Liczby całkowite - 5-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Liczby dodatnie i ujemne

  Przypomnienie

Oś liczbowa to prosta, na której każdemu punktowi jest przypisana dana wartość liczbowa, zwana jego współrzędną.

os


Liczby naturalne to liczby 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,... Zbiór wszystkich liczb naturalnych oznaczamy symbolem N.

Możemy zapisać: N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,...}
 

Liczby dodatnie są to liczby większe od zera, czyli na osi liczbowej leżą po prawej stronie zera. Liczby dodatnie zapisujemy ze znakiem + (plus), np. +2, +5 lub bez znaku, np. 2, 5. Czym liczba dodatnia leży bliżej zera, tym jest mniejsza, np. $$1$$ < $$5$$.
 

Liczby ujemne są to liczby mniejsze od zera, czyli na osi liczbowej leżą po lewej stronie zera. Liczby ujemne zapisujemy ze znakiem – (minus), np. -2, -7. Czym liczba ujemna jest bliżej zera, tym jest większa, np. $$−44$$ < $$−5$$
 

  Zapamiętaj

Każda liczba dodatnia jest większa od każdej liczby ujemnej, np. $$5$$ > $$-5$$, $$7$$ > $$-92$$. Zero jest większe od każdej liczby ujemnej, np. 0 > $$-8$$, $$0$$ > $$-1743$$. Zero nie jest ani liczbą dodatnią, ani ujemną.

Liczby przeciwne są to takie dwie liczby, których suma wynosi 0. Zapis $$a+b=0$$ oznacza, że a i b to liczby przeciwne.

Przykłady:

  • Liczbą przeciwną do 4 jest -4.
  • Liczbą przeciwną do -25 jest 25.
  • Liczbą przeciwną do 0 jest 0.


Liczby przeciwne leżą na osi liczbowej w tej samej odległości od zera po przeciwnych stronach.

liczby-przeciwne


Liczby całkowite to liczby naturalne oraz liczby do nich przeciwne. Zbiór wszystkich liczb całkowitych oznaczamy symbolem C.
Możemy zapisać: C = { ..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}


Przykłady interpretacji liczb ujemnych i dodatnich:

  • + 5° -> 5 stopni powyżej zera
  • - 5° -> 5 stopni poniżej zera
  • + 100 zł -> gotówka (kapitał)
  • - 100 zł -> dług (kredyt)
 

Dodawanie liczb całkowitych

  1. Dodawanie dwóch liczb dodatnich – suma jest liczbą dodatnią.
    Przykład: $$24 + 37 = 61$$
     

  2. Dodawanie dwóch liczb ujemnych – suma jest liczbą ujemną (dodajemy liczby pomijając znaki minus, zapisujemy wynik, dopisując znak „-”.
    Przykład: $$(-24) + (-37) = (-61)$$
     

  3. Dodawanie dwóch liczb, z których jedna jest dodatnia, a druga ujemna – suma ma znak tego składnika, który na osi liczbowej znajduje się dalej od zera. Jeżeli do liczby dodatniej dodajemy liczbę ujemną, to tak naprawdę od liczby dodatniej odejmujemy liczbę przeciwną do danej liczby ujemnej.

    Przykłady:

    • $$3 + (−4) = 3 − 4 = −1$$
    • $$(−3) + 7 = 7 + (−3) = 7 − 3 = 4$$
    • $$(−8) + 10 = 10 + (−8) = 10 − 8 = 2$$
       
  4. Dodawanie dwóch liczb przeciwnych – suma jest równa 0.
    Przykład: $$(-5) + 5 = 0$$
     

Odejmowanie liczb całkowitych

Każde odejmowanie liczb całkowitych można zastąpić odpowiednim dodawaniem.

