Graniastosłupy - 5-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Prostopadłościany i sześciany

  Zobacz w programie GeoGebra
 

Prostopadłościan to figura przestrzenna, której kształt przypomina pudełko lub akwarium.

Prostopadłościan

Każda ściana prostopadłościanu jest prostokątem. Każdy prostopadłościan ma 6 ścian - 4 ściany boczne i 2 podstawy, 8 wierzchołków i 12 krawędzi. Dwie ściany mające wspólną krawędź nazywamy prostopadłymi. Dwie ściany, które nie mają wspólnej krawędzi, nazywamy równoległymi. Każda ściana jest prostopadła do czterech ścian oraz równoległa do jednej ściany.

Z każdego wierzchołka wychodzą trzy krawędzie – jedną nazywamy długością, drugą – szerokością, trzecią – wysokością prostopadłościanu i oznaczamy je odpowiednio literami a, b, c. Długości tych krawędzi nazywamy wymiarami prostopadłościanu.

Prostopadłościan - wymiary

a – długość prostopadłościanu, b – szerokość prostopadłościanu, c - wysokość prostopadłościanu
 

Prostopadłościan, którego wszystkie ściany są kwadratami nazywamy sześcianem. Wszystkie krawędzie sześcianu mają jednakową długość.
 

szescian
 

Graniastosłupy proste

Graniastosłup to figura przestrzenna (wielościan), której dwie ściany zwane podstawami są równoległymi wielokątami przystającymi, natomiast ściany boczne są równoległobokami. Rozróżniamy graniastosłupy proste i pochyłe.

Graniastosłup prosty to figura zbudowana z dwóch jednakowych równoległych do siebie podstaw, połączonych ścianami bocznymi, które są prostopadłe do podstaw. Prostopadłościan to graniastosłup prosty mający w podstawie prostokąt. Sześcian to graniastosłup prosty mający w podstawie kwadrat. Każda ściana boczna graniastosłupa prostego jest prostokątem. Krawędzie boczne graniastosłupa prostego mają jednakową długość.

Z dowolnego wierzchołka graniastosłupa prostego wychodzą trzy krawędzie. Jedna z nich jest krawędzią boczną, a pozostałe krawędziami podstawy. Krawędź boczna jest prostopadła do każdej z tych dwóch krawędzi podstawy.

Graniastosłupy proste

Graniastosłup, który ma w podstawie trójkąt to graniastosłup trójkątny. Gdy ma w podstawie czworokąt to jest to graniastosłup czworokątny itd. Graniastosłup przyjmuje swoją nazwę od wielokąta, który jest jego podstawą.

Przykład:

  • Graniastosłup dziesięciokątny

    Graniastosłup dziesięciokątny
     

Wysokość graniastosłupa – to odcinek łączący podstawy graniastosłupa i prostopadły do każdej z nich. W przypadku graniastosłupa prostego wysokością jest po prostu krawędź boczna. Wysokość graniastosłupa oznaczamy literą H.

wysokosc-graniastoslupa
 

Siatki graniastosłupów prostych

  Zobacz w programie GeoGebra
 

Po rozcięciu wzdłuż kilku krawędzi powierzchni dowolnego graniastosłupa i rozłożeniu go na powierzchnię płaską powstanie jego siatka. Jest to wielokąt złożony z mniejszych wielokątów – ścian graniastosłupa.
Ten sam graniastosłup może mieć kilka siatek.
 

Przykłady:
 

  • Siatka graniastosłupa
  • Siatka graniastosłupa
     

Pole powierzchni graniastosłupa prostego

Pole powierzchni graniastosłupa prostego to suma pól wszystkich jego ścian. Pole powierzchni składa się z pola powierzchni bocznej czyli sumy pól wszystkich ścian bocznych oraz z dwóch pól powierzchni identycznych podstaw:

$$P_c = 2P_p + P_b$$

$$P_c$$ → pole powierzchni graniastosłupa
$$P_p$$ → pole podstawy graniastosłupa
$$P_b$$ → pole powierzchni bocznej graniastosłupa

 

  Uwaga

Pole powierzchni bocznej możemy obliczyć ze wzoru:

$$P_b = Obw_{podstawy}•H$$

$$Obw_{podstawy}$$ → obwód podstawy
$$H$$ → wysokość graniastosłupa

Zadanie.
Napisz wzór na pole powierzchni prostopadłościanu.

Prostopadłościan - wymiary

$$P_c = 2P_p + P_b$$

$$P_p =a•b$$
$$P_b = 2a•c+ 2b•c$$
$$P_c = 2a•b+ 2a•c+ 2b•c$$

$$P_c = 2 (a•b+ a•c+ b•c)$$ ← wzór na pole powierzchni prostopadłościanu

 

Zadanie.
Napisz zwór na pole powierzchni sześcianu.

