Własności liczb naturalnych - 4-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Wielokrotności

Wielokrotność liczby to dana liczba pomnożona przez 1,2,3,4,5 itd.
Inaczej mówiąc, wielokrotność liczby n to każda liczba postaci 1•n, 2•n, 3•n, 4•n, 5•n ...

Przykłady:

  • wielokrotnością liczby 4 jest:
    • 4, bo $$4=1•4$$
    • 8, bo $$8=2•4$$
    • 12, bo $$12=3•4$$
    • 16, bo $$16=4•4$$
    • 20, bo $$20=5•4$$
       
  • wielokrotnością liczby 8 jest:
    • 8, bo $$8=1•8$$
    • 16, bo $$16=2•8$$
    • 24, bo $$24=3•8$$
    • 32, bo $$32=4•8$$
    • 40, bo $$40=5•8$$

Najmniejsza wspólna wielokrotność (nww)

Najmniejsza wspólna wielokrotność (NWW) dwóch liczb naturalnych to najmniejsza liczba naturalna będąca wielokrotnością zarówno jednej liczby, jak i drugiej.

Przykłady:

  • Najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb 3 i 5 jest: 15.
    1. Wypiszmy wielokrotności liczby 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, ...;
    2. Wypiszmy wielokrotności liczby 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, ...;
    3. Wśród wielokrotności liczby 3 i liczby 5 szukamy najmniejszej liczby, która jest zarówno wielokrotnością 3 i 5. Jest to 15.
  • Najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb 4 i 6 jest: 12.
    1. Wypiszmy wielokrotności liczby 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, ...;
    2. Wypiszmy wielokrotności liczby 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, ...;
    3. Wśród wielokrotności wyżej wypisanych szukamy najmniejszej liczby, która jest zarówno wielokrotnością 4 i 6, widzimy że jest to 12.

Dzielniki

Dzielnik liczby to taka liczba, przez którą dana liczba jest podzielna. Dzielnikiem każdej liczby naturalnej n (n>1) jest 1 oraz ona sama.

Inaczej mówiąc, dzielnikiem liczby naturalnej n nazywamy liczbę naturalną m, jeżeli liczba n podzieli się przez m, tzn. gdy istnieje taka liczba naturalna k, że $$n=k•m$$.

Przykład:

10 dzieli się przez 1, 2, 5 i 10, z tego wynika, że dzielnikami liczby 10 są liczby 1, 2, 5 i 10.

Możemy też powiedzieć, że:

  • 1 jest dzielnikiem 10 bo 10=10•1
  • 2 jest dzielnikiem 10 bo 10=5•2
  • 5 jest dzielnikiem 10 bo 10=2•5
  • 10 jest dzielnikiem 10 bo 10=1•10


Jeżeli liczba naturalna m jest dzielnikiem liczby n, to liczba n jest wielokrotnością liczby m.

Przykład:
Liczba 2 jest dzielnikiem liczby 10, czyli liczba 10 jest wielokrotnością liczby 2.
Symboliczny zapis $$m∣n$$ oznacza, że m jest dzielnikiem liczby n (lub n jest wielokrotnością liczby m). Powyższy przykład możemy zapisać jako $$2|10$$ (czytaj: 2 jest dzielnikiem 10).


Dowolna liczba naturalna n, większa od 1 (n>1), która ma tylko dwa dzielniki: 1 oraz samą siebie (czyli liczbę n) nazywamy liczbą pierwszą. Liczbami pierwszymi są liczby: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23...

  Zapamiętaj

Liczba 1 nie jest liczbą pierwszą – bo ma tylko jeden dzielnik. Liczba 0 też nie jest liczbą pierwszą – bo ma nieskończenie wiele dzielników.

  Zapamiętaj

Liczbę niebędącą liczbą pierwszą, czyli posiadająca więcej niż dwa dzielniki, nazywamy liczbą złożoną. Liczbami złożonymi są: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18...

  Zapamiętaj

Liczby 1 i 0 nie są liczbami złożonymi.

  Ciekawostka

Liczba doskonała to liczba, która jest równa sumie wszystkich swoich dzielników mniejszych od niej. Dotychczas znaleziono tylko 46 liczb doskonałych. Przykładem liczby doskonałej jest 6.

Największy wspólny dzielnik (nwd)

Największy wspólny dzielnik (NWD) dwóch liczb naturalnych jest to największa liczba naturalna, która jest dzielnikiem każdej z tych liczb.

