Proste, odcinki i kąty - 4-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Proste, odcinki i kąty

Najprostszymi figurami geometrycznymi są: punkt, prosta, półprosta i odcinek.

  1. Punkt – jest to jedno z pojęć pierwotnych, co oznacza że nie posiada formalnej definicji, jednak możemy wyobrazić go sobie jako nieskończenie małą kropkę lub ślad po wbitej cienkiej szpilce. Punkty oznaczamy wielkimi literami alfabetu.

    punkt
     
  2. Prosta – jest to jedno z pojęć pierwotnych, co oznacza że nie posiada formalnej definicji, jednak możemy wyobrazić ją sobie jako niezwykle długą i cienką, naprężona nić lub ślad zgięcia wielkiej kartki papieru.

    Możemy też powiedzieć, że prosta jest figurą geometryczną złożoną z nieskończenie wielu punktów. Prosta jest nieograniczona, czyli nie ma ani początku ani końca. Proste oznaczamy małymi literami alfabetu.
     

    prosta

    Jeżeli punkt A należy do prostej a, to mówimy, że prosta a przechodzi przez punkt A.

    prosta-punkty

    $$A∈a$$ (czyt.: punkt A należy do prostej a); $$B∈a$$; $$C∉a$$ (czyt.: punkt C nie należy do prostej a); $$D∉a$$

    Przez jeden punkt można poprowadzić nieskończenie wiele prostych.

    prosta-przechodzaca-przez-punkty

    Przez dwa różne punkty A i B można poprowadzić tylko jedną prostą. Prostą przechodzącą przez dwa różne punkty A i B oznaczamy prostą AB.
     
  3. Półprosta – jedna z dwóch części prostej, na które punkt dzieli tę prostą, wraz z tym punktem. Inaczej mówiąc półprosta to część prostej ograniczona z jednej strony punktem, który jest jej początkiem.
     

    polprosta
     
  4. Odcinek – Jeżeli dane są dwa różne punkty A i B należące do prostej, to zbiór złożony z punktów A i B oraz z tych punktów prostej AB, które są zawarte między punktami A i B, nazywamy odcinkiem AB.


    odcinekab

    Punkty A i B nazywamy nazywamy końcami odcinka. Końce odcinków oznaczamy wielkimi literami alfabetu,natomiast odcinek możemy oznaczać małymi literami.
     
  5. Łamana – jest to figura geometryczna, będąca sumą skończonej liczby odcinków. Inaczej mówiąc, łamana to figura zbudowana z odcinków w taki sposób, że koniec jednego odcinka jest początkiem następnego odcinka.


    lamana
     

    Odcinki, z których składa się łamana nazywamy bokami łamanej, a ich końce wierzchołkami łamanej.
     

    • Jeśli pierwszy wierzchołek łamanej pokrywa się z ostatnim, to łamaną nazywamy zamkniętą.

      lamana-zamknieta
       
    • Jeśli pierwszy wierzchołek nie pokrywa się z ostatnim, to łamana nazywamy otwartą.

      lamana-otwarta
 

Wzajemne położenie prostych

Dwie proste mogą się przecinać w punkcie, mogą być do siebie prostopadłe lub równoległe.

  1. Proste przecinające się w punkcie P – proste mające jeden punkt wspólny.

    prosteprzecinajace
     
  2. Proste prostopadłe – to proste przecinające się pod kątem prostym.

    Jeśli proste a i b są prostopadłe (inaczej mówiąc prosta a jest prostopadła do prostej b), zapisujemy to symbolicznie w następujący sposób: $$a⊥b$$. Dwie proste prostopadłe tworzą cztery kąty proste

    prostekatprosty
     
  3. Proste równoległe – to proste nie mające punktów wspólnych lub pokrywające się.

    Jeżeli proste a i b są równoległe (inaczej mówiąc prosta a jest równoległa do prostej b), to zapisujemy to symbolicznie w następujący sposób: $$a∥b$$.
     

    proste-rownlegle

Wzajemne położenie odcinków

Dwa odcinki mogą być względem siebie prostopadłe lub równoległe.

  1. Odcinki prostopadłe – odcinki zawarte w prostych prostopadłych – symboliczny zapis $$AB⊥CD$$.

    odcinkiprostopadle
     
  2. Odcinki równoległe – odcinki zawarte w prostych równoległych – symboliczny zapis $$AB∥CD$$.

    odicnkirownolegle
 

Kąty

Kąt to część płaszczyzny ograniczona dwiema półprostymi o wspólnym początku, wraz z tymi półprostymi.

Półproste nazywamy ramionami kąta, a ich początek – wierzchołkiem kąta.

kat-glowne
 


Rodzaje kątów:

  1. Kąt prosty – kąt, którego ramiona są do siebie prostopadłe – jego miara stopniowa to 90°.

    kąt prosty
  2. Kąt półpełny – kąt, którego ramiona tworzą prostą – jego miara stopniowa to 180°.
     

    kąt pólpelny
     
  3. Kąt ostry – kąt mniejszy od kąta prostego – jego miara stopniowa jest mniejsza od 90°.
     

    kąt ostry
     
  4. Kąt rozwarty - kąt większy od kąta prostego i mniejszy od kąta półpełnego – jego miara stopniowa jest większa od 90o i mniejsza od 180°.

    kąt rozwarty
  5. Kąt pełny – kąt, którego ramiona pokrywają się, inaczej mówiąc jedno ramię tego kąta po wykonaniu całego obrotu dookoła punktu O pokryje się z drugim ramieniem – jego miara stopniowa to 360°.
     

    kat-pelny
     
  6. Kąt zerowy – kąt o pokrywających się ramionach i pustym wnętrzu – jego miara stopniowa to 0°.

    kat-zerowy
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

O której pełnej godzinie mała i duża wskazówka tworzą kąt prosty, a o której kąt półpełny?

kąt prosty -> o godzinie 9:00 (21:00) lub 3:00 (15:00)

kąt półpełny -> o godzinie 6:00 (18:00)

Zadanie 2.

