Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Liczby i działania - 4-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Dodawanie i odejmowanie

Działania arytmetyczne to dwuargumentowe działania, które dwóm danym liczbom przyporządkowują trzecią liczbę, czyli tzw. wynik działania. Zaliczamy do nich dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie.

  1. Dodawanie to działanie przyporządkowujące dwóm liczbom a i b, liczbę c = a + b. Wynik dodawania nazywany jest sumą, a dodawane składnikami sumy.
     

    dodawanie liczb


    Składniki podczas dodawania można zamieniać miejscami, dlatego mówimy, że jest ono przemienne. Niekiedy łatwiej jest dodać dwa składniki, gdy skorzystamy z tej własności.
    Przykład: $$7 + 19 = 19 +7$$.

    Kiedy jednym ze składników sumy jest inna suma np. (4+8), to możemy zmienić położenie nawiasów (a nawet je pominąć), na przykład $$12 + (4 + 8) = (12 + 8) + 4 = 12 + 8 + 4$$
    Mówimy, że dodawanie jest łączne.

    Poniżej przedstawiamy przykład, gdy warto skorzystać z praw łączności i przemienności:
    $$12 + 3 + 11 + (7 + 8) + 9 = 12 + 8 +3 +7 + 11 + 9 = 20 + 10 + 20 = 50$$
     

  2. Odejmowanie
    Odjąć liczbę b od liczby a, tzn. znaleźć taką liczbę c, że a = b+ c.
    Przykład $$23 - 8 = 15$$, bo $$8 + 15 = 23$$.

    Odejmowane obiekty nazywane są odpowiednio odjemną i odjemnikiem, a wynik odejmowania różnicą.

    odejmowanie liczb

    Odejmowanie w przeciwieństwie do dodawania nie jest ani łączne, ani przemienne.
    np. $$15 - 7 ≠ 7 - 15$$ (gdzie symbol ≠ oznacza "nie równa się").
 

Mnożenie i dzielenie

Kolejnymi działaniami, które poznasz są mnożenie i dzielenie.

  1. Mnożenie to działanie przyporządkowujące dwóm liczbom a i b liczbę c = a•b (lub a×b). Mnożone liczby nazywamy czynnikami, a wynik mnożenia iloczynem.

    mnożenie liczb

    Mnożenie jest:

    1. przemienne (czynniki można zamieniać miejscami) , np. 3 • 2 = 2 • 3
    2. łączne (gdy mamy większą liczbę czynników możemy je mnożyć w dowolnej kolejności),
      np. $$(3 • 5) • 2 = 3 • (5 • 2)$$
    3. rozdzielne względem dodawania i odejmowania
      np. 2 • (3 + 4) = 2 • 3 + 2 • 4
      2 • ( 4 - 3) = 2 • 4 - 2 • 3
      Wykorzystując łączność mnożenia można zdecydowanie łatwiej uzyskać iloczyn np.: 4 • 7 • 5 = (4 • 5) • 7 = 20 • 7 = 140
  2. Dzielenie
    Podzielić liczbę a przez b oznacza znaleźć taką liczbę c, że $$a = b • c$$, np. $$12÷3 = 4$$, bo $$12 = 3 • 4$$.
    Wynik dzielenia nazywamy ilorazem, a liczby odpowiednio dzielną i dzielnikiem.

    dzielenie liczb

    Dzielenie podobnie jak odejmowanie nie jest ani przemienne, ani łączne
     

  Ciekawostka

Znak x (razy) został wprowadzony w 1631 przez angielskiego matematyka W. Oughtreda, a symbol ͈„•” w 1698 roku przez niemieckiego filozofa i matematyka G. W. Leibniz'a.

Dzielenie z resztą

Dzielenie z resztą to takie dzielenie, w którym otrzymujemy pewien iloraz oraz resztę. 


Sposób wykonywania dzielenia z resztą:

  1. Podzielmy liczbę 23 przez 3.

  2. Wynikiem dzielenia nie jest liczba całkowita (pewna część nam pozostanie). Maksymalna liczba 3, które zmieszczą się w 23 to 7.

  3. `7*3=21` 

  4. Różnica między liczbami 23 i 21 wynosi `23-21=2` , zatem resztą z tego dzielenia jest liczba 2.

  5. Poprawny zapis działania: `23:3=7 \ "r" \ 2` $$r.2$$


Przykłady:

  • `5:2=2 \ "r" \ 1` 
    Sprawdzenie:  `2*2+1=4+1=5` 

  • `27:9=3 \ "r" \ 0` 
    Sprawdzenie:  `3*9+0=27+0=27` 

  • `53:5=10 \ "r" \ 3` 
    Sprawdzenie: `10*5+3=50+3=53` 

  • `102:20=5 \ "r" \ 2` 
    Sprawdzenie:  `5*20+2=100+2=102` 


Zapamiętaj!!!

Reszta jest zawsze mniejsza od dzielnika.

Kwadraty i sześciany liczb

Iloczyn jednakowych czynników możemy zapisać krócej - w postaci potęgi.

  1. Iloczyn dwóch takich samych liczb (czynników) nazywamy kwadratem tej liczby (czynnika) lub mówimy, że dana liczba (czynnik) jest podniesiona do potęgi drugiej.
    Przykład:
    $$5•5=5^2 $$, czytamy: „kwadrat liczby pięć” lub „pięć do potęgi drugiej”

  2. Iloczyn trzech takich samych czynników nazywamy sześcianem tej liczby (czynnika) lub mówimy, że dana liczba (czynnik) jest podniesiona do potęgi trzeciej.
    Przykład:
    $$7•7•7=7^3$$, czytamy: „sześcian liczby siedem” lub „siedem do potęgi trzeciej”

  3. Gdy występuje iloczyn więcej niż trzech takich samych czynników mówimy, że dana liczba (czynnik) jest podniesiony do potęgi takiej ile jest czynników.
    Przykład:
    $$3•3•3•3•3=3^5 $$, czytamy: „trzy do potęgi piątej”

    $$2•2•2•2•2•2•2=2^7 $$, czytamy: „dwa do potęgi siódmej”
     

potegi-nazewnictwo

Kolejność wykonywania działań

Przy rozwiązywaniu działań najważniejsze jest zachowanie odpowiedniej kolejności wykonywania działań.


Kolejność wykonywania działań:

  1. Potęgowanie

  2. Działania w nawiasach

  3. Mnożenie i dzielenie (jeżeli w działaniu występuje zarówno dzielenie jak i mnożenie, to działania wykonujemy w kolejności w jakiej są zapisane, czyli od lewej do prawej strony).
    Przykład`16:2*5=8*5=40` 

  4. Dodawanie i odejmowanie (jeżeli w działaniu występuje zarówno odejmowanie jak i dodawanie, to działania wykonujemy w kolejności w jakiej są zapisane, czyli od lewej strony do prawej).
    Przykład`24-6+2=18+2=20` 


Przykład:

`(45-9*3)-4=(45-27)-4=18-4=14` 

Oś liczbowa

Oś liczbowa to prosta, na której każdemu punktowi jest przypisana dana wartość liczbowa, zwana jego współrzędną.

Przykład:

osie liczbowe

Odcinek jednostkowy na tej osi to część prostej między -1 i 0.

Po prawej stronie od 0 znajduje się zbiór liczb nieujemnych, a po lewej zbiór liczb niedodatnich. Grot strzałki wskazuje, że w prawą stronę rosną wartości współrzędnych. Oznacza to, że wśród wybranych dwóch współrzędnych większą wartość ma ta, która leży po prawej stronie (względem drugiej współrzędnej).

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Załoga jednego czołgu to cztery osoby. Ile osób łącznie jechałoby w trzynastu takich czołgach?

1 czołg – 4 kolegów ->
13 czołgów - $$13•4=52$$ kolegów

Odp.: W trzynastu takich czołgach jechałoby 52 kolegów.

Zadanie 2.

Wykonaj dzielenie z resztą:

  1. $$27÷6$$
  2. $$48÷7$$
  3. $$93÷9$$
  1. $$27÷6=4$$ r.$$3$$
  2. $$48÷7=6$$ r.$$6$$
  3. $$93÷9=10$$ r.$$3$$

Zadanie 3.

Oblicz:

  1. sumę liczb 15 i 8
  2. różnicę liczb 22 i 6
  3. iloczyn liczb 4 i 3
  4. iloraz liczb 42 i 7
  1. $$ 15+8=22$$
  2. $$ 22-6=16$$
  3. $$ 4•3=12$$
  4. $$ 42÷7=6$$

Zadanie 4.

Pewna stonoga ma 24 nogi. Ile nóg ma 5 takich stonóg?

1 stonoga – 24 nogi -> 5 stonóg - $$24•5=120$$ nóg

Odp.: Pięć takich stonóg ma 120 nóg.

Zadanie 5.

Zapisz w postaci potęgi:

  1. $$ 13•13•13•13 $$
  2. $$ 4•4•4•4•4•4•4•4•4 $$
  3. $$ 2•2•2 $$
  1. $$ 13•13•13•13=13^4 $$
  2. $$4•4•4•4•4•4•4•4•4=4^9$$
  3. $$ 2•2•2=2^3 $$

Zadanie 6.

Oblicz:

  1. $$ 3^4 $$
  2. $$ 2^2$$
  3. *$$ 5^0$$
  1. $$ 3^4=3•3•3•3=81 $$
  2. $$ 2^2=2•2=4 $$
  3. *$$ 5^0=1 $$ ("Każda potęga o podstawie różnej od zera i wykładniku równym zero jest równa jeden")

Spis treści

Rozwiązane zadania
Ile jest liczb dwucyfrowych, które można wstawić między

`2squaresquare5>2767`

 

 

cyfra w pierwszej kratce cyfry, które możemy wstawić w drugą kratkę, aby nierówność była prawdziwa ilość utworzonych w ten sposób liczb dwucyfrowych
`9`  `0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9`   `10` {premium}
`8`  `0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9`  `10` 
`7`  `7,\ 8,\ 9`  `3` 

 

`razem:\ \ 10+10+3=23` 

Rozwiąż krzyżówkę.

Poziomo: 

B) 202

C) 25

E) 16

Pioniowo:

A) 10

D) 50

E) 12

 

Uzupełnij tabelkę.

 

 

Długość

prostokąta

7 cm  13cm  9mm 3cm 10m 30cm{premium}

Szerokość

prostokąta

15cm 1dm 9mm 32cm 200m 30cm

Pole

prostokąta

105cm² 130cm² 81mm² 96cm² 2000m² 900cm²

Obwód

prostokąta

44cm 46cm 36mm 70cm 420m 120cm

 

`1)`

`P=7cm*15cm=105cm^2`

`Obw.=2*7cm+2*15cm=14cm+30cm=44cm`

`2)`

`1dm=10cm`

`P=13cm*10cm=130cm^2`

`O=2*13cm+2*10cm=26cm+20cm=46cm`

`3)`

`P=a*b -> b=P/a`

`b=(81mm^2)/(9mm)=9mm`

`Obw.=4*9mm=36mm`

`4)`

`P=a*b -> a=P/b`

`a=(96cm^2)/(32cm)=3cm`

`Obw.=2*32cm+2*3cm=64cm+6cm=70cm`

`5)`

`P=10m*200m=2000m^2`

`Obw.=2*10m+2*200m=20m+400m=420m`

 

`6)`

`Obw.=2a+2b ->a=(Obw.-2b)/2`

`a=(120cm-2*30cm)/2=(120cm-60cm)/2=(60cm)/2=30cm`

`P=30cm*30cm=900cm^2`

Oblicz, ile wynosi...

