Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Liczby i działania - 4-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Dodawanie i odejmowanie

Działania arytmetyczne to dwuargumentowe działania, które dwóm danym liczbom przyporządkowują trzecią liczbę, czyli tzw. wynik działania. Zaliczamy do nich dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie.

  1. Dodawanie to działanie przyporządkowujące dwóm liczbom a i b, liczbę c = a + b. Wynik dodawania nazywany jest sumą, a dodawane składnikami sumy.
     

    dodawanie liczb


    Składniki podczas dodawania można zamieniać miejscami, dlatego mówimy, że jest ono przemienne. Niekiedy łatwiej jest dodać dwa składniki, gdy skorzystamy z tej własności.
    Przykład: $$7 + 19 = 19 +7$$.

    Kiedy jednym ze składników sumy jest inna suma np. (4+8), to możemy zmienić położenie nawiasów (a nawet je pominąć), na przykład $$12 + (4 + 8) = (12 + 8) + 4 = 12 + 8 + 4$$
    Mówimy, że dodawanie jest łączne.

    Poniżej przedstawiamy przykład, gdy warto skorzystać z praw łączności i przemienności:
    $$12 + 3 + 11 + (7 + 8) + 9 = 12 + 8 +3 +7 + 11 + 9 = 20 + 10 + 20 = 50$$
     

  2. Odejmowanie
    Odjąć liczbę b od liczby a, tzn. znaleźć taką liczbę c, że a = b+ c.
    Przykład $$23 - 8 = 15$$, bo $$8 + 15 = 23$$.

    Odejmowane obiekty nazywane są odpowiednio odjemną i odjemnikiem, a wynik odejmowania różnicą.

    odejmowanie liczb

    Odejmowanie w przeciwieństwie do dodawania nie jest ani łączne, ani przemienne.
    np. $$15 - 7 ≠ 7 - 15$$ (gdzie symbol ≠ oznacza "nie równa się").
 

Mnożenie i dzielenie

Kolejnymi działaniami, które poznasz są mnożenie i dzielenie.

  1. Mnożenie to działanie przyporządkowujące dwóm liczbom a i b liczbę c = a•b (lub a×b). Mnożone liczby nazywamy czynnikami, a wynik mnożenia iloczynem.

    mnożenie liczb

    Mnożenie jest:

    1. przemienne (czynniki można zamieniać miejscami) , np. 3 • 2 = 2 • 3
    2. łączne (gdy mamy większą liczbę czynników możemy je mnożyć w dowolnej kolejności),
      np. $$(3 • 5) • 2 = 3 • (5 • 2)$$
    3. rozdzielne względem dodawania i odejmowania
      np. 2 • (3 + 4) = 2 • 3 + 2 • 4
      2 • ( 4 - 3) = 2 • 4 - 2 • 3
      Wykorzystując łączność mnożenia można zdecydowanie łatwiej uzyskać iloczyn np.: 4 • 7 • 5 = (4 • 5) • 7 = 20 • 7 = 140
  2. Dzielenie
    Podzielić liczbę a przez b oznacza znaleźć taką liczbę c, że $$a = b • c$$, np. $$12÷3 = 4$$, bo $$12 = 3 • 4$$.
    Wynik dzielenia nazywamy ilorazem, a liczby odpowiednio dzielną i dzielnikiem.

    dzielenie liczb

    Dzielenie podobnie jak odejmowanie nie jest ani przemienne, ani łączne
     

  Ciekawostka

Znak x (razy) został wprowadzony w 1631 przez angielskiego matematyka W. Oughtreda, a symbol ͈„•” w 1698 roku przez niemieckiego filozofa i matematyka G. W. Leibniz'a.

Dzielenie z resztą

Dzielenie z resztą to takie dzielenie, w którym otrzymujemy pewien iloraz oraz resztę. 


Sposób wykonywania dzielenia z resztą:

  1. Podzielmy liczbę 23 przez 3.

  2. Wynikiem dzielenia nie jest liczba całkowita (pewna część nam pozostanie). Maksymalna liczba 3, które zmieszczą się w 23 to 7.

