Ułamki dziesiętne - 5-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Ułamki dziesiętne i ich budowa

Ułamki dziesiętne to takie ułamki, których mianownikami są liczby 10, 100, 1000...

Przykłady:

  • $$1/{10}= 0,1$$
  • $$2/{100}= 0,02$$
  • $${15}/{100}= 0,15$$
  • $$3/{1000}= 0,003$$
  • $${25}/{10}= 2,5$$

Ułamki dziesiętne zapisujemy bez użycia kreski ułamkowej, natomiast stosujemy przecinek (zwany przecinkiem dziesiętnym), który oddziela część całkowitą od części ułamkowej.
 

rys1
 

Pierwsze miejsce po przecinku oznacza części dziesiąte, drugie - części setne, trzecie - części tysiączne, czwarte - części dziesięciotysiączne itd.

Przykłady:

cyfry po przecinku
 

Powyższy ułamek możemy rozpisać:

$$0,781= {700}/{1000}+{80}/{1000}+1/{1000}=7/{10}+8/{100}+1/{1000}$$
 

Zauważmy, że 7 to części dziesiąte, 8 części setne, a 1 to części tysięczne.
 

cyfry po przecinku

Powyższy ułamek możemy rozpisać:

$$0,6278= {6278}/{10000}={6000}/{10000}+{200}/{10000}+{70}/{10000}+{8}/{10000}=6/{10}+2/{100}+7/{1000}+8/{10000} $$
 

Zauważmy, że 6 to części dziesiąte, 2 części setne, 7 to części tysięczne, a 8 to części dziesięciotysięczne.

  Ciekawostka

Zapis dziesiętny liczb został opracowany w XV wieku przez perskiego matematyka Al-Kaszi, w jego dziele Miftah al-hisab (Klucz do arytmetyki). Rozpowszechnienie zawdzięczamy jednak holenderskiemu uczonemu Simonowi Stevinowi, który 1585 r. w swej pracy De Thiende (Dziesięcina) omówił istotę ułamków dziesiętnych. Notacja Stevina odbiegała od obecnie stosowanej i była dość skomplikowana, została więc szybko zmieniona. Liczby z przecinkiem błyskawicznie przyjęły się i liczbę wymierną można było wyrazić już nie tylko w postaci ułamka zwykłego. Oddzielenie przecinkiem całości od części dziesiętnych było pomysłem angielskiego matematyka. J. Nepera.

Porównywanie ułamków dziesiętnych

Aby ustalić, który z dwóch ułamków dziesiętnych jest większy, wystarczy porównać kolejno rzędy, zaczynając od najwyższego. Oznacza to, że porównujemy kolejno cyfry z których zbudowany jest ułamek dziesiętny, czyli zaczynamy od cyfr części całkowitej, a później przechodzimy to porównywania cyfr części dziesiętnych.

W praktyce porównywanie ułamków dziesiętnych odbywa się następująco:

  1. Najpierw porównujemy części całkowite, jeżeli nie są równe, to mniejszy jest ułamek o mniejszej części całkowitej,

  2. Jeżeli obie części całkowite są równe, to porównujemy ich części dziesiętne. Jeżeli części dziesiętne nie są równe, to mniejszy jest ułamek o mniejszej części dziesiętnej,

  3. Gdy części dziesiętne są równe, to porównujemy ich części setne, tysięczne itd., aż do uzyskania odpowiedzi.

  Uwaga

Gdy na końcu ułamka dziesiętnego dopisujemy lub pomijamy zero, to jego wartość się nie zmienia.

Aby ustalić, który z dwóch ułamków dziesiętnych jest większy, wystarczy porównać kolejno rzędy, zaczynając od najwyższego. Oznacza to, że porównujemy kolejno cyfry z których zbudowany jest ułamek dziesiętny, czyli zaczynamy od cyfr części całkowitej, a później przechodzimy to porównywania cyfr części dziesiętnych.

W praktyce porównywanie ułamków dziesiętnych odbywa się następująco:
  • Najpierw porównujemy części całkowite, jeżeli nie są równe, to mniejszy jest ułamek o mniejszej części całkowitej,

  • Jeżeli obie części całkowite są równe, to porównujemy ich części dziesiętne. Jeżeli części dziesiętne nie są równe, to mniejszy jest ułamek o mniejszej części dziesiętnej,

  • Gdy części dziesiętne są równe, to porównujemy ich części setne, tysięczne itd., aż do uzyskania odpowiedzi.

  Zapamiętaj

Gdy na końcu ułamka dziesiętnego dopisujemy lub pomijamy zero, to jego wartość się nie zmienia.