Przykłady:

  • Największy wspólny dzielnik liczb 6 i 9 to liczba 3.

    1. Wypiszmy dzielniki liczby 6: 1, 2, 3, 6;
    2. Wypiszmy dzielniki liczby 9: 1, 3, 9;
    3. Wśród dzielników wyżej wypisanych szukamy największej liczby, która jest zarówno dzielnikiem 6 i 9. Jest to 3.
  • Największy wspólny dzielnik liczb 12 i 20 to liczba 4.

    1. Wypiszmy dzielniki liczby 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12;
    2. Wypiszmy dzielniki liczby 20: 1, 2, 4, 5, 10, 20;
    3. Wśród dzielników wyżej wypisanych szukamy największej liczby, która jest zarówno dzielnikiem 12 i 20. Jest to 4.

Cechy podzielności liczb

Cechy podzielności liczb ułatwiają znalezienie dzielników, zwłaszcza dużych liczb. Sprowadzają one rozwiązanie problemu podzielności liczb do prostych działań na niewielkich liczbach.

  1. Podzielność liczby przez 2

    Liczba jest podzielna przez 2, gdy jej ostatnią cyfrą jest 0, 2, 4, 6 lub 8.

    Przykład:

    • 1896319128 → liczba jest podzielna przez 2, ponieważ ostatnią cyfrą jest 8.
       
  2. Podzielność liczby przez 3

    Liczba jest podzielna przez 3, gdy suma jej cyfr dzieli się przez 3.

    Przykład:

    • 7981272 → liczba jest podzielna przez 3, ponieważ suma jej cyfr (7+9+8+1+2+7+2=36) dzieli się przez 3.
       
  3. Podzielność liczby przez 4

    Liczba jest podzielna przez 4, gdy jej dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 4.

    Przykład:

    • 21470092816 → liczba jest podzielna przez 4, ponieważ jej dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę 16, a liczba 16 jest podzielna przez 4.
       
  4. Podzielność liczby przez 5

    Liczba jest podzielna przez 5, gdy jej ostatnią cyfrą jest 0 lub 5.

    Przykład:

    • 182947218415 → liczba jest podzielna przez 5, ponieważ jej ostatnią cyfrą jest 5.
       
  5. Podzielność liczby przez 6

    Liczba jest podzielna przez 6, gdy jednocześnie dzieli się przez 2 i 3.

    Przykład:

    • 1248 → liczba jest podzielna przez 6, ponieważ dzieli się przez 2 (jej ostatnią cyfrą jest 8), a także dzieli się przez 3 (suma jej cyfr 1+2+4+8=15 jest liczbą podzielną przez 3).
       
  6. Podzielność liczby przez 9

    Liczba jest podzielna przez 9 , gdy suma jej cyfr jest podzielna przez 9.

    Przykład:

    • 1890351 -> liczba jest podzielna przez 9, ponieważ suma jej cyfr (1+8+9+0+3+5+1=27) jest podzielna przez 9.
       
  7. Podzielność liczby przez 10

    Liczba jest podzielna przez 10, gdy jej ostatnią cyfra jest 0.

    Przykład:

    • 1920481290 → liczba jest podzielna przez 10, ponieważ jej ostatnią cyfrą jest 0.
       
  8. Podzielność liczby przez 25

    Liczba jest podzielna przez 25, gdy dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 25.

    Przykład:

    • 4675 → liczba podzielna przez 25, ponieważ jej dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę 75, a 75 jest podzielne przez 25
       
  9. Podzielność liczby przez 100

    Liczba jest podzielna przez 100, gdy jej dwie ostatnie cyfry to zera.

    Przykład:

    • 12491848100 → liczba jest podzielna przez 100, ponieważ jej dwie ostatnie cyfry to zera.

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Ile jest liczb naturalnych mniejszych od 200, które są wielokrotnościami 20?

Wielokrotności 20 mniejsze od 200 -> 20, 40, 60, 80, 100, 120, 140, 160, 180.

Odp.: Jest 9 liczb naturalnych mniejszych od 200, które są wielokrotnościami 20.

Zadanie 2.

Podaj najmniejszą wspólną wielokrotność liczb 3 i 8.

Wielokrotności 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30...

Wielokrotności 8: 8, 16, 24, 32...

$$NWW(3,8)=24$$

Odp: Najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb 3 i 8 jest 24.

Zadanie 3.

Podaj przykład liczby trzycyfrowej, która jest podzielna przez 3, a nie jest podzielna przez 9.

