Prostopadłościany i sześciany - 4-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Prostopadłościany i sześciany - 4-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Prostopadłościan i sześcian

Prostopadłościan to figura przestrzenna, której kształt przypomina pudełko lub akwarium.

Prostopadłościan

  • Każda ściana prostopadłościanu jest prostokątem.

  • Każdy prostopadłościan ma 6 ścian, 8 wierzchołków i 12 krawędzi.

  • Dwie ściany mające wspólną krawędź nazywamy prostopadłymi.

  • Dwie ściany, które nie mają wspólnej krawędzi, nazywamy równoległymi.

  • Każda ściana jest prostopadła do czterech ścian oraz równoległa do jednej ściany.


Z każdego wierzchołka wychodzą trzy krawędzie – jedną nazywamy długością, drugą – szerokością, trzecią – wysokością prostopadłościanu i oznaczamy je odpowiednio literami a, b, c.

Długości tych krawędzi nazywamy wymiarami prostopadłościanu.

a – długość prostopadłościanu, b – szerokość prostopadłościanu, c - wysokość prostopadłościanu.


Prostopadłościan, którego wszystkie ściany są jednakowymi kwadratami nazywamy sześcianem.

Wszystkie krawędzie sześcianu mają jednakową długość.

kwadrat

a - długość krawędzi sześcianu

Siatka prostopadłościanu

Po rozcięciu powierzchni prostopadłościanu wzdłuż kilku krawędzi i rozłożeniu go na powierzchnię płaską powstanie jego siatka. Jest to wielokąt złożony z prostokątów, czyli ścian graniastosłupa. Ten sam prostopadłościan może mieć kilka siatek.

Siatka prosopadłościanu

Pole powierzchni prostopadłościanu

Pole powierzchni prostopadłościanu to suma pól wszystkich jego ścian.

$P_p$ -> pole powierzchni

Pole powierzchni prostopadłościanu
 

Każdy prostopadłościan ma 3 pary takich samych ścian.

Pole powierzchni oblicza się z poniższego wzoru, gdzie $P_1$, $P_2$ i $P_3$ to pola ścian prostopadłościanu.

$P_p=2•P_1+2•P_2+2•P_3$

Wzór na pole powierzchni prostopadłościanu możemy zapisać w następującej postaci:
$P_p = 2•a•b + 2•b•c + 2•a•c$ (a,b,c - wymiary prostopadłościanu)
 

  Zapamiętaj

Sześcian ma sześć jednakowych ścian, więc pole jego powierzchni oblicza się ze wzoru: $P_p=6•P$, gdzie P oznacza pole jednej ściany tego sześcianu. Natomiast wzór na pole powierzchni sześcianu możemy zapisać w następującej postaci: $P_p = 6•a•a = 6•a^2$ (a - bok sześcianu).

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Z drutu o długości 60 cm wykonano szkielet sześcianu. Jaką długość ma jedna krawędź sześcianu?

12 -> ilość krawędzi w sześcianie

$60÷12=5 cm$ -> długość jednej krawędzi

Odp.: Jedna krawędź tego sześcianu ma 5cm.

Zadanie 2.

Marek zbudował szkielet prostopadłościanu z zapałek o długościach 10 cm, 3 cm i 6 cm. Jaką długość mają w sumie wszystkie krawędzie tego prostopadłościanu?

Każdy prostopadłościan ma po 4 krawędzie o długości jednej z trzech wymiarów.

$4•10+4•3+4•6=40+12+24=76 cm $

Odp.: Suma długości wszystkich krawędzi tego prostopadłościanu wynosi $76 cm$.

Zadanie 3.

Oblicz pole powierzchni całkowitej sześcianu o długości krawędzi:

  1. 8 cm
  2. 4 m
  3. 9 km

$P_p=6•P_{ściany}$

  1. $ 8^2•6=64•6=384 cm^2 $
  2. $ 4^2•6=16•6=96 m^2 $
  3. $ 9^2•6=81•6=486 km^2 $

Zadanie 4.

Jaką długość krawędzi ma sześcian o polu powierzchni 486 $cm^2$?

$486÷6=81 cm^2$ -> pole jednej ściany (dzielimy pole powierzchni sześcianu przez ilość ścian sześcianu)

$a^2=81$ -> $a=9 cm$

Odp.: Długość krawędzi tego sześcianu wynosi 9cm.

Zadanie 5.

Oblicz pole powierzchni prostopadłościanu o wymiarach 7 dm, 3 dm i 1 dm.