Przykłady:
$$0,34=0,340=0,3400=0,34000=...$$
$$0,5600=0,560=0,56$$

W związku z powyższą uwagą, jeżeli w czasie porównywania ułamków w którymś zabraknie cyfr po przecinku, to należy dopisać odpowiednią liczbę zer.

Przykład:
Porównajmy ułamki 5,25 i 5,23.

Przed porównywaniem ułamków wygodnie jest zapisać porównywane liczby jedna pod drugą, ale tak by zgadzały się rzędy, czyli przecinek pod przecinkiem.

porownanie1

Widzimy, że w porównywanych ułamkach części jedności są takie same, części dziesiętne także są równe, natomiast w rzędzie części setnych 5>3, zatem ułamek 5,25 jest większy od 5,23. Zatem 5,25>5,23.

Porównywanie ułamków w przypadku gdy jeden z nich jest ułamkiem dziesiętnym, a drugi ułamkiem zwykłym

  • I sposób
    Zamieniamy ułamek zwykły na ułamek dziesiętny. Następnie porównujemy ułamki dziesiętne według zasady opisanej powyżej.

    Przykład: Porównajmy ułamki 0,75 i $$7/{10}$$.
    Zamieniamy ułamek zwykły $$7/10$$ na ułamek dziesiętny:

    $$7/{10}= 0,7$$ ← Nie mamy żadnych całości w ułamku zwykły, a więc zapisujemy 0, a następnie stawiamy przecinek. W mianowniku ułamka zwykłego jest liczba 10, a więc po przecinku mamy tylko jedną cyfrę (część dziesiętną) - przepisujemy w to miejsce 7.

    Teraz możemy porównać ułamki dziesiętne 0,75 i 0,7, porównując kolejne cyfry, z których zbudowane są nasze ułamki. Pamiętajmy, że na końcu ułamka można dopisać lub usunąć zero, co nie zmienia wartości ułamka.

    porownywanie-ulamka

    Widzimy, że w porównywanych ułamkach części jedności są takie same, części dziesiętne także są równe, natomiast w rzędzie części setnych 5 > 0, zatem ułamek 0,75 jest większy od 0,7.
    Zatem 0,75 > 0,7

  • II sposób
    Zamieniamy ułamek zwykły na ułamek dziesiętny. Następnie porównujemy ułamki dziesiętne według zasady opisanej powyżej.

    Przykład: Porównajmy ułamki 0,75 i $$7/{10}$$.
    Zamieniamy ułamek dziesiętny 0,75 na ułamek zwykły:

    $$0,75 = {75}/{100}$$ ← licznikiem ułamka zwykłego jest liczba 75 (ponieważ taką liczbę tworzą cyfry ułamka dziesiętnego bez przecinka), mianownikiem ułamka zwykłego jest liczba zbudowana z 1 oraz z dwóch zer, czyli liczba 100, ponieważ dwie cyfry stoją po przecinku.

    Otrzymany ułamek zwykły możemy skrócić, dzieląc licznik i mianownik przez 25:
    $${75}/{100}={75÷25}/{100÷25}= 3/4$$

    Teraz możemy porównać otrzymane ułamki zwykłe $$3/4$$ i $$7/10$$ Aby porównać powyższe ułamki musimy sprowadzić je do wspólnego mianownika.
    Aby sprowadzić ułamki do wspólnego mianownika wyznaczam najmniejszą wspólną wielokrotność liczb znajdujących się w mianownikach danych ułamków, czyli wyznaczam NWW(4, 10).

    W tym celu liczby 4 i 10 rozkładam na czynniki pierwsze:

    rozklad

    W powyższych rozkładach wybieramy wszystkie liczby, które występowały w rozkładach, przy czym dany czynnik pierwszy w iloczynie występuje tyle razy, ile razy występował w rozkładzie, w którym pojawił się najwięcej razy – w powyższych rozkładach zaznaczono je kolorem czerwonym (i tak bierzemy liczbę 2 dwa razy, liczbę 5 jeden raz). Najmniejsza wspólna wielokrotność jest iloczynem tych liczb.

    $$NWW(4,10)=2•2•5=20$$
    Zatem wspólnym mianownikiem ułamków $$3/4$$ i $$7/{10}$$ jest liczba 20.

    Sprowadzam ułamki do wspólnego mianownika:

    $$3/4= {20÷4•3}/{20}={15}/{20]$$
    $$7/{10}={20÷10•7}/20={14}/{20}$$

    Możemy już porównać ułamki, porównując ich liczniki. Widzimy, że: $${15}/{20}$$ > $${14}/{20}$$.
    Zatem $$3/4$$ > $$7/{10}$$.

