Treść:

Wykaż, że liczba $2501^4-2499^4$ jest podzielna przez $10000$.

---

Odpowiedź:

Przekształćmy podane wyrażenie.

$2501^4-2499^4={\left(2501^2\right)}^2-{\left(2499^2\right)}^2=\dots$

Korzystamy ze wzoru na różnicę kwadratów, czyli

$\boxed{a^2-b^2=\left(a-b\right)\left(a+b\right)}$

i otrzymujemy dalej:

$\dots =\left(2501^2-2499^2\right)\left(2501^2+2499^2\right)=...$

Ponownie stosujemy wzór na różnicę kwadratów - tym razem w pierwszym nawiasie - i otrzymujemy:

$=\left(2501-2499\right)\left(2501+2499\right)\left(2501^2+2499^2\right)=$

$=2\cdot 5000\cdot \left(2501^2+2499^2\right)=\underline{\underline{10000}}\cdot \left(2501^2+2499^2\right)$

Zatem skoro w rozkładzie na czynniki liczby $2501^4-2499^4$ wystąpił czynnik $10000$, to oznacza, że ta liczba jest podzielna przez $10000$, 

co należało wykazać.