Matematyka

Przeciwległymi wierzchołkami rombu ABCD są punkty B = (2, 3) i D = (-2, -3). 4.56 gwiazdek na podstawie 9 opinii
  1. Gimnazjum
  2. 3 Klasa
  3. Matematyka

Długość boku rombu wynosi 5. Z położenia punktów B i D musimy znaleźć takie punkty A i C, dla których długość odcinków AB, AD, CB i CD będzie równa 5. Policzmy najpierw położenie punktu A = (x, y). Mamy układ równań:

`{(|AB|=sqrt((2-x)^2+(3-y)^2)=5), (|AD|=sqrt((-2-x)^2+(-3-y)^2)=5):}`

Po podniesieniu do kwadratu mamy:

`{((2-x)^2+(3-y)^2=25), ((-2-x)^2+(-3-y)^2=25):}`

Dalej:

`{(4-4x+x^2+9-6y+y^2=25), (4+4x+x^2+9+6y+y^2=25):}`

Odejmując stronami otrzymujemy:

`8x+12y=0`

Podstawmy równanie po przekształceniu: 

`y=-(8x)/12=-2/3x`  

do pierwszego równania:

`4-4x+x^2+9-6(-2/3x)+(-2/3x)^2=25`

`4-4x+x^2+9+4x+4/9x^2=25`

`13+x^2+4/9x^2=25`

`13/9x^2=12`

`x^2=12*9/13=108/13`

`x=-6sqrt(3/13)" ",y=4sqrt(3/13)`

`x=6sqrt(3/13)," "y=-4sqrt(3/13)`

Ponieważ mamy dwa zestawy rozwiązań, są to zatem dwa punkty A i C, które należą do tego rombu. Oznaczmy pierwsze rozwiązanie za punkt A, a drugie rozwiązanie za punkt C. Wtedy pole rombu będzie połową iloczynu odległości punktów B i D oraz punktów A i C:

`|BD|=sqrt((2-(-2))^2+(3-(-3))^2)=` `sqrt(4^2+6^2)=sqrt(16+36)=sqrt52=2sqrt13`

`|AC|=` `sqrt((-6sqrt(3/13)-6sqrt(3/13))^2+(4sqrt(3/13)+4sqrt(3/13))^2)=``sqrt((-12sqrt(3/13))^2+(8sqrt(3/13))^2)` `=`

`=sqrt(144*3/13+64*3/13)=sqrt(208*3/13)=sqrt(16*3)=sqrt48=2sqrt12=4sqrt3`

`P=1/2*|BD|*|AC|=1/2*2sqrt13*4sqrt3=4*sqrt(13*3)=4*sqrt39`

 

DYSKUSJA
Informacje
Matematyka wokół nas 3
Autorzy: Podobińska Barbara, Przetacznik-Dąbrowa Teresa
Wydawnictwo: WSiP
Rok wydania:
Autor rozwiązania
user profile image

Korepetytor

Masz wątpliwości co do rozwiązania?

Wiedza
Dzielenie ułamków dziesiętnych przez 10, 100, 1000...

Aby podzielić ułamek dziesiętny przez 10, 100, 1000 itd. należy przesunąć przecinek w lewo o tyle miejsc ile jest zer w liczbie przez którą dzielimy (czyli w 10, 100, 1000 itd.)

Przykłady:

  • $$0,34÷10= 0,034$$ ← przesuwamy przecinek o jedno miejsce w lewo
  • $$311,25÷100= 3,1125$$ ← przesuwamy przecinek o dwa miejsca w lewo
  • $$53÷1000= 0,053$$ ← przesuwamy przecinek o trzy miejsca w lewo
Największy wspólny dzielnik (nwd)

Największy wspólny dzielnik (NWD) dwóch liczb naturalnych jest to największa liczba naturalna, która jest dzielnikiem każdej z tych liczb.

Przykłady:

  • Największy wspólny dzielnik liczb 6 i 9 to liczba 3.

    1. Wypiszmy dzielniki liczby 6: 1, 2, 3, 6;
    2. Wypiszmy dzielniki liczby 9: 1, 3, 9;
    3. Wśród dzielników wyżej wypisanych szukamy największej liczby, która jest zarówno dzielnikiem 6 i 9. Jest to 3.
  • Największy wspólny dzielnik liczb 12 i 20 to liczba 4.

    1. Wypiszmy dzielniki liczby 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12;
    2. Wypiszmy dzielniki liczby 20: 1, 2, 4, 5, 10, 20;
    3. Wśród dzielników wyżej wypisanych szukamy największej liczby, która jest zarówno dzielnikiem 12 i 20. Jest to 4.
Zobacz także
Udostępnij zadanie