Procenty - 5-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Procent jako ułamek

Procent oznacza setną część liczby (lub innej wielkości), czyli procent to ułamek o mianowniku 100. Procent oznaczamy symbolem %. Słowo procent pochodzi od łacińskiego wyrażenia „pro centum” oznaczającego „na sto”.
Jeden procent (1%) to setna część całości $$1%=1/{100}=0,01$$

  Uwaga

100% = 1

  Zapamiętaj

W praktyce procent nigdy nie występuje samodzielnie, jest on zawsze ułamkiem pewnej konkretnej wielkości.

Wielkości wyrażone w procentach znacznie łatwiej porównywać i dlatego procenty są tak często stosowane w różnych dziedzinach nauki, a także w życiu codziennym. Procenty są często stosowane w finansach, ekonomii, statystyce, chemii i w wielu innych naukach. Z procentami mamy do czynienia na co dzień: w gazetach, w sklepach, bankach, rocznikach statystycznych. Procentów używamy do określenia podwyżek i obniżek cen, zawartości poszczególnych składników w produktach spożywczych, oprocentowania lokat bankowych, itp.

Zamiana procentu na ułamek

Procent można przedstawić w postaci ułamka mającego w liczniku daną liczbę (dany procent), a w mianowniku liczbę 100. Zamiana procentu na ułamek polega  na podzieleniu liczby procentu przez 100. Procenty możemy przedstawiać zarówno w postaci ułamków zwykłych, jak i dziesiętnych.

Przykłady:

  • $$1%=1/{100}= 0,01$$
  • $$13%={13}/{100}= 0,13$$
  • $$86,3%={86,3}/{100}= 0,863$$

Zamiana liczby na procent

Aby zamienić liczbę na procent, należy ją pomnożyć przez 100%.

Przykłady:

  • $$1 = 1•100% = 100%$$
  • $$3 = 3•100% = 300%$$
  • $$3 = 3•100% = 300%$$
  • $$0,3 = 0,3 •100% = 30%$$
  • $$1/4=1/4 •100% = 25%$$
  • $$1 1/5= 1 1/5 •100% = 6/5 •100% = 6•20% = 120%$$

Obliczanie procentu danej liczby

Aby obliczyć procent danej liczby, zamieniamy procent na ułamek i otrzymany ułamek mnożymy przez daną liczbę.

Przykład:

  • Obliczyć 37% z liczby 200.
    $$37%•200= {37}/{100}•200={37•200}/{100}=74$$

    Odp: 37% z liczby 200 to 74.

Obniżki i podwyżki, odsetki i lokaty bankowe

  1. Obniżka lub podwyżka, wyrażona w procentach, informuje nas o ile wzrosła lub obniżyła się pierwotna cena produktu. Aby ustalić cenę po obniżce, obliczamy obniżkę i odejmujemy ją od dotychczasowej ceny. Obliczając cenę po podwyżce, obliczamy podwyżkę i dodajemy ją do dotychczasowej ceny.

    Innym sposobem obliczenia obniżki lub podwyżki jest ustalenie przed wykonaniem obliczeniem, jakim procentem ceny początkowej będzie nowa cena. Na przykład jeśli cenę początkową pewnego produktu obniżono o 10%, to nowa cena będzie wynosić 90% ceny początkowej, bo $$100% - 10% = 90%$$. Jeśli natomiast cenę początkową pewnego produktu podwyższono o 10%, to nowa cena będzie wynosić 110% ceny początkowej, bo $$100% + 10% = 110%$$.

    • Przykład:
      Cena spodni wynosiła 250 zł i została obniżona o 10%. Jaka jest aktualna cena spodni?

      • I sposób
        Obniżka: $$10%•250 zł ={10}/{100} • 250 zł = 25 zł$$
        Aktualna cena: $$250 − 25 = 225 zł$$

        Odp.: Spodnie kosztują teraz 225 zł.

      • II sposób
        Cena początkowa została obniżona o 10%, czyli nowa cena spodni jest równa 90% ceny początkowej. Wystarczy teraz policzyć 90% z 250 zł:
        $$90% • 250 zł = {90}/{100}•250 zł = 225zł$$

        Odp.: Spodnie kosztują teraz 225 zł.

    • Przykład:
      Telewizor kosztował 400 zł. Jego cena została podwyższona o 20%. Ile teraz kosztuje telewizor?

      • I sposób
        Podwyżka: $$20%•400 zł ={20}/{100} • 400 zł = 80zł$$
        Aktualna cena: $$400+80=480zł$$

        Odp.: Telewizor kosztuje teraz 480 zł.

