W tym artykule znajdziesz najważniejsze informacje dotyczące graniastosłupów. Zaprezentujemy także zadania oraz filmiki przygotowane przez współpracującą z nami platformę e-learningową Pi-stacja.
Gotowy do wspólnej nauki? Zaczynamy!

PROSTOPADŁOŚCIAN to figura przestrzenna, której kształt przypomina pudełko lub akwarium.

prostopadłościan
  • Każda ściana prostopadłościanu jest prostokątem.
  • Każdy prostopadłościan ma 6 ścian, 8 wierzchołków i 12 krawędzi.
  • Dwie ściany mające wspólną krawędź nazywamy prostopadłymi.
  • Dwie ściany, które nie mają wspólnej krawędzi, nazywamy równoległymi.
  • Każda ściana jest prostopadła do czterech ścian oraz równoległa do jednej ściany.

Z każdego wierzchołka wychodzą trzy krawędzie – jedną nazywamy długością, drugą – szerokością, trzecią – wysokością prostopadłościanu i oznaczamy je odpowiednio literami a, b, c.
Długości tych krawędzi nazywamy wymiarami prostopadłościanu.

podstawowe długości prostopadłościanu

Prostopadłościan, którego wszystkie ściany są jednakowymi kwadratami nazywamy SZEŚCIANEM.
Wszystkie krawędzie sześcianu mają jednakową długość.

sześcian

GRANIASTOSŁUP PROSTY to graniastosłup, którego ściany boczne są prostopadłe do dwóch identycznych podstaw.

graniastosłup prosty

Podstawy graniastosłupa prostego to przystające wielokąty. Są do siebie równoległe. 
Każda ściana boczna graniastosłupa prostego jest prostokątem.
Krawędzie boczne graniastosłupa prostego mają jednakową długość.
Z dowolnego wierzchołka graniastosłupa prostego wychodzą trzy krawędzie. Jedna z nich jest krawędzią boczną, a pozostałe krawędziami podstawy.
Krawędź boczna jest prostopadła do każdej krawędzi podstawy.

Przykłady:
prostopadłościan
sześcian
graniastosłup trójkątny (podstawą jest trójkąt)
– graniastosłup pięciokątny (podstawą jest pięciokąt), itd.

Wysokość graniastosłupa – to odcinek łączący podstawy graniastosłupa i prostopadły do każdej z nich.
W przypadku graniastosłupa prostego wysokością jest krawędź boczna.
Wysokość graniastosłupa oznaczamy literą H.

wysokość graniastosłupa

Wysokość graniastosłupa – to odcinek łączący podstawy graniastosłupa i prostopadły do każdej z nich.
W przypadku graniastosłupa prostego wysokością jest krawędź boczna.
Wysokość graniastosłupa oznaczamy literą H.

GRANIASTOSŁUP PRAWIDŁOWY to graniastosłup prosty, którego podstawą jest wielokąt foremny.

Przypomnienie:
Wielokąt foremny to wielokąt, którego wszystkie kąty wewnętrzne mają równe miary i wszystkie boki mają taką samą długość, np. kwadrat, trójkąt równoboczny, pięciokąt foremny. 

W graniastosłupie prawidłowym: 
podstawy to przystające wielokąty 
ściany boczne to przystające prostokąty
Graniastosłup przyjmuje swoją nazwę od wielokąta, który jest jego podstawą.

graniastosłup prawidłowy trójkątny
graniastosłup prawidłowy pięciokątny

POLE POWIERZCHNI GRANIASTOSŁUPA to suma pól wszystkich jego ścian.
Pole powierzchni składa się z pola powierzchni bocznej, czyli sumy pól wszystkich ścian bocznych oraz z dwóch pól powierzchni identycznych podstaw. 

\( \Large P_c \ = \ 2P_p \ + \ P_b \)  
gdzie:
\( P_c \) – pole powierzchni całkowitej graniastosłupa 
\( P_p \) – pole podstawy graniastosłupa 
\( P_b \) – pole powierzchni bocznej graniastosłupa

Z powyższego wzoru możemy wyprowadzić wzór na pole powierzchni prostopadłościanu oraz sześcianu. 

Prostopadłościan:

prostopadłościan

\( P_c = 2P_p + P_b \)
\( P_p = a ⋅ b = ab \)
\( P_b = 2 ⋅ a ⋅ c + 2 ⋅ b ⋅ c = 2ac + 2bc \)
Zatem: 
\( P_c = 2ab + 2ac + 2bc = 2(ab+ac+bc) \)  

Sześcian:
Wszystkie krawędzie sześcianu mają jednakową długość.
Wszystkie ściany są przystającymi kwadratami. Jest ich 6. 

sześcian

\( P_c = 2P_p + P_b \)
\( P_p = a ⋅ a = a^2 \) 
\( P_b = 4 ⋅ a ⋅ a = 4a^2 \)
Zatem:
\( P_c = 2a^2 + 4a^2 = 6a^2 \)

OBJĘTOŚĆ GRANIASTOSŁUPA to iloczyn pola podstawy i wysokości tego graniastosłupa. 

\( \Large V=P_p ⋅ H \) 
gdzie:
\( V \) – objętość graniastosłupa 
\( P_p \) – pole podstawy 
\( H \) – długość wysokości graniastosłupa    

Z powyższego wzoru możemy wyprowadzić wzór na objętość prostopadłościanu oraz sześcianu.

Prostopadłościan: 

Podstawowe informacje o prostopadłościanie

\( V = P_p ⋅ H \)
\( P_p = a ⋅ b = ab \) 
\( H = c \)
Zatem: 
\( V = ab ⋅ c = abc \)

Sześcian: 

Podstawowe informacje o sześcianie

\( V = P_p ⋅ H \)
\( P_p = a ⋅ a = a^2 \)
\( H = a \)
Zatem: 
\( V = a^2 ⋅ a = a^3 \)

ODCINKI W GRANIASTOSŁUPACH

W graniastosłupach rozróżniamy 3 różne odcinki:
przekątną podstawy
przekątną ściany bocznej
– przekątną graniastosłupa – odcinek łączący dwa wierzchołki graniastosłupa i niezawierający się w żadnej ścianie

przekątna podstawy graniastosłupa
przekątna ściany bocznej graniastosłupa
przekątna graniastosłupa

Uwaga!
Graniastosłup trójkątny nie ma przekątnej podstawy i przekątnej graniastosłupa. Posiada on tylko przekątną ściany bocznej. 

Więcej przykładowych zadań:

graniastosłup zadanie 1
graniastosłup zadanie 2
graniastosłup zadanie 3

Sprawdź więcej tematów powtórkowych przed egzaminem ósmoklasisty:

Dodatkowo Pi-stacja.tv opracowała specjalnie dla Was PRÓBNY EGZAMIN Z MATEMATYKI
Egzamin jest całkowicie DARMOWY. Nie musisz się rejestrować ani podawać swoich danych. Wystarczy trochę chęci, czasu, no i… dostęp do internetu! 😃

Sprawdź swoją wiedzę na temat graniastosłupów