Własności liczb naturalnych - 4-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Własności liczb naturalnych - 4-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Wielokrotności

Wielokrotność liczby otrzymamy mnożąc tę liczbę przez kolejne liczby naturalne. 

Uwaga!!!

0 jest wielokrotnością każdej liczby naturalnej. 

Każda liczba naturalna jest wielokrotnością liczby 1. 


Przykłady
:

  • wielokrotności liczby 4 to: 
    • 0, bo  `0*4=0` 
    • 4, bo  `1*4=4`  
    • 8, bo  `2*4=8`  
    • 12, bo  `3*4=12`  
    • 16, bo  `4*4=16`  
    • 20, bo  `5*4=20` , itd.  
       
  • wielokrotności liczby 8 to:
    • 0, bo  `0*8=0`  
    • 8, bo  `1*8=8`  
    • 16, bo  `2*8=16`  
    • 24, bo  `3*8=24`  
    • 32, bo  `4*8=32`  
    • 40, bo  `5*8=40`, itd.  

Najmniejsza wspólna wielokrotność (NWW)

Najmniejsza wspólna wielokrotność (NWW) dwóch liczb naturalnych to najmniejsza liczba naturalna będąca wielokrotnością zarówno jednej liczby, jak i drugiej.

Przykłady:

  • Najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb 3 i 5 jest 15.
    1. Wypiszmy wielokrotności liczby 3 (różne od 0): 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, ...
    2. Wypiszmy wielokrotności liczby 5 (różne od 0): 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, ...
    3. Wśród wielokrotności liczby 3 i liczby 5 szukamy najmniejszej liczby, która jest zarówno wielokrotnością 3 i 5. Jest to 15.

  • Najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb 4 i 6 jest 12.
    1. Wypiszmy wielokrotności liczby 4 (różne od 0): 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, ...
    2. Wypiszmy wielokrotności liczby 6 (różne od 0): 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, ...
    3. Wśród wielokrotności wyżej wypisanych szukamy najmniejszej liczby, która jest zarówno wielokrotnością 4 i 6. Jest to 12.


Najmniejszą wspólną wielokrotność dwóch liczb można znaleźć także wykorzystując rozkład na czynniki pierwsze. 

Aby znaleźć NWW dwóch liczb należy: 

  1. Rozłożyć liczby na czynniki pierwsze. 

  2. Zaznaczyć wspólne dzielniki obu liczb. 

  3. Obliczyć iloczyn czynników pierwszej liczby oraz niezaznaczonych czynników drugiej liczby. 

Przykład:

Dzielniki

Dzielnik liczby to taka liczba, przez którą dana liczba jest podzielna. Dzielnikiem każdej liczby naturalnej n (n>1) jest 1 oraz ona sama.

Inaczej mówiąc, dzielnikiem liczby naturalnej  `n`  nazywamy taką liczbę naturalną  `m`, że  `n=k*m` `k`   jest liczbą naturalną. 


Przykład:

10 dzieli się przez 1, 2, 5 i 10. Wynika z tego, że dzielnikami liczby 10 są liczby 1, 2, 5 i 10.

Możemy też powiedzieć, że:

  • 1 jest dzielnikiem 10 bo  `10=10*1`   
  • 2 jest dzielnikiem 10 bo  `10=5*2`  
  • 5 jest dzielnikiem 10 bo  `10=2*5`  
  • 10 jest dzielnikiem 10 bo  `10=1*10`  


Uwaga!!! 

Jeżeli liczba naturalna `m`  jest dzielnikiem liczby `n` , to liczba `n`  jest wielokrotnością liczby `m` .

Przykład:

Liczba 2 jest dzielnikiem liczby 10, czyli liczba 10 jest wielokrotnością liczby 2.


Dowolną liczbę naturalną n większą od 1 (n>1), która ma tylko dwa dzielniki, 1 oraz samą siebie, nazywamy liczbą pierwszą.

Liczbami pierwszymi są liczby: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23...

Liczbę naturalną n (n>1) niebędącą liczbą pierwszą, czyli posiadającą więcej niż dwa dzielniki, nazywamy liczbą złożoną.

Liczbami złożonymi są: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18...


Zapamiętaj!!!

Liczby 0 i 1 nie są ani liczbami pierwszymi ani złożonymi. 

