Prostopadłościany i sześciany - 4-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Prostopadłościan i sześcian

Prostopadłościan to figura przestrzenna, której kształt przypomina pudełko lub akwarium.

Prostopadłościan

  • Każda ściana prostopadłościanu jest prostokątem.

  • Każdy prostopadłościan ma 6 ścian, 8 wierzchołków i 12 krawędzi.

  • Dwie ściany mające wspólną krawędź nazywamy prostopadłymi.

  • Dwie ściany, które nie mają wspólnej krawędzi, nazywamy równoległymi.

  • Każda ściana jest prostopadła do czterech ścian oraz równoległa do jednej ściany.


Z każdego wierzchołka wychodzą trzy krawędzie – jedną nazywamy długością, drugą – szerokością, trzecią – wysokością prostopadłościanu i oznaczamy je odpowiednio literami a, b, c.

Długości tych krawędzi nazywamy wymiarami prostopadłościanu.

a – długość prostopadłościanu, b – szerokość prostopadłościanu, c - wysokość prostopadłościanu.


Prostopadłościan, którego wszystkie ściany są jednakowymi kwadratami nazywamy sześcianem.

Wszystkie krawędzie sześcianu mają jednakową długość.

kwadrat

a - długość krawędzi sześcianu

Siatka prostopadłościanu

Po rozcięciu powierzchni prostopadłościanu wzdłuż kilku krawędzi i rozłożeniu go na powierzchnię płaską powstanie jego siatka. Jest to wielokąt złożony z prostokątów, czyli ścian graniastosłupa. Ten sam prostopadłościan może mieć kilka siatek.

Siatka prosopadłościanu

Pole powierzchni prostopadłościanu

Pole powierzchni prostopadłościanu to suma pól wszystkich jego ścian.

$$P_p$$ -> pole powierzchni

Pole powierzchni prostopadłościanu
 

Każdy prostopadłościan ma 3 pary takich samych ścian.

Pole powierzchni oblicza się z poniższego wzoru, gdzie $$P_1$$, $$P_2$$ i $$P_3$$ to pola ścian prostopadłościanu.

$$P_p=2•P_1+2•P_2+2•P_3$$

Wzór na pole powierzchni prostopadłościanu możemy zapisać w następującej postaci:
$$P_p = 2•a•b + 2•b•c + 2•a•c$$ (a,b,c - wymiary prostopadłościanu)
 

  Zapamiętaj

Sześcian ma sześć jednakowych ścian, więc pole jego powierzchni oblicza się ze wzoru: $$P_p=6•P$$, gdzie P oznacza pole jednej ściany tego sześcianu. Natomiast wzór na pole powierzchni sześcianu możemy zapisać w następującej postaci: $$P_p = 6•a•a = 6•a^2$$ (a - bok sześcianu).

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Z drutu o długości 60 cm wykonano szkielet sześcianu. Jaką długość ma jedna krawędź sześcianu?

12 -> ilość krawędzi w sześcianie

$$60÷12=5 cm$$ -> długość jednej krawędzi

Odp.: Jedna krawędź tego sześcianu ma 5cm.

Zadanie 2.

Marek zbudował szkielet prostopadłościanu z zapałek o długościach 10 cm, 3 cm i 6 cm. Jaką długość mają w sumie wszystkie krawędzie tego prostopadłościanu?

Każdy prostopadłościan ma po 4 krawędzie o długości jednej z trzech wymiarów.

$$4•10+4•3+4•6=40+12+24=76 cm $$

Odp.: Suma długości wszystkich krawędzi tego prostopadłościanu wynosi $$76 cm$$.

Zadanie 3.

Oblicz pole powierzchni całkowitej sześcianu o długości krawędzi:

  1. 8 cm
  2. 4 m
  3. 9 km

$$P_p=6•P_{ściany}$$

  1. $$ 8^2•6=64•6=384 cm^2 $$
  2. $$ 4^2•6=16•6=96 m^2 $$
  3. $$ 9^2•6=81•6=486 km^2 $$

Zadanie 4.

Jaką długość krawędzi ma sześcian o polu powierzchni 486 $$cm^2$$?

$$486÷6=81 cm^2$$ -> pole jednej ściany (dzielimy pole powierzchni sześcianu przez ilość ścian sześcianu)

$$a^2=81$$ -> $$a=9 cm$$

Odp.: Długość krawędzi tego sześcianu wynosi 9cm.

Zadanie 5.

Oblicz pole powierzchni prostopadłościanu o wymiarach 7 dm, 3 dm i 1 dm.

