Prostopadłościany i sześciany - 4-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Prostopadłościany i sześciany - 4-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Prostopadłościan i sześcian

Prostopadłościan to figura przestrzenna, której kształt przypomina pudełko lub akwarium.

Prostopadłościan

  • Każda ściana prostopadłościanu jest prostokątem.

  • Każdy prostopadłościan ma 6 ścian, 8 wierzchołków i 12 krawędzi.

  • Dwie ściany mające wspólną krawędź nazywamy prostopadłymi.

  • Dwie ściany, które nie mają wspólnej krawędzi, nazywamy równoległymi.

  • Każda ściana jest prostopadła do czterech ścian oraz równoległa do jednej ściany.


Z każdego wierzchołka wychodzą trzy krawędzie – jedną nazywamy długością, drugą – szerokością, trzecią – wysokością prostopadłościanu i oznaczamy je odpowiednio literami a, b, c.

Długości tych krawędzi nazywamy wymiarami prostopadłościanu.

a – długość prostopadłościanu, b – szerokość prostopadłościanu, c - wysokość prostopadłościanu.


Prostopadłościan, którego wszystkie ściany są jednakowymi kwadratami nazywamy sześcianem.

Wszystkie krawędzie sześcianu mają jednakową długość.

kwadrat

a - długość krawędzi sześcianu

Siatka prostopadłościanu

Po rozcięciu powierzchni prostopadłościanu wzdłuż kilku krawędzi i rozłożeniu go na powierzchnię płaską powstanie jego siatka. Jest to wielokąt złożony z prostokątów, czyli ścian graniastosłupa. Ten sam prostopadłościan może mieć kilka siatek.

Siatka prosopadłościanu

Pole powierzchni prostopadłościanu

Pole powierzchni prostopadłościanu to suma pól wszystkich jego ścian.

$P_p$ -> pole powierzchni

Pole powierzchni prostopadłościanu
 

Każdy prostopadłościan ma 3 pary takich samych ścian.

Pole powierzchni oblicza się z poniższego wzoru, gdzie $P_1$, $P_2$ i $P_3$ to pola ścian prostopadłościanu.

$P_p=2•P_1+2•P_2+2•P_3$

Wzór na pole powierzchni prostopadłościanu możemy zapisać w następującej postaci:
$P_p = 2•a•b + 2•b•c + 2•a•c$ (a,b,c - wymiary prostopadłościanu)
 

  Zapamiętaj

Sześcian ma sześć jednakowych ścian, więc pole jego powierzchni oblicza się ze wzoru: $P_p=6•P$, gdzie P oznacza pole jednej ściany tego sześcianu. Natomiast wzór na pole powierzchni sześcianu możemy zapisać w następującej postaci: $P_p = 6•a•a = 6•a^2$ (a - bok sześcianu).

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Z drutu o długości 60 cm wykonano szkielet sześcianu. Jaką długość ma jedna krawędź sześcianu?

12 -> ilość krawędzi w sześcianie

$60÷12=5 cm$ -> długość jednej krawędzi

Odp.: Jedna krawędź tego sześcianu ma 5cm.

Zadanie 2.

Marek zbudował szkielet prostopadłościanu z zapałek o długościach 10 cm, 3 cm i 6 cm. Jaką długość mają w sumie wszystkie krawędzie tego prostopadłościanu?

Każdy prostopadłościan ma po 4 krawędzie o długości jednej z trzech wymiarów.

$4•10+4•3+4•6=40+12+24=76 cm $

Odp.: Suma długości wszystkich krawędzi tego prostopadłościanu wynosi $76 cm$.

Zadanie 3.

Oblicz pole powierzchni całkowitej sześcianu o długości krawędzi:

  1. 8 cm
  2. 4 m
  3. 9 km

$P_p=6•P_{ściany}$

  1. $ 8^2•6=64•6=384 cm^2 $
  2. $ 4^2•6=16•6=96 m^2 $
  3. $ 9^2•6=81•6=486 km^2 $

Zadanie 4.

Jaką długość krawędzi ma sześcian o polu powierzchni 486 $cm^2$?

$486÷6=81 cm^2$ -> pole jednej ściany (dzielimy pole powierzchni sześcianu przez ilość ścian sześcianu)

$a^2=81$ -> $a=9 cm$

Odp.: Długość krawędzi tego sześcianu wynosi 9cm.

Zadanie 5.

Oblicz pole powierzchni prostopadłościanu o wymiarach 7 dm, 3 dm i 1 dm.

