Prostopadłościany i sześciany - 3-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Prostopadłościan i sześcian

Prostopadłościan to figura przestrzenna, której kształt przypomina pudełko lub akwarium.

Prostopadłościan

Każda ściana prostopadłościanu jest prostokątem.
Każdy prostopadłościan ma 6 ścian, 8 wierzchołków i 12 krawędzi.
Dwie ściany mające wspólną krawędź nazywamy prostopadłymi.
Dwie ściany, które nie mają wspólnej krawędzi, nazywamy równoległymi.
Każda ściana jest prostopadła do czterech ścian oraz równoległa do jednej ściany.

Z każdego wierzchołka wychodzą trzy krawędzie – jedną nazywamy długością, drugą – szerokością, trzecią – wysokością prostopadłościanu i oznaczamy je odpowiednio literami a, b, c.

Długości tych krawędzi nazywamy wymiarami prostopadłościanu.

a – długość prostopadłościanu, b – szerokość prostopadłościanu, c - wysokość prostopadłościanu.

Prostopadłościan, którego wszystkie ściany są jednakowymi kwadratami nazywamy sześcianem.

Wszystkie krawędzie sześcianu mają jednakową długość.

kwadrat

a - długość krawędzi sześcianu

Siatka prostopadłościanu

Po rozcięciu powierzchni prostopadłościanu wzdłuż kilku krawędzi i rozłożeniu go na powierzchnię płaską powstanie jego siatka. Jest to wielokąt złożony z prostokątów, czyli ścian graniastosłupa. Ten sam prostopadłościan może mieć kilka siatek.

Pole powierzchni prostopadłościanu

Pole powierzchni prostopadłościanu to suma pól wszystkich jego ścian.

$$P_p$$ -> pole powierzchni

Każdy prostopadłościan ma 3 pary takich samych ścian.

Pole powierzchni oblicza się z poniższego wzoru, gdzie $$P_1$$, $$P_2$$ i $$P_3$$ to pola ścian prostopadłościanu.

$$P_p=2•P_1+2•P_2+2•P_3$$

Wzór na pole powierzchni prostopadłościanu możemy zapisać w następującej postaci:
$$P_p = 2•a•b + 2•b•c + 2•a•c$$ (a,b,c - wymiary prostopadłościanu)

Zapamiętaj

Sześcian ma sześć jednakowych ścian, więc pole jego powierzchni oblicza się ze wzoru: $$P_p=6•P$$, gdzie P oznacza pole jednej ściany tego sześcianu. Natomiast wzór na pole powierzchni sześcianu możemy zapisać w następującej postaci: $$P_p = 6•a•a = 6•a^2$$ (a - bok sześcianu).

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Z drutu o długości 60 cm wykonano szkielet sześcianu. Jaką długość ma jedna krawędź sześcianu?

Zobacz rozwiązanie

12 -> ilość krawędzi w sześcianie

$$60÷12=5 cm$$ -> długość jednej krawędzi

Odp.: Jedna krawędź tego sześcianu ma 5cm.

Zadanie 2.

Marek zbudował szkielet prostopadłościanu z zapałek o długościach 10 cm, 3 cm i 6 cm. Jaką długość mają w sumie wszystkie krawędzie tego prostopadłościanu?

Zobacz rozwiązanie

Każdy prostopadłościan ma po 4 krawędzie o długości jednej z trzech wymiarów.

$$4•10+4•3+4•6=40+12+24=76 cm $$

Odp.: Suma długości wszystkich krawędzi tego prostopadłościanu wynosi $$76 cm$$.

Zadanie 3.

Oblicz pole powierzchni całkowitej sześcianu o długości krawędzi:

8 cm
4 m
9 km

Zobacz rozwiązanie

$$P_p=6•P_{ściany}$$

$$ 8^2•6=64•6=384 cm^2 $$
$$ 4^2•6=16•6=96 m^2 $$
$$ 9^2•6=81•6=486 km^2 $$

Zadanie 4.

Jaką długość krawędzi ma sześcian o polu powierzchni 486 $$cm^2$$?

Zobacz rozwiązanie

$$486÷6=81 cm^2$$ -> pole jednej ściany (dzielimy pole powierzchni sześcianu przez ilość ścian sześcianu)

$$a^2=81$$ -> $$a=9 cm$$

Odp.: Długość krawędzi tego sześcianu wynosi 9cm.

Zadanie 5.

Oblicz pole powierzchni prostopadłościanu o wymiarach 7 dm, 3 dm i 1 dm.

Zobacz rozwiązanie

Ściany tego prostopadłościanu:

2 ściany o wymiarach 7 dm i 3 dm;
2 ściany o wymiarach 3 dm i 1 dm;
2 ściany o wymiarach 7 dm i 1 dm.

$$P_p=2•(7•3)+2•(3•1)+2•(7•1)=2•21+2•3+2•7=42+6+14=62 dm^2 $$

Odp.: Pole powierzchni tego prostopadłościanu wynosi 62 $$dm^2$$.

Zadanie 6.

Jakie pole powierzchni ma sześcian, którego suma krawędzi wynosi 48 cm?

Zobacz rozwiązanie

Sześcian ma w sumie 12 krawędzi, zatem możemy zapisać:

$$12a=48$$ -> $$a=4 cm$$ -> długość jednej krawędzi sześcianu

Możemy więc policzyć pole sześcianu:

$$P_p=6•a^2=6•16=96 cm^2$$

Odp.: Pole powierzchni tego sześcianu wynosi 96 $$cm^2$$.

Spis treści

Rozwiązane zadania