Liczby naturalne - 5-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Pojęcie liczby naturalnej

Pojęcie liczby naturalnej pojawiło się w związku z liczeniem przedmiotów i ustalaniem kolejności.
Liczby naturalne to liczby 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,...

Zbiór wszystkich liczb naturalnych oznaczamy symbolem N.
Możemy zapisać: N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,...}

  Ciekawostka

Niemiecki matematyk L. Kronecker (XIX w.) powiedział, że „ liczby naturalne stworzył dobry Bóg, wszystko inne jest dziełem człowieka”. Powiedzenie to spowodowało, że przypisano liczbom naturalnym wyjątkowe znaczenie.

Zapisywanie liczb

Zapis liczb naturalnych jest pozycyjny i dziesiątkowy. Co to oznacza:

  • pozycyjny, ponieważ liczbę przedstawia się jako ciąg cyfr, a wartość poszczególnych cyfr zależy od miejsca (pozycji), jakie zajmuje ta cyfra,
  • dziesiątkowy, ponieważ liczby zapisujemy za pomocą dziesięciu znaków, zwanych cyframi: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Przykład:

system dziesiątkowy
 

Każda z cyfr użyta w powyższej liczbie tworzy określoną wartość, która jest uzależniona od miejsca (pozycji), jaką zajmuje ta cyfra w zapisie utworzonej liczby.

Jeśli użyjemy dokładnie tych samych cyfr, z których zbudowana jest powyższa liczba, ale użyjemy ich w innej kolejności to otrzymamy całkiem inną liczbę (np. 935287, 728395).

Przestawienie kolejności cyfr zmienia wartość liczby, dlatego nasz system liczenia jest pozycyjny (ponieważ miejsce cyfry w zapisie liczby nadaje wartość tej liczbie), natomiast używanie dziesięciu cyfr do zapisu liczby powoduje, że nazywamy go dziesiątkowym systemem.

Nazwy przykładowych dużych liczb:

  • 1 000 -> tysiąc
  • 1 000 000 -> milion
  • 1 000 000 000 -> miliard

Działania na liczbach naturalnych

  1. Dodawanie liczb naturalnych

    dodawanie liczb naturalnych

    Własności dodawania liczb naturalnych:

    • Suma dowolnych liczb naturalnych jest liczbą naturalną,
    • $$a + 0 = a$$,
    • $$a + b = b + a$$ (przemienność dodawania – suma dowolnych liczb naturalnych nie zależy od kolejności składników),
    • $$a + ( b + c ) = ( a + b ) + c$$ (łączność dodawania – suma liczb naturalnych nie zależy od tego, które dwie liczby dodamy jako pierwsze – możemy najpierw dodać dwie pierwsze liczby, a do uzyskanej sumy dodać trzecią liczbę, albo możemy najpierw dodać liczby drugą i trzecią, a do uzyskanej sumy dodać pierwszą liczbę),
    • Jeżeli $$a + c = b + c$$, to $$a = b$$ (prawo skreślania wspólnego składnika).
       
  2. Odejmowanie liczb naturalnych

    odejmowanie liczb

    Własności odejmowania liczb naturalnych:

    • Różnica dwóch liczb naturalnych jest liczbą naturalną tylko wtedy, gdy odjemna jest większa od odjemnika lub równa odjemnikowi,
    • Jeżeli $$a – b = 0$$, to $$a = b$$. Jeżeli $$a = b$$, to $$a – b = 0$$
    • Jeżeli $$a – b$$ > 0, to a > b. Jeżeli a > b, to $$a – b$$ > 0
       
  3. Mnożenie liczb naturalnych

    img04

    Własności mnożenia liczb naturalnych:

    • Iloczyn liczb naturalnych jest liczbą naturalną,
    • $$a•1=a$$,
    • $$a•b=b•a$$ (przemienność mnożenia – iloczyn liczb naturalnych nie zależy od kolejności czynników),
    • $$a•(b•c)=(a•b)•c$$ (łączność mnożenia – iloczyn trzech liczb naturalnych nie zależy od sposobu łączenia czynników w grupy – to znaczy nie ma znaczenia które dwie liczby pomnożymy jako pierwsze, możemy najpierw pomnożyć dwie pierwsze liczby i otrzymany iloczyn pomnożyć przez trzecią liczbę lub możemy najpierw pomnożyć liczbę drugą i trzecią, a następnie otrzymany iloczyn pomnożyć przez pierwszą liczbę),
    • $$a•0=0$$ (iloczyn dowolnej liczby naturalnej a i liczby 0 jest równy 0),
    • Jeżeli iloczyn liczb naturalnych jest równy 0, to co najmniej jeden z czynników jest liczbą 0,
    • Jeżeli $$a•c=b•c$$ oraz $$c≠0$$, to $$a=b$$ (prawo skreślania wspólnego czynnika),
    • $$a•(b+c)=a•b+a•c$$ (rozdzielność mnożenia względem dodawania – mnożąc sumę przez liczbę naturalną możemy każdy składnik pomnożyć przez tę liczbę, a następnie dodać otrzymane wyniki).
       
  4. Dzielenie liczb naturalnych

    Dzielenie liczb naturalnych

    Własności dzielenia liczb naturalnych:

    • Iloraz dwóch liczb naturalnych nie zawsze daje w wyniku liczbę naturalną. Aby iloraz dwóch liczb był liczbą naturalną, dzielna musi być wielokrotnością dzielnika,
    • $$a÷1 = a$$,
    • Jeżeli a≠0, to $$a÷a=1$$,
    • (a+b)÷c=a÷c + b÷c (rozdzielność dzielenia względem dodawania – dzieląc sumę przez liczbę naturalną różną od 0 możemy najpierw każdy składnik podzielić przez tę liczbę a następnie dodać otrzymane wyniki).
       

Kolejność wykonywania działań

  1. Jeżeli wyrażenie liczbowe zbudowane jest z liczb i znaków działań (+, -, •, ÷, √), to najpierw wykonujemy mnożenie, dzielenie, potęgowanie lub pierwiastkowanie (w zależności od kolejności zapisu – od lewej do prawej), na końcu wykonujemy dodawanie lub odejmowanie (w zależności od kolejności zapisu – od lewej do prawej).

    Przykłady:

    • $$71 – 29 + 53 = 42 + 53 = 95$$
    • $$128÷8•4= 16•4= 64$$
    • $$125 - 15•5+ 24 – 78÷6 = 125 – 75 + 24 – 13 = 61$$
       
  2. Jeżeli wyrażenie zawiera nawiasy, to najpierw wykonujemy działania w nawiasach najmniejszych, czyli takich które nie zawierających innych nawiasów, później przechodzimy do nawiasów większych. Obliczenia w nawiasach wykonujemy według reguły 1.

    $$245 - [23 + (91-84)•11] = 245 - [23 + 7•11] = 245 – [23 + 77] = 245 – 100 = 145$$

Liczby parzyste i nieparzyste

  • Liczba parzysta – liczba podzielna przez 2 (inaczej mówiąc jest to wielokrotność liczby 2). Liczbami parzystymi są więc liczby: 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20,...
    Każdą liczbę parzystą możemy przedstawić w postaci iloczynu liczby 2 i pewnej liczby naturalnej. Zatem jeśli n jest liczbą parzystą, to istnieje liczba naturalna k taka, że: $$n=2•k$$.
  • Liczba nieparzysta – liczba naturalna, która nie jest parzysta. Liczbami nieparzystymi są więc liczby: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19,...
    Każdą liczbę nieparzystą n możemy przedstawić w postaci $$n=2•k+1$$, gdzie k jest liczbą naturalną.