Wszystkie krawędzie sześcianu mają jednakową długość.
 

szescian

$$P_c = 2P_p + P_b$$

$$P_p = a•a= a^2$$
$$P_b = 2a•a+ 2a•a= 2a^2 + 2a^2 = 4a^2$$
$$P_c = 2a^2 + 4a^2 = 6a^2$$

$$P_c = 6a^2$$ ← wzór na pole powierzchni sześcianu
 

Objętość graniastosłupa

Objętość graniastosłupa jest to zawartość lub pojemność danego graniastosłupa. Objętość naczynia mówi nam ile np. piasku lub wody zmieści się w danym naczyniu Inaczej mówiąc: objętość figury przestrzennej jest to liczba dodatnia wyrażona w danej jednostce, która wskazuje, ile jednostek objętości (czyli sześcianów jednostkowych) potrzeba, aby wypełnić i jednocześnie pokryć tę figurę.

Wielokąt (czyli figura płaska) ma objętość równą zero. Każdy graniastosłup ma objętość dodatnią. Objętość oznaczamy literą V.

Jednostki objętości - służą do określenia objętości danej bryły, mówią nam ile maksymalnie sześcianów jednostkowych mieści się wewnątrz danej bryły. Jednostką objętości może być dowolny sześcian, jednak najczęściej używane są poniżej przedstawione jednostki, które ułatwiają przekazywanie informacji o objętościach brył:

  • $$1 mm^3$$ –> 1 milimetr sześcienny – objętość sześcianu o krawędzi 1mm
  • $$1 cm^3$$ –> 1 centymetr sześcienny - objętość sześcianu o krawędzi 1cm
  • $$1 dm^3$$ –> 1 decymetr sześcienny - objętość sześcianu o krawędzi 1dm
  • $$1 m^3$$ –> 1 metr sześcienny - objętość sześcianu o krawędzi 1m
  • $$1 km^3$$ –> 1 kilometr sześcienny - objętość sześcianu o krawędzi 1km

  Uwaga

Do określania objętości cieczy używamy dwóch podstawowych jednostek: litrów oraz mililitrów.

$$1 cm^3$$ nazywamy mililitrem; $$1 ml = 1 cm^3$$
$$1 dm^3$$ nazywamy litrem; $$1 l = 1 dm^3$$


Przykłady na zamianę jednostek objętości:
  • $$1 dm^3 = 10cm•10cm•10cm= 1000 cm^3$$
  • $$1 cm^3 = 0,01m•0,01m•0,01m= 0,000001 m^3$$



Wzór na objętość graniastosłupa prostego:

$$V = P_p•H$$
$$P_p$$ → pole podstawy
$$H$$ → wysokość graniastosłupa (długość krawędzi bocznej)
 

Zadanie.
Wyznacz wzór na objętość prostopadłościanu.

Prostopadłościan - wymiary

$$V = P_p•H$$

$$P_p = a•b$$
$$H = c$$

$$V = a•b•c$$ ← wzór na objętość prostopadłościanu

 

Zadanie.
Napiszmy wzór na objętość sześcianu.

Wszystkie krawędzie sześcianu mają jednakową długość.
 

szescian


$$V = P_p•H$$

$$P_p = a•a$$
$$H = a$$
$$V = a•a•a= a^3$$

$$V = a^3$$ ← wzór na objętość sześcianu
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Ile potrzeba zapałek do zbudowania szkieletu graniastosłupa prostego siedmiokątnego?

ilość zapałek potrzebnych do zbudowania 2 podstaw -> $$2•7=14$$

ilość zapałek potrzebnych do zbudowania krawędzi bocznych -> 7

ilość wszystkich zapałek -> $$7+14=21$$

Odp.: Potrzeba 21 zapałek do zbudowania szkieletu graniastosłupa prostego siedmiokątnego.

Zadanie 2.

Ile ścian bocznych ma graniastosłup ośmiokątny?

Odp.: Graniastosłup ośmiokątny ma osiem ścian bocznych.

Zadanie 3.

Oblicz pole powierzchni prostopadłościanu o wymiarach 1 m×5 m×7 m.

$$ P_p=2•(5•1•7•1+5•7) $$

$$ P_p=2•(5+7+35)=2•47=94 m^2 $$

Odp.: Pole powierzchni tego prostopadłościanu wynosi $$94 m^2$$.

Zadanie 4.

Oblicz objętość prostopadłościanu o wymiarach 4 cm×8 cm×1,3 dm.

$$ V=a•b•c $$

$$ V=4 cm•8 cm•1,3 dm $$

$$ V=4 cm•8 cm•13 cm=416 cm^3 $$

Odp.: Objętość tego prostopadłościanu wynosi $$416 cm^3$$.

