Ułamki zwykłe - 5-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Ułamki zwykłe

Ułamek składa się z licznika, mianownika oraz kreski ułamkowej.

ułamek

Wyrażenie postaci $$a/b$$, gdzie a, b to liczby naturalne oraz b jest różne od zera, nazywamy ułamkiem zwykłym.

  Ciekawostka

Współczesny sposób zapisu ułamków pochodzi od matematyków hinduskich, zapisywali oni licznik i mianownik, nie używając jednak kreski rozdzielającej. Dodanie kreski rozdzielającej zawdzięczamy Arabom tłumaczącym dzieła Hindusów. W Europie jako pierwszy w swoich pracach znane do dziś oznaczenie ułamków publikuje włoski matematyk Fibonacci.

Ułamki to inny zapis dzielenia liczb naturalnych.
Iloraz liczb naturalnych $$a÷b$$ możemy zapisać w postaci ułamka $$a/b$$. Dzielna a jest licznikiem ułamka, dzielnik b różny od zera jest mianownikiem, a kreska ułamkowa zastępuje znak dzielenia: $$a÷b = a/b$$, gdzie b jest różne od zera ($$b≠0$$).

Przykłady:

  • $$9/2 = 9÷2$$
  • $$2/3 = 2÷3$$

Odwrotność ułamka

Jeżeli dany jest ułamek $$a/b$$ to ułamek $$b/a$$ nazywamy odwrotnością ułamka $$a/b$$.

Przykłady:

  • $$3/4$$ jest odwrotnością ułamka $$4/3$$,
  • 4 jest odwrotnością ułamka $$1/4$$,
  • $$1/9$$ jest odwrotnością liczby 9.

Ułamek w życiu codziennym

W życiu codziennym ułamek jest stosowany bardzo często, głównie oznacza część (kawałek) jakiejś całości.

Przykład:

  • Gdy podzielimy pizze na 7 kawałków i zabierzemy z 3 kawałki, to będziemy mieli $$3/7$$ („trzy siódme”) pizzy.

    Ogólnie:
    $$a/b$$ → jeśli mamy jakiś przedmiot (np. jabłko, tort, pizze, czekoladę), mianownik b mówi na ile części go dzielimy, a licznik a – ile takich części zabieramy.

Rodzaje ułamków zwykłych

  1. Ułamek właściwy – ułamek, którego licznik jest mniejszy od mianownika. Ułamek właściwy ma zawsze wartość mniejszą od 1.

    Przykłady: $$3/8$$, $${23}/{36}$$, $$1/4$$, $$0/5$$.

  2. Ułamek niewłaściwy – ułamek, którego mianownik jest równy lub mniejszy od licznika. Ułamek niewłaściwy ma zawsze wartość większą od 1.

    Przykłady: $${15}/7$$, $$3/1$$, $${129}/5$$, $${10}/5$$.

  3. Gdy z ułamków niewłaściwych wyciągniemy całości, powstają liczby mieszane. Liczba mieszana jest to suma dwóch składników, z których jeden jest liczbą naturalną (składnik całkowity), a drugi ułamkiem zwykłym właściwym (składnik ułamkowy).

    $$4 1/9= 4 + 1/9$$ ← liczbę mieszaną zapisujemy bez użycia znaku dodawania +.

    Przykłady: $$8/5={13}/5$$, $${13}/4={31}/4$$.

Wyłącznie całości z ułamka niewłaściwego

Wyłącznie całości z ułamka niewłaściwego - dzielimy (być może zresztą) licznik przez mianownik (tzn. sprawdzamy ile razy mianownik „zmieści się” z liczniku) i otrzymujemy w ten sposób liczbę naturalną, będącą całością (tzw. składnik całkowity) oraz resztę, która jest ułamkiem właściwym (tzw. składnik ułamkowy).

wylaczenie
 

Zamiana liczby mieszanej na ułamek niewłaściwy

Zamiana liczby mieszanej na ułamek niewłaściwy – licznik tego ułamka otrzymujemy w następujący sposób: mianownik składnika ułamkowego mnożymy przez składnik całkowity i tego iloczynu dodajemy licznik składnika ułamkowego; mianownik natomiast jest równy mianownikowi składnika ułamkowego.