  3. `7*3=21` 

  4. Różnica między liczbami 23 i 21 wynosi `23-21=2` , zatem resztą z tego dzielenia jest liczba 2.

  5. Poprawny zapis działania: `23:3=7 \ "r" \ 2` $$r.2$$


Przykłady:

  • `5:2=2 \ "r" \ 1` 
    Sprawdzenie:  `2*2+1=4+1=5` 

  • `27:9=3 \ "r" \ 0` 
    Sprawdzenie:  `3*9+0=27+0=27` 

  • `53:5=10 \ "r" \ 3` 
    Sprawdzenie: `10*5+3=50+3=53` 

  • `102:20=5 \ "r" \ 2` 
    Sprawdzenie:  `5*20+2=100+2=102` 


Zapamiętaj!!!

Reszta jest zawsze mniejsza od dzielnika.

Kwadraty i sześciany liczb

Iloczyn jednakowych czynników możemy zapisać krócej - w postaci potęgi.

  1. Iloczyn dwóch takich samych liczb (czynników) nazywamy kwadratem tej liczby (czynnika) lub mówimy, że dana liczba (czynnik) jest podniesiona do potęgi drugiej.
    Przykład:
    $$5•5=5^2 $$, czytamy: „kwadrat liczby pięć” lub „pięć do potęgi drugiej”

  2. Iloczyn trzech takich samych czynników nazywamy sześcianem tej liczby (czynnika) lub mówimy, że dana liczba (czynnik) jest podniesiona do potęgi trzeciej.
    Przykład:
    $$7•7•7=7^3$$, czytamy: „sześcian liczby siedem” lub „siedem do potęgi trzeciej”

  3. Gdy występuje iloczyn więcej niż trzech takich samych czynników mówimy, że dana liczba (czynnik) jest podniesiony do potęgi takiej ile jest czynników.
    Przykład:
    $$3•3•3•3•3=3^5 $$, czytamy: „trzy do potęgi piątej”

    $$2•2•2•2•2•2•2=2^7 $$, czytamy: „dwa do potęgi siódmej”
     

potegi-nazewnictwo

Kolejność wykonywania działań

Przy rozwiązywaniu bardziej skomplikowanego działania, najważniejsze jest zachowanie kolejności wykonywania działań.

Kolejność wykonywania działań:

  1. Wykonywanie działań w nawiasach;

  2. Potęgowanie i pierwiastkowanie;

  3. Mnożenie i dzielenie (jeżeli w działaniu występuje dzielenie lub zarówno mnożenie, jak i dzielenie, to działania wykonujemy w kolejności w jakiej są zapisane od lewej do prawej strony).
    Przykład: $$16÷2•5=8•5=40$$;

  4. Dodawanie i odejmowanie (jeżeli w działaniu występuje odejmowanie lub zarówno dodawanie, jak i odejmowanie, to działania wykonujemy w kolejności w jakiej są zapisane od lewej strony do prawej).
    Przykład: $$24 - 6 +2 = 18 + 2 = 20$$.

Przykład:

$$(45-9•3)-4=(45-27)-4=18-4=14 $$
 

Oś liczbowa

Oś liczbowa to prosta, na której każdemu punktowi jest przypisana dana wartość liczbowa, zwana jego współrzędną.

Przykład:

osie liczbowe

Odcinek jednostkowy na tej osi to część prostej między -1 i 0.

Po prawej stronie od 0 znajduje się zbiór liczb nieujemnych, a po lewej zbiór liczb niedodatnich. Grot strzałki wskazuje, że w prawą stronę rosną wartości współrzędnych. Oznacza to, że wśród wybranych dwóch współrzędnych większą wartość ma ta, która leży po prawej stronie (względem drugiej współrzędnej).

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Załoga jednego czołgu to cztery osoby. Ile osób łącznie jechałoby w trzynastu takich czołgach?

1 czołg – 4 kolegów ->
13 czołgów - $$13•4=52$$ kolegów

Odp.: W trzynastu takich czołgach jechałoby 52 kolegów.

Zadanie 2.