      • II sposób
        Cena początkowa została podwyższona o 20%, czyli nowa cena spodni jest równa 120% ceny początkowej. Wystarczy teraz policzyć 120% z 400 zł:
        $$120% • 400 zł ={120}/{100} • 400 zł = 480 zł$$

        Odp.: Telewizor kosztuje teraz 480 zł.

  2. Odsetki bankowe
    Jeżeli do banku wpłacimy pieniądze i odbierzemy je po roku, to oprócz wpłaconych pieniędzy otrzymamy dodatkowo pewną kwotę, zwaną odsetkami. Jeżeli jakiś bank oferuje nam oprocentowanie 10%, to oznacza to, że nasze odsetki po roku będą wynosić 10% wpłaconych pieniędzy, natomiast łączna kwota po roku będzie równa kwocie na początku wpłaconej powiększonej o kwotę odsetek.

    Przykład:
    Pan Kowalski wpłacił do banku 1500 zł na konto z oprocentowaniem 15%. Ile pieniędzy będzie miał na koncie Pan Kowalski po upływie roku?

    • I sposób
      Odsetki: $$15%•1500 zł ={15}/{100} • 1500 zł = 225zł$$
      Kwota na koncie: $$1500+225=1725zł$$

      Odp.: Pan Kowalski będzie miał po roku 1725 zł.

    • II sposób
      Po upływie roku Pan Kowalski będzie miał 115% kwoty wpłaconej na początku. Wystarczy teraz policzyć 115% z 1500 zł.
      $$115% •1500 zł ={115}/{100}• 1500 zł = 1725zł$$

      Odp.: Pan Kowalski będzie miał po roku 1725 zł.

  Ciekawostka

Matematyka znalazła przyczynę współczesnych problemów gospodarczych, dziury budżetowej, bezrobocia. Winny jest Bolesław Chrobry, gdyż gdyby w roku 1002 złożył w banku chociaż jeden grosz przy oprocentowaniu 4% rocznie i przy corocznym doliczaniu odsetek, w roku 2002 mielibyśmy w kasie państwa dodatkowe 1 071 500 000 000 000 zł, czyli ponad milion miliardów złotych.

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

W 100 g masła jest 18 g wody i 80 g tłuszczu. Ile procent masła stanowi woda, ile tłuszcz, a ile pozostałe składniki?

woda -> $${18 g}/{100g}•100%=18%$$

tłuszcz -> $${80 g}/{100 g}•100%=80%$$

pozostałe składniki -> $$100%-(18%+80%)=100%-98%=2%$$

Odp.: Woda stanowi $$18%$$ masła, tłuszcz $$80%$$, a inne składniki $$2%$$.

Zadanie 2.

Oblicz 20% z liczby 40.

$$40•20%={20}/{100}•40=8 $$

Odp.: 20% z liczby 40 to 8.

Zadanie 3.

Połowa ryb złowionych przez rybaka to karpie, a 25% to śledzie. Ile procent złowionych ryb stanowią inne ryby?

$$ 100%-(50%+25%)=100%-75%=25% $$

Odp.: Inne ryby stanowią 25% wszystkich złowionych ryb.

Zadanie 4.

Przedstaw w postaci procentów zdanie: „Na każde 50 osób 29 osób lubi czekoladę.”

$${29}/{50}={58}/{100}=58%$$ osób lubi czekoladę

Odp.: Z podanego zdania wynika, że 58% osób lubi czekoladę.

Zadanie 5.

Laptop kosztował zimą 800 zł. Wiosną jego cena wzrosła o 15%, a jesienią obniżono jego cenę także o 15%. Ile kosztował ten laptop jesienią.

Wiosna → cena wzrosła o 15%, czyli nowa cena stanowi 115% ceny poprzedniej; liczymy 115% z 800 zł
$$115% • 800 zł {115}/{100} • 800 zł = 920 zł$$

Jesień → cenę poprzednią obniżono o 15%, czyli nowa cena stanowi 85% ceny poprzedniej; liczymy 85% z 920 zł
$$85% • 920 zł = {85}/{100} • 920 zł = 782 zł$$

Odp.: Ten laptop kosztował jesienią 782 zł.

Zadanie 6.

Pan Marek wpłacił na konto o oprocentowaniu rocznym 6% 1500 zł. Ile pieniędzy będzie miał pan Marek na koncie po dwóch latach?

po 1 roku -> $$1500+(1500•6%)=1500+90=1590 zł$$

po 2 latach -> $$1590+(1590•6%)=1685,4 zł $$

Odp.: Pan Marek po dwóch latach miał 1685,4 zł.