Liczba jest podzielna przez 3, gdy suma jej cyfr jest podzielna przez 3.

Liczba nie jest podzielna przez 9, gdy suma jej cyfr nie jest podzielna przez 9.

Przykłady liczb podzielnych przez 3 i nie podzielnych przez 9÷120 → suma cyfr $$1+2+0=3$$, a 3 jest podzielna przez 3, ale nie jest podzielna przez 9.

642 → suma cyfr $$6+4+2=12$$, a 12 jest podzielna przez 3, ale nie jest podzielna przez 9.
51 → suma cyfr $$5+1=6$$, a 6 jest podzielne przez 3, ale nie jest podzielne przez 9.

Zadanie 4.

Korzystając z cyfr: 0, 1, 2, 3, 5, 7, ułóż liczbę czterocyfrową, która:

  1. jest podzielna przez 3,
  2. jest podzielna przez 4.
  1. Liczba jest podzielna przez 3, gdy suma jej cyfr dzieli się przez 3.

    3120 → $$3+1+2+0=6$$ → 6 dzieli się przez 3 ($$6÷3 = 2$$)
    7302 → $$7+3+0+2=12$$ → 12 dzieli się przez 3 ($$12÷3 = 4$$)
     
  2. Liczba dzieli się przez 4, gdy dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielą przez 4.

    5712 → 12 dzieli się przez 4 ($$12÷4 = 3$$)
    4072 → 72 dzieli się przez 4 ($$72÷4 = 18$$)

Zadanie 5.

Podaj największy wspólny dzielnik liczb 12 i 36.

Dzielniki liczby 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Dzielniki liczby 36: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 18, 36.
Wśród wyżej wypisanych dzielników szukamy największej liczby, która jest zarówno dzielnikiem 12 i 36. Jest to 12.
$$NWD(12,36)=12$$

Odp.: Największym wspólnym dzielnikiem liczb 12 i 36 jest liczba 12.

Zadanie 6.

Które z podanych lat są przestępne?

  1. 1996 r.
  2. 2004 r.
  3. 1978 r.

Rok jest przestępny, gdy liczba go oznaczająca jest podzielna przez 4.

Sprawdzam kolejno, czy liczby 1996, 2004, 1978 są liczbami podzielnymi przez 4.

Liczba jest podzielna przez 4, gdy jej dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 4.

1996 → podzielne przez 4, ponieważ dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę 96, która jest podzielna przez 4,
2004 → podzielne przez 4, ponieważ dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę 4, która jest podzielna przez 4,
1978 → nie jest podzielne przez 4, ponieważ dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę 78, która nie jest podzielna przez 4.

Odp. Lata przestępne to 1996, 2004.

Spis treści

Rozwiązane zadania
W którym odejmowaniu popełniono błąd?

Poniżej przedstawiono poprawne rozwiązanie każdego z przykładów. 

 

Porównujemy je z rozwiązaniami przedstawionymi w podręczniku. 

Zauważmy, że inne rozwiązanie, czyli błędne, podano w przykładzie D. 


Poprawna odpowiedź: D. 

Ile prostokątów jest na tym rysunku? Wypisz ...

Prostokąty na rysunku to: 

  • ABHI 
  • BCGH
  • CDFG
  • ACGI
  • BDFH
  • ADFI
  • JBKH
  • CDEK
  • KEFG

Na rysunku jest 9 prostokątów


Prostokąty z numerami: 4., 5., 7., 8. i 9. to kwadraty. Wśród wymienionych powyżej prostokątów jest 5 kwadratów

W sklepie 21 ...

`"W jednym zestawie są 3 ścierki" \ (21:7=3)`

`"W trzech zestawach jest 9 ścierek" \ (3*3=9)`

`3/7\ "z 21 ścierek to 9 ścierek" \ (21:7*3=3*3=9)`

Które z podanych liczb są większe niż...

Spośród podanych liczb od liczby `2,83` większe są liczby:

`2,84`   i    `2,9` 

Jakimi cyframi można zastąpić kwadraciki?

