Pola figury - 4-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Jednostki pola

Jednostki pola służą do określenia pola danej figury, mówią nam ile maksymalnie kwadratów jednostkowych mieści się wewnątrz danej figury.

Jednostką pola może być dowolny kwadrat, jednak najczęściej używane są poniżej przedstawione jednostki pola, które ułatwiają przekazywanie informacji o polach figur:

  • $$1 mm^2$$ (milimetr kwadratowy) → pole kwadratu o boku 1 mm jest równe $$1 mm^2$$
  • $$1 cm^2$$ (centymetr kwadratowy) → pole kwadratu o boku 1 cm jest równe 1 $$cm^2$$
  • $$1 dm^2$$ (decymetr kwadratowy) → pole kwadratu o boku 1 dm jest równe $$1 dm^2$$
  • $$1 m^2$$(metr kwadratowy) → pole kwadratu o boku 1 m jest równe $$1 m^2$$
  • $$1 km^2$$ (kilometr kwadratowy) → pole kwadratu o boku 1 km jest równe $$1 km^2$$
  • $$1 a$$ (ar) → pole kwadratu o boku 10 m jest równe 100 $$m^2$$
  • $$1 ha$$ (hektar) → pole kwadratu o boku 100 m jest równe 10000 $$m^2$$

Zależności między jednostkami pola:

  • $$1 cm^2 = 100 mm^2$$ ; $$1 mm^2 = 0,01 cm^2$$
  • $$1 dm^2 = 100 cm^2 = 10 000 mm^2$$; $$1 cm^2 = 0,01 dm^2$$
  • $$1 m^2 = 100 dm^2 = 10 000 cm^2 = 1 000 000 mm^2$$; $$1 dm^2 = 0,01 m^2$$
  • $$1 km^2 = 1 000 000 m^2 = 10 000 a = 100 ha$$; $$1 ha = 0,01 km^2$$
  • $$1 a = 100 m^2$$; $$1 m^2 = 0,01 a$$
  • $$1 ha = 100 a = 10 000 m^2$$; $$1 a = 0,01 ha$$

Przykłady wyprowadzania powyższych zależności:

  • $$1 cm^2 = 10mm•10mm=100$$ $$mm^2$$
  • $$1 cm^2 = 0,1dm•0,1dm=0,01$$ $$dm^2$$
  • $$1 km^2 = 1000m•1000m=1000000$$ $$m^2$$

Pole prostokąta

Liczbę kwadratów jednostkowych potrzebnych do wypełnienia danego prostokąta nazywamy polem prostokąta.


Prostokąt o bokach długości a i b ma pole równe: $$P = a•b$$.

pole prostokąta

W szczególności: pole kwadratu o boku długości a możemy policzyć ze wzoru: $$P=a•a=a^2$$.

  Zapamiętaj

Przed policzeniem pola prostokąta pamiętaj, aby sprawdzić, czy boki prostokąta są wyrażone w takich samych jednostkach.

Przykład:

  • Oblicz pole prostokąta o bokach długości 2 cm i 4 cm.

    $$ P=2 cm•4 cm=8 cm^2 $$
    Pole tego prostokąta jest równe 8 $$cm^2$$.

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Pokój Kasi ma kształt prostokąta o wymiarach 6 m i 3 m. Pokój Kacpra ma kształt kwadratu o boku 4 m. Który pokój ma większą powierzchnię?

$$P_1 = 6m•3m = 18m^2$$ → pole powierzchni pokoju Kasi

$$P_2 = 4m•4 m=16m^2$$ → pole powierzchni pokoju Kacpra

$$P_1 = 18m^2$$ > $$16m^2 = P_2$$

Odp.: Pokój Kasi ma większą powierzchnię.

Zadanie 2.

Pan Zbychu liczy sobie 20 zł za wyłożenie 1 $$m^2$$ terakoty. Ile zarobi Pan Zbychu za wyłożenie terakotą kuchni o wymiarach 4 m i 5 m?

$$P=4•5=20 m^2$$ -> pole powierzchni kuchni

$$20 m^2•20{zł}/{m^2} =400 $$

Odp.: Pan Zbychu zarobi 400 zł.

Zadanie 3.

Oblicz pole kwadratu o obwodzie 48 cm.

$$Obw=48 cm$$
$$Obw=4a$$
$$4a=48 cm$$  |:4
$$a=12cm$$

$$P=a^2=12^2=144 cm^2$$

Odp.: Pole tego kwadratu wynosi 144 $$cm^2$$.

Zadanie 4.

Z 12 jednakowych kwadratów o polu 1 $$cm^2$$ budujemy prostokąt. Podaj wymiary, jakie może przyjmować ten prostokąt.

$$P=12•1 cm^2=12 cm^2$$ -> pole prostokąta

Zapiszmy w jaki sposób możemy zapisać liczbę 12 jako iloczyn dwóch liczb naturalnych:

12=2•6=6•2; 12=3•4=4•3; 12=12•1=1•12

Odp.: Zbudowany prostokąt może mieć wymiary $$2x6$$ cm, $$3x4$$ cm lub $$12x1$$ cm.