Przykład: $$3 1/4= {3•4+1}/4= {13}/4$$

Rozszerzanie i skracanie ułamków

  1. Rozszerzanie ułamków - mnożymy licznik i mianownik przez tą sama liczbę różną od zera; ułamek otrzymamy w ten sposób jest równy ułamkowi wyjściowemu.
    Pamiętajmy jednak, że każdy ułamek można rozszerzyć, jednak nie każdy ułamek można skrócić. Ułamki, których nie da się już skrócić nazywamy ułamkami nieskracalnymi.

    Przykład:
    Rozszerzmy ułamek $$3/5$$ przez 3, czyli licznik i mianownik mnożymy przez 3:
    $$3/5=9/{15}={27}/{45}=...$$

  2. Skracanie ułamków - dzielimy licznik i mianownik przez tą samą liczbę różną od zera; ułamek otrzymany w ten sposób jest równy ułamkowi wyjściowemu.

    Przykład:
    Skróćmy ułamek $$8/{16}$$ przez 2, czyli licznik i mianownik dzielimy przez 2:
    $$8/{16}=4/8=2/4=1/2$$

Sprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika

Ułamki o różnych mianownikach można sprowadzić do postaci o jednakowych mianownikach.
W tym celu wystarczy rozszerzyć lub skrócić te ułamki (lub jeden z nich) tak, aby w mianowniku otrzymać taka samą liczbę (czyli właśnie ułamki o takich samych mianownikach).

Wspólnym mianownikiem może być wspólna wielokrotność dwóch liczb, będących mianownikami danych ułamków, lub najmniejsza wspólna wielokrotność danych mianowników.
Przykład: Sprowadźmy do wspólnego mianownika ułamki $$1/{12}$$ i $$3/{16}$$.

  1. I sposób
    Wspólnym mianownikiem może być wspólna wielokrotność liczb, będących mianownikami danych ułamków, czyli liczba $$12•16= 192$$.

    W tym przypadku rozszerzamy pierwszy ułamek przez 16, a drugi przez 12, tak aby oba ułamki miały ten sam mianownik (równy $$12•16$$).
    Następnie rozszerzamy ułamki przez 16 oraz 12:
    $$1/{12}= {1•16}/{12•16}= {16}/{192}$$
    $$3/{16}= {3•12}/{16•12}= {36}/{192}$$

  2. II sposób
    Wspólnym mianownikiem może być najmniejsza wspólna wielokrotność dwóch liczb, będących mianownikami danych ułamków, czyli NWW (12, 16).

    nww

    Wspólnym mianownikiem danych ułamków będzie liczba 48.
    $$1/{12}= {48÷12•1}/{48}= 4/{48}$$
    $$3/{16}= {48÷16•3}/{48}= 9/{48}$$

    Lub inaczej: pierwszy ułamek rozszerzamy przez 4 (bo $$12•4=48$$), a drugi przez 3 (bo $$16•3=48$$).
    $$1/{12}={1•4}/{12•4}= 4/{48}$$
    $$3/{16}={3•3}/{16•3}=9/{48}$$

Porównywanie ułamków

Porównywanie dwóch ułamków polega na stwierdzeniu, który z nich jest mniejszy, który większy.

  1. Porównywanie ułamków o takich samych mianownikach
    Jeżeli ułamki zwykłe mają takie same mianowniki, to ten jest większy, który ma większy licznik.

    Przykład:
    $$3/8$$ < $$5/8$$

  2. Porównywanie ułamków o takich samych licznikach
    Jeżeli ułamki zwykłe mają takie same liczniki, to ten jest większy, który ma mniejszy mianownik.

    Przykład:
    $$4/5$$ > $$4/9$$

  3. Porównywanie ułamków o różnych mianownikach
    Aby porównać ułamki o różnych mianownikach, najpierw sprowadzamy je do wspólnego mianownika, a następnie porównujemy ich liczniki. Z dwóch ułamków o jednakowych mianownikach większy jest, który ma większy licznik.