Zadanie 7.

Na jednorazowe mycie twarzy, rąk i zębów zużywamy około 10 litrów wody. Na jednorazowe mycie naczyń zużywamy o 50% więcej wody niż do mycia twarzy, rąk i zębów. Do prania w pralce zużywamy 10 razy więcej wody niż do mycia naczyń. Ile litrów wody zużywamy jednorazowo do mycia naczyń oraz do prania w pralce?

jednorazowe mycie twarzy, rąk i zębów → około 10 litrów wody

jednorazowe mycie naczyń zużywamy → około 10 litrów + 50% z 10 litrów = $$10 l + {50}/{100}•10l = 10 l + 5 l = 15$$ litrów

pranie w pralce → 10•15litrów = 150 litrów

Spis treści

Rozwiązane zadania
W poniższych równoległobokach poprowadź z zaznaczonego ...

Oblicz obwód kwadratu przedstawionego na rysunku

`4*2 3/4cm=4*11/4cm=(4*11)/4cm=(1*11)/1cm=11cm`

 

Oszacuj, jaka kwota pełnych złotych wystarczy , żeby zapłacić...

`1) \ 3,97"zł"~~4 "zł"`
` \ \ \ 1,74 "zł"~~2 "zł"`
` \ \ \ 2,69 "zł"~~3 "zł"`
`4"zł" +2"zł"+3"zł"=ul(9 "zł" \)`


`2) \ 2,99"zł"~~3 "zł"`
` \ \ \ 4,59 "zł"~~5"zł" `
` \ \ \ 4,85"zł"~~5"zł"`
`3"zł"+5 "zł"+5 "zł"=ul(13 "zł"\)`


`3)\ 2,75"zł"~~3"zł"`
`\ \ \ 2,75"zł"~~3 "zł"`
` \ \ \ 6,55 "zł"~~7 "zł"`
` \ \ \ 2,99"zł"~~3"zł"`
`3"zł"+3"zł"+7"zł"+3"zł"=ul(16 "zł"\)`

Znajdź najmniejszą liczbę...

pierwsza liczba jest 10 ale jest podzilne przez 1,2 i 5 

kolejna to 11 i jest tylko podzielna przez 1 i 11

Odp . Szukana liczna bo 11

Oblicz: a) 5:1/5 b) 7:2/5

a) `5:1/5=5*5/1=(5*5)/1=25`

b) `7:2/5=7*5/2=(7*5)/2=35/2=17 1/2`

c) `12:3/4=12*4/3=(12*4)/3=(4*4)/1=16`

d) 1`20:3 1/3=120:10/3=120*3/10=(120*3)/10=(12*3)/1=36`

e) `64:2 2/3=64:8/3=64*3/8=(64*3)/8=(8*3)/1=24`

f) `140:2 2/5=140:12/5=140*5/12=(140*5)/12=(35*5)/3=175/3=58 1/3`

 

Każda litera oznacza jedną...

Mamy następujacą zagadkę:

A x A = B

A x B = C

C - D=A

Dostępne litery: 8,2,4,6

 

Gdybyśmy w miejsce A podstawili 8, wówczas już pierwsze równanie byłoby złe, bo 8x8=64 (a wynik to liczba jednocyfrowa).

Sytuacja wyglada podobnie gdybyśmy w miejsce A podstawili 4 lub 6. Otrzymujem wówczas wyniki dwucyfrowe.

Podstawmy A=2.

Wówczas mamy:

`2*2=4`

Otrzymujemy, że B=4.

Rozpiszmy drugie równanie:

`2*4=8`

Otrzymujemy C=8.

Zapiszmy trzecie równanie:

`8-"D"=2`

Stad wynika, że D=6.

A=2, B=4, C=8, D=6

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

Mamy następującą zagadkę:

A + A = B

D x B = CD

C + D=A

Dostępne litery: 1,2,3,6

 

Gdybyśmy w miejsce A podstawili 1, wówczas pierwsze równanie byłoby:

`1+1=2`

B byłoby równe 2. 

D musiałoby być równe 6, ponieważ wynikiem drugiego równania jest liczba dwucyfrowa.

Mamy już A=1, B=2, D=6. Wówcfzas C= 3. 

Drugie równanie wyglądałoby wówczas:

`6*2=12`

Pierwsza cyfra wyniku to 1. w równaniu oznaczona jest jako C, a wcześniej ustaliliśmy C=3.

