Prostopadłościany i sześciany - 4-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Prostopadłościany i sześciany - 4-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Prostopadłościan i sześcian

Prostopadłościan to figura przestrzenna, której kształt przypomina pudełko lub akwarium.

Prostopadłościan

  • Każda ściana prostopadłościanu jest prostokątem.

  • Każdy prostopadłościan ma 6 ścian, 8 wierzchołków i 12 krawędzi.

  • Dwie ściany mające wspólną krawędź nazywamy prostopadłymi.

  • Dwie ściany, które nie mają wspólnej krawędzi, nazywamy równoległymi.

  • Każda ściana jest prostopadła do czterech ścian oraz równoległa do jednej ściany.


Z każdego wierzchołka wychodzą trzy krawędzie – jedną nazywamy długością, drugą – szerokością, trzecią – wysokością prostopadłościanu i oznaczamy je odpowiednio literami a, b, c.

Długości tych krawędzi nazywamy wymiarami prostopadłościanu.

a – długość prostopadłościanu, b – szerokość prostopadłościanu, c - wysokość prostopadłościanu.


Prostopadłościan, którego wszystkie ściany są jednakowymi kwadratami nazywamy sześcianem.

Wszystkie krawędzie sześcianu mają jednakową długość.

kwadrat

a - długość krawędzi sześcianu

Siatka prostopadłościanu

Po rozcięciu powierzchni prostopadłościanu wzdłuż kilku krawędzi i rozłożeniu go na powierzchnię płaską powstanie jego siatka. Jest to wielokąt złożony z prostokątów, czyli ścian graniastosłupa. Ten sam prostopadłościan może mieć kilka siatek.

Siatka prosopadłościanu

Pole powierzchni prostopadłościanu

Pole powierzchni prostopadłościanu to suma pól wszystkich jego ścian.

$P_p$ -> pole powierzchni

Pole powierzchni prostopadłościanu
 

Każdy prostopadłościan ma 3 pary takich samych ścian.

Pole powierzchni oblicza się z poniższego wzoru, gdzie $P_1$, $P_2$ i $P_3$ to pola ścian prostopadłościanu.

$P_p=2•P_1+2•P_2+2•P_3$

Wzór na pole powierzchni prostopadłościanu możemy zapisać w następującej postaci:
$P_p = 2•a•b + 2•b•c + 2•a•c$ (a,b,c - wymiary prostopadłościanu)
 

  Zapamiętaj

Sześcian ma sześć jednakowych ścian, więc pole jego powierzchni oblicza się ze wzoru: $P_p=6•P$, gdzie P oznacza pole jednej ściany tego sześcianu. Natomiast wzór na pole powierzchni sześcianu możemy zapisać w następującej postaci: $P_p = 6•a•a = 6•a^2$ (a - bok sześcianu).

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Z drutu o długości 60 cm wykonano szkielet sześcianu. Jaką długość ma jedna krawędź sześcianu?

12 -> ilość krawędzi w sześcianie

$60÷12=5 cm$ -> długość jednej krawędzi

Odp.: Jedna krawędź tego sześcianu ma 5cm.

Zadanie 2.

Marek zbudował szkielet prostopadłościanu z zapałek o długościach 10 cm, 3 cm i 6 cm. Jaką długość mają w sumie wszystkie krawędzie tego prostopadłościanu?

Każdy prostopadłościan ma po 4 krawędzie o długości jednej z trzech wymiarów.

$4•10+4•3+4•6=40+12+24=76 cm $

Odp.: Suma długości wszystkich krawędzi tego prostopadłościanu wynosi $76 cm$.

Zadanie 3.

Oblicz pole powierzchni całkowitej sześcianu o długości krawędzi:

  1. 8 cm
  2. 4 m
  3. 9 km

$P_p=6•P_{ściany}$

  1. $ 8^2•6=64•6=384 cm^2 $
  2. $ 4^2•6=16•6=96 m^2 $
  3. $ 9^2•6=81•6=486 km^2 $

Zadanie 4.

Jaką długość krawędzi ma sześcian o polu powierzchni 486 $cm^2$?

$486÷6=81 cm^2$ -> pole jednej ściany (dzielimy pole powierzchni sześcianu przez ilość ścian sześcianu)

$a^2=81$ -> $a=9 cm$

Odp.: Długość krawędzi tego sześcianu wynosi 9cm.

Zadanie 5.

Oblicz pole powierzchni prostopadłościanu o wymiarach 7 dm, 3 dm i 1 dm.

