Własności liczb naturalnych - 3-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Własności liczb naturalnych - 3-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Wielokrotności

Wielokrotność liczby otrzymamy mnożąc tę liczbę przez kolejne liczby naturalne. 

Uwaga!!!

0 jest wielokrotnością każdej liczby naturalnej. 

Każda liczba naturalna jest wielokrotnością liczby 1. 


Przykłady
:

  • wielokrotności liczby 4 to: 
    • 0, bo  `0*4=0` 
    • 4, bo  `1*4=4`  
    • 8, bo  `2*4=8`  
    • 12, bo  `3*4=12`  
    • 16, bo  `4*4=16`  
    • 20, bo  `5*4=20` , itd.  
       
  • wielokrotności liczby 8 to:
    • 0, bo  `0*8=0`  
    • 8, bo  `1*8=8`  
    • 16, bo  `2*8=16`  
    • 24, bo  `3*8=24`  
    • 32, bo  `4*8=32`  
    • 40, bo  `5*8=40`, itd.  

Najmniejsza wspólna wielokrotność (NWW)

Najmniejsza wspólna wielokrotność (NWW) dwóch liczb naturalnych to najmniejsza liczba naturalna będąca wielokrotnością zarówno jednej liczby, jak i drugiej.

Przykłady:

  • Najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb 3 i 5 jest 15.
    1. Wypiszmy wielokrotności liczby 3 (różne od 0): 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, ...
    2. Wypiszmy wielokrotności liczby 5 (różne od 0): 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, ...
    3. Wśród wielokrotności liczby 3 i liczby 5 szukamy najmniejszej liczby, która jest zarówno wielokrotnością 3 i 5. Jest to 15.

  • Najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb 4 i 6 jest 12.
    1. Wypiszmy wielokrotności liczby 4 (różne od 0): 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, ...
    2. Wypiszmy wielokrotności liczby 6 (różne od 0): 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, ...
    3. Wśród wielokrotności wyżej wypisanych szukamy najmniejszej liczby, która jest zarówno wielokrotnością 4 i 6. Jest to 12.


Najmniejszą wspólną wielokrotność dwóch liczb można znaleźć także wykorzystując rozkład na czynniki pierwsze. 

Aby znaleźć NWW dwóch liczb należy: 

  1. Rozłożyć liczby na czynniki pierwsze. 

  2. Zaznaczyć wspólne dzielniki obu liczb. 

  3. Obliczyć iloczyn czynników pierwszej liczby oraz niezaznaczonych czynników drugiej liczby. 

Przykład:

Dzielniki

Dzielnik liczby to taka liczba, przez którą dana liczba jest podzielna. Dzielnikiem każdej liczby naturalnej n (n>1) jest 1 oraz ona sama.

Inaczej mówiąc, dzielnikiem liczby naturalnej  `n`  nazywamy taką liczbę naturalną  `m`, że  `n=k*m` `k`   jest liczbą naturalną. 


Przykład:

10 dzieli się przez 1, 2, 5 i 10. Wynika z tego, że dzielnikami liczby 10 są liczby 1, 2, 5 i 10.

Możemy też powiedzieć, że:

  • 1 jest dzielnikiem 10 bo  `10=10*1`   
  • 2 jest dzielnikiem 10 bo  `10=5*2`  
  • 5 jest dzielnikiem 10 bo  `10=2*5`  
  • 10 jest dzielnikiem 10 bo  `10=1*10`  


Uwaga!!! 

Jeżeli liczba naturalna `m`  jest dzielnikiem liczby `n` , to liczba `n`  jest wielokrotnością liczby `m` .

Przykład:

Liczba 2 jest dzielnikiem liczby 10, czyli liczba 10 jest wielokrotnością liczby 2.


Dowolną liczbę naturalną n większą od 1 (n>1), która ma tylko dwa dzielniki, 1 oraz samą siebie, nazywamy liczbą pierwszą.

Liczbami pierwszymi są liczby: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23...

Liczbę naturalną n (n>1) niebędącą liczbą pierwszą, czyli posiadającą więcej niż dwa dzielniki, nazywamy liczbą złożoną.

Liczbami złożonymi są: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18...


Zapamiętaj!!!

Liczby 0 i 1 nie są ani liczbami pierwszymi ani złożonymi. 

 

Największy wspólny dzielnik (NWD)

Największy wspólny dzielnik (NWD) dwóch liczb naturalnych jest to największa liczba naturalna, która jest dzielnikiem każdej z tych liczb.

Przykłady:

  • Największy wspólny dzielnik liczb 6 i 9 to liczba 3.

    1. Wypiszmy dzielniki liczby 6: 1, 2, 3, 6.
    2. Wypiszmy dzielniki liczby 9: 1, 3, 9.
    3. Wśród dzielników wyżej wypisanych szukamy największej liczby, która jest zarówno dzielnikiem 6 i 9. Jest to 3.

  • Największy wspólny dzielnik liczb 12 i 20 to liczba 4.

    1. Wypiszmy dzielniki liczby 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
    2. Wypiszmy dzielniki liczby 20: 1, 2, 4, 5, 10, 20.
    3. Wśród dzielników wyżej wypisanych szukamy największej liczby, która jest zarówno dzielnikiem 12 i 20. Jest to 4.