Sprzeczność! Tak nie może być.

 

Gdybysmy w miejsce A podstawili 2, wówczas pierwsze równanie byłoby równe:

`2+2=4`

Wówczas B otrzymujemy równe 4, a nie mamy takiej cyfry wśród naszych cyfr.

 

Jeżeli w miejsce A podstawimy 6, wówczas w pierwszym równaniu w wyniku otrzymujemy liczbę dwucyfrową. A ma być jednocyfrowa. 

 

Podstawmy A=3.

Wówczas mamy:

`3+3=6`

Otrzymujemy, że B=6.

Rozpiszmy drugie równanie:

`"D"*6="CD"`

Zostaja nam 1 i 2 do zapisania jako D i C.

Jeżeli ustalimy D=1, wówczas mnożąc przez 6 w wyniku nie otrzymamy liczby dwucyfrowej.

Więc D=2. Wtedy C=1. Sprawdźmy czy tak może być:

`2*6=12`

I ostatnie równanie:

`1+2=3`

Wszystko się zgadza.

A=3, B=6, C=1, D=2

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

Mamy następujacą zagadkę:

A + A = B

B + B = C

C+ B = EA

 

E + E =A

 

Nie możemy za A podstawić 1, bo wówczas B=2, C=4, a w trzecim równaniu C+B jest liczbą dwucyfrową, a my mielibyśmy 4+2=6 - jest to liczba jednocyfrowa.

Spróbujmy za A podstawić 2.

`2+2=4`

czyli B=4.

`4+4=8`

czyli C=8.

Podłóżmy C i B do trzeciego równania:

`8+4=12`

Wtedy E=1 a A=2 (A jest takie jak przyjeliśmy).

Sprawdźmy czy ostatnia równość także jest prawdziwa:

`1+1=2`

Jest dobrze.

A=2, B=4, C=8, E=1

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

Mamy następujacą zagadkę:

A x B = C

B + B +B = C

 

Drugie równanie możemy zapisać:

`3"B"="C"`

Popatrzmy na pierwsze równanie.

`"AB"="C"`

Jeżeli przyjmiemy, że A=3, wtedy otrzymujemy dwa równania, które są takie same. W zależności od tego co będziemy podstawiać za B takie będziemy otrzymywać C. 

Mozliwe wyniki:

A=3, B=1, C=3

A=3, B=2, C=6

A=3, B=3, C=9

Pamiętać musimy, aby wyniki obu równań były liczbami jednocyfrowymi.

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

Mamy następujacą zagadkę:

D + C = B

B + B = CA

C x B = B

D + A = D

 

Łatwo zauważyć, że w ostatnim równaniu A=0, bo 0+A=A.

W trzecim równaniu C=1, bo 1 x B=B.

W drugim równaniu, gdy dodamy dwukrotnie B, wówczas w wyniku mamy otrzymać 10.

`"B"+"B"=10`

Stą wnioskujemy, że B=5.

Z pierwszego równania możemy obliczyć D.

`"D"+1=5`

Stąd D=4.

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

Mamy następujacą zagadkę:

A x A = B

B + B = C

C : B=A

 

Możemy zauważyć z drugiego równania, że 

`2"B"="C"`

Jeżeli w trzecim równaniu za C podłożę 2B to otrzymam:

`2"B":"B"="A"`

Czyli A= 2.

Wróćmy do pierwszego równania:

`2*2="B"`

B=4.

Teraz podłóżmy B=4 do drugiego równania:

`4+4="C"`

C=8.

Ostatecznie otrzymujemy:

A=2, B=4, C=8

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

Podobne zagadki:

1. A+A=C

C:4=B

B+B=A

 

2. A x B= C

A + A = B

2 x B = C

 

Coraz częściej można spotkać karetkę pogotowia ratunkowego z napisem

AMBULANS

Napis jest umieszczony w taki sposób, żeby kierowca samochodu jadącego przed karetką mógł odczytać napis w lusterku samochodowym.

Narysuj kwadrat o boku 4 cm i prostokąt ...

Suma 35,56+7,8 jest równa

`35,56+7,8~~36+8=44~~43,36\ \ \ \ B`

Każdą z poniższych liczb pomnóż przez ...

Mnożąc liczbę razy 10 przesuwamy przecinek o jedno miejsce w prawo, gdyż liczba 10 ma jedno zero. 

Dzieląc liczbę przez 10 przesuwamy przecinek o jedno miejsce w lewo, gdyż liczba 10 ma jedno zero.