Ułamki dziesiętne - 5-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Ułamki dziesiętne i ich budowa

Ułamki dziesiętne to takie ułamki, których mianownikami są liczby 10, 100, 1000...

Przykłady:

  • $$1/{10}= 0,1$$
  • $$2/{100}= 0,02$$
  • $${15}/{100}= 0,15$$
  • $$3/{1000}= 0,003$$
  • $${25}/{10}= 2,5$$

Ułamki dziesiętne zapisujemy bez użycia kreski ułamkowej, natomiast stosujemy przecinek (zwany przecinkiem dziesiętnym), który oddziela część całkowitą od części ułamkowej.
 

rys1
 

Pierwsze miejsce po przecinku oznacza części dziesiąte, drugie - części setne, trzecie - części tysiączne, czwarte - części dziesięciotysiączne itd.

Przykłady:

cyfry po przecinku
 

Powyższy ułamek możemy rozpisać:

$$0,781= {700}/{1000}+{80}/{1000}+1/{1000}=7/{10}+8/{100}+1/{1000}$$
 

Zauważmy, że 7 to części dziesiąte, 8 części setne, a 1 to części tysięczne.
 

cyfry po przecinku

Powyższy ułamek możemy rozpisać:

$$0,6278= {6278}/{10000}={6000}/{10000}+{200}/{10000}+{70}/{10000}+{8}/{10000}=6/{10}+2/{100}+7/{1000}+8/{10000} $$
 

Zauważmy, że 6 to części dziesiąte, 2 części setne, 7 to części tysięczne, a 8 to części dziesięciotysięczne.

  Ciekawostka

Zapis dziesiętny liczb został opracowany w XV wieku przez perskiego matematyka Al-Kaszi, w jego dziele Miftah al-hisab (Klucz do arytmetyki). Rozpowszechnienie zawdzięczamy jednak holenderskiemu uczonemu Simonowi Stevinowi, który 1585 r. w swej pracy De Thiende (Dziesięcina) omówił istotę ułamków dziesiętnych. Notacja Stevina odbiegała od obecnie stosowanej i była dość skomplikowana, została więc szybko zmieniona. Liczby z przecinkiem błyskawicznie przyjęły się i liczbę wymierną można było wyrazić już nie tylko w postaci ułamka zwykłego. Oddzielenie przecinkiem całości od części dziesiętnych było pomysłem angielskiego matematyka. J. Nepera.

Porównywanie ułamków dziesiętnych

Aby ustalić, który z dwóch ułamków dziesiętnych jest większy, wystarczy porównać kolejno rzędy, zaczynając od najwyższego. Oznacza to, że porównujemy kolejno cyfry z których zbudowany jest ułamek dziesiętny, czyli zaczynamy od cyfr części całkowitej, a później przechodzimy to porównywania cyfr części dziesiętnych.

W praktyce porównywanie ułamków dziesiętnych odbywa się następująco:

  1. Najpierw porównujemy części całkowite, jeżeli nie są równe, to mniejszy jest ułamek o mniejszej części całkowitej,

  2. Jeżeli obie części całkowite są równe, to porównujemy ich części dziesiętne. Jeżeli części dziesiętne nie są równe, to mniejszy jest ułamek o mniejszej części dziesiętnej,

  3. Gdy części dziesiętne są równe, to porównujemy ich części setne, tysięczne itd., aż do uzyskania odpowiedzi.

  Uwaga

Gdy na końcu ułamka dziesiętnego dopisujemy lub pomijamy zero, to jego wartość się nie zmienia.

Aby ustalić, który z dwóch ułamków dziesiętnych jest większy, wystarczy porównać kolejno rzędy, zaczynając od najwyższego. Oznacza to, że porównujemy kolejno cyfry z których zbudowany jest ułamek dziesiętny, czyli zaczynamy od cyfr części całkowitej, a później przechodzimy to porównywania cyfr części dziesiętnych.