    Przykład:
    Porównajmy ułamki $$2/3$$ i $$3/4$$.
    $$2/3$$ ? $$3/4$$

    $${2•4}/{3•4}$$ ? $${3•3}/{4•3}$$ ← sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika (rozszerzamy ułamki, tak aby w mianownikach otrzymać takie same liczby).

    $$8/{12}$$ < $$9/{12}$$

Działania na ułamkach zwykłych

  1. Dodawanie ułamków właściwych o jednakowych mianownikach – dodajemy liczniki, a mianownik pozostawiamy bez zmian.

    Przykład:
    $$4/7+6/7={10}/7={13}/7$$

  2. Dodawanie ułamków właściwych o różnych mianownikach – najpierw sprowadzamy je do wspólnego mianownika następnie wykonujemy dodawanie.

    Przykłady:

    1. $$3/{10}+ 1/5=3/{10}+ {1•2}/{5•2}=3/{10}+ 2/{10}=5/{10}={5÷5}/{10÷5}=1/2$$
    2. $$1/{12}+ 3/{16}= ?$$

      Zaczynamy od sprowadzenia ułamków $$1/{12}$$ i $$3/{16}$$ do wspólnego mianownika.
      • I sposób
        Wspólnym mianownikiem może być wspólna wielokrotność liczb, będących mianownikami danych ułamków, czyli liczba $$12•16= 192$$.

        $$1/{12}={192÷12•1}/{192}={16}/{192}$$
        $$3/{16}={192÷16•3}/{192}={36}/{192}$$

        Wykonajmy dodawanie ułamków:
        $$1/{12}+ 3/{16}= {16}/{192}+ {36}/{192}={52}/{192}={52÷4}/{192÷4}={13}/{48}$$

      • II sposób
        wspólnym mianownikiem może być najmniejsza wspólna wielokrotność dwóch liczb, będących mianownikami danych ułamków, czyli NWW (12, 16).

        nww


        Wspólnym mianownikiem danych ułamków będzie liczba 48.
        $$1/{12}={48÷12•1}/{48}= 4/{48}$$
        $$3/{16}={48÷16•3}/{48}= 9/{48}$$

        Wykonajmy dodawanie ułamków:
        $$1/{12}+ 3/{16}=4/{48}+ 9/{48}={13}/{48}$$

  3. Dodawanie liczb mieszanych, których składniki ułamkowe mają takie same mianowniki.

    • I sposób
      Zamieniamy liczby mieszane na ułamki niewłaściwe, a następnie wykonujemy dodawanie ułamków o jednakowych mianownikach.

      Przykład:
      $$2 1/3+ 1 1/3= {2•3+1}/3+{1•3+1}/3=7/3+4/3={11}/3=3 2/3$$

    • II sposób
      Oddzielnie dodajemy składniki całkowite i oddzielnie składniki ułamkowe, które mają identyczne mianowniki.

      Przykład:
      $$2 1/3+ 1 1/3= 2 + 1/3+ 1 + 1/3= 3 + 2/3= 3 2/3$$

  4. Dodawanie liczb mieszanych, których składniki ułamkowe mają różne mianowniki

    • I sposób
      Zamieniamy liczby mieszane na ułamki niewłaściwe, następnie sprowadzamy je do wspólnego mianowniku, a potem wykonujemy dodawanie.

      Przykład:
      $$2 1/3+ 1 1/2= {2•3+1}/3+{1•2+1}/2=7/3+3/2={7•2}/{3•2}+{3•3}/{2•3}={14}/6+9/6={23}/6=3 5/6$$

    • II sposób
      Oddzielnie dodajemy składniki całkowite i oddzielnie składniki ułamkowe, które musimy najpierw sprowadzić do wspólnego mianownika.

      Przykład:
      $$2 1/3+ 1 1/2= 2 + 1/3+ 1 + 1/2= 3 + 1/3+ 1/2= 3 + {1•2}/{3•2}+{1•3}/{2•3}= 3 + 2/6+ 3/6= 3 + 5/6= 3 5/6$$

  5. Odejmowanie ułamków właściwych o jednakowych mianownikach – odejmujemy liczniki, a mianownik pozostawiamy bez zmian.

    Przykład:
    $$5/6-2/6= 3/6={3÷3}/{6÷3}=1/2$$

  6. Odejmowanie ułamków właściwych o różnych mianownikach – najpierw sprowadzamy je do wspólnego mianownika, następnie wykonujemy odejmowanie.

