Prostopadłościany i sześciany - 4-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Prostopadłościan

Prostopadłościan to figura przestrzenna, której kształt przypomina pudełko lub akwarium.

Prostopadłościan

  • Każda ściana prostopadłościanu jest prostokątem.
  • Każdy prostopadłościan ma 6 ścian - 4 ściany boczne i 2 podstawy, 8 wierzchołków i 12 krawędzi.
  • Dwie ściany mające wspólną krawędź nazywamy prostopadłymi.
  • Dwie ściany, które nie mają wspólnej krawędzi, nazywamy równoległymi.
  • Każda ściana jest prostopadła do czterech ścian oraz równoległa do jednej ściany.

Z każdego wierzchołka wychodzą trzy krawędzie – jedną nazywamy długością, drugą – szerokością, trzecią – wysokością prostopadłościanu i oznaczamy je odpowiednio literami a, b, c. Długości tych krawędzi nazywamy wymiarami prostopadłościanu.

Prostopadłościan - długości

a – długość prostopadłościanu, b – szerokość prostopadłościanu, c - wysokość prostopadłościanu.

Prostopadłościan, którego wszystkie ściany są kwadratami nazywamy sześcianem.Wszystkie krawędzie sześcianu mają jednakową długość.

kwadrat

Siatka prostopadłościanu

Po rozcięciu powierzchni prostopadłościanu wzdłuż kilku krawędzi i rozłożeniu go na powierzchnię płaską powstanie jego siatka. Jest to wielokąt złożony z prostokątów, czyli ścian graniastosłupa. Ten sam prostopadłościan może mieć kilka siatek.

Siatka prosopadłościanu

Pole powierzchni prostopadłościanu

Pole powierzchni prostopadłościanu to suma pól wszystkich jego ścian.

$$P_p$$ -> pole powierzchni

Pole powierzchni prostopadłościanu
 

Każdy prostopadłościan ma 3 pary takich samych ścian.

Pole powierzchni oblicza się z poniższego wzoru, gdzie $$P_1$$, $$P_2$$ i $$P_3$$ to pola ścian prostopadłościanu.

$$P_p=2•P_1+2•P_2+2•P_3$$

Wzór na pole powierzchni prostopadłościanu możemy zapisać w następującej postaci:
$$P_p = 2•a•b + 2•b•c + 2•a•c$$ (a,b,c - wymiary prostopadłościanu)
 

  Zapamiętaj

Sześcian ma sześć jednakowych ścian, więc pole jego powierzchni oblicza się ze wzoru: $$P_p=6•P$$, gdzie P oznacza pole jednej ściany tego sześcianu. Natomiast wzór na pole powierzchni sześcianu możemy zapisać w następującej postaci: $$P_p = 6•a•a = 6•a^2$$ (a - bok sześcianu).

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Z drutu o długości 60 cm wykonano szkielet sześcianu. Jaką długość ma jedna krawędź sześcianu?

12 -> ilość krawędzi w sześcianie

$$60÷12=5 cm$$ -> długość jednej krawędzi

Odp.: Jedna krawędź tego sześcianu ma 5cm.

Zadanie 2.

Marek zbudował szkielet prostopadłościanu z zapałek o długościach 10 cm, 3 cm i 6 cm. Jaką długość mają w sumie wszystkie krawędzie tego prostopadłościanu?

Każdy prostopadłościan ma po 4 krawędzie o długości jednej z trzech wymiarów.

$$4•10+4•3+4•6=40+12+24=76 cm $$

Odp.: Suma długości wszystkich krawędzi tego prostopadłościanu wynosi $$76 cm$$.

Zadanie 3.

Oblicz pole powierzchni całkowitej sześcianu o długości krawędzi:

  1. 8 cm
  2. 4 m
  3. 9 km

$$P_p=6•P_{ściany}$$

  1. $$ 8^2•6=64•6=384 cm^2 $$
  2. $$ 4^2•6=16•6=96 m^2 $$
  3. $$ 9^2•6=81•6=486 km^2 $$

Zadanie 4.

Jaką długość krawędzi ma sześcian o polu powierzchni 486 $$cm^2$$?

$$486÷6=81 cm^2$$ -> pole jednej ściany (dzielimy pole powierzchni sześcianu przez ilość ścian sześcianu)

$$a^2=81$$ -> $$a=9 cm$$

Odp.: Długość krawędzi tego sześcianu wynosi 9cm.

