Graniastosłupy - 5-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Prostopadłościany

  Zobacz w programie GeoGebra
 

Prostopadłościan to figura przestrzenna, której kształt przypomina pudełko lub akwarium.

Prostopadłościan

Każda ściana prostopadłościanu jest prostokątem. Każdy prostopadłościan ma 6 ścian - 4 ściany boczne i 2 podstawy, 8 wierzchołków i 12 krawędzi. Dwie ściany mające wspólną krawędź nazywamy prostopadłymi. Dwie ściany, które nie mają wspólnej krawędzi, nazywamy równoległymi. Każda ściana jest prostopadła do czterech ścian oraz równoległa do jednej ściany.

Z każdego wierzchołka wychodzą trzy krawędzie – jedną nazywamy długością, drugą – szerokością, trzecią – wysokością prostopadłościanu i oznaczamy je odpowiednio literami a, b, c. Długości tych krawędzi nazywamy wymiarami prostopadłościanu.

Prostopadłościan - wymiary

a – długość prostopadłościanu, b – szerokość prostopadłościanu, c - wysokość prostopadłościanu
 

Prostopadłościan, którego wszystkie ściany są kwadratami nazywamy sześcianem. Wszystkie krawędzie sześcianu mają jednakową długość.
 

szescian
 

Graniastosłupy proste

Graniastosłup to figura przestrzenna (wielościan), której dwie ściany zwane podstawami są równoległymi wielokątami przystającymi, natomiast ściany boczne są równoległobokami. Rozróżniamy graniastosłupy proste i pochyłe.

Graniastosłup prosty to figura zbudowana z dwóch jednakowych równoległych do siebie podstaw, połączonych ścianami bocznymi, które są prostopadłe do podstaw. Prostopadłościan to graniastosłup prosty mający w podstawie prostokąt. Sześcian to graniastosłup prosty mający w podstawie kwadrat. Każda ściana boczna graniastosłupa prostego jest prostokątem. Krawędzie boczne graniastosłupa prostego mają jednakową długość.

Z dowolnego wierzchołka graniastosłupa prostego wychodzą trzy krawędzie. Jedna z nich jest krawędzią boczną, a pozostałe krawędziami podstawy. Krawędź boczna jest prostopadła do każdej z tych dwóch krawędzi podstawy.

Graniastosłupy proste

Graniastosłup, który ma w podstawie trójkąt to graniastosłup trójkątny. Gdy ma w podstawie czworokąt to jest to graniastosłup czworokątny itd. Graniastosłup przyjmuje swoją nazwę od wielokąta, który jest jego podstawą.

Przykład:

  • Graniastosłup dziesięciokątny

    Graniastosłup dziesięciokątny
     

Wysokość graniastosłupa – to odcinek łączący podstawy graniastosłupa i prostopadły do każdej z nich. W przypadku graniastosłupa prostego wysokością jest po prostu krawędź boczna. Wysokość graniastosłupa oznaczamy literą H.

wysokosc-graniastoslupa
 

Siatki graniastosłupów prostych

Po rozcięciu wzdłuż kilku krawędzi powierzchni dowolnego graniastosłupa i rozłożeniu go na powierzchnię płaską powstanie jego siatka.

Jest to wielokąt złożony z mniejszych wielokątów – ścian graniastosłupa.

Ten sam graniastosłup może mieć kilka siatek.
 

Przykłady:

 Siatka graniastosłupa

Pole powierzchni graniastosłupa

Pole powierzchni graniastosłupa to suma pól wszystkich jego ścian.

Pole powierzchni składa się z pola powierzchni bocznej czyli sumy pól wszystkich ścian bocznych oraz z dwóch pól powierzchni identycznych podstaw. 

`P_c=2P_p+P_b`  

`P_c \ \ \ ->`    pole powierzchni całkowitej graniastosłupa 

`P_p \ \ \ ->`    pole podstawy graniastosłupa 

`P_b \ \ \ ->`    pole powierzchni bocznej graniastosłupa


Z powyższego wzoru możemy wyprowadzić wzór na pole powierzchni prostopadłościanu oraz sześcianu. 

Prostopadłościan:

`P_c=2P_p+P_b` 

`P_p=a*b=ab` 

`P_b=2*a*c+2*b*c=2ac+2bc` 

Zatem: 

`P_c=2ab+2ac+2bc=2(ab+ac+bc)`  


Sześcian: 

Wszystkie krawędzie sześcianu mają jednakową długość.

Wszystkie ściany są przystającymi kwadratami. Jest ich 6. 

`P_c=2P_p+P_b`

`P_p=a*a=a^2`  

`P_b=4*a*a=4a^2` 

Zatem:

`P_c=2a^2+4a^2=6a^2` 

Objętość graniastosłupa

Objętość graniastosłupa jest to zawartość lub pojemność danego graniastosłupa. Objętość naczynia mówi nam ile np. piasku lub wody zmieści się w danym naczyniu Inaczej mówiąc: objętość figury przestrzennej jest to liczba dodatnia wyrażona w danej jednostce, która wskazuje, ile jednostek objętości (czyli sześcianów jednostkowych) potrzeba, aby wypełnić i jednocześnie pokryć tę figurę.