    Przykład:
    $$3/{10}- 1/5=3/{10}- {1•2}/{5•2}=3/{10}- 2/{10}=1/{10}$$

  7. Odejmowanie liczb mieszanych, których składniki ułamkowe mają takie same mianowniki

    • I sposób
      Zamieniamy liczby mieszane na ułamki niewłaściwe, a następnie wykonujemy odejmowanie ułamków o jednakowych mianownikach.

      Przykład:
      $$2 1/3- 1 1/3= {2•3+1}/3-{1•3+1}/3=7/3-4/3=3/3=1$$

    • II sposób
      Oddzielnie odejmujemy składniki całkowite i oddzielnie składniki ułamkowe, które mają identyczne mianowniki

      Przykład:
      $$2 1/3- 1 1/3= 2 + 1/3- 1 - 1/3= 2 – 1 + 1/3- 1/3= 1 + 0 = 1$$

  8. Odejmowanie liczb mieszanych, których składniki ułamkowe mają różne mianowniki.

    • I sposób
      Zamieniamy liczby mieszane na ułamki niewłaściwe, następnie sprowadzamy je do wspólnego mianowniku, a potem wykonujemy odejmowanie.

      Przykład:
      $$2 1/3- 1 1/2={2•3+1}/3-{1•2+1}/2=7/3-3/2={7•2}/{3•2}-{3•3}/{2•3}={14}/6-9/6=5/6$$

    • II sposób
      Oddzielnie odejmujemy składniki całkowite i oddzielnie składniki ułamkowe, które musimy najpierw sprowadzić do wspólnego mianownika.

      Przykład:
      $$2 1/2- 1 1/3= 2 + 1/2- 1 - 1/3= 2 - 1 + 1/2-1/3= 1 +{1•3}/{2•3}- {1•2}/{3•2}= 1 + 3/6- 2/6= 1 + 1/6= 1 1/6$$

  9. Odejmowanie ułamka właściwego od liczby naturalnej.

    • I sposób
      Daną liczbę zamieniam na liczbę mieszaną (czyli pożyczam całość z danej liczby i zamieniam ją na ułamek o liczniku i mianowniku równych mianownikowi danego ułamka – patrz przykład), następnie wykonujemy odejmowanie.

      Przykład:
      $$15 - 3/5= 14 5/5- 3/5= 14 2/5$$

    • II sposób
      Zamieniamy daną liczbę na ułamek niewłaściwy o mianowniku równym mianownikowi danego ułamka, a następnie wykonujemy odejmowanie.

      Przykład:
      $$15 - 3/5= {15•5}/5- 3/5= {75}/5- 3/5={72}/5=14 2/5$$

  10. Odejmowanie liczby mieszanej od liczby naturalnej.

    • I sposób
      Daną liczbę zamieniam na liczbę mieszaną (czyli pożyczam całość z danej liczby i zamieniam ją na ułamek o liczniku i mianowniku równych mianownikowi danego składnika ułamkowego liczby mieszanej – patrz przykład), następnie wykonujemy odejmowanie.

      Przykład:
      $$10 - 2 1/4= 9 4/4- 2 1/4= 7 3/4$$

    • II sposób
      Zamieniamy daną liczbę na ułamek niewłaściwy o mianowniku równym mianownikowi danego składnika ułamkowego liczby mieszanej oraz liczbę mieszaną zamieniamy na ułamek niewłaściwy, a następnie wykonujemy odejmowanie.

      Przykład:
      $$10 - 2 1/4= {10•4}/4- {2•4+1}/4={40}/4 - 9/4= {31}/4=7 3/4$$

  11. Mnożenie ułamka właściwego przez liczbę naturalną – mnożymy licznik przez tę liczbę, a mianownik pozostawiamy bez zmian.

    Przykład:
    $$5/7 • 6= {5•6}/7= {30}/7=4 2/7$$

  12. Mnożenie liczby mieszanej przez liczbę naturalną

    • I sposób
      Zamieniamy liczbę mieszaną na ułamek niewłaściwy (czyli wciągamy całości), a następnie mnożymy licznik przez daną liczbę naturalną, a mianownik pozostawiamy bez zmian.

