III gimnazjum

Matematyka wokół nas 3

Aby w trapez można było wpisać okrąg, sumy długości przeciwległych boków muszą być sobie równe. Wyznaczymy zatem długość ramienia trapezu. Wysokość 3a poprowadzona z prawej górnej przekątnej trapezu dzieli podstawę trapezu na długości 2a i 4a. Jednocześnie tworzy ona trójkąt prostokątny z przyprostokątnymi 3a i 4a oraz przeciwprostokątną (oznaczmy przez x), która jest czwartym ramieniem trapezu. Policzmy jej długość z tw. Pitagorasa: (3a)2+(4a)2=x2 9a2+16a2=x2 x=25a2<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​=5a Sumy długości przeciwległych boków są sobie równe  (5a+3a=2a+6a) , zatem w ten czworokąt można wpisać okrąg.

Rozwiązanie 1

Narysujmy trójkąt ABC z wysokością poprowadzoną na podstawę:

Przyjmijmy następujące oznaczenia: a, b - przyprostokątne trójkąta c - przeciwprostokątna trójkąta Pole prostokąta zbudowanego na przeciwprostokątnej wynosi: Pc​=c⋅2c=2c2 Pole prostokąta zbudowanego na przyprostokątnej a wynosi: Pa​=a⋅2a=2a2

Załóżmy, że ∠BAC  ma miarę  α . Wówczas kąt ∠DBC

Pary trójkątów CFP i CPE, FAP i APD oraz EPB i PDB są przystające, ponieważ punkt P jest punktem przecięcia dwusiecznych kątów wewnętrznych w trójkącie ABC. Z tego wynika, że: |CE| = |CF| = r |BD| = |BE| = b-r |AF| = |AD| = a - r Zatem mamy: c=∣BD∣+∣AD∣=b−r+a−r

Narysujmy rysunek pomocniczy i przyjmijmy następujące oznaczenia: <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/23002/d4ICZlCztmsXTujmOEgneA%3D%3D_52926cf5d3dfa800610bcfa805ddeff4db190eeecfe8f8e800f56731ab05f322.jpg" width="250" height="250"> Niech R będzie długością promienia okręgu opisanego na trójkącie, a r długością promienia okręgu wpisanego w trójkąt. Mamy zatem: R=21​c

Najwygodniejszy sposób nauki z edukacyjnym Odrabiamy AI

8