Zadanie 5.

Oblicz pole powierzchni prostopadłościanu o wymiarach 7 dm, 3 dm i 1 dm.

Ściany tego prostopadłościanu:

  • 2 ściany o wymiarach 7 dm i 3 dm;
  • 2 ściany o wymiarach 3 dm i 1 dm;
  • 2 ściany o wymiarach 7 dm i 1 dm.
$$P_p=2•(7•3)+2•(3•1)+2•(7•1)=2•21+2•3+2•7=42+6+14=62 dm^2 $$

Odp.: Pole powierzchni tego prostopadłościanu wynosi 62 $$dm^2$$.

Zadanie 6.

Jakie pole powierzchni ma sześcian, którego suma krawędzi wynosi 48 cm?

Sześcian ma w sumie 12 krawędzi, zatem możemy zapisać:

$$12a=48$$ -> $$a=4 cm$$ -> długość jednej krawędzi sześcianu

Możemy więc policzyć pole sześcianu:

$$P_p=6•a^2=6•16=96 cm^2$$

Odp.: Pole powierzchni tego sześcianu wynosi 96 $$cm^2$$.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Zamień na godziny i minuty: ...

Przypomnienie:

1 godzina to 60 minut 

1 h = 60 min 



`120:60=2`  

`120 \ "min"=2 \ "h"`   


`300:60=5`  

`300 \ "min"=5 \ "h"` 


`80:60=1 \ "r" \ 20`    

`80 \ "min"=1 \ "h" \ 20 \ "min"` 


`210:60=3 \ "r" \ 30` 

`210  \ "min"=3 \ "h" \ 30 \ "min"` 

Mateusz z dumą stwierdził, że choć 3 lata temu miał w klaserze ...

3 lata temu Mateusz miał 12 znaczków. 


Obecnie ma 13 razy więcej znaczków. Obliczamy, ile obecnie znaczków ma Mateusz. 

 
Mateusz ma obecnie 156 znaczków. 


Obliczamy, ile znaczków przybyło w klaserze. 

Odpowiedź: W klaserze przybyły 144 znaczki. 

Pomyślałeś pewną liczbę. Dodałem do niej ...

Pomyślana liczba to 9.

  • W pierwszym kroku dodajemy do niej 7. Otrzymujemy: `9+7=16` 

  • W kolejnym kroku otrzymany wynik, czyli 16, mnożymy razy 2. Mamy więc: `16*2=32` 

  • Następnie odejmujemy 10, czyli mamy: `32-10=22`   

  • Otrzymany wynik, czyli 22, mnożymy razy 4. Mamy więc: `22*4=20*4+2*4=80+8=88`  

  • Na koniec odejmujemy 5. Otrzymujemy: `88-5=83` 


Otrzymaliśmy taką liczbę, jak podano w rozwiązaniu. Oznacza to, że podana odpowiedź jest poprawna.  

Obok podano, ile ważą różne ptaki

1) modraszka

2) czajka

3) sójka

4) kukułka

5) sójka, kukułka

Oblicz.

`a)`

`8strike0:1strike0=8:1=8`  

`9strike0:1strike0=9:1=9`  

`10strike0:1strike0=10:1=10` 

 

`b)`

`8strike0:2strike0=8:2=4` 

`12strike0:6strike0=12:6=2` 

`25strike0:5strike0=25:5=5` 

 

`c)`

`4strike00:1strike00=4:1=4` 

`6strike00:3strike00=6:3=2` 

`9strike00:3strike00=9:3=3` 

Wykonaj obliczenia w pamięci. Zapisz na kartce wyniki. Zmierz czas

`5*6=30`

`6*6=36`

`7*6=42`

`8*6=48`

`9*6=54`

Zosia jest wyższa od Tomka...

Zosia jest wyższa od Tomka, Tomek jest wyższy od Bartka. 

Bartek jest najniższy. 

Do sklepu przywieziono w skrzynkach 48 kg jabłek

`6*2=12\ kg`

`5*3=15\ kg`

`12+15=27\ kg`

`48-27=21\ kg`

Zapisz cyframi liczby

a) 608

b) 1302

c) 10700

d) 8008

e) 10 003

f) 15 000

W kółeczko wpisz ...