System zapisywania liczb - 4-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Pozycyjny system dziesiątkowy

System liczenia, którego używamy jest pozycyjny i dziesiątkowy. Wyjaśnijmy co to oznacza:

  • pozycyjny, ponieważ liczbę przedstawia się jako ciąg cyfr, a wartość poszczególnych cyfr zależy od miejsca (pozycji), jakie zajmuje ta cyfra,
  • dziesiątkowy, ponieważ liczby zapisujemy za pomocą dziesięciu znaków, zwanych cyframi: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Przykład (wyjaśniający pojęcie pozycyjnego systemu dziesiątkowego):

img01
 

Każda z cyfr użyta w powyższej liczbie tworzy określoną wartość, która jest uzależniona od miejsca (pozycji), jaką zajmuje ta cyfra w zapisie utworzonej liczby.

Jeśli użyjemy dokładnie tych samych cyfr, z których zbudowana jest powyższa liczba, ale użyjemy ich w innej kolejności to otrzymamy całkiem inną liczbę (np. 935287, 728395).

Przestawienie kolejności cyfr zmienia wartość liczby, dlatego nasz system liczenia jest pozycyjny (ponieważ miejsce cyfry w zapisie liczby nadaje wartość tej liczbie), natomiast używanie dziesięciu cyfr do zapisu liczby powoduje, że nazywamy go dziesiątkowym systemem.
 

Liczbę z powyższego przykładu możemy zapisać też w następujący sposób:
$$3•1+9•10+5•100+7•1000+8•10000+2•100000= 287 593$$
 

Przykład (czytanie zapisanych liczb w pozycyjnym systemie dziesiątkowym):
  • 22 500 - czytamy: dwadzieścia dwa i pół tysiąca lub dwadzieścia dwa tysiące pięćset,
  • 1 675 241 - czytamy: milion sześćset siedemdziesiąt pięć tysięcy dwieście czterdzieści jeden.

  Ciekawostka

Pozycyjny system dziesiątkowy pochodzi prawdopodobnie z Indii (znany jest napis z 683 roku zawierający zapis liczby w systemie pozycyjnym z użyciem zera). Za pośrednictwem Arabów system ten oraz zero dotarły do Europy (stąd nazwa cyfry arabskie) i obecnie jest powszechnie używanym systemem liczbowym.

System rzymski

System rzymski jest systemem zapisywania liczb, który w przeciwieństwie do zapisu pozycyjnego, pozwala zapisać liczby przy pomocy znaków o zawsze ustalonej wartości.


W systemie rzymskim do zapisania liczby używamy zdecydowanie mniej znaków niż w systemie dziesiątkowym.

Za pomocą 7 znaków (liter) : I, V, X, L, C, D i M jesteśmy w stanie ułożyć każdą liczbę naturalną od 1 do 3999.

Do każdego znaku przypisano inną wartość. 

Wyróżniamy cyfry podstawowe:

  • I = 1
  • X = 10
  • C = 100
  • M = 1000 

oraz cyfry pomocnicze:

  • V = 5
  • L = 50 
  • D = 500


Zasady zapisywania liczb w systemie rzymskim
:

  1. Możemy zapisać maksymalnie 3 takie same cyfry podstawowe (czyli I, X, C, M) obok siebie.

    Cyfry pomocnicze (czyli V, L, D) nie mogą występować obok siebie.

    Przykłady:

    • VIII  `->`   `5+1+1+1=8` 

    • MMCCC  `->`   `1000+1000+100+100+100=2300` 

  2. W celu uproszczenia wielu zapisów dopuszcza się umieszczenie cyfry podstawowej o mniejszej wartości przed cyfrą o większej wartości.

    W takim jednak przypadku od wartości większej liczby odejmujemy wartość mniejszej liczby.

    Przykłady:

    • IX  `->`   `10-1=9` 

    • CD  `->`   `500-100=400` 

  3. Gdy liczby (znaki) są ustawione od największej do najmniejszej to wówczas dodajemy ich wartości.

    Przykłady:

    • MMDCLVII  `->`   `1000+1000+500+100+50+5+1+1=2657`   

    • CXXVII  `->`   `100+10+10+5+1+1=127`   

 

Ciekawostka

System rzymski pochodzi od wysoko rozwiniętej cywilizacji Etrusków (ok. 500 r. p.n.e.).

Początkowo zapisywano liczby za pomocą pionowych kresek I, II, III, IIII, IIIII, ... .

Rzymianie przejęli cyfry od Etrusków i poddali je pewnym modyfikacjom oraz udoskonaleniom, co dało początki dzisiaj znanemu systemowi rzymskiemu.

Cyfr rzymskich używano na terenie imperium aż do jego upadku w V w. n.e.

W średniowieczu stały się standardowym systemem liczbowym całej łacińskiej Europy. Pod koniec tej epoki zaczęto coraz częściej używać cyfr arabskich, prostszych i wygodniejszych do obliczeń oraz zapisywania dużych liczb.

System rzymski stopniowo wychodził z codziennego użycia, chociaż do dziś jest powszechnie znany w Europie i stosowany do wielu celów.

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Ile wynosi suma cyfr liczby 201? Wypisz wszystkie liczby trzycyfrowe, których suma cyfr jest równa 3.

201 -> suma cyfr: $$2+0+1=3$$

inne liczby trzycyfrowe, których suma cyfr jest równa 3: 102, 120, 111, 300, 210.

Zadanie 2.

Ile zer ma liczba $$100•1000•10•10000$$?

Zapiszmy daną liczbę w prostszej postaci, czyli wykonajmy mnożenie, które w tym przypadku polega na przepisaniu jedynki i dopisaniu tylu zer ile ich jest w sumie (czyli dziesięciu).
$$100•1000•10•10000=10000000000=10^{10}$$ -> 10 zer

Odp.: Dana liczba ma 10 zer.

