Figury na płaszczyźnie - 5-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Figury na płaszczyźnie - 5-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Wzajemne położenie prostych

Dwie proste mogą się przecinać w punkcie, mogą być do siebie prostopadłe lub równoległe.

  1. Proste przecinające się w punkcie P – proste mające jeden punkt wspólny.

    przecinajace
     
  2. Proste prostopadłe – to proste przecinające się pod kątem prostym.
    Jeśli proste a i b są prostopadłe (inaczej mówiąc prosta a jest prostopadła do prostej b), zapisujemy to symbolicznie w następujący sposób: $a⊥b$. Dwie proste prostopadłe tworzą cztery kąty proste.

    prostopadle
     
  3. Proste równoległe – to proste nie mające punktów wspólnych lub pokrywające się.
    Jeżeli proste a i b są równoległe (inaczej mówiąc prosta a jest równoległa do prostej b), to zapisujemy to symbolicznie w następujący sposób: $a∥b$.
     

    rownolegle
     

Kąty

Kąt to część płaszczyzny ograniczona dwiema półprostymi o wspólnym początku, wraz z tymi półprostymi.
Półproste nazywamy ramionami kąta, a ich początek – wierzchołkiem kąta.

wnetrze


Rodzaje kątów:

  1. Kąt prosty – kąt, którego ramiona są do siebie prostopadłe – jego miara stopniowa to 90°.

    kąt prosty
     
  2. Kąt półpełny – kąt, którego ramiona tworzą prostą – jego miara stopniowa to 180°.
     

    kąt pólpelny
     
  3. Kąt ostry – kąt mniejszy od kąta prostego – jego miara stopniowa jest mniejsza od 90°.
     

    kąt ostry

     
  4. Kąt rozwarty - kąt większy od kąta prostego i mniejszy od kąta półpełnego – jego miara stopniowa jest większa od 90o i mniejsza od 180°.

    kąt rozwarty
     
  5. Kąt pełny – kąt, którego ramiona pokrywają się, inaczej mówiąc jedno ramię tego kąta po wykonaniu całego obrotu dookoła punktu O pokryje się z drugim ramieniem – jego miara stopniowa to 360°.
     

    pelny
     
  6. Kąt zerowy – kąt o pokrywających się ramionach i pustym wnętrzu – jego miara stopniowa to 0°.

    zerowy
     
  7. Kąt wypukły – jeżeli dowolne dwa punkty należące do kata, ale nie należące do jego ramion, można połączyć odcinkiem, który nie przetnie ramion kąta, to taki kąt nazywamy wypukłym. Kąt wypukły ma co najwyżej 180°.

    Przykłady kątów wypukłych: kąt ostry, kąt prosty, kąt zerowy.

    wypukly
     
  8. Kąt wklęsły – kąt, który nie jest wypukły, to znaczy kąt, w którym odcinek łączący dwa punkty należące do kąta, przetnie ramiona tego kąta. Kąt wklęsły ma więcej niż 180° a mniej niż 360°.

    Przykłady kątów wklęsłych: kąt pełny.
     

    wklesly
     

Zależności między kątami

  1. Kąty przyległe – maja wspólne ramię i wspólny wierzchołek, a ich pozostałe ramiona wzajemnie się przedłużają (uzupełniają się do prostej).

    kąty przyległe
     

    Suma miar kątów przyległych wynosi 180° (tworzą kąt półpełny).
     

    przylegle-suma
     
  2. Kąty wierzchołkowe – mają wspólny wierzchołek, a ich ramiona wzajemnie się przedłużają. Kąty wierzchołkowe mają równe miary.

    Kąty wierzchołkowe

    Dwie przecinające się proste tworzą dwie pary kątów wierzchołkowych. Kąty wierzchołkowe są parami równe.
     

    wierzcholkowe2
     
  3. Kąty odpowiadające. Jeżeli mamy dwie proste równoległe przecięte trzecią prostą, to kątami odpowiadającymi są następujące pary kątów (patrz poniższy rysunek):

    odpowiadajace
     

    • kąt 1 i kąt 5
    • kąt 4 i kąt 8
    • kąt 2 i kąt 6
    • kąt 3 i kąt 7


    Kąty odpowiadające mają takie samy miary.

