System zapisywania liczb - 4-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Pozycyjny system dziesiątkowy

System liczenia, którego używamy jest pozycyjny i dziesiątkowy. Wyjaśnijmy co to oznacza:

  • pozycyjny, ponieważ liczbę przedstawia się jako ciąg cyfr, a wartość poszczególnych cyfr zależy od miejsca (pozycji), jakie zajmuje ta cyfra,
  • dziesiątkowy, ponieważ liczby zapisujemy za pomocą dziesięciu znaków, zwanych cyframi: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Przykład (wyjaśniający pojęcie pozycyjnego systemu dziesiątkowego):

img01
 

Każda z cyfr użyta w powyższej liczbie tworzy określoną wartość, która jest uzależniona od miejsca (pozycji), jaką zajmuje ta cyfra w zapisie utworzonej liczby.

Jeśli użyjemy dokładnie tych samych cyfr, z których zbudowana jest powyższa liczba, ale użyjemy ich w innej kolejności to otrzymamy całkiem inną liczbę (np. 935287, 728395).

Przestawienie kolejności cyfr zmienia wartość liczby, dlatego nasz system liczenia jest pozycyjny (ponieważ miejsce cyfry w zapisie liczby nadaje wartość tej liczbie), natomiast używanie dziesięciu cyfr do zapisu liczby powoduje, że nazywamy go dziesiątkowym systemem.
 

Liczbę z powyższego przykładu możemy zapisać też w następujący sposób:
$$3•1+9•10+5•100+7•1000+8•10000+2•100000= 287 593$$
 

Przykład (czytanie zapisanych liczb w pozycyjnym systemie dziesiątkowym):
  • 22 500 - czytamy: dwadzieścia dwa i pół tysiąca lub dwadzieścia dwa tysiące pięćset,
  • 1 675 241 - czytamy: milion sześćset siedemdziesiąt pięć tysięcy dwieście czterdzieści jeden.

  Ciekawostka

Pozycyjny system dziesiątkowy pochodzi prawdopodobnie z Indii (znany jest napis z 683 roku zawierający zapis liczby w systemie pozycyjnym z użyciem zera). Za pośrednictwem Arabów system ten oraz zero dotarły do Europy (stąd nazwa cyfry arabskie) i obecnie jest powszechnie używanym systemem liczbowym.

System rzymski

System rzymski jest systemem zapisywania liczb, który w przeciwieństwie do zapisu pozycyjnego, pozwala zapisać liczby przy pomocy znaków o zawsze ustalonej wartości.


W systemie rzymskim do zapisania liczby używamy zdecydowanie mniej znaków niż w systemie dziesiątkowym.

Za pomocą 7 znaków (liter) : I, V, X, L, C, D i M jesteśmy w stanie ułożyć każdą liczbę naturalną od 1 do 3999.

Do każdego znaku przypisano inną wartość. 

Wyróżniamy cyfry podstawowe:

  • I = 1
  • X = 10
  • C = 100
  • M = 1000 

oraz cyfry pomocnicze:

  • V = 5
  • L = 50 
  • D = 500


Zasady zapisywania liczb w systemie rzymskim
:

  1. Możemy zapisać maksymalnie 3 takie same cyfry podstawowe (czyli I, X, C, M) obok siebie.

    Cyfry pomocnicze (czyli V, L, D) nie mogą występować obok siebie.

    Przykłady:

    • VIII  `->`   `5+1+1+1=8` 

    • MMCCC  `->`   `1000+1000+100+100+100=2300` 

  2. W celu uproszczenia wielu zapisów dopuszcza się umieszczenie cyfry podstawowej o mniejszej wartości przed cyfrą o większej wartości.

    W takim jednak przypadku od wartości większej liczby odejmujemy wartość mniejszej liczby.

