Liczby całkowite - 5-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Liczby dodatnie i ujemne

  Przypomnienie

Oś liczbowa to prosta, na której każdemu punktowi jest przypisana dana wartość liczbowa, zwana jego współrzędną.

os


Liczby naturalne to liczby 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,... Zbiór wszystkich liczb naturalnych oznaczamy symbolem N.

Możemy zapisać: N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,...}
 

Liczby dodatnie są to liczby większe od zera, czyli na osi liczbowej leżą po prawej stronie zera. Liczby dodatnie zapisujemy ze znakiem + (plus), np. +2, +5 lub bez znaku, np. 2, 5. Czym liczba dodatnia leży bliżej zera, tym jest mniejsza, np. $$1$$ < $$5$$.
 

Liczby ujemne są to liczby mniejsze od zera, czyli na osi liczbowej leżą po lewej stronie zera. Liczby ujemne zapisujemy ze znakiem – (minus), np. -2, -7. Czym liczba ujemna jest bliżej zera, tym jest większa, np. $$−44$$ < $$−5$$
 

  Zapamiętaj

Każda liczba dodatnia jest większa od każdej liczby ujemnej, np. $$5$$ > $$-5$$, $$7$$ > $$-92$$. Zero jest większe od każdej liczby ujemnej, np. 0 > $$-8$$, $$0$$ > $$-1743$$. Zero nie jest ani liczbą dodatnią, ani ujemną.

Liczby przeciwne są to takie dwie liczby, których suma wynosi 0. Zapis $$a+b=0$$ oznacza, że a i b to liczby przeciwne.

Przykłady:

  • Liczbą przeciwną do 4 jest -4.
  • Liczbą przeciwną do -25 jest 25.
  • Liczbą przeciwną do 0 jest 0.


Liczby przeciwne leżą na osi liczbowej w tej samej odległości od zera po przeciwnych stronach.

liczby-przeciwne


Liczby całkowite to liczby naturalne oraz liczby do nich przeciwne. Zbiór wszystkich liczb całkowitych oznaczamy symbolem C.
Możemy zapisać: C = { ..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}


Przykłady interpretacji liczb ujemnych i dodatnich:

  • + 5° -> 5 stopni powyżej zera
  • - 5° -> 5 stopni poniżej zera
  • + 100 zł -> gotówka (kapitał)
  • - 100 zł -> dług (kredyt)
 

Dodawanie liczb całkowitych

  1. Dodawanie dwóch liczb dodatnich – suma jest liczbą dodatnią.
    Przykład: $$24 + 37 = 61$$
     

  2. Dodawanie dwóch liczb ujemnych – suma jest liczbą ujemną (dodajemy liczby pomijając znaki minus, zapisujemy wynik, dopisując znak „-”.
    Przykład: $$(-24) + (-37) = (-61)$$
     

  3. Dodawanie dwóch liczb, z których jedna jest dodatnia, a druga ujemna – suma ma znak tego składnika, który na osi liczbowej znajduje się dalej od zera. Jeżeli do liczby dodatniej dodajemy liczbę ujemną, to tak naprawdę od liczby dodatniej odejmujemy liczbę przeciwną do danej liczby ujemnej.

    Przykłady:

    • $$3 + (−4) = 3 − 4 = −1$$
    • $$(−3) + 7 = 7 + (−3) = 7 − 3 = 4$$
    • $$(−8) + 10 = 10 + (−8) = 10 − 8 = 2$$
       
  4. Dodawanie dwóch liczb przeciwnych – suma jest równa 0.
    Przykład: $$(-5) + 5 = 0$$
     

Odejmowanie liczb całkowitych

Każde odejmowanie liczb całkowitych można zastąpić odpowiednim dodawaniem.

Przykłady:

  • $$3 − (−9) = 3 + 9 = 12$$
  • $$(−4) − 5 = (-4) + (-5) = −9$$
  • $$(−8) − (−11) = (−8) + 11 = 11 + (−8) = 11 − 8 = 3$$
     

Reguły odnoszące się do znaków + i -:

  • $$(+a) = +a = a$$
  • $$- (-a) = +a = a$$
  • $$- (+a) = -a$$
  • $$+ (-a) = -a$$
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Uporządkuj podane liczby w kolejności rosnącej:

  1. $$ 18, 6, 9, -13, 2, -7, 0, -3 $$
  2. $$ 12, -18, -16, 6, -105, 56 $$
  1. $$ -13, -7, -3, 0, 2, 6, 9, 18 $$
  2. $$ -105, -18, -16, 6, 12, 56 $$

Zadanie 2.

Rano temperatura wynosiła 8°C, a wieczorem spadła aż do -20°C. O ile stopni spadła temperatura?

$$8-(-20)=8+20=28°C $$

Odp.: Temperatura spadła o $$28°C$$.

