Liczby i działania - 4-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Dodawanie i odejmowanie

Działania arytmetyczne to dwuargumentowe działania, które dwóm danym liczbom przyporządkowują trzecią liczbę, czyli tzw. wynik działania. Zaliczamy do nich dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie.

  1. Dodawanie to działanie przyporządkowujące dwóm liczbom a i b, liczbę c = a + b. Wynik dodawania nazywany jest sumą, a dodawane składnikami sumy.
     

    dodawanie liczb


    Składniki podczas dodawania można zamieniać miejscami, dlatego mówimy, że jest ono przemienne. Niekiedy łatwiej jest dodać dwa składniki, gdy skorzystamy z tej własności.
    Przykład: $$7 + 19 = 19 +7$$.

    Kiedy jednym ze składników sumy jest inna suma np. (4+8), to możemy zmienić położenie nawiasów (a nawet je pominąć), na przykład $$12 + (4 + 8) = (12 + 8) + 4 = 12 + 8 + 4$$
    Mówimy, że dodawanie jest łączne.

    Poniżej przedstawiamy przykład, gdy warto skorzystać z praw łączności i przemienności:
    $$12 + 3 + 11 + (7 + 8) + 9 = 12 + 8 +3 +7 + 11 + 9 = 20 + 10 + 20 = 50$$
     

  2. Odejmowanie
    Odjąć liczbę b od liczby a, tzn. znaleźć taką liczbę c, że a = b+ c.
    Przykład $$23 - 8 = 15$$, bo $$8 + 15 = 23$$.

    Odejmowane obiekty nazywane są odpowiednio odjemną i odjemnikiem, a wynik odejmowania różnicą.

    odejmowanie liczb

    Odejmowanie w przeciwieństwie do dodawania nie jest ani łączne, ani przemienne.
    np. $$15 - 7 ≠ 7 - 15$$ (gdzie symbol ≠ oznacza "nie równa się").
 

Mnożenie i dzielenie

Kolejnymi działaniami, które poznasz są mnożenie i dzielenie.

  1. Mnożenie to działanie przyporządkowujące dwóm liczbom a i b liczbę c = a•b (lub a×b). Mnożone liczby nazywamy czynnikami, a wynik mnożenia iloczynem.

    mnożenie liczb

    Mnożenie jest:

    1. przemienne (czynniki można zamieniać miejscami) , np. 3 • 2 = 2 • 3
    2. łączne (gdy mamy większą liczbę czynników możemy je mnożyć w dowolnej kolejności),
      np. $$(3 • 5) • 2 = 3 • (5 • 2)$$
    3. rozdzielne względem dodawania i odejmowania
      np. 2 • (3 + 4) = 2 • 3 + 2 • 4
      2 • ( 4 - 3) = 2 • 4 - 2 • 3
      Wykorzystując łączność mnożenia można zdecydowanie łatwiej uzyskać iloczyn np.: 4 • 7 • 5 = (4 • 5) • 7 = 20 • 7 = 140
  2. Dzielenie
    Podzielić liczbę a przez b oznacza znaleźć taką liczbę c, że $$a = b • c$$, np. $$12÷3 = 4$$, bo $$12 = 3 • 4$$.
    Wynik dzielenia nazywamy ilorazem, a liczby odpowiednio dzielną i dzielnikiem.

    dzielenie liczb

    Dzielenie podobnie jak odejmowanie nie jest ani przemienne, ani łączne
     

  Ciekawostka

Znak x (razy) został wprowadzony w 1631 przez angielskiego matematyka W. Oughtreda, a symbol ͈„•” w 1698 roku przez niemieckiego filozofa i matematyka G. W. Leibniz'a.

Dzielenie z resztą

Na początek zapoznajmy się z twierdzeniem o dzieleniu z resztą, które brzmi następująco:
"Dla pary liczb całkowitych a i b (gdzie b ≠ 0) istnieją liczby całkowite q i r, dla których spełnione jest równanie a = qb + r, gdzie 0 ≤ r < │b│. Liczby q i r nazywa się odpowiednio ilorazem i resztą z dzielenia a przez b."

Innymi słowy, dzielenie z resztą to takie dzielenie, w którym iloraz nie jest liczbą całkowitą.

Przykład obliczania reszty z dzielenia:

  1. Podzielmy liczbę 23 przez 3.
  2. Wynikiem dzielenia nie jest liczba całkowita (nie dzieli się równo). Maksymalna liczba trójek, które zmieszczą się w 23 to 7.
  3. $$7 • 3 = 21$$
  4. Różnica między liczbami 23 i 21 wynosi 2, zatem resztą z tego dzielenia jest liczba 2.
  5. Poprawny zapis działania: $$21÷3=7$$ $$r.2$$

Przykłady:

  • $$5÷2=2$$ r. 1
  • $$27÷9=3$$ r. 0
  • $$(-8)÷(-3)=3 r. 1$$
  • $$(-15)÷4=-3$$ .r -3 lub $$(-15)÷4=-4$$ r. 1

  Zapamiętaj

Reszta jest zawsze mniejsza od dzielnika.