Liczby pierwsze i liczby złożone

Liczba pierwsza – liczba naturalna większa od 1, mająca tylko dwa dzielniki: 1 i siebie samą.
Liczbami pierwszymi są liczby: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,..

  Uwaga

Liczba 1 nie jest liczbą pierwszą – bo ma tylko jeden dzielnik. Liczba 0 też nie jest liczbą pierwszą – bo ma nieskończenie wiele dzielników.

Liczba złożona - liczba nie będąca liczbą pierwszą, czyli posiadająca więcej niż dwa dzielniki.
Liczbami złożonymi są: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18,...

  Uwaga

Uwaga! Liczby 1 i 0 nie są liczbami złożonymi.

  Przypomnienie

Dzielnik liczby to taka liczba, przez którą dana liczba jest podzielna. Inaczej mówiąc, dzielnikiem liczby naturalnej n nazywamy liczbę naturalną m, jeżeli liczba n podzieli się przez m, tzn. gdy istnieje taka liczba naturalna k, że $$n=k•m$$.

Przykład:
10 dzieli się przez 1, 2, 5 i 10, z tego wynika, że dzielnikami liczby 10 są liczby 1, 2, 5 i 10.

Rozkład liczby na czynniki pierwsze

Każda liczba naturalna większa od 1 jest albo liczbą pierwszą albo daje się przedstawić w postaci iloczynu liczb pierwszych, przy czym takie przedstawienie jest tylko jedno, jeśli nie uwzględniać kolejności czynników.

Rozkład liczby na czynniki pierwsze to przedstawienie liczby w postaci iloczynu liczb pierwszych.

Sposób rozkładania liczby naturalnej na czynniki pierwsze:

  1. Zapisujemy liczbę, którą chcemy rozłożyć na czynniki pierwsze, a obok niej kreskę pionową.

    rozklad-1
  2. Dzielimy daną liczbę przez najmniejszy dzielnik będący liczbą pierwszą. Dzielnik ten zapisujemy po prawej stronie kreski, a wynik dzielenia zapisujemy pod daną liczbą.

    rozklad-2

    W naszym przykładzie dzielnikiem liczby 198 będącym liczbą pierwszą jest liczba 2, zatem 2 zapisujemy po prawej stronie kreski, a wynik dzielenia 198÷2 = 99 zapisujemy pod liczbą 198.

  3. Czynność z punktu 2 powtarzamy tak długo, aż wynikiem ostatniego dzielenia będzie liczba 1.

    rozklad-3

    W naszym przykładzie szukamy dzielnika liczy 99 będącego liczbą pierwszą, dzielnikiem takim jest 3, którą zapisujemy po prawej stronie kreski (pod 2), a wynik dzielenia 99÷3 = 33, zapisujemy po lewej stronie kreski (pod 99).
    Następnie szukamy dzielnika liczby 33 będącego liczbą pierwszą, dzielnikiem takim jest 3, którą zapisujemy po prawej stronie kreski (pod 3), a wynik dzielenia 33÷3 = 11 zapisujemy po lewej stronie kreski (pod 33).

    Kolejny etap to szukanie dzielnika liczby 11 będącego liczbą pierwszą, dzielnikiem takim jest 11 i zapisujemy ją po prawej stronie kreski (pod 3), a wynik dzielenia 11÷11 = 1 zapisujemy po lewej stronie kreski (pod 11). Wynikiem dzielenia jest 1, zatem rozłożyliśmy daną liczbę 198 na czynniki pierwsze.

  4. Rozkład liczby na czynniki pierwsze to iloczyn liczb zapisanych po prawej stronie kreski.
    Rozkład liczby 198 na czynniki pierwsze jest następujący: $$198=2•3•3•11$$.

Największy wspólny dzielnik

Największy wspólny dzielnik (NWD) dwóch liczb naturalnych jest to największa liczba naturalna, która jest dzielnikiem każdej z tych liczb.

Największy wspólny dzielnik dwóch liczb naturalnych a i b oznaczamy symbolem NWD (a, b).

