Prostopadłościany i sześciany - 4-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Prostopadłościan i sześcian

Prostopadłościan to figura przestrzenna, której kształt przypomina pudełko lub akwarium.

Prostopadłościan

  • Każda ściana prostopadłościanu jest prostokątem.

  • Każdy prostopadłościan ma 6 ścian, 8 wierzchołków i 12 krawędzi.

  • Dwie ściany mające wspólną krawędź nazywamy prostopadłymi.

  • Dwie ściany, które nie mają wspólnej krawędzi, nazywamy równoległymi.

  • Każda ściana jest prostopadła do czterech ścian oraz równoległa do jednej ściany.


Z każdego wierzchołka wychodzą trzy krawędzie – jedną nazywamy długością, drugą – szerokością, trzecią – wysokością prostopadłościanu i oznaczamy je odpowiednio literami a, b, c.

Długości tych krawędzi nazywamy wymiarami prostopadłościanu.

a – długość prostopadłościanu, b – szerokość prostopadłościanu, c - wysokość prostopadłościanu.


Prostopadłościan, którego wszystkie ściany są jednakowymi kwadratami nazywamy sześcianem.

Wszystkie krawędzie sześcianu mają jednakową długość.

kwadrat

a - długość krawędzi sześcianu

Siatka prostopadłościanu

Po rozcięciu powierzchni prostopadłościanu wzdłuż kilku krawędzi i rozłożeniu go na powierzchnię płaską powstanie jego siatka. Jest to wielokąt złożony z prostokątów, czyli ścian graniastosłupa. Ten sam prostopadłościan może mieć kilka siatek.

Siatka prosopadłościanu

Pole powierzchni prostopadłościanu

Pole powierzchni prostopadłościanu to suma pól wszystkich jego ścian.

$$P_p$$ -> pole powierzchni

Pole powierzchni prostopadłościanu
 

Każdy prostopadłościan ma 3 pary takich samych ścian.

Pole powierzchni oblicza się z poniższego wzoru, gdzie $$P_1$$, $$P_2$$ i $$P_3$$ to pola ścian prostopadłościanu.

$$P_p=2•P_1+2•P_2+2•P_3$$

Wzór na pole powierzchni prostopadłościanu możemy zapisać w następującej postaci:
$$P_p = 2•a•b + 2•b•c + 2•a•c$$ (a,b,c - wymiary prostopadłościanu)
 

  Zapamiętaj

Sześcian ma sześć jednakowych ścian, więc pole jego powierzchni oblicza się ze wzoru: $$P_p=6•P$$, gdzie P oznacza pole jednej ściany tego sześcianu. Natomiast wzór na pole powierzchni sześcianu możemy zapisać w następującej postaci: $$P_p = 6•a•a = 6•a^2$$ (a - bok sześcianu).

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Z drutu o długości 60 cm wykonano szkielet sześcianu. Jaką długość ma jedna krawędź sześcianu?

12 -> ilość krawędzi w sześcianie

$$60÷12=5 cm$$ -> długość jednej krawędzi

Odp.: Jedna krawędź tego sześcianu ma 5cm.

Zadanie 2.

Marek zbudował szkielet prostopadłościanu z zapałek o długościach 10 cm, 3 cm i 6 cm. Jaką długość mają w sumie wszystkie krawędzie tego prostopadłościanu?

Każdy prostopadłościan ma po 4 krawędzie o długości jednej z trzech wymiarów.

$$4•10+4•3+4•6=40+12+24=76 cm $$

Odp.: Suma długości wszystkich krawędzi tego prostopadłościanu wynosi $$76 cm$$.

Zadanie 3.

Oblicz pole powierzchni całkowitej sześcianu o długości krawędzi:

  1. 8 cm
  2. 4 m
  3. 9 km

$$P_p=6•P_{ściany}$$

  1. $$ 8^2•6=64•6=384 cm^2 $$
  2. $$ 4^2•6=16•6=96 m^2 $$
  3. $$ 9^2•6=81•6=486 km^2 $$

Zadanie 4.