Przykłady:

  • $$3 − (−9) = 3 + 9 = 12$$
  • $$(−4) − 5 = (-4) + (-5) = −9$$
  • $$(−8) − (−11) = (−8) + 11 = 11 + (−8) = 11 − 8 = 3$$
     

Reguły odnoszące się do znaków + i -:

  • $$(+a) = +a = a$$
  • $$- (-a) = +a = a$$
  • $$- (+a) = -a$$
  • $$+ (-a) = -a$$
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Uporządkuj podane liczby w kolejności rosnącej:

  1. $$ 18, 6, 9, -13, 2, -7, 0, -3 $$
  2. $$ 12, -18, -16, 6, -105, 56 $$
  1. $$ -13, -7, -3, 0, 2, 6, 9, 18 $$
  2. $$ -105, -18, -16, 6, 12, 56 $$

Zadanie 2.

Rano temperatura wynosiła 8°C, a wieczorem spadła aż do -20°C. O ile stopni spadła temperatura?

$$8-(-20)=8+20=28°C $$

Odp.: Temperatura spadła o $$28°C$$.

Zadanie 3.

Znajdź liczbę o 7 większą od:

  1. $$ -1 $$
  2. $$ -15 $$
  3. $$ -5 $$
  1. $$−1+7= 7-1 = 6$$
  2. $$−15+7 = 7 – 15 = −8$$
  3. $$−5+7 = 7-5 = 2$$

Zadanie 4.

Do liczby -5 dodaj liczbę przeciwną do liczby o 4 większej od -5.

liczba o 4 większa od liczby -5 -> $$4+(-5)=-1$$

liczba przeciwna do liczby o 4 większej od liczby -5 -> $$-(-1)=1$$

dodaję do liczby -5 liczbę przeciwną do liczby o 4 większej od -5 -> $$-5+1=-4$$

Odp.: Wynikiem dodawania do -5 liczby przeciwnej do liczby o 4 większej od -5 jest liczba -4.

Zadanie 5.

Ile jest liczb całkowitych większych od -11 i mniejszych od 4?

liczby większe od -11 i mniejsze od 4: $$-10, -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3$$

Odp.: Jest 14 liczb całkowitych większych od -11 i mniejszych od 4.

Zadanie 6.

Jaką liczbę należy wpisać w kratkę ($$▭$$), aby równość była prawdziwa?

$$(-5)+12+(-3)+▭=0$$

$$ (-5)+12+(-3)+▭=0 $$

$$ 7-3+▭=0 $$

$$ 4+▭=0 $$ -> liczba w kratce to (-4)

Odp.: Należy wpisać liczbę -4, aby równość była prawdziwa.

Zadanie 7.

Pewnej zimowej nocy temperatura powietrza wynosiła $$-15°$$ C, a do południa wzrosła o $$9°$$ C. Jaka była temperatura powietrza w południe?

$$- 15° C + 9° C = - 6° C$$

Odp. Temperatura powietrza w południe wynosiła $$- 6°$$ C

Spis treści

Rozwiązane zadania
Uczestnikom harcerskiej gry...

Nazwa zespołu

WILKI

ŻABKI

ORŁY

MYSZKI

Skład zespołu i przyznane punkty

Tomek -5

Bartek -3

Kinga +5

Eliza -2

Kacepr -3

Adam +7

Daria +4

Magda -5

Suma punktów

`(-5)+(-3)=-8` `5+(-2)=3` `(-3)+7=4`  `4+(-5)=-1` 

Zajęte miejsce

`IV` `II` `I`  `III`

 

Dwa przeciwległe kąty deltoidu mają 60° i 90°. Jaka jest

Odejmijmy od sumy miar kątów w czworokącie miary dwóch znanych kątów, otrzymamy sumę miar dwóch pozostałych kątów:

`360^o-60^o-90^o=300^o-90^o=210^o`

Ponieważ deltoid ma przynajmniej jedną parę przeciwległych kątów równych, to szukane przez nas miary dwóch pozostałych kątów będą równe-obliczamy ich miarę dzieląc sumę miar tych kątów na 2:

`210^o:2=105^o`

W podanych poniżej zestawach liczby nie zostały

a) W tym ciągu liczb każda kolejna zmniejsza się o 4. 