W celu wyznaczenia największego wspólnego dzielnika dwóch liczb wykorzystujemy rozkład tych liczb na czynniki pierwsze. Następnie w rozkładach na czynniki pierwsze wybieramy w te liczby, które jednocześnie występują i w jednym i w drugim rozkładzie. Iloczyn tych liczb jest największym wspólnym dzielnikiem.

W powyższych rozkładach wybieramy liczby, które jednocześnie występują zarówno w jednym, jak i w drugim rozkładzie – zaznaczono je kolorem czerwonym. Największy wspólny dzielnik jest iloczynem tych liczb.

Przykład:
Wyznaczmy największy wspólny dzielnik liczb 1848 i 180. Zaczynamy od rozłożenia tych liczb na czynniki pierwsze:

nwd
 

W powyższych rozkładach wybieramy liczby, które jednocześnie występują i w jednym i w drugim rozkładzie – w powyższych rozkładach zaznaczono je kolorem czerwonym. Największy wspólny dzielnik jest iloczynem tych liczb.

$$NWD(1848,180)=2•2•3=12$$

Najmniejsza wspólna wielokrotność

  Przypomnienie

Wielokrotność liczby to dana liczba pomnożona przez 1,2,3,4,5 itd. Inaczej mówiąc, wielokrotność liczby n to każda liczba postaci 1•n, 2•n, 3•n, 4•n, 5•n.

Przykład:
Wielokrotnością liczby 4 jest: - 4 bo 4=1•4;
- 8 bo 8=2•4;
- 12 bo 12=3•4;
- 16 bo 16=4•4;
- 20 bo 20=5•4;
itd...

Najmniejsza wspólna wielokrotność (NWW) dwóch liczb naturalnych to najmniejsza liczba naturalna będąca wielokrotnością zarówno jednej liczby, jak i drugiej.

Najmniejszą wspólną wielokrotność dwóch liczb naturalnych a i b oznaczamy symbolem NWW(a, b).

W celu wyznaczenia najmniejszej wspólnej wielokrotności dwóch liczb wykorzystujemy rozkład tych liczb na czynniki pierwsze. Następnie najmniejsza wspólna wielokrotność jest równa iloczynowi wszystkich czynników pierwszych, przy czym dany czynnik pierwszy w iloczynie występuje tyle razy, ile razy występował w rozkładzie, w którym pojawił się najwięcej razy.

Przykład:
Wyznaczmy najmniejszą wspólną wielokrotność liczb 1848 i 180 Zaczynamy od rozłożenia tych liczb na czynniki pierwsze:

nww

W powyższych rozkładach wybieramy wszystkie liczby, które występowały w rozkładach, przy czym dany czynnik pierwszy w iloczynie występuje tyle razy, ile razy występował w rozkładzie, w którym pojawił się najwięcej razy – w powyższych rozkładach zaznaczono je kolorem czerwonym (i tak bierzemy liczbę 2 trzy razy, liczbę 3 dwa razy, liczbę 5 jeden raz, liczbę 7 jeden raz, liczbę 11 jeden raz). Najmniejsza wspólna wielokrotność jest iloczynem tych liczb.

$$NWW(1848, 180)=2•2•2•7•11•5•3•3=27 720$$

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Przeczytaj liczby:

  1. $$ 701 024 $$
  2. $$ 8 092 729 $$
  3. $$ 94 921 198 121 $$
  1. 701 024 -> siedemset jeden tysięcy dwadzieścia cztery
  2. 8 092 729 -> osiem milionów dziewięćdziesiąt dwa tysiące siedemset dwadzieścia dziewięć
  3. 94 921 198 121 -> dziewięćdziesiąt cztery miliardy dziewięćset dwadzieścia jeden milionów sto dziewięćdziesiąt osiem tysięcy sto dwadzieścia jeden

Zadanie 2.