Wielokąt (czyli figura płaska) ma objętość równą zero. Każdy graniastosłup ma objętość dodatnią. Objętość oznaczamy literą V.

Jednostki objętości - służą do określenia objętości danej bryły, mówią nam ile maksymalnie sześcianów jednostkowych mieści się wewnątrz danej bryły. Jednostką objętości może być dowolny sześcian, jednak najczęściej używane są poniżej przedstawione jednostki, które ułatwiają przekazywanie informacji o objętościach brył:

  • $$1 mm^3$$ –> 1 milimetr sześcienny – objętość sześcianu o krawędzi 1mm
  • $$1 cm^3$$ –> 1 centymetr sześcienny - objętość sześcianu o krawędzi 1cm
  • $$1 dm^3$$ –> 1 decymetr sześcienny - objętość sześcianu o krawędzi 1dm
  • $$1 m^3$$ –> 1 metr sześcienny - objętość sześcianu o krawędzi 1m
  • $$1 km^3$$ –> 1 kilometr sześcienny - objętość sześcianu o krawędzi 1km

  Uwaga

Do określania objętości cieczy używamy dwóch podstawowych jednostek: litrów oraz mililitrów.

$$1 cm^3$$ nazywamy mililitrem; $$1 ml = 1 cm^3$$
$$1 dm^3$$ nazywamy litrem; $$1 l = 1 dm^3$$


Przykłady na zamianę jednostek objętości:
  • $$1 dm^3 = 10cm•10cm•10cm= 1000 cm^3$$
  • $$1 cm^3 = 0,01m•0,01m•0,01m= 0,000001 m^3$$



Wzór na objętość graniastosłupa prostego:

$$V = P_p•H$$
$$P_p$$ → pole podstawy
$$H$$ → wysokość graniastosłupa (długość krawędzi bocznej)
 

Zadanie.
Wyznacz wzór na objętość prostopadłościanu.

Prostopadłościan - wymiary

$$V = P_p•H$$

$$P_p = a•b$$
$$H = c$$

$$V = a•b•c$$ ← wzór na objętość prostopadłościanu

 

Zadanie.
Napiszmy wzór na objętość sześcianu.

Wszystkie krawędzie sześcianu mają jednakową długość.
 

szescian


$$V = P_p•H$$

$$P_p = a•a$$
$$H = a$$
$$V = a•a•a= a^3$$

$$V = a^3$$ ← wzór na objętość sześcianu
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Ile potrzeba zapałek do zbudowania szkieletu graniastosłupa prostego siedmiokątnego?

ilość zapałek potrzebnych do zbudowania 2 podstaw -> $$2•7=14$$

ilość zapałek potrzebnych do zbudowania krawędzi bocznych -> 7

ilość wszystkich zapałek -> $$7+14=21$$

Odp.: Potrzeba 21 zapałek do zbudowania szkieletu graniastosłupa prostego siedmiokątnego.

Zadanie 2.

Ile ścian bocznych ma graniastosłup ośmiokątny?

Odp.: Graniastosłup ośmiokątny ma osiem ścian bocznych.

Zadanie 3.

Oblicz pole powierzchni prostopadłościanu o wymiarach 1 m×5 m×7 m.

$$ P_p=2•(5•1•7•1+5•7) $$

$$ P_p=2•(5+7+35)=2•47=94 m^2 $$

Odp.: Pole powierzchni tego prostopadłościanu wynosi $$94 m^2$$.

Zadanie 4.

Oblicz objętość prostopadłościanu o wymiarach 4 cm×8 cm×1,3 dm.

$$ V=a•b•c $$

$$ V=4 cm•8 cm•1,3 dm $$

$$ V=4 cm•8 cm•13 cm=416 cm^3 $$

Odp.: Objętość tego prostopadłościanu wynosi $$416 cm^3$$.

Zadanie 5.

1 $$dm^3$$ wody waży 1 kg. Wanna kształtem przypomina prostopadłościan o wymiarach 60 cm×1,25 m×40 cm. Ile waży woda w całkowicie wypełnionej wannie?

$$ V=60 cm•1,25 m•40 cm $$

$$ V=6 dm•12,5 dm•4 dm=300 dm^3 $$ -> woda waży 300 kg

Odp.: Woda w całkowicie wypełnionej wannie waży $$300 kg$$.

Zadanie 6.

Oblicz objętość sześcianu o krawędzi dlugości 6 dm.

$$V=a^3$$ -> $$V=6^3=216 dm^3$$

Odp.: Objętość tego sześcianu wynosi $$216 dm^3$$.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Zapisz podane liczby cyframi. Ustaw...

