Graniastosłupy - 5-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Prostopadłościany

  Zobacz w programie GeoGebra
 

Prostopadłościan to figura przestrzenna, której kształt przypomina pudełko lub akwarium.

Prostopadłościan

Każda ściana prostopadłościanu jest prostokątem. Każdy prostopadłościan ma 6 ścian - 4 ściany boczne i 2 podstawy, 8 wierzchołków i 12 krawędzi. Dwie ściany mające wspólną krawędź nazywamy prostopadłymi. Dwie ściany, które nie mają wspólnej krawędzi, nazywamy równoległymi. Każda ściana jest prostopadła do czterech ścian oraz równoległa do jednej ściany.

Z każdego wierzchołka wychodzą trzy krawędzie – jedną nazywamy długością, drugą – szerokością, trzecią – wysokością prostopadłościanu i oznaczamy je odpowiednio literami a, b, c. Długości tych krawędzi nazywamy wymiarami prostopadłościanu.

Prostopadłościan - wymiary

a – długość prostopadłościanu, b – szerokość prostopadłościanu, c - wysokość prostopadłościanu
 

Prostopadłościan, którego wszystkie ściany są kwadratami nazywamy sześcianem. Wszystkie krawędzie sześcianu mają jednakową długość.
 

szescian
 

Graniastosłupy proste

Graniastosłup to figura przestrzenna (wielościan), której dwie ściany zwane podstawami są równoległymi wielokątami przystającymi, natomiast ściany boczne są równoległobokami. Rozróżniamy graniastosłupy proste i pochyłe.

Graniastosłup prosty to figura zbudowana z dwóch jednakowych równoległych do siebie podstaw, połączonych ścianami bocznymi, które są prostopadłe do podstaw. Prostopadłościan to graniastosłup prosty mający w podstawie prostokąt. Sześcian to graniastosłup prosty mający w podstawie kwadrat. Każda ściana boczna graniastosłupa prostego jest prostokątem. Krawędzie boczne graniastosłupa prostego mają jednakową długość.

Z dowolnego wierzchołka graniastosłupa prostego wychodzą trzy krawędzie. Jedna z nich jest krawędzią boczną, a pozostałe krawędziami podstawy. Krawędź boczna jest prostopadła do każdej z tych dwóch krawędzi podstawy.

Graniastosłupy proste

Graniastosłup, który ma w podstawie trójkąt to graniastosłup trójkątny. Gdy ma w podstawie czworokąt to jest to graniastosłup czworokątny itd. Graniastosłup przyjmuje swoją nazwę od wielokąta, który jest jego podstawą.

Przykład:

  • Graniastosłup dziesięciokątny

    Graniastosłup dziesięciokątny
     

Wysokość graniastosłupa – to odcinek łączący podstawy graniastosłupa i prostopadły do każdej z nich. W przypadku graniastosłupa prostego wysokością jest po prostu krawędź boczna. Wysokość graniastosłupa oznaczamy literą H.

wysokosc-graniastoslupa
 

Siatki graniastosłupów prostych

Po rozcięciu wzdłuż kilku krawędzi powierzchni dowolnego graniastosłupa i rozłożeniu go na powierzchnię płaską powstanie jego siatka.

Jest to wielokąt złożony z mniejszych wielokątów – ścian graniastosłupa.

Ten sam graniastosłup może mieć kilka siatek.
 

Przykłady:

 Siatka graniastosłupa

Pole powierzchni graniastosłupa

Pole powierzchni graniastosłupa to suma pól wszystkich jego ścian.

Pole powierzchni składa się z pola powierzchni bocznej czyli sumy pól wszystkich ścian bocznych oraz z dwóch pól powierzchni identycznych podstaw. 

`P_c=2P_p+P_b`  

`P_c \ \ \ ->`    pole powierzchni całkowitej graniastosłupa 

`P_p \ \ \ ->`    pole podstawy graniastosłupa 

`P_b \ \ \ ->`    pole powierzchni bocznej graniastosłupa


Z powyższego wzoru możemy wyprowadzić wzór na pole powierzchni prostopadłościanu oraz sześcianu. 

Prostopadłościan:

`P_c=2P_p+P_b` 

`P_p=a*b=ab` 

`P_b=2*a*c+2*b*c=2ac+2bc` 

Zatem: 

`P_c=2ab+2ac+2bc=2(ab+ac+bc)`  


Sześcian: 

Wszystkie krawędzie sześcianu mają jednakową długość.

Wszystkie ściany są przystającymi kwadratami. Jest ich 6. 