 

Największy wspólny dzielnik (NWD)

Największy wspólny dzielnik (NWD) dwóch liczb naturalnych jest to największa liczba naturalna, która jest dzielnikiem każdej z tych liczb.

Przykłady:

  • Największy wspólny dzielnik liczb 6 i 9 to liczba 3.

    1. Wypiszmy dzielniki liczby 6: 1, 2, 3, 6.
    2. Wypiszmy dzielniki liczby 9: 1, 3, 9.
    3. Wśród dzielników wyżej wypisanych szukamy największej liczby, która jest zarówno dzielnikiem 6 i 9. Jest to 3.

  • Największy wspólny dzielnik liczb 12 i 20 to liczba 4.

    1. Wypiszmy dzielniki liczby 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
    2. Wypiszmy dzielniki liczby 20: 1, 2, 4, 5, 10, 20.
    3. Wśród dzielników wyżej wypisanych szukamy największej liczby, która jest zarówno dzielnikiem 12 i 20. Jest to 4.


Największy wspólny dzielnik 
dwóch liczb można znaleźć także wykorzystując rozkład na czynniki pierwsze. 

Aby znaleźć NWD dwóch liczb należy: 

  1. Rozłożyć liczby na czynniki pierwsze. 

  2. Zaznaczyć wspólne dzielniki obu liczb. 

  3. Obliczyć iloczyn wspólnych czynników (zaznaczonych czynników).  

Przykład:

Cechy podzielności liczb

Cechy podzielności liczb ułatwiają znalezienie dzielników, zwłaszcza dużych liczb.

Dzielnik liczby to taka liczba, przez którą dana liczba jest podzielna. Dzielnikiem każdej liczby naturalnej n (n>1) jest 1 oraz ona sama.


Cechy podzielności:

  1. Podzielność liczby przez 2

    Liczba jest podzielna przez 2, gdy jej ostatnią cyfrą jest 0, 2, 4, 6 lub 8.

    Przykład:

    • 1 896 319 128 → liczba jest podzielna przez 2, ponieważ jej ostatnią cyfrą jest 8.
       
  2. Podzielność liczby przez 3

    Liczba jest podzielna przez 3, gdy suma jej cyfr jest liczbą podzielną przez 3.

    Przykład:

    • 7 981 272 → liczba jest podzielna przez 3, ponieważ suma jej cyfr (7+9+8+1+2+7+2=36) jest liczbą podzielną przez 3.
       
  3. Podzielność liczby przez 4

    Liczba jest podzielna przez 4, gdy jej dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 4.

    Przykład:

    • 2 147 816 → liczba jest podzielna przez 4, ponieważ jej dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę 16, a liczba 16 jest podzielna przez 4.
       
  4. Podzielność liczby przez 5

    Liczba jest podzielna przez 5, gdy jej ostatnią cyfrą jest 0 lub 5.

    Przykład:

    • 18 298 415 → liczba jest podzielna przez 5, ponieważ jej ostatnią cyfrą jest 5.
       
  5. Podzielność liczby przez 6

    Liczba jest podzielna przez 6, gdy jednocześnie dzieli się przez 2 i 3.

    Przykład:

    • 1248 → liczba jest podzielna przez 6, ponieważ dzieli się przez 2 (jej ostatnią cyfrą jest 8), a także dzieli się przez 3 (suma jej cyfr 1+2+4+8=15 jest liczbą podzielną przez 3).
       
  6. Podzielność liczby przez 9

    Liczba jest podzielna przez 9, gdy suma jej cyfr jest liczbą podzielną przez 9.

    Przykład:

    • 1 890 351 -> liczba jest podzielna przez 9, ponieważ suma jej cyfr (1+8+9+0+3+5+1=27) jest jest liczbą podzielną przez 9.
       
  7. Podzielność liczby przez 10

    Liczba jest podzielna przez 10, gdy jej ostatnią cyfra jest 0.

    Przykład:

    • 192 290 → liczba jest podzielna przez 10, ponieważ jej ostatnią cyfrą jest 0.
       
  8. Podzielność liczby przez 25

    Liczba jest podzielna przez 25, gdy dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 25.

    Przykład:

    • 4675 → liczba jest podzielna przez 25, ponieważ jej dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę 75, a 75 jest podzielne przez 25.
       
