Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Ułamki dziesiętne - 4-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Ułamki dziesiętne i ich budowa

Ułamki dziesiętne to takie ułamki, których mianownikami są liczby 10, 100, 1000...

Przykłady:

  • $$1/{10}= 0,1$$
  • $$2/{100}= 0,02$$
  • $${15}/{100}= 0,15$$
  • $$3/{1000}= 0,003$$
  • $${25}/{10}= 2,5$$

Ułamki dziesiętne zapisujemy bez użycia kreski ułamkowej, natomiast stosujemy przecinek (zwany przecinkiem dziesiętnym), który oddziela część całkowitą od części ułamkowej.
 

rys1
 

Pierwsze miejsce po przecinku oznacza części dziesiąte, drugie - części setne, trzecie - części tysiączne, czwarte - części dziesięciotysięczne itd.

Przykład:

cyfry po przecinku
 

Powyższy ułamek możemy rozpisać:

$$0,781= {700}/{1000}+{80}/{1000}+1/{1000}=7/{10}+8/{100}+1/{1000}$$ -> łatwo zauważyć, że 7 to części dziesiąte, 8 części setne, a 1 to części tysięczne.

  Ciekawostka

Zapis dziesiętny liczb został opracowany w XV wieku przez perskiego matematyka Al-Kaszi, w jego dziele Miftah al-hisab (Klucz do arytmetyki). Rozpowszechnienie zawdzięczamy jednak holenderskiemu uczonemu Simonowi Stevinowi, który 1585 r. w swej pracy De Thiende (Dziesięcina) omówił istotę ułamków dziesiętnych. Notacja Stevina odbiegała od obecnie stosowanej i była dość skomplikowana, została więc szybko zmieniona. Liczby z przecinkiem błyskawicznie przyjęły się i liczbę wymierną można było wyrazić już nie tylko w postaci ułamka zwykłego. Oddzielenie przecinkiem całości od części dziesiętnych było pomysłem angielskiego matematyka. J. Nepera.

Zamiana ułamka zwykłego na dziesiętny

Jeżeli ułamek zwykły posiada w mianowniku 10, 100, 1000, … to zamieniamy go na ułamek dziesiętny w następujący sposób: między cyframi liczby znajdującej się w liczniku danego ułamka zwykłego stawiamy przecinek tak, aby po przecinku było tyle cyfr, ile zer w mianowniku. Gdyby zabrakło cyfr przy stawianiu przecinka, to należy dopisać brakującą ilość zer.

Przykłady:

  • $$3/{10}= 0,3$$ ← przepisujemy liczbę 3 z licznika i stawiamy przecinek tak, aby po przecinku była jedna cyfra (bo w mianowniku mamy jedno zero); musimy dopisać 0, ponieważ brakuje nam cyfr przy stawianiu przecinka,

  • $${64}/{100}= 0,64$$ ← przepisujemy liczbę 64 z licznika i stawiamy przecinek tak, aby po przecinku były dwie cyfry (bo w mianowniku mamy dwa zera); musimy dopisać 0, ponieważ brakuje nam cyfr przy stawianiu przecinka,

  • $${482}/{1000} = 0,482$$ ← przepisujemy liczbę 482 z licznika i stawiamy przecinek tak, aby po przecinku były trzy cyfry (bo w mianowniku mamy trzy zera); musimy dopisać 0, ponieważ brakuje nam cyfr przy stawianiu przecinka,

  • $${45}/{10}= 4,5$$ ← przepisujemy liczbę 45 z licznika i stawiamy przecinek tak, aby po przecinku była jedna cyfra (bo w mianowniku mamy jedno zero); w tym przypadku nie ma potrzeby dopisywania zer,

  • $${2374}/{100}= 23,74$$ ← przepisujemy liczbę 2374 z licznika i stawiamy przecinek tak, aby po przecinku były dwie cyfry (bo w mianowniku mamy dwa zera); w tym przypadku nie ma potrzeby dopisywania zer.

