Prostopadłościany i sześciany - 4-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Prostopadłościan i sześcian

Prostopadłościan to figura przestrzenna, której kształt przypomina pudełko lub akwarium.

Prostopadłościan

  • Każda ściana prostopadłościanu jest prostokątem.

  • Każdy prostopadłościan ma 6 ścian, 8 wierzchołków i 12 krawędzi.

  • Dwie ściany mające wspólną krawędź nazywamy prostopadłymi.

  • Dwie ściany, które nie mają wspólnej krawędzi, nazywamy równoległymi.

  • Każda ściana jest prostopadła do czterech ścian oraz równoległa do jednej ściany.


Z każdego wierzchołka wychodzą trzy krawędzie – jedną nazywamy długością, drugą – szerokością, trzecią – wysokością prostopadłościanu i oznaczamy je odpowiednio literami a, b, c.

Długości tych krawędzi nazywamy wymiarami prostopadłościanu.

a – długość prostopadłościanu, b – szerokość prostopadłościanu, c - wysokość prostopadłościanu.


Prostopadłościan, którego wszystkie ściany są jednakowymi kwadratami nazywamy sześcianem.

Wszystkie krawędzie sześcianu mają jednakową długość.

kwadrat

a - długość krawędzi sześcianu

Siatka prostopadłościanu

Po rozcięciu powierzchni prostopadłościanu wzdłuż kilku krawędzi i rozłożeniu go na powierzchnię płaską powstanie jego siatka. Jest to wielokąt złożony z prostokątów, czyli ścian graniastosłupa. Ten sam prostopadłościan może mieć kilka siatek.

Siatka prosopadłościanu

Pole powierzchni prostopadłościanu

Pole powierzchni prostopadłościanu to suma pól wszystkich jego ścian.

$$P_p$$ -> pole powierzchni

Pole powierzchni prostopadłościanu
 

Każdy prostopadłościan ma 3 pary takich samych ścian.

Pole powierzchni oblicza się z poniższego wzoru, gdzie $$P_1$$, $$P_2$$ i $$P_3$$ to pola ścian prostopadłościanu.

$$P_p=2•P_1+2•P_2+2•P_3$$

Wzór na pole powierzchni prostopadłościanu możemy zapisać w następującej postaci:
$$P_p = 2•a•b + 2•b•c + 2•a•c$$ (a,b,c - wymiary prostopadłościanu)
 

  Zapamiętaj

Sześcian ma sześć jednakowych ścian, więc pole jego powierzchni oblicza się ze wzoru: $$P_p=6•P$$, gdzie P oznacza pole jednej ściany tego sześcianu. Natomiast wzór na pole powierzchni sześcianu możemy zapisać w następującej postaci: $$P_p = 6•a•a = 6•a^2$$ (a - bok sześcianu).

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Z drutu o długości 60 cm wykonano szkielet sześcianu. Jaką długość ma jedna krawędź sześcianu?

12 -> ilość krawędzi w sześcianie

$$60÷12=5 cm$$ -> długość jednej krawędzi

Odp.: Jedna krawędź tego sześcianu ma 5cm.

Zadanie 2.

Marek zbudował szkielet prostopadłościanu z zapałek o długościach 10 cm, 3 cm i 6 cm. Jaką długość mają w sumie wszystkie krawędzie tego prostopadłościanu?

Każdy prostopadłościan ma po 4 krawędzie o długości jednej z trzech wymiarów.

$$4•10+4•3+4•6=40+12+24=76 cm $$

Odp.: Suma długości wszystkich krawędzi tego prostopadłościanu wynosi $$76 cm$$.

Zadanie 3.

Oblicz pole powierzchni całkowitej sześcianu o długości krawędzi:

  1. 8 cm
  2. 4 m
  3. 9 km

$$P_p=6•P_{ściany}$$

  1. $$ 8^2•6=64•6=384 cm^2 $$
  2. $$ 4^2•6=16•6=96 m^2 $$
  3. $$ 9^2•6=81•6=486 km^2 $$

Zadanie 4.

Jaką długość krawędzi ma sześcian o polu powierzchni 486 $$cm^2$$?

$$486÷6=81 cm^2$$ -> pole jednej ściany (dzielimy pole powierzchni sześcianu przez ilość ścian sześcianu)

$$a^2=81$$ -> $$a=9 cm$$

Odp.: Długość krawędzi tego sześcianu wynosi 9cm.

Zadanie 5.