Jaką długość krawędzi ma sześcian o polu powierzchni 486 $$cm^2$$?

$$486÷6=81 cm^2$$ -> pole jednej ściany (dzielimy pole powierzchni sześcianu przez ilość ścian sześcianu)

$$a^2=81$$ -> $$a=9 cm$$

Odp.: Długość krawędzi tego sześcianu wynosi 9cm.

Zadanie 5.

Oblicz pole powierzchni prostopadłościanu o wymiarach 7 dm, 3 dm i 1 dm.

Ściany tego prostopadłościanu:

  • 2 ściany o wymiarach 7 dm i 3 dm;
  • 2 ściany o wymiarach 3 dm i 1 dm;
  • 2 ściany o wymiarach 7 dm i 1 dm.
$$P_p=2•(7•3)+2•(3•1)+2•(7•1)=2•21+2•3+2•7=42+6+14=62 dm^2 $$

Odp.: Pole powierzchni tego prostopadłościanu wynosi 62 $$dm^2$$.

Zadanie 6.

Jakie pole powierzchni ma sześcian, którego suma krawędzi wynosi 48 cm?

Sześcian ma w sumie 12 krawędzi, zatem możemy zapisać:

$$12a=48$$ -> $$a=4 cm$$ -> długość jednej krawędzi sześcianu

Możemy więc policzyć pole sześcianu:

$$P_p=6•a^2=6•16=96 cm^2$$

Odp.: Pole powierzchni tego sześcianu wynosi 96 $$cm^2$$.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Marek i Wojtek dostali...

Więcej odłożył Marek ponieważ mniej wydał. 

Narysuj na gładkim papierze ...

Zapisz w postaci ułamka...

a) 2,2, 13,3, 0,8{premium}

b) 5,50, 0,45, 140,02

c) 15,213, 2,200, 40,040, 0,009

W firmie HURT w maju za rozmowy ...

Za rozmowy z telefonu stacjonarnego zapłacono 248 zł. 

Za rozmowy z telefonu komórkowego zapłacono o 486,80 zł więcej. 

Obliczamy, ile zapłacono za rozmowy z telefonu komórkowego. 

Za rozmowy z telefonu komórkowego zapłacono 734,80 zł. 


Obliczamy, ile zapłacono za rozmowy z obydwu telefonów. 


Odpowiedź: Za rozmowy z obydwu telefonów zapłacono 982,80 zł. 

Słoń indyjski potrzebuje dziennie 150 kg pożywienia...

Obliczam ile kg zjada słoń w 30 dni :{premium}`150*30=4500 \ "[kg]"`

Odp. W czasie 30 dni słoń zjada 4500 kg.

Wstaw znak...

{premium}

Podaj dwa różne...

Podajemy przykłady dzielenia, których wynikiem jest liczba  :

 {premium}

  

 

Boisko do piłki nożnej powinno...

Dane:

 

 

 

 

Szukane:

 

Rozwiązanie:

Obliczamy powierzchnię najmniejszego boiska piłkarskiego:

 {premium}

Obliczamy powierzchnię największego boiska piłkarskiego:

  

Odpowiedź: Najmniejsze boisko piłkarskie ma powierzchnię 10 800 m2, a największe - 4 050 m2

W którym wieku powstał każdy z wymienionych wynalazków?

Papier, 105 r. - II wiek{premium}

Bateria elektryczna, 1800 r. - XVIII wiek

Luneta, 1608 r. - XVII wiek

Komputer Apple, 1983 r. - XX wiek

Telefon, 1876 r. - XIX wiek

Mikroskop, 1590 r. - XVI wiek

Prasa drukarska, 1455 r. - XV wiek

Kompas magnetyczny, 1088 r. - XI wiek

Ułóż z zapałek taką figurę...

Rysujemy figurę:

podglad pliku {premium}

Zmieniamy położenie 3 zapałek tak, aby powstały cztery trójkąty:

podglad pliku