W praktyce porównywanie ułamków dziesiętnych odbywa się następująco:
  • Najpierw porównujemy części całkowite, jeżeli nie są równe, to mniejszy jest ułamek o mniejszej części całkowitej,

  • Jeżeli obie części całkowite są równe, to porównujemy ich części dziesiętne. Jeżeli części dziesiętne nie są równe, to mniejszy jest ułamek o mniejszej części dziesiętnej,

  • Gdy części dziesiętne są równe, to porównujemy ich części setne, tysięczne itd., aż do uzyskania odpowiedzi.

  Zapamiętaj

Gdy na końcu ułamka dziesiętnego dopisujemy lub pomijamy zero, to jego wartość się nie zmienia.

Przykłady:
$$0,34=0,340=0,3400=0,34000=...$$
$$0,5600=0,560=0,56$$

W związku z powyższą uwagą, jeżeli w czasie porównywania ułamków w którymś zabraknie cyfr po przecinku, to należy dopisać odpowiednią liczbę zer.

Przykład:
Porównajmy ułamki 5,25 i 5,23.

Przed porównywaniem ułamków wygodnie jest zapisać porównywane liczby jedna pod drugą, ale tak by zgadzały się rzędy, czyli przecinek pod przecinkiem.

porownanie1

Widzimy, że w porównywanych ułamkach części jedności są takie same, części dziesiętne także są równe, natomiast w rzędzie części setnych 5>3, zatem ułamek 5,25 jest większy od 5,23. Zatem 5,25>5,23.

Porównywanie ułamków w przypadku gdy jeden z nich jest ułamkiem dziesiętnym, a drugi ułamkiem zwykłym

  • I sposób
    Zamieniamy ułamek zwykły na ułamek dziesiętny. Następnie porównujemy ułamki dziesiętne według zasady opisanej powyżej.

    Przykład: Porównajmy ułamki 0,75 i $$7/{10}$$.
    Zamieniamy ułamek zwykły $$7/10$$ na ułamek dziesiętny:

    $$7/{10}= 0,7$$ ← Nie mamy żadnych całości w ułamku zwykły, a więc zapisujemy 0, a następnie stawiamy przecinek. W mianowniku ułamka zwykłego jest liczba 10, a więc po przecinku mamy tylko jedną cyfrę (część dziesiętną) - przepisujemy w to miejsce 7.

    Teraz możemy porównać ułamki dziesiętne 0,75 i 0,7, porównując kolejne cyfry, z których zbudowane są nasze ułamki. Pamiętajmy, że na końcu ułamka można dopisać lub usunąć zero, co nie zmienia wartości ułamka.

    porownywanie-ulamka

    Widzimy, że w porównywanych ułamkach części jedności są takie same, części dziesiętne także są równe, natomiast w rzędzie części setnych 5 > 0, zatem ułamek 0,75 jest większy od 0,7.
    Zatem 0,75 > 0,7

  • II sposób
    Zamieniamy ułamek zwykły na ułamek dziesiętny. Następnie porównujemy ułamki dziesiętne według zasady opisanej powyżej.

    Przykład: Porównajmy ułamki 0,75 i $$7/{10}$$.
    Zamieniamy ułamek dziesiętny 0,75 na ułamek zwykły:

    $$0,75 = {75}/{100}$$ ← licznikiem ułamka zwykłego jest liczba 75 (ponieważ taką liczbę tworzą cyfry ułamka dziesiętnego bez przecinka), mianownikiem ułamka zwykłego jest liczba zbudowana z 1 oraz z dwóch zer, czyli liczba 100, ponieważ dwie cyfry stoją po przecinku.

    Otrzymany ułamek zwykły możemy skrócić, dzieląc licznik i mianownik przez 25:
    $${75}/{100}={75÷25}/{100÷25}= 3/4$$

    Teraz możemy porównać otrzymane ułamki zwykłe $$3/4$$ i $$7/10$$ Aby porównać powyższe ułamki musimy sprowadzić je do wspólnego mianownika.
    Aby sprowadzić ułamki do wspólnego mianownika wyznaczam najmniejszą wspólną wielokrotność liczb znajdujących się w mianownikach danych ułamków, czyli wyznaczam NWW(4, 10).