Zadanie 5.

1 $$dm^3$$ wody waży 1 kg. Wanna kształtem przypomina prostopadłościan o wymiarach 60 cm×1,25 m×40 cm. Ile waży woda w całkowicie wypełnionej wannie?

$$ V=60 cm•1,25 m•40 cm $$

$$ V=6 dm•12,5 dm•4 dm=300 dm^3 $$ -> woda waży 300 kg

Odp.: Woda w całkowicie wypełnionej wannie waży $$300 kg$$.

Zadanie 6.

Oblicz objętość sześcianu o krawędzi dlugości 6 dm.

$$V=a^3$$ -> $$V=6^3=216 dm^3$$

Odp.: Objętość tego sześcianu wynosi $$216 dm^3$$.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Czy poniższe równości są prawdziwe...

a) 

`ul(0,4=0,40\ \ \ "TAK") `

ponieważ:

`0,4=(4)/(10)=(40)/(100)=0,40 `

 

`ul(0,04=0,40\ \ \ "NIE") `

ponieważ:

`0,04=(4)/(100) `

`0,40=(40)/(100) `

`4/(100)!=(40)/(100) `

 

`ul(0,40=0,400\ \ \ "TAK") `

ponieważ:

`0,40=(40)/(100)=(400)/(1000)=0,400` 

 

b)

`ul(0,80=0,8\ \ \ "TAK") `

ponieważ:

`0,80=(80)/(100)=(8)/(10)=0,8 `

 

`ul(0,080=0,0800\ \ \ "TAK") `

ponieważ:

`0,080=(80)/(1000)=(800)/(10000)=0,0800 `

 

`ul(0,08=0,008\ \ \ "NIE") `

ponieważ:

`0,08=8/(100) `

`0,008=8/(1000) `

`8/(100)!=8/(1000) `

 

c) 

`ul(3,45=3,450\ \ \ "TAK") `

ponieważ:

`3,45=3(45)/(100)=3(450)/(1000)=3,450 `

 

`ul(3,045=3,45\ \ \ "NIE") `

ponieważ:

`3,045=3(45)/(1000) `

`3,45=3(45)/(100) `

`3(45)/(1000)!=3(45)/(100) `

 

`ul(3,450=3,045\ \ \ "NIE") `

ponieważ:

`3,450=3(450)/(1000) `

`3,045=3(45)/(1000) `

`3(450)/(1000)!=3(45)/(1000)`

Do przedstawionych przedmiotów dobierz odpowiednie objętości z tabeli

 

`3\ "cm"^3`  `20\ "cm"^3`  `0,9\ "dm"^3`  `1\ "dm"^3`  `20\ "dm"^3`  `1,8\ "m"^3`  `"E"` `"U"` `"R"` `"O"` `"P"`  `"A"`

Zapisz liczby za pomocą cyfr: sto tysięcy dwieście osiem

a) 100 208

b) 2 307 841

c) 17 045 006 000

Prostokąt KINO narysowano w pewnej skali i otrzymano prostokąt SZYB. Jaka

Długość odcinka KI wynosi `2 1/2` cm, natomiast długość odcinka SZ wynosi 5cm. Obliczamy skalę wykonując dzielenie:

`5:2 1/2=5:5/2=strike(5)^1*2/strike(5)^1=2`

Prostokąt SZYB jest 2 razy większy niż prostokąt KINO.

Odpowiedź: B

Sumą liczb 15 039 i 149 476 jest liczba

 

Odp:B. 157 515

Dopisz na osi liczbowej brakujące liczby.

W pewnym kraju o powierzchni 2000 km² mieszka 600

600 000 : 2000= 600:2 = 300

Na 1 km² przypada 300 mieszkańców.

Z dwóch liczb jedna jest 3 razy większa od drugiej. Jeżeli od większej odejmiemy 125, a od mniejszej 15

`125-15=110`

`110:2 = 55`

`55* 3=165`

`"Odp: Te liczby to 165 i 55."`

Podane ułamki rozszerz ...

Rozszerzamy ułamki do mianownika 36.

Aby rozszerzyć ułamek do mianownika 36 musimy licznik i mianownik ułamka pomnożyć przez taką samą liczbę.

 

`1/2 \ stackrel(*18)=\ 18/36`

`2/3 \ stackrel(*12)=\ 24/36`

`7/9\ stackrel(*4)=\ 28/36`

`5/6\ stackrel(*6)=\ 30/36`

Rodzice obiecali ....

Rodzice obiecali ....

NWW(4,3)=12

Odp. Marek dostanie komputer w maju przyszłego roku.