Zadanie 3.

Zapisz cyframi liczby:

  1. osiem tysięcy sto czterdzieści pięć
  2. dwa miliony pięćset dziewięćdziesiąt dwa tysiące trzysta cztery
  3. milion osiem tysięcy dwa
  1. 8145
  2. 2592304
  3. 1008002

Zadanie 4.

Określ, który to wiek:

  1. 473 r.
  2. 1899 r.
  3. 201 r.
  1. V wiek
  2. XIX wiek
  3. III wiek

Zadanie 5.

Co to za liczba CMXXVII?

CMXXVII → -100+1000+10+10+5+1+1=927

Zadanie 6.

Zapisz cyframi rzymskimi liczbę 3727.

3727 -> MMMDCCXXVII

Zadanie 7.

Zapisz liczbę, której:

  1. Cyfrą setek jest 4, cyfrą dziesiątek jest 0, a cyfra jedności jest o 3 większa od cyfry setek,
  2. Cyfrą tysięcy jest 5, a każda z pozostałych cyfr tej liczby czterocyfrowej jest o 1 większa od poprzedniej.
  1. odp1
    Odp.: Szukana liczba to 407.

     
  2. odp2
    Odp.: Szukana liczba to 5678.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Narysuj dwie przecinające się proste, a następnie ...

1. Rysujemy dwie przecinające się proste. {premium}

2. Punkt przecięcia tych prostych oznaczamy literą S. 

3. Na narysowanych prostych zaznaczamy cztery odcinki takiej samej długości (np. 2 cm) tak, aby punkt S był jednym z końców tych odcinków. 

4. Łączymy odpowiednio końce odcinków tak, aby otrzymać prostokąt. 

Zauważmy, że możemy narysować bardzo dużo takich prostokątów. Ich wielkość będzie zależeć od tego, jaką wybierzemy długość przekątnych. 


 

Przekątne prostokąta mają taką samą długość oraz połowią się. 

Chcemy narysować prostokąt, którego przekątne mają długość 8 cm. 

Skoro przekątne prostokąta połowią się, to każda "połówka" będzie miała długość 8 cm : 2 = 4 cm. 

1. Na narysowanych prostych zaznaczamy cztery odcinki długości 4 cm tak, aby punkt S był jednym z końców tych odcinków. 

2. Łączymy odpowiednio końce odcinków tak, aby otrzymać prostokąt. 

Możemy narysować tylko jeden taki prostokąt (zielony). 

Wzdłuż ulicy należy ustawić pionowo latarnie w zaznaczonych...

Pomiędzy drzewami za pomocą ekierki należy narysować odcinki prostopadłe do ulicy odpowiednio z punktów A, B, C, D i E  o długości 3 cm tak jak na poniższym rysunku: 


Jakie liczby zaznaczono kropkami ...

Odcinek między 0 i 20, czyli odcinek długości 20, został podzielony na 2 równe części. 

Każda z części odpowiada odległości: 

 

Na osi "poruszamy się" co 10. 


Pierwszą kropką oznaczono liczbę 10. 

Drugą kropką oznaczono liczbę 40. 

Trzecią kropką oznaczono liczbę 60. 

Czwartą kropką oznaczono liczbę 70. 


Poprawna odpowiedź: A. 10, 40, 60, 70 

Narysuj łamaną:

a)

{premium}

b)

Piotrek jest trzy razy lżejszy od taty, a mama...

Wiemy, że tata Piotrka waży 120 kg

mama Piotrka jest dwa razy lżejsza od taty

Piotrek jest trzy razy lżejszy od taty


a) Obliczmy, ile waży mama:

 [kg]

Obliczmy, ile waży Piotrek:

 [kg]

{premium}
b) Wiemy, że dziadek jest dwa razy cięższy od Piotrka

obliczmy ile waży dziadek:

 [kg]


Odp.: Mama Piotrka waży 60 kg, Piotrek waży 40 kg, a dziadek Piotrka waży 80 kg.

Narysuj kilka prostokątów o takim polu, jak pole narysowanego obok kwadratu.

Kwadrat składa się z 36 kwadracików jednostkowych. {premium}

Możemy na przykład narysować prostokąt o wymiarach 4 x 9, 3 x 12, 2 x 18

Przeczytaj ciekawostkę.

a) Książeczka ma wymiary:
 

Obliczamy, jakie wymiary miałaby ta książeczka w skali 15:1. 

Skala 15:1 oznacza, że {premium}należy zwiększyć wymiary książeczki 15 razy. 
Książeczka w skali 15:1 jest więc 15 razy większa od książeczki rzeczywistej, czyli:
 
 

Wymiary książeczki w skali 15:1 to:
 


b) Książeczka w skali 150:1 jest 150 razy większa od książeczki rzeczywistej. 

Rzeczywista książeczka ma wymiary 4 mm na 5 mm. 
 
 

Książeczka w skali 150:1 ma wymiary:
 

Nie jesteśmy więc w stanie zakryć tej książeczki podręcznikiem, gdyż jest ona znacznie większa od podręcznika. 

Zosia postanowiła czytać każdego dnia 13 stron...

Tydzień ma 7 dni

Zosia postanowiła każdego dnia czytać 13 stron książki

zatem przez tydzień przeczyta ona:


 


Odp.: Zosia w ciągu tygodnia powinna przeczytać 91 stron książki.

Oblicz według...

Jakie litery oznaczono na osi...

Pomiędzy 0 a 0,10 jest 10 podziałek. To znaczy, że możemy zapisać liczby:

 {premium}