Proste, odcinki i kąty - 4-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Proste, odcinki i kąty

Najprostszymi figurami geometrycznymi są: punkt, prosta, półprosta i odcinek.

  1. Punkt – jest to jedno z pojęć pierwotnych, co oznacza że nie posiada formalnej definicji, jednak możemy wyobrazić go sobie jako nieskończenie małą kropkę lub ślad po wbitej cienkiej szpilce. Punkty oznaczamy wielkimi literami alfabetu.

    punkt
     
  2. Prosta – jest to jedno z pojęć pierwotnych, co oznacza że nie posiada formalnej definicji, jednak możemy wyobrazić ją sobie jako niezwykle długą i cienką, naprężona nić lub ślad zgięcia wielkiej kartki papieru.

    Możemy też powiedzieć, że prosta jest figurą geometryczną złożoną z nieskończenie wielu punktów. Prosta jest nieograniczona, czyli nie ma ani początku ani końca. Proste oznaczamy małymi literami alfabetu.
     

    prosta

    Jeżeli punkt A należy do prostej a, to mówimy, że prosta a przechodzi przez punkt A.

    prosta-punkty

    $$A∈a$$ (czyt.: punkt A należy do prostej a); $$B∈a$$; $$C∉a$$ (czyt.: punkt C nie należy do prostej a); $$D∉a$$

    Przez jeden punkt można poprowadzić nieskończenie wiele prostych.

    prosta-przechodzaca-przez-punkty

    Przez dwa różne punkty A i B można poprowadzić tylko jedną prostą. Prostą przechodzącą przez dwa różne punkty A i B oznaczamy prostą AB.
     
  3. Półprosta – jedna z dwóch części prostej, na które punkt dzieli tę prostą, wraz z tym punktem. Inaczej mówiąc półprosta to część prostej ograniczona z jednej strony punktem, który jest jej początkiem.
     

    polprosta
     
  4. Odcinek – Jeżeli dane są dwa różne punkty A i B należące do prostej, to zbiór złożony z punktów A i B oraz z tych punktów prostej AB, które są zawarte między punktami A i B, nazywamy odcinkiem AB.


    odcinekab

    Punkty A i B nazywamy nazywamy końcami odcinka. Końce odcinków oznaczamy wielkimi literami alfabetu,natomiast odcinek możemy oznaczać małymi literami.
     
  5. Łamana – jest to figura geometryczna, będąca sumą skończonej liczby odcinków. Inaczej mówiąc, łamana to figura zbudowana z odcinków w taki sposób, że koniec jednego odcinka jest początkiem następnego odcinka.


    lamana
     

    Odcinki, z których składa się łamana nazywamy bokami łamanej, a ich końce wierzchołkami łamanej.
     

    • Jeśli pierwszy wierzchołek łamanej pokrywa się z ostatnim, to łamaną nazywamy zamkniętą.

      lamana-zamknieta
       
    • Jeśli pierwszy wierzchołek nie pokrywa się z ostatnim, to łamana nazywamy otwartą.

      lamana-otwarta
 

Wzajemne położenie prostych

Dwie proste mogą się przecinać w punkcie, mogą być do siebie prostopadłe lub równoległe.

  1. Proste przecinające się w punkcie P – proste mające jeden punkt wspólny.

    prosteprzecinajace
     
  2. Proste prostopadłe – to proste przecinające się pod kątem prostym.

    Jeśli proste a i b są prostopadłe (inaczej mówiąc prosta a jest prostopadła do prostej b), zapisujemy to symbolicznie w następujący sposób: $$a⊥b$$. Dwie proste prostopadłe tworzą cztery kąty proste

    prostekatprosty
     
  3. Proste równoległe – to proste nie mające punktów wspólnych lub pokrywające się.

    Jeżeli proste a i b są równoległe (inaczej mówiąc prosta a jest równoległa do prostej b), to zapisujemy to symbolicznie w następujący sposób: $$a∥b$$.
     

    proste-rownlegle

Wzajemne położenie odcinków

Dwa odcinki mogą być względem siebie prostopadłe lub równoległe.

  1. Odcinki prostopadłe – odcinki zawarte w prostych prostopadłych – symboliczny zapis $$AB⊥CD$$.

    odcinkiprostopadle
     
  2. Odcinki równoległe – odcinki zawarte w prostych równoległych – symboliczny zapis $$AB∥CD$$.

    odicnkirownolegle
 

Kąty

Kąt to część płaszczyzny ograniczona dwiema półprostymi o wspólnym początku, wraz z tymi półprostymi.

