Matematyka

Matematyka wokół nas 3 (Zbiór zadań, WSiP)

Przeciwległymi wierzchołkami rombu ABCD są punkty B = (2, 3) i D = (-2, -3). 4.56 gwiazdek na podstawie 9 opinii
  1. Gimnazjum
  2. 3 Klasa
  3. Matematyka

Długość boku rombu wynosi 5. Z położenia punktów B i D musimy znaleźć takie punkty A i C, dla których długość odcinków AB, AD, CB i CD będzie równa 5. Policzmy najpierw położenie punktu A = (x, y). Mamy układ równań:

`{(|AB|=sqrt((2-x)^2+(3-y)^2)=5), (|AD|=sqrt((-2-x)^2+(-3-y)^2)=5):}`

Po podniesieniu do kwadratu mamy:

`{((2-x)^2+(3-y)^2=25), ((-2-x)^2+(-3-y)^2=25):}`

Dalej:

`{(4-4x+x^2+9-6y+y^2=25), (4+4x+x^2+9+6y+y^2=25):}`

Odejmując stronami otrzymujemy:

`8x+12y=0`

Podstawmy równanie po przekształceniu: 

`y=-(8x)/12=-2/3x`  

do pierwszego równania:

`4-4x+x^2+9-6(-2/3x)+(-2/3x)^2=25`

`4-4x+x^2+9+4x+4/9x^2=25`

`13+x^2+4/9x^2=25`

`13/9x^2=12`

`x^2=12*9/13=108/13`

`x=-6sqrt(3/13)" ",y=4sqrt(3/13)`

`x=6sqrt(3/13)," "y=-4sqrt(3/13)`

Ponieważ mamy dwa zestawy rozwiązań, są to zatem dwa punkty A i C, które należą do tego rombu. Oznaczmy pierwsze rozwiązanie za punkt A, a drugie rozwiązanie za punkt C. Wtedy pole rombu będzie połową iloczynu odległości punktów B i D oraz punktów A i C:

`|BD|=sqrt((2-(-2))^2+(3-(-3))^2)=` `sqrt(4^2+6^2)=sqrt(16+36)=sqrt52=2sqrt13`

`|AC|=` `sqrt((-6sqrt(3/13)-6sqrt(3/13))^2+(4sqrt(3/13)+4sqrt(3/13))^2)=``sqrt((-12sqrt(3/13))^2+(8sqrt(3/13))^2)` `=`

`=sqrt(144*3/13+64*3/13)=sqrt(208*3/13)=sqrt(16*3)=sqrt48=2sqrt12=4sqrt3`

`P=1/2*|BD|*|AC|=1/2*2sqrt13*4sqrt3=4*sqrt(13*3)=4*sqrt39`

 

DYSKUSJA
user profile image
Edyta

29 kwietnia 2018
Dzięki za pomoc :)
user profile image
Loffcia

27 kwietnia 2018
dzięki :):)
Informacje
Autorzy: Podobińska Barbara, Przetacznik-Dąbrowa Teresa
Wydawnictwo: WSiP
Rok wydania:
ISBN: 9788302135347
Autor rozwiązania
user profile image

Marek

1075

Korepetytor

Ostatnie 7 dni na Odrabiamy w liczbach...
ROZWIĄZALIŚMY0ZADAŃ
zadania
wiadomości
ODPOWIEDZIELIŚMY NA0WIADOMOŚCI
NAPISALIŚCIE0KOMENTARZY
komentarze
... i0razy podziękowaliście
Autorom
Wiedza
Wzajemne położenie prostych

Dwie proste mogą się przecinać w punkcie, mogą być do siebie prostopadłe lub równoległe.

  1. Proste przecinające się w punkcie P – proste mające jeden punkt wspólny.

    prosteprzecinajace
     
  2. Proste prostopadłe – to proste przecinające się pod kątem prostym.

    Jeśli proste a i b są prostopadłe (inaczej mówiąc prosta a jest prostopadła do prostej b), zapisujemy to symbolicznie w następujący sposób: $$a⊥b$$. Dwie proste prostopadłe tworzą cztery kąty proste

    prostekatprosty
     
  3. Proste równoległe – to proste nie mające punktów wspólnych lub pokrywające się.

    Jeżeli proste a i b są równoległe (inaczej mówiąc prosta a jest równoległa do prostej b), to zapisujemy to symbolicznie w następujący sposób: $$a∥b$$.
     

    proste-rownlegle
Odejmowanie ułamków zwykłych
  1. Odejmowanie ułamków o jednakowych mianownikach – odejmujemy liczniki, a mianownik pozostawiamy bez zmian.

    Przykład:

    • $$5/6-2/6= 3/6= {3÷3}/{6÷3}=1/2$$

      Uwaga

    Gdy w wyniku odejmowania ułamków otrzymamy ułamek niewłaściwy, warto wyłączyć z niego całości.
    Często ułamek otrzymany w wyniku można skrócić, czyli podzielić licznik i mianownik przez tę samą liczbę.

  2. Odejmowanie ułamków o różnych mianownikach – najpierw sprowadzamy je do wspólnego mianownika (czyli tak je rozszerzamy lub skracamy, aby otrzymać w mianowniku taką samą liczbę), następnie wykonujemy odejmowanie.

    Przykład:

    • $$3/{10}- 1/5=3/{10}- {1•2}/{5•2}=3/{10}- 2/{10}=1/{10}$$
       
  3. Odejmowanie liczb mieszanych, których składniki ułamkowe mają takie same mianowniki.

    • I sposób – zamieniamy liczby mieszane na ułamki niewłaściwe, a następnie wykonujemy odejmowanie ułamków o jednakowych mianownikach.

      Przykład:

      $$2 1/3- 1 1/3= {2•3+1}/3-{1•3+1}/3=7/3-4/3=3/3=1$$
    • II sposób – oddzielnie odejmujemy składniki całkowite i oddzielnie składniki ułamkowe, które mają identyczne mianowniki.

      Przykład:

      $$2 1/3- 1 1/3= 2 + 1/3- 1 - 1/3= 2 – 1 + 1/3- 1/3= 1 + 0 = 1$$
       
  4. Odejmowanie liczb mieszanych, których składniki ułamkowe mają różne mianowniki.

    • I sposób – zamieniamy liczby mieszane na ułamki niewłaściwe, następnie sprowadzamy je do wspólnego mianowniku, a potem wykonujemy odejmowanie.

      Przykład:

      $$2 1/3- 1 1/2= {2•3+1}/3-{1•2+1}/2=7/3-3/2={7•2}/{3•2}-{3•3}/{2•3}={14}/6-9/6=5/6$$
    • II sposób – oddzielnie odejmujemy składniki całkowite i oddzielnie składniki ułamkowe, które musimy najpierw sprowadzić do wspólnego mianownika.

      Przykład:

      $$2 1/2- 1 1/3= 2 + 1/2- 1 - 1/3= 2 - 1 + 1/2-1/3= 1 +{1•3}/{2•3}-{1•2}/{3•2}= 1 + 3/6- 2/6= 1 + 1/6= 1 1/6$$
 
Zobacz także
Udostępnij zadanie