Ściany tego prostopadłościanu:

  • 2 ściany o wymiarach 7 dm i 3 dm;
  • 2 ściany o wymiarach 3 dm i 1 dm;
  • 2 ściany o wymiarach 7 dm i 1 dm.
$P_p=2•(7•3)+2•(3•1)+2•(7•1)=2•21+2•3+2•7=42+6+14=62 dm^2 $

Odp.: Pole powierzchni tego prostopadłościanu wynosi 62 $dm^2$.

Zadanie 6.

Jakie pole powierzchni ma sześcian, którego suma krawędzi wynosi 48 cm?

Sześcian ma w sumie 12 krawędzi, zatem możemy zapisać:

$12a=48$ -> $a=4 cm$ -> długość jednej krawędzi sześcianu

Możemy więc policzyć pole sześcianu:

$P_p=6•a^2=6•16=96 cm^2$

Odp.: Pole powierzchni tego sześcianu wynosi 96 $cm^2$.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Jaką liczbę zastąpiono...

Obliczamy:

A.  {premium}

B.  

C.  

D.  

Odpowiedź: A. 40

Różnica dwóch liczb...

Oznaczmy jedną liczbę jako  , a drugą liczbę jako  .

Z treści zadania wiemy, że:

 

{premium}

Odjemną zwiększono o 375, czyli:

 

Odjemnik zmniejszono o 896, czyli:

 

 

Chcemy policzyć różnicę tych dwóch liczb, czyli:

 

Kwadracik i trójkącik możemy zastąpić liczbą 8807, ponieważ wiemy, że ich różnica tyle wynosi.

 

Możemy to zrobić pisemnie.

 

Odp. Różnica zwiększonej i zmniejszonej liczby to 10078.

W spiżarni mama ustawiła na 9 półkach po 8 słoików...

Wiemy, że mama ustawiał na każdej z 9 półek po 8 słoików kompotu

Obliczmy, ile słoików kompotu ustawiła mama w spiżarni:

 


Odp. Mama ustawiła w spiżarni 72 słoiki kompotu.

Uzupełnij:

a) 

20 g=2 dag

50 g = 5 dag

100 g = 10 dag 

b) 

200 dag = 2 kg

500 dag = 5 kg 

1900 dag = 19 kg 

c) 

3000 g = 3 kg

5000 g = 5 kg

27 000 g = 27 kg

Zgadnij wynik dzielenia i sprawdź go za pomocą mnożenia

{premium}

 

 

 

 

 

 

 

Beata odwiedziła...

Czy 1,5 m2 szkła wystarczy...

Najpierw obliczmy pole powierzchni okna w kształcie kwadratu o boku długości 12 dm:

 {premium}

 

Widzimy więc, że 1,5 m2 szkła wystarczy do oszklenia tego okna. 

Do oszklenia podwójnego okna wykorzystamy 2 razy więcej szkła, czyli:

 

Leśnicy posadzili 627 drzewek...

Dane:

627 - tyle drzewek posadzili leśnicy,

9 - po tyle drzewek było w każdym rzędzie.

Szukane:

Ile drzewek było w ostatnim rzędzie, skoro był niepełny?

Rozwiązanie:

Musimy podzielić 627 drzewek na 9. Reszta z dzielenia będzie ilością drzewek w ostatnim, niepełnym rzędzie: {premium}

podglad pliku

Odpowiedź: W ostatnim rzędzie posadzono 6 drzewek. 

Ze wszystkich cyfr od 1 do 6 utwórz...

Zadanie jest źle sformułowane. W podpunktach powinno być pytanie o sumę liczb, a nie cyfr.

Wszystkie możliwe liczby dwucyfrowe, jakie możemy utworzyć w ten sposób, będą postaci:{premium}

 gdzie w kwadracikach będą cyfry od  do  Teraz musimy

ustalić, jakie liczby wybrać.

Chcemy, by suma była największa, więc weźmy największe z nich, czyli takie, które w miejscu

dziesiątek będą miały cyfry  Wtedy w miejsce jedności zostaną do wpisania cyfry  

Wówczas cyfry z miejsca jedności sumują się do  bo  a cyfry z miejsca dziesiątek 

- do  bo  W ten sposób dostajemy, że wszystkie liczby razem sumują się do  

W drugim przypadku postępujemy tak samo, starając się, by suma była jak najmniejsza.

 

 Wszystkie możliwości (w każdym przypadku suma liczb jest równa  ) 

 

 

 

 

 

 

 Wszystkie możliwości (w każdym przypadku suma liczb jest równa  ) 

 

 

 

 

 

 

 

Promieniem nie jest ...

Promień koła to odcinek łączący {premium}środek z okręgiem, więc promieniem nie jest odcinek .


Odpowiedź: B