  4. Kąty naprzemianległe. Jeżeli mamy dwie proste równoległe przecięte trzecią prostą, to kątami naprzemianległymi są następujące pary kątów (patrz poniższy rysunek): 

    odpowiadajace
     

    • kąt 1 i kąt 7
    • kąt 2 i kąt 8
    • kąt 4 i kąt 6
    • kąt 3 i kąt 5


    Kąty naprzemianległe są parami równe.

 

Wielokąty

Wielokąt to część płaszczyzny ograniczoną łamaną zwyczajną zamkniętą wraz z tą łamaną.

  Przypomnienie

Łamana to figura zbudowana z odcinków w taki sposób, że koniec jednego odcinka jest początkiem następnego odcinka. Jeśli pierwszy wierzchołek łamanej pokrywa się z ostatnim, to łamaną nazywamy zamkniętą.

Inaczej mówiąc: wielokąt to figura, która ma tyle samo boków, wierzchołków i kątów.

Wielokąt, który ma trzy kąty (a tym samym trzy boki i trzy wierzchołki) to trójkąt. Wielokąt, który ma cztery kąty (a tym samym cztery boki i cztery wierzchołki) to czworokąt, wielokąt, który ma pięć kątów (a tym samym pięć boków i pięć wierzchołków) to pięciokąt itd.

Ogólnie wielokąt mający n boków (a tym samym n kątów i n wierzchołków) nazywamy n-bokiem lub n-kątem.

wielokąt

Wierzchołki wielokąta to końce odcinków łamanej. Odcinki łamanej to boki wielokąta. Kąty wyznaczone przez dwa kolejne boki wielokąta to kąty wewnętrzne wielokąta.

Obwód wielokąta to suma długości wszystkich jego boków. Odcinek, niebędący bokiem, łączący dwa wierzchołki to przekątna wielokąta. Inaczej mówiąc, przekątna to odcinek łączący nie sąsiadujące ze sobą wierzchołki wielokąta.

przekątna wielokąta

 

Wielokąt wypukły – wielokąt, którego każde dwa punkty można połączyć odcinkiem zawartym w tym wielokącie, to znaczy każdy odcinek zawiera się całkowicie w wielokącie. Patrz poniższy rysunek – figura $f_1$. Przykłady wielokątów wypukłych: trójkąt, kwadrat, prostokąt.

Wielokąt wklęsły – wielokąt, który nie jest wypukły, to znaczy wielokąt, którego każde dwa punkty nie można połączyć odcinkiem zawartym w tym wielokącie, to znaczy istnieje choć jeden odcinek (o końcach w wielokącie), taki że część odcinka leży poza wielokątem. Patrz poniższy rysunek – figura $f_2$.

wielokaty
 

Trójkąty i jego kąty wewnętrzne

Trójkąt to wielokąt o trzech bokach (a tym samym o trzech wierzchołkach i o trzech kątach).
Suma miar kątów wewnętrznych dowolnego trójkąta jest równa 180°.

miary kątów w trójkącie

$α + β + γ = 180°$

 

Rodzaje trójkątów:

  1. Trójkąt ostrokątny - ma wszystkie kąty ostre.

    Trójkąt ostrokątny
  2. Trójkąt prostokątny - ma jeden kąt prosty i dwa kąty ostre.

    Trójkąt prostokątny
  3. Trójkąt rozwartokątny - ma jeden kąt rozwarty i dwa kąty ostre.

    Trójkąt rozwartokątny
  4. Trójkąt równoramienny - ma dwa boki (ramiona) równej długości.

    Trójkąt równoramienny

    W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie mają jednakową miarę.

    rownoramienny
  5. Trójkąt równoboczny - ma wszystkie boki równej długości.

    trojkat-rownoboczny

Wysokość trójkąta

W dowolnym trójkącie odcinek łączący wierzchołek trójkąta z jego przeciwległym bokiem i będący do niego prostopadły, nazywamy wysokością trójkąta.
Każdy trójkąt ma trzy wysokości.
W trójkącie prostokątnym, wysokościami są dwie przyprostokątne.

wysokosc trojkata

 

Czworokąty i ich kąty wewnętrzne

Czworokąt to wielokąt o czterech bokach (a tym samym o czterech wierzchołkach i o czterech kątach). Przykłady czworokątów: prostokąt, kwadrat, romb, równoległobok, trapez.