`P_c=2P_p+P_b`

`P_p=a*a=a^2`  

`P_b=4*a*a=4a^2` 

Zatem:

`P_c=2a^2+4a^2=6a^2` 

Objętość graniastosłupa

Objętość graniastosłupa jest to zawartość lub pojemność danego graniastosłupa. Objętość naczynia mówi nam ile np. piasku lub wody zmieści się w danym naczyniu Inaczej mówiąc: objętość figury przestrzennej jest to liczba dodatnia wyrażona w danej jednostce, która wskazuje, ile jednostek objętości (czyli sześcianów jednostkowych) potrzeba, aby wypełnić i jednocześnie pokryć tę figurę.

Wielokąt (czyli figura płaska) ma objętość równą zero. Każdy graniastosłup ma objętość dodatnią. Objętość oznaczamy literą V.

Jednostki objętości - służą do określenia objętości danej bryły, mówią nam ile maksymalnie sześcianów jednostkowych mieści się wewnątrz danej bryły. Jednostką objętości może być dowolny sześcian, jednak najczęściej używane są poniżej przedstawione jednostki, które ułatwiają przekazywanie informacji o objętościach brył:

  • $$1 mm^3$$ –> 1 milimetr sześcienny – objętość sześcianu o krawędzi 1mm
  • $$1 cm^3$$ –> 1 centymetr sześcienny - objętość sześcianu o krawędzi 1cm
  • $$1 dm^3$$ –> 1 decymetr sześcienny - objętość sześcianu o krawędzi 1dm
  • $$1 m^3$$ –> 1 metr sześcienny - objętość sześcianu o krawędzi 1m
  • $$1 km^3$$ –> 1 kilometr sześcienny - objętość sześcianu o krawędzi 1km

  Uwaga

Do określania objętości cieczy używamy dwóch podstawowych jednostek: litrów oraz mililitrów.

$$1 cm^3$$ nazywamy mililitrem; $$1 ml = 1 cm^3$$
$$1 dm^3$$ nazywamy litrem; $$1 l = 1 dm^3$$


Przykłady na zamianę jednostek objętości:
  • $$1 dm^3 = 10cm•10cm•10cm= 1000 cm^3$$
  • $$1 cm^3 = 0,01m•0,01m•0,01m= 0,000001 m^3$$



Wzór na objętość graniastosłupa prostego:

$$V = P_p•H$$
$$P_p$$ → pole podstawy
$$H$$ → wysokość graniastosłupa (długość krawędzi bocznej)
 

Zadanie.
Wyznacz wzór na objętość prostopadłościanu.

Prostopadłościan - wymiary

$$V = P_p•H$$

$$P_p = a•b$$
$$H = c$$

$$V = a•b•c$$ ← wzór na objętość prostopadłościanu

 

Zadanie.
Napiszmy wzór na objętość sześcianu.

Wszystkie krawędzie sześcianu mają jednakową długość.
 

szescian


$$V = P_p•H$$

$$P_p = a•a$$
$$H = a$$
$$V = a•a•a= a^3$$

$$V = a^3$$ ← wzór na objętość sześcianu
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Ile potrzeba zapałek do zbudowania szkieletu graniastosłupa prostego siedmiokątnego?

ilość zapałek potrzebnych do zbudowania 2 podstaw -> $$2•7=14$$

ilość zapałek potrzebnych do zbudowania krawędzi bocznych -> 7

ilość wszystkich zapałek -> $$7+14=21$$

Odp.: Potrzeba 21 zapałek do zbudowania szkieletu graniastosłupa prostego siedmiokątnego.

Zadanie 2.

Ile ścian bocznych ma graniastosłup ośmiokątny?

Odp.: Graniastosłup ośmiokątny ma osiem ścian bocznych.

Zadanie 3.

Oblicz pole powierzchni prostopadłościanu o wymiarach 1 m×5 m×7 m.

$$ P_p=2•(5•1•7•1+5•7) $$

$$ P_p=2•(5+7+35)=2•47=94 m^2 $$

Odp.: Pole powierzchni tego prostopadłościanu wynosi $$94 m^2$$.

Zadanie 4.

Oblicz objętość prostopadłościanu o wymiarach 4 cm×8 cm×1,3 dm.

$$ V=a•b•c $$

$$ V=4 cm•8 cm•1,3 dm $$

$$ V=4 cm•8 cm•13 cm=416 cm^3 $$

Odp.: Objętość tego prostopadłościanu wynosi $$416 cm^3$$.

Zadanie 5.