  Uwaga

Istnieją ułamki zwykłe, które możemy rozszerzyć lub skrócić tak, aby otrzymać w mianowniku 10, 100, 1000,... Jednak nie wszystkie ułamki można zamienić na równe im ułamki dziesiętne, to znaczy tak rozszerzyć lub skrócić, aby otrzymać ułamek o mianowniku 10, 100, 1000 itd.

Przykłady ułamków, które dają się rozszerzyć lub skrócić, tak aby otrzymać ułamek dziesiętny:
$$1/2= {1•5}/{2•5}=5/{10}= 0,5$$
$$3/{20}= {3•5}/{20•5}= {15}/{100}= 0,15$$
$${80}/{400}= {80÷4}/{400÷4}={20}/{100}= 2/{10}= 0,2$$

Nie można natomiast zamienić na ułamek dziesiętny ułamka $$1/3$$. Ułamka tego nie można skrócić ani rozszerzyć tak, aby w mianowniku pojawiła się liczba 10, 100, 1000 itd.

Zamiana ułamka dziesiętnego na zwykły

Licznikiem ułamka zwykłego jest liczba naturalna jaką utworzyłyby cyfry ułamka dziesiętnego, gdyby nie było przecinka, mianownikiem jest liczba zbudowana z cyfry 1 i tylu zer, ile cyfr po przecinku zawiera ułamek dziesiętny.

Przykłady:

  • $$0,25 = {25}/{100}$$ ← licznikiem ułamka zwykłego jest liczba 25 (ponieważ taką liczbę tworzą cyfry ułamka dziesiętnego bez przecinka), mianownikiem ułamka zwykłego jest liczba zbudowana z 1 oraz z dwóch zer, czyli liczba 100, ponieważ dwie cyfry stoją po przecinku,

  • $$4,305={4305}/{1000}$$ ← licznikiem ułamka zwykłego jest liczba 4305 (ponieważ taką liczbę tworzą cyfry ułamka dziesiętnego bez przecinka), mianownikiem ułamka zwykłego jest liczba zbudowana z 1 oraz z trzech zer, czyli liczba 1000, ponieważ trzy cyfry stoją po przecinku.

Porównywanie ułamków dziesiętnych

Aby ustalić, który z dwóch ułamków dziesiętnych jest większy, wystarczy porównać kolejno rzędy, zaczynając od najwyższego. Oznacza to, że porównujemy kolejno cyfry z których zbudowany jest ułamek dziesiętny, czyli zaczynamy od cyfr części całkowitej, a później przechodzimy to porównywania cyfr części dziesiętnych.

W praktyce porównywanie ułamków dziesiętnych odbywa się następująco:
  • Najpierw porównujemy części całkowite, jeżeli nie są równe, to mniejszy jest ułamek o mniejszej części całkowitej;

  • Jeżeli obie części całkowite są równe, to porównujemy ich części dziesiętne. Jeżeli części dziesiętne nie są równe, to mniejszy jest ułamek o mniejszej części dziesiętnej;

  • Gdy części dziesiętne są równe, to porównujemy ich części setne, tysięczne itd., aż do uzyskania odpowiedzi.

  Zapamiętaj

Gdy na końcu ułamka dziesiętnego dopisujemy lub pomijamy zero, to jego wartość się nie zmienia.

Przykłady:
$$0,34=0,340=0,3400=0,34000=...$$
$$0,5600=0,560=0,56$$

W związku z powyższą uwagą, jeżeli w czasie porównywania ułamków w którymś zabraknie cyfr po przecinku, to należy dopisać odpowiednią liczbę zer.
 

Przykład: Porównajmy ułamki 5,25 i 5,23.
Przed porównywaniem ułamków wygodnie jest zapisać porównywane liczby jedna pod drugą, ale tak by zgadzały się rzędy, czyli przecinek pod przecinkiem.

porownanie1
Widzimy, że w porównywanych ułamkach części jedności są takie same, części dziesiętne także są równe, natomiast w rzędzie części setnych 5>3, zatem ułamek 5,25 jest większy od 5,23. Zatem 5,25>5,23.