Suma miar kątów wewnętrznych dowolnego czworokąta. Dowolny czworokąt można podzielić przy pomocy przekątnej na dwa trójkąty. Wiemy, że suma miar kątów wewnętrznych dowolnego trójkąta jest równa 180°.

Zatem suma miar kątów czworokąta jest równa $2•180°= 360°$. Suma miar kątów wewnętrznych dowolnego czworokąta jest równa 360°.

Prostokąt

W prostokącie: 

  • przeciwległe boki mają równe długości

  • wszystkie kąty wewnętrzne są kątami prostymi (mają miary wynoszące 90°)

  • przekątne mają jednakową długość i przecinają się w połowie 

 

Wzór na pole prostokąta

`P=a*b` 

`a, b` - długości sąsiednich boków prostokąta

Kwadrat

W kwadracie: 

  • wszystkie boki mają jednakową długość

  • wszystkie kąty wewnętrzne są kątami prostymi (mają miary wynoszące 90°)

  • przekątne mają jednakowe długości, przecinają się w połowie i są prostopadłe

Wzór na pole kwadratu

`P=a*a=a^2` 

`a`  - długość boku kwadratu


Uwaga!

Każdy kwadrat jest prostokątem.

Równoległobok be

Równoległobok to czworokąt, który ma dwie pary boków równoległych. Przeciwległe boki są równoległe i mają równą długość. Przekątne równoległoboku przecinają się w połowie.

Równoległobok

Miary kątów w równoległobokach: w równoległoboku kąty leżące naprzeciwko siebie mają równe miary, a suma miar kątów przy tym samym boku wynosi 180°.
Prostokąt jest równoległobokiem, ale równoległobok nie musi być prostokątem.

Wysokość równoległoboku - odcinek łączący dwa równoległe boki i prostopadły do nich.

wysokosc-rownolegloboku

Romb

W rombie: 

  • wszystkie boki mają równe długości

  • przeciwległe kąty mają równe miary 

  • suma miar kątów przy jednym boku wynosi 180°

  • przekątne przecinają się w połowie i pod kątem prostym

Wzór na pole rombu:

`P=(e*f)/2` 

`e, f`  - długości przekątnych rombu 


Uwaga!

Każdy romb jest równoległobokiem.

Obliczając pole rombu może więc korzystać ze wzoru na pole równoległoboku. 

Trapezy

Trapez to czworokąt, który ma przynajmniej jedną parę boków równoległych. Boki równoległe to podstawy, a pozostałe boki to ramiona.

Trapez

Równoległobok jest trapezem, ale trapez nie musi być równoległobokiem. W trapezie suma miar kątów przy tym samym ramieniu wynosi 180°.

Rodzaje trapezów:

  • Trapez równoramienny - ma ramiona równej długości; kąty przy podstawie mają równą miarę.

    Trapez równoramienny
  • Trapez prostokątny - jedno z ramion tego trapezu jest prostopadłe do podstawy.

    Trapez prostokątny


Wysokość trapezu - odcinek łączący dwie równoległe podstawy i prostopadły do nich.

wysokosc-trapezu

Figury przystające

Gdy figury mają jednakowy rozmiar i jednakowy kształt, to są to figury przystające.
Inaczej mówiąc: dwie figury są przystające, jeżeli jedną z nich można tak przenieść, że pokryje się z drugą.
 

Przykłady:

Figury przystające
Figury przystające
Figury przystające

Przykłady:

  • Odcinki takiej samej długości są przystające.
  • Prostokąty o jednakowych wymiarach są figurami przystającymi.
  • Dwa koła o takim samym promieniu są figurami przystającymi.
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Jak długi jest bok kwadratu o obwodzie 180 cm?

$Obw=4a $

$180 cm=4a$  |÷4 
$a=45 cm$

Odp: Bok tego kwadratu ma długość $45 cm$.

Zadanie 2.

Jak inaczej nazywa się trapez prostokątny równoramienny?

Odp.: Trapez prostokątny równoramienny to inaczej prostokąt.

Zadanie 3.

W trapezie równoramiennym kąt rozwarty jest o 10° większy od kąta ostrego. Jakie miary mają kąty w tym trapezie?

