Egzamin maturalny Fizyka. Poziom rozszerzony 2023. Zadanie 5.4

Egzamin maturalny Fizyka. Poziom rozszerzony 2023. Formuła 2015. Zadanie 5.3

Zadanie 5.

Sagittarius A* (Sgr A*) to bardzo masywny obiekt znajdujący się w centrum naszej galaktyki. Gwiazda znana jako S2 obiega obiekt Sgr A* po wydłużonej orbicie eliptycznej. Parametry tego ruchu orbitalnego są następujące:

• okres obiegu S2 dookoła Sgr A* wynosi T_S2 = 16 lat ziemskich,
• najmniejsza odległość środka S2 od centrum Sgr A* jest równa r_P = 120 au,
• największa odległość środka S2 od centrum Sgr A* jest równa r_A = 1820 au.

Przyjmij, że Sgr A* się nie porusza, oraz pomiń wpływ innych ciał na ruch S2. Opisaną sytuację przedstawiono na rysunku 1. Ponadto oznaczono wektor v prędkości środka S2 w przedstawionym położeniu na orbicie.

Informacje do zadań 5.3-5.4

Załóżmy, że ciało C₁ krąży po orbicie O₁ wokół centrum grawitacyjnego o masie M₁, a ciało C₂ krąży po orbicie O₂ wokół centrum grawitacyjnego o masie M₂. Zakładamy, że na każde z tych ciał działa jedynie siła pochodząca od centrum grawitacyjnego, dookoła którego dane ciało krąży. Stosunek mas M₁ i M₂ można obliczyć ze wzoru:

gdzie:

T₁ i T₂ są okresami obiegu ciał po orbitach - odpowiednio - O₁ i O₂, natomiast a₁ i a₂ zależą od rodzaju orbity:

• gdy orbity O₁ i O₂ są kołowe, to a₁ i a₂ są odpowiednio promieniami tych orbit,
• gdy orbita O₁ jest eliptyczna, a orbita O₂ jest kołowa, to a₁ jest długością półosi wielkiej orbity O₁, natomiast a₂ jest promieniem orbity O₂. 

Zadanie 5.4

Wyprowadź wzór podany w informacji do zadań 5.3-5.4 w przypadku, gdy orbity O₁ i O₂ są kołowe.