Zadanie 3.

Znajdź liczbę o 7 większą od:

  1. $$ -1 $$
  2. $$ -15 $$
  3. $$ -5 $$
  1. $$−1+7= 7-1 = 6$$
  2. $$−15+7 = 7 – 15 = −8$$
  3. $$−5+7 = 7-5 = 2$$

Zadanie 4.

Do liczby -5 dodaj liczbę przeciwną do liczby o 4 większej od -5.

liczba o 4 większa od liczby -5 -> $$4+(-5)=-1$$

liczba przeciwna do liczby o 4 większej od liczby -5 -> $$-(-1)=1$$

dodaję do liczby -5 liczbę przeciwną do liczby o 4 większej od -5 -> $$-5+1=-4$$

Odp.: Wynikiem dodawania do -5 liczby przeciwnej do liczby o 4 większej od -5 jest liczba -4.

Zadanie 5.

Ile jest liczb całkowitych większych od -11 i mniejszych od 4?

liczby większe od -11 i mniejsze od 4: $$-10, -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3$$

Odp.: Jest 14 liczb całkowitych większych od -11 i mniejszych od 4.

Zadanie 6.

Jaką liczbę należy wpisać w kratkę ($$▭$$), aby równość była prawdziwa?

$$(-5)+12+(-3)+▭=0$$

$$ (-5)+12+(-3)+▭=0 $$

$$ 7-3+▭=0 $$

$$ 4+▭=0 $$ -> liczba w kratce to (-4)

Odp.: Należy wpisać liczbę -4, aby równość była prawdziwa.

Zadanie 7.

Pewnej zimowej nocy temperatura powietrza wynosiła $$-15°$$ C, a do południa wzrosła o $$9°$$ C. Jaka była temperatura powietrza w południe?

$$- 15° C + 9° C = - 6° C$$

Odp. Temperatura powietrza w południe wynosiła $$- 6°$$ C

Spis treści

Rozwiązane zadania
Zamień procenty na ułamki...

a)

`10%=10/(100)=1/10` 

`20%=20/(100)=2/10=1/5` 

`90%=90/(100)=9/10` 

`60%=60/(100)=6/10=3/5` 

 

b)

`25%=25/(100)=1/4` 

`30%=30/(100)=3/10` 

`70%=70/(100)=7/10` 

`50%=50/(100)=5/10=1/2` 

 

c)

`40%=40/(100)=4/10=2/5` 

`75%=75/(100)=3/4` 

`80%=80/(100)=8/10=4/5` 

`100%=(100)/(100)=1` 

 

Oblicz: a) 3/5:2 2/5 b) 5/8: 2 1/2

a) `3/5:2 2/5=3/5:12/5=3/5*5/12=(3*5)/(5*12)=(1*1)/(1*4)=1/4`

b) `5/8: 2 1/2=5/8:5/2=5/8*2/5=(5*2)/(8*5)=(1*1)/(4*1)=1/4`

c) `6/7:1 4/5=6/7:9/5=6/7*5/9=(6*5)/(7*9)=(2*5)/(7*3)=10/21`

d) `1 6/10:14/20=16/10*20/14=(16*20)/(10*14)=(8*2)/(1*7)=16/7=2 2/7`

e) `2 1/3:4/5=7/3*5/4=(7*5)/(3*4)=35/12=2 11/12`

f) `1 1/2:4/9=3/2*9/4=(3*9)/(2*4)=27/8=3 3/8`

 

Wypisz dzielniki podanych liczb

`a)`

`"dzielniki 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12"`

`"dzielniki 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24"`

Największy wspólny dzielnik liczb 12 i 24 to 12. 

 

 

`b)`

`"dzielniki 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12"`

`"dzielniki 28: 1, 2, 4, 7, 14, 28"`

Największy wspólny dzielnik liczb 12 i 28 to 4. 

 

 

`c)`

`"dzielniki 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12"`

`"dzielniki 21: 1, 3, 7, 21"`

Największy wspólny dzielnik liczb 12 i 21 to 3. 

 

`d)`

`"dzielniki 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12"`

`"dzielniki 7: 1, 7"`

Największy wspólny dzielnik liczb 12 i 7 to 1. 