$α,β$ -> szukane kąty w tym trapezie przy jednym ramieniu
α – kąt ostry trapezu
β – kat rozwarty trapezu

„Suma miar kątów w trapezie przy jednym ramieniu wynosi 180°.”:
α + β = 180°

Z treści zadania:
β = α + 10°

$α+β=180°$
$α+(α+10°)=180°$
$2α=170°$ |÷2
$α=85°$
$β=85°+10°=95°$

Odp.: Miary kątów w tym trapezie wynoszą $85°$, $95°$, $85°$ i $95°$.

Zadanie 4.

W trójkącie prostokątnym, jeden z kątów ostrych wynosi 18°. Jaką miarę ma drugi kąt ostry w tym trójkącie?

„Suma miar kątów w trójkącie wynosi 180°.”

α – szukany kąt ostry trójkąta prostokątnego

$90° + 18° + α = 180°$

$108° + α = 180°$ | $-108°$

$α=180°−108°$
$α=72°$

Odp.: Drugi kąt ostry w trójkącie ma miarę 72°.

Zadanie 5.

W równoległoboku kąt ostry ma miarę pięć razy mniejszą niż kąt rozwarty. Jakie miary kątów mają kąty tego równoległoboku?

$α$ -> kąt ostry w równoległoboku

$5α$ -> kąt rozwarty w równoległoboku

„Suma miar kątów przy tym samym boku w równoległoboku wynosi 180°.”

$180°=5α+α $

$6α=180°$ -> $α=30°$ -> $5α=150°$

Odp.: Miary kątów w tym równoległoboku wynoszą $30°$, $150°$, $30°$ i $150°$.

Zadanie 6.

Dwa kąty w trójkącie mają miary $15°$ i $38°$. Jaką miarę ma trzeci kąt?

„Suma miar kątów w trójkącie wynosi 180°.”
α - szukany trzeci kąt trójkąta

$α + 15° + 38° = 180°$

$α +53° = 180°$ | $-53°$
$α=180° - 53°$

$α=127°$

Odp: Trzeci kąt w trójkącie ma miarę 127°.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Z chmurek liczbowych padają ...

Pierwsza chmurka:

70 rozpisujemy jako iloczyn 2 i 35.

2 przepisujemy, a 35 {premium}rozpisujemy jako iloczyn 5 i 7.

Kończymy, ponieważ 2, 5 i 7 są liczbami pierwszymi.

 

Druga chmurka:

72 rozpisujemy jako iloczyn 2 i 36.

2 przepisujemy, a 36 rozpisujemy jako iloczyn 2 i 18.

W kolejnym rzędzie przepisujemy dwie 2, a 18 rozpisujemy jako iloczyn 2 i 9.

W następnym kroku przepisujemy trzy 2 i 9 rozpisujemy jako iloczyn 3 i 3.

W tym miejscu kończymy, ponieważ wszystkie liczby są liczbami pierwszymi.

 

Producent chust z nadrukiem reklamowym oferuje trzy rodzaje...

Pole chusty żółtej:

Koszt chusty żółtej:{premium}

 

Pole chusty niebieskiej:

Koszt chusty niebieskiej:

 

Pole chusty zielonej:

Koszt chusty zielonej:

Odp.: Żółta chusta kosztuje 20,28 zł, niebieska chusta kosztuje 18 zł, a zielona 27 zł.

3 t 20 g - ile to gramów...

a) 3 t 20 g

Zamiana na gramy:

1 tona ma 1000 kg. 1 kilogram ma 1000 g. A więc 1 tona ma 1000  . 1000 g czyli 1 000 000 g.

Jeżeli mamy 3 tony, to mamy 3 000 000 g.

A więc 3 t 20 g to 3 000 020 g


Zamiana na tony:
 {premium}

1 tona ma 1 000 000 g, a więc 20 g to  t, czyli  t, czyli 0,00002 t.

A więc 3 t 20 g to 3,00002 t



b) 2 km 50 cm

Zamiana na centymetry:

1 kilometr ma 1000 metrów. 1 metr ma 100 cm. A więc 1 kilometr ma 1000100 cm czyli 100 000 cm.

Jeżeli mamy 2 km to mamy 200 000 cm. 

