Wielokrotność liczby otrzymamy mnożąc tę liczbę przez kolejne liczby naturalne.
Uwaga!!!
0 jest wielokrotnością każdej liczby naturalnej.
Każda liczba naturalna jest wielokrotnością liczby 1.
Przykłady:
Najmniejsza wspólna wielokrotność (NWW) dwóch liczb naturalnych to najmniejsza liczba naturalna będąca wielokrotnością zarówno jednej liczby, jak i drugiej.
Przykłady:
Najmniejszą wspólną wielokrotność dwóch liczb można znaleźć także wykorzystując rozkład na czynniki pierwsze.
Aby znaleźć NWW dwóch liczb należy:
Przykład:
Dzielnik liczby to taka liczba, przez którą dana liczba jest podzielna. Dzielnikiem każdej liczby naturalnej n (n>1) jest 1 oraz ona sama.
Inaczej mówiąc, dzielnikiem liczby naturalnej `n` nazywamy taką liczbę naturalną `m`, że `n=k*m` `k` jest liczbą naturalną.
Przykład:
10 dzieli się przez 1, 2, 5 i 10. Wynika z tego, że dzielnikami liczby 10 są liczby 1, 2, 5 i 10.
Możemy też powiedzieć, że:
Uwaga!!!
Jeżeli liczba naturalna `m` jest dzielnikiem liczby `n` , to liczba `n` jest wielokrotnością liczby `m` .
Przykład:
Liczba 2 jest dzielnikiem liczby 10, czyli liczba 10 jest wielokrotnością liczby 2.
Dowolną liczbę naturalną n większą od 1 (n>1), która ma tylko dwa dzielniki, 1 oraz samą siebie, nazywamy liczbą pierwszą.
Liczbami pierwszymi są liczby: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23...
Liczbę naturalną n (n>1) niebędącą liczbą pierwszą, czyli posiadającą więcej niż dwa dzielniki, nazywamy liczbą złożoną.
Liczbami złożonymi są: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18...
Zapamiętaj!!!
Liczby 0 i 1 nie są ani liczbami pierwszymi ani złożonymi.
Największy wspólny dzielnik (NWD) dwóch liczb naturalnych jest to największa liczba naturalna, która jest dzielnikiem każdej z tych liczb.
Przykłady:
Największy wspólny dzielnik liczb 6 i 9 to liczba 3.
Największy wspólny dzielnik liczb 12 i 20 to liczba 4.
Największy wspólny dzielnik dwóch liczb można znaleźć także wykorzystując rozkład na czynniki pierwsze.
Aby znaleźć NWD dwóch liczb należy:
Przykład:
Cechy podzielności liczb ułatwiają znalezienie dzielników, zwłaszcza dużych liczb.
Dzielnik liczby to taka liczba, przez którą dana liczba jest podzielna. Dzielnikiem każdej liczby naturalnej n (n>1) jest 1 oraz ona sama.
Cechy podzielności:
Podzielność liczby przez 2
Liczba jest podzielna przez 2, gdy jej ostatnią cyfrą jest 0, 2, 4, 6 lub 8.
Przykład:
Podzielność liczby przez 3
Liczba jest podzielna przez 3, gdy suma jej cyfr jest liczbą podzielną przez 3.
Przykład:
Podzielność liczby przez 4
Liczba jest podzielna przez 4, gdy jej dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 4.
Przykład:
Podzielność liczby przez 5
Liczba jest podzielna przez 5, gdy jej ostatnią cyfrą jest 0 lub 5.
Przykład:
Podzielność liczby przez 6
Liczba jest podzielna przez 6, gdy jednocześnie dzieli się przez 2 i 3.
Przykład:
Podzielność liczby przez 9
Liczba jest podzielna przez 9, gdy suma jej cyfr jest liczbą podzielną przez 9.
Przykład:
Podzielność liczby przez 10
Liczba jest podzielna przez 10, gdy jej ostatnią cyfra jest 0.
Przykład:
Podzielność liczby przez 25
Liczba jest podzielna przez 25, gdy dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 25.
Przykład:
Podzielność liczby przez 100
Liczba jest podzielna przez 100, gdy jej dwie ostatnie cyfry to zera.
Przykład:
Zadanie 1.
Ile jest liczb naturalnych mniejszych od 200, które są wielokrotnościami 20?
Wielokrotności 20 mniejsze od 200 -> 20, 40, 60, 80, 100, 120, 140, 160, 180.
Odp.: Jest 9 liczb naturalnych mniejszych od 200, które są wielokrotnościami 20.
Zadanie 2.
Podaj najmniejszą wspólną wielokrotność liczb 3 i 8.
Wielokrotności 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30...
Wielokrotności 8: 8, 16, 24, 32...
$$NWW(3,8)=24$$
Odp: Najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb 3 i 8 jest 24.
Zadanie 3.
Podaj przykład liczby trzycyfrowej, która jest podzielna przez 3, a nie jest podzielna przez 9.
Liczba jest podzielna przez 3, gdy suma jej cyfr jest podzielna przez 3.
Liczba nie jest podzielna przez 9, gdy suma jej cyfr nie jest podzielna przez 9.
Przykłady liczb podzielnych przez 3 i nie podzielnych przez 9÷120 → suma cyfr $$1+2+0=3$$, a 3 jest podzielna przez 3, ale nie jest podzielna przez 9.
642 → suma cyfr $$6+4+2=12$$, a 12 jest podzielna przez 3, ale nie jest podzielna przez 9.
51 → suma cyfr $$5+1=6$$, a 6 jest podzielne przez 3, ale nie jest podzielne przez 9.
Zadanie 4.
Korzystając z cyfr: 0, 1, 2, 3, 5, 7, ułóż liczbę czterocyfrową, która:
Liczba jest podzielna przez 3, gdy suma jej cyfr dzieli się przez 3.
3120 → $$3+1+2+0=6$$ → 6 dzieli się przez 3 ($$6÷3 = 2$$)Liczba dzieli się przez 4, gdy dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielą przez 4.
5712 → 12 dzieli się przez 4 ($$12÷4 = 3$$)Zadanie 5.
Podaj największy wspólny dzielnik liczb 12 i 36.
Dzielniki liczby 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
Dzielniki liczby 36: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 18, 36.
Wśród wyżej wypisanych dzielników szukamy największej liczby, która jest zarówno dzielnikiem 12 i 36. Jest to 12.
$$NWD(12,36)=12$$
Odp.: Największym wspólnym dzielnikiem liczb 12 i 36 jest liczba 12.
Zadanie 6.
Które z podanych lat są przestępne?
Rok jest przestępny, gdy liczba go oznaczająca jest podzielna przez 4.
Sprawdzam kolejno, czy liczby 1996, 2004, 1978 są liczbami podzielnymi przez 4.
Liczba jest podzielna przez 4, gdy jej dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 4.
1996 → podzielne przez 4, ponieważ dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę 96, która jest podzielna przez 4,
2004 → podzielne przez 4, ponieważ dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę 4, która jest podzielna przez 4,
1978 → nie jest podzielne przez 4, ponieważ dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę 78, która nie jest podzielna przez 4.
Odp. Lata przestępne to 1996, 2004.