III gimnazjum

Matematyka wokół nas 3

Przekrój osiowy powstałej bryły jest złożony z

Rozwiązanie 1

Promienˊ koła jest roˊwny 2,4 dm i zarazem jest to długosˊcˊ tworzącej stoz˙ka. Aby sprawdzicˊ, czy da się wykonacˊ powierzchnie boczne stoz˙koˊw o sˊrednicy 8 cm,

Rysunek w skali 1 : 2 oznacza, że wycinek koła ma promień 6 cm. Obwód podstawy stożka jest natomiast równy jednej trzeciej obwodu koła o promieniu 6 cm:

Obwód wycinka koła o promieniu 8 cm jest równy: O=36067,5​⋅2π⋅8=3π cm

Z warunkoˊw zadania otrzymujemy troˊjkąt prostokątny z kątami 30o i 60o, gdzie przeciwprostokątną jest tworząca, a jedną z przyprostokątnych - promienˊ podstawy stoz˙ka.

Kąt między tworzącymi ma miarę 120o, z tego wynika, z˙e kąt między tworzącą i sˊrednicą podstawy wynosi 30o (bo troˊjkąt jest roˊwnoramienny, mamy dwa takie kąty i wiemy dodatkowo, z˙e suma kątoˊw w troˊjkącie wynosi 180o).

Pole przekroju osiowego stoz˙ka jest roˊwne połowie iloczynu sˊrednicy podstawy i wysokosˊci stoz˙ka. Wprowadzˊmy oznaczenia:

a) r=5 cm, l=15 cm P=π⋅r⋅l+πr2=π⋅5⋅15+25π=100π cm2   b)

Kąt rozwarcia stożka ma miarę 60o, co oznacza, że przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym. Średnica podstawy również ma zatem długość 24 cm. Długość promienia podstawy jest równa 12 cm. Pole powierzchni całkowitej wynosi:

Zarówno długość tworzącej, jak i średnicy podstawy stożka jest równy 6 cm. Pole powierzchni bocznej wynosi zatem:

Wprowadzˊmy oznaczenia: r - promienˊ podstawy stoz˙ka