  9. Podzielność liczby przez 100

    Liczba jest podzielna przez 100, gdy jej dwie ostatnie cyfry to zera.

    Przykład:

    • 12 848 100 → liczba jest podzielna przez 100, ponieważ jej dwie ostatnie cyfry to zera.

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Ile jest liczb naturalnych mniejszych od 200, które są wielokrotnościami 20?

Wielokrotności 20 mniejsze od 200 -> 20, 40, 60, 80, 100, 120, 140, 160, 180.

Odp.: Jest 9 liczb naturalnych mniejszych od 200, które są wielokrotnościami 20.

Zadanie 2.

Podaj najmniejszą wspólną wielokrotność liczb 3 i 8.

Wielokrotności 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30...

Wielokrotności 8: 8, 16, 24, 32...

$NWW(3,8)=24$

Odp: Najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb 3 i 8 jest 24.

Zadanie 3.

Podaj przykład liczby trzycyfrowej, która jest podzielna przez 3, a nie jest podzielna przez 9.

Liczba jest podzielna przez 3, gdy suma jej cyfr jest podzielna przez 3.

Liczba nie jest podzielna przez 9, gdy suma jej cyfr nie jest podzielna przez 9.

Przykłady liczb podzielnych przez 3 i nie podzielnych przez 9÷120 → suma cyfr $1+2+0=3$, a 3 jest podzielna przez 3, ale nie jest podzielna przez 9.

642 → suma cyfr $6+4+2=12$, a 12 jest podzielna przez 3, ale nie jest podzielna przez 9.
51 → suma cyfr $5+1=6$, a 6 jest podzielne przez 3, ale nie jest podzielne przez 9.

Zadanie 4.

Korzystając z cyfr: 0, 1, 2, 3, 5, 7, ułóż liczbę czterocyfrową, która:

  1. jest podzielna przez 3,
  2. jest podzielna przez 4.
  1. Liczba jest podzielna przez 3, gdy suma jej cyfr dzieli się przez 3.

    3120 → $3+1+2+0=6$ → 6 dzieli się przez 3 ($6÷3 = 2$)
    7302 → $7+3+0+2=12$ → 12 dzieli się przez 3 ($12÷3 = 4$)
     
  2. Liczba dzieli się przez 4, gdy dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielą przez 4.

    5712 → 12 dzieli się przez 4 ($12÷4 = 3$)
    4072 → 72 dzieli się przez 4 ($72÷4 = 18$)

Zadanie 5.

Podaj największy wspólny dzielnik liczb 12 i 36.

Dzielniki liczby 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Dzielniki liczby 36: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 18, 36.
Wśród wyżej wypisanych dzielników szukamy największej liczby, która jest zarówno dzielnikiem 12 i 36. Jest to 12.
$NWD(12,36)=12$

Odp.: Największym wspólnym dzielnikiem liczb 12 i 36 jest liczba 12.

Zadanie 6.

Które z podanych lat są przestępne?

  1. 1996 r.
  2. 2004 r.
  3. 1978 r.

Rok jest przestępny, gdy liczba go oznaczająca jest podzielna przez 4.

Sprawdzam kolejno, czy liczby 1996, 2004, 1978 są liczbami podzielnymi przez 4.

Liczba jest podzielna przez 4, gdy jej dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 4.

1996 → podzielne przez 4, ponieważ dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę 96, która jest podzielna przez 4,
2004 → podzielne przez 4, ponieważ dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę 4, która jest podzielna przez 4,
1978 → nie jest podzielne przez 4, ponieważ dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę 78, która nie jest podzielna przez 4.

Odp. Lata przestępne to 1996, 2004.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Janek podzielił pizze na 4 równe...

Zapisujemy, ile pizzy zjadł Janek:  .

Natomiast Natalia zjadła  pizzy. {premium}

Porównując ułamki o takim samym liczniku porównujemy ich mianowniki - im mniejszy mianownik tym większy jest ułamek.

 

Odpowiedź: Więcej zjadł Janek.

Asia ma 2 lata. Wojtek jest od niej trzykrotnie starszy...