`a")" \ 5,27 > 5square9` 

w miejsce `square` możemy wpisać cyfry: `0` lub `1` ponieważ:

`5,27 > 5,09` 

`5,27> 5,19` 



`b")" \ 4,58 < 4,square` 

w miejsce `square` możemy wpisać cyfry: `6` lub `7` lub `8` lub `9` ponieważ:

`4,58 < 4,6` 

`4,58 < 4,7` 

`4,58 < 4,8` 

`4,58 < 4,9` 


`c")" \ 8,63 < 8,square6` 

w miejsce `square` możemy wpisać cyfry: `6` lub `7` lub `8` lub `9` ponieważ:

`8,63 < 8,66` 

`8,63 < 8,76` 

`8,63 < 8,86` 

`8,63 < 8,96` 


`d")" \ 6,725 > 6,square1` 

w miejsce `square` możemy wpisać cyfry: `0` lub `2` lub `3` lub `4` lub `5` lub `6` lub `7` ponieważ:

`6,725 > 6,01` 

`6,725 > 6,11` 

`6,725 > 6,21` 

`6,725 > 6,31` 

`6,725 > 6,41` 

`6,725 > 6,51` 

`6,725 > 6,61` 

`6,725 > 6,71` 

Oto pieniądze Ali i Eli...

Ala ma 5,35 zł

Ela ma 4,02 zł

Aby obliczyć ile pieniędzy mają razem należy wykonać działanie:

5,35 zł + 4,02 zł= 9,37 zł


Odp. Ela i Ala maja razem 9,37 zł.

Jaką liczbę trzeba wstawić...

a) mamy następujące działanie:

Zastanówmy się jaką liczbę należy wstawić w miejsce `square`  aby dzielenie było prawdziwe. Jak możemy zauważyć z działania, liczba 12 dzieli się przez liczbę z krateczki na cztery, a liczba 3 dzieli się przez liczbę z krateczki na jeden bez reszty. Oznacza to, że liczbą w krateczce jest cyfra 3

 

b) mamy następujące działanie:

Zastanówmy się jaką liczbę należy wstawić w miejsce `square`  aby dzielenie było prawdziwe. Jak możemy zauważyć z działania, liczba 25 dzieli się przez liczbę z krateczki na pięć, a liczba 5 dzieli się przez liczbę z krateczki na jeden bez reszty. Oznacza to, że liczbą w krateczce jest cyfra 5

 

c) mamy następujace działanie:

Zastanówmy się jaką liczbę należy wstawić w miejsce `square`  aby dzielenie było prawdziwe. Jak możemy zauważyć z działania, liczba 72 dzieli się przez liczbę z krateczki na osiem, a liczba 9 dzieli się przez liczbę z krateczki na jeden bez reszty. Oznacza to, że liczbą w krateczce jest cyfra 9

d) mamy następujące działanie:

Zastanówmy się jaką liczbę należy wstawić w miejsce `square`  aby dzielenie było prawdziwe. Jak możemy zauważyć z działania, liczba 32 dzieli się przez liczbę z krateczki na osiem, a liczba 8 dzieli się przez liczbę z krateczki na dwa bez reszty. Oznacza to, że liczbą w krateczce jest cyfra 4

e) mamy następujące działanie:

Zastanówmy się jaką liczbę należy wstawić w miejsce `square`  aby dzielenie było prawdziwe. Jak możemy zauważyć z działania, liczba 14 dzieli się przez liczbę z krateczki na siedem, a liczba 3 dzieli się przez liczbę z krateczki na trzy bez reszty. Oznacza to, że liczbą w krateczce jest cyfra 2

f) mamy następujące działanie:

Zastanówmy się jaką liczbę należy wstawić w miejsce `square`  aby dzielenie było prawdziwe. Jak możemy zauważyć z działania, liczba 24 dzieli się przez liczbę z krateczki na osiem, a liczba 9 dzieli się przez liczbę z krateczki na trzy bez reszty. Oznacza to, że liczbą w krateczce jest cyfra 3

Która z przedstawionych równości jest prawdziwa,...

I. `2 1/7=(2*7+1)/7=15/7` 

PRAWDA



II. `2 1/10= (2*10+1)/10=21/10!=22/10` 

FAŁSZ



III. `2 3/5=(2*5+3)/5= 13/5` 

PRAWDA

Wykonaj potrzebne obliczenia i wskaż zdania prawdziwe

`a)\ 9*8=72" Falszywe"`

`b) \ 3*6,5=19,5, 20-19,5=0,5" Prawdziwe"`

`c)\ 6*16=96" Prawdziwe"`

 `d) \ "Prawdziwe"`

Uzupełnij poniższą...

II - 2 

IV - 4 

XVI - 16

 

V - 5

XIX - 19 

XXI - 21

 

XXI - 21 

XXIV - 24 

XXVIII - 28