Największy wspólny dzielnik 
dwóch liczb można znaleźć także wykorzystując rozkład na czynniki pierwsze. 

Aby znaleźć NWD dwóch liczb należy: 

  1. Rozłożyć liczby na czynniki pierwsze. 

  2. Zaznaczyć wspólne dzielniki obu liczb. 

  3. Obliczyć iloczyn wspólnych czynników (zaznaczonych czynników).  

Przykład:

Cechy podzielności liczb

Cechy podzielności liczb ułatwiają znalezienie dzielników, zwłaszcza dużych liczb.

Dzielnik liczby to taka liczba, przez którą dana liczba jest podzielna. Dzielnikiem każdej liczby naturalnej n (n>1) jest 1 oraz ona sama.


Cechy podzielności:

  1. Podzielność liczby przez 2

    Liczba jest podzielna przez 2, gdy jej ostatnią cyfrą jest 0, 2, 4, 6 lub 8.

    Przykład:

    • 1 896 319 128 → liczba jest podzielna przez 2, ponieważ jej ostatnią cyfrą jest 8.
       
  2. Podzielność liczby przez 3

    Liczba jest podzielna przez 3, gdy suma jej cyfr jest liczbą podzielną przez 3.

    Przykład:

    • 7 981 272 → liczba jest podzielna przez 3, ponieważ suma jej cyfr (7+9+8+1+2+7+2=36) jest liczbą podzielną przez 3.
       
  3. Podzielność liczby przez 4

    Liczba jest podzielna przez 4, gdy jej dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 4.

    Przykład:

    • 2 147 816 → liczba jest podzielna przez 4, ponieważ jej dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę 16, a liczba 16 jest podzielna przez 4.
       
  4. Podzielność liczby przez 5

    Liczba jest podzielna przez 5, gdy jej ostatnią cyfrą jest 0 lub 5.

    Przykład:

    • 18 298 415 → liczba jest podzielna przez 5, ponieważ jej ostatnią cyfrą jest 5.
       
  5. Podzielność liczby przez 6

    Liczba jest podzielna przez 6, gdy jednocześnie dzieli się przez 2 i 3.

    Przykład:

    • 1248 → liczba jest podzielna przez 6, ponieważ dzieli się przez 2 (jej ostatnią cyfrą jest 8), a także dzieli się przez 3 (suma jej cyfr 1+2+4+8=15 jest liczbą podzielną przez 3).
       
  6. Podzielność liczby przez 9

    Liczba jest podzielna przez 9, gdy suma jej cyfr jest liczbą podzielną przez 9.

    Przykład:

    • 1 890 351 -> liczba jest podzielna przez 9, ponieważ suma jej cyfr (1+8+9+0+3+5+1=27) jest jest liczbą podzielną przez 9.
       
  7. Podzielność liczby przez 10

    Liczba jest podzielna przez 10, gdy jej ostatnią cyfra jest 0.

    Przykład:

    • 192 290 → liczba jest podzielna przez 10, ponieważ jej ostatnią cyfrą jest 0.
       
  8. Podzielność liczby przez 25

    Liczba jest podzielna przez 25, gdy dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 25.

    Przykład:

    • 4675 → liczba jest podzielna przez 25, ponieważ jej dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę 75, a 75 jest podzielne przez 25.
       
  9. Podzielność liczby przez 100

    Liczba jest podzielna przez 100, gdy jej dwie ostatnie cyfry to zera.

    Przykład:

    • 12 848 100 → liczba jest podzielna przez 100, ponieważ jej dwie ostatnie cyfry to zera.

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Ile jest liczb naturalnych mniejszych od 200, które są wielokrotnościami 20?

Wielokrotności 20 mniejsze od 200 -> 20, 40, 60, 80, 100, 120, 140, 160, 180.

Odp.: Jest 9 liczb naturalnych mniejszych od 200, które są wielokrotnościami 20.

Zadanie 2.

Podaj najmniejszą wspólną wielokrotność liczb 3 i 8.

Wielokrotności 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30...

Wielokrotności 8: 8, 16, 24, 32...

$NWW(3,8)=24$

Odp: Najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb 3 i 8 jest 24.

Zadanie 3.

Podaj przykład liczby trzycyfrowej, która jest podzielna przez 3, a nie jest podzielna przez 9.

Liczba jest podzielna przez 3, gdy suma jej cyfr jest podzielna przez 3.

Liczba nie jest podzielna przez 9, gdy suma jej cyfr nie jest podzielna przez 9.

Przykłady liczb podzielnych przez 3 i nie podzielnych przez 9÷120 → suma cyfr $1+2+0=3$, a 3 jest podzielna przez 3, ale nie jest podzielna przez 9.

642 → suma cyfr $6+4+2=12$, a 12 jest podzielna przez 3, ale nie jest podzielna przez 9.
51 → suma cyfr $5+1=6$, a 6 jest podzielne przez 3, ale nie jest podzielne przez 9.

Zadanie 4.

