Prostopadłościany i sześciany - 3-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Prostopadłościany i sześciany - 3-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Prostopadłościan i sześcian

Prostopadłościan to figura przestrzenna, której kształt przypomina pudełko lub akwarium.

Prostopadłościan

  • Każda ściana prostopadłościanu jest prostokątem.

  • Każdy prostopadłościan ma 6 ścian, 8 wierzchołków i 12 krawędzi.

  • Dwie ściany mające wspólną krawędź nazywamy prostopadłymi.

  • Dwie ściany, które nie mają wspólnej krawędzi, nazywamy równoległymi.

  • Każda ściana jest prostopadła do czterech ścian oraz równoległa do jednej ściany.


Z każdego wierzchołka wychodzą trzy krawędzie – jedną nazywamy długością, drugą – szerokością, trzecią – wysokością prostopadłościanu i oznaczamy je odpowiednio literami a, b, c.

Długości tych krawędzi nazywamy wymiarami prostopadłościanu.

a – długość prostopadłościanu, b – szerokość prostopadłościanu, c - wysokość prostopadłościanu.


Prostopadłościan, którego wszystkie ściany są jednakowymi kwadratami nazywamy sześcianem.

Wszystkie krawędzie sześcianu mają jednakową długość.

kwadrat

a - długość krawędzi sześcianu

Siatka prostopadłościanu

Po rozcięciu powierzchni prostopadłościanu wzdłuż kilku krawędzi i rozłożeniu go na powierzchnię płaską powstanie jego siatka. Jest to wielokąt złożony z prostokątów, czyli ścian graniastosłupa. Ten sam prostopadłościan może mieć kilka siatek.

Siatka prosopadłościanu

Pole powierzchni prostopadłościanu

Pole powierzchni prostopadłościanu to suma pól wszystkich jego ścian.

$P_p$ -> pole powierzchni

Pole powierzchni prostopadłościanu
 

Każdy prostopadłościan ma 3 pary takich samych ścian.

Pole powierzchni oblicza się z poniższego wzoru, gdzie $P_1$, $P_2$ i $P_3$ to pola ścian prostopadłościanu.

$P_p=2•P_1+2•P_2+2•P_3$

Wzór na pole powierzchni prostopadłościanu możemy zapisać w następującej postaci:
$P_p = 2•a•b + 2•b•c + 2•a•c$ (a,b,c - wymiary prostopadłościanu)
 

  Zapamiętaj

Sześcian ma sześć jednakowych ścian, więc pole jego powierzchni oblicza się ze wzoru: $P_p=6•P$, gdzie P oznacza pole jednej ściany tego sześcianu. Natomiast wzór na pole powierzchni sześcianu możemy zapisać w następującej postaci: $P_p = 6•a•a = 6•a^2$ (a - bok sześcianu).

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Z drutu o długości 60 cm wykonano szkielet sześcianu. Jaką długość ma jedna krawędź sześcianu?

12 -> ilość krawędzi w sześcianie

$60÷12=5 cm$ -> długość jednej krawędzi

Odp.: Jedna krawędź tego sześcianu ma 5cm.

Zadanie 2.

Marek zbudował szkielet prostopadłościanu z zapałek o długościach 10 cm, 3 cm i 6 cm. Jaką długość mają w sumie wszystkie krawędzie tego prostopadłościanu?

Każdy prostopadłościan ma po 4 krawędzie o długości jednej z trzech wymiarów.

$4•10+4•3+4•6=40+12+24=76 cm $

Odp.: Suma długości wszystkich krawędzi tego prostopadłościanu wynosi $76 cm$.

Zadanie 3.

Oblicz pole powierzchni całkowitej sześcianu o długości krawędzi:

  1. 8 cm
  2. 4 m
  3. 9 km

$P_p=6•P_{ściany}$

  1. $ 8^2•6=64•6=384 cm^2 $
  2. $ 4^2•6=16•6=96 m^2 $
  3. $ 9^2•6=81•6=486 km^2 $

Zadanie 4.

Jaką długość krawędzi ma sześcian o polu powierzchni 486 $cm^2$?

$486÷6=81 cm^2$ -> pole jednej ściany (dzielimy pole powierzchni sześcianu przez ilość ścian sześcianu)

$a^2=81$ -> $a=9 cm$

Odp.: Długość krawędzi tego sześcianu wynosi 9cm.

