Prostopadłościany i sześciany - 4-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Prostopadłościan

Prostopadłościan to figura przestrzenna, której kształt przypomina pudełko lub akwarium.

Prostopadłościan

  • Każda ściana prostopadłościanu jest prostokątem.
  • Każdy prostopadłościan ma 6 ścian - 4 ściany boczne i 2 podstawy, 8 wierzchołków i 12 krawędzi.
  • Dwie ściany mające wspólną krawędź nazywamy prostopadłymi.
  • Dwie ściany, które nie mają wspólnej krawędzi, nazywamy równoległymi.
  • Każda ściana jest prostopadła do czterech ścian oraz równoległa do jednej ściany.

Z każdego wierzchołka wychodzą trzy krawędzie – jedną nazywamy długością, drugą – szerokością, trzecią – wysokością prostopadłościanu i oznaczamy je odpowiednio literami a, b, c. Długości tych krawędzi nazywamy wymiarami prostopadłościanu.

Prostopadłościan - długości

a – długość prostopadłościanu, b – szerokość prostopadłościanu, c - wysokość prostopadłościanu.

Prostopadłościan, którego wszystkie ściany są kwadratami nazywamy sześcianem.Wszystkie krawędzie sześcianu mają jednakową długość.

kwadrat

Siatka prostopadłościanu

Po rozcięciu powierzchni prostopadłościanu wzdłuż kilku krawędzi i rozłożeniu go na powierzchnię płaską powstanie jego siatka. Jest to wielokąt złożony z prostokątów, czyli ścian graniastosłupa. Ten sam prostopadłościan może mieć kilka siatek.

Siatka prosopadłościanu

Pole powierzchni prostopadłościanu

Pole powierzchni prostopadłościanu to suma pól wszystkich jego ścian.

$$P_p$$ -> pole powierzchni

Pole powierzchni prostopadłościanu
 

Każdy prostopadłościan ma 3 pary takich samych ścian.

Pole powierzchni oblicza się z poniższego wzoru, gdzie $$P_1$$, $$P_2$$ i $$P_3$$ to pola ścian prostopadłościanu.

$$P_p=2•P_1+2•P_2+2•P_3$$

Wzór na pole powierzchni prostopadłościanu możemy zapisać w następującej postaci:
$$P_p = 2•a•b + 2•b•c + 2•a•c$$ (a,b,c - wymiary prostopadłościanu)
 

  Zapamiętaj

Sześcian ma sześć jednakowych ścian, więc pole jego powierzchni oblicza się ze wzoru: $$P_p=6•P$$, gdzie P oznacza pole jednej ściany tego sześcianu. Natomiast wzór na pole powierzchni sześcianu możemy zapisać w następującej postaci: $$P_p = 6•a•a = 6•a^2$$ (a - bok sześcianu).

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Z drutu o długości 60 cm wykonano szkielet sześcianu. Jaką długość ma jedna krawędź sześcianu?

12 -> ilość krawędzi w sześcianie

$$60÷12=5 cm$$ -> długość jednej krawędzi

Odp.: Jedna krawędź tego sześcianu ma 5cm.

Zadanie 2.

Marek zbudował szkielet prostopadłościanu z zapałek o długościach 10 cm, 3 cm i 6 cm. Jaką długość mają w sumie wszystkie krawędzie tego prostopadłościanu?

Każdy prostopadłościan ma po 4 krawędzie o długości jednej z trzech wymiarów.

$$4•10+4•3+4•6=40+12+24=76 cm $$

Odp.: Suma długości wszystkich krawędzi tego prostopadłościanu wynosi $$76 cm$$.

Zadanie 3.

Oblicz pole powierzchni całkowitej sześcianu o długości krawędzi:

  1. 8 cm
  2. 4 m
  3. 9 km

$$P_p=6•P_{ściany}$$

  1. $$ 8^2•6=64•6=384 cm^2 $$
  2. $$ 4^2•6=16•6=96 m^2 $$
  3. $$ 9^2•6=81•6=486 km^2 $$

Zadanie 4.

Jaką długość krawędzi ma sześcian o polu powierzchni 486 $$cm^2$$?

$$486÷6=81 cm^2$$ -> pole jednej ściany (dzielimy pole powierzchni sześcianu przez ilość ścian sześcianu)

$$a^2=81$$ -> $$a=9 cm$$

Odp.: Długość krawędzi tego sześcianu wynosi 9cm.

Zadanie 5.

Oblicz pole powierzchni prostopadłościanu o wymiarach 7 dm, 3 dm i 1 dm.

Ściany tego prostopadłościanu:

  • 2 ściany o wymiarach 7 dm i 3 dm;
  • 2 ściany o wymiarach 3 dm i 1 dm;
  • 2 ściany o wymiarach 7 dm i 1 dm.
$$P_p=2•(7•3)+2•(3•1)+2•(7•1)=2•21+2•3+2•7=42+6+14=62 dm^2 $$

Odp.: Pole powierzchni tego prostopadłościanu wynosi 62 $$dm^2$$.

