System zapisywania liczb - 4-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Pozycyjny system dziesiątkowy

System liczenia, którego używamy jest pozycyjny i dziesiątkowy. Wyjaśnijmy co to oznacza:

  • pozycyjny, ponieważ liczbę przedstawia się jako ciąg cyfr, a wartość poszczególnych cyfr zależy od miejsca (pozycji), jakie zajmuje ta cyfra,
  • dziesiątkowy, ponieważ liczby zapisujemy za pomocą dziesięciu znaków, zwanych cyframi: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Przykład (wyjaśniający pojęcie pozycyjnego systemu dziesiątkowego):

img01
 

Każda z cyfr użyta w powyższej liczbie tworzy określoną wartość, która jest uzależniona od miejsca (pozycji), jaką zajmuje ta cyfra w zapisie utworzonej liczby.

Jeśli użyjemy dokładnie tych samych cyfr, z których zbudowana jest powyższa liczba, ale użyjemy ich w innej kolejności to otrzymamy całkiem inną liczbę (np. 935287, 728395).

Przestawienie kolejności cyfr zmienia wartość liczby, dlatego nasz system liczenia jest pozycyjny (ponieważ miejsce cyfry w zapisie liczby nadaje wartość tej liczbie), natomiast używanie dziesięciu cyfr do zapisu liczby powoduje, że nazywamy go dziesiątkowym systemem.
 

Liczbę z powyższego przykładu możemy zapisać też w następujący sposób:
$$3•1+9•10+5•100+7•1000+8•10000+2•100000= 287 593$$
 

Przykład (czytanie zapisanych liczb w pozycyjnym systemie dziesiątkowym):
  • 22 500 - czytamy: dwadzieścia dwa i pół tysiąca lub dwadzieścia dwa tysiące pięćset,
  • 1 675 241 - czytamy: milion sześćset siedemdziesiąt pięć tysięcy dwieście czterdzieści jeden.

  Ciekawostka

Pozycyjny system dziesiątkowy pochodzi prawdopodobnie z Indii (znany jest napis z 683 roku zawierający zapis liczby w systemie pozycyjnym z użyciem zera). Za pośrednictwem Arabów system ten oraz zero dotarły do Europy (stąd nazwa cyfry arabskie) i obecnie jest powszechnie używanym systemem liczbowym.

System rzymski

System rzymski jest systemem zapisywania liczb, który w przeciwieństwie do zapisu pozycyjnego, pozwala zapisać liczby przy pomocy znaków o zawsze ustalonej wartości.


W systemie rzymskim do zapisania liczby używamy zdecydowanie mniej znaków niż w systemie dziesiątkowym.

Za pomocą 7 znaków (liter) : I, V, X, L, C, D i M jesteśmy w stanie ułożyć każdą liczbę naturalną od 1 do 3999.

Do każdego znaku przypisano inną wartość. 

Wyróżniamy cyfry podstawowe:

  • I = 1
  • X = 10
  • C = 100
  • M = 1000 

oraz cyfry pomocnicze:

  • V = 5
  • L = 50 
  • D = 500


Zasady zapisywania liczb w systemie rzymskim
:

  1. Możemy zapisać maksymalnie 3 takie same cyfry podstawowe (czyli I, X, C, M) obok siebie.

    Cyfry pomocnicze (czyli V, L, D) nie mogą występować obok siebie.

    Przykłady:

    • VIII  `->`   `5+1+1+1=8` 

    • MMCCC  `->`   `1000+1000+100+100+100=2300` 

  2. W celu uproszczenia wielu zapisów dopuszcza się umieszczenie cyfry podstawowej o mniejszej wartości przed cyfrą o większej wartości.

    W takim jednak przypadku od wartości większej liczby odejmujemy wartość mniejszej liczby.

    Przykłady:

    • IX  `->`   `10-1=9` 

    • CD  `->`   `500-100=400` 

  3. Gdy liczby (znaki) są ustawione od największej do najmniejszej to wówczas dodajemy ich wartości.

    Przykłady:

    • MMDCLVII  `->`   `1000+1000+500+100+50+5+1+1=2657`   

    • CXXVII  `->`   `100+10+10+5+1+1=127`   

 

Ciekawostka

System rzymski pochodzi od wysoko rozwiniętej cywilizacji Etrusków (ok. 500 r. p.n.e.).

Początkowo zapisywano liczby za pomocą pionowych kresek I, II, III, IIII, IIIII, ... .

Rzymianie przejęli cyfry od Etrusków i poddali je pewnym modyfikacjom oraz udoskonaleniom, co dało początki dzisiaj znanemu systemowi rzymskiemu.

Cyfr rzymskich używano na terenie imperium aż do jego upadku w V w. n.e.