a) `1/4` liczby 8

Na początku liczbę 8 dzielimy na cztery równe części

`8:4=2` 

Następnie bierzemy jedną z tych części i liczymy, ile ma ona elementów

Odpowiedź: `1/4` liczby 8 to 2

 

b) `1/4` liczby 36

Na początku liczbę 36 dzielimy na cztery równe części

`36:4=9` 

Następnie bierzemy jedną z tych części i liczymy, ile ma ona elementów

Odpowiedź: `1/4` liczby 36 to 9

 

c) `1/4` liczby 84

Na początku liczbę 84 dzielimy na cztery równe części

`84:4=21` 

Następnie bierzemy jedną z tych części i liczymy, ile ma ona elementów

Odpowiedź: `1/4` liczby 84 to 21

 

d) `1/9` liczby 18

Na początku liczbę 18 dzielimy na dziewięć równych części

`18:9=2` 

Następnie bierzemy jedną z tych części i liczymy, ile ma ona elementów

Odpowiedź: `1/9` liczby 18 to 2

 

e) `1/9` liczby 45

Na początku liczbę 45 dzielimy na dziewięć równych części

`45:9=5` 

Następnie bierzemy jedną z tych części i liczymy, ile ma ona elementów

Odpowiedź: `1/9` liczby 45 to 5

 

f) `1/9` liczby 72

Na początku liczbę 72 dzielimy na dziewięć równych części

`72:9=8` 

Następnie bierzemy jedną z tych części i liczymy, ile ma ona elementów

Odpowiedź: `1/9` liczby 72 to 8

Jakie wymiary może mieć prostopadłościan ułożony z 12 sześciennych klocków

Ten prostopadłościan może mieć na przykład wymiary {premium}2 cm x 2 cm x 3 cm lub 1 cm x 2 cm x 6 cm lub 1 cm x 3 cm x 4 cm

Objętość każdego takiego prostopadłościanu wynosi 12 cm³.

 

Jedna z liczb podanych przy każdym działaniu jest poprawnym wynikiem ...

a) Dodajemy cyfry jedności.

546+561   ->   6+1=7

Cyfra jedności wyniku musi wynosić 7, czyli poprawny wynik to{premium} 1107

b) Dodajemy cyfry jedności:

27 546 + 999    ->   6+9=15 - otrzymaliśmy 5 jedności i 1 dziesiątkę

Cyfra jedności wyniku musi wynosić 5, czyli poprawny wynik to 28 545


c) 6548 + 5402 ≈ 6500 + 5500 = 12 000

Oszacowaliśmy, że wynik tego działania wynosi 12 000. Poprawny wynik to 11 950

Która z poniższych figur nie jest łamaną

Łamaną nie jest druga figura, ponieważ{premium} składa się ona nie tylko z odcinków, ale też z łuków.

Narysuj prostokąty o podanych ...

 

                             `Obw= 2*3cm+2*1cm\ 5mm=6cm+3cm=9cm `                                              

 

 

    ` Obw=2*4cm+2*1cm\ 2mm=8cm+2cm\ 4mm=10cm\ 4mm `   

Sala lekcyjna ma kształt prostokąta o wymiarach 8 m i 6 m

Zamieniamy metry na cm

8 m = 800 cm

6 m = 600 cm

Na planie wymiary są równe 4 cm i 3 cm

800 cm : 4 cm = 200

600 cm  : 3 cm = 200

Skala 1:200

Odp. Ten plan wykonano w skali 1 : 200. 

Opisz ułamkiem, jaką część figury zamalowano.

a) zamalowano 9 z 10 takich samych części czyli zamalowano `9/10` figury{premium}

b) zamalowano 2 z 4 takich samych części zatem zamalowano `2/4` figury

c) zamalowano 4 z 8 takich samych części zatem zamalowano `4/8` figury

d) zamalowano 1 z 4 takich samych części zatem zamalowano `1/4`  figury

e) zamalowano 3 z 8 takich samych części zatem zamalowano `3/8`  figury

f) zamalowano 6 z 8 takich samych części zatem zamalowano `6/8` figury