Przykład: Porównajmy ułamki 0,8 i 0,81.
Zapisujemy ułamki jeden pod drugim, tak aby zgadzały się rzędy, czyli przecinek pod przecinkiem. Ponadto dopisujemy 0 w ułamku 0,8.

porownanie2

Widzimy, że w porównywanych ułamkach części jedności są takie same, części dziesiętne także są równe, natomiast w rzędzie części setnych 0<1, zatem ułamek 0,81 jest większy od 0,8. Zatem 0,81>0,8.

Wyrażenie dwumianowane

Wyrażenia dwumianowe to wyrażenia, w których występują dwie jednostki tego samego typu.

Przykłady: 5 zł 30 gr, 2 m 54 cm, 4 kg 20 dag.

Wyrażenia dwumianowe możemy zapisać w postaci ułamka dziesiętnego.

Przykład: 3 m 57 cm = 3,57 cm , bo 57 cm to 0,57 m.

Jednostki:

  • 1 cm = 10 mm; 1 mm = 0,1 cm
  • 1 dm = 10 cm; 1 cm = 0,1 dm
  • 1 m = 100 cm; 1 cm = 0,01 m
  • 1 m = 10 dm; 1 dm = 0,1 m
  • 1 km = 1000 m; 1 m = 0,001 km
  • 1 zł = 100 gr; 1 gr = 0,01 zł
  • 1 kg = 100 dag; 1 dag = 0,01 kg
  • 1 dag = 10 g; 1 g = 0,1 dag
  • 1 kg = 1000 g; 1 g = 0,001 kg
  • 1 t = 1000 kg; 1 kg = 0,001 t

Przykłady zamiany jednostek:

  • 10 zł 80 gr = 1000 gr + 80 gr = 1080 gr
  • 16 gr = 16•0,01zł = 0,16 zł
  • 1 zł 52 gr = 1,52 zł
  • 329 gr = 329•0,01zł = 3,29 zł
  • 15 kg 60 dag = 1500dag + 60dag = 1560 dag
  • 23 dag = 23•0,01kg = 0,23 kg
  • 5 kg 62 dag = 5,62 kg
  • 8 km 132 m = 8000 m+132 m = 8132 m
  • 23 cm 3 mm = 230 mm + 3 mm = 233 mm
  • 39 cm = 39•0,01m = 0,39 m

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Zapisz w postaci ułamka dziesiętnego:

  1. $$ {29}/{100}$$
  2. $$ {15}/{10} $$
  3. $$ {33}/{50}$$
  1. $$ {29}/{100}=0,29$$ - przepisujemy liczbę 29 z licznika i stawiamy przecinek tak, aby po przecinku były dwie cyfry (bo w mianowniku mamy dwa zera); musimy dopisać 0, ponieważ brakuje nam cyfr przy stawianiu przecinka;
  2. $$ {15}/{10}=1,5$$ - przepisujemy liczbę 15 z licznika i stawiamy przecinek tak, aby po przecinku była jedna cyfra (bo w mianowniku mamy jedno zero);
  3. $$ {33}/{50}={66}/{100}=0,66$$ - na początku rozszerzamy dany ułamek przez 2, tak aby otrzymać w mianowniku liczbę 100; następnie przepisujemy liczbę 66 z licznika i stawiamy przecinek tak, aby po przecinku były dwie cyfry (bo w mianowniku mamy dwa zera); musimy dopisać 0, ponieważ brakuje nam cyfr przy stawianiu przecinka.

Zadanie 2.

Podaj przykład ułamka dziesiętnego, którego cyfra części dziesiątych jest równa 2, a cyfra części setnych jest o 5 większa.

$$2$$ -> cyfra części dziesiątych

$$2+5=7$$ -> cyfra części setnych

$$0,27$$ -> szukany ułamek

Odp.: Przykładem takiego ułamka jest $$0,27$$.

Zadanie 3.

Zapisz podane liczby pomijając niepotrzebne zera:

  1. $$ 0,260 $$
  2. $$ 0,0300 $$
  3. $$ 10,0220 $$
  1. $$ 0,260=0,26 $$
  2. $$ 0,0300=0,03 $$
  3. $$ 10,0220=10,022 $$

Zadanie 4.

