Ułamki zwykłe - 4-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Równość ułamków

Każdy ułamek można zapisać na nieskończoną ilość sposobów. Dokonując operacji rozszerzania lub skracania otrzymujemy ułamek, który jest równy ułamkowi wyjściowemu.

Pamiętajmy jednak, że każdy ułamek można rozszerzyć, jednak nie każdy ułamek można skrócić. Ułamki, których nie da się już skrócić nazywamy ułamkami nieskracalnymi.

  • Rozszerzanie ułamków - mnożymy licznik i mianownik przez tą sama liczbę różną od zera; ułamek otrzymamy w ten sposób jest równy ułamkowi wyjściowemu.

    Przykład:

    • Rozszerzmy ułamek $$3/5$$ przez 3, czyli licznik i mianownik mnożymy przez 3:

      $$3/5=9/{15}={27}/{45}=...$$
       
  • Skracanie ułamków - dzielimy licznik i mianownik przez tą samą liczbę różną od zera; ułamek otrzymany w ten sposób jest równy ułamkowi wyjściowemu.

    Przykład:

    • Skróćmy ułamek $$8/{16}$$ przez 2, czyli licznik i mianownik dzielimy przez 2:

      $$8/{16}=4/8=2/4=1/2$$ 
 

Porównywanie ułamków

Porównywanie dwóch ułamków polega na stwierdzeniu, który z nich jest mniejszy, który większy.

  • Porównywanie ułamków o takich samych mianownikach
    Jeżeli ułamki zwykłe mają takie same mianowniki, to ten jest większy, który ma większy licznik

    Przykład:

    $$3/8$$ < $$5/8$$
     
  • Porównywanie ułamków o takich samych licznikach
    Jeżeli ułamki zwykłe mają takie same liczniki, to ten jest większy, który ma mniejszy mianownik.

    Przykład:

    $$4/5$$ > $$4/9$$

Ułamki właściwe i niewłaściwe

  1. Ułamek właściwy – ułamek, którego licznik jest mniejszy od mianownika. Ułamek właściwy ma zawsze wartość mniejszą od 1.
    Przykłady: $$3/8$$, $${23}/{36}$$, $$1/4$$, $$0/5$$.
     

  2. Ułamek niewłaściwy – ułamek, którego mianownik jest równy lub mniejszy od licznika. Ułamek niewłaściwy ma zawsze wartość większą od 1.
    Przykłady: $${15}/7$$, $$3/1$$, $${129}/5$$, $${10}/5$$.
     

Wyłączenie całości z ułamka niewłaściwego

Jeśli ułamek jest niewłaściwy (czyli jego mianownik jest równy lub mniejszy od licznika) to możemy wyłączyć z niego całość, tzn. dzielimy (być może zresztą) licznik przez mianownik (tzn. sprawdzamy ile razy mianownik „zmieści się” z liczniku) i otrzymujemy w ten sposób liczbę naturalną, będącą całością (tzw. składnik całkowity) oraz resztę, która jest ułamkiem właściwym (tzw. składnik ułamkowy).

Przykład: $$9/4 = 2 1/4$$

Opis powyższego przykładu: Dzielimy 9 przez 4, czyli sprawdzamy ile razy 4 zmieści się w 9. Liczba 4 zmieści się 2 razy w liczbie 9, czyli otrzymujemy 2 i resztę 1 (bo $$2•4= 8$$, czyli do 9 brakuje 1, i ona jest naszą resztą).

Liczby mieszane i ich zamiana na ułamek niewłaściwy

ulamek

Liczba mieszana jest to suma dwóch składników, z których jeden jest liczbą naturalną (składnik całkowity), a drugi ułamkiem zwykłym właściwym (składnik ułamkowy).

$$4 1/9= 4 + 1/9 $$ ← liczbę mieszana zapisujemy bez użycia znaku dodawania +.

Zamiana liczby mieszanej na ułamek niewłaściwy

Licznik tego ułamka otrzymujemy w następujący sposób: mianownik składnika ułamkowego mnożymy przez składnik całkowity i do tego iloczynu dodajemy licznik składnika ułamkowego. Mianownik natomiast jest równy mianownikowi składnika ułamkowego.

Przykład:

$$3 1/4= {3•4+1}/4= {13}/4$$
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Na talerzu było 8 równych kawałków pizzy. Ania zjadła 2 kawałki, a Kasia 3 kawałki. Zapisz za pomocą ułamków zwykłych, jaką część pizzy zjadła Ania, jaką Kasia, a jaka została na talerzu.

Ania -> $$2/8$$

Kasia -> $$3/8$$

zostało -> $$3/8$$

Zadanie 2.

1 doba – jaka to część tygodnia?

1 doba to 1 dzień

7 dni to 1 tydzień -> 1 doba to $$1/7$$ tygodnia.

Zadanie 3.

Zamień podane ułamki na ułamki nieskracalne:

  1. $$ {25}/{45} $$
  2. $$ {75}/{100} $$
  3. $$ {55}/{99} $$
  1. $$ {25}/{45}=5/9 $$
  2. $$ {75}/{100}=3/4 $$
  3. $$ {55}/{99}=5/9 $$

Zadanie 4.