    Przykłady:

    • IX  `->`   `10-1=9` 

    • CD  `->`   `500-100=400` 

  3. Gdy liczby (znaki) są ustawione od największej do najmniejszej to wówczas dodajemy ich wartości.

    Przykłady:

    • MMDCLVII  `->`   `1000+1000+500+100+50+5+1+1=2657`   

    • CXXVII  `->`   `100+10+10+5+1+1=127`   

 

Ciekawostka

System rzymski pochodzi od wysoko rozwiniętej cywilizacji Etrusków (ok. 500 r. p.n.e.).

Początkowo zapisywano liczby za pomocą pionowych kresek I, II, III, IIII, IIIII, ... .

Rzymianie przejęli cyfry od Etrusków i poddali je pewnym modyfikacjom oraz udoskonaleniom, co dało początki dzisiaj znanemu systemowi rzymskiemu.

Cyfr rzymskich używano na terenie imperium aż do jego upadku w V w. n.e.

W średniowieczu stały się standardowym systemem liczbowym całej łacińskiej Europy. Pod koniec tej epoki zaczęto coraz częściej używać cyfr arabskich, prostszych i wygodniejszych do obliczeń oraz zapisywania dużych liczb.

System rzymski stopniowo wychodził z codziennego użycia, chociaż do dziś jest powszechnie znany w Europie i stosowany do wielu celów.

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Ile wynosi suma cyfr liczby 201? Wypisz wszystkie liczby trzycyfrowe, których suma cyfr jest równa 3.

201 -> suma cyfr: $$2+0+1=3$$

inne liczby trzycyfrowe, których suma cyfr jest równa 3: 102, 120, 111, 300, 210.

Zadanie 2.

Ile zer ma liczba $$100•1000•10•10000$$?

Zapiszmy daną liczbę w prostszej postaci, czyli wykonajmy mnożenie, które w tym przypadku polega na przepisaniu jedynki i dopisaniu tylu zer ile ich jest w sumie (czyli dziesięciu).
$$100•1000•10•10000=10000000000=10^{10}$$ -> 10 zer

Odp.: Dana liczba ma 10 zer.

Zadanie 3.

Zapisz cyframi liczby:

  1. osiem tysięcy sto czterdzieści pięć
  2. dwa miliony pięćset dziewięćdziesiąt dwa tysiące trzysta cztery
  3. milion osiem tysięcy dwa
  1. 8145
  2. 2592304
  3. 1008002

Zadanie 4.

Określ, który to wiek:

  1. 473 r.
  2. 1899 r.
  3. 201 r.
  1. V wiek
  2. XIX wiek
  3. III wiek

Zadanie 5.

Co to za liczba CMXXVII?

CMXXVII → -100+1000+10+10+5+1+1=927

Zadanie 6.

Zapisz cyframi rzymskimi liczbę 3727.

3727 -> MMMDCCXXVII

Zadanie 7.

Zapisz liczbę, której:

  1. Cyfrą setek jest 4, cyfrą dziesiątek jest 0, a cyfra jedności jest o 3 większa od cyfry setek,
  2. Cyfrą tysięcy jest 5, a każda z pozostałych cyfr tej liczby czterocyfrowej jest o 1 większa od poprzedniej.
  1. odp1
    Odp.: Szukana liczba to 407.

     
  2. odp2
    Odp.: Szukana liczba to 5678.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Zamień na godziny i minuty: ...

Przypomnienie:

1 godzina to 60 minut 

1 h = 60 min 



  

   


  

 


    

 


 

 

Oblicz, odpowiednio przestawiając i grupując...

a) 106+246+54+94=106+94+246+54=200+300=500

b) 123+208+777+132=123+777+208+132=900+340=1240

c) 250+80+20+50=250+50+80+20=300+100=400

d) 333+223+7+17=333+17+223+7= 350+230=580

e) 124+11+7+6+19+13=124+6+11+19+7+13=130+30+20=180

f) 36+78+31+12+9+4=36+4+78+12+31+9=40+90+40=170


*uwaga dodawania liczb jest łączne i przemienne

Pani Ania zarabia...

a) Kieszonkowe Ewy jest równe 35 zł, a Karola 70 zł.