Mnożenie ułamków dziesiętnych

Mnożenie ułamka dziesiętnego przez liczbę naturalną lub drugi ułamek dziesiętny, wykonujemy tak samo jak mnożenie liczb naturalnych   Działania pisemne. Ułamki lub ułamek i liczbę podpisujemy jeden pod drugim, wyrównując do prawej strony, a w wyniku końcowym przecinek stawiamy tak, aby w iloczynie było tyle cyfr, ile jest ich w obu czynnikach razem.

  Zapamiętaj

Liczba naturalna nie ma cyfr po przecinku, dlatego przy mnożeniu jej przez ułamek dziesiętny, w wyniku oddzielamy tylko tyle cyfr, ile było cyfr po przecinku w ułamku dziesiętnym.

Przykład:

$$0,47•4 = ?$$

pisemne1

$$0,47•4 = 1,88$$
 

Przykład:

$$1,26•3,4 = ?$$

pisemne2

$$1,26•3,4 = 4,284$$
 

Dzielenie ułamków dziesiętnych

  • Dzielenie ułamka dziesiętnego przez liczbę naturalną - wykonujemy działania tak jak na liczbach naturalnych   Działania pisemne, a w wyniku dopisujemy przecinek w miejscu nad przecinkiem dzielnej.

  • Dzielenie ułamków dziesiętnych – rozpoczynamy od pomnożenia dzielnej i dzielnika przez 10 albo 100 albo 1000, … tak aby dzielnik stał się liczbą naturalną (usuwamy po prostu przecinek z dzielnika). W praktyce polega to na tym, że w dzielnej i dzielniku przesuwa się przecinek w prawo o tyle miejsc, ile cyfr po przecinku zawiera dzielnik. Następnie wykonujemy dzielenie jak na liczbach naturalnych   Działania pisemne. W wyniku przecinek stawiamy nad przecinkiem.
     

    Przykład:

    $$18,34 ÷ 14 = ?$$

    dzielenie1

    $$18,34 ÷ 14 = 1,31$$
     

    Przykład:

    $$1,134 ÷ 0,18 =?$$

    Rozpoczynam od przesunięcia przecinków o dwa miejsca w prawo. W rezultacie otrzymujemy następujące działanie do wykonania: $$113,4 ÷ 18$$.

    dzielenie2

    $$1,134 ÷ 0,18 = 6,3$$
     

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Która z podanych liczb jest większa?

  1. $$ 1 1/4$$ czy $$1,26 $$
  2. $$ 3 1/5$$ czy $$3,3 $$
  3. $$ 3,125$$ czy $$ 13/4 $$
  1. $$ 1 1/4$$ < $$1,26 $$
  2. $$ 3 1/5$$ < $$3,3 $$
  3. $$ 3,125$$ < $$ {13}/{4} $$

Zadanie 2.

Wyraź:

  1. 6 mm w centymetrach
  2. 20 m 3 dm w metrach
  3. 210 g w kilogramach
  1. $$ 6 mm=0,6 cm $$
  2. $$ 20 m 3 dm=20,3 m $$
  3. $$ 210 g=0,210 kg $$

Zadanie 3.

Znajdź liczbę x w równaniu $$x+3,458=12,031$$.

$$x+3,458=12,031$$ -> $$x=12,031-3,458=8,573$$

Odp.: Liczba x wynosi $$8,573$$.

Zadanie 4.

Marysia miała 34 zł. W sklepie papierniczym kupiła piórnik za 12,35 zł, a później poszła na lody. Zostało jej 18 zł i 10 gr. Ile kosztowały lody?

$$34-(18,10+12,35)=34-30,45=3,55 zł$$

Odp.: Lody kosztowały 3 zł i 55 gr.

Zadanie 5.

Zapisz nie używając przecinka:

  1. 5,5 tys. złotych – ile to złotych?
  2. 2,8 mln. osób – ile to osób?
  1. $$5,5 tys.=5,5 • 1000=5500 $$
  2. $$2,8 mln=2,8 • 1000000=2800000 $$

Zadanie 6.

Znajdź liczbę dwa i pół razy większą od:

  1. $$ 0,6 $$
  2. $$ 12,4 $$
  3. $$ 2,9 $$
  1. $$ 0,6 • 2,5=1,5 $$
  2. $$ 12,4 • 2,5=31 $$
  3. $$ 2,9 • 2,5=7,25 $$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Niebieskim kolorem....

a) pokreślić 36,72

NWW(12,9)=36

b) podkreślić 30,60,90

NWW(6,15)=30

c) podkreślić 48,96

NWW(12,16)=48

d) podreślicć 60,120

NWW(6,20)=60

e) podkreślić 80

NWW(10,16)=80

f) podkreślić  75,150

NWW(15,25)=75

Narysuj pięciokąt KWIAT. Z każdego wierzchołka...