Korzystając z cyfr: 0, 1, 2, 3, 5, 7, ułóż liczbę czterocyfrową, która:

  1. jest podzielna przez 3,
  2. jest podzielna przez 4.
  1. Liczba jest podzielna przez 3, gdy suma jej cyfr dzieli się przez 3.

    3120 → $3+1+2+0=6$ → 6 dzieli się przez 3 ($6÷3 = 2$)
    7302 → $7+3+0+2=12$ → 12 dzieli się przez 3 ($12÷3 = 4$)
     
  2. Liczba dzieli się przez 4, gdy dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielą przez 4.

    5712 → 12 dzieli się przez 4 ($12÷4 = 3$)
    4072 → 72 dzieli się przez 4 ($72÷4 = 18$)

Zadanie 5.

Podaj największy wspólny dzielnik liczb 12 i 36.

Dzielniki liczby 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Dzielniki liczby 36: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 18, 36.
Wśród wyżej wypisanych dzielników szukamy największej liczby, która jest zarówno dzielnikiem 12 i 36. Jest to 12.
$NWD(12,36)=12$

Odp.: Największym wspólnym dzielnikiem liczb 12 i 36 jest liczba 12.

Zadanie 6.

Które z podanych lat są przestępne?

  1. 1996 r.
  2. 2004 r.
  3. 1978 r.

Rok jest przestępny, gdy liczba go oznaczająca jest podzielna przez 4.

Sprawdzam kolejno, czy liczby 1996, 2004, 1978 są liczbami podzielnymi przez 4.

Liczba jest podzielna przez 4, gdy jej dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 4.

1996 → podzielne przez 4, ponieważ dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę 96, która jest podzielna przez 4,
2004 → podzielne przez 4, ponieważ dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę 4, która jest podzielna przez 4,
1978 → nie jest podzielne przez 4, ponieważ dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę 78, która nie jest podzielna przez 4.

Odp. Lata przestępne to 1996, 2004.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wskaż pary działań...

Zapisujemy pary działań:

38 + 36 = 36 + 38

17 + 29 = 29 + 17

25 + 46 = 46 + 25

18 + 76 = 76 + 18

24 + 47 = 47 + 24

Dzieci z organizacji "Pomocna...

Obliczamy, ile upominków wykonały dzieci w grudniu:

208 - 9 = 208 - 8 - 1 = 200 - 1 = 199

Odp.: Dzieci wykonały w grudniu 199 upominków. 

Podziel liczby trzycyfrowe...

520 : 4 = 130


650 : 5 = 130


Która z tych figur ma największy...

Pomarańczowa figura ma obwód o długości 18 kratek, zielona - 24 kratek, a różowa - 22 kratek.

Odp.: Największy obwód ma zielona figura, a najmniejszy - pomarańczowa figura. 

W przychodni lekarskiej było...

dawki szczepionki dla dorosłych: 381,

zostało: 391 - 10 = 371,

dawki szczepionki dla dzieci: 381 + 9 = 390,

zostało: 390 - 5 = 385.

Odp.: W przychodzi zostało 371 dawek szczepionki dla dorosłych i 385 dawek szczepionki dla dzieci. 

Dwie torebki cukru...

dwie torebki: 32 g,

jedna torebka: 32 g : 2 = 16 g

Odpowiedź: Jedna torebka tego cukru waży 16 g. 

Zamień minuty na godziny...

Zamieniamy minuty na godziny i minuty:

136 min = 120 min + 16 min = 2 godz. 16 min

286 min = 240 min + 46 min = 4 godz. 46 min

372 min = 360 min + 12 min = 6 godz. 12 min

457 min = 420 min + 37 min = 7 godz. 37 min

Wykonaj w zeszycie działania tak...

Wykonujemy działania:

70 m 30 cm - 50 m 10 cm = 20 m 20 cm

250 m 55 cm - 50 m 40 cm = 200 m 15 cm

Zagraj z koleżanką lub kolegą...
  • Uzupełniamy:

Ewa grała z Bartkiem. Bartek wybrał liczbę 25, a Ewa wybrała 11, więc uzyskała sumę 36. Następnie Bartek wybrał 33 i uzyskał sumę 69 (36 + 33 = 69).Wtedy Ewa wybrała 11 i uzyskała sumę 80 (69 + 11 = 80). Następnie Bartek wybrał 25 i wygrał. 

  • Ewa w swoim ostatnim ruchu mogła wybrać liczbę 33 i wówczas uzyskałaby 102 punkty (69 + 33 = 102) i wygrałaby. 
Mama Małgosi w tym miesiącu...

Obliczamy, ile stron miała druga książka:

532 - 420 = 532 - 400 - 20 = 132 - 20 = 112

Odpowiedź: Druga książka miała 112 stron. 

  • Obliczamy, ile stron miały obie książki razem:

532 + 112 = 500 + 32 + 100 + 12 = 600 + 44 = 644

Odpowiedź: Obie książki razem miały 644 strony.

  • Obliczamy, o ile więcej stron miała pierwsza książka niż druga:

532 - 112 = 420

Odpowiedź: Pierwsza książka miała o 420 stron więcej niż druga.