Wykonaj dzielenie z resztą:

  1. $$27÷6$$
  2. $$48÷7$$
  3. $$93÷9$$
  1. $$27÷6=4$$ r.$$3$$
  2. $$48÷7=6$$ r.$$6$$
  3. $$93÷9=10$$ r.$$3$$

Zadanie 3.

Oblicz:

  1. sumę liczb 15 i 8
  2. różnicę liczb 22 i 6
  3. iloczyn liczb 4 i 3
  4. iloraz liczb 42 i 7
  1. $$ 15+8=22$$
  2. $$ 22-6=16$$
  3. $$ 4•3=12$$
  4. $$ 42÷7=6$$

Zadanie 4.

Pewna stonoga ma 24 nogi. Ile nóg ma 5 takich stonóg?

1 stonoga – 24 nogi -> 5 stonóg - $$24•5=120$$ nóg

Odp.: Pięć takich stonóg ma 120 nóg.

Zadanie 5.

Zapisz w postaci potęgi:

  1. $$ 13•13•13•13 $$
  2. $$ 4•4•4•4•4•4•4•4•4 $$
  3. $$ 2•2•2 $$
  1. $$ 13•13•13•13=13^4 $$
  2. $$4•4•4•4•4•4•4•4•4=4^9$$
  3. $$ 2•2•2=2^3 $$

Zadanie 6.

Oblicz:

  1. $$ 3^4 $$
  2. $$ 2^2$$
  3. *$$ 5^0$$
  1. $$ 3^4=3•3•3•3=81 $$
  2. $$ 2^2=2•2=4 $$
  3. *$$ 5^0=1 $$ ("Każda potęga o podstawie różnej od zera i wykładniku równym zero jest równa jeden")

Spis treści

Rozwiązane zadania
Przyjrzyj się poniższym rysunkom

a) Ile Janek zapłaci za rakietę do tenisa ziemnego i pokrowiec na rakietę? 

b) Ile trzeba zapłacić za części i za robotę łącznie? 

Na podstawie rysunku zaznacz poprawne (...)

a) C. 5 cm

b) B. 3 cm

c) A. 3 cm

Kwadrat o wymiarach 4 cm x 4 cm...

W tabeli zapisano liczbę kilogramów makulatury...

`"a)"` W grudniu najwięcej makulatury zebrała klasa IVa, bo `36\ "kg."` 

 

`"b)"\ 21\ "kg"+22\ "kg"+40\ "kg"=43\ "kg"+40\ "kg"=83\ "kg"`     

Odp. Wszystkie klasy czwarte zebrały w listopadzie `83\ "kg"` makulatury.

 

`"c)"` Obliczamy, ile kilogramów makulatury zebrano w październiku:

`23\ "kg"+46\ "kg"+17\ "kg"=69\ "kg"+17\ "kg"=79\ "kg"+7\ "kg"=86\ "kg"` 

Obliczamy, ile kilogramów makulatury zebrano w grudniu:

`36\ "kg"+32\ "kg"+33\ "kg"=68\ "kg"+33\ "kg"=98\ "kg"+3\ "kg"=101\ "kg"` 

Porównujemy wyniki - widzimy, że najwięcej makulatury zebrano w grudniu, bo aż `101\ "kg."` 

 

`"d)"` Obliczamy, ile makulatury zebrała każda z klas w ciągu trzech miesięcy:

IVa: `23\ "kg"+21\ "kg"+36\ "kg"=44\ "kg"+36\ "kg"=80\ "kg"` 

IVb: `46\ "kg"+22\ "kg"+32\ "kg"=68\ "kg"+32\ "kg"=100\ "kg"` 

IVc: `17\ "kg"+40\ "kg"+33\ "kg"=57\ "kg"+33\ "kg"=90\ "kg"` 

Porównujemy wyniki - widzimy, że najmniej makulatury zebrała klasa IVa. Obliczamy, 

o ile kilogramów mniej od pozostałych klas:

od klasy IVb: `100\ "kg"-80\ "kg"=20\ "kg"` 

od klasy IVc: `90\ "kg"-80\ "kg"=10\ "kg"` 

Odp. Najmniej makulatury zebrała klasa IVa. Uczniowie tej klasy zebrali o `20\ "kg"` mniej od klasy IVb

i o `10\ "kg"` mniej od klasy IVc.