Porównaj ułamki dziesiętne:

  1. $$ 0,7 $$ i $$0,9 $$
  2. $$ 12,4 $$ i $$ 12,41 $$
  3. $$ 9,909 $$ i $$ 9,990 $$
  1. $$ 0,7$$ < $$0,9$$, ponieważ części jedności są równe, natomiast w częściach dziesiętnych 7<9, zatem ułamek 0,7 jest mniejszy od 0,9 ,
  2. $$ 12,4$$ < $$12,41$$, ponieważ części jedności są równe, części dziesiętne są także takie same, natomiast w częściach setnych mamy 0<1, zatem ułamek 12,40 jest mniejszy od 12,41 ,
  3. $$ 9,909$$ < $$9,990$$, ponieważ części jedności są równe, części dziesiętne są także takie same, natomiast w częściach setnych mamy 0<9, zatem ułamek 9,909 jest mniejszy od 9,990.

Zadanie 5.

Zapisz w postaci wyrażenia dwumianowanego:

  1. 10,42 zł
  2. 12,3 m
  3. 2,13 kg
  1. 10,42 zł=10 zł 42 gr
  2. 12,3 m=12 m 30 cm
  3. 2,13 kg=2 kg 12 dag

Zadanie 6.

Podaj przykład liczby większej od $$0,01$$ i mniejszej od $$0,02$$.

$$0,01=0,010$$ ← możemy dopisać 0 na końcu, ponieważ nie zmienia to wartości ułamka.

$$0,02=0,020$$ ← analogicznie jak wyżej, dopisujemy 0.

$$0,010$$ < $$0,015$$ < $$0,020$$ ← teraz łatwo znaleźć ułamek który jest większy od 0,01 oraz mniejszy od 0,02.

Odp.: Przykładem takiej liczby jest $$0,015$$.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wykonaj działanie. a) 0,5+1/2

`a)\ 0,5+1/2=1/2+1/2=2/2=1` 

`b)\ 0,75-1/4=0,75-0,25=0,50=0,5` 

`c)\ 3/5-0,1=0,6-0,1=0,5` 

`d)\ 2 1/4-1,75=` `2 1/4-1 3/4=` `1 5/4-1 3/4= 2/4= 1/2`  

Pewien chiński mandaryn

`a)`

`5\ t=5000\ kg=500\ 000\ dag`

`5\ kg=500\ dag`

 

`5\ t\ 5\ kg\ 5\ dag=500\ 000\ dag+500\ dag+5\ dag=500\ 505\ dag`

 

 

 

`b)`

`5\ t=5000\ kg`

`5\ dag=0,05\ kg`

`5\ t\ 5\ kg\ 5\ dag=5000\ kg+5\ kg+0,05\ kg=5005,05\ kg`

 

 

 

`c)`

`5\ kg=0,005\ t`

`5\ dag=0,05\ kg=0,00005\ t`

 

`5\ t\ 5\ kg\ 5\ dag=5\ t+0,005\ t+0,00005\ t=5,00505\ t`

Przeczytaj liczby i napisz je słowami

a)

5 - pięć

59 - pięćdziesiąt dziewięć

509 - pięćset dziewięć


b)

68 - sześćdziesiąt osiem

954 - dziewięćset pięćdziesiąt cztery

9423 - dziewięć tysięcy czterysta dwadzieścia trzy


c)

102 356 - sto dwa tysiące trzysta pięćdziesiąt sześć

2 564 000 - dwa miliony pięćset sześćdziesiąt cztery tysiące 

Przyjrzyj się serii rysunków. Pod każdym kwadratem napisz, jaką część pomalowano...

Zwróć uwagę, że w każdym kolejnym kroku jest 2 razy więcej części, niż poprzednio (bo na przykład dzieląc każdą z 4 części na 2, dostaniemy 8 częśći itd)

Aby zapisać następne ułamki wystarczy w liczniku zostawić 1, a kolejne mianowniki uzyskiwać mnożąc przez 2 poprzedni mianownik. 

Zwróć uwagę, że niepokolorowana część to zawsze ostatni (najmniejszy) z wypisanych w pierwszym wierszu ułamków. 

Jeśli więc dodawalibyśmy pięć pierwszych ułamków, to niezamalowana byłaby `1/32` kwadratu, jeśli dodawalibyśmy 6 kolejnych ułamków, to niezamalowana byłaby `1/64` kwadratu i tak dalej. 