Oblicz:

  1. $$ 90+72 $$
  2. $$ 61-53 $$
  3. $$ 84÷4 $$
  4. $$ 6•9 $$
  1. $$ 90+72=162 $$
  2. $$ 61-53=8 $$
  3. $$ 84÷4=21 $$
  4. $$ 6•9=54 $$

Zadanie 3.

Liczbę 10 000 starożytni Grecy nazywali miriada. Ile to jest 5 miriad, a ile 50 miriad?

5 miriad -> $$ 5•10 000=50 000 $$

50 miriad -> $$ 50•10 000=500 000 $$

Zadanie 4.

Czy liczba 7685932728 jest podzielna przez 3?

Liczba jest podzielna przez 3 gdy suma jej cyfr też jest podzielna przez 3.

$$7+6+8+5+9+3+2+7+2+8=57$$

$$57÷3=19$$ -> suma cyfr jest podzielna przez 3

Odp.: Ta liczba jest podzielna przez 3.
 

Zadanie 5.

Kierowca ciężarówki powiedział: „Samochód waży 8000 kg, kontener 1850 kg, a towar 19600 kg.” Czy ciężarówka może przejechać po moście, na którym jest ograniczenie 30 t?

1tona to 1000kg

$$8000 kg+1850 kg+19600 kg=8 t+1,85 t+19,6 t=29,45 t$$

Most ma ograniczenie 30 ton, ale waga ciężarówki $$29,45 t$$ < $$30 t$$.

Odp.: Ciężarówka może przejechać przez most.

Zadanie 6.

Pan Gienek jechał samochodem przez 2 godziny ze średnią prędkością 70 km/h. Jaką odległość przejechał pan Gienek?

1 h -> 70 km

2 h -> $$70•2=140 km$$

Odp.: Pan Gienek przejechał 140 km.

Spis treści

3 szkoły podstawowej
4 szkoły podstawowej
5 szkoły podstawowej
6 szkoły podstawowej
7 szkoły podstawowej
II gimnazjum
III gimnazjum
Matura podstawowa
Matura rozszerzona
Rozwiązane zadania
Na mapie kuli ziemskiej podano, jaką powierzchnię w przybliżeniu zajmuje każdy kontynent.

Ameryka Północna- dwadzieścia cztery miliony

Ameryka Południowa- osiemnaście milionów

Europa- dziesięć milionów

Afryka- trzydzieści milionów

Azja- czterdzieści cztery miliony

Australia- siedem milionów sześćset tysięcy

Antarktyda- czternaście milionów

Uzupełnij tabelkę. Wiek zapisz znakami rzymskimi.

Wpisz liczby odpowiadające wyróżnionym punktom na osi liczbowej.

Pewne wydarzenia z historii Polski zapisano w tabelce w kolejności alfabetycznej.

 

Odczytaj liczby odpowiadające wyróżnionym punktom.

a) Odległośc między 123 i 125 to jedna jednostka, czyli jedna jednostka to 2

b) Ogległość między 1999 i 205 to trzy jednostki, czyli jedna jednostka to 2

 

Zastanów się, jakie dzielniki ma mniejsza z dwóch podanych liczb ...

`a) \ "NWD"(4,8)=4` 
Dzielniki liczby 4 to: 1, 2, 4. 

Sprawdzamy czy największy z dzielników liczby 4 dzieli liczbę 8. 
8:4=2, zatem największy wspólny dzielnik 4 i 8 to 4. 


`b) \ "NWD"(12,6)=6` 
Dzielniki liczby 6 to: 1, 2, 3, 6.

Sprawdzamy czy największy z dzielników liczby 6 dzieli liczbę 12.
12:6=2, zatem największy wspólny dzielnik 12 i 6 to 6.


`c) \ "NWD"(8,6)=2` 
Dzielniki liczby 6 to: 1, 2, 3, 6.