Oblicz pole powierzchni prostopadłościanu o wymiarach 7 dm, 3 dm i 1 dm.

Ściany tego prostopadłościanu:

  • 2 ściany o wymiarach 7 dm i 3 dm;
  • 2 ściany o wymiarach 3 dm i 1 dm;
  • 2 ściany o wymiarach 7 dm i 1 dm.
$$P_p=2•(7•3)+2•(3•1)+2•(7•1)=2•21+2•3+2•7=42+6+14=62 dm^2 $$

Odp.: Pole powierzchni tego prostopadłościanu wynosi 62 $$dm^2$$.

Zadanie 6.

Jakie pole powierzchni ma sześcian, którego suma krawędzi wynosi 48 cm?

Sześcian ma w sumie 12 krawędzi, zatem możemy zapisać:

$$12a=48$$ -> $$a=4 cm$$ -> długość jednej krawędzi sześcianu

Możemy więc policzyć pole sześcianu:

$$P_p=6•a^2=6•16=96 cm^2$$

Odp.: Pole powierzchni tego sześcianu wynosi 96 $$cm^2$$.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Używając cyfr: 1, 2, 3, 4 i nie powtarzając żadnej z nich, utwórz wszystkie dwucyfrowe liczby pierwsze

Liczby pierwsze to liczby naturalne podzielne tylko przez 1 i samą siebie:


13, 23, 31, 41, 43

Oblicz. a) 12 000:6

a) 12 000:6=2000

b) 2400:4=600

c) 8100:9=900

d) 1400:7=200

e) 16000:8=2000

f) 300:5=60

Zamaluj odpowiednie części ...

rownanie matematyczne

 

 

            

rownanie matematyczne

 

                 

rownanie matematyczne

Książka kosztowała 10 zł...

Atlas był o rownanie matematyczne droższy od książki, czyli{premium}

rownanie matematyczne 

Odp. Atlas kosztował rownanie matematyczne 

Zeszyt był rownanie matematyczne razy tańszy niż atlas, czyli

rownanie matematyczne 

Odp. Zeszyt kosztował rownanie matematyczne   

W poniedziałek Staś kupił 0,45 kg polędwicy za 7,07 zł.

Wiemy, że Staś w poniedziałek kupił rownanie matematyczne kg polędwicy, a w środę o rownanie matematyczne kg mniej, obliczmy ile wędliny kupił Staś w środę:{premium}

rownanie matematyczne

 

Odp. Staś kupił w środę 0,28 kg polędwicy. 

Zapisz podane liczby...

a) 7 603

b) 80 000{premium}

c) 15 000 000

d) 31 720 000

e) 6 000 000 000

f) 25 630 000 000

Oblicz pole kwadratu o podanym...

a) 4 cm

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Bok kwadratu ma długość 1 cm. Obliczmy pole kwadratu:

rownanie matematyczne 

Długość boku kwadratu wynosi 1 cm, a jego pole jest równe 1 cm2

 

b) 8 m

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Bok kwadratu ma długość 2 m. Obliczmy pole kwadratu:

rownanie matematyczne 

Długość boku kwadratu wynosi 2 m, a jego pole jest równe 4 m2  

 

c) 24 dm

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne  

rownanie matematyczne 

Bok kwadratu ma długość 6 dm. Obliczmy pole kwadratu:

rownanie matematyczne 

Długość boku kwadratu wynosi 6 dm, a jego pole jest równe 36 dm2

 

d) 36 mm

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Bok kwadratu ma długość 9 mm. Obliczmy pole kwadratu:

rownanie matematyczne 

Długość boku kwadratu wynosi 9 mm, a jego pole jest równe 81 mm2  

Które zdanie jest prawdziwe...

a) P

b) P

c) F     16+0=16 

d) F     624 to liczba składająca się z trzech cyfr 

e)

Trzyosobowa rodzina planuje czterodniowy pobyt...

rownanie matematyczne

Odp. Koszt pobytu rodziny w schronisku wynosi rownanie matematyczne 

 

Oblicz. a) 17+8 b) 25+9

a) rownanie matematyczne

b) rownanie matematyczne{premium}

c) rownanie matematyczne

d) rownanie matematyczne

e) rownanie matematyczne

f) rownanie matematyczne

g) rownanie matematyczne

h) rownanie matematyczne

i) rownanie matematyczne

j) rownanie matematyczne

k) rownanie matematyczne

l) rownanie matematyczne