Wiemy, że:

Asia ma 2 lata


Wojtek jest trzykrotnie starszy od Asi:{premium}

obliczmy ile lat ma Wojtek:

 lat


kuzyn Jurek jest trzykrotnie starszy od Wojtka:

obliczmy ile lat ma Jurek:

 lat


babcia jest trzykrotnie starsza od Jurka:

obliczmy ile lat ma babcia:

 lat


obliczmy ile lat ma prababcia Katarzyna:

 


Odp. Prababcia Katarzyna ma 80 lat.

Wpisz odpowiednie...

{premium}

W zeszycie sporządź w skali...

Rysujemy rysunek w skali 2 : 1:

{premium}

podglad pliku

Przeczytaj tekst.

Prawidłowa odpowiedź to : {premium} D ponieważ



Na osi liczbowej zaznaczono następujące liczby

Liczbyy oznaczone literami a i b są mniejsze od 5. Mniejszą z nich jest liczba oznaczona literą a. 

{premium}

Liczby oznaczone literami c i d znajdują się między 5 i 6, mniejszą z tych liczb jest liczba oznaczona literą c. 

 

Liczby oznaczone literami e i f są większe od 6, mniejszą z tych liczb jest liczba oznaczona literą e. 

8 chlebów - ile to połówek chleba?


 
Każdy z 5 chlebów dzielimy na pół, czyli mamy {premium}10 połówek chleba. Dodatkowo na początku mieliśmy jeszcze jedną połówkę, czyli razem mamy 11 połówek chleba.
W mianowniku mamy 2, gdyż chleb dzielimy na połowy, czyli na 2 równe części. 


 
Każde z 4 kół dzielimy na ćwiartki, czyli mamy 16 ćwiartek.
W mianowniku mamy 4, gdyż koło dzielimy na ćwiartki, czyli na 4 równe części. 

a) Rozdziel na porcje...

   

{premium}

 

 

a) Na ile różnych sposobów można ...

a) 7 gr = 5 gr + 2 gr 

7 gr = 5 gr + 1 gr + 1 gr 

{premium}

7 gr = 2 gr + 2 gr + 2 gr + 1 gr 

7 gr = 2 gr + 2 gr +1 gr + 1 gr + 1 gr

7 gr = 2 gr + 1 gr + 1 gr + 1 gr + 1 gr + 1 gr

7 gr = 1 gr +1 gr + 1 gr + 1 gr + 1 gr + 1 gr + 1 gr 


Resztę 7 gr można wydać na 6 różnych sposób.  

 

b) 11 gr = 10 gr + 1 gr

11 gr = 5 gr + 5 gr + 1 gr 

11 gr = 5 gr + 2 gr + 2 gr + 2 gr 

11 gr = 5 gr + 2 gr + 2 gr + 1 gr + 1 gr 

11 gr = 5 gr + 2 gr + 1 gr + 1 gr + 1 gr + 1 gr 

11 gr = 5 gr + 1 gr + 1 gr + 1 gr + 1 gr + 1 gr + 1 gr 

11 gr = 2 gr + 2 gr + 2 gr + 2 gr + 2 gr + 1 gr 

11 gr = 2 gr + 2 gr + 2 gr + 2 gr + 1 gr + 1 gr + 1 gr 

11 gr = 2 gr + 2 gr + 2 gr + 1 gr + 1 gr + 1 gr + 1 gr + 1 gr

11 gr = 2 gr + 2 gr + 1 gr + 1 gr + 1 gr + 1 gr + 1 gr + 1 gr + 1 gr 

11 gr = 2 gr + 1 gr + 1 gr + 1 gr + 1 gr + 1 gr + 1 gr + 1 gr + 1 gr + 1 gr 

11 gr = 1 gr + 1 gr + 1 gr + 1 gr + 1 gr + 1 gr + 1 gr + 1 gr + 1 gr +1 gr + 1 gr 


Resztę 11 groszy można wydać na 12 różnych sposób

Uwaga!!! W rozwiązaniach podano błędną odpowiedź. Pominięty został jeden ze sposobów rozmienienia 11 gr. 

Oblicz w pamięci:

a) 0,5 + 0,5= 1
    0,5 + 1,5=2

b) 0,5 + 3,5=4
    2,5 + 1,5=4

c) 0,3 + 0,7=1
    1,3 + 1,7=3

d) 0,3 + 2,7=3
    1,7 + 3,3=5

* 0,5+05=1 i 03+0,7=1, zatem po dodaniu tych części ułamkowych otrzymujemy 1 całość.