      Przykład:
      $$1 2/5 • 4=7/5 •4={7•4}/5={28}/5=5 3/5$$

    • II sposób
      Liczbę mieszaną przedstawiamy w postaci sumy, a następnie wykonujemy działania korzystając z własności rozdzielności dodawania względem mnożenia.

      Przykład:
      $$1 2/5 • 4=(1+2/5)•4=1•4+2/5•4=4+{2•4}/5=4+8/5=4+1 3/5=5 3/5$$

  13. Mnożenie ułamka właściwego przez ułamek właściwy – mnożymy licznik przez licznik, a mianownik przez mianownik.

    Przykład:
    $$1/4 • 3/7={1•3}/{4•7}=3/{28}$$

  14. Mnożenie liczb mieszanych – zaczynamy od zamiany liczb mieszanych na ułamki niewłaściwe, a następnie mnożymy licznik przez licznik, a mianownik przez mianownik.

    Przykład:
    $$2 4/5 • 3 1/3={14}/5•{10}/3={14}/1•2/3={28}/3=9 1/3$$

  15. Dzielenie ułamków właściwych – aby podzielić ułamek przez ułamek mnożymy pierwszy z nich przez odwrotność drugiego.

    Przykład:
    $$ {12}/{17} {÷} {9}/{5}= {12}/{17}•5/9= 4/{17}•5/3={20}/{51}$$

  16. Dzielenie liczb mieszanych – zaczynamy od zamiany liczb mieszanych na ułamki niewłaściwe, a następnie mnożymy pierwszy z nich przez odwrotność drugiego.

    Przykład:
    $$2 4/5 ÷ 3 1/3= {14}/{5} {÷} {10}/{3}={14}/5•3/10= 7/5•3/5={21}/{25}$$

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Zamień na ułamki niewłaściwe:

  1. $$ 2 1/3 $$
  2. $$ 5 2/5 $$
  3. $$ 1 3/4 $$
  1. $$ 2 1/3=7/3 $$
  2. $$ 5 2/5={27}/5 $$
  3. $$ 1 3/4=7/4 $$

Zadanie 2.

Podróżnicy mieli do pokonania 76 km. Pierwszego dnia przeszli 20 km, a drugiego 17 km. Jaką część całej trasy przeszli pierwszego dnia, jaką drugiego, a jaka część jeszcze im została?

pierwszy dzień -> $${20}/{76}={10}/{38}={5}/{19}$$ całej trasy

drugi dzień -> $${17}/{76}$$ całej trasy

pozostała część trasy -> $$76-(20+17)=76-37=39 km$$ - $${39}/{76}$$ całej trasy

Zadanie 3.

Motor pani Oli spala 4 litry benzyny na 100 km. Zapisz za pomocą ułamka, ile litrów benzyny spala ten motor na 1 km.

$${4l}/{100km}= {4l}/{100 km}={1}/{25} {l}/{km} $$

Odp.: Motor pani Oli spala $$1/25$$ litra benzyny na 1 km.

Zadanie 4.

Znajdź liczbę x: $$x+4/5=1 1/2$$.

$$x+ 4/5=1 1/2 $$

$$x=1 1/2-4/5=15/10 - 9/10=6/10=3/5 $$

Odp: Liczba x wynosi $$3/5$$.

Zadanie 5.

Znajdź liczbę 4 razy większą od $$7/13$$.?

$$4• {7}/{13}={4•7}/{13}={28}/{13}=2 {2}/{13}$$

Odp.: Ta liczba to $$2 {2}/{13}$$.

Zadanie 6.

Dorosły kot przesypia przeciętnie $$2/3$$ doby. Ile godzin dziennie śpi kot?

$$2/3 • 24h=16h$$

Odp.: Dorosły kot przesypia dziennie 16 godzin.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Jedna podstawa trapezu ma długość 12 cm

Zapiszmy długości podstaw a i b tego trapezu: 

`a=12\ cm`

`b=12\ cm-7\ cm=5\ cm`

 

Wiemy, że wysokość jest równa krótszej podstawie:

`h=5\ cm`

 

Obliczamy pole:

`P=1/2*(a+b)*h=1/2*(12+5)*5=1/2*17*5=85/2=42 1/2\ cm^2`

Dęby stanowią ³/₂₄, a modrzewie ...