Ściany tego prostopadłościanu:

  • 2 ściany o wymiarach 7 dm i 3 dm;
  • 2 ściany o wymiarach 3 dm i 1 dm;
  • 2 ściany o wymiarach 7 dm i 1 dm.
$$P_p=2•(7•3)+2•(3•1)+2•(7•1)=2•21+2•3+2•7=42+6+14=62 dm^2 $$

Odp.: Pole powierzchni tego prostopadłościanu wynosi 62 $$dm^2$$.

Zadanie 6.

Jakie pole powierzchni ma sześcian, którego suma krawędzi wynosi 48 cm?

Sześcian ma w sumie 12 krawędzi, zatem możemy zapisać:

$$12a=48$$ -> $$a=4 cm$$ -> długość jednej krawędzi sześcianu

Możemy więc policzyć pole sześcianu:

$$P_p=6•a^2=6•16=96 cm^2$$

Odp.: Pole powierzchni tego sześcianu wynosi 96 $$cm^2$$.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Zapisz w postaci...

 

 

Wstaw między liczby odpowiedni znak: > lub <

a)

{premium}

b)

c)

 

Połącz w pary każdą z figurę z jej opisem.

A. II 

B. I

C. IV

D. III

E. VI

Uzupełnij tabelkę.

 

Długość prostokąta

7 cm

12 cm

8 mm

3 cm

10 m

20cm

Szerokość prostokąta

13 cm

1 dm

8 mm

21 cm

100 m

10 cm

Pole prostokąta

91cm²

120cm²

64 mm²

63 cm²

1000m²

200cm²

Obwód prostokąta

40cm

44cm

32mm

48cm

220m

60 cm

Pierwszy prostokąt: 

 

Drugi prostokąt: 

 

Trzeci prostokąt: 

 

Czwarty prostokąt: 

 

Piąty prostokąt:

 

Szósty prostokąt:

 

 

 

Na podstawie rysunku wskaż poprawne...

Punkt P ma współrzędną 27 ponieważ współrzędne sąsiednich punktów różnią się o 3.

Odp. C

Uzupełnij tabelkę.

 

Dzielna Dzielnik Iloraz  Obliczenia Sprawdzenie
45 9 5 45:9=5  
48 6 8 48:6=8  
0 14 0 0:14=0  
36  3 12 36:3=12  
55 11 5 55:11=5  

 

Urząd miasta wysłał w 2016 r. 572 ...

Urząd wysłał 572 listy krajowe. 1 znaczek na list krajowy kosztował 2 zł. 

Obliczamy, ile kosztowały wszystkie znaczki na listy krajowe. 

Znaczki na listy krajowe kosztowały 1144 zł. 


Urząd wysłał również 153 listy zagraniczne. 1 znaczek na list zagraniczny kosztował 5 zł. 

Obliczamy, ile kosztowały wszystkie znaczki na listy zagraniczne.

Znaczki na listy zagraniczne kosztowały 765 zł. 


Obliczamy, ile łącznie zapłacono za znaczki na listy krajowe i zagraniczne. 

Za znaczki zapłacono łącznie 1909 zł. 

Odpowiedź: Znaczki kosztowały 1909 zł. 

Pokoloruj wskazane części figur i wstaw znak > lub <.



*Większy jest ten ułamek, gdzie zamalowano więcej części tej samej figury

Jaką liczbę można wstawić...

a) Jeżeli ułamki mają takie same mianowniki to mniejszy będzie ten, który ma mniejszy licznik. W miejsce gwiazdki możemy więc wstawić no. 3, 2, 1 lub 0.{premium}

b) Jeżeli ułamki mają takie same liczniki to większy będzie ten, który ma mniejszy mianownik. W miejsce gwiazdki możemy wstawić: 3, 2 lub 1. 

c) W miejsce gwiazdki możemy wstawić np. 5, 6, 7, 8 itd. 

Mama ugotowała 34 pierogi z jagodami...

Mama ugotowała 34 pierogi i rozdzieliła je po równo między pięcioro dzieci, a resztę wzięła dla siebie, zatem:

 

mama dała każdemu dziecku po 6 pierogów, a pozostałe 4 wzięła dla siebie

gdyby mama dała każdemu dziecku po 5 pierogów, to dla niej zostałoby 9,

 

co jest niezgodne  z treścią zadania, gdyż wiemy, że dla mamy zostało mniej pierogów niż zjadło każde dziecko:



Odp. Każde dziecko otrzymało po 5 pierogów dla mamy zostały 4 pierogi.