    W tym celu liczby 4 i 10 rozkładam na czynniki pierwsze:

    rozklad

    W powyższych rozkładach wybieramy wszystkie liczby, które występowały w rozkładach, przy czym dany czynnik pierwszy w iloczynie występuje tyle razy, ile razy występował w rozkładzie, w którym pojawił się najwięcej razy – w powyższych rozkładach zaznaczono je kolorem czerwonym (i tak bierzemy liczbę 2 dwa razy, liczbę 5 jeden raz). Najmniejsza wspólna wielokrotność jest iloczynem tych liczb.

    $$NWW(4,10)=2•2•5=20$$
    Zatem wspólnym mianownikiem ułamków $$3/4$$ i $$7/{10}$$ jest liczba 20.

    Sprowadzam ułamki do wspólnego mianownika:

    $$3/4= {20÷4•3}/{20}={15}/{20]$$
    $$7/{10}={20÷10•7}/20={14}/{20}$$

    Możemy już porównać ułamki, porównując ich liczniki. Widzimy, że: $${15}/{20}$$ > $${14}/{20}$$.
    Zatem $$3/4$$ > $$7/{10}$$.

Mnożenie ułamków dziesiętnych

Mnożenie ułamka dziesiętnego przez liczbę naturalną lub drugi ułamek dziesiętny, wykonujemy tak samo jak mnożenie liczb naturalnych   Działania pisemne. Ułamki lub ułamek i liczbę podpisujemy jeden pod drugim, wyrównując do prawej strony, a w wyniku końcowym przecinek stawiamy tak, aby w iloczynie było tyle cyfr, ile jest ich w obu czynnikach razem.

  Zapamiętaj

Liczba naturalna nie ma cyfr po przecinku, dlatego przy mnożeniu jej przez ułamek dziesiętny, w wyniku oddzielamy tylko tyle cyfr, ile było cyfr po przecinku w ułamku dziesiętnym.

Przykład:

$$0,47•4 = ?$$

pisemne1

$$0,47•4 = 1,88$$
 

Przykład:

$$1,26•3,4 = ?$$

pisemne2

$$1,26•3,4 = 4,284$$
 

Dzielenie ułamków dziesiętnych

  • Dzielenie ułamka dziesiętnego przez liczbę naturalną - wykonujemy działania tak jak na liczbach naturalnych   Działania pisemne, a w wyniku dopisujemy przecinek w miejscu nad przecinkiem dzielnej.

  • Dzielenie ułamków dziesiętnych – rozpoczynamy od pomnożenia dzielnej i dzielnika przez 10 albo 100 albo 1000, … tak aby dzielnik stał się liczbą naturalną (usuwamy po prostu przecinek z dzielnika). W praktyce polega to na tym, że w dzielnej i dzielniku przesuwa się przecinek w prawo o tyle miejsc, ile cyfr po przecinku zawiera dzielnik. Następnie wykonujemy dzielenie jak na liczbach naturalnych   Działania pisemne. W wyniku przecinek stawiamy nad przecinkiem.
     

    Przykład:

    $$18,34 ÷ 14 = ?$$

    dzielenie1

    $$18,34 ÷ 14 = 1,31$$
     

    Przykład:

    $$1,134 ÷ 0,18 =?$$

    Rozpoczynam od przesunięcia przecinków o dwa miejsca w prawo. W rezultacie otrzymujemy następujące działanie do wykonania: $$113,4 ÷ 18$$.

    dzielenie2

    $$1,134 ÷ 0,18 = 6,3$$
     

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Która z podanych liczb jest większa?

