Przyjmijmy oznaczenia:

x - długość krawędzi podstawy graniastosłupa, x > 0,

H - długość wysokości graniastosłupa, H > 0.

Wykonajmy rysunek pomocniczy.

Dłuższe przekątne sześciokąta foremnego dzielą go na sześć przystających trójkątów równobocznych. Obliczamy pole podstawy graniastosłupa, korzystając ze wzoru na pole trójkąta równobocznego.

Objętość tego graniastosłupa jest równa 1/6. Wobec tego:

Tworzymy funkcję określającą pole powierzchni całkowitej graniastosłupa.

Szukamy takiej wartości x ∈ R₊ dla której funkcja f przyjmuje wartość najmniejszą.

Obliczamy pochodną funkcji f.

Dziedziną pochodnej funkcji f jest zbiór R₊.

Rozwiązujemy równanie f'(x)=0.

Rozwiązujemy nierówność f'(x)>0.

Zatem x ∈ (1/3, +∞).

Rozwiązujemy nierówność f'(x)<0.

Zatem x ∈ (0; 1/3).

Rozwiązaniem nierówności f'(x)>0 jest przedział (1/3, +∞). W przedziale tym funkcja f jest rosnąca.

Rozwiązaniem nierówności f'(x)<0 jest przedział (0; 1/3). W przedziale tym funkcja f jest malejąca.

Pochodna funkcji f zmienia znak z "-" na "+" w punkcie x=1/3. Stąd otrzymujemy, że w punkcie x=1/3 funkcja f ma minimum.

Wyznaczamy długość wysokości graniastosłupa o objętości 1/6, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze.

Obliczamy sumę długości wszystkich krawędzi tego graniastosłupa.