Ściany tego prostopadłościanu:

  • 2 ściany o wymiarach 7 dm i 3 dm;
  • 2 ściany o wymiarach 3 dm i 1 dm;
  • 2 ściany o wymiarach 7 dm i 1 dm.
$P_p=2•(7•3)+2•(3•1)+2•(7•1)=2•21+2•3+2•7=42+6+14=62 dm^2 $

Odp.: Pole powierzchni tego prostopadłościanu wynosi 62 $dm^2$.

Zadanie 6.

Jakie pole powierzchni ma sześcian, którego suma krawędzi wynosi 48 cm?

Sześcian ma w sumie 12 krawędzi, zatem możemy zapisać:

$12a=48$ -> $a=4 cm$ -> długość jednej krawędzi sześcianu

Możemy więc policzyć pole sześcianu:

$P_p=6•a^2=6•16=96 cm^2$

Odp.: Pole powierzchni tego sześcianu wynosi 96 $cm^2$.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Oblicz sprytnie

{premium}

Jakie cyfry ...

Gwiazdka: 7+8=15 więc, jako gwiazdka została zapisana cyfra 5 

Serduszko: od 6 " zapożyczamy się " dla gwiazdki, zatem zostaje 5, 5-1=4, jako serduszko została zapisana cyfra

sprawdzenie:

3465-2547=918

Odp. A 

Narysuj cztery różne figury...

UWAGA! Zadanie ma wiele rozwiązań, poniżej przedstawiono przykładowe rozwiązania.

a) figury o obwodzie 12 cm:

podglad pliku

podglad pliku{premium}

podglad pliku

podglad pliku

b) figury o polu 12 cm2:

podglad pliku

podglad pliku

podglad pliku

podglad pliku

Jaką cyfrę można wstawić w miejsce O, a jaką w miejsce

a) Cyfra jedności musi być równa 0, 2, 4, 6 lub 8. W miejsce   należy wstawić: 0, 2, 4, 6 lub 8. {premium}


b) Cyfra jedności musi być równa 0, 2, 4, 6 lub 8. W miejsce   należy wstawić: 0, 2, 4, 6 lub 8. 

Jeśli w miejsce   wstawimy jedną z podanych wyżej liczb, to nasza liczba będzie na pewno parzysta. 

Oznacza to, że w miejsce    możemy wstawić dowolną cyfrę, czyli: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 lub 9. 


c) Cyfra jedności podanej liczby wynosi 8, czyli liczba ta jest parzysta. 

Oznacza to, że w miejsce   możemy wstawić dowolną cyfrę, czyli: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 lub 9. 

Lekarz przepisał Mateuszowi lekarstwo

16+8=24.

ODP: Następną tabletkę Mateusz musi {premium}zażyć o północy. 

 

  • Ile tabletek Mateusz zażywa każdego dnia?
    Doba ma 24 godziny, więc Mateusz codziennie musi zażyć 24:8=3 tabletki. 

  • Na ile dni wystarczy Mateuszowi tabletek?
    Skoro codziennie zażywa 3 tabletki, a w opakowaniu są 24 tabletki, to wystarczy ich na 24:3=8 dni. 
Pewna liczba dwucyfrowa jest podzielna przez 9...

Liczba jest podzielna przez 9 jeśli suma jej cyfr jest podzielna przez 9

Liczba dwucyfrowa jest podzielna przez 9 jeśli suma jej cyfr wynosi 9 lub 18

zauważmy, że suma cyfr liczby dwucyfrowej wynosi 18 jeśli liczba ta jest równa 99
{premium}
wiemy, że liczba, której szukamy ma cyfrę dziesiątek o 1 większą od cyfry jedności

zatem może być to jedna z liczb: 10, 21, 32, 43, 54, 65, 76, 87, 98 ta, której suma cyfr wynosi 9

obliczmy sumy cyfr tych liczb:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

suma cyfr liczby 54 wynosi 9


Odp.: Szukana liczba to 54.

Zaznacz na ...

Rozwiązanie przedstawiono na rysunku: {premium}

Zaznacz na osi ...

Rozwiązanie przedstawiono na rysunku: {premium}

W miejsce wpisz taką cyfrę, aby otrzymana liczba była podzielna przez 100

Liczba dzieli się przez 100 jeśli jej cyfrą jedności i dziesiątek jest zero, zatem:{premium}


a)3800

b)1500 (pierwsza dowolna od 1 do 9)

c)3200

Zapisz za pomocą...

a) kolejno od góry do dołu:{premium}

0,7

0,6

0,7

b) 0,70 = 0,7