  1. $$ 1 1/4$$ czy $$1,26 $$
  2. $$ 3 1/5$$ czy $$3,3 $$
  3. $$ 3,125$$ czy $$ 13/4 $$
  1. $$ 1 1/4$$ < $$1,26 $$
  2. $$ 3 1/5$$ < $$3,3 $$
  3. $$ 3,125$$ < $$ {13}/{4} $$

Zadanie 2.

Wyraź:

  1. 6 mm w centymetrach
  2. 20 m 3 dm w metrach
  3. 210 g w kilogramach
  1. $$ 6 mm=0,6 cm $$
  2. $$ 20 m 3 dm=20,3 m $$
  3. $$ 210 g=0,210 kg $$

Zadanie 3.

Znajdź liczbę x w równaniu $$x+3,458=12,031$$.

$$x+3,458=12,031$$ -> $$x=12,031-3,458=8,573$$

Odp.: Liczba x wynosi $$8,573$$.

Zadanie 4.

Marysia miała 34 zł. W sklepie papierniczym kupiła piórnik za 12,35 zł, a później poszła na lody. Zostało jej 18 zł i 10 gr. Ile kosztowały lody?

$$34-(18,10+12,35)=34-30,45=3,55 zł$$

Odp.: Lody kosztowały 3 zł i 55 gr.

Zadanie 5.

Zapisz nie używając przecinka:

  1. 5,5 tys. złotych – ile to złotych?
  2. 2,8 mln. osób – ile to osób?
  1. $$5,5 tys.=5,5 • 1000=5500 $$
  2. $$2,8 mln=2,8 • 1000000=2800000 $$

Zadanie 6.

Znajdź liczbę dwa i pół razy większą od:

  1. $$ 0,6 $$
  2. $$ 12,4 $$
  3. $$ 2,9 $$
  1. $$ 0,6 • 2,5=1,5 $$
  2. $$ 12,4 • 2,5=31 $$
  3. $$ 2,9 • 2,5=7,25 $$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Weź dowolną liczbę, pomnóż ją najpierw przez 3,75

Narysuj siatkę prostopadłościanu ...

Przykładowa siatka prostopadłościanu o wymiarach 1 cm x 3 cm x 5 cm:

 

Pole powierzchni prostopadłościanu obliczamy ze wzoru:

`P_c=2ab+2bc+2ac`

gdzie a,b,c - długość, szerokość i wysokość prostopadłościanu.

Dla prostopadłościanu, którego pole powierzchni obliczamy mamy:

a = 1 cm, b = 3 cm, c = 5cm

Podstawiamy dane do wzoru:

`P_c=2*1*3+2*3*5+2*1*5`

`P_c=6+30+10`

`P_c=46[cm^2]`

Odp: Pole powierzchni prostopadłościanu o wymiarach 1 cm x 3  cm x 5 cm wynosi 46 cm².

W tabeli podano wartości odżywcze mleka koziego. Zapisz ułamki dziesiętne słownie.

Wartość energetyczna 52 kcal- pięćdziesiąt dwa

2,72 dwa i siedemdziesiąt dwie setne

65,70 sześćdziesiąt pięć i siedem dziesiątych

27,10 dwadzieścia siedem i jedna dziesiąta

6,81 sześć i osiemdziesiąt jeden setnych

21,55 dwadzieścia jeden i pięćdziesiąt pięć setnych

0,05 pięć setnych

1,81 jeden i osiemdziesiąt jeden setnych

Z cyfr 0, 5, 9 utwórz liczbę, w której cyfry

Liczba jest podzielna przez 5, jeśli jej ostatnią cyfrą jest 0 lub 5. 

 

`a)`

Takie liczby to 50, 55, 90 i 95. 

Są więc cztery takie liczby. 

 

 

`b)`

Takie liczby to 500, 505, 550, 555, 590, 595, 900, 905, 950, 955, 990 i 995. 

Jest więc dwanaście takich liczb. 