{premium}


Po narysowaniu pięciu przekątnych z kolejnych wierzchołków (jak na rysunku powyżej),

pozostałe przekątne będą się pokrywały z już narysowanymi.


Pięciokąt ma  przekątnych.

Skorzystaj z tego, że 5²=5∙5=25

a) Podkreśl ułamki większe ...

a) Ułamki większe od 1 to takie ułamki, w których licznik jest większy od mianownika. 

Ułamki, które należy podkreślić to:

 
 


b) Porównujemy podane ułamki.

  [licznik jest większy od mianownika, więc ułamek jest większy od 1]

  [licznik jest mniejszy od mianownika, więc ułamek jest mniejszy od 1]   

Zatem:

 
 


  [licznik jest mniejszy od mianownika, więc ułamek jest mniejszy od 1] 

  [licznik jest większy od mianownika, więc ułamek jest większy od 1]

Zatem:

   
 


  [licznik jest mniejszy od mianownika, więc ułamek jest mniejszy od 1]

  [licznik jest większy od mianownika, więc ułamek jest większy od 1]

Zatem:

  

Które z poniższych figur...

Wielokąt jest to figura ograniczona łamaną zamkniętą
(łamana zamknięta składa się z odcinków połączonych ze sobą w taki sposób,
aby początek jednego stanowił koniec drugiego). 

Figury oznaczone literami: A, C, F oraz K nie są
{premium}
wielokątami, ponieważ co najmniej jeden z ich boków jest łukiem a nie odcinkiem. 

Wielokątami figury oznaczone literami: B, C, D, E, G, H, I oraz J 

Wstaw znak < ....

Sprawdzając, która  z liczb jest większa możemy porównać obie te liczby z trzecią liczbą np. z  


 

 

zatem:

 

należy wstawić znak "<"

{premium}

 


 

 

 

zatem:

 
należy wstawić znak "<"

 


 

 

zatem:

 
należy wstawić znak ">"

Uzupełnij...

 

 

 

 

Trzycyfrowa liczba 4*6 jest wielokrotnością liczby 52. ...

Wiemy, że każda kolejna wielokrotność liczby 52 jest o 52 większa od poprzedniej.

Znajdźmy więc jakąkolwiek wielokrotność liczby 52, która jest zbliżona do szukanej liczby, czyli o wartości około 400.

Być może od razu uda nam się oszacować tą wielokrotność, a jeśli nie, to wystarczy że odejmiemy lub dodamy do niej 52. 

Wiemy, że: {premium}

Ty samym:

Obliczmy więc wartość tego iloczynu (tej wielokrotności liczby 52):

Jak widać ośmiokrotność liczby 52 to wielokrotność której szukamy.


Odpowiedź: Gwiazdkę należy zastąpić cyfrą 1.

a) Danka ułożyła warstwę kloców, a Marek ...

a) Danka ułożyła warstwę klocków składającą z 5 rzędów klocków. W każdym rzędzie znajdowało się 6 klocków. 

Łączna liczba klocków to (po 6 klocków w 5 rzędach): 
 

{premium}

b) Pierwsza figura

Danka dołożyła drugą warstwę klocków (taką samą jak poprzednia). 

Figura składa się z 2 warstw. Każda warstwa składa się z 5 rzędów klocków, w każdym rzędzie po 6 klocków. 

Łączna liczba klocków to: 
 


Druga figura:

Figura składa się z 5 warstw. Każda warstwa składa się z 5 rzędów klocków, w każdym rzędzie po 6 klocków. 

Łączna liczba klocków to: 
 


Trzecia figura: 

Figura składa się z 9 warstw. Każda warstwa składa się z 5 rzędów klocków, w każdym rzędzie po 6 klocków. 

Łączna liczba klocków to:
  

Pomnóż liczby, zamieniając każdą z nich...

 

w czynniku  występuje jedna cyfra po przecinku

w czynniku  występuje jedna cyfra po przecinku

{premium}

w wyniku   występują dwie cyfry po przecinku

 

w czynniku  występuje jedna cyfra po przecinku

w wyniku   występują dwie cyfry po przecinku

 

w czynniku  występują dwie cyfry po przecinku

w czynniku  występuje jedna cyfra po przecinku

w wyniku   występują trzy cyfry po przecinku



 

w czynniku  występują dwie cyfry po przecinku

 w czynniku  występują dwie cyfry po przecinku

w wyniku   występują cztery cyfry po przecinku