Kieszonkowe Ewy jest 110 razy mniejsze niż pensja pani Ani, czyli 110 razy mniej niż 3850 zł. 
Kieszonkowe Karola jest 55 razy mniejsze niż pensja pani Ani, czyli 55 razy mniej niż 3850 zł. 

 

b) Pani Ania płaci za telefon 70 zł, a za prąd 175 zł.

Pani Ania płaci za telefon 10 razy mniej niż za mieszkanie, czyli 10 razy mniej niż 700 zł. 
Pani Ania płaci za prąd 4 razy mniej niż za mieszkanie, czyli 4 razy mniej niż 700 zł.

 

c) Za czynsz, telefon i prąd pani Ania płaci razem 945 zł.

Czynsz wynosi 700 zł. Koszt telefonu to 70 zł. Koszt prądu to 175 zł.  

 

Która suma jest większa? Wstaw w okienko znak > lub <.

a) 15+7=15+5+2=20+2=22

15+6=15+5+1=20+1=21

15+7>15+6

Można było także wstawić znak > bez rozwiązywania - po lewej stronie do 15 dodajemy 7, a po prawej tylko 6, więc wynik po lewej stronie będzie większy.

{premium}

b) 28+8=28+2+6=30+6=36

27+3=30

28+8>27+3

Można było także wstawić znak > bez rozwiązywania - po lewej stronie do większej liczby (28>27) dodajemy większą (8>3), więc lewa strona ma wartość większą od prawej.

Ile kwadratów jest na rysunku...

Zaznaczamy na rysunku różnymi kolorami 2 duże kwadraty: 

podglad pliku

Następnie zaznaczamy {premium}4 małe kwadraty:

podglad pliku

Na koniec zaznaczamy kolejne 2 duże kwadraty:

podglad pliku

I ostatnie 2 duże kwadraty:

podglad pliku

Łącznie na rysunku widzimy 10 kwadratów.

Odpowiedź: C. 10

Jedna działka ma kształt kwadratu ...

Działka I:

Działka ta ma kształt kwadratu o boku długości 34 m. 

Obliczamy, ile wynosi obwód tej działki. 

 


Działka II: 

Działka ta ma kształt prostokąta o bokach długości 25 m i 42 m. 

Obliczamy, ile wynosi obwód tej działki. 

 


 

Oznacza to, że więcej siatki potrzeba na ogrodzenie działki I. 


Obliczamy, o ile więcej metrów siatki potrzeba na ogrodzenie działki I.  


Odpowiedź: Więcej siatki, o 2 m, potrzeba na ogrodzenie kwadratowej działki o boku długości 34 m.   

Jakie liczby kryją się pod literami?

Odległość na osi między liczbami 548 i 712 wynosi: {premium}

 


Odległość między liczbami 548 i 712 wynosi 164. 

Odległość ta została podzielona na 2 równe części. Każda z tych części odpowiada odległości: 

 

Każdy odcinek na osi odpowiada odległości równej 82. 


A - jedna podziałka przed 548

 
  

B - jedna podziałka po 548

 
  

C - dwie podziałki za 712, dwie podziałki to 164 (obliczaliśmy to na początku zadania)

 
 

Król Jan III Sobieski odniósł ...

Bitwa pod Wiedniem miała miejsce w 1683 roku. 

Obecnie mamy 2017 rok. {premium}


Obliczamy, ile lat minęło od bitwy pod Wiedniem. 

Od bitwy pod Wiedniem minęły 334 lata. 

W klasie jest 27 uczniów. Chłopcy to 2/3 liczby uczniów tej klasy.

Chłopcy stanowią 2/3 liczby wszystkich uczniów, czyli 2/3 z 27. 


Odpowiedź: W klasie jest 18 chłopców. 

Ułóż zdanie, które można rozwiązać za pomocą...

Ola zbiera znaczki pocztowe. W swojej kolekcji ma już  Babcia obiecała{premium}

podarować dziewczynce  znaczków. Ile znaczków będzie miała wtedy Ola w swojej kolekcji?