Na każdym rysunku podane są rozwartości

`a)\ 180^o-80^o=100^o`

`b)\ 180^o-120^o=60^o`

`c)\ 180^o-117^o=63^o`

Wstaw znak...

a) 3 257 > 3 199

b) 41 317 > 38 629

c) 1 032 051 > 99 339

Na stole leży 15 cukierków. Wśród nich 2/3 stanowią cukierki

`2/strike3^1 * strike15^5= 2* 5= 10`

`1/strike5^1 * strike15^3= 3`

 

`15-10-3= 2`

 

Na stole jest 10 cukierków owocowych, 3 czekoladowe i 2 krówki.

 

 

Ramkę należy pomalować dwukrotnie lakierem do drewna. Czy ...

Obliczamy, ile wynosi pole powierzchni ramki wraz z jej środkiem (ramka + biała część wewnątrz). 

Podstawa ma długość 35 cm, a wysokość ma długość 25 cm. 
`a=35 \ "cm"` 
`h=25 \ "cm"` 
`P_("r+ś")=35 \ "cm"*25 \ "cm"=875 \ "cm"^2`  

Pole powierzchni ramki wraz ze środkiem wynosi 875 cm2


Grubość ramki wynosi 3 cm. 

Oznacza to, że środek ramki (biała część) jest równoległobokiem o podstawie długości 29 cm i wysokości długości 19 cm. 
`a=29 \ "cm"` 
`h=19 \ "cm"` 

Obliczamy ile wynosi pole powierzchni środkowej części. 
`P=29 \ "cm"*19 \ "cm"=551 \ "cm"^2` 

Pole powierzchni środkowej części wynosi 551 cm2.  


Obliczamy ile wynosi pole powierzchni ramki.
W tym celu od pola powierzchni ramki i środkowej części odejmujemy pole powierzchni środkowej części. 
`875 \ "cm"^2-551 \ "cm"^2=324 \ "cm"^2` 

Pole powierzchni ramki wynosi 324 cm2

Ramkę chcemy pomalować dwukrotnie, czyli powierzchnia jaką należy pomalować wynosi: 
`2*324 \ "cm"^2=648 \ "cm"^2` 


1 puszka lakieru wystarcza na pomalowanie 0,1 m2 powierzchni. 
`1 \ "m"^2=10 \ 000 \ "cm"^2` 

Zatem: 
`0,1 \ "m"^2=1000 \ "cm"^2` 

1 puszka lakieru wystarcza na pomalowanie 1000 cm2


`648 \ "cm"^2 \ \ < \ \ 1000 \ "cm"^2` 

Powierzchnia jaką należy pomalować jest mniejsza od powierzchni, jaką można pomalować 1 puszką lakieru. 

Oznacza to, że 1 puszka lakieru wystarczy na dwukrotne pomalowanie ramki. 

Czterech pracowników wykonało wspólnie pewne zadanie. Pierwszy ...

Pierwszy pracownik wykonał 1/2 całej pracy, czyli 50% tej pracy, gdyż:
`1/2=50%`  


Drugi pracownik wykonał 1/10 całej pracy, czyli 10% tej pracy, gdyż: 
`1/10=10/100=10%` 


Trzeci pracownik wynkonał 2/5 całej pracy, czyli 40% całej pracy, gdyż:
`2/5=40/100=40%` 


Odpowiedź
Pierwszy pracownik wykonał 50% pracy, drugi pracownik wykonał 10% a trzeci pracownik wykonał 40% pracy. 

Które z liczb w chmurce są podzielne przez 3? Które są podzielne przez 9?

142

1+4+2=7

Niepodzielna przez 3 i przez 9.

 

411

4+1+1=6

Podzielna przez 3, niepodzielna przez 9.

 

540

5+4+0=9

Podzielna przez 3 i przez 9.

 

511

5+1+1=7

Niepodzielna przez 3 i przez 9.

 

297

2+9+7=18

Podzielna przez 3 i przez 9.