Kwadraty i sześciany liczb

Iloczyn jednakowych czynników możemy zapisać krócej - w postaci potęgi.

  1. Iloczyn dwóch takich samych liczb (czynników) nazywamy kwadratem tej liczby (czynnika) lub mówimy, że dana liczba (czynnik) jest podniesiona do potęgi drugiej.
    Przykład:
    $$5•5=5^2 $$, czytamy: „kwadrat liczby pięć” lub „pięć do potęgi drugiej”

  2. Iloczyn trzech takich samych czynników nazywamy sześcianem tej liczby (czynnika) lub mówimy, że dana liczba (czynnik) jest podniesiona do potęgi trzeciej.
    Przykład:
    $$7•7•7=7^3$$, czytamy: „sześcian liczby siedem” lub „siedem do potęgi trzeciej”

  3. Gdy występuje iloczyn więcej niż trzech takich samych czynników mówimy, że dana liczba (czynnik) jest podniesiony do potęgi takiej ile jest czynników.
    Przykład:
    $$3•3•3•3•3=3^5 $$, czytamy: „trzy do potęgi piątej”

    $$2•2•2•2•2•2•2=2^7 $$, czytamy: „dwa do potęgi siódmej”
     

potegi-nazewnictwo

Kolejność wykonywania działań

Przy rozwiązywaniu bardziej skomplikowanego działania, najważniejsze jest zachowanie kolejności wykonywania działań.

Kolejność wykonywania działań:

  1. Wykonywanie działań w nawiasach;

  2. Potęgowanie i pierwiastkowanie;

  3. Mnożenie i dzielenie (jeżeli w działaniu występuje dzielenie lub zarówno mnożenie, jak i dzielenie, to działania wykonujemy w kolejności w jakiej są zapisane od lewej do prawej strony).
    Przykład: $$16÷2•5=8•5=40$$;

  4. Dodawanie i odejmowanie (jeżeli w działaniu występuje odejmowanie lub zarówno dodawanie, jak i odejmowanie, to działania wykonujemy w kolejności w jakiej są zapisane od lewej strony do prawej).
    Przykład: $$24 - 6 +2 = 18 + 2 = 20$$.

Przykład:

$$(45-9•3)-4=(45-27)-4=18-4=14 $$
 

Oś liczbowa

Oś liczbowa to prosta, na której każdemu punktowi jest przypisana dana wartość liczbowa, zwana jego współrzędną.

Przykład:

osie liczbowe

Odcinek jednostkowy na tej osi to część prostej między -1 i 0.

Po prawej stronie od 0 znajduje się zbiór liczb nieujemnych, a po lewej zbiór liczb niedodatnich. Grot strzałki wskazuje, że w prawą stronę rosną wartości współrzędnych. Oznacza to, że wśród wybranych dwóch współrzędnych większą wartość ma ta, która leży po prawej stronie (względem drugiej współrzędnej).

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Załoga jednego czołgu to cztery osoby. Ile osób łącznie jechałoby w trzynastu takich czołgach?

1 czołg – 4 kolegów ->
13 czołgów - $$13•4=52$$ kolegów

Odp.: W trzynastu takich czołgach jechałoby 52 kolegów.

Zadanie 2.

Wykonaj dzielenie z resztą:

  1. $$27÷6$$
  2. $$48÷7$$
  3. $$93÷9$$
  1. $$27÷6=4$$ r.$$3$$
  2. $$48÷7=6$$ r.$$6$$
  3. $$93÷9=10$$ r.$$3$$

Zadanie 3.

Oblicz:

  1. sumę liczb 15 i 8
  2. różnicę liczb 22 i 6
  3. iloczyn liczb 4 i 3
  4. iloraz liczb 42 i 7
  1. $$ 15+8=22$$
  2. $$ 22-6=16$$
  3. $$ 4•3=12$$
  4. $$ 42÷7=6$$

Zadanie 4.

Pewna stonoga ma 24 nogi. Ile nóg ma 5 takich stonóg?

1 stonoga – 24 nogi -> 5 stonóg - $$24•5=120$$ nóg

Odp.: Pięć takich stonóg ma 120 nóg.

Zadanie 5.