A więc 2 km 50 cm to 200 050 cm


Zamiana na kilometry:

1 kilometr ma 100 000 cm, a więc 50 cm to  km czyli  km, czyli 0,0005 km. 

A więc 2 km 50 cm to 2,0005 km



c) 10 t 10 kg

Zamiana na kilogramy:

1 tona ma 1000 kilogramów. 10 ton ma więc 10 . 1000 kg czyli 10 000 kg. 

A więc 10 t 10 kg to 10 010 kg


Zamiana na tony:

1 tona ma 1000 kilogramów, a więc 10 kg to  t czyli  t, czyli 0,01 t.

A więc 10 t 10 kg to 10,01 t

W jednym kartonie jest 3/4 litra soku porzeczkowego...

Wiemy, że:

-w jednym kartonie jest     soku porzeczkowego

-do dzbanka wlano sok z dwóch kartonów

-w szklance mieści się     soku porzeczkowego


obliczmy, ile litrów soku znajdowało się w dzbanku gdy wlano do niego sok z dwóch kartonów:   {premium}

 


obliczmy, ile litrów soku pozostało w dzbanku jeśli wiemy, że 3 osoby wypiły po jednej szklance soku:

 


Odp.: W dzbanku zostało 9/10 litrów soku.

Wpisz w kratki odpowiednie cyfry tak, aby ...

Działaniem przeciwnym do odejmowania jest dodawanie, np:

 . 

Wykorzystując to obliczamy jakie cyfry należy wpisać w odpowiednie kratki. 

 

a) 

1) Jaką liczbę należy dodać do 8 aby otrzymać liczbę, której cyfra jedności wynosi 3? 

{premium}  

Jest to liczba 5. Mamy więc 3 jedności i 1 dziesiątkę, czyli "1 dalej". 

2) Jaką liczbę należy dodać do 1 i 5 aby otrzymać liczbę, której cyfra jedności wynosi 0?

 

Jest to liczba 4. Mamy więc 0 i " dalej". 

3) Jaką liczbę należy dodać do 1 i 8 aby otrzymać liczbę, której cyfra jedności wynosi 5? 

 

Jest to liczba 6. Mamy więc 5 i "1 dalej". 

4) Jaką liczbę należy dodać do 1 i 3 aby otrzymać 10? 

Jest to liczba 6.  

Sprawdźmy poprawność naszych obliczeń wykonując odejmowanie. 

Mamy więc: 




 

b) 

1) Do jakiej liczby należy dodać 4 aby otrzymać liczbę, której cyfra jedności wynosi 0? 

 

Jest to liczba 6. Mamy więc 0 i "1 dalej". 

2) Jaką liczbę należy dodać do 1 i 8 aby otrzymać liczbę, której cyfra jedności wynosi 2? 

 

Jest to liczba 3. Mamy więc 2 i "1 dalej". 

3) Jaką liczbę należy dodać do 1 i 2, aby otrzymać liczbę, której cyfra jedności wynosi 0? 

 

Jest to liczba 7. Mamy więc 0 i "1 dalej". 

4) Jaką liczbę należy wpisać w tę kratkę? 

 

Mamy więc 4 i "1 dalej". 

5) Jaką liczbę należy dodać do 1 i 7 aby otrzymać liczbę, której cyfra jedności wynosi 2? 

 

Jest to liczba 4. Mamy więc 2 i "1 dalej". 

6) Jaką liczbę należy dodać do 1 i 1 aby otrzymać 3? 

 

Jest to liczba 1

Sprawdźmy poprawność obliczeń wykonując odejmowanie. 

Mamy więc: 

Oblicz obwody poniższych ...

obwód =  {premium}


obwód =  


obwód =  


obwód =  

Rozszerz ułamki ...

 
{premium}

Dopasuj ułamki ...

{premium}

Narysuj wysokość prostopadłą ...

Thumb str. 114   4a{premium}Thumb str. 114   4bThumb str. 114   4c

Czwórka rodzeństwa złożyła się ...

Pieniądze od Asi: 68

Pieniądze od Wojtka: 76

Pieniądze od Jurka: 52 {premium}

 

Obliczmy ile to łącznie pieniędzy.

 

 

Obliczmy ile pieniędzy brakowało do 250 zł.

 

 

Odp. Kasia dołożyła 54 zł.