liczbę x: $x+4/5=1 1/2$.

$x+ 4/5=1 1/2 $

$x=1 1/2-4/5=15/10 - 9/10=6/10=3/5 $

Odp: Liczba x wynosi $3/5$.

Zadanie 5.

Znajdź liczbę 4 razy większą od $7/13$.?

$4• {7}/{13}={4•7}/{13}={28}/{13}=2 {2}/{13}$

Odp.: Ta liczba to $2 {2}/{13}$.

Zadanie 6.

Dorosły kot przesypia przeciętnie $2/3$ doby. Ile godzin dziennie śpi kot?

$2/3 • 24h=16h$

Odp.: Dorosły kot przesypia dziennie 16 godzin.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Ostatnim królem Polski...

Thumb str. 62   2

W wyniku {premium}odejmowania nie jest uwzględniony rok , więc do wyniku  należy dodać

 

Odp. B 

Zapisz pod każdym rysunkiem...

a) Każdy z tych 4 kwadratów składa się ze 100 takich samych kwadracików, zatem

 zamalowanej powierzchni oznacza 1 zamalowany kwadracik
zatem:
{premium}

   

b)

Pierwsze 3 kwadraty składają się ze 100 małych kwadracików. Ostatni kwadrat składa się z 10 prostokątów.

W pierwszym kwadracie mamy zamalować 10% - czyli 10% ze 100 kwadracików. Wiemy, że 10% to   czyli zamalowujemy 10 ze 100 kwadracików. 

W drugim kwadracie mamy zamalować 35% - czyli zamalowujemy 35 ze 100 kwadracików

W trzecim kwadracie mamy zamalować 70% - czyli zamalowujemy 70 ze 100 kwadracików

W czwartym kwadracie mamy zamalować 80%. Wiemy, że 80% to  czyli  . Zamalowujemy więc 8 z 10 kwadracików. 

Liczbą o 47 mniejszą ...

Obliczamy ile wynosi liczba o 47 mniejsza od (-75).  {premium}

 

Liczba o 47 mniejsza od (-75) to (-122). 


Poprawna odpowiedź: C. -122

Przekątne którego czworokąta są prostopadłe?

Prawidłowa odpowiedź to {premium}B.

Wskaż sumy równe 222,22...

Thumb str. 51   3  {premium} Thumb str. 51   3.   Thumb str. 51   3..

Odp. A i C

Narysuj siatkę sześcianu o krawędzi 3 cm ...

Rysujemy siatkę sześcianu.{premium}

Thumb str. 173   3

W trapezie prostokątnym podstawy mają...

Wykonajmy rysunek tego trapezu:   {premium}

a) Zapisz podane ilorazy ...

 

 
{premium}

   

  

 

      


Kreska ułamkowa zastępuje znak dzielenia

Jedna porcja lodów kosztuje 7,20 zł...

Wiemy, że:

-porcja lodów kosztowała 7,20 zł

-gofr z konfiturą kosztował 4,50 zł


a) Obliczmy, ile kosztowały zakupy pana Henryka:  

   {premium}

Zakupy kosztowały 27,90 zł.


b)  

Pan Henryk podał kasjerowi 4 monety 2-złotowe 


c)  

Pan Henryk otrzymał 0,10 zł reszty.

Odpowiedz na pytania...

a) Jaką liczbę należy pomnożyć przez -7, aby otrzymać -147?

Żeby znaleźć szukaną liczbę należy podzielić -147 przez -7:{premium}

 

Sprawdzamy:

 

Odpowiedź: Szukana liczba to 21. 


b) Jaką liczbę należy podzielić przez 23, aby otrzymać -14?

Żeby znaleźć szukaną liczbę należy pomnożyć -14 przez 23:

 

Sprawdzamy:

 

Odpowiedź: Szukana liczba to -322.