Zapisz w postaci potęgi:

  1. $$ 13•13•13•13 $$
  2. $$ 4•4•4•4•4•4•4•4•4 $$
  3. $$ 2•2•2 $$
  1. $$ 13•13•13•13=13^4 $$
  2. $$4•4•4•4•4•4•4•4•4=4^9$$
  3. $$ 2•2•2=2^3 $$

Zadanie 6.

Oblicz:

  1. $$ 3^4 $$
  2. $$ 2^2$$
  3. *$$ 5^0$$
  1. $$ 3^4=3•3•3•3=81 $$
  2. $$ 2^2=2•2=4 $$
  3. *$$ 5^0=1 $$ ("Każda potęga o podstawie różnej od zera i wykładniku równym zero jest równa jeden")

Spis treści

3 szkoły podstawowej
4 szkoły podstawowej
5 szkoły podstawowej
6 szkoły podstawowej
7 szkoły podstawowej
II gimnazjum
III gimnazjum
Matura podstawowa
Matura rozszerzona
Rozwiązane zadania
Ułóż takie zadanie tekstowe, aby jego rozwiązanie można było zapisać w postaci

`a)`

Ola i Ala zbierają znaczki. Ola ma w swojej kolekcji 48 znaczków, a Ala ma ich o 13 mniej. Ile znaczków ma Ala?

 

`b)`

W pewnej szkole jest 6 klas czwartych, w każdej klasie jest 20 uczniów. Ilu czwartoklasistów uczy się w tej szkole? 

 

`c)`

Adam ma 13 zł, a Jurek o 8 zł więcej. Ile pieniędzy ma Jurek? 

 

`d)`

Babcia kupiła 48 cukierków i rozdzieliła je sprawiedliwie między 3 wnucząt. Ile cukierków dostało każde dziecko? 

Uzupełnij równość w ramce...

`a)54-20=34` 

`54-21=33` 

`54-27=27` 

`b)64-30=34` 

`64-33=31` 

`64-37=27` 

`c)70-40=30` 

`70-46=24` 

`70-44=26` 

Żaba , Zosia , zając..

Jeden z boków prostokąta ma długość 3 cm...

`3\ "cm"*4=12\ "cm"`

Odp. Drugi bok prostokąta ma długość `12\ "cm." ` 

Oblicz:

`a) \ 3/4-1/4=2/4` 

` \ \ \6/7-2/7=4/7` 

` \ \ \ 2\ 4/5-2/5=2\ 2/5` 

` \ \ \ 3\ 8/9-5/9=3\ 3/9` 



`b) \ 1\ 5/7-1\ 3/7=2/7` 

` \ \ \ 2\ 12/15-1\ 3/15=1\ 9/15` 

` \ \ \ 3\ 2/10-2\ 1/10=1\ 1/10` 

` \ \ \ 4\ 11/15-2\ 7/15=2\ 4/15` 



`c) \ 1-1/3=2/3` 

` \ \ \ 2-1/4=1\ 3/4` 

` \ \ \ 2-1\ 3/5=2/5` 

`\ \ \ 3-2\ 3/7=4/7` 

Uzupełnij:

`a) 3/4=9/12`

`b) 5/10=20/40`

`c) 8/12=2/3`

`d) 18/40=9/20`

Uzupełnij:

a)

5g=0,5dag

9 dag 5 g= 9,5dag

b) 

45 dag=0,45kg

7kg 45 dag=7,45kg

c) 

7 dag = 0,07kg

12kg 7 dag= 12,07kg

d) 

120g=0,120kg

3kg 120g=3,120kg

e)

15g=0,015kg

2kg 15g=2,015kg

f) 

36kg=0,036t

1t 36kg=1,036t

Plan placu zabaw ...

1 cm na palnie to 2 m na placu 

1 mm na planie to 20 cm na placu 

 

Wymiary placu zabaw:

7cm x 9,5cm na planie 

w terenie

14 m x 19 m 

 

Wymiary piaskownicy:

1,5cm x 1,5cm na planie

w terenie

3m x 3m 

 

Szerokość zjeżdzalni

0,4cm=4mm na planie 

w terenie 

80 cm 

 

Długość ławek:

1 cm na planie 

w terenie 

2 m 

Uzupełnij:

`a) 0`

`b) 4`

`c) 7`

Oblicz. Największą i najmniejszą liczbę, która jest wynikiem, zapisz słowami

`a) \ 240 * 1000=240 \ 000`  

`1000*751= 751 \ 000` 

`b) \ 20 *100*13=2000*13=26 \ 000 "   -dwadzieścia sześć tysięcy   (najmniejsza liczba)"`  

`50*600*40=30 \ 000*40=1 \ 200 \ 000` 

`c) \ 100*100*100=10 \ 000*100=1 \ 000 \ 000` 

`20*500*200=10 \ 000*200=2 \ 000 \ 000   " - dwa miliony   (największa liczba)"`