Dowód:

`3-4=(-1)`

`-1-4=(-5)`

b) W tym ciągu liczb każda kolejna jest iloczynem poprzednij oraz liczby -2

`2*(-2)=(-4)`

`(-4)*(-2)=8`

`8*(-2)=(-16)`

c)

 W tym ciągu liczb każda kolejna zmniejsza się o 3. 

`-3-3=(-6)`

`-6-3=(-9)`

`-9-3=(-12)`

d)

W tym ciągu liczb na zmianę od poprzedniego wyrazu odejmowana lub dodawana jest jakaś liczba w następujący sposób:

najpierw liczba 21, potem liczba o 14 od niej większa, czyli 35, później liczba o 14 od 35 większa czyli 49.

Dowód:

Najpierw odejmujemy liczbę 21.

`7-21=(-14)`

Potem do otrzymanej liczby dodajemy liczbę o 14 większą od 21, czyli 35.

`-14+35=21`

Potem do otrzymanej liczby odejmujemy liczbę o 14 większa od 35, czyli 49. 

`21-49=(-28)`

a) W każdym z poniższych trójkątów poprowadzono jedną ...

Kąt rozwarty trapezu równoramiennego ma miarę

Trapez równoramienny ma jedną parę kątów rozwartych równej miary i jedną parę kątów ostrych równej miary. Stąd jeśli kąt rozwarty trapezu równoramiennego ma miarę dwa razy większa od miary kąta ostrego, tzn. że w całym trapezie mamy:

2 miary kątów ostrych+ dwie miary kątów rozwartych (każdy kąt stanowi 2 miary kątów ostrych)

czyli:

2 miary kątów ostrych+ 4 miary kątów ostrych

razem:

6 miar kątów ostrych

Suma miar kątów w czworokącie wynosi 360°, stąd jeśli wszystkie kąty mają razem miarę taką jak 6 miar kątów ostrych, to miara jednego kąta ostrego jest 6 razy mniejsza niż 360°, czyli:

`360^o:6=60^o`

A miara kąta rozwartego, który jest 2 razy większy, wynosi:

`60^o*2=120^o`

Robert ma 14 lat, a jego tata jest 3 razy starszy. Ile razy Robert był młodszy od taty

Obecnie:

Wiek Roberta 14 lat

Wiek taty Roberta 14*3= 42 lata

 

7 lat temu

Wiek Roberta 14-7=7 lat

Wiek taty Roberta 42-7=35zł

 

Ile razy Robert był młodszy od taty?

35lat: 7lat= 5

5 razy

Ile kilogramów pomidorów kupimy za 2 zł w sklepie

1 kg kosztuje 5 zł

Za 2 zł kupimy

`2zl : 5( zl)/(kg)= 2/5 kg=0,4 kg`

Zasady działania maszynek ...

a) 

Maszynka A - II (l+9)

Maszynka B - III (l-5)

Maszynka C - IV (l∙3)

Maszynka D - I (l:3)

 

b) 

Maszynka A (zwiększa wrzuconą liczbę o 9):

`6+9=15`

`9+9=18`

`12+9=21`

`15+9=24`

`21+9=30`

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ ))`

Maszynka B (zmniejsza wrzuconą liczbę o 5):

`6-5=1`

`9-5=4`

`12-5=7`

`15-5=10`

 

`21-5=16`

`ul(ul(\ \ \ \ \ ))`

Maszynka C (zwiększa wrzuconą liczbę 3 razy):

`6*3=18`

`9*3=27`

`12*3=36`

`15*3=45`

 

`21*3=63`

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ ))`

Maszynka D (zmniejsza wrzuconą liczbę 3 razy):

`6\ ":"\ 3=2`

`9\ ":"\ 3=3`

`12\ ":"\ 3=4`

`15\ ":"\ 3=5`

 

`21\ ":"\ 3=7`

 

Spośród liczb...

większe od -10: 9, -7, -1,-8, 7

mniejsze od -6: -7, -12, -27, -8

Oblicz średnią arytmetyczną liczb: 5,8,6,5.

5+8+6+5= 13+11=24

24:4=6