Matematyka

Autorzy:Podobińska Barbara, Przetacznik-Dąbrowa Teresa

Wydawnictwo:WSiP

Rok wydania:2013

Przeciwległymi wierzchołkami rombu ABCD są punkty B = (2, 3) i D = (-2, -3). 4.56 gwiazdek na podstawie 9 opinii
  1. Gimnazjum
  2. 3 Klasa
  3. Matematyka

Długość boku rombu wynosi 5. Z położenia punktów B i D musimy znaleźć takie punkty A i C, dla których długość odcinków AB, AD, CB i CD będzie równa 5. Policzmy najpierw położenie punktu A = (x, y). Mamy układ równań:

`{(|AB|=sqrt((2-x)^2+(3-y)^2)=5), (|AD|=sqrt((-2-x)^2+(-3-y)^2)=5):}`

Po podniesieniu do kwadratu mamy:

`{((2-x)^2+(3-y)^2=25), ((-2-x)^2+(-3-y)^2=25):}`

Dalej:

`{(4-4x+x^2+9-6y+y^2=25), (4+4x+x^2+9+6y+y^2=25):}`

Odejmując stronami otrzymujemy:

`8x+12y=0`

Podstawmy równanie po przekształceniu: 

`y=-(8x)/12=-2/3x`  

do pierwszego równania:

`4-4x+x^2+9-6(-2/3x)+(-2/3x)^2=25`

`4-4x+x^2+9+4x+4/9x^2=25`

`13+x^2+4/9x^2=25`

`13/9x^2=12`

`x^2=12*9/13=108/13`

`x=-6sqrt(3/13)" ",y=4sqrt(3/13)`

`x=6sqrt(3/13)," "y=-4sqrt(3/13)`

Ponieważ mamy dwa zestawy rozwiązań, są to zatem dwa punkty A i C, które należą do tego rombu. Oznaczmy pierwsze rozwiązanie za punkt A, a drugie rozwiązanie za punkt C. Wtedy pole rombu będzie połową iloczynu odległości punktów B i D oraz punktów A i C:

`|BD|=sqrt((2-(-2))^2+(3-(-3))^2)=` `sqrt(4^2+6^2)=sqrt(16+36)=sqrt52=2sqrt13`

`|AC|=` `sqrt((-6sqrt(3/13)-6sqrt(3/13))^2+(4sqrt(3/13)+4sqrt(3/13))^2)=``sqrt((-12sqrt(3/13))^2+(8sqrt(3/13))^2)` `=`

`=sqrt(144*3/13+64*3/13)=sqrt(208*3/13)=sqrt(16*3)=sqrt48=2sqrt12=4sqrt3`

`P=1/2*|BD|*|AC|=1/2*2sqrt13*4sqrt3=4*sqrt(13*3)=4*sqrt39`