Półproste nazywamy ramionami kąta, a ich początek – wierzchołkiem kąta.

kat-glowne
 


Rodzaje kątów:

  1. Kąt prosty – kąt, którego ramiona są do siebie prostopadłe – jego miara stopniowa to 90°.

    kąt prosty
  2. Kąt półpełny – kąt, którego ramiona tworzą prostą – jego miara stopniowa to 180°.
     

    kąt pólpelny
     
  3. Kąt ostry – kąt mniejszy od kąta prostego – jego miara stopniowa jest mniejsza od 90°.
     

    kąt ostry
     
  4. Kąt rozwarty - kąt większy od kąta prostego i mniejszy od kąta półpełnego – jego miara stopniowa jest większa od 90o i mniejsza od 180°.

    kąt rozwarty
  5. Kąt pełny – kąt, którego ramiona pokrywają się, inaczej mówiąc jedno ramię tego kąta po wykonaniu całego obrotu dookoła punktu O pokryje się z drugim ramieniem – jego miara stopniowa to 360°.
     

    kat-pelny
     
  6. Kąt zerowy – kąt o pokrywających się ramionach i pustym wnętrzu – jego miara stopniowa to 0°.

    kat-zerowy
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

O której pełnej godzinie mała i duża wskazówka tworzą kąt prosty, a o której kąt półpełny?

kąt prosty -> o godzinie 9:00 (21:00) lub 3:00 (15:00)

kąt półpełny -> o godzinie 6:00 (18:00)

Zadanie 2.

Krzywa wieża w Pizie jest odchylona od pionu o 5°. Pod jakim kątem nachylona jest do powierzchni?

wieza

Wieża powinna tworzyć z poziomem kąt 90°. Z treści zadania wiemy, że wieża jest odchylona od pionu o 5°. Zatem kąt nachylenia wieży do poziomu wynosi $$90°−5°=85°$$

Odp.: Krzywa wieża w Pizie nachylona jest do powierzchni pod kątem 85°.

Zadanie 3.

Zamień:

  1. 5 cm na milimetry
  2. 3 m na centymetry
  3. 6 km na metry
  1. 5 cm = 5•10mm = 50 mm (1cm=10mm)
  2. 3 m = 3•100cm = 300 cm (3m=100cm)
  3. 6 km = 6•1000m = 6000 m (1km = 1000m)

Zadanie 4.

Jaką długość będzie miała łamana zamknięta o bokach długości 3 m, 150 cm i 2 m?

długość łamanej -> $$3 m+150 cm+2m=3 m+1,5 m+2 m=6,5 m$$

Odp.: Ta łamana ma długość 6,5 metra.

Zadanie 5.

Prosta a jest prostopadła do prostej b. Dorysowano prostą c prostopadłą do prostej b. Jakie jest wzajemne położenie prostych a i c?

Wykonajmy rysunek pomocniczy:

ryspomocniczy

Odp.: Prosta a i c to proste równoległe.

Zadanie 6.

Jaka figura powstanie po narysowaniu łamanej zamkniętej, która ma cztery kąty proste.

Wykonajmy rysunek pomocniczy:

prostokat

Po narysowaniu łamanej zamkniętej, która ma cztery kąty proste, powstanie prostokąt.

Odp.: Powstanie prostokąt.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Oblicz w pamięci, ile wynosi połowa ...

Połowa ze 100 zł to 50 zł, bo 50 zł + 50 zł = 100 zł. 


Połowa z 300 zł to 150 zł, bo 150 zł + 150 zł = 300 zł. 


Połowa z 900 zł to 450 zł, bo 450 zł + 450 zł = 900 zł. 


Połowa z 1500 zł to 750 zł, bo 750 zł + 750 zł = 1500 zł. 


Połowa z 6000 zł to 3000 , bo 3000 zł + 3000 zł = 6000 zł. 


Połowa z 7000 zł to 3500 zł, bo 3500 zł + 3500 zł = 7000 zł. 


Połowa z 1 000 000 zł to 500 000 zł, bo 500 000 zł + 500 000 zł = 1 000 000 zł. 

Ile kwadracików ...

W kwadracie o boku 1 cm mieści się 100 kwadratów o boku 1 mm. 

Oblicz powierzchnię...

Ilość płytek potrzebnych  do ozdobienia : 15 

Pole płytki: 

Powierzchnia muru: 

`P=4\ "dm"^2*15=60\ "dm"^2`

Odp. Powierzchnia tego muru wynosi 60 dm2.

Ułóż swoją krzyżówkę liczbową.

Poziomo: 

 

Pionowa:

 

Poprawnie wykonano odejmowanie:

Zaznacz liczby:




* liczba dzieli się przez 3 jeśli suma jej cyfr dzieli się przez 3
** liczba dzieli się przez 9 jeśli suma jej cyfr dzieli się przez 9

Figura I to sześciokąt. A jakim wielokątem jest figura III?

Figura III ma {premium}12 wierzchołków, jest więc dwunastokątem

Na podstawie podanej równości odpowiedz na pytanie.

1 cm jest 10 razy dłuższy od 1 milimetra{premium}

1 km jest 1000 razy dłuższy od 1 metra

1 min jest 60 razy krótsza od 1 godziny

1 sekunda jest 60 razy krótsza od 1 minuty

1 dekagram jest 100 razy lżejszy od 1 kilograma

1 tona jest 1000 razy cięższa od 1 kilograma

1 milimetr jest 100 razy krótszy od 1 decymetra

1 dekagram jest 10 razy cięższy od 1 grama. 

Z pięciu cyfr używając każdej z nich dokładnie raz

 

ODP:{premium}

a) Największa możliwa suma to 922. 

b) Najmniejsza możliwa suma to 265. 

W narysowanych poniżej figurach jest 6 kątów...