System zapisywania liczb - 4-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Pozycyjny system dziesiątkowy

System liczenia, którego używamy jest pozycyjny i dziesiątkowy. Wyjaśnijmy co to oznacza:

  • pozycyjny, ponieważ liczbę przedstawia się jako ciąg cyfr, a wartość poszczególnych cyfr zależy od miejsca (pozycji), jakie zajmuje ta cyfra,
  • dziesiątkowy, ponieważ liczby zapisujemy za pomocą dziesięciu znaków, zwanych cyframi: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Przykład (wyjaśniający pojęcie pozycyjnego systemu dziesiątkowego):

img01
 

Każda z cyfr użyta w powyższej liczbie tworzy określoną wartość, która jest uzależniona od miejsca (pozycji), jaką zajmuje ta cyfra w zapisie utworzonej liczby.

Jeśli użyjemy dokładnie tych samych cyfr, z których zbudowana jest powyższa liczba, ale użyjemy ich w innej kolejności to otrzymamy całkiem inną liczbę (np. 935287, 728395).

Przestawienie kolejności cyfr zmienia wartość liczby, dlatego nasz system liczenia jest pozycyjny (ponieważ miejsce cyfry w zapisie liczby nadaje wartość tej liczbie), natomiast używanie dziesięciu cyfr do zapisu liczby powoduje, że nazywamy go dziesiątkowym systemem.
 

Liczbę z powyższego przykładu możemy zapisać też w następujący sposób:
$$3•1+9•10+5•100+7•1000+8•10000+2•100000= 287 593$$
 

Przykład (czytanie zapisanych liczb w pozycyjnym systemie dziesiątkowym):
  • 22 500 - czytamy: dwadzieścia dwa i pół tysiąca lub dwadzieścia dwa tysiące pięćset,
  • 1 675 241 - czytamy: milion sześćset siedemdziesiąt pięć tysięcy dwieście czterdzieści jeden.

  Ciekawostka

Pozycyjny system dziesiątkowy pochodzi prawdopodobnie z Indii (znany jest napis z 683 roku zawierający zapis liczby w systemie pozycyjnym z użyciem zera). Za pośrednictwem Arabów system ten oraz zero dotarły do Europy (stąd nazwa cyfry arabskie) i obecnie jest powszechnie używanym systemem liczbowym.

System rzymski

System rzymski jest systemem zapisywania liczb, który w przeciwieństwie do zapisu pozycyjnego, pozwala zapisać liczby przy pomocy znaków o zawsze ustalonej wartości.

Wyróżniamy cyfry podstawowe:

  • I = 1
  • X = 10
  • C = 100
  • M = 1000

oraz cyfry pomocnicze:

  • V = 5
  • L = 50
  • D = 500

Korzystając z systemu rzymskiego liczbę naturalną przedstawiamy jako ciąg powyższych cyfr uporządkowanych od wartości największej do najmniejszej, a wartość liczby jest równa sumie wartości poszczególnych cyfr.

Przykłady:

  • XV → 10+5=15
  • XXXII → 10+10+10+1+1=32
  • CXXVII → 100+10+10+5+1+1=127
  • MDLVII → 1000+500+50+5+1+1=1557

W celu uproszczenia wielu zapisów dopuszcza się umieszczenie cyfry podstawowej o mniejszej wartości przed cyfrą o większej wartości. W takim jednak przypadku wartość mniejszej cyfry uważamy za ujemną.

Przykłady:

  • IX → -1+10=10-1=9
  • CD → -100+500=500-100=400
  • XLII → -10+50+1+1=50-10+2=42
  • CML → -100+1000+50=1000-100+50=950

Ważne jest, że w systemie rzymskim możemy zapisać maksymalnie 3 takie same cyfry podstawowe (czyli I, X, C, M) obok siebie. Cyfry pomocnicze (czyli V, L, D) nie mogą występować obok siebie.

Przykład:

  • XXXII → 10+10+10+1+1=32

  Ciekawostka

System rzymski pochodzi od wysoko rozwiniętej cywilizacji Etrusków (ok. 500 r. p.n.e.). Początkowo zapisywano liczby za pomocą pionowych kresek I,II,III,IIII,IIIII,... .

Rzymianie przejęli cyfry od Etrusków i poddali je pewnym modyfikacjom oraz udoskonaleniom, co dało początki dzisiaj znanemu systemowi rzymskiemu.

Cyfr rzymskich używano na terenie imperium aż do jego upadku w V w. n.e. W średniowieczu stały się standardowym systemem liczbowym całej łacińskiej Europy, jednak pod koniec tej epoki coraz częściej używano już cyfr arabskich, prostszych i wygodniejszych do obliczeń oraz zapisywania dużych liczb. System rzymski stopniowo wychodził z codziennego użycia, chociaż do dziś jest powszechnie znany w Europie i stosowany do wielu celów.