Zadanie 5.

Oblicz pole powierzchni prostopadłościanu o wymiarach 7 dm, 3 dm i 1 dm.

Ściany tego prostopadłościanu:

  • 2 ściany o wymiarach 7 dm i 3 dm;
  • 2 ściany o wymiarach 3 dm i 1 dm;
  • 2 ściany o wymiarach 7 dm i 1 dm.
$P_p=2•(7•3)+2•(3•1)+2•(7•1)=2•21+2•3+2•7=42+6+14=62 dm^2 $

Odp.: Pole powierzchni tego prostopadłościanu wynosi 62 $dm^2$.

Zadanie 6.

Jakie pole powierzchni ma sześcian, którego suma krawędzi wynosi 48 cm?

Sześcian ma w sumie 12 krawędzi, zatem możemy zapisać:

$12a=48$ -> $a=4 cm$ -> długość jednej krawędzi sześcianu

Możemy więc policzyć pole sześcianu:

$P_p=6•a^2=6•16=96 cm^2$

Odp.: Pole powierzchni tego sześcianu wynosi 96 $cm^2$.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Przyjrzyj się witrażowi. Wskaż...

Elementami powtarzającymi się w witrażu to np. fioletowe kwiaty, czerwone elementy przy brzegach witrażu itd.

  • Rysujemy osie symetrii witrażu:

  • Elementy symetryczne w witrażu t np. fioletowe kwiaty:

Dorota zebrała podczas...

Obliczamy, ile borowików zebrała Dorota:

28 : 4 = 7

Odpowiedź: Dorota zebrała 7 borowików.

  • Obliczamy, ile koźlaków zebrała Dorota:

28 : 7 = 4

Odpowiedź: Dorota zebrała 4 koźlaki. 

Obok każdej figury narysuj figurę...

Rysujemy figury o bokach dwa razy krótszych od boków już narysowanych figur:

  • Zapisujemy obwody figur (ilość kratek).
  • Otaczamy pętlą te figury, które da się podzielić na symetryczne części. 
Oblicz lub uzupełnij działania...

Obliczamy i uzupełniamy działania:

130 + 4 = 134

223 + 4 = 227

894 + 2 = 896

352 + 5 = 357

584 + 2 = 586

923 + 6 = 929

Odkryj zasadę zapisywania...

Najważniejsze zasady zapisywania liczb znakami rzymskimi:

1. Obok siebie mogą stać co najwyżej trzy znaki spośród: I, X, C lub M.

2. Znakami poprzedzającymi znak oznaczający większą liczbę mogą być tylko znaki: I, X, C, np. IV, IX.

3. Nie może być dwóch znaków oznaczających liczby mniejsze bezpośrednio przed znakiem oznaczającym liczbę większą, np. IIX.

4. Obok siebie nie mogą stać dwa znaki: V, L, D.

Różnica temperatury między...

Rozwiązań tego zadania jest bardzo dużo. Przykładowe rozwiązania:

Lublin: 1oC, Katowice: 5oC

Lublin: 2oC, Katowice: 6oC

Lublin: 3oC, Katowice: 7oC

Lublin: 15oC, Katowice: 19oC

Lublin: 29oC, Katowice: 33oC

itd.

Mama kupiła przetwory...

Najpierw obliczamy, ile mama zapłaciła za jedną skrzynkę:

48 zł : 4 = 12 zł

Teraz możemy obliczyć, ile kosztuje 1 kg pomidorów:

12 zł : 6 = 2 zł

Odpowiedź: 1 kg pomidorów kosztował 2 zł. 

Zapisz podane liczby słownie...

Zapisujemy liczby słownie:

54 870 → pięćdziesiąt cztery tysiące osiemset siedemdziesiąt

40 562 → czterdzieści tysięcy pięćset sześćdziesiąt dwa

61 708 → sześćdziesiąt jeden tysięcy siedemset osiem

70 003 → siedemdziesiąt tysięcy trzy

Wykonaj w zeszycie działania tak...

Wykonujemy działania:

70 m 30 cm - 50 m 10 cm = 20 m 20 cm

250 m 55 cm - 50 m 40 cm = 200 m 15 cm

Kazik 21 stycznia rano wyjeżdża...

Obliczamy:

 

Odp.: Kazik skończy swój pobyt na obozie 4 lutego.