 

`"e)"` 

 

Uzupełnij tabelkę.

 

`*4`

`- >`

220 500 1300 2500 20100

`<-`

`:4`

880 2000 5200 10000 80400

 

Jędrek maluje dwie...

Jak możemy zauważyć obydwie deseczki składają sie z takich samych kwadratów: 

Deseczka A składa się z 9 kwadratów (3 x 3 =9)

Deseczka B skała się z 8 kwadratów (4 x 2= 8 ) 

Więcej farby zużyjemy do pomalowania deseczki A 

Wstaw znak...

a) 4,20 > 4,18,  4,2 > 4,18

b) 8,50 > 8,32,  8,5 > 8,32

c) 0,752 > 0,750,  0,752 > 0,75

d) 3,200 > 3,065,  3,2 >3,065

Podkreśl nazwy tych odcinków...

AB=BA

MN=NM

Poniższe liczby zostały napisane zgodnie z pewną ...

a) Zauważmy, że każda kolejna liczba jest o 9 większa od poprzedniej. 

`18=9+9` 

`27=18+9` 

`36=27+9` 

Kolejne liczby to: 

`45+9=54` 

`54+9=63` 

`63+9=72` 

Mamy więc: 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, ...    

 

b) Zauważmy, że każda kolejna liczba jest o 15 większa od poprzedniej. 

`18=3+15` 

`33=18+15` 

`48=33+15` 

Kolejne liczby to: 

`63+15=78` 

`78+15=93` 

`93+15=108` 

Mamy więc: 3, 18, 33, 48, 63, 78, 93, 108, ...    

 

c) Zauważmy, że każda kolejna liczba jest o 20 mniejsza od poprzedniej. 

`280=300-20` 

`260=280-20` 

`240=260-20` 

Kolejne liczby to: 

`220-20=200` 

`200-20=180` 

`180-20=160` 

Mamy więc: 300, 280, 260, 240, 220, 200, 180, 160, ...    

 

d) Zauważmy, że każda kolejna liczba jest o 12 mniejsza od poprzedniej. 

`188=200-12` 

`176=188-12`  

`164=176-12`  

Kolejne liczby to: 

`152-12=140`  

`140-12=128`  

`128-12=116`  

Mamy więc: 200, 188, 176, 164, 152, 140, 128, 116, ... 

 

e) Zauważmy, że trzecia liczba jest o 5 większa od pierwszej z liczb. 

Piąta z liczb jest o 5 większa od trzeciej z liczb. 


Czwarta liczba jest o 5 większa od drugiej liczby. 

Szósta liczba jest o 5 większa od czwartek liczby. 


Siódma liczba będzie więc o 5 większa od piątej z liczb, czyli będzie wynosić: 

`60+5=65` 

Ósma liczba będzie o 5 większa od szóstej z liczb, czyli będzie wynosić: 

`70+5=75` 

Dziewiąta liczba będzie o 5 większa od siódmej z liczb, czyli będzie wynosić: 

`65+5=70` 

Mamy więc: 50, 60, 55, 65, 60, 70, 65, 75, 70, ...

 

f) Poniższy rysunek przedstawia regułę według której powstają kolejne liczby.  

Kolejne liczby to: 

`22+7=29` 

`29+8=37` 

`37+9=46` 

Mamy więc: 1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, 29, 37, 46, ...   

Jeden bok prostokąta ma długość...

Jeden bok prostokąta ma długość 6 cm. Drugi jest o 4 cm dłuższy. Obliczmy długość drugiego boku prostokąta:

`6\ "cm"+4\ "cm"=10\ "cm"` 

Prostokąt ma więc wymiary 6 cm x 10 cm. Obliczmy jego obwód:

`"Obw."=2*(6\ "cm"+10\ "cm")=2*16\ "cm"=32\ "cm"` 

 

Odpowiedź: Obwód tego prostokąta jest równy 32 cm.