Powiedz, który z ułamków jest większy: $$4/5$$ czy $$5/4$$?

$$5/4={10}/4$$

$$4/5$$ < $$1$$ < $${10}/4$$ -> $$4/5$$ < $$5/4$$

Odp.: Ułamek $$5/4$$ jest większy.

Zadanie 5.

Zamień liczby mieszane na ułamki niewłaściwe:

  1. $$1 4/7$$
  2. $$2 2/3$$

Rozwiązanie:

  1. $$1 4/7= {1•7+4}/7= {11}/7$$
  2. $$2 2/3= {2•3+2}/3= 8/3$$

Zadanie 6.

Zapisz trzy ułamki większe od $$3/{20}$$.

przykład: $$3/{20}$$ < $$4/{20}$$, $$1/4$$, $${19}/{20}$$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Połącz kropki w kolejności od najmniejszego (...)

Każdego dnia koliber wypija nektar z około 2000 kwiatów

Oblicz

`a)\ 1+4*7=1+28=29`

`b)\ 2*16-6=32-6=26`

`c)\ 6-8:2=6-4=2`

`d)\ 32:2+4=16+4=20`

O ile większa jest liczba 10^3 od liczby 10^2

103=101010=1000

102=1010=100

1000-100=900


Odp. Liczba 103 jest  o 900 większa od liczby 102.

Oblicz. a) 47*8

`a) \ 47*8=(50-3)*8=400-24=376`

`b) \ 5*63=5*(70-7)=350-35=315`

`c) \ 3*49=3*(50-1)=150-3=147`

`d) \ 124*3=(130-6)*3=390-18=372`

`e) \ 99*5=(100-1)*5=500-5=495`

`f) \ 82*4=(90-8)*4=360-32=328`

Dla każdej z liczb podanych obok znajdź liczbę 2 razy od niej mniejszą

 

liczba  liczba 2 razy mniejsza (:2) liczba 3 razy większa (∙3)
`120`  `60`  `360` 
`460`  `230` 

`400*3+60*3=` 

`=1200+180=1380` 

`1600`  `800`  `4800` 
`3000`   `1500`  `9000` 
`5000`  `2500`  `15\ 000` 

 

Narysuj prostokąty ...

 

`a)`

`Obw= 2*1cm\ 5mm+2*4cm=2cm\ 10mm+8cm=3cm+8cm=11cm`

`b)`

`Obw=2*1cm\ 2mm+2*3cm=2cm\ 4mm+6 cm=8cm\ 4mm`

W tabeli zapisano liczbę kilogramów makulatury...

`"a)"` W grudniu najwięcej makulatury zebrała klasa IVa, bo `36\ "kg."` 

 

`"b)"\ 21\ "kg"+22\ "kg"+40\ "kg"=43\ "kg"+40\ "kg"=83\ "kg"`     

Odp. Wszystkie klasy czwarte zebrały w listopadzie `83\ "kg"` makulatury.

 

`"c)"` Obliczamy, ile kilogramów makulatury zebrano w październiku:

`23\ "kg"+46\ "kg"+17\ "kg"=69\ "kg"+17\ "kg"=79\ "kg"+7\ "kg"=86\ "kg"` 

Obliczamy, ile kilogramów makulatury zebrano w grudniu:

`36\ "kg"+32\ "kg"+33\ "kg"=68\ "kg"+33\ "kg"=98\ "kg"+3\ "kg"=101\ "kg"` 

Porównujemy wyniki - widzimy, że najwięcej makulatury zebrano w grudniu, bo aż `101\ "kg."` 

 

`"d)"` Obliczamy, ile makulatury zebrała każda z klas w ciągu trzech miesięcy:

IVa: `23\ "kg"+21\ "kg"+36\ "kg"=44\ "kg"+36\ "kg"=80\ "kg"` 

IVb: `46\ "kg"+22\ "kg"+32\ "kg"=68\ "kg"+32\ "kg"=100\ "kg"` 

IVc: `17\ "kg"+40\ "kg"+33\ "kg"=57\ "kg"+33\ "kg"=90\ "kg"` 

Porównujemy wyniki - widzimy, że najmniej makulatury zebrała klasa IVa. Obliczamy, 

o ile kilogramów mniej od pozostałych klas:

od klasy IVb: `100\ "kg"-80\ "kg"=20\ "kg"` 

od klasy IVc: `90\ "kg"-80\ "kg"=10\ "kg"` 

Odp. Najmniej makulatury zebrała klasa IVa. Uczniowie tej klasy zebrali o `20\ "kg"` mniej od klasy IVb

i o `10\ "kg"` mniej od klasy IVc.

 

`"e)"` 

 

Uzupełnij tabelkę.

 

 

Skala 1 :1

Skala 2 : 1

Skala 1 : 2

Wymiary prostokąta

3cm i 4 cm

6 cm i 8 cm

1,5cm i 2 cm

Obwód prostokąta

14cm

28cm

7 cm

Zaznacz znak...

`a) 3\ ul( * )\ 7+5=21+5=26`

`b)13+5\ ul( * )\ 6=13+30=43`

`c)9\ ul( * )\ 7-4=63-4=59`

`d) 36-3\ ul( * )\ 11=36-33=3`

`e)27\ ul( : )\ 3+7=9+7=16`

`f)100-48\ ul( : )\ 4=100-12=88`