Ściany tego prostopadłościanu:

  • 2 ściany o wymiarach 7 dm i 3 dm;
  • 2 ściany o wymiarach 3 dm i 1 dm;
  • 2 ściany o wymiarach 7 dm i 1 dm.
$P_p=2•(7•3)+2•(3•1)+2•(7•1)=2•21+2•3+2•7=42+6+14=62 dm^2 $

Odp.: Pole powierzchni tego prostopadłościanu wynosi 62 $dm^2$.

Zadanie 6.

Jakie pole powierzchni ma sześcian, którego suma krawędzi wynosi 48 cm?

Sześcian ma w sumie 12 krawędzi, zatem możemy zapisać:

$12a=48$ -> $a=4 cm$ -> długość jednej krawędzi sześcianu

Możemy więc policzyć pole sześcianu:

$P_p=6•a^2=6•16=96 cm^2$

Odp.: Pole powierzchni tego sześcianu wynosi 96 $cm^2$.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Narysuj oś liczbową i obierz jednostkę równą 6 cm...

Plan w skali 1:500 przerysowano,

Skala 1:500 oznacza, że 1 cm na planie to 500cm w rzeczywistości. 

Zmniejszamy wszystkie wymiary na planie dwukrotnie, więc zwiększa się{premium} dwukrotnie wielkość, jakiej odpowiada 1 cm na planie. 
 

Po zmniejszeniu wymiarów 1 cm odpowiada 1000 cm. 

Nowa skala planu wynosi:
 

 

UWAGA!!!!
Należy pamiętać, że zwiększając skalę mapy zmniejszamy wszystkie wymiary. 
Jeśli zmniejszamy skalę mapy, to zwiększamy wszystkie wymiary. 

Uzupełnij tabelę.

Uzupełnij:

a) 

1  cm = 10 mm

2 cm = 20 mm 

{premium}

16 cm = 160 mm

b) 

1m = 100 cm 

2m= 200 cm 

25m= 2500 cm 

c) 

1 km = 1 000m 

3 km = 3 000m 

18 km = 18 000 m 

Suma...

Obliczamy sumę:{premium}

 

Odpowiedź: C.  

Weź do ręki pudełko w kształcie prostopadłościanu...

Narysujmy prostopadłościan:

podglad pliku {premium}

Czerwonymi liniami zaznaczono krawędzie, wzdłuż których należy zrobić nacięcia. 

Odpowiedź: Aby otrzymać siatkę prostopadłościanu należy wykonać 7 nacięć. 

Która z podanych liczb jest większa od 1 7/9?

{premium}


 
Z dwóch ułamków o takich samych mianownikach ten jest większy, który ma większy licznik, a 7 > 3. 


 
Licznik ułamka po prawej stronie jest większy od połowy mianownika (7 > 4,5), więc 7/9 > 1/2. 


 
Z dwóch ułamków o takich samych licznikach ten jest większy, który ma mniejszy mianownik, a 8 < 9. 

Zapisz cyframi liczbę 10 razy większą

 

liczba liczba 10 razy większa
(∙10, czyli dopisujemy jedno zero)
liczba 100 razy mniejsza
(:100, czyli skreślamy dwa zera)
     {premium}
      
     
     

 

Oblicz, ile trzeba zapłacić za

Obliczamy, ile trzeba zapłacić za 2 kg jabłek: 

 

Obliczamy, ile kosztuje 2 kg jabłek i 1 kg bananów:{premium}

 

ODP: Za 2 kg jabłek i 1 kg bananów trzeba zapłacić 7 zł 80 gr. 

 

 

 

ODP: Za 1 kg buraków i 2 kg marchwi trzeba zapłacić 4 zł 10 gr. 

 

 

 

ODP: Za półtora kilograma jabłek trzeba zapłacić 3 zł 60 gr. 

 

 

Obliczamy, ile trzeba zapłacić za półtora kilograma ziemniaków:

 

Obliczamy, ile kosztuje pół kilograma buraków:

 

Obliczamy, ile razem kosztują półtora kilograma ziemniaków i pół kilograma buraków:

 

ODP: Za półtora kilograma ziemniaków i pół kilograma buraków trzeba zapłacić 1 zł 95 gr.

 

 

 

Obliczamy, ile kosztuje pół kilograma pomidorów:

 

Obliczamy, ile kosztuje pół kilograma jabłek:

 

Obliczamy, ile razem trzeba zapłacić za pół kilograma pomidorów i pół kilograma jabłek:

 

ODP: Za pół kilograma pomidorów i pół kilograma jabłek trzeba zapłacić 2 zł 85 gr.  

 

 

Wpisz okienkach...

{premium}