 

Na kolejnych rysunkach zostałyby więc pokolorowane: 

`1-1/32=31/32` kwadratu

`1-1/64=63/64` kwadratu

`1-1/128=127/128` kwadratu

`1-1/256=255/256` kwadratu

i tak dalej

 

 

 

Rysując kolejne 100 rysunków nie zapełnimy małego kwadratu, ponieważ zawsze zostanie jedna maluteńka część (powstała przez podzielenie poprzedniej niezamalowanej części na pół), która nie będzie zamalowana.  

Oszacuj wynik działania. Następnie oblicz na kalkulatorze i porównaj

a)  `#underbrace(823)_("około 800")+#underbrace(790)_("około 800")~~800+800=1600`   - szacowany wynik wynosi około 1600

`823+790=1613`  - dokładny wynik wynosi 1613

`1613-1600=13`  - dokładny wynik różni się o 13 od szacowanego 

 

b)  `#underbrace(1230)_("około 1200")+#underbrace(2580)_("około 2600")~~1200+2600=3800`    - szacowany wynik wynosi około 3800

`1230+2580=3810`   - dokładny wynik wynosi 3810

`3810-3800=10`  - dokładny wynik różni się od szacowanego o 10

 

c)  `7389+518~~7400+500=7900`    - szacowany wynik wynosi około 7900

`7389+518= 7907`   - dokładny wynik wynosi 7907

`7907-7900=7`   - dokładny wynik różni się od szacowanego o 7

 

d)  `5291-2315~~5300-2300=3000` 

`5291-2315= 2976`

`3000-2976=24`

 

e)  `6099-4124~~6100-4100=2000` 

`6099-4124= 1975`

`2000-1975=25`

 

f)  `8790-203~~8800-200=8600` 

`8790-203= 8587`

`8600-8587=13`

 

g)  `523*7~~500*7=3500` 

`523*7=3661`

`3661-3500=161`

 

h)  `8234*3~~8200*3=24 \ 600` 

`8234*3=24702`

`24\ 702- 24\ 600= 102`

 

i)  `372*18~~350*20=7000` 

`372*18= 6696`

`7000-6696=304`

Uzupełnij napisy...

`1 kg = 100 dag`

`1 kg = 1000 g`

`1 t = 1000 kg`

`1 dag = 10g`

 

`1 kg = 1/1000t`

`1 dag =1/100 kg`

`1 g = 1/10g`

`1g=1/1000kg`

Oblicz:

`a) \ 2/9+8/9=10/9=1 1/9`

`b) \ 3/7+1/7=4/7`

`c) \ 1/8+3/8=4/8=1/2`

`d) \ 6/11+5/11=11/11=1`

`e) \ 7/15+9/15=16/15=1 1/15`

`f) \ 11/12+7/12=18/12= 1 6/12=1 1/2`

`g) \ 3 5/7+1 3/7=4 8/7=5 1/7`

`h) \ 1 5/9+2 4/9=3 9/9=4`

`i) \ 8 3/4+9 3/4=17 6/4=18 2/4=18 1/2`

`j) \ 84 1/5+5 4/5=89 5/5=90`

`k) \ 2 17/20+6 4/20=8 21/20=9 1/20`

`l) \ 15 8/9+9 6/9=24 14/9= 25 5/9`

W okienka należy ...

W klasie Wojtka jest 14 chłopców i tyle samo dziewcząt...

Wiemy, że w klasie Wojtka jest 14 chłopców i 14 dziewcząt

obliczmy ile osób jest w klasie Wojtka:

`14+14=bb28` 


Na wycieczkę nie pojechały trzy dziewczynki i siedmiu chłopców

obliczmy ile osób pojechało na wycieczkę:

`28-3-7= 25-7=bb18` 


Odp.: Na tę wycieczkę pojechało 18 osób.

Jakim znakiem należy zastąpić znak zapytania?

`a)\ 0,7>0,67`

`b)\ 1,47<1,5`

`c)\ 2,487>2,4`

`d)\ 3,53>3,521`