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Ile wynosi suma cyfr liczby 201? Wypisz wszystkie liczby trzycyfrowe, których suma cyfr jest równa 3.

201 -> suma cyfr: $$2+0+1=3$$

inne liczby trzycyfrowe, których suma cyfr jest równa 3: 102, 120, 111, 300, 210.

Zadanie 2.

Ile zer ma liczba $$100•1000•10•10000$$?

Zapiszmy daną liczbę w prostszej postaci, czyli wykonajmy mnożenie, które w tym przypadku polega na przepisaniu jedynki i dopisaniu tylu zer ile ich jest w sumie (czyli dziesięciu).
$$100•1000•10•10000=10000000000=10^{10}$$ -> 10 zer

Odp.: Dana liczba ma 10 zer.

Zadanie 3.

Zapisz cyframi liczby:

  1. osiem tysięcy sto czterdzieści pięć
  2. dwa miliony pięćset dziewięćdziesiąt dwa tysiące trzysta cztery
  3. milion osiem tysięcy dwa
  1. 8145
  2. 2592304
  3. 1008002

Zadanie 4.

Określ, który to wiek:

  1. 473 r.
  2. 1899 r.
  3. 201 r.
  1. V wiek
  2. XIX wiek
  3. III wiek

Zadanie 5.

Co to za liczba CMXXVII?

CMXXVII → -100+1000+10+10+5+1+1=927

Zadanie 6.

Zapisz cyframi rzymskimi liczbę 3727.

3727 -> MMMDCCXXVII

Zadanie 7.

Zapisz liczbę, której:

  1. Cyfrą setek jest 4, cyfrą dziesiątek jest 0, a cyfra jedności jest o 3 większa od cyfry setek,
  2. Cyfrą tysięcy jest 5, a każda z pozostałych cyfr tej liczby czterocyfrowej jest o 1 większa od poprzedniej.
  1. odp1
    Odp.: Szukana liczba to 407.

     
  2. odp2
    Odp.: Szukana liczba to 5678.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Pokoloruj: na żółto - kwadraty liczb 2, 4, 5, 6, (...)

Na żółto: 4, 16, 25, 36

Na niebiesko: 0, 8, 27, 64

Na czerwono: 100, 81, 125, 10 000

Zosia podzieliła 26 cukierków po równo...

`26:4=6,\ "r."\ 2` 

Odp. Każda z przyjaciółek dostanie po `6` cukierków.  

Odcinek CY podzielony jest na równe części. Podaj nazwy wszystkich...

Odcinki o długości `3/8` to:

|CO|; |HŃ|; |RL|; |OA|; |ŃS|; |LY|

Pod rysunkami podano, ile przeciętnie ważą ryś

Zamieńmy jednostki tak, aby wszystkie masy były wyrażone w gramach: 

`20\ kg=20\ 000\ g`

`10\ dag=100\ g`

 

 

`a)\ 20\ 000:100=200`

ODP: Ryś jest 200 razy cięższy niż kret. 

 

`b)\ 100\ g-50\ g=50\ g`

ODP: Nornica jest o 50 g lżejsza od kreta. 

 

`c)\ 100:50=2`

ODP: Nornica jest 2 razy lżejsza niż kret. 

Oblicz różnice...

 

Różnica

1237

1110

512

352

329

105

82

43

24

Hasło

P

A

S

C

A

L

I

N

A

Znajdź taką najmniejszą liczbę trzycyfrową, aby po podzieleniu jej przez 7

Sprawdźmy, jaką resztę z dzielenia przez 7 daje najmniejsza liczba trzycyfrowa, czyli 100: 

 

Skoro 100 daje resztę 2, to 101 da resztę 3, 102 - resztę 4, 103 - resztę 5, a 104 - resztę 6. 

Kleks zasłonił rysunek, na którym był przedstawiony ułamek równy...

Aby odgadnąć jakie części są pomalowane na zasłoniętych przez kleksy figurach należy rozszerzyć ułamki. Rozszerzając ułamki musimy pomnożyć licznik i mianownik przez tą samą liczbę.
Zatem:

Każdą liczbę z worka zapisz w postaci iloczynu dwóch liczb

`54=6*9`

`42=6*7`

`32=4*8`

`48=6*8`

`56=7*8`

`63=7*9`

Wpisz, ile stopni...

Uzupełnij rysunek tak, aby ilustrował podane odejmowanie i zapisz wynik tego odejmowania...



* Skreślone na czerwono banknoty są na rysunku rozmienione: banknot o wartości 10 zł na 10 monet o wartości 1 zł, a banknot o wartości 100 zł na 10 banknotów o wartości 10 zł.

** W niebieskiej pętli jest suma pieniędzy jaką odejmujemy.