Krzywa wieża w Pizie jest odchylona od pionu o 5°. Pod jakim kątem nachylona jest do powierzchni?

wieza

Wieża powinna tworzyć z poziomem kąt 90°. Z treści zadania wiemy, że wieża jest odchylona od pionu o 5°. Zatem kąt nachylenia wieży do poziomu wynosi $$90°−5°=85°$$

Odp.: Krzywa wieża w Pizie nachylona jest do powierzchni pod kątem 85°.

Zadanie 3.

Zamień:

  1. 5 cm na milimetry
  2. 3 m na centymetry
  3. 6 km na metry
  1. 5 cm = 5•10mm = 50 mm (1cm=10mm)
  2. 3 m = 3•100cm = 300 cm (3m=100cm)
  3. 6 km = 6•1000m = 6000 m (1km = 1000m)

Zadanie 4.

Jaką długość będzie miała łamana zamknięta o bokach długości 3 m, 150 cm i 2 m?

długość łamanej -> $$3 m+150 cm+2m=3 m+1,5 m+2 m=6,5 m$$

Odp.: Ta łamana ma długość 6,5 metra.

Zadanie 5.

Prosta a jest prostopadła do prostej b. Dorysowano prostą c prostopadłą do prostej b. Jakie jest wzajemne położenie prostych a i c?

Wykonajmy rysunek pomocniczy:

ryspomocniczy

Odp.: Prosta a i c to proste równoległe.

Zadanie 6.

Jaka figura powstanie po narysowaniu łamanej zamkniętej, która ma cztery kąty proste.

Wykonajmy rysunek pomocniczy:

prostokat

Po narysowaniu łamanej zamkniętej, która ma cztery kąty proste, powstanie prostokąt.

Odp.: Powstanie prostokąt.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Pokoloruj wskazane...

`a) 2/6=1/3`

`b) 4/8=1/2`

`c) 8/10=4/5`

Czy dzieci dobrze...

 

`"Po lewej stronie:" `

`60^o`  `"NIE"`

`45^o`   `"NIE"`

`120^o`   `"TAK"` 

 

`"Po prawej stronie:"`

`60^o`  `"TAK"`

`0^o `   `"NIE"`

`90^o`  `"TAK"`

 

 

Dokończ zdanie - wybierz odpowiedź A albo B i jej uzasadnienie spośród 1-3...

Liczba 216 jest podzielna przez 3 (A), ponieważ suma jej cyfr jest równa 9. (2)

 

Ile lat miał Łukasiewicz, gdy wynalazł lampę naftową?

Łukasiewicz wynalazł lampę naftową w 1853 roku. Urodził się w 1822 roku. 

Obliczamy ile miał lat, gdy wynalazł lampę. 



Odpowiedź: Łukasiewicz miał 31 lat. 

Jaka liczba kryje się w okienku?

a) `square * 8= 64` 

`square=64:8` 

`square=8` 

Sprawdzenie:  

`8*8=64` 

Zasłonięto liczbę 8

 

b)`square*9=72` 

`square=72:9` 

`square=8` 

Sprawdzenie:  

`8*9=72` 

Zasłonięto liczbę 8

 

c) `square*6=48` 

`square=48:6` 

`square=8` 

Sprawdzenie:  

`8*6=48` 

Zasłonięto liczbę 8

Czy opiekun tych fok w zoo może podzielić równo między swoje

W zoo jest 9 fok. Sprawdzamy, czy liczba posiadanych przez opiekuna ryb to liczby podzielna przez 9. 

Jeśli liczba ta dzieli się przez 9, to opiekun może podzielić między swoje podopieczne te ryby. 

a) `\ 283: \ \ \ 2+8+3=13`

Liczba 13 nie jest podzielna przez 9, czyli 283 ryb nie da się podzielić po równo między 9 fok.  


b) `\ 432: \ \ \ 4+3+2=9` 

Liczba 9 jest podzielna przez 9, czyli 432 ryby da się podzielić po równo między 9 fok. 


c) `\ 198: \ \ \ 1+9+8=18` 

Liczba 18 jest podzielna przez 9, czyli 198 ryb da się podzielić po równo między 9 fok. 

Maciek wykonał obliczenie 32:6=5 r.2

5٠6+2


C. Prawidłowe

Jaki kąt tworzy rozchylony wachlarz...

a) rozwarty 

b) prosty 

c) półpełny

d) ostry 

Cena 1 euro była równa 3,82 zł. Pani Zofia sprzedała 1000 euro ...

Obliczamy, ile pieniędzy otrzymała Pani Zosia ze sprzedaży 1000 euro. 

`3,82 \ "zł"*1000=3820 \ "zł"` 


Pani Zosia kupiła zmywarkę za 1846 zł. Obliczamy ile pieniędzy jej pozostało.  

 


Odpowiedź: Pani Zosi zostały 1974 zł. 

Ile będzie ważył koktajl bananowy przygotowany ze składników...

Zapiszmy w kilogramach wagę poszczególnych składników koktajlu bananowego:

banany: `0,5` kg

serek waniliowy: `200` g= `200/1000` kg= `0,200` kg=`0,2` kg

cukier: `10` dag=`10/100` kg= `0,10` kg=`0,1` kg

mleko: `1` kg


Obliczmy wagę koktajlu bananowego:

`0,5+0,2+0,1+1=1,8` [kg]


Odp. Ten koktajl bananowy będzie ważył 1,8 kg.