 

 
{premium}

  

  

  

  

  

  

 

Ustawiamy liczby od najmniejszej do największej:

 

Każdej liczbie przypisana jest pewna litera. 

Otrzymujemy odpowiedź:

    - nazwa liczby zapisanej za pomocą jedynki i sześćdziesięciu zer

 

Marek, Jarek i Darek malowali ...

Płat stanowi jedną całość, czyli 1.

Marek pomalował 2/3 płotu, a Jarek 1/4. Resztę pomalował Darek. {premium}

Jeżeli od 1 odejmiemy część, którą pomalował Marek i Jarek to otrzymamy część, którą pomalował Darek.

Doprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika, czyli do 12.

  

 

Odpowiedź: Darek pomalował 1/12 część płotu.

Obwód kwadratu jest równy...

Dane:

 - obwód kwadratu.

Szukane:

 - ile wynosi pole kwadratu?

Rozwiązanie:

Najpierw obliczamy, jaką długość ma jeden bok kwadratu:

  {premium}

Teraz możemy obliczyć pole kwadratu:

 

Odpowiedź: Pole tego kwadratu wynosi  

Jedna porcja zupy kosztuje w schronisku 3,50 zł, a jedna...

Wyobraźmy sobie, że porcja pierogów i porcja zupy to zestaw obiadowy. Skoro zamówiono o 4 porcje zupy więcej niż porcji pierogów, można założyć, że 4 uczestnicy wycieczki zjedli samą zupę, a pozostali uczestnicy- zestaw obiadowy. Cena takiego zestawu będzie wynosić:   {premium}

Aby dowiedzieć się, ile było tych zestawów obiadowych, musimy najpierw dowiedzieć się, ile pieniędzy na nie wydano. Wiemy, że za wszystko zapłacono 124 zł, ale były w tym też 4 pojedyncze zupy, których cenę należy odjąć:

Obliczmy liczbę zamówionych zestawów obiadowych, dzieląc kwotę wydaną na te zestawy przez cenę jednego zestawu:

Tyle zamówiono zestawów obiadowych, a więc 10 porcji zup i 10 porcji pierogów, a oprócz tych zestawów jeszcze 4 porcje zup, czyli:

Odp.: Zamówiono 10 porcji pierogów i 14 porcji zup.

Samolot z Krakowa do Chicago przeleciał...

Wiemy, że  


Obliczamy, ile minut leciał samolot:

 {premium}


Obliczamy średnią prędkość samolotu:

 

Thumb zad21str185


Odp. Samolot leciał  ze średnią prędkością  

Na poniższych rysunkach przedstawiono...



{premium}

Poniżej narysowano kwadrat o boku długości ...

Bok dużego kwadratu ma

długość , zatem jego

pole wynosi .{premium}

Bok dużego kwadratu ma

długość , zatem jego

pole wynosi .


Wynika stąd, że:

 


Zatem:

 

 

 

 

Samochód osobowy zużywa...

Dane:

6 litrów - tyle paliwa zużywa samochód osobowy na przejechanie 100 km,

1200 km - tyle chcemy przejechać,

4 zł - cena 1 litra benzyny.

Szukane:

Ile wynosi cena paliwa, jakie zostanie spalone na przejechanie 1200 km?

Rozwiązanie:

Najpierw obliczamy, ile razy więcej to jest 1200 km niż 100 km:

 {premium}

Teraz możemy obliczyć, ile litrów paliwa zostanie spalone po przejechaniu 1200 km:

 

Na koniec obliczamy, ile będą kosztowały 72 litry paliwa:

 

Odpowiedź: Za benzynę potrzebna na przejechanie 1200 km trzeba zapłacić 288 zł. 

Zaproponuj wymiary trójkąta o polu równym...

Jeśli pole ma być równe 20 cm², a pole trójkąta stanowi, zgodnie z powyższym wzorem, połowę iloczynu podstawy i wysokości opuszczonej na tę podstawę, to iloczyn podstawy i wysokości będzie dwa razy większy, czyli będzie wynosił 40 cm².  {premium}

Wynik 40 otrzymamy mnożąc przez siebie takie pary liczb, jak np. 10 i 4, 8 i 5, 2 i 20. Wymiary trójkątów o polu 40 cm² mogą zatem wynosić np.:

  •  

 

 

 

 

 

 

 


Odp.: Wymiary kilku takich trójkątów to: a=10 cm i h=4 cm; a=4 cm i h=10 cm; a=8 cm i h=5 cm; a=5 cm i h=8 cm; a=2 cm i h=20 cm; a=20 cm i h=2 cm.

Która kwota będzie większa: ...

Obliczamy, która kwota będzie większa: 1/3 kwoty 750 zł czy 3/2 kwoty 160 zł.

 
{premium}

Stąd:

 

Odpowiedź: Większą kwotę uzyskamy z 1/3 kwoty 750 zł.