Sprawdzamy czy największy z dzielników liczby 6 dzieli liczbę 8.
8:6=1 r. 2, zatem największy z dzielników liczby 6 nie dzieli liczby 8.

Sprawdzamy czy mniejszy z dzielników liczby 6, liczba 3, dzieli liczbę 8.
8:3=2 r. 2, zatem kolejny z dzielników liczby 6 nie dzieli liczby 8.

Sprawdzamy czy jeszcze mniejszy dzielnik liczby 6, liczba 2, dzieli liczbę 8.
8:2=4, zatem największy wspólny dzielnik liczb 6 i 8 to 2.   


`d) \ "NWD"(4,13)=1` 

`e) \ "NWD"(10,8)=2` 


`f) \ "NWD"(10,25)=5` 


`g) \ "NWD"(9,15)=3` 


`h) \ "NWD"(16,4)=4` 


`i) \ "NWD"(12,35)=1` 

Na rysunku przedstawiono trasę autobusu z Warszawy do Krynicy Zdrój.

Uzupełniamy kolejno od góry: 

Warszawa - Radom: 110 km

Radom - Kielce: 185 km -110 km=75 km

Kielce - Tarnów: 296 km - 185 km=111 km

Tarnów - Krynica Zdrój: 395 km - 296 km=99 km

 

Spośród liczb z ramki wybierz i wypisz liczby:

Liczba jest podzielna przez 2, gdy jej ostatnią cyfrą (cyfrą jedności) jest 0, 2, 4, 6, 8.

Liczby podzielne przez 2 to: 3060, 21600, 2010, 1024, 5700.  



Liczba jest podzielna przez 5, gdy jej ostatnią cyfrą (cyfrą jedności) jest 0 lub 5.

Liczby podzielne przez 5 to: 3060, 64055, 21600, 2025, 2010, 5700, 3105.  



Liczba jest podzielna przez 10, gdy jej ostatnią cyfrą (cyfrą jedności) jest 0. 

Liczby podzielne przez 10 to: 3060, 21600, 2010, 5700



Liczba jest podzielna przez 3, gdy suma jej cyfr jest liczbą podzielną przez 3. 

Liczby podzielne przez 3 to: 3060, 21600, 303303, 2025, 2010, 5700, 3105.


Liczba jest podzielna przez 9, gdy suma jej cyfr jest liczbą podzielną przez 9. 

Liczby podzielne przez 9 to: 3060, 21600, 2025, 3105.

Wykonaj obliczenia. Skreśl litery odpowiadające otrzymanym wynikom. Pozostałe litery czytane kolejno utworzą nazwisko polskiego matematyka.

BANACH

Wykonaj polecenia. -> Jeśli poprawnie rozwiążesz dwa kolejne przykłady

"poziom A"

`a)\ 12^5`

 `b)\ 7^6`

 `c)\ 23^4`

` d)\ 1^8`

 `e)\ 8^10`

`f)\ 9^3`

 

`"poziom B"`

`a)\ 5*5*5*5*5*5*5`

`b)\ 3*3*3*3` 

`c)\ 14*14`

`d)\ 7*7*7*7*7*7`

`e)\ 13*13*13*13*13` 

`f)\ 18*18*18` 

 

`"poziom C" ` ` `

`a)\ 2*2*2*2*2=4*4*2=16*2=32` 

`b)\ 4*4*4= 16*4=64` 

`c)\ 1*1*1*1*1*1=1` 

`d)\ 2*2*2*2=4*4=16`

`e)\ 3*3*3*3= 9*9=81`

`f)\ 0*0*0*0*0*0*0*0=0`

 

`"poziom D"` 

`a)\ 17*17*17*17= 83 521` 

`b)\ 3*3*3*3*3*3*3*3= 6 561` 

`c)\ 24*24*24*24= 331 776` 

`d)\ 7*7*7*7*7= 16 807` 

`e)\ 45*45*45= 91 125`

`f)\ 21*21*21*21*21= 4 084 101`