Zadanie 6.

Jakie pole powierzchni ma sześcian, którego suma krawędzi wynosi 48 cm?

Sześcian ma w sumie 12 krawędzi, zatem możemy zapisać:

$$12a=48$$ -> $$a=4 cm$$ -> długość jednej krawędzi sześcianu

Możemy więc policzyć pole sześcianu:

$$P_p=6•a^2=6•16=96 cm^2$$

Odp.: Pole powierzchni tego sześcianu wynosi 96 $$cm^2$$.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wpisz w okienkach...

`a) `

`18=6+12`

`14=8+6`

`b)`

`26+44=70`

`52+38=90`

`c)`

`45-22=23`

`64-7=57`

`d)`

`48-14=34`

`77-27=50`

`e)`

`100=84+16`

`110=93+17`

`f)`

`130-70=60`

`112-32=80`

Oblicz liczbę 8 razy mniejszą od ...

Obliczamy, ile wynosi suma liczb 1259 i 349. 

Suma tych liczb wynosi 1608. 


Obliczamy, ile wynosi liczba 8 razy mniejsza od 1608.

Liczba 8 razy mniejsza od sumy liczb 1259 i 349 to 201

Zmierz przedmioty narysowane w skali. Oblicz ich rzeczywiste wymiary

Skala 3:1 oznacza, że rysunek jest 3 razy większy od prawdziwej śrubki, więc aby obliczyć prawdziwe wymiary, dzielimy wymiary z rysunku przez 3. 

Skala 1:7 oznacza, że rysunek jest 7 razy mniejszy od prawdziwej koperty, więc aby obliczyć prawdziwe wymiary, mnożymy wymiary z rysunku przez 7. 

Skala 1:2 oznacza, że rysunek jest 2 razy mniejszy od prawdziwego guzika, więc aby obliczyć prawdziwe wymiary, mnożymy wymiary z rysunku przez 2. 

 

  wymiary w skali wymiary w rzeczywistości
śrubka długość: 3 cm  długość:
 `3\ cm:3=1\ cm` 
koperta długość: 2 cm
szerokość: 1 cm

 długość: 
`2\ cm*7=14\ cm` 
szerokość: 

`1\ cm*7=7\ cm` 

skala średnica: 1 cm

średnica:

`2*1\ cm=2\ cm` 

Wykonaj odejmowanie...

Zawartość skarbonki po wyjęciu 8 zł i dołożeniu 5 zł będzie większa czy mniejsza

8-5=3

będzie mniejsza o 3 zł 

Na ślub kuzynki Asia wzięła ze sobą 2 zł 62 gr (czyli 262 grosze)

Asia wzięła 262 grosze w monetach 2 - groszowych. 

Obliczamy, ile monet zabrała. 

262 : 2 = 131 


Odpowiedź
Asia wzięła 131 monet

Wstaw znak ...

`a) 4,26\ <\ 4,=ul(5)1`

`b) 0,ul(6)\ >\ 0,49`

`c) 3ul(2),42\ > 31,87`

`d) ul(3)\ > \ 2,605`

`e) 8,ul(3)1\ > \8,206`

`f) 1,9ul(1)\ > \ 1,908`

`g) 5,34\ < \ 5,3ul(8)7`

`h) 6,ul(9)5\ > \ 6,095`

`i) 7,098\ > \ 7,09ul(9)`

Pod zaznaczonymi...

`a=3,24`

`b=3,28`

`c=3,32`

`d=3,38`

`e=3,41`

Jedno przęsło płotu ma szerokość 2 m. Ile takich ...

Działka ma kształt prostokąta o wymiarach 15 m x 20 m. 

Obliczamy, ile wynosi obwód tej działki. 

`Obw.=2*(15 \ "m"+20 \ "m")=2*35 \ "m"=70 \ "m"` 

Obwód działki ma długość 70 m. 


Działkę chcemy ogrodzić płotem. Należy odjąć 4 m od obwodu, gdyż bramy nie grodzimy. 

`70 \ "m"-4 \ "m"=66 \ "m"` 

Obwód tej części działki, którą chcemy ogrodzić wynosi 66 m. 


Wiemy, że jedno przęsło ma długość 2 m. 

Obliczamy ile przęseł potrzeba, aby ogrodzić działkę. 

`66 \ "m":2 \ "m"=66:2=33` 


Odpowiedź: Potrzebne są 33 przęsła.  

Zamień różnice na łatwiejszą do wykonania...

a) 35-19=36-20=16

b) 27-19=28-20=8

c) 45-29=46-30=16

d) 73-39=74-40=34

e) 67-18=69-20=49

f) 84-38=86-40=46