Musimy porównać ułamki 3/24  (dęby) oraz 3/21 (modrzewie).

Ułamki mają takie same liczniki, więc ten jest większy, który ma mniejszy mianownik.

`3/24<3/21`

 

Odp: W tym parku jest więcej modrzewi.

Oceń prawdziwość każdego zdania.

`I.\ F`

Liczba jest podzielna przez 5, jeśli jej ostatnią cyfrą jest 0 lub 5. Zatem jeśli liczba ma na końcu 2, to na pewno nie jest podzielna przez 5, co oznacza, że taka liczba nie istnieje.

 

 

`II.\ P`

Takimi liczbami są na przykład: 6, 16, 26, 36.

 

 

`III.\ P`

Liczba jest podzielna przez 2, jeśli jej ostatnią cyfrą jest 0, 2, 4, 6 lub 8. 

Liczba jest podzielna przez 5, jeśli jej ostatnią cyfrą jest 0 lub 5. 

 

Zatem liczba będzie podzielna jednocześnie przez 2 i przez 5, jeśli jej ostatnią cyfrą będzie 0. 

 

 

`IV.\ F`

Na przykład liczby 7, 9 lub 13 są nieparzyste, ale nie dzielą się przez 5. 

Trapez prostokątny ma podstawy o długościach 6,3 cm i 3,7 cm

`P=((a+b)*h)/2= ((6,3+3,7)*5)/2=50/2=25cm^2`

Adaś chodzi z prędkością 3km/h. Ile czasu potrzebowałby Adaś na przejście

Przeliczamy (km)/h na m/h:

`3 (km)/h=3*1000m/h=3000m/h`

W zadaniu 14 obliczono, że obwód budynku ma 1400m. Aby obliczyć ile czasu zajmie Adasiowi przejście takiego dystansu wykinujemy dzielenie:

`1400m:3000m/h=1400/3000h=14/30h=28/60h=28min`

Odp.: Adaś potrzebował na przejście tej drogi 28 minut

Oblicz, ile trzeba zapłacić za: a) 2 kg pomidorów

`a) 2 * 4 zl= 8 zl`

`b) 1,5 * 4 zl= 6 zl`

`c) 3 * 2,8 zl = 3 * 2 zl + 3* 0,8 zl= 6 zl+ 2,4 zl= 8,4 zl`

`d) 2,5 * 2,8zl = 2 1/2 * 2 4/5 = 5/2 * 14/5= 1/1* 7/1= 7 zl`

 

Ile sześcianów o krawędzi długości 1 cm ...

Krawędzie sześcianu mają długość 1 dm. 

Wzdłuż każdej krawędzi (wzdłuż dwóch sąsiednich krawędzi podstawy oraz krawędzi bocznej) możemy ułożyć 10 małych sześcianów o krawędzi długości 10 cm. 

W sześcianie o krawędzi długości 1 dm możemy więc ułożyć sześcianów o krawędzi długości 1 cm: 
`10*10*10=1000` 


Odpowiedź
Możemy ułożyć 1000 sześcianów o krawędzi długości 1 cm. 

Oblicz, wykorzystując możliwość zmiany

a) 2754-1300-754= 2000-1300=700

b) 357-38+43-112= 357+43-38-112= 400-150= 250

c) 794533+56000- 94533-6000= 794533-94533+56000-6000= 700000+50000=750000

Na rysowane punkty są współliniowe, to znaczy leżą na jednej prostej.

a)

L,M,N,O

b)

|KL|,|KM|,|KN|,|KO|,|LM|,|MN|,|LN|,|LO|,|NO|,|MO|

c)

|NO|,|NM|,|NL|,|NK|

d)

L,M

Oblicz, o ile...

a)

Odp. Polska ma o 27570722 mieszkańców wiecej niż Grecja

b)

Odp. Polska ma o 34840541 mieszkańców wiecej niż Litwa

c)

Odp. Niemcy mają o 42650406 mieszkańców więcej niż Polska

d) 

Odp. Włochy mają o 23333843 mieszkańców więcej od Polski