Weźcie prostokątną kartkę oraz nożyczki i wykonajcie

a) Zgięcia przecinają się pod kątem prostym.

b) Utworzony czworokąt ma dwie osie symetrii.

c) Cztery tworzące czworokąt trójkąty mają boki równej długości i takie same rozwartości kątów- są to cztery trójkąty przystające.

d) Czworokąt ma cztery boki równej długości i dwie pary równych kątów.

e) Przekątne przecinają się w połowie, są prostopadłe, są różnej długości.

f) Własności otrzymanej figury:

  • ma cztery boki równej długości
  • ma dwie osie symetrii
  • jego kąty są parami równe- kąty leżące naprzeciwko siebie są takiej samej rozwartości
  • przekątne przecinają się pod kątem prostym
  • przekątne nie są równej długości
  • przekątne przecinają się w połowie
  • przekątne dzielą figurę na cztery prostokątne trójkąty przystające
Zapisz cyframi następujące liczby

Zapisz cyframi następujące liczby:

a) sześć i dwadzieścia osiem setnych - 6,28

czterdzieści dwa i cztery dziesiętne - 42,4

sto trzydzieści i dwadzieścia trzy setne - 130,23

osiem i cztery setne - 8,04

b) Odczytaj liczby:

5,24 - pięć i dwadzieścia cztery setne

0,345 - trzysta czterdzieści pięś tysięcznych

9,9 - dziewięć i dziewięć dziesiątych

0,67 - sześćdziesiąt siedem setnych

Zmierz odpowiednie odcinki, zapisz ich długości...

Przeczytaj informacje podane obok i uzupełnij:

Informacje zawarte w ramce: 

1 galon = 4,5 litra 

1 galon = 4 kwaty = 8 pint 


Uzupełniamy luki: 
`a) \ 2 \ "galony" \ "to" \ "około" \ ul( \ \ 9 \ \ ) \ "litrów". ` 
[1 galon to około 4,5 l. 2 galony, to 2 razy więcej, czyli około 9 litrów] 

`b) \ 1 \ "galon" \ "to" \ "około" \ ul( \ \ 4500 \ \ ) \ "ml". `  
[1 galon to około 4,5 l, czyli 4500 ml]  

`c) \ 1 \ "kwarta" \ "to" \ "około" \ ul( \ \ 1,125 \ \ ) \ "litra". ` 
[1 kwarta to 1/4 galona, bo 1 galon to 4 kwarty. 1/4 galona, czyli 1/4 z 4,5 l to 1,125 l]

`d) \ \ 2 \ "kwarty" \ "to" \ "około" \ ul( \ \ 2250 \ \ ) \ "mililitrów".` 
[1 kwarta to około 1,125 l, czyli około 1125 ml. 2 kwarty to 2 razy więcej, czyli 2250 ml]

`e) \ 1 \ "pinta" \ "to" \ "około" \ ul( \ \ 562,5 \ \ )\ "mililitrów".` 
[1 pinta to 1/8 galona, bo 1 galon to 8 pint. 1/8 galona, czyli 1/8 z 4500 ml to 562,5 ml] 

Ile jest różnych ułamków ...

Ułamki właściwe są to ułamki, w których licznik jest mniejszy od mianownika. 

Wypiszmy ułamki właściwe o mianowniku 7.

`1/7,\ 2/7,\ 3/7,\ 4/7,\ 5/7,\ 6/7`

Jest 6 takich ułamków. 

 

Ułamek niewłasciwy jest to ułamek, w którym licznik jest równy bądź większy od mianownika. Wypiszmy ułamki niewłaściwe o liczniku 7.

`7/7,\ 7/6,\ 7/5,\ 7/4,\ 7/3,\ 7/2, 7/1`

Jest 7 takich ułamków. 

 

Sprawdźmy jak jest dla 10.

Wypiszmy ułamki właściwe o mianowniku 10.

`1/10,\ 2/10,\ 3/10,\ 4/10,\ 5/10,\ 6/10,\ 7/10,\ 8/10,\ 9/10`

Jest 9 takich ułamków. 

Wypiszmy ułamki niewłaściwe o liczniku równym 10. 

`10/10,\ 10/9,\ 10/8,\ 10/7,\ 10/6,\ 10/5,\ 10/4,\ 10/3,\ 10/2,\ 10/1`

Jest 10 takich ułamków. 

 

Podobnie będzie dla innych liczb. Dla dowolnej liczby naturalnej "n", różnej od zera, ułamków właściwych, w których "n" jest mianownikiem jest "n-1", a ułamków niewłaściwych, w których "n" jest licznikiem jest "n".

Np. Ułamków właściwych, w których 15 jest w mianowniku jest 14. A ułamków niewłaściwych, w których 15 jest w liczniku jest 15. 

Dominik zbiera zakrętki od butelek po soczkach. Ma ich 369. Jedna trzecia

Aby obliczyć jedną trzecią jakiejś liczby, dzielimy ją przez 3

`369:3= (300+60+9):3= 100+20+3=123`

Pozostałe zakrętki:

`369-123= 246`

Liczba jeden miliard siedemdziesiąt milionów dziewięćdziesiąt to:

Poprawna odpowiedź: B 1 070 000 090