Zadanie 5.

Oblicz pole prostokąta o wymiarach:

  1. 2 m i 3 m
  2. 4 cm i 8 cm
  3. 1 km i 10 km
  1. $$P=2 m•3 m=6 m^2 $$
  2. $$P=4 cm•8 cm=32 cm^2 $$
  3. $$P=1 km•10 km=10 km^2 $$

Zadanie 6.

Jeden z boków prostokąta ma długość 7 cm, a drugi bok jest o 2 cm dłuższy. Jakie pole ma ten prostokąt?

a -> $$7$$ cm

b -> $$7+2=9$$ cm

$$P=a•b=7•9=63 cm^2$$

Odp.: Ten prostokąt ma pole 63 $$cm^2$$.

Zadanie 7.

Oblicz pole powierzchni prostokąta o wymiarach 15 dm i 25 cm.

Zauważmy, że boki są wyrażone w różnych jednostkach. Przed wykonaniem obliczeń musimy je ujednolicić – zamieńmy dm na cm.

$$15 dm = 15•10cm= 150 cm$$

Prostokąt ma wymiary 150 cm i 25 cm. Policzmy jego pole:

$$P =a•b=150cm•25cm= 3750cm^2 = 3750•0,01dm^2 = 37,5 dm^2$$

Odp.: Pole tego prostokąta jest równe 37,5 $$dm^2$$.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Jacek zapakował prezent do pudełka w kształcie prostopadłościanu ...

Na każdej ścianie Jacek nakleił po 4 serduszka, ponieważ styka się ona z 4 wierzchołkami. 

Prostopadłościan ma 6 ścian. 


Łączna liczba wykorzystanych serduszek to:


Odpowiedź: Jacek nakleił 24 serduszka. 

Robot kuchenny jest w pudełku w kształcie prostopadłościanu o wymiarach ...

Obliczamy pole powierzchni jednego opakowania na robota:

 

Doliczamy do otrzymanego wyniku 300 cm2 na założenia. 

 


Obliczamy, ile wynosi pole powierzchni 10 takich pudełek.

Pole powierzchni 10 takich pudełek wynosi 17 620 cm2

 

 

Zamieniając z decymetrów kwadratowych na centymetry kwadratowe mnożymy razy 100.  

 


 

Odpowiedź: Na zapakowanie 10 robotów potrzeba 17 620 cm2 papieru, czyli więcej niż 150 dm2.   

Która z podanych liczb jest większa od 1 7/9?


 
Z dwóch ułamków o takich samych mianownikach ten jest większy, który ma większy licznik, a 7 > 3. 


 
Licznik ułamka po prawej stronie jest większy od połowy mianownika (7 > 4,5), więc 7/9 > 1/2. 


 
Z dwóch ułamków o takich samych licznikach ten jest większy, który ma mniejszy mianownik, a 8 < 9. 

Daniel z zapałek zbudował kolejne figury...

Pierwsza figura zbudowana przez Daniela ma pole równe 1.

Druga figura jest cztery razy większa od pierwszej figury. Część zaznaczona przez Daniela w drugiej figurze jest więc równa 3 (ponieważ jest to część, o którą powiększyła się druga figura w stosunku do pierwszej)

Trzecia figura jest trzy razy większa od pierwszej figury. Możemy zauważyć, że zaznaczona część ma pole równe 5

Możemy zauważyć, że pole pierwszej figury było równe 1. Pole drugiej figury było większe o 3, a drugiej figury - większe o 5. Możemy więc powiedzieć, że pole każdej następnej figury będzie większe o kolejną liczbę nieparzystą - 7, 9, 11 itp. Sprawdźmy to dla piątej figury zbudowanej przez Daniela:

Nasza teoria się zgadza. Pole piątej figury jest powiększone o 9 w stosunku do pola czwartej figury. A więc pole 10 figury będzie powiększone o 19

W pewnej gminie...

Pan Wojtek przeznaczył 1000 zł na urlop...

Karnet narciarski kosztował o  mniej niż noclegi, czyli:

 

Wyżywienie kosztowało dwa razy mniej niż noclegi, czyli:

 

Pan Wojtek wydał na wszystko: 

 

Obliczamy, ile pieniędzy mu zostało:

 

Odp. Panu Wojtkowi zostało   

 

W lodówce są dwa...

Ananas kosztuje 8 zł, 1 kg gruszek 4 zł, a 1 kg jabłek 3 zł 50 gr

{premium}

Przedpokój w rzeczywistości ma

Zamieńmy 3 m na cm i mm:

 

Obliczamy, ile razy mniejsze niż 3 m (czyli 300 cm) jest 30 cm

 

Obliczamy, ile razy mniejsze niż 3 m (czyli 300 cm) jest 15 cm

 

Obliczamy, ile razy mniejsze niż 3 m (czyli 3000 mm) są 3 mm:

 

Obliczamy, ile razy mniejsze niż 3 m (czyli 300 cm) są 3 cm

 

Należy połączyć w następujący sposób: 

 

W każdym prostokącie...

Rozwiązanie przedstawiono na rysunku: {premium}