1 $$dm^3$$ wody waży 1 kg. Wanna kształtem przypomina prostopadłościan o wymiarach 60 cm×1,25 m×40 cm. Ile waży woda w całkowicie wypełnionej wannie?

$$ V=60 cm•1,25 m•40 cm $$

$$ V=6 dm•12,5 dm•4 dm=300 dm^3 $$ -> woda waży 300 kg

Odp.: Woda w całkowicie wypełnionej wannie waży $$300 kg$$.

Zadanie 6.

Oblicz objętość sześcianu o krawędzi dlugości 6 dm.

$$V=a^3$$ -> $$V=6^3=216 dm^3$$

Odp.: Objętość tego sześcianu wynosi $$216 dm^3$$.

Spis treści

Rozwiązane zadania
W 1,5- litrowym dzbanku było 2/3 litra soku. Ania wypiła ¼

Wiemy, że Ania wypiła rownanie matematyczne z rownanie matematyczne  litra soku

Obliczmy, jaką cześć litra soku wypiła Ania:{premium}

rownanie matematyczne

 

Odp. Ania wypiła rownanie matematyczne soku.

Obok narysowano graniastosłup prosty trójkątny ...

Podstawy to ściany: ABC i DEF. 

Ściany boczne to ściany: ABED, BCFE, ACFD. 

Krawędzie równoległe do AD to: BE i CF (krawędzie boczne są do siebie równoległe). 

Ściany prostopadłe do ściany DEF to: ABED, BCFE i ACFD (ściany boczne są prostopadłe do podstaw)

Według Księgi Rekordów Guinnessa największa wyprodukowana płyta ...

Największa wyprodukowana szklana płyta miała kształt prostokąta.

Jej długość wynosiła 20 m (a=20 m), a szerokość 2,5 m (b=2,5 m).

Obliczamy, ile wynosiło pole powierzchni tej płyty.  
rownanie matematyczne  

Pole powierzchni największej w historii szklanej płyty wynosiło 50 m2

Trojaczki - Marysia, Łukasz i ...

Cenę piłki dzielimy na rownanie matematyczne, aby obliczyć, ile pieniędzy przeznaczyło na piłkę każde dziecko.{premium}

Odp. Każde z rodzeństwa przeznaczyło na piłkę rownanie matematyczne.

Zamalowana część prostokąta to:

Prostokąt podzielono na rownanie matematyczne równe części.{premium}

Zamalowano dwie z nich, czyli rownanie matematyczne całego prostokąta.

Prawidłowa odpowiedź to C.

Które zdanie jest fałszywe?

rownanie matematyczne 

Zdanie rownanie matematyczne jest prawdziwe.{premium}


rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Zdanie rownanie matematyczne jest prawdziwe.


rownanie matematyczne 

Zdanie rownanie matematyczne jest fałszywe.


rownanie matematyczne 

Zdanie rownanie matematyczne jest prawdziwe.


Należy wskazać odpowiedź rownanie matematyczne 

Ile dni mają poszczególne pory roku?

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

Licząc liczbę dni, które obejmuję okres czasu od 21. do 31., do różnicy tych dat 31-21=10 doliczamy 1, gdyż 21 marzec też wchodzi w ten okres.

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

{premium}

rownanie matematyczne

Wiosna ma 93 dni.

 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

Lato ma 93 dni.

 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

Jesień ma 90 dni.

 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne 

Zima ma 89 lub 90 dni.

Narysuj wysokości w trójkącie ABC. Oznacz odpowiednie (...)

Odcinek CD to wysokość opuszczona z wierzchołka C na bok AB.

Odcinek BE to wysokość opuszczona z wierzchołka B na bok AC.

{premium}

Odcinek AF to wysokość opuszczona z wierzchołka A na bok BC. 

Wytnij z wkładki kostki domina Działania na liczbach naturalnych.

START


rownanie matematyczne

rownanie matematyczne 


rownanie matematyczne


rownanie matematyczne 


rownanie matematyczne


rownanie matematyczne 


rownanie matematyczne{premium}


rownanie matematyczne 


rownanie matematyczne

rownanie matematyczne 


rownanie matematyczne


rownanie matematyczne


rownanie matematyczne


rownanie matematyczne


rownanie matematyczne

rownanie matematyczne


rownanie matematyczne  


rownanie matematyczne


rownanie matematyczne


rownanie matematyczne


rownanie matematyczne


rownanie matematyczne 


rownanie matematyczne


rownanie matematyczne 


rownanie matematyczne


META

Uzupełnij tabelę.

{premium}