W średniowieczu stały się standardowym systemem liczbowym całej łacińskiej Europy. Pod koniec tej epoki zaczęto coraz częściej używać cyfr arabskich, prostszych i wygodniejszych do obliczeń oraz zapisywania dużych liczb.

System rzymski stopniowo wychodził z codziennego użycia, chociaż do dziś jest powszechnie znany w Europie i stosowany do wielu celów.

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Ile wynosi suma cyfr liczby 201? Wypisz wszystkie liczby trzycyfrowe, których suma cyfr jest równa 3.

201 -> suma cyfr: $$2+0+1=3$$

inne liczby trzycyfrowe, których suma cyfr jest równa 3: 102, 120, 111, 300, 210.

Zadanie 2.

Ile zer ma liczba $$100•1000•10•10000$$?

Zapiszmy daną liczbę w prostszej postaci, czyli wykonajmy mnożenie, które w tym przypadku polega na przepisaniu jedynki i dopisaniu tylu zer ile ich jest w sumie (czyli dziesięciu).
$$100•1000•10•10000=10000000000=10^{10}$$ -> 10 zer

Odp.: Dana liczba ma 10 zer.

Zadanie 3.

Zapisz cyframi liczby:

  1. osiem tysięcy sto czterdzieści pięć
  2. dwa miliony pięćset dziewięćdziesiąt dwa tysiące trzysta cztery
  3. milion osiem tysięcy dwa
  1. 8145
  2. 2592304
  3. 1008002

Zadanie 4.

Określ, który to wiek:

  1. 473 r.
  2. 1899 r.
  3. 201 r.
  1. V wiek
  2. XIX wiek
  3. III wiek

Zadanie 5.

Co to za liczba CMXXVII?

CMXXVII → -100+1000+10+10+5+1+1=927

Zadanie 6.

Zapisz cyframi rzymskimi liczbę 3727.

3727 -> MMMDCCXXVII

Zadanie 7.

Zapisz liczbę, której:

  1. Cyfrą setek jest 4, cyfrą dziesiątek jest 0, a cyfra jedności jest o 3 większa od cyfry setek,
  2. Cyfrą tysięcy jest 5, a każda z pozostałych cyfr tej liczby czterocyfrowej jest o 1 większa od poprzedniej.
  1. odp1
    Odp.: Szukana liczba to 407.

     
  2. odp2
    Odp.: Szukana liczba to 5678.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Uzupełnij:

 

 

Zapisz wynik w postaci...

Zapisujemy w postaci ułamka dziesiętnego:

a)  {premium}

b)  

c)  

d)  

Wpisz znak...

Oblicz sposobem pisemnym...

Wpisz w okienka właściwe znaki:...

489 < 498 (liczby mają tyle samo cyfr i cyfra setek jest taka sama, zatem porównujemy cyfry dziesiątek) {premium}

17845 < 18745 (liczby mają tyle samo cyfr i cyfra dziesiątek tysięcy jest taka sama, zatem porównujemy cyfry tysięcy)

30000 > 9000 (pierwsza liczba jest dodatnia i ma więcej cyfr 30 tys.>9 tys.)

111111 > 22222 ( pierwsza liczba jest dodatnia i ma więcej cyfr 111 tys. > 22 tys.)

Wypisz nazwy działań w kolejności, w jakiej należy je wykonać...

 

działania należy wykonać w następującej kolejności:

dzielenie liczby 18 przez 6

dodawanie liczb 3 i wyniku dzielenia liczb 18 i 6

mnożenie liczby 8 przez sumę liczb 3 i wyniku dzielenia liczb 18 i 6
{premium}

 

działania należy wykonać w następującej kolejności:

dodawanie liczb 4 i 6

mnożenie liczby 5 przez sumę liczb 4 i 6

odejmowanie liczb 57 i wyniku mnożenia liczby 5 przez sumę liczb 4 i 6


 

działania należy wykonać w następującej kolejności:

dzielenie liczby 50 przez 10

odejmowanie liczb 8 i ilorazu liczb 50 i 10

mnożenie różnicy liczb 8 i ilorazu liczb 50 i 10 oraz liczby 12

dodawanie iloczynu różnicy liczb 8 i ilorazu liczb 50 i 10 oraz liczby 12 i liczby 30


 

działania należy wykonać w następującej kolejności:

dzielenie liczby 56 przez 7

dodawanie ilorazu liczb 56 i 7 oraz liczby 3

mnożenie sumy ilorazu liczb 56 i 7 oraz liczby 3 przez liczbę 4

odejmowanie iloczynu sumy ilorazu liczb 56 i 7 oraz liczby 3 przez liczbę 4 i liczby 12



Zapisz za pomocą cyfr...

a) 7 220

b) 28 400

c) 502 316

 

Zmierz każdy odcinek linijką...

{premium}

 

 

Zgadnij wynik dzielenia i sprawdź go za pomocą mnożenia

{premium}

 

 

 

 

 

 

 

Oblicz: